SGCライブラリ-35

賭けの数理と金融工学ゲームとしての定式化

竹内 啓 著

サイエンス社

はじめに

数年前から「金融工学」が盛んに問題とされるようになった．最近では一時期のような流行は衰

えたようにも思われるが，他面教科書や解説書も数多く出版され，また大学や大学院での講座や講

義も開かれるようになって，アメリカで開発された金融工学も日本に定着しつつあるといってよい．

しかし金融工学の中で極めて有効な「Black–Scholesの公式」などについても，それが真に何を

意味するかについて，必ずしも十分理解されているとはいえない．「金融工学」が基本的に「賭けの

理論」であるという認識の上に立って，それを理解することが必要である．

「賭けの数理」については 17世紀 Fermat, Pascal以来，多くのことが論ぜられており，それが

確率論の発達を導いてきたことはよく知られているが，しかし「賭けの確率論」についてもその内

容は必ずしも十分に知られているとはいえない．この本は，「賭けの数理」と「金融工学」の意味を

明らかにすることを目指したものである．

はじめににお断りしておくが，この本は全面的に次の本に依っている．

Glenn Shafer and Vladimir Vovk: Probability and Finance—It’s Only a Game!,

John Wiley, 2001.

この本は「賭け」の問題を，賭けをする人と「自然」あるいは「現実」との間の「ゲーム」とし

て定式化して，「自然」の側の戦略を考えることによって，確率論によって導かれる多くの定理を，

確率的な構造を最初から仮定することなく導き出しているのである．

私は出版後まもなくこの本に接して，その論理に魅せられた．たまたま「数理科学」から「賭けの

数理」について連載記事の依頼を受けていたところであり，連載をこの書物に依拠して書くことに

したのであった．この本はその連載をまとめたものであり，ある意味では上記の本の解説版といっ

てもよい．ただし原書は細かい字で本文 374ページにも及び，内容も多く，また必ずしも読みやす

いとはいえないので，ここではそのいわばエッセンスをなるべくわかりやすく解説するとともに，

いくつかの点では原著にない話を付け加えた．

より詳しく知りたい方は，原著あるいはまもなく出版予定の原著 3分の 2程度の要約日本語版を

読んでいただきたい．

雑誌での連載と，このような単行書の形での出版の機会を与えてくださったサイエンス社編集部

の方々にお礼を申し上げたい．またこの原稿の作成に当たっていろいろと世話してくださった有森

代紀子さん，原稿のほとんどをタイプしてくださった松下真由美さんに感謝したい．更に連載原稿

を一冊にまとめるにあたってはあらためて公文雅之さんに原稿をチェックして頂いた．あわせてお

礼を申し上げる．

2004年 5月

竹内　啓　

目 次

第 1編 賭けの無限の繰り返し 1

第 1章 ゲームとしての賭け 2

1.1 「賭け」の問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 「結果当てゲーム」. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 「定理」の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 「定理」の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

第 2章 マーティンゲール 10

2.1 確率の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 マーティンゲール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 マーティンゲールの収束性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 確率ゼロの事象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 「有利な」あるいは「不利な」賭け . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

第 3章 より一般的な賭け 19

3.1 より一般的な賭けの問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 「賭け」の拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 「ゲーム」としての構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 一般的なマーティンゲール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 不利な賭けの場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

第 4章 大数の強法則 27

4.1 有界でない賭け . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 大数法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 確率論的解釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 有利な賭けの場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5 Kolmogorov の大数の強法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

第 5章 有利な賭けの戦略 36

5.1 有利な賭けにおける最適戦略の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 中立でない場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 僅かに有利な賭けの場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4 無限に有利な賭け（？） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

第 2編 期待値と「確率」 45

第 6章 賭けと期待値 46

6.1 期待値の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 「確率」. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.3 「確率」の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4 上期待価格と下期待価格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

第 7章 期待価格と「確率」 55

7.1 大数法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2 「確率」と確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.3 定義の変更 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

