SGC ライブラリ- 51

超対称性理論現代素粒子論の基礎として

太田　信義・坂井　典佑 共著

サイエンス社

まえがき

本書の目的は，超対称性を持つ場の理論を解説することである．今や超対称性理論は現代の素粒

子理論を理解する上で欠かせないものとなっている．ここでは特に，場の理論は多少知っているが，

超対称性理論についてはあまり知らない読者を対象に，超対称性理論について解説する．

超対称性とは，ボソンとフェルミオンを入れ替えたとき理論が変わらないことをいう．ただし，

本書で解説する超対称性理論では，相対論的不変性があるものとする．自然界の基本法則を扱う素

粒子論の立場からは，この要請は当然と思われるであろうが，超対称性は素粒子論だけでなく原子

核や物性理論でも役立つことがわかっており，そのような観点からは，通常は意識しない点だろう

と思われる．この点をわざわざ断っておくのは，ボソン・フェルミオン間の対称性を考える際に時

空の対称性と絡んだ相対論的不変性を満たすことは，長年の間困難の原因となっていたからである．

実際，ある時期までは相対論的不変性が成り立つ理論では，スピンの異なる粒子の間を結ぶ対称性

は実現不可能であると思われていた．しかし，スピン 0のボソンとスピン 1/2のフェルミオンの間

の対称性と相対論的不変性を持つ具体的な模型が構成され，そこではそれまでと違って，フェルミ

オン的な対称性（交換関係でなく反交換関係を含む対称性）が成り立つことがわかった．このよう

に，フェルミオン的な対称性を許すと，ボソン・フェルミオン間の対称性が実現可能となる．こう

して得られた超対称性はボソンとフェルミオンを入れ替える対称性であると同時に，時空のローレ

ンツ変換や並進の対称性と一体となった対称性である．

このような理論は，今日の素粒子の統一模型にとって，たいへん重要なものだと思われている．

その主な理由は次のとおりである．現在，素粒子の基本的なエネルギースケールがたいへん大きい

と考えられる証拠がいくつもある．それにくらべて，現在までの実験で確立している標準模型のエ

ネルギースケールはたいへん小さい．これをゲージ階層性と呼び，これを説明することが重要な課

題である．超対称性はこのゲージ階層性の問題を対称性の観点から説明するために役立つ．その一

方で，現実の自然界で観測されている素粒子には，現在までのエネルギーの実験では，このような

対称性は実現されていない．これは，この超対称性が自発的破れを起こしているためだと思われて

いる．

本書では 4次元での超対称な場の理論を中心に述べ，超対称性を統一理論に用いようとする場合

の最小限の知識を与えることを第一目標とする．非摂動効果や超弦理論などへの足がかりとして高

い次元の超対称性ゲージ理論とN = 2超対称性理論を最後に述べる．第 1章で超対称性を考える動

機を解説してから，簡単な模型を例として超対称性を導入する．第 2章で超対称な 4次元の場の理

論の構成法を述べる．第 3章で超対称性の破れを論じる．第 4章で具体的な統一理論の模型として，

超対称標準模型を詳しく見る．第 5章で，超対称大統一理論を導入し，陽子崩壊現象の予言を考察

する．第 6章で，超対称性の破れを非摂動論的に論じるためのウィッテン指数を与え，低次元の超

対称性理論を考察する．第 7章で 4次元よりも高次元での超対称ゲージ理論と，それらを次元簡約

して得られる拡張された超対称ゲージ理論について述べる．第 8章では，最近研究が活発になって

きているN = 2 超対称性を持つ理論の最小限の解説をした．それは，N = 1で構成された理論に

余分の対称性を課すことによりN = 2の超対称性を持たせる形式である．この形式ではN = 1超

対称性は明白だが，N = 2超対称性は見えにくい．これは有限個の補助場を用いる限りは必然的で

ある．それに対して，無限個の補助場を用いて N = 2超対称性を明白にする形式として調和超空

間の方法があり，これについても，付録 Dで簡単に解説した．この場合はスピノールの表記法に 2

成分場を用いるのが普通なので，混乱を避けるために付録とした．本文では，より多くの読者にな

じみがあると思われる 4成分表記を用いている．

さらに読者の便宜のため，付録 Aでは，くり込み群と有効結合定数について簡単にまとめた．付

録 Bでは 1+3次元でのスピノールの性質，フィルツ変換から得られる第 2章で必要な式，フェルミ

オンの量子化，さらに第 7章で必要になる高次元のフィルツ変換についてまとめた．付録 Cには，

N = 1超対称性の破れに関して重要な超重力理論から生じるポテンシャルの簡単なまとめを与えた．

本書の随所で，太田が 2000年度から 2001年度に大阪大学大学院理学研究科で行った講義のノー

トの内容を用いた．ただしそれに大幅な書き換えと追加を行い，より多くの読者に役立つように心

がけた．本書が，これから超対称性理論を勉強して使いたいと思っている学生や研究者に少しでも

役立てば，著者の喜びこれにまさるものはない．

最後になったが，サイエンス社編集部の平勢耕介氏には，本書の執筆を勧めていただき，またさ

まざまな著者の要望を聞いていただいた．ここに感謝したい．

2006年 5月

著 者

ii まえがき

目 次

第 1章 超対称性 1

1.1 なぜ超対称性を考えるのか? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 ゲージ階層性の問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 超対称性はさらにどんなところで役に立つか？ . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 超対称性を持つ場の理論と超対称性代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 ウェス–ズミノ模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 超対称性変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3 超対称性代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 超対称性の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 もっとも一般な超対称性代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 質量零の粒子の場合（massless表現） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 有限質量粒子の場合（massive表現） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

