Title 格子の自由度と結合した二次元反強磁性 Heisenberg 模型における希釈効果の研究( Text_全文 )

Author(s) 宮良, 翔太

Citation

Issue Date 2019-03

URL http://hdl.handle.net/20.500.12000/44447

Rights

博士（理学）学位論文

Doctoral Dissertation of Science

格子の自由度と結合した

二次元反強磁性 Heisenberg模型における希釈効果の研究

Study of Dilution Effects in the Two-DimensionalAntiferromagnetic Heisenberg Model Coupled to the

Lattice Degree of Freedom

2019年 3月

March 2019

宮良　翔太

Shouta Miyara

琉球大学

大学院理工学研究科

生産エネルギー工学専攻

Material, Structural and Energy Engineering Course

Graduate School of Engineering and Science

University of the Ryukyus

博士（理学）学位論文

Doctoral Dissertation of Science

格子の自由度と結合した

二次元反強磁性 Heisenberg模型における希釈効果の研究

Study of Dilution Effects in the Two-DimensionalAntiferromagnetic Heisenberg Model Coupled to the

Lattice Degree of Freedom

2019年 3月

March 2019

宮良　翔太

Shouta Miyara

琉球大学

大学院理工学研究科

生産エネルギー工学専攻

Material, Structural and Energy Engineering Course

Graduate School of Engineering and Science

University of the Ryukyus

指導教員：准教授　安田　千寿

Supervisor : Assoc. Prof. Chitoshi Yasuda

本論文は、博士（理学）の学位論文として適切であると認める。

i

ii

研究概要

擬一次元量子スピン系には興味深い現象が多数存在する．その中の一つに spin-Peierls(SP)

転移がある．SP物質は SP転移を起こすと，格子歪みを伴う非磁性状態へと相転移する．

有機 SP物質ではフォノンのソフト化によって格子歪みが生じる．SP転移の特徴は低温の

帯磁率に良く現れ，SP転移前の高温の帯磁率ではBonner-Fisher曲線で説明できるが，SP

転移後の低温の帯磁率は急激に０に向かって減少する．

SP系に対する研究は無機 SP物質CuGeO3の発見により再興した．これはCuGeO3が有

機 SP物質よりも不純物を含む化合物の合成が容易であるので，不純物効果に対する様々

な実験が行われたことに起因する．原子置換したCuGeO3は低温において反強磁性長距離

秩序 (AFLRO)を示す．さらに，低濃度領域において SP状態とAFLROが共存する状態を

示すことが中性子散乱実験により明らかにされた．AFLROと SP状態の共存状態は有効

磁気モーメント（有効スピン）の観点から理解されている．系に乱れを与えたとき，不均

一な部分の周りに局所的な有効スピンが誘起する．有効スピンはシングレットダイマーが

敷き詰められている領域（シングレットの海）を介して有効的に相互作用をする．このと

き，有効相互作用は乱れを与える前のスタッガード性を保存している．その結果，AFLRO

と SP状態の共存が発現するとされた．

しかし，CuGe1−xSixO3に対する核四重極共鳴（NQR）実験の結果から有効スピンが不

純物の周りに観測できないと報告されている．すなわち，不純物から離れて有効スピンが

誘起していることを意味する．その場合，有効スピンの局所性が保たれず，シングレット

の海が強く乱される可能性があり，AFLROの発現は自明ではなく，この現象はこれまで

の理論的な研究結果と矛盾する．

我々はこの矛盾点は理論的研究において鎖間相互作用を平均場近似で取り扱ったことに

起因すると考えている．本研究の目的は，格子の自由度と結合した S = 1/2二次元反強磁

性 Heisenberg模型において鎖間のスピン間相互作用を近似無しに取り扱った場合，有効

スピンが不純物から離れて安定化するかを調べることと，有効スピンが不純物から離れる

場合のAFLRO発現の可能性を探ることである．

我々は有効スピンが安定化する位置を調べるために，二次元格子に対してサイトまたは

ボンド希釈を行い，2タイプの格子歪みを希釈部位間の格子に与えた．A-typeは希釈のな

iii

い鎖と同様なボンド交替となるタイプであり，有効スピンは希釈部位の最近接サイトに出

現すると予想される．B-typeは希釈部位の隣のボンドがシングレットダイマーを形成し，

中心に向かうに連れて格子歪みの振幅が減衰していき，鎖の中心近傍にキンクを持つよう

なタイプである．B-typeではキンク近傍に有効スピンが出現すると予想される．そして，

我々は連続虚時間ループアルゴリズム量子モンテカルロ法（QMC）を用いてエネルギー

の比較を行い，基底状態の相図の作成を行った．その結果，我々は大きい希釈濃度と弾性

定数，小さい鎖間の交換積分の領域で B-typeが安定化することを見出した．

次に，有効スピンが希釈サイトから離れた場合の絶対零度におけるAFLROの発現可能

性を調べた．希釈部位間の格子歪みはNQR実験の結果から得られた状況を再現するため

に，B-typeの格子歪みであると仮定した．AFLROの有無はQMCを用いてスタッガード

磁化を計算することで評価した．本研究の模型はランダムネスを持つ系であるので，様々

な希釈サイトの配置をランダムに与えて静的構造因子を計算し，その平均値でスタッガー

ド磁化を評価した．この場合，希釈サイト間の距離が希釈サイトの配置によって変わるの

で，格子歪みを最適化しなければならないが，本研究の模型のようにランダムネスがあ

る場合は計算が大規模になる．従って，開放境界条件の一次元系の格子歪みでは有効スピ

ンが鎖端から離れることを用いて，希釈サイト間の格子歪みは一次元的な格子歪みが実

現していると仮定した．この取り扱いで用いる一次元系の格子歪みはQMCを用いた自己

無撞着計算により求めた．また，比較のためにA-typeを仮定した場合のスタッガード磁

化も計算した．我々はこのような計算を行い，有効スピンが希釈サイトから離れて誘起す

る場合もスタッガード磁化は有限になり，AFLROが発現することを発見した．しかしな

がら，ボンド交替系と比べてその値は小さくなっており，AFLROが発現しにくい状況と

なっていることがわかった．その原因を探るために我々は最近接スピン相関関数の分布，

コラムナー型のダイマー秩序変数によるシングレットの海の状態の調査と局所場帯磁率

による有効スピンの調査を行った．その結果から，有効スピンが希釈サイトから離れてい

るB-typeの場合，コラムナー型のダイマー秩序変数の値は消失していることが分かった．

最近接スピン相関関数の分布では，B-typeにおけるシングレットの海に対応するピークの

値はA-typeより小さくなっているが，値は有限であった．さらに，局所場帯磁率の結果

ではB-typeの有効スピンの強さはA-typeより弱くなっているが，有効スピンの幅は同程

度であった．このことから，シングレットの海は強く乱されるが存在し，有効スピンの強

さが弱くなっていることが分かった．そして，有効スピンの局在性は失われていないこと

が判明した．我々は，AFLRO発現の困難さはシングレットの海の乱れと有効スピンの強

さが弱くなったことによるものだと結論づけた．

我々は格子の自由度と結合した二次元系において有効スピンは必ずしも不純物に束縛さ

iv

れないことを明らかにした．また，有効スピンが不純物から離れて誘起する場合において

も，有効スピンが局在性を保ち，弱くともシングレットの海が存在することでAFLROが

誘起することを示した．これらのことは平均場近似を用いた従来の研究とは異なる結果

である．これらの結果は，現実の SP化合物において，小さい鎖間積分や大きい不純物濃

度，強い弾性定数の領域で有効スピンが不純物近傍に観測されないことを示唆するもので

ある．

v

Abstract

In the quasi-one-dimensional quantum spin systems, there are interesting phenomena. One

of those is the spin-Peierls (SP) transition. The lattice spontaneously distorts and the spin-gap

state is realized at the SP transition temperature. Such the nonmagnetic state is called the SP

state. The lattice distortion is caused by the softening phonon in the organic SP materials.

The property of the SP transition appears in the magnetic susceptibility in a low-temperature

region. Although the susceptibility exhibits the Bonner-Fisher curve above the SP transition

temperature, it decreases to zero below the SP transition temperature.

Research studies on the SP systems have been revived by the discovery of CuGeO3, which

is an inorganic compound, because various experimental studies for impurity effects were per-

formed owing to easier synthesis of impurity-doped compounds than the organic SP materials.

The understanding of impurity effects on the SP systems has progressed by several experiments

for the impurity-doped CuGeO3. The impurity-doped CuGeO3 shows the antiferromagnetic

long-range order (AFLRO) at low temperatures. In these compounds, furthermore, the neutron

scattering experiments show that the AFLRO coexists with the SP order in low concentrations

of the impurity. This phenomenon was understood in the context of the randomness-induced

magnetic moment (an effective spin). When the SP systems have randomness, the effective spin

arises locally around the inhomogeneous part. These effective spins interact with each other

through the effective interaction with the staggeredness of the nondiluted SP system. The re-

gion that mediates the effective interaction is called a singlet sea. Thus, the AFLRO can appears

with the SP order.

It was reported, however, that the effective spin does not appear near the impurity in the

result of Cu nuclear quadrupole resonance (NQR) measurements for the Si-doped CuGeO3.

This result means that the effective spin arises away from the impurity. The effective spin has

been thought to arise near the impurity within the mean-field approximations. Although the

localization of the effective spin and the singlet sea are needed in order to induce the AFLRO,

those might not be realized in the case where the effective spins arise away from the impurities.

Therefore, the appearance of the AFLRO is not obvious. The theoretical studies within the

vi

mean-field approximations contradict with the NQR result.

In this work, we investigate whether the effective spin arises away from the diluted site and

bond in the S = 1/2 two-dimensional antiferromagnetic Heisenberg model coupled to the lattice

degree of freedom. Furthermore, we also investigate whether the AFLRO is induced by site

dilution in the system with the lattice distortions expected from the NQR study. We treat the

interchain and intrachain interactions on an equal footing.

We assume two types of the lattice distortion between the diluted parts. The A-type of the

lattice distortion shows the bond-alternated pattern such as the lattice pattern realized in the

nondiluted system, and the effective spin is expected to be bound near the diluted part. In

The B-type of the lattice distortion, the nearest-neighbor bonds of the diluted parts form the

singlet dimer, and a kink arises at the midpoint of the open chain. The effective spin is expected

to appear at the same position of the kink. Comparing the total energies of those distortion

patterns by performing the continuous-imaginaly-time loop-algorithm quantum Monte Calro

simulations (QMC simulations), we determined the phase diagram. Thus, we found that the B-

type stabilizes for large concentrations of dilution, large elastic constants, and small interchain

interactions in the ground state.

Next, we investigate whether the AFLRO is induced by site dilution. The lattice distortion

between the diluted sites is regarded as the B-type to recreate the situation obtained by the

NQR measurements. The appearance of the AFLRO was evaluated by calculating the staggered

magnetization by the QMC simulations. We evaluate the average of the static structure factor

over random configurations of the diluted sites. The lattice distortions have to be optimized,

because the lengths between the diluted sites are different corresponding to diluted-site coordi-

nations. The randomness of the system gives the very long time of the calculation. Therefore,

we assume that the lattice distortions between the diluted sites are the same as those in the one-

dimensional systems, for simplicity, because the effective spin in the one-dimensional systems

with the open boundary condition is known to arise away from the chain edges. The distortions

of the one-dimensional system were obtained by performing the self-consistent calculation with

the QMC simulations. For comparison, the staggered magnetization for the A-type system was

also calculated. We found that the AFLRO appears, even if the effective spin arises away from

the diluted site. However, the staggered magnetization for the B-type system is smaller than

that for the A-type system. The decrease in the staggered magnetization means that the AFLRO

is hard to appear in the B-type system.

We considered the states of the singlet sea and effective spin as the origins of the smaller

vii

staggered magnetization of the A-type system than that of the B-type system. In order to in-

vestigate the state of the singlet sea, we calculated the columnar-type dimer-order parameter

and the distribution of the nearest-neighbor spin correlation. In the result of the calculations of

the columnar-type dimer-order parameter, the peaks showing the A-type lattice distortion exist.

On the other hand, the peaks showing the B-type lattice distortion vanish. In the result of the

calculations of the nearest-neighbor spin correlation, the peaks showing the B-type are smaller

than those showing the A-type. These peaks correspond to the state of the singlet sea. In the

results of the calculations of the local-field susceptibility, while the height of the effective spin

in the B-type system is smaller than that in the A-type system, the width of the effective spin

in the B-type system is as wide as that in the A-type system. It is found that the singlet sea is

disturbed strongly but exists in the B-type system. Moreover, the effective spin becomes small

but has the localization. We concluded that the disturbance of the singlet sea and the weakening

of the effective spins cause the difficulty of the appearance of the AFLRO.

This work revealed that the effective spin can arise away from the impurity in the two-

dimensional systems coupled to the lattice degree of freedom, and the AFLRO is induced by

the impurity. These results are different from the traditional results with the mean-field approx-

imation. We suggest that the impurity-induced effective spin of the SP materials is not observed

near the impurity for large concentrations of dilution, large elastic constants, and small inter-

chain interactions.

viii

研究関連論文業績

【学術論文（査読付き）】

1. Chitoshi Yasuda and Shouta Miyara, Position of Effective Spins Induced by Dilution in

Two-Dimensional Spin-Peierls Systems. Journal of the Physics Society of Japan, 87,

014704 (2018).

2. Shouta Miyara and Chitoshi Yasuda, Antiferromagnetic Long-Range Order for S = 1/2

Two-Dimensional Site-Diluted Heisenberg Model Coupled to Lattice Degree of Freedom.

Journal of the Physics Society of Japan, 87, 104702 (2018).

ix

謝辞

本論文は筆者が琉球大学大学院理工学研究科生産エネルギー工学専攻博士後期課程に在

籍中の研究成果をまとめたものです．指導教員の安田千寿先生には本研究のテーマを研究

する機会を与えて頂き，また，その遂行にあたって終始，丁重なご指導を頂きました．そ

して，学部在籍時から現在に至るまで，勉学や研究に関する事柄のみならず，生活面等に

対するご教示を頂きました．安田千寿先生に師事できたことを幸いに存じます．ここに深

く感謝の意を表します．本論文の審査を通してご助言を賜りました稲岡毅先生，並びに，

椎名亮輔先生に感謝致します．おかげさまで、本論文はより良いものに仕上がりました．

同窓である平良翔吾氏とは，学部在籍時から勉学等で互いに支え合い，また，本研究遂行

時には，議論に付き合って頂きました．ありがとうございました．最後に，精神面と金銭

面でご助力頂いた両祖父母，父，妹，妻，多くの友人に感謝致します．

本論文内の研究の一部は，東京大学物性研究所スーパーコンピューターセンターの施設

を利用して遂行されました．

x

目次

第 1章 序論 3

1.1 Spin-Peierls転移の物性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 有機 spin-Peierls物質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 無機 spin-Peierls物質 CuGeO3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 CuGeO3の不純物置換効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Spin-Peierls系に関するこれまでの理論的研究 . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Spin-Peierls転移に関する理論的な研究の発展 . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Spin-Peierls状態と反強磁性状態の共存及び不純物誘起長距離秩序

に関する理論的研究 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 有効スピンの誘起位置についての議論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 CuGe1−xSixO3に対する核四重極共鳴・核磁気共鳴測定実験 . . . . . 17

1.4.2 格子の自由度と結合した一次元反強磁性 Heisenberg模型における

格子歪みと有効スピンの数値的研究 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.3 格子の自由度と結合した二次元反強磁性 Heisenberg模型における

格子歪みと有効スピンの数値的研究 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 本研究の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 本論文の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

第 2章 格子の自由度と結合した一次元反強磁性Heisenberg模型 21

2.1 計算方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 希釈のない一次元系の格子歪みと有効スピン . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 一次元系の格子歪み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 収束の困難性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 サイト希釈系の計算結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

第 3章 格子の自由度と結合した二次元反強磁性Heisenberg模型における有効スピ

ンの誘起位置 36

3.1 二次元 pure系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1

3.2 二次元 impure系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 サイト希釈系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.2 ボンド希釈系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

第 4章 格子の自由度と結合した二次元反強磁性Heisenberg模型における反強磁性

長距離秩序の発現 49

4.1 計算方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 格子の自由度と結合した二次元Heisenberg模型におけるスタッガード磁化 50

4.3 シングレットの海の乱れと有効スピンの変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1 シングレットの海の乱れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.2 有効スピンの強さと幅の変化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

第 5章 まとめ 60

付録A 量子モンテカルロ法 64

A.1 Markov連鎖モンテカルロ法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.1.1 Markov連鎖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.1.2 定常Markov連鎖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A.1.3 Markov連鎖モンテカルロ法の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A.1.4 詳細釣り合い条件を満たす遷移確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.2 経路積分モンテカルロ法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A.2.1 Suzuki-Trotter分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A.2.2 一次元反強磁性Heisenberg模型の経路積分表現 . . . . . . . . . . . 71

A.3 ループアルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.3.1 ループアルゴリズムの詳細 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.3.2 連続虚時間ループアルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.3.3 Improved estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2

第1章 序論

我々は，格子の自由度と結合した二次元量子スピン系における不純物誘起有効磁気モー

メントに着目した研究を行う．格子の自由度と結合した量子スピン系もしくはスピン-フォ

ノン系には spin-Peierls (SP)転移という興味深い性質がある．以下では，実際の spin-Peierls

物質に対する現在までの研究成果とともにその性質を紹介する．

1.1 Spin-Peierls転移の物性

1.1.1 有機 spin-Peierls物質

SP転移は，実験的研究に先行し，1960年代に Peierls 転移に関連した理論的研究で見

つかっていた [1–3]．実際の物質における SP 転移は，1975年に Brayらによって TTF-

MBDT (TTF=Cu6S4H4, M= Cu, Au, Pt, Ni, BDT=S4C4(CF3)4)という有機物で初めて観測さ

れた [4,5]．TTF-MBDTは，スピンが S=1/2（TTF+上の不対電子によるスピン）の反強磁

性鎖である．このような物質で SP転移が起きると，格子が交互に歪み，各スピン対がスピ

ンシングレット状態になる（Fig.1.1）．その結果，系にはスピンギャップが生じ，系は非磁

性となる．この転移温度はTTF-AuBDTでは 2Kで，TTF-CuBDTでは 11K [6]である．ま

た，その後にTTF-CuBDSe [7]やMEM-(TCNQ)2（MEM=C7H16NO, TCNQ=C12H4N4）[8]

でも SP転移が発見された．

実験的に SP転移の特徴は帯磁率に見ることができる．Fig. 1.2において低温での転移

点 TSPより高温では，帯磁率の温度依存性は一次元反強磁性 Heisenberg模型の特徴であ

るBonner-Fisher曲線 [9]の形をしている．しかし，TSP以下では帯磁率の値が指数関数的

に 0に近づく．この結果は，TTF-MS4C4(CF3)4の基底状態が非磁性であり，エネルギー

ギャップがあることを示している．また，注目すべき実験結果としてソフト・フォノンの

存在がある [6,10]．TSP以下で，鎖内のフォノンはソフト化し，これが格子変形を誘起す

る．ソフト・フォノンが有機 SP物質における SP転移の重要なファクターだと考えられて

いる．外部磁場を印加したときの SP物質（TTF-AuBDT, TTFCuBDT, MEM (TCNQ)2）の

磁場-温度相図を Fig. 1.3に示す [11]．縦軸と横軸はそれぞれ温度 T と磁場 Hである．高

温・高磁場領域は無秩序な相であり，これを一様相と呼ぶ．三重臨界点より高温領域おい

3

Fig. 1.1: Illustration of dimerization. The upper line shows the undistorted lattice, and the lowerline shows the dimerized lattice. The circles around two spins express singlet pairs.

て一様相から磁場を下げるとダイマー相（または SP相）へ相転移する．この時の相転移

は二次相転移である．低温側で磁場を下げると一様相から中間相へ二次相転移する．中間

相では格子歪みのパターンは外部磁場によって変化する．この格子歪みの周期は格子の周

期と合わず，中間相は不整合相である．中間相から磁場を下げるとダイマー相へ相転移す

る．これは一次相転移である．中間相は磁気ソリトンを持つ相だと考えられている [12]．

Harada, Kotaniの研究では磁気ソリトンの存在を仮定した一次元系におけるHartree-Fock

近似により TTF-CuBDTとMEM (TCNQ)2の相図を再現している．

4

0 TSP

χ

T

Fig. 1.2: Illustration of the temperature dependence seen in the magnetic susceptibility of TTF-CuS4C4(CF3)4. The vertical axis is a magnetic susceptibility χ, and the horizontal axis is atemperature T . The solid, broken and dotted lines express a value of susceptibility, the Bonner-Fisher curve, and spin-Peierls transition temperature TSP, respectively.

0

DIMERIZED

UNIFORMINTERMEDIATE

H

T

Fig. 1.3: Illustration of the phase diagram for TTF-AuBDT, TTF-CuBDT and MEM (TCNQ)2

in the external magnetic field. The horizontal and vertical axes are the transition temperature Tc

and external field Hc, respectively. The solid lines are the phase transition lines and the circle isthe tricritical point.

5

Fig. 1.4: Illustration of crystal structure of CuGeO3. The crystal structure of CuGeO3 is theorthorhombic crystal, and the Cu2+ ions line up along the c axis. The Cu2+ ions interact eachother via O2−, and the CuO4 plaquettes form the S = 1/2 antiferromagnetic chain. This spinchains connect each other by the Ge ions.

