音程と音律の数学　　　　　　　　（作成途中版， 12/11/24 小島 順）

音高（tone, pitch）tone は 音程（interval）との対比で一つの音を意識するときの用語，tone は音についての音質をも含む広い意味を含む。pitch は音の高い低いに限定した意味をもつ。音高は二つの捉え方がある。一つは物理的な振動数として，二つ目は心理的，脳神経科学的な（あるいは音楽としての）”音” としての捉え方である。

振動数としての音高ピアノの”中央の” A は 440 Hz のように，一定のピッチが定められる。この「一定のピッチ」は様々であり，演奏会では 442 Hz などのより高いピッチが普通であるし，バロック音楽においてはチェンバロを 415 Hz あたりに定めることが多い。古典派音楽の（同時代楽器での）演奏では 430 Hz 前後が使われることが多い。A = 440 Hz と定めたときは中央の C（ド）は平均律の場合

C = 2− 912 440Hz = 261.63Hz

となる。任意の音高 X に対して 振動数（ピッチ）の倍率 x が定まり X = xCとなる。この x は C を基準

として X を表現する数値であり，言わば X の ”座標”である。 例えば平均律での G については

G = 2

712 C = 1.4983C

= 2−212 A = 0.89090 × 440Hz = 392.00Hz

のようである。C に関する G の（乗法的，あるいは物理的）座標が 2712 = 1.4983である。絶対

的音高ではなくて C に関する座標，すなわち相対的音高がここでは本質的である。

振動数の比 GC

= 27/12 CC

= 2712 = 1.4983 が分母の C を分子の G に運ぶ。音高 C は (

乗法的に）1.4983 だけ上昇して音高 G に達する。これが C から G への乗法的（物理的）音程である（完全5度 just fifth の近似）。二つの音高，例えばここでは G と C1 = 2Cに対して G から 2C への（乗法的）音程は

C1G

= 2C27/12 C

= 227/12

= 2512 = 1.3348

である（完全4度 just fourth の近似）。G を C1にうつす倍率の 2512 = 1.3348 が G から C1 への

音程（乗法的音程）である。対数による加法的音程への移行振動数の倍率 2 は音程として音楽で特別の位置をしめる。これはオクターブと呼ばれている。心理的に（加法的に）捉えたオクターブを P8と書く（完全8度，just eighth, perfect eighth）。乗法的音程（倍率） x に対する “2を底とする対数” log2 x を使う。log2 2 = 1 であり，写像

int : x! (log2 x)P8で，乗法的音程が加法的（心理的，音楽的）音程に移行する。この写像 int に

1

より，振動数倍率（乗法的，物理的音程）2112 は int(2

112 ) = 1

12⋅P8 = m2 のように，オクター

ブを 12 等分した半音 m2 に写される（移される）。m2 は短3度（minor second）の記号で，これはオクターブを12等分した半音のことである。さらに半音を100等分した一つが セント（Cent）である: P2 = 100 Cent 。一般に，倍率 x に対応する加法的音程は int(x) = (log2 x)P8 = (12 log2 x)P2 = (1200 log2 x) Cent

である。例えば

int(2712 ) = 7

12⋅P8 = 7 ⋅m2 = 700Cent = P5

である（記号の説明は以下に）。

平均律の音程はオクターブ P8 を12等分した半音 m2 で生成される。音程の全体は

m2 ⋅! = {n ⋅m2 | n∈!} の形の自由アーベル群である。それに属する（オクターブ以内の）音程

の表は，「音律について（修正版）」の3ページ図4である。である。

m2 ⋅!の演算（加法）は（その定義により）可換乗法群 (21/12 )! = { 2

n12 | n∈! }の乗法 を写像

int によって移植したものである。例えば，

M3+ m3 = int(2412 ) + int(2

312 ) = int(2

412 ⋅2

312 ) = int(2

712 ) = 7m2 = P5

上記の図4では 1度 = ユニゾン = P1 = 0 Cent短2度 = 半音 ＝ m2 = 100 Cent長2度 = 全音 = M2 (Major Second) = 200 Cent短3度 = m3 ( minor third） = 300 Cent長3度 = M3 = 400 Cent完全4度 = P4 ＝ 500 Cent増4度 = A4（Augmented fourth）＝　600 Cent＝　減5度 = d5 （diminished fifth）＝ 600 Cent完全5度 = P5 = 700 Cent短6度 = m6 = 800 Cent長6度 = M6 = 900 Cent短7度 = m7 = 1000 Cent長7度 = M7 = 1100 Centオクターブ = P8 = 1200 Centとなっている。これらは（オクターブとユニゾンを除き）純正律における音程を近似する対応物である。