第 8章 ドゥモアブルの定理 62

8.1 ベルヌーイ系列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.2 ドゥモアブルの定理の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.3 より一般の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.4 U が凸でない場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.5 確率測度との関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

第 9章 中心極限定理 70

9.1 中心極限定理の一般化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.2 より一般の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.3 Lindebergの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.4 確率測度の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.5 確率測度による中心極限定理の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

第 10章 離散時間のデリバティブの評価 83

10.1 デリバティブの期待価格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10.2 KPn の漸近分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

10.3 Black–Scholesの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10.4 微分方程式の一つの解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.5 安定分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10.6 Poisson分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

第 3編 金融工学の理論 95

第 11章 連続時間における賭け 96

11.1 連続的に変動する資産 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

11.2 変動指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11.3 変動指数の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

目 次 iii

11.4 Bachelierの中心極限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

11.5 若干のコメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

第 12章 連続時間の確率過程 104

12.1 連続時間の確率過程——ブラウン運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

12.2 幾何ブラウン運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

12.3 Black–Scholesの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

12.4 Black–Scholesの公式の拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

第 13章 アメリカ型の派生資産 112

13.1 アメリカ型の派生資産 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

13.2 アメリカ型資産の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

13.3 コールとプット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

13.4 ブラウン運動モデルの下での評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

13.5 幾何ブラウン運動モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

13.6 利子率の考慮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

第 14章 「効率的な市場」と確率モデル 119

14.1 効率的な市場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

14.2「公正な賭け」と確率論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

14.3 派生資産の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

14.4 公正でない市場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

索 引 126

iv 目 次

第 1 編 賭けの無限の繰り返し

第1章

ゲームとしての賭け

1.1 「賭け」の問題

最初に「賭け」の問題を一般的に定式化しよう．今ある不確定な事象 E につ

いて，その結果が e1, e2, · · · , ek のいずれかであることはわかっているが，そ

のどれになるかはわからないとする（可能な結果の集合は無限集合であっても

よいが，ここでは有限としておく）．これに対して「賭け口」b1, b2, · · · , bl があり，それぞれに対して手持ちの資金の範囲で一定の金額を賭けることができる

と想定する．そうして ei が起こったときには bj 1口について mij の金額が得

られるものとする．

このような「賭け」が 1回しか行われないとすれば，すべては「運次第」と

なって論ずる余地は少ない．興味あるのは「賭け」がくり返し行われる場合で

ある．

そこで同じ「賭け」が無限回行われるものと仮定する（ここでも必ずしも全

く同じ「賭け」がくり返される必要はないが，最初はこのように仮定しておく）．

「賭け」をする人は最初に一定の資金 K0 を持って始め，各回ごとに手持ちの

資金をそれぞれの「賭け口」に配分するものとする．n 回目の「賭け」に当

たって bj に配分する額を Mnj , j = 1, 2, · · · , l とする．この賭け額の合計はそのときの手持ちの資金額 Kn−1 を越えることはできないとする．すなわち∑

j Mnj ≤ Kn−1，ただし手持ちの金額を全額賭けることは要求されないので，∑Mnj < Kn−1 であってもよい．そうすると，賭け 1口の価格は 1として，n