第 2章 1 + 3次元超対称性理論と超場形式 25

2.1 超空間と超場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 超対称な作用の構成法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 局所的対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 非くり込み定理：F 型項とD型項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 ウェス–ズミノゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6 超対称性理論でのヒッグス機構とゲージ場の質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

第 3章 超対称性の破れ 47

3.1 超対称性の破れのオーダーパラメーター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 南部ゴールドストンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2 超対称性カレント中の NGフェルミオン成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.3 低エネルギー極限：ニュートリノは NGフェルミオンではない . . . . . . . 52

3.2.4 NGフェルミオンの低エネルギー定理：超対称性の破れと質量差 . . . . . . 53

3.3 超対称性の破れの古典論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.1 F 項だけによる破れ：オラファティ模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.2 D = 0と F = 0が矛盾する型の破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.3 D項だけによる破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 ソフトであらわな破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 超対称性が自発的に破れたときの質量和則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

第 4章 超対称標準模型 61

4.1 超対称標準模型の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1 標準模型の超対称化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.2 R対称性と Rパリティ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 超対称性の破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 ヒッグス粒子とW,Z 粒子の質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.1 真空期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.2 Z とW± の質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.3 ヒッグス場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.4 ヒッグス粒子の質量に対する量子補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4 超対称性粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5 ソフトな破れと量子補正による電弱対称性の破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5.1 超対称性のソフトな破れに対する制限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5.2 最小超重力理論での超対称性の破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5.3 量子補正による電弱相互作用の破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

第 5章 超対称大統一理論と陽子崩壊 77

5.1 大統一理論とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1.1 標準模型の成果と欠点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1.2 大統一理論による克服 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.1.3 大統一理論の実例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.1.4 ゲージ対称性の自発的な破れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.5 最小 SU(5)大統一理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2 大統一理論の超対称化とゲージ結合定数の統一 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3 陽子崩壊と宇宙のバリオン数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4 超対称大統一理論での陽子崩壊 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

第 6章 ウィッテン指数と低次元の超対称性 91

6.1 1 + 1次元の超対称性と次元簡約 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1.1 1 + 1次元のN = 1超対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1.2 次元簡約と 1 + 1次元のN = 2超対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2 超対称量子力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.1 1+1次元からの次元簡約 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.2 摂動論による真空のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3 状態のフェルミオン数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

iv 目 次

6.4 ウィッテン指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

第 7章 高次元超対称ゲージ理論と次元簡約 103

7.1 一般論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.1.1 D = 1 + 3の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.1.2 D = 1 + 5の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1.3 D = 1 + 9の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.2 D = 1 + 3, N = 1理論とD = 1 + 1, N = 1, 2理論 . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.3 D = 1 + 5, N = 1理論とD = 1 + 3, N = 2理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.4 D = 1 + 9, N = 1理論とD = 1 + 3, N = 4理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

第 8章 8個の超対称性電荷を持つゲージ理論 115

8.1 8個の超対称性電荷を持つゲージ理論とハイパー多重項 . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2 次元簡約と 1 + (d− 1)次元でのゲージ理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.3 一般的なD = 1 + 3, N = 2超対称性理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

付録A くり込み群と有効結合定数 124

付録B スピノール 128

B.1 時空 1 + 3次元でのスピノール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

B.2 フェルミオン場の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

B.3 一般次元でのフィルツ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

付録C N = 1超重力理論のまとめ 140

付録D N = 2超対称性と調和超空間 143

D.1 1+3次元でのスピノールの 2成分表記法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

D.2 N = 2超場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

D.3 調和超空間 (Harmonic superspace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

D.3.1 調和変数の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

D.3.2 解析的部分空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

D.3.3 ファイエ–ソーニウス多重項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

D.3.4 ハウ–シュテレ–タウンゼント多重項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

D.3.5 N = 2ゲージ超多重項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

D.3.6 ゲージ相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

D.3.7 超多重項の自己相互作用とハイパーケーラー模型 . . . . . . . . . . . . . . 159

参考文献 163

索 引 164

v

第 1 章

超対称性

最初に，超対称性とは何かということから始めよう．ここではまず超対称性

を考える動機のいくつかを手短かに述べ，簡単な模型を例にとって，超対称性

とは何かを説明する．さらに，そのような超対称性としては，いったいどのよ

うな種類のもの（代数）が可能なのか，また，どのような粒子状態が予言され

るのかを述べる．

1.1 なぜ超対称性を考えるのか?

