電磁波

Maxwellの方程式

rott

∂= −

∂BE

rott

∂= +

∂DH J

0div =B

div ρ=D

ファラデーの法則

アンペアの法則

電界に関するガウスの法則

磁界に関するガウスの法則

構成方程式

ε=D E

μ=B H

σ=J Ε

120 8.85 10 (F/m)ε ε

−= = ×

70= 4 10 (H/m)μ μ π

−= ×

0rε ε ε=

0 0rμ μ μ μ= ≅

比誘電率，比透磁率

オームの法則

自由空間（真空）中の Maxwellの方程式

0rot tμ ∂= −

∂HE

0rot tε ∂=

∂EH

0div =E0div =H

４つの式をE,Hに関する 連立方程式として解く

ーー＞波動方程式

波動方程式の導出（ベクトル数学）

0rot tμ ∂= −

∂HE 0(rot rot rott

μ ∂= −∂

E) H

(rot rot grad div= − = −E) E E E2

0 0 0 0 0 2( )rott t t tμ μ ε μ ε∂ ∂ ∂ ∂− − = −

∂ ∂ ∂ ∂E EH =

2

0 0 2 0tμ ε ∂Δ − =

∂EE 波動方程式

両辺にrot

波動方程式2

0 0 2 0tμ ε ∂Δ − =

∂EE

2

0 0 2 0tμ ε ∂Δ − =

∂HH

2 2 2 2

0 02 2 2 2 0x x x xE E E E

x y z tμ ε∂ ∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2

0 02 2 2 2 0y y y yE E E E

x y z tμ ε

∂ ∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2

0 02 2 2 2 0z z z zE E E E

x y z tμ ε∂ ∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂ ∂

直交座標系では

平面波の導出

(1) : 波動は z方向に伝搬する

(2) : 波動はx-y平面内で一様である.

仮定

2 2

0 02 2 0x xE E

z tμ ε∂ ∂− =

∂ ∂2 2

0 02 2 0y yE E

z tμ ε

∂ ∂− =

∂ ∂

2 2

0 02 2 0z zE E

z tμ ε∂ ∂− =

∂ ∂

Maxwellの方程式に戻る

Z方向の変化があることを認めるためには

つまり電界z成分は存在しない

電磁波は横波である

0div =E

0yx z zEE E Ediv

x y z z∂∂ ∂ ∂

= + + = =∂ ∂ ∂ ∂

E

に前記条件を入れて

0ZE =

スカラー波動方程式

2

2 2

1 ( , , , )( , , , ) u x y z tu x y z tc t

∂Δ =

∂2 2

2 2 2

( , ) 1 ( , )u z t u z tz c t

∂ ∂=

∂ ∂

( , ) ( ) ( )u z t u z ct u z ct+ −= − + +

1次元の場合

電界と磁界の関係

0rot tμ ∂= −

∂HE

1 2( , ) ( ) ( )xE z t f z ct f z ct= − + +

{ }

{ }

1 20

0

1 20

1( , ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

yH z t f z ct f z ct

f z ct f z ct

με

η

= − − +

= − − +

に代入すれば次式を得る。

電界として上式を仮定し

スカラー波動方程式の一般解としての平面波

1 2( ) ( )xE f z ct f z ct= − + +

8

0 0

1 3 10 ( / )c m sμ ε

= = ×

{ }1 20

1 ( ) ( )yH f z ct f z ctη= − − +

00

0

376.6 120μη πε

= ≅ ≅

速度

固有インピーダンス； 電界と磁界の比

2 2

0 02 2 0x xE E

z tμ ε∂ ∂− =

∂ ∂

波動の移動

1 2( ) ( )xE f z ct f z ct= − + +

constantz=constantz ct

cz ct

− =+

∂=

∂

電界と磁界

00

0

376.6 120μη πε

= ≅ ≅

1 2( ) ( )xE f z ct f z ct= − + +

{ }1 20

1 ( ) ( )yH f z ct f z ctη= − − +

真空の特性インピーダンス

定常状態での波動方程式の解

2

2( ) ( )U x U xvω

Δ = −

( ) xU x eλ=2

22v

ωλ = −

k jvωλ= ± = ±

1 2( )jkx jkxU x U e U e− += +

波数

2 2

2 2

( ) ( )U x U xx v

ω∂= −

∂一次元

時間ー空間での波動の伝搬

( ){ }1 21 2

( , ) Re

cos( ) cos( )