1.1.2 無機 spin-Peierls物質CuGeO3

有機SP物質の研究から遅れて無機SP物質であるCuGeO3がHase，Terasaki，Uchinokura

によって発見された [13]． Fig. 1.4は CuGeO3の結晶構造の模式図である．CuGeO3の結

晶構造は斜方晶で，c軸方向に並んだCu2+が 2つのO2−を通して相互作用しており，CuO4

面が連なり反強磁性鎖を構成している．反強磁性鎖同士は Geイオンと O1 イオンを介

して反強磁性的な相互作用をしている．常磁性状態と SP状態間の転移温度 TSPは 14.2K

である．各結晶軸方向の交換積分は中性子散乱実験の結果より反強磁性 Heisenberg模型

H = ∑<i, j> Ji, jSi·S jを仮定して見積もると Jc = 10.4meV (120.4K)，Jb ≈ 0.1Jc，Ja ≈ −0.01Jc

となる [14, 15]．ここで，Jαは α軸に沿った交換積分の値である．また，CuO2鎖におけ

る Oイオンの配置により J1-J2模型も CuGeO3の良い模型だと考えられている．ここで，

J1と J2はそれぞれ最近接と次近接の交換積分である．J1/J2の値は J2/J1 = 0.36(1)だと

見積もられている [16–18]．次近接相互作用が J2/J1 ≥ 0.2411であるならば，系の基底状

態がダイマー状態であることが知られている [19]ことから，もしスピンと格子が結合し

ていなくとも系はダイマー状態となる．また，このことから，CuGeO3の鎖間相互作用が

擬一次元物質としては大きい値であるにも関わらず SP秩序を持つことを説明できる．し

かし，J1-J2モデルから推測されるエネルギーギャップは ∆E ≃ 0.5meV [18]であり，実験

結果（∆E ≃ 2.1meV [14]）より小さい．一方で，CuGeO3の高温における一様帯磁率は

Bonner-Fisher曲線によって予想される値からずれることがわかっている [13,20]．このず

れは次近接相互作用の効果であることが示唆されている [16, 17]．

SP転移に伴う格子の変形の様子を Fig.1.5に示す．b軸方向では強い構造変化が現れ，b

6

Fig. 1.5: Illustration of the displacement viewed from the a axis direction for T < TSP. The ar-rows indicate the direction of displacement at each ions. The broken line expresses the directionof the spin chain.

軸方向のフォノンがソフト化する [21,22]．一方，前述の有機 SP物質 TTF-MBDTでは鎖

内のソフトフォノンによって格子変形が引き起こされていたが，CuGeO3では鎖内のソフ

トフォノンが観測されていない [23]．

1.2 CuGeO3の不純物置換効果

CuGeO3は混晶を作りやすいので，不純物のドープが容易に行える．このことからCuGeO3

の様々な不純物置換実験が行われている [13, 24–36]．化合物の種類としては，Cuを非磁

性イオンで置換した場合（Cu1−xMxGeO3, M=Mg, Ni, Zn）と Geを Siで置換した場合

（CuGe1−ySiyO3）の 2通りがある．Cu1−xMxGeO3の場合，磁性イオンが非磁性イオンで置

き換わることによるサイト希釈が起きる．CuGe1−ySiyO3では Geが Siに置き換わること

によってCu-O-Cu角の角度が変わり，ボンドランダムネスが起きる．Fig. 1.6にこれらの

化合物の温度－不純物濃度相図の概形を示す．U（Uniform）は一様相，SPは spin-Peierls

相，AF（Antiferromagnetism）は反強磁性相を示す．不純物を加えると TSPは単調に減少

し，Geサイト置換系では 1%，Cuサイト置換系では 3%程度で SP秩序が消失する．また，

低温かつ低濃度領域でAF相が出現する．この現象は不純物誘起反強磁性長距離秩序と呼

ばれ，SP物質ではHaseらによって初めて発見された [13]. この相は極めて低い希釈濃度

で出現し，TNは約 5Kまで単調に増加する．その後 TNは緩やかに減少する．Geサイト置

換系の相図は不純物濃度を y = 3xとスケールするとCuサイト置換系の相図と定性的に一

致する．このことから両方の系で観測される反強磁性長距離秩序（AFLRO)の発現は同様

7

SP

AF

U

x, y00

T

Fig. 1.6: Illustration of magnetic phase diagram for Cu1−xMxGeO3(M =Zn, Mg, Ni, and Mn)and CuGeySi1−yO3, where x, y, and T are concentrations of impurities and a temperature, re-spectively. The symbols U, SP, and AF indicate the uniform, spin-Peierls, and antiferromagneticphases, respectively. When the concentration y is scaled to three times the concentration x (i.e.,y = 3x), and the phase diagram of each system agrees qualitatively. This phase diagram isshown in Refs. [33] and [36].

の機構によって実現していると考えられる．Khomiskiiらの理論 [37]によると，Geサイ

ト置換系の希釈効果がCuサイト置換系より組成にして 3倍程度大きい理由は，Si置換を

行うとGeサイトを介した超交換相互作用が変化し，有効的に二本の鎖が切断されたこと

になり，置換の効果が大きくなることが考えられる．しかし，先述したように観測された

因子は 3なので理論的な説明と一致しない [33, 38]．

CuGeO3の不純物効果として更に興味深いのは低濃度領域における SP秩序と AF秩序

が共存する相の出現である．この現象は Regnaultらの CuGe1−ySiyO3(y = 0.007)に対す

る中性子散乱実験により発見された [26]. Fig. 1.7は散乱強度の温度依存性の模式図であ

る．Q = (0, 1, 1/2)は AF秩序を表す超格子線の散乱ベクトルであり，Q = (1/2, 3, 1/2)

は SP秩序を表す超格子線の散乱ベクトル [39–41]である．高温から温度を下げていくと

TSP ≃ 9.2Kで SP秩序が生じ，温度低下とともに発達し，ピークを経て減少に転ずる．更

に温度を下げると TN ≃ 4KでAF状態へ相転移するが，SP秩序の散乱線は消失すること

なく低温まで温度を下げても SP秩序は維持される．すなわち，SP秩序とAF秩序の共存

が生じていると考えられる．Regnaultらの発見以前には基底状態において SP秩序と反強

磁性秩序の共存は起こらないと考えられていた [42]．この共存相はCu1−xZnxGeO3 [30,43]

やCu1−xNixGeO3 [29]等の中性子散乱実験の結果でも存在が確認された．これらの発見に

より次節以降で述べる spin-Peierls系における不純物誘起 AFLROの考え方が提案される

8

NeutronIntensity

0

BG

Q = (1/2, 3, 1/2)

Q = (0, 1, 1/2)

TSPTN

T

Fig. 1.7: Illustration of the dependence of the antiferromagnetic and superlattice Bragg peakson temperature. The solid and broken lines express the neutron intensity of the superlattice ofthe antiferromagnetic (Q = (0, 1, 1/2)) and the spin-Peierls (Q = (1/2, 3, 1/2)) peaks. The BGmeans the back ground.

ことになる．

Cu1−xZnxGeO3の SP-AF共存相の低濃度側の帯磁率の測定から x = 1.12(2)× 10−3におい

て Curie項が観測されており，極低濃度においてもAF秩序状態が存在することがわかっ

ている. また，低濃度領域における TNの不純物濃度依存性は TN(x) = A exp(−B/x) であ

ることが提案されている [32]．このことは x → 0の極限で TN → 0，すなわち低濃度側

には有限濃度で相転移が存在しないということを示唆している．低濃度領域の Curie項

や TN(x→ 0)の振る舞いは不純物誘起AFLROの発現機構を理解するための重要な要素と

なる．

共存相の高濃度側を注目すると Cu1−xMgxGeO3における帯磁率の測定から 0.0237 ≲ x

≲ 0.0271で TNの値が急激な増大を見せる [34]．このとき帯磁率には Fig. 1.8のようにダ

ブルピークが生じる．ここで， xc1 = 0.0237，xc2 = 0.0271とする．xc1 以下の領域では，

Fig.1.9にあるように転移点 TSPで帯磁率にカスプが観測でき，系の状態は SP秩序と AF

秩序の共存相に相転移していることがわかる．SP秩序が存在することは，中性子散乱実

験によって確かめられている [44]．一方，xc2 以上では帯磁率に高温側にカスプが観られ

ないことから SP秩序が存在しないAF秩序状態が実現していると考えられる．SP秩序が

存在しないこともまた，中性子散乱実験によって確かめられている．SP-AF共存相とAF

相の本質的に違う二相間の転移であることから一次転移だとされている．これらを考慮

すると Fig.1.10のような相図の概形が得られる．低濃度側の共存相をダイマー・反強磁性

（D-AF）相，高濃度側の相を一様・反強磁性（U-AF）相と呼ぶことにする．

Cu1−xMgxGeO3におけるX線回折実験の結果から格子系における格子歪みは TSPで生じ

9

χx xc1

xc1< x < xc2

xc2 x

TN1TN2

T

Fig. 1.8: Illustration of the temperature dependence of susceptibilities in the three-concentrationregions. The bottom, middle, and top curves are the susceptibilities in the concentration regionlower than xc1 , between xc1 and xc2 , and upper than xc2 , respectively.

始めるが，長距離の SP秩序になるためには更に温度や濃度を下げる必要がある．X線回

折実験から得られる格子が歪み始める温度と SP秩序が長距離になる温度には大きな隔た

りが存在し，後者の温度を T ′SPとする．

今までの結果をまとめた相図が Fig. 1.11となる．SP-SRO相は格子歪みの短距離相関が

生じている相である．この相では，SP状態内で縮退する 2つの格子歪みのパターンが混

在するような状態が実現していると考えられている．SP-LRO相は格子歪みの相関が長距

離になっている相で，低温になったことで，鎖間の相互作用が格子歪みへ寄与し，格子歪

みのパターンの位相が揃っていると考えられている．ここで，SP-SROと SP-LROはそれ

ぞれ、spin-Peierlsの短距離秩序と長距離秩序の意味である．同様の相図は他のCuGeO3化

合物でも得られている．

10

x xc2

xc2 < x

TSPχ

T

Fig. 1.9: Illustration of the temperature dependence of the susceptibility for x ≤ xc2 and x > xc2 .The temperature range of this figure is longer scale and higher-temperature region than that ofFig. 1.8. The solid and dotted lines are the susceptibilities for x ≤ xc2 and x > xc2 , respectively.For x ≤ xc2 , the susceptibility shows a cusp indicating the SP transition at the TSP. For x > xc2 ,a cusp dose not appear.

SP

D-AF

U-AF

TN2

TN1

TN

TN

x

TSP

T

Fig. 1.10: Illustration of the phase diagram parameterized by the temperature and concentration.The solid lines indicate the transition lines determined by the susceptibility measurements. Thetransition point from the D-AF phase to the U-AF phase exists between the dotted lines. Thistransition exhibits the first-order phase transition.

11

0

TSP

TN

TN

TN1TN2

T′

SP

D-AF

U-AF

SP-LRO

SP-SRO

U

xc1 xc2

T

x

Fig. 1.11: Illustration of the phase diagram parameterized by the temperature and concentra-tion. The solid, broken, and dotted lines are the transition lines. The SP transition lines TSP aredetermined by the neutron scattering and susceptibility experiments, and T ′SP are determinedby X-ray diffaraction. The Neel temperature TN are determined by the susceptibility measure-ments.

12

1.3 Spin-Peierls系に関するこれまでの理論的研究

前節までは SP系の実験的な知見を紹介した．この節では，SP系に対するこれまでの理

論的なアプローチを紹介する．

1.3.1 Spin-Peierls転移に関する理論的な研究の発展

ここでは，SP転移に対する理論的な研究とその発展を簡単に紹介する．本格的な擬一次

元SP系の理論的な研究の出発点として紹介されるのはPytteの研究 [45]である．彼は三次

元格子と結合したスピンハミルトニアンを Jordan-Wigner変換を用いてスピンレスフェル

ミオン系に変換し，Hartree-Fock（HF）近似を用いることで SP転移を議論した．しかし，

HF近似のために低次元系において重要な量子ゆらぎを取り入れていないという問題点が

あった．SP転移の理論を次に進めたのは Crossと Fisherである [46]．彼らはフェルミオ

ン表示されたHeisenberg模型を Luther-Peschelの処方 [47]を利用し，Tomonaga-Luttinger

模型に似たボゾンハミルトニアンに近似し，乱雑位相近似（RPA）を適用した．この理論

で得られる格子歪みによるエネルギーの利得は ∆Es = −αJδ3/4となる．ここで α, J, δは

それぞれ比例定数，交換積分，格子歪みの振幅である．さらにNakanoらが位相ハミルト

ニアンの方法で sine-Gordon方程式を導き，これに自己無撞着調和近似を用いて解くこと

によって理論を更に改良した [48]．この方法では，整合なボンド交替の他に非整合な磁気

構造であるソリトン-アンチソリトン解が与えられ，磁場中の整合・不整合相転移なども

議論された．

1.3.2 Spin-Peierls状態と反強磁性状態の共存及び不純物誘起長距離秩序に関する理論的研究

先述したように，RegnaultらによるCuGe1−xSixO3に対する中性子散乱実験に見出された

SP状態とAF状態の共存を説明する為に，Fukuyamaらは格子の自由度と結合した S = 1/2

反強磁性XXZ模型を上記の位相ハミルトニアンの方法で解析した [49]. 彼らは不純物近

傍に磁気ソリトンが束縛され，不純物近傍の格子歪みが抑制されると仮定した．このよう

な仮定のもとに磁気構造と格子歪みを最適化した結果はそれぞれ元々のスタッガード性と

格子歪みのパターンを保存していることを示すことがわかった．この時，鎖間相互作用と

して鎖間のスピン間相互作用を平均場近似したものを採用している．この系のブラッグ散

乱の強度を計算すると，反強磁性秩序とダイマー状態を表すピーク強度が存在することが

示された．また，秩序変数に対する議論から僅かな不純物濃度において反強磁性秩序が発

13

Fig. 1.12: Distribution of magnet moments observed by the phase-Hamiltonian method andthe muon spin relaxation measurements. The assumption that the effective spins are boundat impurities is adopted. The arrows and circles are the magnetic moments and impurities,respectively.

現し得ることがわかっている．この系の励起状態も調べられており，エネルギーのギャッ

プが不純物を含まないCuGeO3のギャップより小さくなることが示唆されている [50]．位

相ハミルトニアンの方法による解析結果は上述した実験結果をよく説明しており，更に後

に行われたミュオンスピン共鳴法（µSR）の結果 [51] とも矛盾しないことが知られてい

る．µSRによる解析でも Fig. 1.12のように有効スピンが不純物に束縛されていると仮定

しており，Cu1−xMxGeO3やCuGe1−ySiyO3 などの秩序モーメントの大きさが不均一になっ

ていることが発見された．このとき，磁気モーメントは不純物近傍で最大になり，不純物

から離れると指数関数的に減少する．同時期に盛んに行われていた二本足格子系 [52–55]

や Haldane系 [56]における不純物誘起長距離秩序も本質的には同じ物理だと考えられて

いる [42, 57, 58]．

Yasudaらは二次元反強磁性ボンド交替Heisenberg模型における不純物誘起AFLROの発

現機構を連続虚時間ループアルゴリズム量子モンテカルロ法（QMC）を用いて調べた [59]．

ハミルトニアンは

H = J∑

i, j

ϵ2i, jϵ2i+1, jS2i, j · S2i+1, j+Jα∑

i, j

ϵ2i+1, jϵ2i+2, jS2i+1, j · S2i+2, j

+ J′∑

i, j

ϵi, jϵi, j+1Si, j · Si, j+1 , (1.3.1)

で与えられる．Jと Jα (0 ≤ α ≤ 1)は鎖内のボンド交替を与える交換積分である．J′は鎖

間スピン相互作用の交換積分を表す．また，ϵi, jはサイト希釈の有無を表し，1 − xの確率

で 1，xの確率で 0を与えるパラメータである．また，交換積分 Jをエネルギーのユニット

とする (J = 1)．Fig. 1.13はサイト希釈系の模式図である．この格子には周期境界条件が

課されている．Fig. 1.13の太いボンドと細いボンドはそれぞれ交換積分が Jと Jαのボン

ドを表している．太いボンドを強いボンド，細いボンドを弱いボンドと呼ぶ．四角で囲わ

14

J′

1α

Singlet Sea

Jmn

Fig. 1.13: Illustration of the diluted lattice with two diluted sites. The thick blue bonds arestrong bonds, and this exchange integral is a energy unit, i.e., J = 1. The direction of thesebonds is the chain direction. The thin bonds are the weak bonds, and the exchange integral ofthe weak bond α is weaker than that of the strong bond. The vertical bonds are the interchainbonds, and the exchange integrals of that are shown as J′. The voids and arrows show the dilutedsites and the effective spins, respectively. In the region enclosed by the square, the strong andweak bonds are arranged alternately, and this region is called ”the singlet sea”. The singlet seacovers whole lattice except the diluted sites and the effective spins. The broken line indicatesthe effective interaction Jmn between the effective spins. The effective spins interact each otherby the effective interaction through the singlet sea.

れた領域ではコラムナー型のボンド交替をしており，この領域は希釈サイト以外の領域全

体に広がっている．強いボンドでもっぱらシングレットダイマーが形成されているので，

この領域を我々はシングレットの海と呼ぶことにする．Fig1.14はスタッガード磁化の希

釈濃度依存性の概形である．この研究では，様々な不純物濃度でAFLROの発現について

調べられており，スタッガード磁化 Msの計算結果によると，Fig1.14のように極低濃度

の不純物濃度で直ちにAFLROが発現することを示唆している．そして，希釈濃度を増や

していくと，xsPの濃度でスタッガード磁化が消失する．xs

Pの値はサイトパーコレーショ

ン理論によって計算された値である [61]．

AFLROが発現している不純物濃度における計算結果では，低温・低濃度領域にCurie項

が現れており，このことは局所的な有効スピンの存在を示している．また，局所静的構造因

子の計算結果より有効スピンは不純物に束縛されていることがわかっている．また，有効

スピン同士は反強磁性的な相関を持っていることが視覚的に示されている．長距離秩序が

15

0x

MS

xs

P xb

P

site dilution

bond dilution

Fig. 1.14: Illustration of the staggered magnetization in the site- and bond-diluted systems[59,60]. The vertical axis is the staggered magnetization, and the horizontal axis is the concen-tration. The symbols xs

P and xbP show values where the magnetization vanishes. The magnetiza-

tion of the site-diluted system is induced by a very small concentration. On the other hand, themagnetization of the bond-diluted system is induced by a sufficiently large concentration.

局所性の強い有効スピンによって担われていることから，無限小の濃度でAFLROが発現す

ると期待される．以上より，Yasudaらは局所性の強い有効スピン間にシングレットの海が

媒介する希釈前のスタッガード性を保った有効相互作用 Jmn ∝ (−1)|rm−rn+1| exp[−l(ξxpξyp)−1/2]

があり，この相互作用がAFLROを誘起していると結論づけた．ここで，rmはm番目の有

効スピンの位置，ξαp は pure系における α軸方向の相関長，lは l = |rm − rn|であり有効スピン間の距離を表す．

さらに，Yasudaらはボンド希釈系に対しても同様の研究を行っている [60, 62, 63]．ボ

ンド希釈系では，有効スピンが局所的かつ希釈ボンドを挟んで隣り合った位置に誘起す

る．そして，有効スピン間に鎖間相互作用を介して Jaf ≃ J′2の相互作用が生じることを

Yasudaらは発見した．この相互作用により有効スピン同士がシングレットダイマーを再

形成することでAFLROの発現は阻害される．この系では，サイト希釈と異なり有効相互

作用 Jmnと Jafが競合することから，Fig1.14のように，低希釈濃度ではAFLROは発現し

ない．そして，希釈濃度を増やしていくと xbPの濃度でスタッガード磁化が消失する．

1.4 有効スピンの誘起位置についての議論

これまでの議論において，有効スピンの誘起位置は実験的にも理論的にも不純物に束縛

されていると考えられていた．この節では，過去の研究によって得られている有効スピン

の誘起位置に関する結果を紹介する．

16

1.4.1 CuGe1−xSixO3に対する核四重極共鳴・核磁気共鳴測定実験

Kikuchiらは CuGe1−xSixO3に対して核四重極共鳴（NQR）測定実験を行った [64, 65]．

CuサイトのNQRスペクトルの結果では，63Cuと 65Cuの共鳴線（主線）が現れるが，不

純物濃度を増やしていくと，Cuの主線の強度は減衰する．加えて，希釈濃度 x = 0.02か

らCuの主線の周りに小さな共鳴線（サテライト線）がはっきりと現れる．Cuの主線にお

ける強度の減衰の原因は結晶構造の乱れとCuサイト周辺の磁気構造の変化が挙げられる．

Cuサイトは Siサイトから離れていることから，構造の変化による減衰への寄与は小さい

と考えられる．また，Siサイト近傍に磁気モーメントが出現するならば，Cuサイト周辺

の磁気構造が乱されることはないのでCuの共鳴線のサテライト線が観測されない．従っ

て，以上のことから不純物近傍に有効スピンが束縛されているとは言えない．

サテライト線に対応する Cuサイトの核磁気緩和率 1/T1T は主線に対応する Cuサイト

の 1/T1T より高温で減少し始め，TSPでは主線の 1/10 ∼ 1/4にまで小さくなる．このこと

は，主線に対してサテライト線に対応するCuサイトのスピンのゆらぎが希釈によって強

く抑制されていることを示す．サテライト線は希釈によって生じた共鳴線であり，Si近傍

のCuサイトの共鳴線である．この結果は，不純物による不純物近傍にあるスピンのゆら

ぎの抑制か，特性周波数の増大どちらかが考えられる．

CuGe1−xSixO3に対する核磁気共鳴（NMR）の実験も実施された [38,64]．実験により得

られたナイトシフトの結果より主線やサテライト線に対応する Cuサイト上のNMRシフ

トは低温で不純物濃度によらず希釈のないCuGeO3のナイトシフトの値に漸近しているこ

とが示されている．また，サテライト線に対応するナイトシフトは転移温度より高温の領

域で減少し始め，転移温度近傍では異常を示さない．

NQRとNMRの測定結果を考慮すると，不純物近傍のCuサイトではシングレットダイ

マーの形成が促進されていると考えられる．Kikuchiらは不純物に接近しすぎないような

位置に有効スピンは誘起すると結論づけた．

NQRの減衰の大きさについては問題が残っている．不純物で切断された有限の鎖が偶

数個のサイトから成る場合，この有限鎖は有効スピンを持たない．このことから主線に対

応する Cuサイトの半分に相当するNQRの共鳴強度が測定できると考えられている．し

かし，実験結果における主線におけるCuサイトのNQR測定では，全Cuサイトの半数以

下に相当する共鳴強度しか観測されていない．

17

Bond i

∆i

0

∆

−∆

Fig. 1.15: Lattice distortion of the one-dimensional system with the open boundary condition.The horizontal and vertical axes are the bond index i and amplitude of the lattice distortion atthe bond i. The existence of impurities is taken into account as the open boundary condition.