1.1.1 ゲージ階層性の問題

標準模型

現在までの素粒子の実験は陽子の静止エネルギーの数百倍（数百GeV）以下

のエネルギーで行われており，結果はゲージ理論を用いて良く記述できる．こ

れらの相互作用は 3種類あり，強い相互作用は，3つの「色」と呼ばれる量子

数に結合するゲージ場を用いた SU(3)ゲージ理論として定式化されている．こ

れが量子色力学 (Quantum Chromodynamics) であるが，英語の略称を用いて

QCDと呼ばれている．電磁相互作用と弱い相互作用は SU(2)× U(1)ゲージ

理論として統一されている．これを電弱統一理論，またはワインバーグ–サラム

(Weinberg–Salam)模型と呼ぶ．このゲージ対称性を自発的に破って荷電ゲー

ジ粒子W±と中性ゲージ粒子 Zに質量を与えるために，ヒッグススカラーが必

要となる．物質粒子としては，フェルミオンであるクォークとレプトンだけがあ

る．レプトンは SU(3)の量子数を持たないが，クォークは持っており，SU(3)

の基本表現である．SU(2)の量子数はクォークもレプトンも持つが，特徴的な

のは，弱い相互作用がパリティを破ることを反映して，左巻き成分∗1）だけが

SU(2)の基本表現であり，右巻き成分は SU(2)の量子数を持たない．これに

*1） 粒子のスピンが進行方向に向いている粒子を右巻き，逆に向いている粒子を左巻きと呼ぶ．

第 2 章

1 + 3次元超対称性理論と超場形式

この章では，超対称性を具体的に場の理論として構成する方法を与える．その

ためには，時空を拡張して反交換するグラスマン数を加えた超空間を考え，そ

こでの場として超場を導入すると便利である．物質場を記述するためにカイラ

ル超場を導入し，ゲージ場を記述するために実スカラー超場を導入する．一般

的なラグランジアンの構成法を与え，摂動論での非くり込み定理を簡単に述べ

る．最後に，超対称な理論での内部対称性の破れの例を与える．

2.1 超空間と超場

超空間∗1）

定数のマヨラナスピノール θとして，次の性質を持つものを導入する．

θαθβ + θβθα = 0, α, β = 1, · · · , 4. (2.1)

このように，反交換する「数」を一般にグラスマン (Grassmann)数と呼ぶ．

時空の座標にこのグラスマン数を加えて，超空間の座標とする．

(xμ, θα). (2.2)

これから詳しく見るように，実は，この超空間における「ねじれた」平行移動

として，超対称性変換を理解することができる∗2）．

xμ → xμ′ = xμ +i

2εγμθ,

θα → θ′α = θα + εα.(2.3)

*1） A. Salam and J. Strathdee, Fortshritte der Physik, 26 (1978) 57. 本書の 4成分スピノールや超場の記法などは，ほぼこの総合報告に沿っている．ただし，γ5 は γ2

5 = 1

のほうが便利なので，i だけ異なる定義を採用している： γours5 = iγSS

5 ．*2） θ 方向だけへの単なる平行移動ではなく，同時に時空座標 xμ も変換する．このように，時空の平行移動という「ねじれ」が入っていることで，時空の対称性と一体となった超対称性が得られる．

第 3 章

超対称性の破れ

この章では，まず超対称性の破れが真空のエネルギー密度が正であるかどう

かで判定できることを述べる．超対称性が破れると，必然的に南部ゴールドス

トンフェルミオンという質量零のフェルミオンが生じ，低エネルギー定理が成

り立つ．次に，古典論のレベルで超対称性の破れを与える具体的な模型を述べ，

超対称性のソフトであらわな破れを分類する．最後に超対称性が自発的に破れ

たときには，ボソン・フェルミオンの質量差についての和則が成り立つことを

示す．

3.1 超対称性の破れのオーダーパラメーター

1 + 3次元で 4N 個の超対称性電荷の成分があるとき（拡張されたN 超対称性），拡張されたN 超対称性代数 (1.42)式は次の反交換関係を含む．

{Qiα, Qjβ} = (γμ)αβPμδij + (Sij + iγ5Vij)αβ, i, j = 1, · · · ,N (3.1)

γ0を掛けて 4成分スピノールのインデックス α と βを等しくして和をとる（す

なわち対角成分の和（トレース）をとる）と，任意の iに対し同一のハミルト

ニアンが得られる．

Hδij =14

∑α

{Qiα, Qj†α }. (3.2)

したがって，不定計量の場がない限り，真空のエネルギーは半正定値となる．

〈0|H|0〉 =14

(∑α,n

|〈n|Qiα|0〉|2 +∑α,n

|〈n|Qi†α |0〉|2)≥ 0. (3.3)

ここで iについては和をとらないで成り立つことに注意する．

1. もし超対称性が破れていなければ

Qiα|0〉 = Qi†α |0〉 = 0 ⇔ 〈0|H|0〉 = 0 (3.4)

である．すなわち真空のエネルギーは零である．

第 4 章

超対称標準模型

この章では，標準模型を超対称化して，超対称標準模型を導入する．具体的

に超対称性の破れを導入し，それを用いて，最小超対称標準模型ではヒッグス

粒子の中のもっとも軽いものが必ず加速器領域に出現するという予言を述べる．

さらに超対称性で予言されるさまざまな新しい粒子のスペクトルを考察する．

非くり込み定理を与え，それにもかかわらず理論のパラメーターはくり込みを

受けることを指摘する．その結果，ソフトであらわな超対称性の破れに起因し

て，量子補正でヒッグス粒子が電弱対称性を破ることを説明する機構が最小超

対称標準模型には自然に備わっていることを述べる．

4.1 超対称標準模型の概要

4.1.1 標準模型の超対称化

（最小）標準模型にはゲージ場，ヒッグス場と 3世代のクォークとレプトン

が含まれている．それらを超対称な理論にするには，それぞれ

ゲージ場 → ベクトル多重項

ヒッグス場 → カイラル多重項

クォーク・レプトン → カイラル多重項

として理論を超対称にする．超対称性理論では，後に述べる理由でSU(2)×U(1)