回目の賭けにおいて n 回目の事象 En の結果が ei となったとすれば，賭けを

した人はここで∑

j mijMnj を得るので，その結果資金は

Kn = Kn−1 +∑

mijMnj −∑

Mnj = Kn−1 +∑

(mij − 1)Mnj

となる．ここで mij ≥ 0 と仮定する（つまり賭けた額より多くを失うことはな

い）．したがって Kn ≥ 0 である．ただし一度 Kn = 0 となったら，それ以後

第2章

マーティンゲール

2.1 確率の導入

前章で ShaferとVovkの本の論理をやや設定を変えて紹介したが，そこで最

も興味ある結論は

中立的なゲームにおいては，「自然」は賭けをする人の資金が無限に増大する

ことを防ぐためには，結果を一定の確率で選ぶことを強制される（forced）．

ということであった．このことは「賭けの問題においてなぜ結果が確率的に決

まると考えなければならないのか」という問に対する一つの答を与えていると

言える．そうして，その理由は「もし結果がランダムでなく，一定のクセがあ

ると，それを賭ける人に読まれてしまう危険性がある」からではなく，「可付番

通りのクセに対して，そのどれをも敗って資金を無限大にすることができるよ

うな戦略が存在する」からなのである．これは考え方によっては，極めて深い

意味を持っている．

次に逆の問題を考えよう．すなわち自然が結果をランダムに選ぶことによっ

て，賭ける人の資金が無限に増加しないようにできるであろうか，ということ

である．勿論ここで「絶対に」そのことが起こらないようにすることはできな

い．賭ける人がすべての自然の選択を「当てて」しまうことは絶対不可能では

ないからである．しかしふつうそんなことは「あり得ない」と考えられるであ

ろう．論理的に不可能ではないとしても，「事実上あり得ない」ことは「確率 0

である」ということにすれば，問題は「自然」はランダムに結果を選ぶことに

よって賭ける人の資金が無限に増大する確率が 0になるようにすることができ

るか，という形で定式化できる．

ところでこのように言うと，「確率」とか「ランダム」とかいう言葉の意味

を明確にしなければならないと要求されるかもしれない．しかしここではその

「意味」については立ち入らず，ただ事象の結果の集合に対して「確率」が通常

第3章

より一般的な賭け

3.1 より一般的な賭けの問題

ここで最初のより一般的な賭けの問題に戻ろう．そこで 1 回の賭けを次の

ように定式化する．まず賭ける額 Mn =∑

j Mnj は与えられたものとして，

「賭ける人」と「自然」との間のゼロ和 2人ゲームを考える．すなわち「賭け

る人」の選び得る「戦略」は b1, b2, · · · , bl の l 個，「自然」の選び得る戦略

は e1, e2, · · · , ek の k 個である．(bj , ei) の組合せに対して 1単位の賭け金に

対し，

M(j, i) = mij − 1

のペイオフが「自然」から「賭ける人」に支払われるものとする．ここで「賭

ける人」は資金をそれぞれ πj , j = 1, 2, · · · , l, ∑πj = 1 の比に分割して

bj , j = 1, 2, · · · , l に賭けることができるものとすれば，ペイオフは簡単のためにMn = 1 とすれば

M(π, i) =∑

j

(mij − 1)πj .

となる．ここで υ∗ = supπ miniM(π, i) とおく．「自然」に対しても「混合戦

略」を認め，e1, e2, · · · , ek をそれぞれ確率 pj ,∑pj = 1 で選ぶとすれば，ペ

イオフは

M(π, p) =∑ ∑

(mji − 1)πjpi

となる．ゲームの理論の基本定理により

infp

supπM(π, p) = sup

πinfpM(π, p) = υ∗

が成立する．υ∗ がこのゲームの値である．そこで υ∗ = 0 のとき，このゲーム

第4章

大数の強法則

4.1 有界でない賭け

前 3章の議論では賭けの結果が有界であること，特に下方に有界であること

が本質的な制約条件となっていた．今度は，それを外した場合何が起こるかを

考えよう．もちろん具体的な賭けの条件の中では，「借金は無限に大きくするこ

とはできない」という制約が現実的とも言えるが，しかし理論的には強すぎる

し，また現実の賭けの中でも，問題を意識すると有界でない場合も考慮しなけ

ればならないことが起こるのである．

これに関してまた ShaferとVovkの本に戻ってその中での問題の定式化を説

明しよう．

今度は場に登場するのは，賭けをする人（この本では Skepticと呼んでいる

ことは既に紹介した）および自然（Reality）だけでなく，さらに「相場（Fore-

caster）」と呼ばれている第三の人物がいる．そこでゲームは次のように行わ

れる．

「相場」は，2 個の系列 (m1, v1), (m2, v2), · · · , (mn, vn), · · · を提示する．そこで 1回の賭けを次のように定式化する．賭けをする人はそれを見て各回ご