1.4.2 格子の自由度と結合した一次元反強磁性Heisenberg模型における格子歪みと有効スピンの数値的研究

CuGeO3は SP転移を示し，前述したように鎖間の交換積分は Jb/Jc ≃ 0.1と一般的な擬

一次元のものと比べて多少は大きいが擬一次元物質と考えられている．このことから一次

元スピン系における有効スピンの出現位置や格子歪みに着目した数値的研究が過去に行

われている [66–69]．系のハミルトニアンとしては反強磁性Heisenberg模型や J1-J2模型

に格子の自由度を考慮したものが採用されており，不純物効果を開放境界条件として取り

入れている．これらの模型で得られる格子歪みは Fig. 1.15に表されるような概形を取る．

横軸はボンドの番号であり，縦軸は格子歪みの大きさ ∆iを表す．鎖端のボンドでは強い

ボンドが形成され，鎖端から離れた位置にキンクが生じる．そして，キンクに対応する位

置で有効スピンが誘起することがわかっている．さらに，OnishiとMiyashitaは熱ゆらぎ

を考慮した格子歪みを古典モンテカルロ法とQMCを用いて調べた [69]．この模型では熱

ゆらぎによりキンクが鎖の中央を中心に拡散し，格子歪みは Fig. 1.16のような概形とな

る．また，キンクが拡散する事によるAFLROへの影響は現時点で明らかでない．

1.4.3 格子の自由度と結合した二次元反強磁性Heisenberg模型における格子歪みと有効スピンの数値的研究

前節のように格子の自由度を考慮した一次元系では，有効スピンは不純物から離れた

位置に誘起する．実際の物質では SP状態とAF状態が共存しており，共存相おける有効

スピンの位置を基底状態で議論するためには二次元（擬一次元）格子を用いる必要があ

る．現在までの二次元系における研究では，不純物が配置された有限長の鎖と周期境界

18

Bond i

∆i

0

∆

−∆

Fig. 1.16: Lattice distortion of the one-dimensional system with the thermal fluctuation. Thehorizontal and vertical axes are the bond index i and amplitude of the lattice distortion at thebond i. The existence of impurities is taken into account as the open boundary condition.

条件が課された鎖が鎖間相互作用によって接続されている．これらの研究では，鎖間の

相互作用としてスピン間相互作用や弾性相互作用を平均場近似したものが採用されてい

る [67,70–75]．平均場近似を用いた模型では，各鎖の格子歪みの周期が一致する状態がエ

ネルギー的に安定になることが報告されている．この場合，格子歪みの周期が一致するこ

とによってキンクが不純物近傍へ移動し，有効スピンが不純物近傍に束縛される．この結

果は，先述した CuGe1−xSixO3に対するNQR/NMR測定実験の結果と矛盾する．

1.5 本研究の目的

本研究の目的は，格子の自由度と結合した二次元反強磁性 Heisenberg模型において有

効スピンが不純物から離れて誘起し得るかどうかを調べることと，有効スピンが不純物か

ら離れて誘起した場合に AFLROの発現可能性があるのかを調べることである．我々は，

1.4.3節で説明した数値計算において有効スピンが不純物近傍に束縛される原因は鎖間相

互作用に対する平均場近似にあると考えている．従って，この研究では鎖間のスピン間相

互作用は鎖内のスピン間相互作用と同等に近似無しで取り扱う．

有効スピンの誘起位置は，次のように調べる．Lx × Lyのサイズの二次元格子に希釈を

行い，希釈部位間の格子歪みを有効スピンが希釈部位に束縛されるタイプとされないタイ

プの 2タイプを仮定し，エネルギーの比較を行う．この時，計算手法は QMCを用いる．

次に，サイト希釈系におけるAFLRO発現可能性を調べるが，希釈サイト間の格子歪みは

一次元系の格子歪みが実現していると仮定する．この取り扱いによって鎖間の相互作用を

平均場近似を用いることなく取り入れることができ，絶対零度において従来より現実的な

計算となると考えている．そして，このような格子でQMCを用いてスタッガード磁化を

19

評価することによってAFLROの発現可能性を議論する．この時，一次元系の格子歪みは

QMCによる自己無撞着計算によって求める．

1.6 本論文の構成

本論文は以下のように構成されている．第 2章では格子の自由度と結合した一次元系に

おける格子歪みや有効スピンの振る舞いを確認する．第 3章では格子の自由度と結合した

二次元系における安定な格子歪みを示す．第 4章では格子の自由度と結合した二次元系に

おいて有効スピンが希釈サイトから離れた場合のAFLRO発現可能性を議論する．第 5章

では以上の結果のまとめと考察を行う．

20

第2章 格子の自由度と結合した一次元反強磁性Heisenberg模型

Spin-Peierls転移は一次元的な格子の量子ゆらぎに起因して起こる相転移である．この

章では，二次元系の議論を行う前に一次元系における格子歪みと有効スピンの振る舞いを

連続虚時間ループアルゴリズム量子モンテカルロ法（QMC）による計算を用いて確認す

る．また，この章での結果を二次元系における研究で使用する．

2.1 計算方法

格子の自由度と結合した一次元Heisenberg模型における格子歪みを計算する．格子の自

由度はフォノンの adiabatic極限として格子歪み ∆iで表す．この模型のハミルトニアンは

H = J∑

i

(1 + ∆i)Si · Si+1 +K2

∑i

∆2i (2.1.1)

で与えられる．ここで，J，Si，Kはそれぞれ，交換積分，サイト iにおけるスピン演算

子，弾性定数を表す．Eq. (2.1.1)の右辺第一項はスピン-格子結合項，第二項は弾性エネル

ギーである．∆iは i番目のボンド上の格子の自由度を表す変数で i番目のサイトの変位を

xiと定義すると

∆i = xi − xi+1 (2.1.2)

と定義される．すなわち，サイトが近づくとスピン間相互作用が強くなり，サイトが離れ

るとスピン間相互作用が弱くなる．

エネルギーが最低になるような ∆iを求めることを考える．エネルギーの最適化を La-

grangeの未定乗数法により行う．∑

i ∆i = 0を束縛条件とし，∂⟨H⟩∂∆i= 0より

∆i =J

KL

∑j

⟨ S j · S j+1 ⟩ −JK⟨ Si · Si+1 ⟩ (2.1.3)

を得る [76]．ここで ⟨ · · · ⟩は熱平均を表す．Eq. (2.1.3)をQMCで解くことによって自己

無撞着計算を実行し，安定な ∆iを求める．収束判定は収束判定定数 e0を用いて

||∆(k+1)i − ∆(k)

i ||∞ < e0 (2.1.4)

21

と与える．kと || · · · ||∞は反復回数と最大ノルムである．以降，Jをエネルギーのユニット

とする．すなわち J = 1とする．

2.2 希釈のない一次元系の格子歪みと有効スピン

この節では，系に周期境界条件を課した計算結果を紹介する．

2.2.1 一次元系の格子歪み

系に周期境界条件を課し，安定な∆iを求める．パラメータは T = 0.01，e0 = 0.01とし，

弾性定数は 0.1刻みで K = 0.5 ∼ 2の範囲で計算した．e0の値はQMCで計算できる相関

関数の標準偏差がO(10−3)であることからこの値に設定した．これより ϵ0を低く設定する

と反復計算が収束しなくなるか非常に長い計算時間が必要となる．また空回しを 1000ス

テップ，モンテカルロステップを 10000ステップとした．格子点数 L = 64の時に得られ

た結果を Fig. 2.1に示す．Fig. 2.1によるとこの系の状態はボンド交替状態であるので，格

子歪み∆iは∆i = (−1)i∆0で表せる．ここで∆0は格子歪みの振幅である．∆0の温度依存性

とシステムサイズ依存性を Figs. 2.2，2.3に示す．格子歪みは温度が T = 0.01では温度依

存性が消失しており，サイズ依存性は L = 20以上のサイズで消失していることがわかる．

つまり，T = 0.01，L = 64の結果は絶対零度の熱力学的極限の結果とみなせる．また，ど

ちらも ∆0 ≃ 0.289に漸近している．得られた格子歪みにおける磁気構造を評価するため

に local-field susceptibility

χloci =

∫ β

0⟨ S z

i (τ)Szi (0) ⟩dτ (2.2.1)

を計算した．τ，β，S zi (τ)はそれぞれ，虚時間，逆温度，Heisenberg表示されたスピンの

z成分である．その結果を相関関数

Ci = ⟨ Si · Si+1 ⟩ (2.2.2)

の結果とともに Fig. 2.4に示す．Fig. 2.4を見ると，χloci は一様であり，Ciは交替している

ので，シングレットダイマーが交互に敷き詰められており,系は格子歪みを伴う非磁性の

ボンド交替，すなわち spin-Peierls状態となっていることがわかる．Fig. 2.5に格子歪みの

弾性定数 K依存性を示す．破線はフィッティングによって得られた直線である．格子歪み

の弾性定数 K依存性はよく知られた関係式∆0 ∝ K−3/2 [46,48]となっていることがわかる．

22

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61

L = 64 T = 0.01 K = 1.0

Bond i

Δi

Fig. 2.1: Lattice distortion ∆i at L = 64, K = 1, and T = 0.01 in the pure system. The error baris given by the convergence constant ϵ0. The horizontal axis is a bond index, and the verticalaxis is the amount of change in bond i. The plus and minus values show the shrinking andexpanding bonds, and those bonds are called ”strong” and ”weak” bonds, respectively. Thesolid line is a guide to the eyes. The lattice distortion exhibits the alternated-bond pattern.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.01 0.1 1 10

L = 20

∆ 0

T

K = 1 0.288628(5)

Fig. 2.2: Dependence of the lattice distortion on the temperature for L = 20 and K = 1. Thecrosses are the amplitude of the lattice distortion, where the pattern of the lattice distortion isassumed as the bond alternated pattern. The solid line is a guide to the eyes, and the broken lineis the amplitude at a sufficient low temperature.

23

0 0.05 0.1

0.15 0.2

0.25 0.3

0.35 0.4

0 10 20 30 40 50 60 70

∆ 0

L

T = 0.01 K = 10.288879(2)

Fig. 2.3: Dependence of the amplitude of the lattice distortion on the system size at T = 0.01and K = 1. The solid line is a guide to the eyes, and the broken line is the amplitude at asufficient large system size.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0L = 64 T = 0.01 K = 1

χi

Ci

i

χi Ci

Fig. 2.4: Local-field susceptibility and the nearest-neighbor spin correlation at L = 64, K = 1,and T = 0.01. The vertical axis on the left- and right-hand sides are the local-field susceptibilityχi and the nearest-neighbor spin correlation Ci, respectively. The horizontal axis is the site orbond index i for χi or Ci, respectively. The circles and triangles are χi and Ci, respectively.

24

-0.1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

∆ 0

K-3/2

L=20

Fig. 2.5: Dependence of the amplitude of the lattice distortion on the elastic constant for L = 20at zero temperature in the thermodynamic limit. The horizontal and vertical axes are the elasticconstant K−3/2 and the amplitude ∆0 , respectively. The crosses are the data obtained by theQMC simulations, and the solid line is a guide to the eyes. The broken line is obtained byperforming the least-squares fitting.

25

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61

L = 64 T = 0.01 K = 1.0

bond i

Δi

Fig. 2.6: Example of the lattice distortion in the case where the replacement of each site doesnot converge at the value of the ground state.

2.2.2 収束の困難性

自己無撞着計算をして得られた別の格子歪みを Fig. 2.6に示す．Fig. 2.1で示した系の

エネルギーは E = −0.463(7)であり，Fig. 2.6で示した系のエネルギーは E = −0.457(3)で

あることから Fig. 2.1の格子歪みの方が安定な状態である．Fig. 2.6の格子歪みに対応す

る χloci とCiの結果を Fig. 2.7に示す．∆iにキンクが生じた場合は ∆iのキンクと同じの位

置にCiにキンクに生じる．そして，∆iのキンクと同じの位置に χloci のピークが現れてい

ることが分かる．これはソリトン-アンチソリトン励起に伴う不整合相に相当する状態だ

と考えられる [48,70,76–78]．Fig. 2.8は有限系におけるソリトン励起によるギャップであ

る．ここで，Egsは自己無撞着計算により得られた中で最低のエネルギーの値であり，Esol

はソリトンが生じた場合のエネルギーである．系のサイズを大きくするとともに小さくな

ることが分かる．e0の値は，本研究での設定値である e0 = 0.01より小さくすることがで

きない．そして，エネルギーギャップの値が小さくなる程，自己無撞着計算の収束性が悪

化し，正確な計算結果が得られない可能性がある．従って，この方法での最適化は大きい

サイズには用いることが困難であることが分かる．本研究では，二次元系における格子歪

みを求めるが，十分なサイズを確保するため，一次元系で使用した方法以外を用いる必要

がある．具体的な方法は次章で説明する．

26

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

L = 64 T = 0.01 K = 1.0χi

Ci

i

χi Ci

Fig. 2.7: Local-field susceptibility χi and the nearest-neighbor spin correlations Ci in the casewhere the replacement of each site does not converge at the value of the ground state. Thecircles and triangles are the value of χi and Ci, respectively. The horizontal axis is the siteor bond index i for χi or Ci. The curve shows two peaks expected as the soliton-antisolitonexcitation.

0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

0.011 0.012 0.013 0.014

30 35 40 45 50 55 60

Eso

l - E

gs

L

Fig. 2.8: Difference between the energies of the ground state Egs and metastable state Esol forthe system sizes 30 ≤ L ≤ 60. The crosses are the difference of the energies, and the solid lineis aguide to the eyes. The difference of energies decreases with increasing the system size. Inthe present accuracy of the nearest-neighbor spin correlations, the iteration for the optimizationof the lattice distortion is expected.

27

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61

bond i

Δi

L = 64 T = 0.01 K = 1.0

Fig. 2.9: Lattice distortion in an open chain with even number sites for L = 64 and K = 1 atT = 0.01. The crosses are the amplitudes of the lattice distortion at a bond i. The solid line isa guide to the eyes. The pattern of the lattice distortion shows the bond-alternated pattern, andthe edge bonds are the strongest in the chain.

2.3 サイト希釈系の計算結果

次にサイト希釈系における格子歪みを確認する．サイト希釈は開放境界条件を系に課

すことで計算に取り入れる．また，計算方法は pure系と同様に Lagrangeの未定乗数法を

用いる．Fig. 2.9はサイトの個数が偶数である場合（偶数鎖）の格子歪みの結果である．

系のサイズは L = 64，温度は T = 0.01，弾性定数は K = 1である．以降の研究では，温

度と弾性定数はそれぞれ T = 0.01と K = 1とする．格子は pure 系と同じくボンド交替

していることがわかる．しかし，鎖端のボンドの振幅は他のボンドよりも大きくなって

いる．この事は希釈近傍のスピン相関が強くなることに起因する [79]．また，スピンが

偶数個存在しており，全てのサイトでシングレットダイマーを組むことが可能であるの

で，Fig. 2.10に示すように χloci は一様に小さい値となる．Fig. 2.11はサイト数が奇数の場

合（奇数鎖）の格子歪みである．奇数鎖の格子歪みは鎖端から離れた位置にキンクを示

す [67–70]．Fig. 2.12を見るとキンクと関連する位置に χloci のピークが確認できる．この

ピークは局在した磁気ソリトンを表し，シングレットダイマーを形成しそこなったスピン

によって生じる．我々はこのソリトンを有効スピンと呼ぶことにする．我々は有効スピン

が鎖端から離れた位置にランダムに現れることを確認した．初期状態において，格子歪

みの初期状態をランダムに与え，各サイズに対し 10サンプルの格子歪みを計算した．そ

れらの格子歪みのサンプルに生じたキンクの位置を合わせてプロットし，格子歪みの概

形を調査した．Fig. 2.13には L = 61の場合の例を示す．Fig. 2.13では，キンクの中心を

28

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61

χi

site i

L = 64 T = 0.01 K = 1.0

Fig. 2.10: Local-field susceptibility in an open chain with even number sites for L = 64 andK = 1 at T = 0.01. The crosses are the values of the local-field susceptibility at a site i, and thesolid line is a guide to the eyes. The local-field susceptibility is flat uniformly, and the systemis the nonmagnetic state.

i0 ≃ 42に合わせて 10サンプルの格子歪みをプロットした．これは明らかに双曲線関数

∆i = ∆sol0 tanh

(i − i0

ξsol

)+ ϵ0 (2.3.1)

の形をしている．ここで，∆sol0 , i, i0, ξsol, ϵ0はそれぞれ格子歪みの振幅，ボンドの番号，キ

ンクの中心座標，キンクの幅，∑

i ∆i = 0を満たすための補正項を表す．Fig. 2.13のデータ

点を Eq. (2.3.1)でフィッティングする．このとき非線形最小自乗近似によるフィッティン

グを行った [80, 81]．Fig. 2.14は ∆sol0 の結果である．Lを大きくすることでサイズ依存性

がなくなり，L > 33のデータ点を L−1で外装すると，∆sol0 = 0.289(2)と pure系の振幅と近

い値を得た (Fig. 2.15)．有効スピンが局所的に誘起をすることによってキンクもまた局所

的になる．そして，キンクから遠く離れた部分の振幅はキンクの影響を受けないので，サ

イズが大きい有限鎖の振幅は pure系の振幅と等しくなると考えられる．Fig. 2.16は ξsolの

結果である．ξsolはキンクの幅を表すため，系が小さいときは鎖端の影響を強く受け，値

が不安定になる．また，サイズが大きい鎖では有効なサンプル数が減るためにエラーバー

が大きくなっている．L = 33から L = 61の 5点の平均値を計算すると ξsol = 0.423(1)と

なる．Fig. 2.17は ϵ0のサイズ依存性を示している．この項が有限系で値を持つことは強

いボンドの値の和と弱いボンドの値の和が非対称であることを示す．Fig. 2.17によると

ϵ0 ∝ L−1というサイズ依存性がある．格子歪みが両鎖端において強いボンドになっていて，

その増分をキンクで解消できていないと考えられる．

我々は有効スピンが存在する場合の格子歪みの関数を得ることができたので，キンクの

位置を変化させた場合のエネルギーの変化を評価することができる．ここでは，パラメー

タ∆sol0 , ξsolを上で得られた値に固定して，i0の値を変えた時のエネルギーを測定した．つ

29

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61

bond i

L = 63 T = 0.01 K = 1.0

Δi

Fig. 2.11: Lattice distortion in an open chain with odd number sites for L = 63 and K = 1 atT = 0.01. The crosses are the amplitudes of the lattice distortion at a bond i, and the solid lineis a guide to the eyes. The kink arises away from the edges of the chain.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61

χi

site i

L = 63 T = 0.01 K = 1.0

Fig. 2.12: Local-field susceptibility in an open chain with odd number sites for L = 63 andK = 1 at T = 0.01. The crosses are the values of the local-field susceptibility at a site i, and thesolid line is a guide to the eyes. The peak arises at the same position as the kink.

まり，有効スピンが強い局所性を持ち，キンクの幅は有効スピンの幅が反映されているこ

とから，有効スピンの位置によってキンクの概形が大きく変化しないということを仮定し

た．系のサイズは L = 36，弾性定数は K = 1，温度を T = 0.01とした．Fig. 2.18はスピン

系のエネルギー Esの i0依存性のグラフである．ここで，Esは J∑

i(1+∆i)Si ·Si+1の期待値

で定義される．また，i0は鎖端のスピンからキンクの中心までの距離を表す．Fig. 2.18を

見ると，Esはキンクが端に近づくほど小さくなることがわかる．反強磁性模型ではスピン

対がシングレットダイマーを形成する状態が安定状態である．従って，できるだけ多くの

スピンがダイマーを組むとエネルギーが低くなるので，キンクが端にあればスピンエネル

ギーが最小になる．Fig. 2.19は弾性エネルギー Eeの i0依存性である．Eeは Ee = K/2∑

i ∆2i

と定義される．Esとは逆にキンクが端から離れたほうが Eeが低くなることがわかる．こ

30

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

i

Δi

Fig. 2.13: Lattice-distortion shape obtained by gathering the10 samples of the lattice distortionsat L = 61. The horizontal axis indicates the bond index i. The lattice distortion exhibits theshape of the hyperbolic-tangent function.

れは，各ボンドの振幅を小さくすることで，K/2∑

i ∆2i の値が小さくなることから理解で

きる．すなわち，キンクが端から離れていることで Eeが小さくなる．Fig. 2.20は全エネ

ルギー E = Es +Eeの i0依存性である．Esの変化より Eeの変化が大きいので，キンクが端

に近づくとエネルギーが上がっている．そして，キンクが端の影響を受けなくなるまで離

れると現在の取扱いの精度内ではエネルギーの変化はとても小さくなる．このことから，

キンクまたは有効スピンは端から離れた領域でランダムに観測される．

31

0.28 0.29 0.3

0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36

0 10 20 30 40 50 60 70

∆sol

0

L

Fig. 2.14: Amplitudes of the lattice distortions ∆sol0 for several chain lengths L. The crosses are

the amplitudes of the lattice distortions obtained by performing the least-squares fitting to thelattice distortions shown in Fig. 2.13. There is no size dependence for L > 33.