のハイパーチャージ Y が反対のヒッグス場を対にして，2種類用意しなければ

ならない点が重要である．

記述の便宜のために，カイラル多重項を表すカイラル超場はすべて左巻きで

表現する．たとえば，右巻き（右手系）uクォーク uR の反粒子は左巻きにな

る．これを左巻き反 uクォーク (uc)L と表す．この左巻き反 uクォーク (uc)Lを含むカイラル超場を Φu と表記する．したがって，右巻き uクォーク uR は

この左巻きカイラル超場の複素共役場 (Φu)†の中に含まれている．このように，

第 5 章

超対称大統一理論と陽子崩壊

この章では，まず超対称性を持たない大統一理論を述べ，それを超対称化し

た超対称大統一理論を解説する．この大統一理論で重要な予言となる陽子崩壊

現象を解析する．最後に超対称大統一理論の特徴を述べる．

5.1 大統一理論とは

5.1.1 標準模型の成果と欠点

1.1.1節で述べたように，現在までの実験事実は標準模型という形で良い記述

が得られている．この標準模型の成果は以下のようにまとめられる．

1. 電磁相互作用，弱い相互作用，強い相互作用という 3つの相互作用につい

て，ゲージ原理という原理に基づく共通の概念的理解ができた．

2. 荷電W 粒子，中性 Z 粒子，チャーム・クォーク，ボトム・クォーク，トッ

プ・クォークなど必然的に生じる新しい粒子を予言し，実際に観測された．

3. ゲージ理論を用いてくり込み可能な理論ができたので，量子論での高次効

果を系統的に計算できるようになった．

このような優れた成果を収めたが，標準模型にはまだ以下のような不満足な

点がある．

1. 標準模型はゲージ理論を共通に用いているが，実際には強い相互作用，弱

い相互作用，電磁相互作用という 3つの異なる相互作用に対応して 3つの

異なるゲージ結合定数を用いる．これらは理論で予言できず，実験で決め

るべきパラメーターである．

2. 自然界に存在する種々の粒子の電荷はすべて単位の量の整数倍になってい

る．標準模型では U(1)という群があり，この電荷は量子化される理由が

ないので，「電荷の量子化」を説明できない．

第 6 章

ウィッテン指数と低次元の超対称性

超対称性の破れを摂動論的に実現する模型は第 3章で述べたが，実際の模型

構築に当たっては，非摂動論的な方法が必要だと考えられる．非摂動論的な方

法で超対称性の破れを議論するには，ウィッテン (Witten) 指数という概念が

有用である．これは超対称量子力学とつながりがあるので，本章では，同時に

1 + 2, 1 + 1, 1 + 0などの低次元時空次元での超対称性理論を考察する．

6.1 1 + 1次元の超対称性と次元簡約

6.1.1 1 + 1次元のN = 1超対称性

まず 1 + 1次元の表記法をまとめておこう．ガンマ行列を

γ0 = σ2, γ1 = iσ1, γ3 = σ3, C2 = −γ0 (6.1)

ととる．ψ ≡ ψ†γ0, ψc ≡ C2ψT として，入れ替えの性質は

ψ1ψ2 = ψc2ψc1, ψ1γψ2 = −ψc2γψc1. (6.2)

ただし γ = γ3, γμ, γ3γμ である．この表示では，マヨラナスピノールは ψ =

ψc → ψ = ψ∗なので，実数となる．1 + 1次元でのフィルツ恒等式（変換）は，

OA = 1, γ3, γμ について和をとって定義される．

ψ1ψ2ψ3ψ4 = −12

∑A

(ψ1OAψ3)(ψ4OAψ2). (6.3)

さて θを 1 + 1次元のマヨラナスピノール θ = θcとする∗1）．このとき 1 + 1

次元のスカラー超場を

*1） 1+1 次元では，マヨラナかつワイルスピノールが可能であり，それを基本とするとカイラルな超対称性が定義できる．その場合（右と左で異なる数の超対称性電荷がある場合）には，正確を期するために，(1,0) などと表す．しかしローレンツ不変なラグランジアンはカイラルでない場合にしか書けないので，ここでは最小の非カイラルな超対称性をN = 1 と呼ぶ．カイラルな場合も含めれば，(1, 1) 超対称性と呼ぶべき理論である．