とに 2つの賭け口に金額 Mn および Vn を賭けることができる．ただしここで

Mn は正でも負でもよいが，Vn は非負とする．

自然はこれに対して系列 x1, x2, · · · , xn, · · · を定める．そうして n 回目の

賭けの結果，賭ける人は

Mn(xn −mn) + Vn

((xn −mn)2 − vn

)を得ることができるとする．賭ける人は n 回目の賭けにおいて，x1, x2, · · · ,xn および (m1, v1), (m2, v2), · · · , (mn, vn) に基づいて資金を Mn と Vn に配

分することができる（もちろん全額配分する必要はない）．

そうすると賭ける人の資金額 Kn は

第5章

有利な賭けの戦略

5.1 有利な賭けにおける最適戦略の構造

有利な賭けにおいて，賭け金を漸近的に一定率で無限に増大させることがで

きること，その増加率の上限を達成するには資金の配分を適切にしなければな

らないことが明らかとなった．そこで次に資金の最適配分の構造を調べよう．

簡単のために (Xn1,Xn2, · · · ,Xnl), n = 1, 2, · · · が下に有界で互いに独立に同一分布に従い

E(Xni) = μi, Cov(Xni,Xnh) = σih <∞

となるとしよう．このとき

ρ(φ1, φ2, · · · , φl) = E(log(1 +

∑i

φiXi))

とおけば（ここで Xni を簡単に Xi と表すことにする）ρ を最大にする φi が

資金の最適配分を与える．

すでに述べたように ρ は凹関数だから φi ≥ 0,∑φi ≤ 1 の範囲に最大点が

存在する．いま φ1, φ2, · · · , φl を固定して，ψ(t) = ρ(tφ1, tφ2, · · · , tφl) とお

くと

ψ′(t) = E

( ∑φiXi

1 + t∑φiXi

)

だから，ψ′(0) =∑φiμi となる．したがってすべての i に対して μi ≤ 0 なら

ば任意の φi ≥ 0 に対して ψ′(0) ≤ 0，ゆえに最大点は φi ≡ 0 となる（これは

有利でない賭けになる）．

逆にある i に対し，μi > 0 ならば φi > 0, φh = 0, h �= i とすれ

ば ψ′(0) > 0 となる．小さい t > 0 に対して ψ(t) > ψ(0) = 0．ゆえに

ρ∗ = max ρ(φ1, φ2, · · · , φl) > 0 となる．つまり一つでも E(Xi) > 0 となる

第 2 編 期待値と「確率」

第6章

賭けと期待値

6.1 期待値の定義

これまで賭けが無限に繰り返される場合について述べてきた．ところで Shafer

と Vovkの本では，有限回で賭けを終える場合を含めて，もう一つの定式化を

用意しているのである．それは確率と関係なく「期待値」を定義し，それから

逆にある意味の「確率」を定義して，そこからふつう確率論の教科書で述べら

れているような多くの定理を導き出しているのである．

そこでまず「期待値」の定義から始める．これまでと同様に，事象の系列

E1, E2, · · · を考え，賭ける人は n 回目の賭けにおいて，E1, E2, · · · , En−1 の

結果 ξn−1 に基づいて p 個の賭け口にそれぞれ Pj(ξn−1), j = 1, 2, · · · , p の額を賭けるものとする．賭けの結果は，En の結果 en によって定まり，j 番目の

賭け口について 1単位の賭け金に対し xj(en) + 1 の金額が得られるものとす

る．そうすると n 回の賭けが終わった後の賭けた人の手持ち資金額を Kn と

すると，それは ξn および賭けの戦略 P に依存して

KPn (ξn) = KP

n−1(ξn−1) +

∑j

xj(en)Pj(ξn−1)