0.2885 0.289

0.2895 0.29

0.2905 0.291

0.2915 0.292

0.2925

0 0.01 0.02 0.03 0.04

∆ 0sol

L-1

Fig. 2.15: Extrapolation of the size L dependence of the amplitude of the lattice distortion ∆sol0

for L > 33. The horizontal axis is the inverse of the chain length. The crosses are the amplitudeof the lattice distortion, and the solid circle at zero is the extrapolated value. The solid line is aguide to the eyes.

32

0.395

0.4

0.405

0.41

0.415

0.42

0.425

0.43

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

ξ sol

L

Fig. 2.16: Widths of the kinks ξsol for several chain lengths L. The crosses are obtained byperforming the least-squares fitting to the lattice distortions shown in Fig. 2.13.

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0 0.04 0.08 0.12 0.16

ε 0

L-1

Fig. 2.17: Values of the compensation terms ϵ0 of Eq. (2.3.1) for several chain lengths L. Thecrosses are the values of the compensation terms obtained by performing the least-squares fittingto the lattice distortions shown in Fig. 2.13. The solid line is drawn by performing the least-squares fitting.

33

-0.494

-0.4935

-0.493

-0.4925

-0.492

-0.4915

-0.491

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

L = 36K = 1.0

Es/

L

i0

Fig. 2.18: Dependence of the spin energies per site ES/L on the kink positions i0 for L = 36 andK = 1. The crosses are the spin energies, and the solid line is a guide to the eyes. There is no i0

dependence for a large value of i0 within the error margin.

0.075 0.076 0.077 0.078 0.079 0.08

0.081 0.082 0.083

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

L = 36K = 1.0

Ee/

L

i0

Fig. 2.19: Dependence of the elastic energies per site Ee/L on the kink position i0 for L = 36and K = 1. The crosses are the elastic energies, and the solid line is a guide to the eyes. Thereis no i0 dependence for a large value of i0 within the error margin.

34

-0.417

-0.416

-0.415

-0.414

-0.413

-0.412

-0.411

-0.41

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

L = 36K = 1.0

E/L

i0

Fig. 2.20: Dependence of the total energies per site E/L on the kink position i0. The crossesare the summation of the spin and elastic energies per site. The total energy saturates at a largevalue of i0 within the error margin.

35

第3章 格子の自由度と結合した二次元反強磁性Heisenberg模型における有効スピンの誘起位置

前章では格子の自由度と結合した一次元反強磁性 Heisenberg模型の絶対零度における

性質について報告した．我々の最終的な目的は有効スピンが希釈部位から離れた場合でも

反強磁性長距離秩序が存在するかどうかを確認することである．量子効果のある一次元系

の基底状態では連続対称性の破れの伴う反強磁性長距離秩序は存在しないと考えられて

いる [82]．また，Mermin-Wagnerの定理 [83,84]により低次元系の有限温度では，自発的

に連続対称性を破るような秩序状態は存在しない．従って，我々は二次元系における基底

状態を調べる必要がある．以下では，格子の自由度と結合した二次元反強磁性Heisenberg

模型の基底状態の性質と希釈効果を調べる．

3.1 二次元 pure系

ここでは，格子の自由度と結合した二次元反強磁性 Heisenberg模型の基底状態ではど

のような格子歪みが安定化しているかを調べる．希釈部位を含まない二次元 pure系のハ

ミルトニアンは

H = Hsp +Hs +Hp, (3.1.1)

Hsp = J∑

i, j

(1 + ∆i, j)Si, j · Si+1, j, (3.1.2)

Hs = J′∑

i, j

Si, j · Si, j+1, (3.1.3)

Hp =K2

∑i, j

∆2i, j, (3.1.4)

である．ここで，Si, jは j番目の鎖の i番目のサイト上の S = 1/2スピン演算子，∆i, jはサ

イト i, jと i + 1, jの間の格子歪みである．また，Jをエネルギーの単位とする．二次元系

における安定な格子歪みとして Fig. 3.1に示されているコラムナー型とスタッガード型が

36

(a) columnar type (b) staggered type

Fig. 3.1: Illustrations of the two lattice distortions in the two-dimensional system. The figure in(a) shows the lattice-distortion pattern of the columnar type, and the thick and thin lines alongthe horizontal direction mean the strong and weak bonds, respectively. The lattice-distortionpattern is synchronized as the same phase with the neighbor chains. The figure in (b) showsthat of the staggered type in which the strong and weak bonds are arranged along the neighborchain alternately.

考えられる．Fig. 3.1(a)に示されているコラムナー型は ∆i, j = (−1)i∆と表される格子歪み

を持つ．一方，Fig. 3.1(b)に示されているスタッガード型は ∆i, j = (−1)i+ j∆と表される格

子歪みを持つ．この 2つの格子歪みの内どちらが安定なのかをエネルギーの比較により

調べる．2つの格子歪みの振幅 ∆が同じならばスピン系のエネルギーの比較を行えば良

い．Fig. 3.2は 2つの格子歪みのスピンエネルギーの ∆依存性である．格子歪みの振幅は

0 ≤ ∆ ≤ 0.8，鎖間の交換積分は 0 ≤ J′ ≤ 1の範囲でエネルギーを計算した．全領域でス

タッガード型に比べ，コラムナー型のエネルギーが低いことがわかる．すなわち，常に基

底状態ではコラムナー型が実現している [85]．シングレットダイマーを組んでいるスピ

ンが遠いパスでシングレットダイマーを形成しやすいのがコラムナー型がと考えられる．

従って，基底状態においてスタッガード型よりコラムナー型の格子歪みの方が実現してい

ると考えられる．以降ではコラムナー型の格子歪みのみを考えればよい．

我々の興味は SP状態における有効スピンの誘起位置とAFLROの誘起の有無にあるの

で，基底状態における SP状態が実現するパラメータ領域を調べる必要がある．任意のパ

ラメータの組 K, J′のときの振幅 ∆は次のように求める．コラムナー型を仮定したときの

安定な格子歪みは ∂⟨H⟩/∂∆i, j = 0より，

K∆ =12

(⟨ S1, j · S2, j ⟩ − ⟨ S2, j · S3, j ⟩) (3.1.5)

で与えられる．まず，任意の K, J′において∆を与え， f (∆) = (⟨ S1, j · S2, j ⟩ − ⟨ S2, j · S3, j ⟩)/2を計算する．そして，安定な ∆は曲線 f (∆)と直線 K∆との交点から決定される．エネル

ギー比較でなくEq. (3.1.5)によって安定な∆を求めるのは，より精度良い測定をするため

であり，これによって 10−3の精度で∆の見積もりができる．計算はQMCで行い，温度は

37

-0.8

-0.75

-0.7

-0.65

-0.6

-0.55

-0.5

-0.45

-0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Es

/ N

∆

J’ = 0

0.4

0.6

0.8

1.0

staggeredcolumnar

Fig. 3.2: Comparison of the spin energies in the two distortion types. The horizontal and verticalaxes are the distortion amplitude ∆ and the spin energy per site Es/N , respectively. The brokenand solid lines indicate the energy in the staggered and columnar types, respectively. The rangeof the interchain exchange integral is from 0 to 1.0.

T = 0.01，系のサイズは L× L = 32× 32として計算を行った．これらの温度と系のサイズ

では，エネルギーの依存性が無いことを確認している．その結果，Fig. 3.3の K-J′相図が

得られる．丸は相転移点を表し，曲線は相転移点を結んだものである．相転移点のいくつ

かは平均場近似を用いた計算とQMCによる計算で求められており，我々が得た結果と一

致する [86]．ラベルの uniform AFは一様なAF相であること示し，dimerizedは SP相で

あること示す．SP相は弱い J′と Kの領域で安定化することがわかる [74, 87]．

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

J’

K

dimerized

uniform AF

Fig. 3.3: Phase diagram of the ground state with the elastic constant K and interchain exchangeintegral J′. The open circles are the date estimated by performing the QMC, and the solid lineconnecting each circle is a guide to the eyes.

次に格子歪み ∆の鎖間の交換積分 J′依存性を Fig. 3.4に示す．ここでは QMCを T =

38

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

∆

J’

AF

dimerizedK=0.5

K=1.4

Fig. 3.4: Interchain exchange integral J′ dependence of the lattice-distortion amplitude ∆ forvarious elastic constants K (K =0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.2, 1.4 from top to bottom). These dataare indicated in the circles. The squares are the transition points between the AF and dimerizedphases in the bond-alternated system. Those are obtained by performing the QMC in Ref. 88.The broken and solid lines are guides to the eyes.

0.001，L× L = 64× 64で行った．温度と系のサイズは，エネルギーのそれぞれに対する依

存性が無くなるのに十分な値を採用した．Fig. 3.4を見ると，J′が大きい領域でAF相が安

定であることが分かる．また，小さい Kの領域で SP相が安定であることが分かる．∆は

J′の変化より Kの変化により強く反応することがわかる．J′を大きくしていくと，四角

と実線で示される境界線で急速に 0に向かう．この相転移は一次相転移のような振る舞い

を見せている．ここで，四角で示される境界線は参考文献 88で報告されているQMCに

よって計算された二次元正方格子反強磁性Heisenberg模型 [88,89]におけるAF-dimerzied

相転移点である．∆が 0になる境界線とこの相転移点はよく一致することがわかった．

様々な J′における∆のK依存性を Fig. 3.5に示す．J′ = 0の時，∆ ∝ K−3/2の関係が成り

立つことがわかっている [46,48]．横軸のスケールをK−3/2に取ったものをFig. 3.5の挿入図

に示す．J′が小さいデータは∆ ∝ K−3/2に近い関係性があるとわかる．この関係式は一次元

XXZボンド交替系においてボンド交替の大きさとエネルギーの関係式 E(∆) − E(0) ∝ ∆4/3

により導出された関係式である．そこで，今回の模型の Es(∆)−Es(0)の∆依存性をFig. 3.6

に示す．ここで Es(∆)は Es(∆) = Esp(∆) + Esとする．Esp(∆)と Esはそれぞれ，Eq. (3.1.2)

とEq. (3.1.3)のハミルトニアンの基底状態のエネルギーである．計算に用いる温度と格子

のサイズをそれぞれ T = 0.01と L× L = 32× 32とした．系が SP状態である条件は，格子

歪みが存在しない場合より格子歪みの存在する場合の方がエネルギーの利得が大きいこと

である．　この条件を式で示すと −(Es(∆) − Es(0)) > EKとなる．ここで，EKは基底状態

におけるHpのエネルギー固有値である．Fig. 3.6では全てのデータが ∆とともに単調増

39

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

∆

K

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3

∆

K-3/2

Fig. 3.5: Dependence of the lattice-distortion amplitude ∆ on the elastic constant K for variousinterchain exchange integrals J′ = 0, 0.2, 0.3, and 0.4 expressed by the squares, circles, trian-gles, and diamonds, respectively. The inset shows the dependence of ∆ on K−3/2. All lines areguides to the eyes.

加する．Es(∆)−Es(0) ∝ ∆2νだと仮定し，νの J′依存性を調べ，Fig. 3.6の挿入図に示した．

J′ = 0の場合は ν = 2/3 < 1であり，EKは∆2に比例する．従って，一次元系の基底状態は

SP状態になる．一方で，J′ , 0の場合，νが J′に比例することから，ν > 1である領域が

あるので，SP状態の領域は小さくなると考えられる．挿入図に示したデータを 1次関数で

フィッティングすると ν = 2/3+ 0.375J′であるとわかった．しかし，ν = 2/3+ 0.375J′ < 1

である領域と Fig. 3.3の相転移点は一致しない．このことは Es(∆) − Es(0)が単純に ∆2で

表すことができないことを示す．この問題は本研究の目的から外れるので，これ以上は議

論しない．

40

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-(E

s()

- E

s(0))

/ N

0.6

0.9

1.2

0 0.5 1

ν

J'Δ

Δ

J’=0

J’=1

Fig. 3.6: Dependence of the difference in the spin energies Es(∆)−Es(0) on the lattice-distortionamplitude ∆ for the interchain exchange integrals J′ = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 and 1 expressed bythe pluses, crosses, squares, circles, triangles, and diamonds, respectively. The lines are givenby performing the least-squares fitting with a function f (x) = ax2ν. The inset shows the J′-dependence of the exponent ν. The line in the inset is the fitting function ν = 2/3 + 0.375J′.

41

3.2 二次元 impure系

二次元ボンド交替系における不純物誘起有効スピンの振る舞いについては様々な研究

がなされてきた．しかし，その研究の多くは J1-J2模型において鎖内の交換積分がコラム

ナー型を保持すると仮定されているか，格子の自由度がある模型の鎖間の相互作用に平均

場近似を行ったものである．これらの場合，有効スピンに対する閉じ込め効果が強く働い

た結果として弱い鎖間相互作用で不純物に束縛される．しかし，これらの結果ではNQR

の実験結果を説明できない．我々は不純物間の格子歪みが一次元系のものになるという仮

定のもとに有効スピンの振る舞いを調べた．

3.2.1 サイト希釈系

我々はまず，本研究の模型において，有効スピンが希釈サイト間の中央に誘起する可能

性があるかを調べるために，格子の自由度を考慮した二次元系におけるサイト希釈誘起有

効スピンの位置について調べた．このとき，希釈サイト間の格子歪みを Fig. 3.7に示す 2

タイプ．

∆i, j = ∆dil(−1)i−1 cosπm

Nb − 1(i − 1)

(3.2.1)

に仮定した．ここで，∆dilは格子歪みの振幅，Nbは希釈サイト間のボンドの本数を表す．

また，mは格子歪みを決めるパラメータである．Fig. 3.7(a)のタイプはm = 0を与えた場合

の格子歪みであり，この格子歪みをA-typeと呼ぶ．m = 0とした場合，∆i, j = ∆dil(−1)i−1で

ある．このとき，一方の鎖端は強いボンドとなり，他方の鎖端は弱いボンドとなる．従っ

て，有効スピンは希釈サイト近傍に誘起すると期待される．Fig. 3.7(b)の格子歪みはm = 1

のときに与えられる [67,69]．我々はこの格子歪みをB-typeと呼ぶことにする．B-typeで

は希釈サイトの最近接ボンドが最も強いボンドとなり，有限鎖の中央に向かうにつれて振

幅が弱くなるような格子歪みを与える．鎖中央付近が最もスピン相関が弱くなると考えら

れるので，有効スピンが中央に誘起されると期待される．弾性定数 Kが弱い領域 K ≃ 1

や格子の熱ゆらぎの無い系では双曲線正接関数状の格子歪みだと考えられている [67,90]．

一方で，Kが強い領域や格子の熱ゆらぎがある系では，Eq. (3.2.1)のような三角関数状の

格子歪みが実現すると数値的に提案されている [67,69]．ここでは，調査する Kと J′の全

領域でEq. (3.2.1)を用いて調査を進める．A-typeはもともと希釈のない鎖で実現する格子

歪みなので，希釈濃度が 0の極限において実現することが期待される．一方で，B-typeは

奇数鎖において実現する格子歪みなので，鎖間の交換積分が 0の極限で実現することが期

待される．

42

(a) A-type lattice distortion

(b) B-type lattice distortion

Fig. 3.7: Illustration of two types of the lattice distortion. The thick and thin lines along tothe chain direction mean the strong and weak bonds, respectively. The distortion pattern in thefigure (a) shows the regular bond-alternated pattern, and we call it ”A-type”. The distortionpattern called ”B-type” in the figure (b) shows the incommensurate pattern. The ellipses in (b)correspond to the strong bonds, and those grayscales express the shortness of the bonds.

我々はA-typeと B-typeにおける基底状態のエネルギーをQMCを用いて計算し，比較

することにより磁気相図を調べる．系のサイズは，Lxを鎖の長さ，Lyを鎖の本数として

Lx×Lyとし，2サイトを希釈する．また，温度依存性が無いことを確認するためにT = 0.01，

0.005の二種類の温度で計算した．格子には周期境界条件を課す．エネルギーの ∆dil依存

性の例を Fig. 3.8に示す．Fig. 3.8の結果では，J′ = 0.1, 0.6の時のバルクの格子歪みの

振幅はそれぞれ ∆ = 0.568(1), 0.448(1)である．我々は J′ = 0.1の時，∆dil = 0.75の振幅

で B-typeが安定化し，J′ = 0.6の時，∆dil = −0.45で A-typeが安定化することを見つけ

た．∆dilの符号がマイナスであることは，Fig. 3.7(a)のように希釈サイトの右側のボンド

が弱いボンドであることを示す．A-typeの振幅 ∆dilの値はバルクの振幅 ∆の値に近いが，

B-typeの場合はバルクの振幅に対して非常に大きい．このことは三角関数状の格子歪み

を仮定したことが主な要因となっていると推測される．もし，B-typeの格子歪みを双曲線

正接関数で与えれば，一次元系の議論の場合と同様にバルクの振幅の値に近づいていくこ

とが予測される．A-typeと B-typeのエネルギー差を生む主たる要因は，希釈された鎖上

のスピンエネルギーの差と弾性エネルギーの差，B-typeにおける希釈された鎖と最近接

鎖との格子歪みの不整合性から生じるエネルギー損失である．一次元系の章でも触れたよ

うに，A-typeはスピンエネルギーを最小にするが，弾性エネルギーを大きくする．一方

で，B-typeはA-typeに比べてスピンエネルギーの損失が生じるが，弾性エネルギーを小

さくすることができる．さらに，二次元系では B-typeの場合は希釈された鎖と最近接鎖

との間に格子歪みの不整合が生じ，そのことが原因で鎖間のスピンエネルギーの損失が生

じる．これらの兼ね合いで安定な格子歪みのタイプが決定される．

43

-0.496-0.495-0.494-0.493-0.492-0.491-0.49

-0.489-0.488-0.487-0.486

-1 -0.5 0 0.5 1

E /

N

∆dil

J’ = 0.1

(a)A-typeB-type

-0.548-0.546-0.544-0.542-0.54

-0.538-0.536-0.534-0.532

-1 -0.5 0 0.5 1

E /

N

∆dil

J’ = 0.6

(b) A-typeB-type

Fig. 3.8: Examples of the comparison of the total energies per site of the systems with the A-and B-type lattice distortions. The system size is Lx × Ly = 64 × 8, and the elastic constant isK = 0.6. The interchain exchange integrals are J′ = 0.1 and J′ = 0.6 for the figure (a) and(b), and the squares and circles indicate the energies for A- and B-type, respectively. In theseexamples of comparison, we can find that the B- and A-types are stable for J′ = 0.1 and 0.6,respectively.

Fig. 3.3の SP相内でA-typeまたはB-typeのどちらが安定であるかを上記の方法で調べ

た相図が Fig. 3.9である．計算は Lx × Ly = 64× 8, 128× 8の系のサイズで実行した．本研

究では希釈サイトの数を 2つに固定しているので，鎖の長さ Lxの違いは希釈濃度の違い

に相当する．すなわち，Fig. 3.9(a)よりもFig. 3.9(b)の方が希釈濃度が低いわけである．ま

た，鎖の本数 Lyはこれ以上増やしても相図には影響がないことを確認している．相図内

のダイアモンドとクロスはそれぞれA-typeと B-typeを表している．Figs. 3.9(a)と 3.9(b)

のどちらの相図でも大きい J′と小さい Kの領域でA-typeが実現しており，逆に小さい J′

と大きい Kの領域でB-typeが実現している．2つの相図で異なるのは，Fig. 3.9(a)と比べ

て Fig. 3.9(b)のA-typeの領域がより大きい Kまで広がっていることである．つまり，希

釈濃度を低くしていくとより大きい Kの領域にA-typeの領域が広がっていくことがわか

る．このことは前述した希釈濃度が 0の極限ではA-typeになるという予想と一致する．

我々は有効スピンの誘起位置を確認するために，一次元系と同様に希釈された鎖におけ

る局所場帯磁率

χloci =

∫ β

0⟨ S z

i (τ)Szi (0) ⟩dτ (3.2.2)

を確認した．ここで，β, τは逆温度と虚時間を表す．Fig. 3.10(a)は Fig. 3.9(a)における

K = 0.8, J′ = 0.2の結果であり，基底状態は B-typeである．希釈サイトは ri = 1, 33に

与えており，有効スピンは希釈サイトから離れた鎖の中央に誘起している様子が確認でき

る．Fig. 3.10の鎖の長さは Lx = 64であり，希釈サイトを差し引くと希釈サイト間のスピ

44

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

J'

K

dimerized

uniform AF

(a)

64 × 8A-type

B-type

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

J'

K

dimerized

uniform AF

(b)

128 × 8A-type

B-type

Fig. 3.9: K-J′ phase diagrams of the site-diluted systems. The system sizes in the figures (a)and (b) are given by Lx × Ly = 64 × 8 and 128 × 8, respectively. The circles with the error barare the transition point AF and SP state obtained by the nondiluted system, and the solid linepassing through those marks is a guide to the eyes. The solid diamonds or crosses indicate thatthe stable distortion is the A-type (m = 0) or B-type (m = 1) at each point, respectively.

ンの数は 31個となり，nを整数とすると (Lx − 2)/2 = 4n − 1と表せる．奇数鎖で B-type

の格子歪みが形成されると，鎖の両端のボンドからシングレットダイマーが形成される．

そして，鎖の中央では 2本のボンドが単独でシングレットダイマーを組むことができな

い状態になり，2本のボンド上の 3スピンが trimerを形成する [91]．この 3スピンの部分

が Fig. 3.10(a)のピーク部分に対応する．このピークは有効スピンに対応するものである．

Fig. 3.10(a)は一次元系と異なってピークを中心に非対称であることがわかる．これは鎖間

の相互作用を通して強いボンド同士が隣り合おうとするからだと推測される [60, 85]．奇

数鎖には二つの位相のダイマーパターンがソリトンを隔てて存在する（Fig. 3.7）．最近

接鎖と奇数鎖が同位相でシングレットダイマーを形成している場合は，奇数鎖内のシン

グレットダイマーを強めようとし，逆位相の場合は，奇数鎖内のシングレットダイマー

を弱めようとする．その結果として，χloci の非対称性が生じる．同じ K, J′で鎖の長さが

Lx = 128の場合の結果を Fig. 3.10(b)に示す．希釈サイトは ri = 1, 65とした．Fig. 3.10(b)

を見ると希釈サイトの最近接サイト上に有効スピンが生じていることがわかる．このパラ

メータ領域ではA-typeが基底状態であり，有効スピンの幅がB-typeと比べて小さいこと

から希釈サイトに強く束縛されている様子が伺える．この有効スピンの幅の違いが長距離

秩序の発現に影響するかどうかを次章で議論する．

45

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

10 20 30 40 50 60

χilo

c

ri

(a) B-type

0

0.05

0.1

0.15

0.2

20 40 60 80 100 120

χilo

c

ri

(b) A-type

Fig. 3.10: Local-field susceptibilities at site ri for the ground state in the (a) 64 × 8 and (b)128 × 8 systems with K = 0.8 and J′ = 0.2. The lines are guides to the eyes.