第 7 章

高次元超対称ゲージ理論と次元簡約

高い超対称性を持つ理論は高次元の理論から次元簡約によって得られる．特

に興味深いのは超対称ゲージ理論である．4, 8, 16個の超対称性電荷を持つゲー

ジ理論を，それが可能なもっとも高い次元で構成し，そこから系統的に次元簡

約することによって，さまざまな次元での高い超対称性を持つゲージ理論を与

える∗1）．これらの理論は非摂動効果の理解に有用であり，超弦理論の低エネル

ギー有効理論を含む．

7.1 一般論

1.3.2節で示したように，超対称なゲージ理論は N ≤ 4でのみ可能である．

これを得るもっとも簡単で系統的な方法は，高次元の N = 1 超対称ゲージ理

論から出発して，それを 1+3次元へ落とすことである．これには 1+9次元以

下の超対称ゲージ理論を調べればよい．ここでは偶数次元の場合に限って，ど

のような理論が可能かを調べてみる．

なお，時空の計量の符号は

ημν = diag.(+,−, · · · ,−) (7.1)

である．またガンマ行列は

{Γμ,Γν} = 2ημν (7.2)

を満たす．この場合，Γ0がエルミートであり，Γi, (i = 1, · · · , D− 1)が反エル

ミートであることに注意する．

そこで一般に，1 + 3次元の場合との類推で

S =∫dDx

[−1

4F IμνF

μνI + iλI∇/λI]

(7.3)

という作用を考えよう．ここで

*1） L. Brink, J. H. Schwarz and J. Scherk, Nucl. Phys. B121 (1977) 77.

第 8 章

8個の超対称性電荷を持つゲージ理論

高い超対称性を持つ理論のうち，もっともよく研究されている理論は 8個の

超対称性電荷を持つゲージ理論である．8個の超対称性電荷を持つ理論は 1 + 5

次元時空およびそれ以下の次元で存在し，ハイパー多重項という超対称多重項

を物質場として導入できる．これらの理論ではサイバーグとウィッテンによっ

て低エネルギー有効理論の厳密解が得られるなど，非摂動効果の理解が進展し

ている．

8.1 8個の超対称性電荷を持つゲージ理論とハイパー多重項

7.3節で構成したように，8個の超対称性電荷を持つ超対称なゲージ理論は，

1 + 5次元の N = 1超対称ゲージ理論として構成できる．1 + 5次元よりも低

い次元での 8個の超対称性電荷を持つゲージ理論はすべてこの理論を次元簡約

することで得られる．16個の超対称性電荷を持つゲージ理論ではゲージ場を含

む多重項以外に物質場を導入することはできないが，それより少ない 8個や 4

個の超対称性電荷を持つゲージ理論には，物質場を導入することができる．特

に，8個の超対称性電荷を持つ理論には物質場として，ハイパー多重項という

超対称多重項を導入できる．この理論にはゲージ対称性と別に 2つの 4成分超

対称性電荷の間の回転を表す大域的な SU(2)R 対称性がある．

ゲージ場を含むベクトル多重項の物理的粒子はゲージ場 V μI とゲージー

ノ λiI である．ここで I はゲージ群の生成子のラベルであり，i = 1, 2 は

SU(2)R の 2 重項のラベルである．前章と異なり，本節ではガンマ行列の表

示はどんな場合にも対応できるように，指定しないで扱う．通常のガンマ行列

Γμ の定義 {Γμ,Γ ν} = 2ημν 以外に，カイラルガンマ行列 Γ7 は (7.45) 式と

同じく Γ7 = Γ 0Γ 1 · · ·Γ 5 で定義され，荷電共役行列 C は (7.46)式と同じく

C−1ΓμC = −ΓμT で定義される．ゲージーノ λiI は次のような 2つの性質を

付録 A

くり込み群と有効結合定数

場の量子論では，摂動論的に量子効果を求めることができる．しかし，一般

に摂動論ではループを回るエネルギーが高いところで，量子効果が発散するこ

とがしばしば起こる．これを紫外発散と呼ぶ．しかし，性質の良い理論では，も

ともとのラグランジアンの中に入っている裸の結合定数 g0などのパラメーター

がこの発散を相殺して観測量は有限の値になるとして処理できる．このように，

発散を裸の量にくり込んで，観測される量はくり込まれた有限な量にすること

ができるとき，くり込み可能であるという．1 + 3次元でのゲージ相互作用や湯

川相互作用は，このくり込み可能な場合になっている∗1）．

発散を制御して意味のある操作を定義するためには，ファインマン図形を用

いて量子効果を計算する際に，計算の各段階で，発散するファインマン図形を有

限量にしておかねばならない．これを正則化と呼び，たとえば，ループ運動量

に上限を置くなどする．この場合は，運動量の切断 Λで正則化のパラメーター

が与えられる．裸の理論はこのように，正則化して始めて意味のあるものなの

で，裸の結合定数と切断などの正則化パラメーターとをひとまとめにして初め

て理論が定義されることになる．一方，結合定数をくり込むためには，どこか

のエネルギー μ で観測された結合定数 g(μ)を用いて値を固定する．このくり

込みを行うエネルギーは，人間の都合で勝手に選んだものであるから，物理的

な結果がその選択に依存するのはおかしい．くり込みを行うエネルギー μを変

えると同時に，くり込まれた結合定数の値 g(μ)も変えれば，もともと与えられ

た同一の裸の理論に対応するようにできるはずである．

(g0,Λ)↔ (g(μ), μ). (A.1)

このくり込み点の変化に応じたくり込まれた結合定数の変化を記述するのがく

り込み群方程式である．

*1） くり込みとくり込み群および有効結合定数の簡単な記述については，たとえば [4] を参照するとよい．より詳しい説明については，たとえば [3] を参照．

付録 B

スピノール

B.1 時空 1 + 3次元でのスピノール

まず時空 1 + 3次元での表記法などをまとめると

計量の符号 ημν = (+−−−). (B.1)