音程の自由群の音高への作用

2

対数で加法化された音程は音高に作用する。例を挙げると 　　　　　　　　　　　　 C + M3 = E, E + m3 = G

のようである。これは振動数についての 2412 ⋅C = E, 2

312 ⋅E = G の翻訳である。（ここでは音

高については対数を使う置き換えを行っていない。音程についてだけ置き換えを行っている。）

2412 ⋅C = D,2^\frac{3}{12} ⋅音程の和の，音高への作用についての基本的な”結合律”を確認する。

例として C+ P5 = C + (M3+m3) = (C +M3) + m3 = E + m3 = G

のような。

純正律についてピタゴラスの長3度 M3 := 2P5 - P8 に対して，純正律の長3度 は振動数 5/4 に対応している。ピタゴラス音律は振動数比 として　２と 3 だけを使うが純正律では 2, 3 と合わせて（次の素数） 5 を使う。「音律について（修正版）」の6ページで述べたように，純正率の長3度はピタゴラス音律の長3度よりはシントニック・コンマ 81/80, すなわち，21.5 セントだけ低い。これを コンマの記号をつかって ,M3 と書き，M3 と区別することにする。

純正律での音程の全体は P8 ⋅! + P5 ⋅! + ,M3⋅! = {n ⋅P8 + m ⋅P5 + l⋅,M3 | n, m, l ∈! }

のように，P8（オクターブ），P5（完全5度），,M3（長3度）という3個の生成元をもつ自由アーベル群である。これに属する音程は上記の生成元に関する成分が定まり，この成分で決定される。以下の表では (1,0,0) のような表現を受け付けないので，仕方なしに [1,0,0] のように書いている。

音程名 音程（乗法的） 音程（加法的）単位はセント

成分表示 構成 具体化の例

ユニゾン P1 1 0 [0,0,0] cc

オクターブ P8 2 1200 [1,0,0] cc1

完全5度 P5 /8 702.0 [0,1,0] cg

長3度 ,M3 2−15 = 5 / 4 386.3 [0,0,1] c ,e

完全4度 P4 22 ⋅3−1 = 4 / 3 498.0 [1,-1,0] P8 - P5 gc1

短3度 ‘m3 2 ⋅3⋅5−1 = 6 / 5 315.6 [0,1,-1] P5 - ,M3 ,eg

短6度　‘m6 235−1 = 8 / 5 813.7 [1,0,-1] P8 - ,M3 ,ec1

長6度 ,M6 3−1 ⋅5 = 5 / 3 884.4 [1,-1,1] P8 - ‘m3 = P8 - P5 + ,M3

g,e1

全音 M2 23 ⋅32 = 9 / 8 203.9 [-1,2,0] 2P5 - P8 c ,e

3

音程名 音程（乗法的） 音程（加法的）単位はセント

成分表示 構成 具体化の例

半音 ‘m2 24 ⋅3−1 ⋅5−1 = 16 /15 111.7 [1,-1,-1] P4 - M3 = P8 - P5 - M3

,hc1

短7度

長7度

小全音 ,M2 2 ⋅3−2 ⋅5 = 10 / 9 [1,-2,1] M3 - M2 d ,e

大短7度 ‘m7 P8 - ,M2 ,ed1

増4度 A4 f ,h

減5度 d5 ,h-1 f

半音階的半音 f ,fis

音高は点，音程はベクトル（矢線）である。音高は基点 C に関する位置ベクトルによって座標を与えることができる。「音律について（修正版）」の7ページ 図1はそのような，音程の座標の表であった。今回新しい表 (図21）を用意した。”(1,0,0)などと書いたのは (1,0,0) という記入ができないための方策。上の {1,0,0]と同じもの。

純正律の作り方を C-Dur からの出発として説明する。まず f, c, g , d を5度間隔で（純正に，この場合はピタゴラス的に）とる。次に f, c, g の上に純正の長3度で，それぞれ ,a と ,e と ,h をとる。ピタゴラスの e = 81/64 に対して 純正の ,e = 5/4 は シントニック・コンマだけ低い(乗法的には 81/80 だけ，加法的に 21.51 Gent だけ）。” コンマ” の記号でそれを示そうとしている。しかし，これは ,a, ,e, ,h のように並列すると訳が分からなくなる，という欠点がある。