46

Jaf

Fig. 3.11: Illustration of the effective interaction Jaf . When the bond is diluted, the two spinsarise at the adjacent sites. The two spins interact each other via the interchain interaction.

3.2.2 ボンド希釈系

次に我々は本研究の模型に対してボンド希釈を行い，安定な格子歪みを求めた．ボン

ド希釈の場合に仮定した格子歪みのタイプを Fig. 3.12に示す．Fig. 3.12(a)はA-typeの格

子歪みを表し，(b)はB-typeの格子歪みを表す．格子歪みの与え方はサイト希釈と同様に

Eq. (3.2.1)を用いる．A-typeでは希釈ボンドの両端のサイトに有効スピンが生じると予測

される．しかし，参考文献 [60]の結果より鎖間の相互作用を通して希釈ボンドの両端の

サイトのスピン同士に Jaf ∼ J′2(1+∆)の相互作用が働き，シングレットダイマーを再形成

する可能性がある（Fig. 3.11）．B-typeはサイト希釈系と同様に希釈ボンド間の中央に有

効スピンが誘起すると予測される．

Fig. 3.13はボンド希釈の場合のK− J′相図である．系のサイズはFig. 3.13(a)は Lx×Ly =

62× 8，Fig. 3.13(b)は Lx × Ly = 126× 8である．主な傾向はサイト希釈系と同様であるが，

ただ一つ違う点は Fig. 3.13(a)におけるA-type相が Fig. 3.9(a)におけるA-type相よりわず

かに広いことである．具体的には (K, J′) = (0.5, 0.2), (0.6, 0.3), (0.8, 04)付近である．全エ

ネルギーを調査するとスピン系のエネルギー Es = Hsp +Hsに差が生じることがわかった．

弾性エネルギーの方では差が見られなかった．前述したように希釈ボンドの両端のスピン

には有効相互作用 Jaf ∼ J′2(1+∆)が生じている．この相互作用によりスピンシングレット

が再形成されて，該当するスピンと繋がっている鎖内のボンドのスピンエネルギーが下が

る．その結果としてA-type相の拡大が生じたと考えられる．一方で，より大きいサイズ

の結果である Fig. 3.13(b)は Fig. 3.9(b)と比べても違いを観測できなかった．変化が分か

りづらい原因として，大きいサイズでは，相境界付近の J′と ∆が小さいせいだと考えら

れる．

47

(a) A-type lattice distortion

(b) B-type lattice distortion

Fig. 3.12: Illustration of two types of the lattice distortion. The thick and thin lines along tothe chain direction mean the strong and weak bonds, respectively. The distortion pattern in thefigure (a) shows the regular bond-alternated pattern, and we call it ”A-type”. The distortionpattern called ”B-type” in the figure (b) shows the incommensurate pattern. The ellipses in (b)correspond to the strong bonds, and those grayscales express the shortness of the bonds. TheA-type keeps the distortion pattern of the nondiluted system, and the nearest-neighbor bonds ofthe diluted bonds in the B-type distortion are shorter than those in the A-type.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

J'

K

dimerized

uniform AF

(a)

62 × 8A-type

B-type

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

J'

K

dimerized

uniform AF

(b)

126 × 8A-type

B-type

Fig. 3.13: K-J′ phase diagrams of the bond-diluted systems. The system sizes in the figures (a)and (b) are given by Lx × Ly = 62 × 8 and 126 × 8, respectively. The circles with the error barare the transition point AF and SP state obtained by the nondiluted system, and the solid linepassing through those marks is a guide to the eyes. The solid diamonds or crosses indicate thatthe stable distortion is the A-type (m = 0) or B-type (m = 1) at each point, respectively.

48

第4章 格子の自由度と結合した二次元反強磁性Heisenberg模型における反強磁性長距離秩序の発現

前章では，サイト希釈系とボンド希釈系における有効スピンや格子歪みのキンクの発現

位置について議論した．この章では，サイト希釈系において A-type，B-typeの格子歪み

を仮定した場合のスタッガード磁化を計算し，NQR実験から見出された格子歪みの状態

で実際にスピンが秩序化するのかを調べる [92]．

4.1 計算方法

ハミルトニアンは前章と同じハミルトニアン (3.1.1)である．本研究で取り扱う模型は

希釈系である．希釈系では，希釈サイトをランダムに配置し，物理量の平均値を計算す

る．希釈サイト間の格子歪みは前章のようにA-typeとB-typeの格子歪みを採用する．本

研究では，より実験で得られた状況を再現するために，B-typeの格子歪みとして開放境

界条件を課した一次元系（有限鎖）の格子歪みを採用する．有限鎖の格子歪みは第 2章で

紹介したように双曲線正接関数状の格子歪みになる．サイト希釈を行った二次元系にお

ける物理量の計算は次に説明する手続きで行う．まず始めに，様々な長さの有限鎖の格子

歪みを求めておく．計算に用いる鎖の長さは L = 3 ∼ 64とし，第 2章で説明したように∑i ∆i = 0を束縛条件とした Lagrangeの未定乗数法で求める．次に，格子の自由度と結合

した二次元系に対する希釈を行う．希釈を行う前の二次元格子の格子歪みは第 3章で得ら

れた格子歪みを用いる．弾性定数 K = 1，鎖間の交換積分 J′ = 0.2, 0.3の時，安定な格子

歪みの振幅はそれぞれ ∆ = 0.274(1), 0.245(1)である [93]．二次元系における計算は、無

限系におけるスタッガード磁化への外挿（後述）が行えるサイズである L × L = 64 × 64

まで大きくして実行した．サイト希釈は，一様分布に従って行う．サイト希釈を実行する

と，希釈サイトによって有限長の鎖が生じる．希釈サイト間の格子歪みとして，先に求め

た有限鎖の格子歪みを与える．このようにして作成した格子における物理量をQMCで求

める．以上の手続きを様々な希釈サイトの配置で実行し，物理量の平均値を求める．そし

49

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10-4 10-3 10-2 10-1 100

J’ = 0.3x = 0.1

S s(π

,π)

T

L = 645652483216

Fig. 4.1: Temperature dependence of the static staggered structure factor S s(π, π) for J′ = 0.3and x = 0.1. Various marks describe the results for the system size L. The values of S s(π, π)saturate below T = 0.0005 within the margin of the error bars, and the temperature T = 0.0001is regarded as zero temperature.

て，平均値の精度ができるだけ良くなるまで以上の手続きを繰り返す．

4.2 格子の自由度と結合した二次元Heisenberg模型におけるスタッガード磁化

AFLROの有無はスタッガード磁化を評価することで判断する．スタッガード磁化Msは

M2s = lim

L→∞limT→0

3S s(π, π)L2 (4.2.1)

と定義される．ここで，S s(q)は，構造因子であり，

S s(q) =1L2

∑i, j

e−q·(ri−r j)⟨ S zi S

zj ⟩ (4.2.2)

と定義される．

Fig. 4.1に S s(π, π)の温度依存性を示す．ここで，鎖間の交換積分は J′ = 0.3，希釈濃度

は x = 0.1とし，T = 1 ∼ 0.0001の温度領域で計算した．S s(π, π)は T ∼ 0.0001では温度

依存性がないことがわかる [94,95]．そのため，T = 0.0001は絶対零度とみなせる．S s(q)

が飽和するには非常に温度を下げる必要があることがわかる．

T = 0.0001における S s(π, π)のサイズ依存性をFig. 4.2に示す．xと J′はそれぞれ 0.06 ≤x ≤ 0.24と J′ = 0.3とした．無限系における S s(π, π)への外挿式は線形スピン波近似により

S s(π, π)L2 ≃ a

L+

M2s

3(4.2.3)

50

0 0.0005 0.001

0.0015 0.002

0.0025 0.003

0.0035 0.004

0.0045

0 0.01 0.02 0.03 0.04

T = 0.0001J’ = 0.3

S s(π

,π)

/ L2

1 / L

x = 0.060.08

0.100.14

0.180.24

Fig. 4.2: Dependence of the S s(π, π) on the system size L for J′ = 0.3, T = 0.0001 and, variousconcentrations (x =0.06, 0.08, 0.1, 0.14, 0.18, and 0.24). The lines are obtained by the least-squares fitting with the fitting function Eq. (4.2.3). The intersections of the lines and the verticalaxis are equivalent for M2

s in the thermodynamic limit.

と与えられる [96]．Eq. (4.2.3)は Lが十分に大きい場合の式であり，S s(π, π)/L2が 1/Lの

1次関数で表せるとき，その切片が無限系の Msとなる．Fig. 4.2をみると，L ≥ 32の領

域で S s(π, π)/L2は a/Lの直線になっていることが分かる．Fig. 4.2には示していないが，

x < 0.06では L = 64までの格子でも S s(π, π)/L2は直線とならない．x < 0.06では更に大

きいサイズの格子で計算することが必要となる．

サイズ依存性について言及すると，x > 0.18と x < 0.18とではサイズ依存性が変わっ

ていることに気づく．これはサイト希釈がこの系に及ぼす効果が 2つあることに起因す

る．サイト希釈を行うと有効スピンを生じ，長距離秩序を誘起する．しかし，長距離秩序

がある場合にサイト希釈を行うと相互作用の経路を切断し，逆に長距離秩序を破壊する．

x < 0.18の濃度の時は前者が優勢であり，正味で長距離秩序を成長させる方向にサイト希

釈が働いており，x > 0.18の濃度の時は後者が優勢となり，長距離秩序を破壊するように

サイト希釈が働くと考えられる．

我々は格子の自由度がある場合の Msと比較するために，ボンド交替系の Msも計算し

た．前章で紹介したが，ボンド交替系のハミルトニアンを再度示すと

H =∑

i, j

(1 + (−1)i∆)Si, j · Si+1, j + J′∑

i, j

Si, j · Si, j+1 (4.2.4)

である．この系の不純物誘起AFLROの議論は参考文献 [59, 60]で行われており，良い比

較対象となる．Figs. 4.3(a)，(b)はそれぞれ J′ = 0.3, 0.2のときのスタッガード磁化の希

釈濃度依存性である．三角で示されているのがボンド交替系のスタッガード磁化であり，

四角で示されているのが格子の自由度と結合した系のスタッガード磁化である．また，以

51

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24

Ms

x

Bond AlternatedLDF

J' = 0.3

(a)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24

Ms

x

Bond AlternatedLDF

J′= 0.2

(b)

Fig. 4.3: Dependence of the staggered magnetization Ms on the concentration of site dilution.(a) and (b) present Ms for J′ = 0.3 and 0.2, respectively. The triangles and squares denote thedata of the bond-alternated system and the spin system coupled to the lattice degree of freedom(LDF), respectively. The lines are guides to the eyes.

降のグラフ内における凡例では，格子の自由度と結合した系は LDFと記す．有効スピン

が希釈サイトに束縛されていない場合でもスタッガード磁化が有限になっていることが

わかる．すなわち，有効スピンが不純物から離れていてもAFLROが発現するということ

を Fig. 4.3は示している．Figs. 4.3(a)，(b)のどちらとも低濃度では，濃度の増加とともに

スタッガード磁化が大きくなっていき，高濃度ではスタッガード磁化が減少していく様子

がわかる．また，格子の自由度と結合した系のスタッガード磁化はボンド交替系のスタッ

ガード磁化よりも小さいことがわかる．鎖間の交換積分で比較すると，ボンド交替系，格

子の自由度と結合した系のどちらともスタッガード磁化の値が J′と共に小さくなること

がわかる．Figs. 4.3の破線は，理論的に予想されるMsの概形を示している [59,60]．序論

で述べたAFLRO発現機構を再度簡単に説明する．ボンド交替系でサイト希釈を行ったと

き，局所性の強い有効スピンが誘起される．有効スピン同士には，シングレットの海を介

した長距離の有効的な反強磁性相互作用が働いている．そして，サイト希釈されたボンド

交替系では，この有効相互作用により無限小の希釈濃度でAFLROが発現する．この考え

に従って Figs. 4.3におけるボンド交替系の曲線を引いた．一方で，ボンド希釈されたボン

ド交替系の場合には，前章で述べたように有効スピンは必ず希釈ボンドを挟んで対で誘起

する．このとき，有効スピンの対は鎖間相互作用を介してシングレットダイマーの再形成

を行う（Fig. 3.11）．その結果，ボンド希釈系の低濃度ではAFLROが発現しない．本研

究の格子の自由度と結合した模型では，ボンド希釈系に見られるようなAFLROを消失さ

せようとする相互作用は存在しない．従って，本研究の模型のMsはサイト希釈されたボ

ンド交替系の Msと同様の曲線で表せると考えられる．このような考えの下に，Figs. 4.3

の曲線を引いた．

52

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

xesp

Ms

xes

LDF (J' = 0.3)Bond Alternated (0.3)

LDF (0.2)Bond Alternated (0.2)

Fig. 4.4: Effective-spin dependence of the staggered magnetization for J′ = 0.2 and 0.3. Thecritical concentration χes inferred by Ref. [61] is the value at which Ms vanish. The broken lineis a guide to the eyes.

AFLROの発現は有効スピンによって担われるので，格子の自由度と結合した系におけ

るスタッガード磁化の系の有効スピン濃度依存性を調べた．一次元系の章で確認したよう

に，格子の自由度と結合した系ではサイト数の偶奇性によって磁気構造が変化する．サイ

ト数が偶数個の場合は有効スピンが誘起せず，奇数個の場合は有効スピンが 1つ誘起する．

有効スピン濃度と希釈濃度の関係性を次に説明する数値的な計算によって調べた．周期境

界条件を課した一次元格子上のサイトを希釈濃度 xに従ってランダムに希釈し，奇数鎖を

生成する．その格子で生成された奇数鎖の密度を計算する．この操作を値が収束するまで

行う．計算に用いる系のサイズとしてサイズ依存性が無くなる L = 1024を選び，x ≤ 0.4

の領域で計算を実行した．そして，計算結果を最小二乗法によってフィッティングを行っ

た．以上の計算より，有効スピン濃度 xesの x依存性は

xes = −0.333(5)x2 + 0.510(1)x (4.2.5)

であることがわかった．一方で，ボンド交替系では，希釈サイトの数だけ有効スピンが誘

起する．従って，有効スピン濃度と希釈濃度は等しく，

xes = x (4.2.6)

である．

Eq. (4.2.5)を用いてFig. 4.3の横軸を書き直したものがFig. 4.4である．低濃度領域では，

ボンド交替系と格子の自由度と結合した系の値は互いに近づくことがわかる．J′ = 0.2で

53

は，両方の系の値に違いを見出すことは難しい．J′ = 0.3では，格子の自由度と結合した

系の方がボンド交替系よりも常に小さいことがわかる．スタッガード磁化は xesの増加と

ともに大きくなり，最大値を迎えた後にパーコレーション閾値 xeqp で消失する．xeq

p は，二

次元正方格子に対するサイト希釈でのパーコレーション閾値が Pcl = 0.5927460(5)である

ことから，

xeqp ≃ −0.333(5)(1 − Pcl)2 + 0.510(1)(1 − Pcl) ≃ 0.154 (4.2.7)

と与えられる．J′ = 0.3の時の格子の自由度と結合した系におけるスタッガード磁化の減

少は，この系におけるAFLROの発現のしにくさを表している．次節では，格子の自由度

と結合した系におけるAFLROの発現しにくさの原因について考える．

4.3 シングレットの海の乱れと有効スピンの変化

AFLROはシングレットの海を介して有効スピンが相互作用することで発現することは

すでに述べた．従って，スタッガード磁化の減少の原因として挙げられるのは，シング

レットの海が有効スピンの位置によって影響を受け，有効相互作用が弱くなっていること

が考えられる．また，有効スピン自体が何らかの変化を起こしていることも原因の 1つと

して挙げられる．

4.3.1 シングレットの海の乱れ

我々はまず，シングレットの海の状態を調べた．シングレットの海はシングレットダイ

マー状態になっている格子上の領域である．従って，我々はシングレットの海の状態を調

べるために，最近接スピン間の相関関数の分布を調べる．鎖内の最近接スピン相関

Cl=(x,y),m=(x+1,y) = ⟨ Sx,y · Sx+1,y ⟩ (4.3.1)

の分布を格子の自由度と結合した系とボンド交替系で調べた．温度は T = 0.0001であり，

有効スピン濃度を xes = 0.0647, 0.08とする．また，鎖間の交換積分は J′ = 0.3とする．

Fig. 4.5の横軸はEq. (4.3.1)の値であり，縦軸は横軸の量の出現頻度の分布を表す．上の 2

つがそれぞれ xes = 0.0647の時の格子の自由度と結合した系とボンド交替系の相関の分布

であり，下 2つが xes = 0.08の時の結果である．破線は希釈のないボンド交替系における

最近接スピン相関の値を表す．この破線がシングレットの海が存在していることの指標と

なる．また，Cl,m = 0の時のピークは希釈サイト周りのボンドと関連するものである．ま

ず始めに，格子の自由度と結合した系のピークはボンド交替系のものより小さく，そして

54

0

0.02

0.04

0.06

0.08

xes

= 0.0647

Bond Alternated

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

xes

= 0.08

C(x,y),(x+1,y)

Bond Alternated

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

xes

= 0.0647

LDFNondiluted (x = 0)

Dis

trib

uti

on

0

0.02

0.04

0.06

0.08

xes

= 0.08

LDF

Fig. 4.5: Distribution of the nearest-neighbor spin correlation along the intrachain direction atxes = 0.0647 and 0.08 for J′ = 0.3. The horizontal axis is the strength of correlation, andthe vertical axis corresponds to the frequency of the appearance of the correlation function. Thetriangles and squares are the data for the bond-alternated systems and the spin system coupled tothe lattice degree of freedom. The broken lines are the results for the nondiluted bond-alternatedsystem. The solid lines are guides to the eyes.

広がっている事がわかる．この事は，様々な相関が生じており，シングレットの海が弱く

なっていることを示唆する．次に，それぞれの分布の詳細を見ていく．格子の自由度と結

合した系のピーク位置が破線の位置より上下にシフトしている．このシフトは本研究で取

り入れた仮定によって生じると考えられる．なぜならば，一次元系の計算で得られる格子

歪みの振幅は二次元系の振幅よりも大きく，相関の絶対値も大きくなる．その結果として

シフトが生じると考えている．また，グラフ中央付近に見える非常に弱いピークは格子歪

みのキンク付近の相関の値と一致する．ボンド交替系に見られる右側の大きなピークの隣

に小さなピークが存在する．二次元正方格子 Heisenberg模型では希釈サイト周りのスピ

ン相関が希釈により増強されることがすでに知られており [79]，このピークはその効果

によって生じる．分布の有効スピン濃度依存性としては，有効スピン濃度を大きくすると

ピークが小さくなることがわかる．

より詳しくシングレットの海の状態を調べるために，我々はダイマー秩序変数を計算し

た．ダイマー秩序変数は

D(qx, qy) =

∣∣∣∣∣∣∣ 1N

∑i

eiq·ri⟨ Si · Si+1 ⟩∣∣∣∣∣∣∣ (4.3.2)

55

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.5π π

xes = 0.0647

D(q

x,0)

qx

LDFBond Alternated

Fig. 4.6: Dimer-order parameter D(px, 0) along the qx direction for J′ = 0.3 and xes = 0.0647.The squares and triangles are the results for the spin system coupled to the lattice degree offreedom and the bond-alternated system. The solid lines are guides to the eyes.

と定義される秩序変数である．ここで，Nは全格子点数である．ダイマー秩序変数は系内

のシングレットダイマーの構造を反映し，格子の自由度と結合した系の磁気構造を調べる

ことができる．Fig. 4.6は波数 q = (qx, 0)のダイマー秩序変数の結果である．全空間にお

いてピークを確認したが，qx = 0と πにのみピークが存在し，qx = 0のピークは単なる

スピン相関の絶対値の和であるので，Fig. 4.6では 0.5π ≤ qx ≤ πの範囲のみを表示している．四角が格子の自由度と結合した系であり，三角がボンド交替系の値である．ボンド交

替系は qx = πに鋭いピークを持ち，これはコラムナー型のダイマー秩序を反映している．

一方で格子の自由度と結合した系ではそのピークが消失し，鎖に沿ったダイマー配列が秩

序だっていないことを示す．ピーク消失の原因は Fig. 4.7に示す 2パターンのダイマーの

配置が考えられる．配置 (a)は，奇数鎖が希釈のない鎖の隣に配置された場合である．こ

の配置では，四角で囲われた領域でダイマーパターンの不一致が生じる．配置 (b)は，偶

数鎖が希釈のない鎖の隣に配置された場合である．この配置は偶数鎖全体が隣の鎖とダ

イマーパターンが不一致となる．また，低濃度であるので希釈のある鎖同士が隣り合う可

能性は低いものの，奇数鎖と偶数鎖が隣り合った場合は配置 (a)と同様の不一致が生じる．

以上により，Figs. 4.5からはシングレットの海が存在することがわかるが，Fig. 4.6の結果

を考慮すると格子の自由度と結合した系では希釈によって無秩序なダイマーの配置となっ

ていると考えられる．

56

(a)

(b)

Fig. 4.7: Two types of the dimer configuration on the diluted chain. In (a), there is the odd-site chain between the diluted sites represented by the crosses, and the distortion pattern in theregion surrounded by the square is not in agreement with that of nearest-neighbor chains. In(b), there is the even-site chain between the diluted sites, and the distortion pattern in this chainis not in agreement with that of nearest-neighbor chains.