γ 行列 {γμ, γν} = 2ημν . (B.2)

　 γ5 = iγ0γ1γ2γ3, σμν =i

2[γμ, γν ] . (B.3)

ローレンツ共役スピノール ψ = ψ†γ0. (B.4)

荷電共役行列 C−1γμC = −γTμ , C = −CT , C−1 = C†. (B.5)

荷電共役スピノール ψc = CψT . (B.6)

マヨラナ (Majorana)スピノール ψ = ψc. (B.7)

1 + 3次元では 4成分スピノールが基本である∗1）．もともと 4成分スピノー

ル ψは複素量である．その複素共役 ψ∗ はローレンツ変換のもとで良い変換性

を持たないので，(B.4)式のように少し並べ替えて，ローレンツ共役スピノール

ψを定義する∗2）．これを用いると，ガンマ行列の多項式を間にはさんだ双一次

形式 ψγμψなどがローレンツ変換のもとでその添え字に応じたベクトルやテン

ソルとして変換する．複素共役（量子化して場の演算子とした場合はエルミー

ト共役）すると，スピノールの 2次形式は

(θψ)† = ψθ (B.8)

となる．

荷電共役変換した場 ψc は，本質的に複素共役した場であるが，単に複素共

役したスピノール ψ∗も，また，ローレンツ共役したスピノール ψT も，ローレ

*1） 質量がない場合は 2 成分スピノールでも記述できる．*2） ローレンツ変換の群はコンパクトでないので，有限次元のユニタリー表現を持たないためである．

付録 C

N = 1超重力理論のまとめ

超対称性理論が重力と相互作用すると超重力理論になる．超重力理論は，大

域的な対称性である超対称性を，局所的なゲージ対称性にしたものになってい

る．1 + 3次元での超重力理論をもっとも効率よく定式化するのは，共形超重力

理論をゲージ固定する立場であろう．この立場では，もともとスケールを含ま

ない共形不変性を持った超重力理論から出発して，スケール不変性などの余分

な対称性をゲージ固定することによって，超重力理論を得る．得られた理論は，

必要な数の補助場があり，場の方程式を用いることなしに超重力理論の代数を

満たす．ニュートン重力定数を零にする極限で，（ウェス–ズミノゲージでの）超

対称性理論を与える．ここでは超重力を導出することは紙数の関係で他の教科

書に譲ることにして，本文で参考になる結果だけをまとめておく．また，ギリ

シャ文字の添え字 μ, ν, · · ·で一般座標変換のもとで共変的に変換する量を表し，ローマ字の添え字 a, b, · · ·で局所ローレンツ変換のもとで共変的に変換する量を表す．

超重力多重項：(eμa, ψμ,M,Na).

このうち，重力子の自由度を表すのは 4脚子 (Vierbein) eμaであり，その行

列式を e ≡ deteμa と表記する．時空の計量は gμν ≡ ηabeμaeμb で与えられる．スピン 2の重力子の超対称パートナー ψμ はスピン 3/2粒子でグラビティーノ

と呼ばれる．他の場M,Na は独立の自由度を持たない補助場である．

カイラル多重項：Φi = (Ai, ψi, F i).

物質場は大域的な超対称性の場合と同様，カイラル多重項で与えられる．そ

の成分場のうち，Aは複素スカラー場であり，ψは複素 2成分ワイルスピノー

ルである．さらに F は複素スカラー補助場である．ここでは簡単のため，すべ

て左巻きカイラル多重項であるとし，左巻きを表す添え字 −を省略する．

超ポテンシャル：W (Φ) はカイラル超場の任意関数である．

付録 D

N = 2超対称性と調和超空間

拡張された N = 2超対称性理論の質量殻外形式として，調和超空間の方法

が知られている∗1）．ここではその形式の概略をまとめておくことにする．この

場合は，スピノールに関して 2成分表記がもっともよく使われるので，混乱を

避けるため，付録としてまとめることにした．

D.1 1+3次元でのスピノールの 2成分表記法

ここではまず，1+3次元でのスピノールの 2成分表記法についてまとめてお

く．(B.11)に与えたワイル表示でのディラック場を

ΨD =

(ϕα

χα

)(D.1)

と書く．ここで α, αは (1, 2)を動くスピノール添え字である．それらは

ϕα = εαβϕβ, χα = εαβχβ , ε12 = ε21 = −ε21 = −ε12 = 1 (D.2)

によって，上げ下げされる．（4成分表記のときは，スピノール添え字の上げ下

げで符号はつかない．）またこの 2成分スピノールに作用する 2× 2の行列を

σμ = (1, σx, σy, σz), σμ = (1,−σx,−σy,−σz),σμαα = εαβεαβσμ

ββ(D.3)

と定義する．これらは，4次元でのワイル表示を用いれば，簡単に関係がつけ

られる．

有用な公式として

*1） A. Galperin et al., Class. Quant. Grav. 1 (1984) 469; A. Galperin et al. , Class.

Quant. Grav. 2 (1985) 601, 617; N. Ohta and H. Yamaguchi, Phys. Rev. D 32

(1985) 1954; N. Ohta, H. Sugata and H. Yamaguchi, Ann. Phys. 172 (1986) 26; N.