となる．更にここで，Pj は正負いずれの値もとることができる．すなわちある

賭け口を「売る」ことも「買う」こともできるものとする．更に，∑Pj(ξn−1) ≤

KPn−1(ξ

n−1) という制限を外すことにする．すなわちいくらでも「借金」をし

て賭けを続けることができると仮定する．そうして更に K0 = 0 としておく．

そうすると賭けの戦略の全体が p 次元線形空間になることは明らかであろう．

ここで更に，本来の賭けとは別に事象の結果の系列 ξ に依存して価格が定ま

る資産 Y があるとしよう．それを Y = y(ξ) と表すことにしよう（ここで y(ξ)

は原則として無限系列 ξ = (e1, e2, · · · ) に依存して定まると考えてよいが，その場合可測性の議論が面倒になるので，ここでは有限の n に対する ξn に依存

第7章

期待価格と「確率」

7.1 大数法則

「期待価格」についていくつかの性質を述べ，それを用いて「確率」につい

てのいくつかの命題を導こう．xn を任意の賭けの結果として

Kn = Kn−1 + xnMn, n = 1, 2, · · ·

とすると

E(xn) = 0, n = 1, 2, · · ·

は明らかである．なぜならば Mn = 1,Mi = 0, i �= n とすれば，常に

Kn(ξ) = xn ≥ xn − 0

となるから，E(xn) ≤ 0．他方，Mn = −1, Mi = 0, i �= n とすれば，常に

Kn(ξ) = −xn ≥ 0 − xn

であるから，E(xn) ≥ 0．E(xn) ≥ E(xn) だから，E(xn) = E(xn) = 0．

同様に，n �= m のとき E(xnxm) = 0 であることが示される．

任意の y(ξ) に対して E (y(ξ)) = μ が存在するとき

E{(y(ξ) − μ)2}, E{(y(ξ) − μ)2}

をそれぞれ，その上分散，下分散と呼び，V (y(ξ)),V (y(ξ)) と表すことにする．

2つが一致すれば分散と言い，V (y(ξ)) と表す．

定理 7.1 V (xi) = σ2 <∞ のとき SN = x1 + x2 + · · · + xN とおくと

V (SN ) ≤ Nσ2 .

第8章

ドゥモアブルの定理

8.1 ベルヌーイ系列

賭けのゲームと結びつけて定義される上期待価格，下期待価格，あるいは上

確率，下確率は，必ずしも互いに一致しないし，その意味が捉えにくいところ

があるように感じられるかもしれない．

しかしこの定義から実は中心極限定理が導かれるのであり，その論理構造は

極めて興味深いものがある．

最初に最も簡単な「ベルヌーイ系列ゲーム」，すなわち n = 1, 2, · · · , N に対して，Kn = Kn−1 +Mnxn と表され xn = ±N− 1

2 となる場合を考えよう．

ただしここで賭ける額 Mn は任意の実数値をとるものとする．

このとき ξ = {x1, x2, · · · , xn} に依存する変量 y(ξ) に対して，その上期待

価格，下期待価格は K0 = 0 として

E(y) = infP

supξ{y(ξ) −KP(ξ)}, E(y) = sup

Pinfξ{y(ξ) −KP(ξ)}

と定義され，E(y) = E(y) のとき，それを期待価格と呼ぶことは先に述べた通

りである．

この場合には任意の i1, i2, · · · , ik に対して

E(xi1xi2 · · ·xik) = E(xi1xi2 · · ·xik

) = 0

となることが容易に証明できるから，これから εi = ±1, i = 1, 2, · · · , N とすると

P {x1 = ε1/√N,x2 = ε2/

√N, · · · , xN = εN/

√N} = 2−N

であることが導かれる．

すなわちこの場合は，x1, x2, · · · , xN は ±N− 12 をそれぞれ確率 1/2 でと

る，互いに独立な確率変数になる．

第9章

中心極限定理

9.1 中心極限定理の一般化

前章ではベルヌーイ系列に関して中心極限定理を証明した．それをもっと一

般的な条件の下で証明しよう．

まず次の形の賭けのゲームを考えよう．

n = 1, 2, · · · , N に対して，2つの賭けの金額 Mn, Vn(−∞ < Mn, Vn <∞)