4.3.2 有効スピンの強さと幅の変化

スタッガード磁化の減少の原因の 1つとして考えられる有効スピンの強さと幅の変化

を調べるために，我々は局所場帯磁率 χloci を格子の自由度と結合した系とボンド交替系で

計算した．系のサイズは Lx × Ly = 64 × 10であり，鎖間の交換積分は J′ = 0.3，温度は

T = 0.0001とした．また，希釈サイトは 1つに固定し，サイト (i = 64, j = 1)に与えた．

格子の自由度と結合した系では，希釈サイト間の格子歪みとして一次元系の結果を用い

た．Fig. 4.8(a)はボンド交替系の χloci の結果である．希釈サイトの隣のサイトでピークが

生じている事がわかり，これは希釈サイトの隣に有効スピンが誘起していることを表す．

Fig. 4.8(b)は格子の自由度と結合した系の結果である．有効スピンが希釈サイトから離れ

て誘起していることが確認できる．そして，ピークの位置（i = 33, j = 1）を中心に左右で

非対称であることがわかる．この系で生じているダイマーパターンは Fig. 4.7(a)であり，

非対称性はダイマーパターンによって引き起こされる．ピークの左側（i < 33）は最近接

鎖同士のダイマーパターンが一致するので，前述したように希釈鎖内のダイマーを強める

ような効果が生じる．ピークの右側（i > 33）は，最近接鎖同士のダイマーパターンが一

致していないので現在のダイマーを積極的に弱める効果が生じる．その結果として，左側

の χloci の値が小さくなり，右側の値は大きくなる．こうして，Fig. 4.8(b)に示されている

χloci の非対称性が引き起こされる．

有効スピンの幅と強さを数値的に比較するために，Fig. 4.8の χloci を最小二乗法によっ

57

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

54 56 58 60 62 64

(a)T = 0.0001Bond Alternated

χ i,jlo

c

i

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

25 30 35 40

(b)T = 0.0001LDF

χ i,jlo

c

i

Fig. 4.8: Local-field susceptibility χloci, j in the (a) bond-alternated system and (b) spin system

coupled to the lattice degree of freedom with a single diluted site on the 64 × 10 square latticefor J′ = 0.3 and T = 0.0001. The horizontal axis is the site index i of the diluted chain. Thecoordinate of the diluted site is i = 64 and j = 1 in the both systems. The circles are χloc

i, j

calculated by QMC simulations. The solid lines are drawn by performing the least-squaresfitting, and the broken lines are guides to the eyes.

てフィッティングした．その結果を Table 4.1に示す．フィッティング関数は

f (i) = ae−(i−i0)/b (4.3.3)

とした．フィッティングパラメータ a, b, i0はそれぞれ，χloci のピークの大きさ，幅，座標

を表す．Fig. 4.8(b)に示されている χloci は非対称であるので，その左右で別々にフィッティ

ングした．Table 4.1を見ると，格子の自由度と結合した系の有効スピンの幅はボンド交

替系と同程度であることがわかった．しかし，有効スピンの強さは大きく異なることがわ

かる．これはスタッガード磁化の減少の原因は有効スピンが広がるよりむしろ，鎖間相互

作用の効果により有効スピンの大きさが小さくなるが挙げられる．有効スピン間の有効相

互作用はHeff =∑

i, j Ji, jSi · S j と与えられると考えられる [52, 55, 59]．ここで，Siは i番目

の有効スピン，Ji, jは i番目と j番目の有効スピン間の有効的な交換積分を表す．このよう

な相互作用が有効スピン間に存在すると考えられるので，有効スピンの大きさが小さくな

れば，系は秩序化しづらくなると考えられる．

58

Table 4.1: Fitting parameters of χloci, j by using the fitting function a exp(−(i − i0)/b). The first

column shows the values of the fitting parameters of χloci in the bond-alternated system. The

second and third columns show those on the left- and right-hand sides of the peak in the spinsystem coupled to the degree of freedom, respectively.

ボンド交替系格子の自由度と結合した系

（ピークの左側)格子の自由度と結合した系

（ピークの右側）a 0.547(1) 0.3762(7) 0.3763(8)b 1.50(1) 1.384(7) 1.771(8)

59

第5章 まとめ

我々は，QMCを用いて格子の自由度と結合した二次元反強磁性Heisenberg模型におけ

る不純物誘起有効スピンと AFLROの発現について調べた．初めに，OBCを課した一次

元系における有効スピンの振る舞いを確認した．サイト数が偶数の場合は格子歪みがボン

ド交替となり，系の状態は非磁性となる．一方，サイト数が奇数の場合は鎖の端から順に

ボンド交替が生じる．鎖の端から離れた部位にキンクが生じる．そして，キンクと同様の

位置に有効スピンが生じる．

次に，格子の自由度と結合した二次元反強磁性 Heisenberg模型の基底状態における希

釈誘起有効スピンの出現位置について調べた．希釈サイト（ボンド）間の格子歪みとして

2タイプの格子歪みを仮定した．一つは，希釈の隣のサイトに有効スピンが誘起するよう

な格子歪みであり，これをA-typeと呼ぶ．もう一つは，希釈間の中央近傍に有効スピン

が誘起するような格子歪みであり，これを B-typeと呼ぶ．

格子の自由度と結合した二次元系における有効スピンの位置に関する計算に先立って，

まず，希釈のない格子の自由度と結合した二次元系の基底状態における安定な格子歪みを

計算する必要がある．また，鎖間の弾性相互作用に関する過去の研究では，SP状態にお

いて鎖間の弾性相互作用はスピン間相互作用とみなすことができることが提案されてい

る [73, 75]．この提案を受けて，本研究における鎖間の弾性相互作用は鎖内のスピン間相

互作用として取り入れた．この時，周期境界条件を課した一次元系の格子歪みはボンド交

替しているので，二次元系では，鎖と垂直な方向に強いボンドが整列するコラムナー型と

鎖と垂直な方向に強いボンドと弱いボンドが交替して配置されるスタッガード型の 2タイ

プが実現することが予測される．この 2タイプのエネルギーをQMCで計算し，比較する

ことで格子歪みの相図を作成した．この模型では反強磁性秩序相（AF相）と spin-Peierls

相（SP相）間の相転移を起こすが，SP相では全ての領域でコラムナー型の格子歪みが実

現していることがわかった．従って，有効スピンの誘起位置を調べる際はコラムナー型の

格子歪みが基礎となる．

コラムナー型の格子歪みを持つ二次元正方格子の 2箇所で希釈を行い，先程述べた格子

歪みを仮定し，有効スピンの誘起位置を調べた．その結果より，高希釈濃度，大きい弾性

定数，小さい鎖間の交換積分の領域でB-typeの格子歪みが実現していることがわかった．

60

A-typeの格子歪みは B-typeの格子歪みより弾性エネルギーが増加する．一方で，A-type

は強いシングレットダイマーを形成できるボンドを B-typeより多く保持できるため，ス

ピン系のエネルギーはA-typeの方がより小さくなる．以上のように，格子歪みのタイプ

はスピン系のエネルギーと弾性エネルギーの兼ね合いにより決まる．弾性定数が大きい場

合や鎖間の交換積分が小さい場合は，より弾性エネルギーによる損失を抑えることができ

るB-typeが安定となる．また，希釈のない系の基底状態が SP状態であることと低希釈濃

度でA-typeが安定化する結果は一致する．過去の研究では，鎖間相互作用として平均場

近似を施したものを採用していたが，このような結果は報告されなかった．我々は，平均

場近似が施された鎖間相互作用は，有限鎖と隣の鎖のボンド交替の位相を過剰に揃えよう

とすると予測していた．本研究の結果はこの予測に合ったものである．

B-typeが安定となるパラメータ領域の傾向は，サイト希釈とボンド希釈で同じであっ

た．しかし，ボンド希釈系では，シングレットダイマーの再形成が行われ，サイト希釈系

と比べてA-type領域が僅かに広いことがわかった．

本研究では，有効スピンの位置を決めるパラメータとして希釈濃度，鎖間の交換積分，

弾性定数を議論した．しかし，実際のCuGeO3では弾性定数の議論がそのまま適用できる

とは考えていない．なぜならば，実際のCuGeO3における格子の自由度は nonadiabaticフォ

ノンであることが示唆されているからである [97]．一方で，鎖間の交換積分は J′ = 0.1

であることが提案されている [14, 15]．CuGe1−xSixO3 に対する NQR実験の結果から B-

typeが実現していると推測している希釈濃度は約 1%である．これらの事から，我々は，

CuGe1−xSixO3の低濃度領域や強い鎖間相互作用を持つ新たな物質でA-typeが実現すると

推測している．また，Cu1−xMxGeO3 (M =Mg, Ni, Zn)でも，同様の相転移が存在すると

推測している．

次に，我々は有効スピンが希釈サイトから離れて誘起した場合の不純物誘起AFLROの

発現可能性を調べた．もし，有効スピンが希釈サイトから離れて誘起した場合，有効スピ

ンの幅が広がり，希釈前の格子のスタッガード性が保存されないことが予想される．結果

として，有効スピンが希釈サイトから離れた場合でも，K = 1, J′ = 0.2, 0.3のパラメータ

領域でAFLROが発現していることがわかった．また，同等のパラメータ領域におけるボ

ンド交替系のスタッガード磁化と比べるとその値は小さくなることがわかった．その原因

はAFLROの発現機構を考慮すると，シングレットの海や有効スピンが変化していること

が原因だと推測される．

スタッガード磁化の減少の原因を探るために，我々は最近接スピン間相関の分布．鎖内

のダイマー秩序変数，局所場帯磁率を調べた．最近接スピン相関の分布の結果では，ダ

イマー状態を表すピークの値がボンド交替系と比べて小さくなっていることがわかった．

61

ダイマー秩序変数の結果では，ボンド交替系の場合に見られたコラムナー型のダイマー

秩序を表すピークが格子の自由度と結合した系では完全に消失していることがわかった．

これらの結果から，SP短距離秩序は存在していることがわかった．また，このことから，

我々はシングレットの海が乱されてはいるが，存在すると考えている．序論で紹介した

ように，Cu1−xMgxGeO3における SP相は SP秩序が長距離秩序になっている SPLRO相と

短距離秩序になっている SPSRO相の 2つから成っていると報告されている．また，SP相

とAF相の共存相においても SPSRO相と SPLRO相が分離している可能性がある．本研究

の結果を SPSRO相とAF相の共存相と関連付けることができるかもしれない．すなわち，

我々は，NQR/NMR測定実験によって得られた有効スピンが不純物から離れて誘起する状

況は，SPSRO相とAF相の共存相の存在を示唆すると考えている．しかし，さらなる議論

は今後の課題である．Cu1−xMxGeO3やCuGe1−ySiyO3は，x ≲ 0.03や y ≲ 0.01の濃度領域

で SP秩序とAFLROの共存相を示す．従って，サイト希釈系で共存相を対象にした研究

をするためには x ≲ 0.03の濃度におけるスタッガード磁化と最近接スピン間相関やダイ

マー秩序変数を計算することが必要であると考えている．

局所場帯磁率の結果から，ボンド交替系と格子の自由度と結合した系におけるそれぞれ

の有効スピンの幅はほぼ同じであり，格子の自由度と結合した系では有効スピンの大きさ

がボンド交替系に比べて小さくなっていることがわかった．従って，AFLROの発現のし

にくさは有効スピンの大きさが小さくなっていることも原因だと考えられる．

以上のことをまとめると以下のようになる．

1. 高濃度，大きい弾性定数，弱い鎖間の交換積分の領域において有効スピンが希釈サ

イト（ボンド）から離れて誘起するNQRの実験結果が示唆している状態を発見した．

• このことより，不純物を含む spin-Peierls物質では，希釈濃度や鎖間相互作用の

値による有効スピンの誘起位置に関する相転移が起こることが示唆される．

2. 有効スピンが希釈サイトから離れて誘起した場合でもAFLROが発現することを発

見した．

• シングレットの海（SP長距離または短距離秩序）が存在し，有効スピンの局

所性が強ければAFLROが発現することを見出した．

本研究において AFLRO発現を確認するために，J′ = 0.3, 0.2の場合において温度を

T = 0.0001まで下げる必要があった．CuGe1−xSixO3では鎖間の交換積分が J′ = 0.1であ

ると提案されている．J′ = 0.1で静的構造因子を飽和させるためには，さらに温度を下げ

62

る必要がある．温度を下げる場合，系のサイズをさらに大きくしなければならない可能性

があり，より低温かつ大きいサイズの格子における計算が本研究の課題である．

低希釈領域におけるダイマー秩序変数とスタッガード磁化の計算を行うことも課題であ

る．本研究でスタッガード磁化を計算した系の希釈濃度より希釈濃度を下げる場合，さら

に大きいサイズの格子で計算する必要がある．

本研究では希釈部位間の格子歪みとして一次元系の格子歪みを採用した．鎖間の弾性相

互作用に対していかなる仮定も用いずに格子歪みの最適化を行うことも今後の課題であ

る．近似なしに格子歪みの最適化が可能になれば，本研究で無視されている有限鎖による

希釈のない鎖の格子歪みへの影響を取り入れた研究ができるようになる．その解決策の候

補として，格子歪みの最適化をモンテカルロ法によって実行することが考えられる．現時

点で実現している格子歪みに対するモンテカルロ法では，シングルアップデート法による

状態更新を行っている．そのために臨界減衰の影響を受け，大きい格子のサイズにおける

シミュレーションが行えない可能性がある．この問題の解決策の候補として流体系に対す

るクラスターモンテカルロ法と似たような方法が考えられる．参考文献 [98,99]では，ク

ラスターモンテカルロ法が二点間のポテンシャルが存在する場合の粒子系に適用されてお

り，格子の自由度と結合した系における格子の変位にこのクラスターモンテカルロ法を適

用できる可能性がある．本研究で用いたA-typeでは，最近接鎖同士の格子歪みの位相を

一致させることでスピン系のエネルギーを小さくしていると考えられる．もし，希釈系の

全てのボンドを最適化した場合，有限鎖の格子歪みが隣の鎖へ伝播し，キンク同士が隣り

合う配置になることが考えられる．その結果として B-typeが安定化する領域が広がる可

能性がある．

63

付録A 量子モンテカルロ法

本研究では量子モンテカルロ法を用いて研究を行う．この章では量子モンテカルロ法に

ついて説明する．モンテカルロ法とは，乱数を用いて観測量の平均を求める数値的計算手

法である．特に系の確率過程がMarkov連鎖に従うとするMarkov連鎖モンテカルロ法は，

格子模型において強力な計算手法の 1つである．しかし，量子的な模型では，ハミルトニ

アンの非可換性によってBoltzmann因子が正確に計算が出来ない．この問題を解決した経

路積分モンテカルロ法を紹介する [100–105]．

A.1 Markov連鎖モンテカルロ法

モンテカルロ法は擬似一様乱数列を用いて系のエネルギー関数を最適化するアルゴリズ

ムである．系が持つ分配関数を計算することは非現実的であるので，系への寄与が大きい

状態のみ重点的にサンプリングすることを考えるというのがMarkov連鎖モンテカルロ法

である．

A.1.1 Markov連鎖

Markov連鎖はマスター方程式によって記述される．系が時刻 tの時，状態 iを取る確率

を P(i, t)，状態 iが状態 jへ単位時間あたりに遷移する確率をωi→ jとするとマスター方程

式は，

P(i, t + ∆t) = P(i, t) −∑i, j

P(i, t)ωi→ j∆t +∑j,i

P(i, t)ω j→i∆t (A.1.1)

と記述される．

マスター方程式の右辺第二項は，時刻 tの時に状態 iである事象と時間 ∆t後に状態 iが

それ以外に遷移する事象の確率を表している．又，第三項は i以外の状態から ∆t後に状

態 iへ遷移する確率を表す．ここで，

Li j = ω j→i∆t, Lii = 1 −∑j,i

ωi→ j∆t (A.1.2)

64

と置けば，以下のように，マスター方程式を行列表示にすることができる．

P(t + ∆t) = LP(t)　 (A.1.3)

P(1, t + ∆t)

P(2, t + ∆t)...

P(n, t + ∆t)

=

1 −∑

j,1 ω1→ j∆t ω2→1∆t . . . ωn→1∆t

ω1→2∆t 1 −∑j,2 ω2→ j∆t . . . ωn→2∆t

......

. . ....

ω1→n∆t ω2→n∆t . . . 1 −∑j,n ωn→ j∆t

P(1, t)

P(2, t)...

P(n, t)

(A.1.4)

Lについては ∑i

Li j = 1 (A.1.5)

が成立しており， ∑i

P(i, t) =∑

i

P(i, t + ∆t) = 1 (A.1.6)

も成立する．また，

Li j ≥ 0 (A.1.7)

は明確である．以上を満たす Lを確率行列という．

Markov連鎖では，ある確率分布 P(t + s∆t)が１つ前のステップ P(t + (s − 1)∆t)のみで

決定できると仮定する．Eq. (A.1.3)のマスター方程式は

P(t + ∆t) = LP(t)

P(t + 2∆t) = LP(t + ∆t)... =

...

P(t + s∆t) = LP(t + (s − 1)∆t)

(A.1.8)

となり，Markov連鎖となっている．まとめて

P(t + s∆t) = Ls P(t) (A.1.9)

となる．

A.1.2 定常Markov連鎖

Markov連鎖モンテカルロに今回用いるMarkov連鎖はエルゴード性を満たす定常Markov

連鎖である．エルゴード性とは「任意の状態 iから状態 jへの遷移は有限回のステップで実

65

P(0) ×L−−−−−−−−→1 ステップ

P(1) ×L−−−−−−−→ P(2) ×L−−−−−−−→ · · · · · · ×L−−−−−−−→ P(eq) ×L−−−−−−−→ P(eq) ×L−−−−−−−→ · · ·←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

(a)←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

(b)

(a):この範囲では初期ベクトルの影響を受ける．ここの計算を空回しという．(b):この範囲からはいくらステップ数を重ねても常に同様な分布を得られる．

Fig. A.1: Illustration of the stationary Markov process. In (a), vectors in this region are affectedfrom an initial vector. This calculation steps is called ”exclusion steps”. In (b), the stationarydistribution is realized.

現する」というものである．エルゴード性を満たしており、なおかつ初期ベクトル P(0)が∑n Pn(0) = 1を満たしているならば、Perron-Frobeniusの定理により任意のベクトル P(0)

はステップ LS→∞の後に唯一の定常分布 limS→∞ P(t + ∆t) = P(eq)に収束する．つまり

P(eq) = L∞P(0) (A.1.10)

となる．Eq. (A.1.10)の定常な解は唯一つ

P(eq) = LP(eq) (A.1.11)

で与えられる．これを定常Markov連鎖という．

A.1.3 Markov連鎖モンテカルロ法の原理

定常Markov連鎖を用いたモンテカルロ法（MCMC）の説明をする．Fig. A.1のように，

適当な初期ベクトル P(0)により出発し，十分なステップ数を経過させて，系の確率分布

が目的とする定常分布 P(eq)に達した後に，この P(eq)を用いて状態 iを N個サンプリング

して

< A >=1N

N∑i

Ai (A.1.12)

を計算する．iは系の状態に大きく寄与するサンプルである．今，iは分布 P(eq)に沿って

発生した N個のサンプルなので期待値 < A >は単純平均の形で与えた．では，その定常

Markov連鎖から目的の定常分布を得るためにはどのように確率行列 Lを決めれば良いか

考える．定常状態でのマスター方程式は

P(eq) = LP(eq) (A.1.13)

66

であった．成分で書くと，

P(eq)i =

∑j

Li jP(eq)j (A.1.14)

である．これを変形していく．

P(eq)i = LiiP

(eq)i +

∑j,i

Li jP(eq)j

= (1 −∑j,i

ωi→ j∆t)P(eq)i +

∑j,i

ωi→ j∆tP(eq)j

∴ 0 =∑j,i

(ω j→iP(eq)j − ωi→ jP

(eq)i )∆t (A.1.15)

この方程式を満足させる解は多数存在するが，十分条件として

ω j→iP(eq)j = ωi→ jP

(eq)i (A.1.16)

を選ぶ．これを詳細釣り合い条件という．

初期分布 P(0)i , P

(0)j が遷移確率ωi→ j, ω j→iによって定常分布 P(eq)

i , P(eq)j へ収束していく．初

期ベクトル P(0)から詳細釣り合い条件を満たすような確率過程を始めた時，遷移可能な全

ての状態間で定常分布への収束が常に起こるわけではないが，ωi→ jがエルゴード性を満

たしているならば必ず定常分布へ収束する経路を持つ．

A.1.4 詳細釣り合い条件を満たす遷移確率

以上より定常Markov過程を実現するためには詳細釣り合い条件を満たさなければなら

ないことがわかった．詳細釣り合い条件を満たすような遷移確率の与え方は様々な方法が

考えられており，主に熱浴法（Gibbsサンプリング）やMetropolis法を用いる．熱浴法は

遷移確率を

ωi→ j =P j

Pi + P j(A.1.17)

と与える方法であり，これは遷移前の状態によらないようなサンプリングの方法である．

Metropolis法は遷移確率を

ωi→ j = min[1,

P j

Pi

](A.1.18)

と与える方法であり，エネルギーが低い状態へ遷移しやすいサンプリング方法である．い

ずれにせよ，Boltzmann因子が計算できるのであれば Eqs. (A.1.17)，(A.1.18)のいずれか

を採用することで正しいMCMCが実行できる．

67

A.2 経路積分モンテカルロ法

前節で説明したとおり，MCMCを実行するためには Boltzmann因子を用いて詳細釣り

合い条件を満たすような遷移確率を見つける必要がある．ここでは，量子スピン系におけ

る Boltzmann因子をどのように求めるかを説明する．

A.2.1 Suzuki-Trotter分解

まず，量子系におけるモンテカルロ法が与える物理量 Aの平均値

⟨ A ⟩ = 1Z

Tr Ae−βH (A.2.1)

Z = Tr e−βH (A.2.2)

を考える．ここで，Zは分配関数，βは逆温度，H はハミルトニアンを表す．Eq. (A.2.1)

を完全規格化直交系である状態 | i ⟩で表すと，

⟨ A ⟩ = 1Z

∑i

⟨ i | Ae−βH | i ⟩ (A.2.3)

となる．ここで，完全性 ∑j

| j ⟩⟨ j | = 1 (A.2.4)

を用いると Eq. (A.2.3)は

⟨ A ⟩ = 1Z

∑i, j

⟨ i | A | j ⟩ ⟨ j | e−βH | i ⟩ (A.2.5)

と変形される．今， | i ⟩がハミルトニアンH の固有状態ならば，

⟨ A ⟩ = 1Z

∑i

⟨ i | A | i ⟩⟨

i∣∣∣ e−βH

∣∣∣ i⟩

(A.2.6)

となる．ここで，

Ai = ⟨ i | A | i ⟩ , Pi =1Z

⟨i∣∣∣ e−βH

∣∣∣ i⟩

(A.2.7)

と見なせば，

⟨ A ⟩ =∑

i

AiPi (A.2.8)

68

となり，古典的なモンテカルロ法を用いて平均値を求めることができる．次に， | i ⟩が固有状態でない時における ⟨ j | exp(−βH) | i ⟩について考える．exp(−βH)を展開すると，

e−βH = 1 − βH + 12

(−βH)2 + · · · + 1N!