Ohta, Phys. Rev D 32 (1985) 1467; A. Galperin et al. Comm. Math. Phys. 103

(1986) 515. 総合報告として，[11] がある．

参考文献

[1] 西島和彦著，「相対論的量子力学」培風館，でディラック方程式など相対論的量子力学を学ぶこ

とができるが，本書で必要な程度の簡単な解説は [4] の第 1章や，[2] の付録にもまとめがある．

場の量子論の初等的な教科書としては，

[2] 坂井典佑著，「場の量子論」裳華房，2002．

場の量子論のより高度な教科書としては，

[3] 九後汰一郎著，「ゲージ場の場の量子論 I, II」培風館，1989．

素粒子物理学の全般的な教科書としては，

[4] 坂井典佑著，「素粒子物理学」培風館，1993，

[5] 牧二郎・林浩一著，「素粒子物理」丸善，1995，

[6] 原康夫・稲見武夫・青木健一郎著，「素粒子物理学」朝倉書店，2000．

超対称性のより本格的な教科書としては，

[7] J. Wess and J. Bagger, “Supersymmetry and Supergravity”, Princeton Univ. Press, 1992,

[8] S. Weinberg, “The quantum theory of fields III”, Cambridge Univ. Press, 2000.

超弦理論の教科書としては，

[9] 太田信義著，「超弦理論・ブレイン・M理論」シュプリンガー・ジャパン，2002．

第 4章参考文献：最小超対称標準模型を用いた現象論をさらに勉強するための参考文献はたく

さんあるが，たとえば

[10] M. Dine, Supersymmetry Phenomenology, hep-th/9612389,

P. Ramond, “Journeys Beyond the Standard Model”, Perseus Books, 1999.

調和超空間の教科書としては

[11] A. S. Galperin, E. A. Ivanov, V. I. Ogievetsky and E. S. Sokatchev, “Harmonic Super-

space”, Cambridge Univ. Press, 2001.