jkz jkz j txE z t Ae A e e

A t kz A t kz

ω

ω ω

− += +

= − + +

aconstantt kzω − =

電磁波

（より一般的な導出：砂川電磁気学）

(1)0( , ) cos( )t E tω= ⋅ −E e kx x

tω⋅ −k x ：波の位相

等位相面

r

k

波面

（等位相面）

r cosθ

θ

位相が一定値

をとるとき、

が成立する。ここで時刻

と固定したとき

を満足する

はベクトル

に垂直な平面を形成する。

α

tα ω⋅ = +k r1t t=

1tα ω⋅ = +k rr k

電界の方向

(1) (1) (1)0

(1)

( , ) ( )

( ) cos( )

( )sin( ) 0

yx z

x x y y z z

EE Ediv tx y z

e k e k e k E t

t

ω

ω

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

= + + ⋅ −

= − ⋅ ⋅ − =

E r

k r

e k k r

(1)0( , ) cos( )t E tω= ⋅ −E e kx x

( , ) 0div t =E rを

に代入すると

(1) 0⋅ =e kこれより

電磁界方向

(2)( , ) ( )sin( ) 0div t tω= − ⋅ ⋅ − =B r e k k r(1) (2) 0⋅ = ⋅ =e k e k

(2) (1) 00

0

EHη

= ×e k e

更に

よりrott

∂= −

∂BE

電界、磁界は互いに直交

電界、磁界、進行方向が互いに直交

電界・磁界と電磁波進行方向

x

y z

e(1)

e( )2

k

(1) (2) 0⋅ = ⋅ =e k e k (2) (1) 000

EHη

= ×e k e

電磁波とス ペクトラム

微弱無 線局の 規定

ゴビ環境計測

地中レーダの計測法

仙台城

仙台城石垣調査 2000年７月ー１０月

VRPVRPVRP レーダ測定に基づく予想断面図

実際の開削によって出現した石組

1997年に実施した地中レーダ 調査で、開削前に石組みを見 つけることができました

アフガニスタンテスト 2004年12月

ALIS の操作ALIS：•金属探知機(MD)•地中レーダ(GPR)の複合センサ：デュアルセンサ

005

金属探知機

地中レーダ

地雷検知例

ロボット搭載用

地雷検知センサ

生波形

地中レーダ３次元 表示x

y

SAR-GPR

地雷

地表面

Pi-SAR+ALOS

Pi-SARによる仙台市街地レーダ立体図

通信総合研究所(CRL)、宇宙開発 事業団(NASDA)との共同研究

東北大学川内・青葉山キャンパス 東北大学片平キャンパス

Pi-SAR DEM

地上設置SAR

電磁波Maxwellの方程式構成方程式自由空間（真空）中の�Maxwellの方程式波動方程式の導出（ベクトル数学）波動方程式平面波の導出Maxwellの方程式に戻るスカラー波動方程式電界と磁界の関係スカラー波動方程式の一般解としての平面波波動の移動電界と磁界定常状態での波動方程式の解時間ー空間での波動の伝搬電磁波　（より一般的な導出：砂川電磁気学）等位相面電界の方向電磁界方向電界・磁界と電磁波進行方向電磁波とスペクトラム微弱無線局の規定ゴビ環境計測スライド番号 24地中レーダの計測法仙台城仙台城石垣調査　2000年７月ー１０月VRPアフガニスタンテスト　2004年12月ALIS の操作スライド番号 31ロボット搭載用地雷検知センサ地中レーダ３次元　表示Pi-SAR+ALOSPi-SARによる仙台市街地レーダ立体図Pi-SAR DEM地上設置SAR