(−βH)n + · · · (A.2.9)

を得る．指数にあった演算子が冪級数の形になったことで実際に計算できるようになった．

つまり ⟨ j | exp(−βH) | i ⟩を求めるためには ⟨ j | Hn | i ⟩を計算すれば良いことがわかる．ここでまた Eq. (A.2.4)を用いて，

⟨ j | Hn | i ⟩ =∑

j1

∑j2

· · ·∑

jn

⟨ j | H | j1 ⟩ ⟨ j1 | H | j2 ⟩ · · · ⟨ jn | H | i ⟩ (A.2.10)

となる． | i ⟩が固有状態ならば，ϵiを固有値として，

⟨ j | H | i ⟩ = ϵiδi j, δi j =

1 i = j

0 i , j(A.2.11)

なので，Eq. (A.2.10)は，

⟨ i | Hn | i ⟩ = (⟨ i | H | i ⟩)n (A.2.12)

となり，全ての iについて期待値を求めることで Eq. (A.2.10)の期待値を計算することが

できる．しかし， | i ⟩が固有状態ではない場合，Eq. (A.2.12)は成立しない．すなわち，

⟨ i | Hn | i ⟩ , (⟨ i | H | i ⟩)n (A.2.13)

となり，全ての nについて期待値を求めなければならない．この計算を実行することは困

難である．

この問題を解決するために次のような操作を行う．系のハミルトニアンが

H =P∑

i=1

Hi (A.2.14)

と局所的なハミルトニアンの一次結合で書けるとする。これにより Boltzmann因子は

e−βH = e−β∑P

i=1Hi (A.2.15)

となる．右辺が exp(−βHi)の積で書けるならば，その期待値は簡単に求まる．Eq. (A.2.15)

の右辺を展開すると Eq. (A.2.9)と同様に

e−β∑P

i=1Hi = 1 − βP∑

i=1

Hi +

−β P∑i=1

Hi

2

+ · · · +−β P∑

i=1

Hi

n

+ · · · (A.2.16)

69

となる．n次の項は， P∑i=1

Hi

n

= (H1 +H2 + · · · +HP)n (A.2.17)

となる．ここで一般に

[Hi,H j] , 0 (A.2.18)

なので，Eq. (A.2.16)は積の形で書くことができない．すなわち，

e−β∑P

i=1Hi ,P∏

i=1

e−βHi . (A.2.19)

そこで，

e−β∑

iHi =

(e−βn∑

iHi

)n(A.2.20)

と変形する．(· · · )内を展開すると，

e−βn∑

iHi ≃ 1 − βn

P∑i=1

Hi +12!

βnP∑

i=1

Hi

2

+ · · · + 1n!

βnP∑

i=1

Hi

n

(A.2.21)

となる．nが十分に大きいとし，一次の項で近似を取ると，

e−βn∑

iHi ≃ 1 − βn

P∑i=1

Hi (A.2.22)

≃P∏

i=1

e−βnHi (A.2.23)

となるので，

e−β∑P

i=1Hi = limn→∞

P∏i=1

e−βnHi

n

(A.2.24)

を得る．これは Suzuki-Trotter公式 [100]と呼ばれている．また，nを Trotter数と言う．

Eq. (A.2.24)を使うことで Eq. (A.2.13)の問題は解決する．すなわち，

⟨i∣∣∣ e−βH

∣∣∣ i⟩= lim

n→∞

⟨i

∣∣∣∣∣∣∣ P∏

i=1

e−βnHi

n ∣∣∣∣∣∣∣ i⟩

(A.2.25)

となり，Boltzmann因子が局所的な Boltzmann因子の積で表現できる．Hiが小さい自由

度で構成されているならば，行列要素 ⟨ i | exp(−βHi/n) | i ⟩は簡単に求まる．Eq. (A.2.24)

70

の期待値を取ると，⟨i∣∣∣∣ e−β

∑Pj=1

∣∣∣∣ i⟩=

⟨i

∣∣∣∣∣∣∣ limn→∞

P∏j=1

e−βnH j

n ∣∣∣∣∣∣∣ i

⟩

≃⟨

i

∣∣∣∣∣∣∣ P∏

j=1

e−βnH j

P∏

j=1

e−βnH j

· · · P∏

j=1

e−βnH j

∣∣∣∣∣∣∣ i

⟩(A.2.26)

となる．Eq. (A.2.26)の二行目の右辺は Trotter数を nで打ち切っている．ここで，⟨i

∣∣∣∣∣∣ P∏

j=1

e−βnH j

= ⟨i∣∣∣∣∣ e−

βnH1e−

βnH2 · · · e−

βnHP (A.2.27)

であるから，完全系 Eq. (A.2.4)を用いて⟨i∣∣∣∣∣ e−

βnH1e−

βnH2 · · · e−

βnHP =

∑k1

∑k2

· · ·∑

kP

⟨i∣∣∣∣ e

βnH1

∣∣∣∣ k1

⟩ ⟨k1

∣∣∣∣ e−βnH2

∣∣∣∣ k2

⟩×

⟨k2

∣∣∣∣∣ · · · · · · ∣∣∣∣∣ kP

⟩⟨kP

∣∣∣∣∣ (A.2.28)

となるので，Eq. (A.2.26)は，⟨i∣∣∣∣ e−β

∑Pj=1H j

∣∣∣∣ i⟩=

∑k1

∑k2

· · ·∑

kP

∑kP+1

· · ·∑kP×n⟨

i∣∣∣∣ e−

βnH1

∣∣∣∣ k1

⟩ ⟨k1

∣∣∣∣ e−βnH2

∣∣∣∣ k3

⟩· · ·⟨

kP−1

∣∣∣∣ e−βnHP

∣∣∣∣ kP

⟩ ⟨kP

∣∣∣∣ e−βnH1

∣∣∣∣ kP+1

⟩· · ·

· · ·⟨

kP×n

∣∣∣∣ e−βnHP

∣∣∣∣ i⟩

(A.2.29)

となり，行列要素の積で書けることから，量子系でのMCMCの計算が可能となる．Trotter

数を nとしていることから，打切り誤差が生じる．Trotter数による打切り誤差の問題は以

降に述べる連続虚時間アルゴリズムにより解消されるので，Trotter数を nのままにして議

論を続ける．

A.2.2 一次元反強磁性Heisenberg模型の経路積分表現

ここでは，本研究の基礎となる模型である一次元反強磁性 Heisenberg 模型に対する

Suzuki-Trotter分解を行う．S = 1/2の一次元反強磁性 Heisenberg模型のハミルトニア

ンH は，

H =L∑

j=1

H j, j+1 (A.2.30)

= JL∑

j=1

(S x

jSxj+1 + S yjS

yj+1 + S z

jSzj+1

)(A.2.31)

71

と書ける．Eq. (A.2.31)に Suzuki-Trotter公式を適用し，量子モンテカルロ法の具体的な計

算方法を考える．ここで，Lは格子点の数， jは格子点の番号，S α (α = x, y, z)はスピンの

各成分であり，Jは交換積分である．また，この系に周期境界条件を課す．ハミルトニア

ンH をスピンの昇降演算子 S ± = S x ± iS yを用いて

H = JL∑

j=1

12

(S +j S −j+1 + S −j S +j+1) + S zjS

zj+1

(A.2.32)

と変形できる．ここで，iは虚数単位である．さらに，以下のパウリ行列

σx =

0 1

1 0

, σy = 0 −i

i 0

, σz =

1 0

0 −1

, σ± = 12

(σx ± iσy) (A.2.33)

を用いて Eq. (A.2.32)を変形すると，

H = J2

L∑j=1

(σ+jσ

−j+1 + σ

−jσ+j+1

)+

12σz

jσzj+1

(A.2.34)

を得る．

反強磁性Heisenberg模型は二部格子であるので，ハミルトニアンH を

H = Hodd +Heven (A.2.35)

と分ける． HoddとHevenは，それぞれ奇数と偶数の番号から始まるボンド上のハミルト

ニアンである．すなわち，

Hodd =

L/2∑j=1

H2 j−1,2 j , Heven =

L/2∑j=1

H2 j,2 j+1 (A.2.36)

とする．Eq. (A.2.24)の Suzuki-Trotter公式により Eq. (A.2.35)の Boltzmann因子は，

e−βH = limn→∞

(e−βnHodd e−

βnHeven

)n(A.2.37)

と分解できる．分配関数 Zは，

Z = Tr e−βH (A.2.38)

であるので，Z = limn→∞ Znとすると

Zn = Tr(e−βnHodd e−

βnHeven

)n(A.2.39)

72

と書ける．同じ副格子に属する局所的なハミルトニアンは互いに可換であるのでEq. (A.2.39)

は，

Zn = Tr

L2∏

j=1

e−βnH2 j−1,2 j

L2∏

j=1

e−βnH2 j,2 j+1

n

(A.2.40)

となる．対角和を取る基底ベクトル

| ϕ ⟩ = | σ1 ⟩ | σ2 ⟩ · · · | σL ⟩ (A.2.41)

を用いると Eq. (A.2.40)は，

Zn =∑ϕ

⟨ϕ

∣∣∣∣∣∣∣∣

L2∏

j=1

e−βnH2 j−1,2 j

L2∏

j=1

e−βnH2 j,2 j+1

n ∣∣∣∣∣∣∣∣ ϕ

⟩(A.2.42)

となる．さらに偶数ボンドと奇数ボンドのBoltzmann因子の間に完全系を挿入していくと，

Zn =∑ϕ1

∑ϕ2

· · ·∑ϕ2n

×⟨ϕ1

∣∣∣∣∣∣∣∣

L2∏

j=1

e−βnH2 j−1,2 j

∣∣∣∣∣∣∣∣ ϕ2

⟩ ⟨ϕ2

∣∣∣∣∣∣∣∣

L2∏

j=1

e−βnH2 j,2 j+1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ϕ3

⟩

×⟨ϕ3

∣∣∣∣∣∣∣∣

L2∏

j=1

e−βnH2 j−1,2 j

∣∣∣∣∣∣∣∣ ϕ4

⟩ ⟨ϕ4

∣∣∣∣∣∣∣∣

L2∏

j=1

e−βnH2 j,2 j+1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ϕ5

⟩...

...

×⟨ϕ2n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣

L2∏

j=1

e−βnH2 j−1,2 j

∣∣∣∣∣∣∣∣ ϕ2n

⟩ ⟨ϕ2n

∣∣∣∣∣∣∣∣

L2∏

j=1

e−βnH2 j,2 j+1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ϕ1

⟩(A.2.43)

となる．Eq. (A.2.43)における右辺左側の Boltzmann因子の列は，ボンド番号が奇数の

Boltzmann因子を表し，右側の列はボンド番号が偶数のBoltzmann因子を表す．縦軸に基

底ベクトル | ϕα ⟩を取り，横軸にサイト番号を取ると Fig. A.2を得る．Fig. A.2における

「虚時間 (Imaginary time)」については後述する．今，Lは偶数とする．黒い部分が相互作

用のあるスピンの組み合わせを表す．この黒い部分をプラケットと呼び，Boltzmann因子

に対応する部分を表す．（ A.2.43 ）式の ⟨ ϕ2 j−1 | exp(Hodd) | ϕ2 j ⟩ の部分が | ϕ2 j−1 ⟩から| ϕ2 j ⟩の部分のプラケットに対応していて，⟨ ϕ2 j | exp(Heven) | ϕ2 j+1 ⟩の部分が | ϕ2 j ⟩から

73

site index i

Imaginary

time

|Φ1〉

|Φ2〉

|Φ3〉

|Φ4〉

|Φ5〉

|Φ6〉

|Φ7〉

|Φ8〉

1 12 3 4 5 6 7 8

|Φ1〉

LL−1

|Φ2N−1〉

|Φ2N〉

Fig. A.2: Figure of the checker-board decomposition. The vertical axis is the imaginary time,and the horizontal axis is the lattice point number. In this figure, the lattice is defined as evennumber, and imposed the periodic boundary condition. Black tiles called ”plaquette” show aset of spins with interaction.

| ϕ2 j+1 ⟩の部分のプラケットに対応している．Eq. (A.2.43)にさらに完全系を入れると，

Zn =∑ϕ1,1

∑ϕ1,2

· · ·∑ϕ1,L/2

∑ϕ2,1

· · ·∑ϕ2n,L/2

×⟨ϕ1,1

∣∣∣∣ e−βnH1,2

∣∣∣∣ ϕ1,2

⟩ ⟨ϕ1,2

∣∣∣∣ e−βnH3,4

∣∣∣∣ ϕ1,3

⟩· · ·

⟨ϕ1, βn

∣∣∣∣ e−βnHL−1,L

∣∣∣∣ ϕ2,1

⟩×

⟨ϕ2,1

∣∣∣∣ e−βnH2,3

∣∣∣∣ ϕ2,2

⟩ ⟨ϕ2,2

∣∣∣∣ e−βnH4,5

∣∣∣∣ ϕ2,3

⟩· · ·

⟨ϕ2, L2

∣∣∣∣ e−βnHL,1

∣∣∣∣ ϕ3,1

⟩...

×⟨ϕ2n,1

∣∣∣∣ e−βnH2,3

∣∣∣∣ ϕ2n,2

⟩ ⟨ϕ2n,2

∣∣∣∣ e−βnH4,5

∣∣∣∣ ϕ2n,3

⟩· · ·

⟨ϕ2n, L2

∣∣∣∣ e−βnHL,1

∣∣∣∣ ϕ1,1

⟩(A.2.44)

となる．ただし，ϕα → ϕα,1とした．Eq. (A.2.44)の各Boltzmann因子は Fig. A.2のそれぞ

れのプラケットを表す．この局所的なハミルトニアンから与えられたBoltzmann因子を部

分 Boltzmann因子と呼ぶ．Eq. (A.2.44)における基底ベクトル | ϕ ⟩は 2n × L/2組あるの

で，スピンの固有ベクトル | σi ⟩は L× 2n× L/2 = L2 × n個ある．しかし，部分Boltzmann

因子は局所的なので，実際取るべき和は少なくなる．exp(−βH1,2/n)について考えると，⟨ϕ1,1

∣∣∣∣ e−βnH1,2

∣∣∣∣ ϕ1,2

⟩=

⟨σ′L

∣∣∣∣∣ · · · ⟨ σ′2 ∣∣∣∣∣ ⟨σ′1

∣∣∣∣ e−βnH1,2

∣∣∣∣ σ1

⟩ ∣∣∣∣∣ σ2

⟩· · ·

∣∣∣∣∣ σL

⟩=

⟨σ′2

∣∣∣∣∣ ⟨σ′1

∣∣∣∣ e−βnH1,2

∣∣∣∣ σ1

⟩ ∣∣∣∣∣ σ2

⟩(A.2.45)

74

となるので，実際に計算すべき自由度は ⟨ σ′2 | ⟨ σ′1 | , | σ1 ⟩ | σ2 ⟩の組み合わせのみである．その他の自由度 ⟨ σi | , | σi ⟩については互いに同じスピン配置を取っているとした．以上のことから分配関数 Znを計算するには，部分 Boltzmann因子

ρ(σ′jσ′j+1;σ jσ j+1) :=

⟨σ′j+1

∣∣∣∣∣ ⟨σ′j

∣∣∣∣ e−βnH j, j+1

∣∣∣∣ σ j

⟩ ∣∣∣∣∣ σ j+1

⟩(A.2.46)

の積をチェッカーボード（Fig. A.2）上で求め，全てのスピン配置の和を取れば良い．これ

からの議論よりわかるが，Fig. A.2の縦軸はSuzuki-Trotter分解によって生じる軸でTrotter

軸と言われる．実空間の経路積分における時間発展演算子は exp(−iHδt)と書かれることを考慮すると，

e−βnH = e−iHδt

... βn= iδt (A.2.47)

となることから

∆τ :=β

n(A.2.48)

と書き，∆τを虚時間と呼び，Trotter軸を虚時間軸と呼ぶこともある．このような分解を

チェッカーボード分解という．また，Eq. (A.2.44)の和はを分配関数 Znの経路積分表現と

いう．Znでは，対角和を取っているので⟨i∣∣∣∣ e−

βnH1

∣∣∣∣ α1

⟩ ⟨α1

∣∣∣∣ e−βnH2

∣∣∣∣ α2

⟩· · ·

⟨αn

∣∣∣∣ e−βnH2

∣∣∣∣ i⟩

(A.2.49)

から虚時間軸には周期境界条件が存在する．それでは，部分Boltzmann因子ρ(σ′j, σ′j+1;σ j, σ j+1)

を具体的に計算する．Eq. (A.2.46)の指数部分を

G j, j+1 =β

nH j, j+1

=βJ2n

(σ+jσ

−j+1 + σ

−jσ+j+1

)+

12σz

jσzj+1

(A.2.50)

とする．基底を

| ↑ ⟩ j | ↑ ⟩ j+1, | ↑ ⟩ j | ↓ ⟩ j+1, | ↓ ⟩ j | ↑ ⟩ j+1, | ↓ ⟩ j | ↓ ⟩ j+1 (A.2.51)

と選び，G j, j+1を行列表示すると，

G j, j+1 =

βJ4n 0 0 0

0 −βJ4nβJ2n 0

0 βJ2n −βJ4n 0

0 0 0 βJ4n

(A.2.52)

75

となる．G j, j+1は部分対角化されているので，中央の部分行列G(0)j, j+1

G(0)j, j+1 =

−βJ4n

βJ2n

βJ2n −βJ4n

(A.2.53)

を対角化する．固有値問題

G(0) | ϵ ⟩ = ϵ | ϵ ⟩ (A.2.54)

を解き，固有値 ϵとそれに属するベクトル | ϵ ⟩を求める．その結果，

ϵ1 =βJ4n, ϵ2 = −

3βJ4n

(A.2.55)

| ϵ1 ⟩ =1√

2

11 = 1√

2

(| ↑ ⟩ j | ↓ ⟩ j+1 + | ↓ ⟩ j | ↑ ⟩ j+1

)| ϵ2 ⟩ =

1√

2

1

−1

= 1√

2

(| ↑ ⟩ j | ↓ ⟩ j+1 − | ↓ ⟩ j | ↑ ⟩ j+1

)(A.2.56)

となる．これによってG(0)j, j+1に対するユニタリー行列Uを得る．

U = U−1 =1√

2

1 1

1 −1

(A.2.57)

さらにユニタリー変換Ω(0)G は，

Ω(0)G = U−1G(0)U

=

ϵ1 0

0 ϵ2

(A.2.58)

となる．以上より部分的なハミルトニアンGについては固有値を得たので，これを部分

Boltzmann因子へ戻す．まず，Eq. (A.2.58)の指数関数は，

e−Ω(0)G = 1 −Ω(0)

G +12!

(Ω

(0)G

)2+ · · · + (−1)n

n!

