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영욱

수학과 구조고려대학교 이과대학 수학과

수학과 구조Mathematics and Structures

수학의 변천과정으로 본

20세기 수학의 의미

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19세기 이전 수학의 특징

계산 중심 수학의 발달

여러 분야에 응용되는 실질적 수학 중심

경험을 통한 이론화

부정확성을 내포한 이론

이론의 검증방법 부재(不在)

비현실적 대상의 발견 (추상적 수학의 씨앗) - 무리수(540 BC), 비 유클리드 기하(19c), 무한의 개념(Zeno 450 BC, Cauchy 19c 등)

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현실문제와 연관된 19c 이전 수학

유클리드 – 나일강의 홍수? - geometry

중세의 침체기 – 물리적 문제에 대한 제한

물리학의 발전과 발전된 수학의 필요성

1. 변화율 개념과 미적분 – Newton(17c~18c초)

2. 물리 문제와 미분방정식: 운동의 이해

3. 테크닉으로서의 무한급수(infinite series)와수렴의 문제

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부정확한 수학의 발견(1)

개념의 부재

1. 수 개념의 부재 – 실수의 개념

2. 수렴 개념의 부재 – 물리 및 공학 문제의 부정확한 풀이

3. 연속 개념의 부재 – 복잡한 현상 이해 불가능(Stability, Chaos)

4. 함수 개념의 부재 – 문제의 setup 불가능 (구하려는 목표를 구체화할 수 없음)

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부정확한 수학의 발견(2)

언어의 문제Russell’s Paradox(=도서관목록, 이발사 등)

What do we mean by { x | Not (x ∈ x) } ?

The least natural number which cannot be described within thirteen English words. (스물 여섯 자의 한글로 표현할 수 없는 자연수 가운데 가장 작은 것)

직관적 개념은 많은 문제점을 안고 있다.

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20세기의 노력과 발전(1)

실수 개념의 확립Dedekind – 유리수를 쓴 위치의 정의

집합 언어의 정확성과 엄밀성

공리체계의 확립 Zermelo-Frankel

몇 가지 문제의 해결 – 연속체 가설, 괴델의 정리

위상(topology) 개념의 확립: 추상적 위치개념

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수학의 추상화수학의 대상의 추상화 – 공리화의 결과

추상화의 장점 – 이론의 포괄성(광범위한 적용)

추상화의 단점 – 접근의 용이성 포기

수학의 엄밀화

개념의 엄밀한 정의

장점 – 애매함을 제거했음

단점 – 받아들일 수 있는 대상이 제한됨

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구조(structure)의 등장

20세기 초의 구조주의의 물결을 주도(?)

수학이란 무엇인가 ⇒ 이해한다는 것은 무엇인가

계산을 통한 문제해결 방법으로서의 수학에서 자연현상을 이해하는 수단으로서의 수학으로 : (계산법 ⇒ 구조의 구축)

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20세기 수학의 특징 - 상대성

절대적 진리의 부재

수학의 모든 진리는 상대적 진리

주어진 가정 아래서만 옳은 결론을 말할 수 있다.

공리화의 결과

언어를 사용하여 논증할 수 있는 것의 한계, 또는엄밀한 의미를 줄 수 있는 것의 한계

모든 정의는 간접적 방법을 사용: 기본 개념은 공리를 통해서 간접적으로 정의됨

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20세기 수학의 특징 – 쌍대성(1)

점과 직선 사이의 쌍대성

사영기하학

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20세기 수학의 특징 – 쌍대성(2)

벡터와 일차함수 사이의 쌍대성

원점을 지나는 직선과 그 위의 점 사이의 관계

ax + by + cz = 0

(a,b,c)·(x,y,z)=0

벡터(점)와 일차함수(직선)의 동등성, 동질성

벡터(점)의 성질을 일차함수(직선)를 사용하여 설명

일차함수(직선)의 성질을 벡터(점)를 사용하여 설명

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쌍대성 - Escher

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일반화된 쌍대성

대상을 설명하기 위하여 다른 대상을 사용점 – 직선 (기하학)

벡터(점) – 일차함수(직선) (선형기하)

실수 – 함수 (해석학)

함수 – 작용소 (미분방정식, 함수해석)

연결성 등의 위치 – 연속함수 (위상기하학)

모든 수학의 이론은 두 개의 서로 다른 대상 사이의 관계의 정립이다.

설명하는 대상이 동시에 설명되기도 한다.

즉, 설명하는 것은 설명되는 것이다.

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20세기 수학의 특징 – 불변량

수학의 개념은 여러 가지 변화의 속에서 변화하지 않음으로써 개념으로 정립된다.

일상적 개념 – 안경, 책상, …수학적 개념 – 주어진 구조 안에서 동질적인 위치차지, (물리학 – 질량, …: 단위의 변환 등등, 수학 – 곡률, …: 좌표의 변환 등등)

역사적으로 텐서(tensor) 개념의 확립에서 출발

수학의 모든 개념은 동질성을 보존하는 변환들을생각할 때 이들에 의해서 불변인 개념으로 자리매김 된다.

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20세기 수학의 특징 – 구조적 동형성

두 개의 서로 다른 대상간의 구조적 유사성을표현하는 방법 – 동형변환(homomorphism, isomorphism)

0

2

시계셈

13

곱셈

{0, i, -1, -i}

90도 회전 - 스위치

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20세기 수학의 반성(1)

실용성의 결여(?)

이론적 계산 가능성과 실질적 계산 가능성:

유한한 시간 안에 계산됨 vs. 사용목적에 부합하는 시간 안에 계산됨

이론적 예측가능성과 실질적 예측가능성:

Stability(continuity) vs. Chaotic behavior

실수에 기초한 모형의 사용:

continuum model vs. finite model

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