つぎの図（図20）ははじめから9個の音階を一緒に描いていて，分かりにくい面があるが，その中央に C-Dur がある。縦の破線は平均律の半音 H の線である（100セントの刻み）。c, g, d, f の範囲では 平均律との差は目立たない（とは言え，f は破線の少し下に，d は破線の少し上に位置することは分かる）。しかし ,e ,h ,a については図からも大きなずれがはっきり読み取れる。

C-Dur, ,a-moll, F-Dur, ,d-moll, B-Dur という移行で，一つづつ音高が変わる。d から ,d へ，つぎに ,h から b へ，g から ,g へ，,e から es へ，というように（図20 は a-moll, d-moll と書いていて不正確）。反対方向に C-Dur, ,e-moll, G-Dur, ,h-moll, D-Dur という移行がある。ここでも f から ,fis へ，,a から a へ，c から ,cis へ，,e から e へ，という一つの音高づつの変更がある。それはシントニック．コンマ（81/80, 21.5 セント）と半音階的半音 （135/128, 92.2 セント） だけの変化である。

4

C-dur の中でも d-moll の要素は必要で，純正の短3和音 を作るためには d-f-a でなくて，,d-f-a を使うことになる。

図 20

音名 座標 振動数比（分数）

振動数比（実数）

セント 備考

c “(0,0,0) 1 1 0 ユニゾン

d “(-1,2,0) 2−332 = 9 / 8 1.125 203.9 大全音

,e “(0,0,1) 2−25 = 5 / 4 1.25 386.3 長3度

f “(1,-1,0) 223−1 = 4 / 3 1.3333 498.0 完全4度

g “(0,1,0) 3⋅2−1 = 3 / 2 1.5 702.0 完全5度

,a “(1,-1,1) 3−15 = 5 / 3 1.6667 884.4 長6度

,h “(0,1,1) 2−33⋅5=15/8 1.8750 1088.3 長7度

c1 “(1,0,0) 2 2 1200 オクターブ

,d “(1,-2,1) 2 ⋅3−25 = 10 / 9 1.1111 182.4 小全音,,d-f-,a は短3和音

b “(2.-2,0) 2432 = 16 / 9 1.7778 996.1 小短7度, b-,d-f は長3和音

,g “(2,-3,1) 233−3 ⋅5 = 40 / 27 1.4815 680.4 ,g-b-,d は短3和音

es “(2,-3,0) 253−3 = 32 / 27 1.1851 294.1 ピタゴラスの短3度, es-,g-b は長3和音

5

音名 座標 振動数比（分数）

振動数比（実数）

セント 備考

,fis “(-1,2,1) 2−5325 = 45 / 32 1.4203 590.2 増4度，,h-d-,fis は短3和音

a “(-1,3,0) 2−433 = 27 /16 1.6875 905.9 ピタゴラスの長6度, d-,fis-a は長3和音

,cis “(-2,3,1) 2−7335 = 135 /128 1.0547 92.18 半音階的半音，,fis-a-,cis は短3和音

e “(-2,4,0) 2−634 = 81/ 64 1.2656 407.8 ピタゴラス長3度, a-,cis-e は長3和音

‘b “(0,2,-1) 325−1 = 9 / 5 1.8 101.8 大短7度，g-’b-d は短3和音

‘es “(0,1,-1) 2 ⋅3⋅5−1 = 6 / 5 1.2 315.6 短3度，c-’es-f は短3和音

‘as “(1,0,-1) 235−1 = 8 / 5 1.6 813.7 短6度, f-’as-c は短3和音

‘des “(1,-1,-1) 243−15−1 = 16 /15 1.0667 111.7 半音, b-‘des-f は短3和音

‘f “(-1,3,-1) 2−2335−1  = 27 / 20 1.35 519.6 d-’f-a は短3和音

図21

短調の音階 例えば，,g-moll のトニックは ,g-b-,d ということになるが，そうでなくて g-moll でg-’b-dを使うほうが自然な状況が多いだろう。図22の緑色の音高がこれらを示している。

図22

Euler(オイラー）の Tonnets (音高のネットワーク）図23はオイラーのTonnets（tone-network）と呼ばれる図式である。三つの生成元のうち，P5と ,M3 が生成する2次元の部分を取り出したものである。このネットワークの中の移動（左右へ

6

の移動など）で，調性の間を歩くことができる。,M3 の軸を斜めにしたのは，その横成分を音程変化として P5 と統一的に扱えるようにしたのである。

図23

7