索 引

アアインシュタインの和の規約　 11, 35

アノマリー媒介模型　 76

暗黒物質　 73

一般化されたウェス–ズミノ模型　 35

入れ替え (flip)の性質　 131

ウィーノ　 62, 72

ウィッテン指数　 99

ウェス–ズミノゲージ　 40

ウェス–ズミノゲージでの超対称性変換　 44

ウェス–ズミノ模型　 12

宇宙項　 142

宇宙黒体放射　 87

宇宙定数　 142

演算子解析の方法　 88

オーダーパラメーター　 48

オラファティ模型　 56

カ階数 (rank)　 79

解析的基底 (Analytic basis)　 148

解析的超場 (Analytic superfield)　 149

カイラリティ　 129

カイラル　 20, 21

カイラル射影　 129

カイラルスピノール　 129

カイラル対称性　 5

カイラル多重項　 11

カイラル超場　 29

カイラルフェルミオン　 3

拡張された N 超対称性代数　 47

拡張された超対称性　 15

隠れたセクター　 74

擬南部ゴールドストン (PNG) フェルミオン　 10,

50

逆遮蔽　 127

共変的にカイラル　 157

局所的対称性　 36

クォーク　 1

グラビティーノ　 73

くり込み可能　 124

くり込み群方程式　 2, 124

くり込み点　 2

くり込み点によらないスケール　 3

グルーイーノ　 62

ゲージーノ　 62

ゲージ運動関数　 37

ゲージ階層性　 5, 8

ゲージ媒介模型　 76

ケーラー空間　 35

ケーラー計量　 35

ケーラー変換　 34

ケーラーポテンシャル　 34

結合定数のくり込み　 125

拘束がある系　 136

拘束条件　 136

コールマン–マンドゥーラの定理　 16

サ最軽量超対称性粒子 (LSP)　 73

最小 SU(5)模型　 82

最小超重力理論　 75

最小超対称標準模型 (MSSM)　 63, 65

次元簡約 (dimensional reduction) 　 92, 93, 108,

118

次数つき代数　 16

実スカラー超場　 26, 36

シャーク–シュワルツ簡約　 118

遮蔽効果　 126

真空偏極　 126

シンプレクティック・マヨラナスピノール　 116

スカラー超場　 26

スカラー電子　 62

スクォーク　 62

スケール不変性　 7

スプーリオン　 58

スレプトン　 62

正則化　 124

世代　 2

漸近自由　 3, 126

ソフトな破れ　 58, 66

タ第 1類拘束　 136

第 2類拘束　 136

大域的対称性　 36

大統一理論 (Grand Unified Theory)　 4, 78

小さな多重項　 24

チャージーノ　 72

中心基底 (Central basis)　 148

中心電荷　 17, 24, 145

超共変微分　 28

超空間　 25

超弦理論　 9

超対称ゲージ理論　 21

超対称性が部分的に破れる　 48

超対称性カレント　 14

超対称性代数　 14

超対称性電荷　 14

超対称性変換　 13, 27

超対称な作用　 32

超対称量子力学　 95

超トレース　 60

超ポテンシャル　 33

調和超空間　 146

調和変数　 146

調和変数の共変微分　 147

調和変数の性質　 146

調和変数の積分　 147

ディラック括弧　 136

電荷の量子化　 78

電弱統一理論　 1

閉じ込め　 9

ナ南部ゴールドストン (NG)定理　 10, 44

南部ゴールドストン (NG)フェルミオン　 10, 49

南部ゴールドストン (NG)ボソン　 10

南部ゴールドストン (NG)粒子　 10, 44

2次発散　 6

ニュートラリーノ　 73

ハハーク–ロプスザンスキ–ソーニウスの定理　 17

ハイパーケーラー計量　 162

ハイパーケーラー多様体　 159

ハイパー多重項　 20, 115

ハイペリーノ　 116

ハウ–シュテレ–タウンゼント多重項　 155

波動関数のくり込み　 125

場の強さを含む超場　 37

半単純群　 78

非アーベルゲージ理論　 21

ビアンキ (Bianchi)恒等式　 105

ビーノ　 62

非くり込み定理　 8, 38

非摂動論　 9, 100

非線形シグマ模型　 35

左巻き　 1

左巻き（左手系）カイラル超場　 29

ヒッグシーノ　 62, 72

ヒッグス機構　 44

ヒッグススカラー　 1

標準的な運動項　 35

標的空間　 35

ファイエ–イリオプロス項　 38, 44

ファイエ–ソーニウス多重項　 151

フィルツ恒等式（変換）　 91, 131, 137

複合模型（テクニカラー模型）　 8

複素表現　 79

ブレーンワールド　 9

プレポテンシャル　 123

ベータ関数　 2, 125

ベクトル的　 21

ヘリシティ　 19, 129

補助場　 12, 48

ママヨラナスピノール　 11

右巻き　 1

右巻き（右手系）カイラル超場　 29

モジュライ　 56

ヤヤコビ恒等式　 14

ヤン–ミルズ (Yang–Mills)理論　 21

有効結合定数　 3, 126

ユニタリーゲージ　 45

165

陽子崩壊　 86

横超場　 29

余剰次元模型　 9

ラ量子異常　 7

量子色力学 (Quantum Chromodynamics)　 1

レプトン　 1

ワワイルスピノール　 129

ワイル表示　 129

ワインバーグ角　 69, 83

ワインバーグ–サラム (Weinberg–Salam)模型　 1

欧字1 + 1次元のスカラー超場　 91

1 + 1次元の超共変微分　 92

1 + 1次元の超対称性変換　 92

BPS状態　 24

CPT変換　 19

D 型項　 38

D 型ポテンシャル　 42

D 成分　 32

F 型項　 38

F 成分　 32

GIM機構　 74

LSP　 73

MSSM　 63, 65

NGフェルミオン　 49

NGフェルミオンの崩壊定数　 50

QCD　 1

R対称性　 17, 64

Rパリティ　 65

SU(2)R 対称性　 115

Taub-NUT計量　 162

166 索 引

著者略歴

太おお田た信のぶ義よし

1982 年 東京大学大学院理学系研究科博士課程修了，理学博士．1982 年–1983 年 日本学術振興会奨励研究員，イタリア INFN（ローマ）研究員1983 年 大阪大学助手1988 年 大阪大学講師1990 年 大阪大学助教授

この間，テキサス大学オースティン校，セルン（欧州素粒子研究所），フェルミ研究所（米国），ノルディタ（北欧理論物理学研究所）客員研究員．

2006 年 近畿大学理工学部理学科教授．現在に至る．専 門 素粒子論，超弦理論主要著書一般物理学上・下　丸善パリティ物理学コース（丸善，1992 年）．超弦理論・ブレイン・M 理論（シュプリンガー・ジャパン，2002 年）．素粒子（物理学大事典（鈴木増雄他編），朝倉書店，2005 年）．

坂さか井い典のり佑すけ

1972 年 東京大学大学院理学系研究科博士課程修了，理学博士．1972 年–1975 年 日本学術振興会奨励研究員，西独マックスプランク物理学研究所

研究員，英国ラザフォード研究所研究員1975 年 東北大学理学部物理学科助手1978 年–1997 年 セルン（欧州素粒子研究所），ノルディタ（北欧理論物理学研究所），

フェルミ研究所の客員研究員，高エネルギー物理学研究所助教授，東京工業大学理学部物理学科助教授（1983 年），同教授（1990 年）等を経て，

1998 年 東京工業大学大学院理工学研究科基礎物理学専攻教授．2009 年 東京女子大学文理学部教授，東京工業大学名誉教授2013 年 慶應義塾大学自然科学研究教育センター訪問教授．現在に至る．専 門 素粒子理論，特に超対称性理論主要著書素粒子物理学　物理学基礎シリーズ 10（培風館, 1993 年）．量子力学 I 基礎物理学課程（培風館, 1999 年），量子力学 II 基礎物理学課程（培風館,2000 年）．場の量子論 裳華房フィジックスライブラリー（裳華房，2002 年）．

臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ- 51

『超対称性理論 現代素粒子論の基礎として』（電子版）

著　者 太田 信義・坂井 典佑2016年 4 月 25日 初版発行 ISBN 978–4–7819–9906–7

この電子書籍は 2006年 11月 25日初版発行の同タイトルを底本としています．

数 理 科 学 編 集 部 発行人 森 平 敏 孝TEL.(03)5474–8816

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