(Ω

(0)G

)n+ · · · (A.2.59)

となる．Eq. (A.2.59)の右辺へ Eq. (A.2.58)を代入し，まとめると

e−Ω(0)G =

e−ϵ1 0

0 e−ϵ2

(A.2.60)

76

を得る．これをユニタリー逆変換すると

e−G(0)= Ue−Ω

(0)G U−1

=12

e−ϵ1 + e−ϵ2 e−ϵ1 − eϵ2

e−ϵ1 − e−ϵ2 e−ϵ1 + eϵ2

(A.2.61)

となる．Eq. (A.2.52)の対角成分はそのまま代入すれば良いので，

ρ j, j+1 =

e−βJ4n 0 0 0

0 12 (e−ϵ1 + e−ϵ2) 1

2 (e−ϵ1 − e−ϵ2) 0

0 12 (e−ϵ1 − e−ϵ2) 1

2 (e−ϵ1 + e−ϵ2) 0

0 0 0 e−βJ4n

(A.2.62)

を得る．さらに各成分を書き直すと，部分 Boltzmann因子の行列表示は

ρ j, j+1 =

a 0 0 0

0 b c 0

0 c b 0

0 0 0 a

,

a = e−

βJ4n

b = eβJ4n cosh

(βJ2n

)c = e

βJ4n sinh

(βJ2n

) (A.2.63)

となる．Eq. (A.2.63)より部分 Boltzmann因子におけるスピンの配置は

σ j + σ j+1 = σ′j + σ

′j+1 (A.2.64)

を満たすようなものだけ許される．つまり許されるプラケットは Fig. A.3の上段に示される

ような組み合わせである．黒丸がアップスピンを，白丸がダウンスピンを表す．Eq. (A.2.63)

は，プラケット上の 4個の Isingスピンが四体相互作用を持つような系を表している．す

なわち，一次元反強磁性 Heisenberg模型は Fig. A.3の下段に示すような統計力学におけ

る six-vertex模型 [106, 107]へマッピングされることが分かる．また，プラケットの下辺

のスピン状態とその虚時間発展後のスピン状態で S zが保存されているが，これは元々の

ハミルトニアン Eq. (A.2.34)においてH , ∑j

σzj

= 0 (A.2.65)

である為，∑

j σzjが保存していることによる．分配関数はFig. A.2の格子において，Fig. A.3

のプラケットを敷き詰め，全てのプラケットの配置について和を取ることで計算できる．

以上のことと周期境界条件を考慮してプラケットを適当に並び，アップスピンがあるサ

イトを線で繋げると Fig. A.4となる．この線分のことをワールドラインとよぶ．

77

a+

b+

c+ c

−

b−a

−

Fig. A.3: Configurations of spins on the plaquettes and the same plaquettes in the six-vertexpicture. The filled and closed circles show the up and down spins, respectively. The six-typeconfigurations are chosen by the conservation law of S z.

site index i

Imaginary

time

|Φ1〉

|Φ2〉

|Φ3〉

|Φ4〉

|Φ5〉

|Φ6〉

|Φ7〉

|Φ8〉

1 12 3 4 5 6 7 8

|Φ1〉

LL−1

|Φ2N−1〉

|Φ2N〉

Fig. A.4: Illustration of worldlines. The worldlines are made by connecting the same spins.The worldlines satisfy the periodic boundary condition.

78

(a) Old worldline (b) New worldline (c) ”the closed loop”

Fig. A.5: Illustrations of the worldlines and the closed loops. When the worldline (a) is changedto the worldline (b), the difference between the worldlines (a) and (b) shows the closed loopsshown in (c).

A.3 ループアルゴリズム

前節で経路積分モンテカルロ法について述べた．アップデートの方法は各プラケットに

対してローカルにアップデートをする方法とともに，チェッカーボード全体でアップデー

トするグローバルアップデートを用いる．しかし，この方法では臨界減速が生じ，臨界

点近傍におけるサンプリングの効率が非常に悪くなる場合がある．この問題を回避する

ために，本研究では，量子模型にクラスターアルゴリズム [108–110]を適用させた計算方

法であるループアルゴリズム [111–113]を用いる．ループを用いたクラスターアルゴリ

ズムは Evertzらによって six-vertex模型に適用された [111]．前節で示した通り，一次元

Heisenberg模型は二次元の six-vertex模型にマッピングされることが分かった．ここでは，

six-vertex模型にマッピングされた一次元Heisenberg模型に対するループアルゴリズムに

ついて解説する．

A.3.1 ループアルゴリズムの詳細

虚時間軸に周期境界条件が課されたチェッカーボード上で，あるワールドラインから新

しいワールドラインへの状態更新を考える．Fig. A.5の示すように，ワールドライン (a)

から状態更新を行い，ワールドライン (b)を得たとする．このとき，(a)と (b)の差分を取

ると (c)のような閉じたループが存在する．ループアルゴリズムでは，このループを状態

更新に用いるクラスターとして採用する．実際の計算では，ワールドラインを構成する各

プラケットにループの構成要素であるグラフを割り当ててループを作る．この過程を「ブ

レイクアップ」という．ブレイクアップ後にそのループ上のスピンを確率的にひっくり返

す．この過程をフリップという．ループアルゴリズムではブレイクアップとフリップを繰

り返し実行し，ワールドラインのサンプリングを行う．

79

新しくボンド上の変数であるグラフを導入し，Trotter数が nである分配関数をグラフと

ワールドラインで表すことを考える．Trotter数が nである分配関数を

Zn =∑σ

∏p

ρ(σp) (A.3.1)

とする．pは任意のプラケットを表し，σはプラケット pの四隅の実現可能なスピン配位

を表す．また，ρは部分Boltzmann因子である．一方で，グラフで表現された分配関数を

Z′n =∑G

∏p

w(Gp) (A.3.2)

とする．Gは可能なグラフの全体を表し，Gpはプラケット pでのグラフを表す．また，

wはGpが実現する重みを与える．Eq. (A.3.1)は Eq. (A.3.2)と等しいので，

Zn =∑σ

∏p

ρ(σp) =∑G

∏p

w(Gp) (A.3.3)

さらに新しい重みw(σp,Gp)を定義する．w(σp,Gp)はσpが存在している上で，Gpが実現

する条件つき確率であり，これは次の式を満たす．∑G

∏p

w(σp,Gp) =∏

p

ρ(σp) (A.3.4)

Eq. (A.3.4)により Eq. (A.3.3)は

Zn =∑σ,G

∏p

w(σp,Gp) (A.3.5)

となる．さらに w(σp,Gp)を次のように与える．

w(σp,Gp) = v(Gp)∆(σp,Gp) (A.3.6)

ここで v(Gp)は各グラフの重みであり，∆(σp,Gp)は w(σp,Gp)が有限ならば 1を，0なら

ば 0を返す変数である．Eq. (A.3.6)は Ising模型における Fortuin-Kasteleyn表現 [114]と同

じ表現となっている．従って，Swendsen-Wangアルゴリズムのようなグラフの状態更新

を介したワールドラインの状態更新が行えることがわかる．

ループアルゴリズムによる状態更新を行う場合，グラフの状態更新とワールドラインの

状態更新を熱浴法かMetropolis法で行えば，アルゴリズムの全過程は詳細釣り合い条件を

満たす．ループアルゴリズムが詳細つり合い条件が満たされることを確認する．

(i) 任意のスピン配置σを与えた時に，熱浴法で任意のグラフ配置Gへブレイクアップ

する確率は，

P(σ→ (σ,G)) =w(σ,G)∑G′ w(σ,G′)

(A.3.7)

80

である．ここで，

w(σ,G) =∏

p

w(σp,Gp) (A.3.8)

を用いている．また，熱浴法は前のステップの状態に依らない状態更新であるの

で，Eq. (A.3.7)の左辺のブレイクアップ前の状態にはグラフ変数を与えていない．

Eq. (A.3.4)の pについての積を計算すると，∑G

w(σ,G) = w(σ) (A.3.9)

となり，Eq. (A.3.7)に代入すると

P(σ→ (σ,G)) =w(σ,G)w(σ)

(A.3.10)

となる．

(ii) スピン配置σとグラフ配置Gを与えた時，フリップによってσ′,Gとなる遷移確率

P((σ,G)→ (σ′,G))が詳細つり合い条件を満たすと仮定する．つまり

w(σ,G)P((σ,G)→ (σ′,G)) = w(σ′,G)P((σ′,G)→ (σ,G)) (A.3.11)

とする．

(iii) σをフリップしσ′を得る過程w(σ)P(σ→ σ′)はブレイクアップとフリップの過程を用いて

w(σ)P(σ→ σ′) = w(σ)∑

G

P(σ→ (σ,G))P((σ,G)→ (σ′,G′)) (A.3.12)

と変形できる．Eq. (A.3.12)に Eq. (A.3.10)と Eq. (A.3.11)を用いると

w(σ)P(σ→ σ′) = w(σ)∑

G

w(σ,G)w(σ)

P((σ′)→ (σ,G))w(σ′)w(σ,G)

= w(σ′)∑

G

P(σ′ → (σ′,G))P((σ′,G)→ (σ,G))

= w(σ′)P(σ′ → σ) (A.3.13)

となり，詳細つり合い条件を満たすことが示せた．

ループアルゴリズムにおけるループの作り方を説明する．反強磁性Heisenberg模型にお

ける部分Boltzmann因子は前節の Eq. (A.2.63)で与えられる．つまり反強磁性Heisenberg

81

Fig. A.6: Illustrations of the six-plaquettes distributed to the three groups. When the all spinson the plaquette are up or down, the plaquettes belong to the group 1. In other wards, the group1 has the two worldlines or no worldline. The groups 2 and 3 have the two up spins, and thevertical or diagonal one worldline.

Fig. A.7: Illustrations of the assignment of the graphs on the plaquettes. The two spins in thesame state are connected by the graph. The other combinations than those shown do not realize.

模型では取り得るプラケットは 6種類存在し，これを Fig. A.6のように 3グループに分け

る．3グループに対しそれぞれグラフを割り当て，スピンをフリップした際に実現可能な

変換を考える．まず，2スピンを線で繋ぎ，Fig. A.7のようにグラフを作る．Fig. A.7で得

たグラフの線上の 2スピンをフリップし，別のプラケットを作ることを考えると，Fig. A.8

のようになる．

”Nothing”となっている変換は S zが保存されていないので，∆(σp,Gp) = 0とすること

によって，w(σp,Gp) = 0とする．Fig. A.8を見ると垂直なグラフはGroup1とGroup2のみ

に関わるグラフであることがわかる．これをG12と呼ぶことにする．他のグラフも同様に

G23，G31と呼ぶことにする（Fig. A.9）．Eq. (A.3.4)から

ρ(σp) =∑Gw(Gp, σp) (A.3.14)

を得ることができる．これを見ると部分Boltzmann因子はプラケット p上のすべてのグラ

82

Fig. A.8: Illustrations of the rule of the flipping of the worldline. The illustrations show thetransition between the groups with flipping the connected two spins . ”Nothing” means not toexist the procedure owing to the S z conservation law.

フの重みの和で表せ，Eq. (A.3.6)を代入すると，

ρ(σp) =∑Gv(Gp)∆(σp,Gp) (A.3.15)

Fig. A.9: Illustration of the relation of the graphs and the spin configurations. The graph G12,G23 and G31 mediate between the group 1 and 2, 2 and 3, and 3 and 1, respectively.

83

を得る．次に，Eq. (A.3.15)の v(Gp)を決定する．各プラケットの重みは

ρ(Group1) = a = e−βJ4n (A.3.16)

ρ(Group2) = b = eβJ4n cosh

(βJ2n

)(A.3.17)

ρ(Group3) = c = eβJ4n sinh

(βJ2n

)(A.3.18)

である．Eq. (A.3.15)から aの和をあらわにすると，

a =∑Gv(Gp)∆(Group1,Gp) (A.3.19)

= v(G12)∆(Group1,G12p ) + v(G23)∆(Group1,G23

p ) + v(G31)∆(Group1,G31p ) (A.3.20)

ここで Fig. A.8より

∆(Group1,G12p ) = 1 (A.3.21)

∆(Group1,G23p ) = 0 (A.3.22)

∆(Group1,G31p ) = 1 (A.3.23)

であるから

a = v(G12p ) + v(G13

p ) (A.3.24)

を得る．b, cも同様にして，

b = v(G12p ) + v(G23

p ) (A.3.25)

c = v(G23p ) + v(G13

p ) (A.3.26)

となる．この連立方程式は独立な式が 2つしかないため v(G12p ), v(G23

p ), v(G31p )のうち一つは

定まらない．そこで，条件として v(G31p ) = 0を与えると，

v(G12p ) = a (A.3.27)

v(G23p ) = c (A.3.28)

v(G31p ) = 0 (A.3.29)

となる．すなわちブレイクアップは水平なグラフと垂直なグラフのみで行うことができ

る．系全体をブレイクアップする確率 Eq. (A.3.10)は局所性をあらわに書くと∏p

P(σp → (σp,Gp)) =∏

p

w(σp,Gp)w(σp)

(A.3.30)

84

となることから

P(σp → (σp,Gp)) =w(σp,Gp)w(σp)

(A.3.31)

を得る．さらに，Eq. (A.3.6)より

P(σp → (σp,Gp)) =v(Gp)∆(σp,Gp)w(σp)

(A.3.32)

となる．Eq. (A.3.32)よりプラケットからグラフへのブレイクアップする確率を求める．

P(σp → (σp,G12))の計算をすると

P(Group1→ (Group1,G12)) =v(G12)w(Group1)

=aa

= 1 (A.3.33)

P(Group2→ (Group2,G12)) =v(G12)w(Group2)

=ab

=exp

(−βJ4n

)exp

(βJ4n

)cosh

(βJ2n

)= exp

(−βJ

2n

)cosh−1

(βJ2n

)(A.3.34)

P(Group3→ (Group3,G12)) =v(G12) · 0w(Group3)

= 0 (A.3.35)

となる．同様に P(σp → (σp,G23))を求め，まとめると

P(σp → (σp,G12)) =

1 (σp : Group1)

exp(βJ4n

)cosh−1

(βJ2n

)(σp : Group2)

0 (σp : Group3)

(A.3.36)

P(σp → (σp,G23)) =

0 (σp : Group1)

tanh(βJ2n

)(σp : Group2)

1 (σp : Group3)

(A.3.37)

となる．これを全プラケットで計算してプラケットにグラフを当てはめていく．Fig. A.10

85

Fig. A.10: Illustration of the update process of the worldline. The arrow on the left-hand sideshows the process of the break up, where the white curves are graphs. The loops are made byconnecting the graphs. The arrow on the right-hand side shows the flipping of the worldline.The spins on a loop are flipped with the probability 1/2, which is decided by the thermal-bathmethod. This operation is iterated for all the loops. As a result, the new worldline is generated.

のブレイクアップのようにグラフを敷き詰めると，必ずループがつくられる．次にこの

ループをフリップすることを考える．あるグラフが遷移先に選べるプラケットは Fig. A.9

のように決まっている．あるワールドラインにフリップする確率 P(G → σ′)は熱浴法によって与えられ，

P(G → σ′) = w(σ′,G)∑σ w(σ,G)

=v(G)∆(σ′,G)∑σ v(G)∆(σ,G)

=∆(σ′,G)∑σ ∆(σ,G)

=12l (A.3.38)

となる．ここで lはブレイクアップ時に作られるループの本数である．これは各ループ

に関するフリップする確率は 1/2として良いことを表す．これを用いてフリップすると

Fig. A.10の右側の図のようにワールドラインが更新される．このようにしてグラフを用

いてスピン系の状態更新が行われる．以上の流れで 1回のサンプリングとなる．

A.3.2 連続虚時間ループアルゴリズム

経路積分モンテカルロ法は Suzuki-Trotter分解を用いているために，−βHi/nが十分に小

さいことが仮定されている．しかし，我々の興味は低温域のモデルの性質にある．連続虚

86

時間ループアルゴリズムを用いるとこの問題を回避することができる．以下では連続虚時

間ループアルゴリズム [115]を紹介する．

ループアルゴリズムにおいてブレイクアップする確率は Eq. (A.3.36)と Eq. (A.3.37)で

与えられた．Eqs. (A.3.36)，(A.3.37)における β/nはEq. (A.2.48)より β/n = ∆τである．こ

の ∆τの 0の極限を取ることはトロッター数 n → ∞の極限を取ることである．ループアルゴリズム適用以前の遷移確率は部分Boltzmann因子の積で表現できるが，∆τ→ 0にお

ける遷移確率密度を求めると発散する．よって虚時間は離散的にならざるをえなかった．

一方，ループアルゴリズムで用いる遷移確率 (A.3.37)の密度は∆τ→ 0において発散しな

い．このことから虚時間を連続的に扱うことができる．以下でそのことを示す．

ループアルゴリズムにおいてブレイクアップする確率は Eq. (A.3.36)と Eq. (A.3.37)で

あるが，そのうち一方の採択判定を行えば，他方が採択されるか否かも決定される．よっ

てEq. (A.3.37)の∆τ→ 0の極限を取ることを考える．双曲線関数を∆τ周りで展開し，そ

の最低次の項で近似すると

tanh( J2∆τ

)=

J2∆τ − 1

3

( J2∆τ

)3

+ · · ·

≈ J2∆τ (A.3.39)

となる．∆τ上のプラケットにおけるブレイクアップの確率は

P(σp → (σp,G23)) =

0 (σp : Group1)

J2∆τ (σp : Group2)

1 (σp : Group3)

(A.3.40)

となる．∆ → 0のとき，虚時間方向の分割数は無限大であるので，プラケットはワール

ドラインでしか判断できない．Group 1のプラケットは 0か 2本のワールドラインに属し，

Group 2のプラケットは 1本のワールドラインに属する．そして，Group 3のプラケット

は隣のサイトへジャンプするワールドラインを表す．Eq. (A.3.40)は，Group 1が垂直なグ

ラフに必ずブレイクアップされることを示し，Group 2は J/2∆τの確率で，Group 3は必

ず水平なグラフにブレイクアップされることを示す．∆τ→ 0極限を取ると，確率密度は

lim∆τ→0

J2∆τ

∆τ=

J2

(A.3.41)

になる．つまり，ブレイクアップは次のような操作をすることになる．サイト間をジャン

プしているワールドラインはサイトをつなぐリンクとなり，ワールドラインが 1本であ

る所では J/2の確率でリンクを張る．また，ワールドラインが 0本もしくは 2本の所はリ

87

Fig. A.11: Illustration of the break up. The vertical and horizontal axes are the imaginal timeand the coordinate of site, respectively. The solid line and dashed lines are the worldlines andlinks, respectively.

ンクを張らない．Fig. A.11のようにリンクを配置したときのループを作ることを考える．

ループの作り方は次のようにする．

1. 虚時間方向にワールドラインをたどる

2. リンクにたどり着いたら隣のサイトへ移動する

3. リンクに入ってきた方向と逆向きにワールドラインをたどる

4. 上の動作をスタート地点に戻るまで繰り返す

以上の過程で描かれるループを 1/2の確率でフリップし，ワールドラインの状態更新を行

う．Fig. A.12は上記の手順に従って作られたループ上のワールドラインをフリップした

様子を表す．

88

Fig. A.12: Illustration of the flipping. The additional lines along the worldline and the linksindicate the loops.

89

A.3.3 Improved estimator

ループアルゴリズムではチェッカーボード上にループを作り，そのループをフリップす

ることによって状態更新を行う．このループの性質を用いて物理量を推定する Improved

estimatorという推定量を導入すると，物理量の統計誤差を通常の推定量を用いるより低

く抑えることができる．

Improved estimatorは，あるスピン配置Sが実現する確率 P(S)と観測量O(S)を用いて

Oimpr =∑S

O(S)P(S) (A.3.42)

と定義され，その期待値は Improved estimatorを使わない場合の期待値と同じ値になる．

すなわち，

⟨ O ⟩ =⟨Oimpr

⟩(A.3.43)

である．

この節では，スピン相関の Improved estimatorを紹介する．スピン相関の Improved es-

timatorは次のように定義される．

Oimpr =⟨

S zi S

zj

⟩impr

=∑S∈F

S zi (S)S z

j(S)P(S) (A.3.44)

ここで，F はフリップによって実現可能なワールドラインを表し，Sはスピン配置を表す．⟨ · · · ⟩imprはあるSにおける平均値を表す．Eq. (A.3.44)をパウリスピンσiで表すと

4⟨

S zi S

zj

⟩impr=

∑σ∈Fσiσ jP(σ) (A.3.45)

ここで，σはパウリスピンの配置を表す．二つのスピンが異なるクラスターに属するなら

ば，F は，

• 2スピンがフリップされない．または，その逆の場合．

• 一方がフリップされ，他方がフリップされない．または，その逆の場合．

の四通りが存在する．このことから Eq. (A.3.45)は

4⟨

S zi S

zj

⟩impr= (1 − Pflip

i )(1 − Pflipj )σiσ j

+ (1 − Pflipi )Pflip

j σi(−σ j)

+ Pflipi (1 − Pflip

j )(−σi)σ j

+ Pflipi Pflip

j (−σi)(−σ j) (A.3.46)

90

となる．ここで，Pflipi とは iサイト上のスピンをフリップする確率を表す．Eq. (A.3.46)を

整理すると，

4⟨

S zi S

zj

⟩impr= (1 − Pflip

i )σi(1 − Pflipj σ j + Pflip

j (−σ j)

= Pflipi (σi)(1 − Pflip

j σ j + Pflipj (−σ j)

= (1 − 2Pflipi )(1 − 2Pflip

j )σiσ j (A.3.47)

一方，2スピンが同じループに存在する場合は，両方ともフリップする場合とフリップし

ない場合の二通りが存在する．従って，Eq. (A.3.45)は

4⟨

S zi S

zj

⟩impr= (1 − Pflip)σiσ j + Pflip(−σi)(−σ j)

= σiσ j (A.3.48)

となる．よってスピン相関の Improved estimatorは

4⟨

S zi S

zj

⟩impr=

σiσ j (same loop)

(1 − 2Pflipi )(1 − 2Pflip

j )σiσ j (different loop)(A.3.49)

と表される．これより，相関関数はループのサイズに依存していることがわかる．つまり，

ループが物理的意味を持っていることが表されている．Pflip = 1/2の時，

4⟨

S zi S

zj

⟩impr=

σiσ j (same loop)

0 (different loop)(A.3.50)

とシンプルな式を導くことができる．

Improved estimatorによって測定した期待値⟨Oimpr

⟩の分散と従来の期待値による分散

を比較する．先に従来の方法における分散を求める．⟨ (σiσ j −

⟨σiσ j

⟩)2⟩=

⟨σiσ jσiσ j − 2σiσ j

⟨σiσ j

⟩+

⟨σiσ j

⟩2⟩

=

⟨ (σiσ j

)2⟩−

⟨σiσ j

⟩2(A.3.51)

ここで，σiσ j = ±1であり，⟨σiσ j

⟩は非常に小さいとすると，分散は⟨ (

σiσ j −⟨σiσ j

⟩)2⟩= 1 −

⟨σiσ j

⟩2

≃ 1 (A.3.52)

91

となる．一方，Improved estimatorによる分散を求める．⟨ ⟨σiσ j

⟩2

impr−

⟨σiσ j

⟩ ⟩2

impr=

⟨σiσ j

⟩impr−

⟨σiσ j

⟩2

impr

≃⟨σiσ j

⟩impr

=⟨σiσ j

⟩≪ 1 (A.3.53)

となり，Improved estimatorは従来の方法より分散を小さくすることが分かる．

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