を定めることができて

Kn = Kn−1 +Mnxn + Vn

(x2

n − 1N

)

となるとする．ただし xn は区間 [−AN− 12 , AN− 1

2 ]の値を取る．ここで A ≥ 1

は正数である．

このとき，すでに述べたように

E(xn) = E(xn) = E(xn) = 0

であり，また Vn の符号も制限されていないから

E(x2n) = E(x2

n) = 1/N, V (xn) = 1/N

となる．そこで次の定理が成り立つ．

定理 9.1 U を有界でなめらかな関数とする．そのとき，SN = x1 + x2 +

· · · + xN とおくと，任意の ε > 0 に対しN が十分大きければ

E(U(SN )) ≤∫ ∞

−∞

1√2πU(ξ)e−

z22 dz + ε,

E(U(SN )) ≥∫ ∞

−∞

1√2πU(ξ)e−

z22 dz − ε

となる．

第10章

離散時間のデリバティブの評価

10.1 デリバティブの期待価格

前章まで説明してきた定理は，賭けの過程 SN の結果に応じて U(SN ) が与

えられるような資産，すなわちデリバティブの評価を与えるものである．この

ような評価を賭けの過程が時間的に連続に変化する場合に与えられたものが，

有名な Black–Scholesの定理であるが，ここに述べたのはそれをより簡単な形

で与えたものであると言うことができる．

この場合，ある市場で取り引きされる債券があって，その t 期の価格を Xt

としよう．この債券を t 期に一単位買って t+1 期に売れば Xt+1 −Xt だけの

利益（負ならば損失）が得られるから，Xt+1 −Xt について前章の Lindeberg

条件が満たされれば，XN −X0 = SN について中心極限定理が成り立ち，N

期の価格 XN に依存する資産の価値が定められることになる．

U(XN ) = XN，すなわちその価値はその価格そのものに等しいときは

E(XN −X0) = X0.

すなわち「先物」の価値は（ここでは金利は考慮していないから）整合性の条

件の下では現在価格に等しい．

いま一定の時点 T で一定価格 K でこの債券を一単位買う権利（ヨーロッパ

型コールオプション）を考えよう．それは XT > K ならば XT −K だけの利

益を与えるが，XT ≤ K のときは権利を行使しなくてもよいから利益は 0 と

なる．したがって

U(XT ) = (XT −K)+ = max(XT −K, 0)

となる．そして Lindeberg条件が満たされるとすると，T が大きいとき XT は

ほぼ平均 X0，分散 VT の正規分布に従うと考えられるので

第 3 編 金融工学の理論

第11章

連続時間における賭け

11.1 連続的に変動する資産

株式市場などでは，株価は時々刻々変化する．そこで賭けの対象となる資産

の価格が連続時間 t の関数として表される場合を考慮しなければならない．

賭けゲームの形で定式化すれば，次のようになる．ある資産 S の価格は時間

t とともに変化する．それを S(t), 0 ≤ t ≤ T と表す．賭けをする人は t = 0

において資金 K0 を持っているとする．そうして時点 0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tk < T

において，この資産を売ったり買ったりする．ti においてこの人の保有する資

産の量を Mi とする（Mi は負にもなり得る，すなわち「空売り」も許されると

する）．ΔMi = Mi −Mi−1（M0 = 0 とする）が，ti において買う（負ならば

売る）量を表す．Ki を ti+1 において新たな売買を行う前の資産の額とすれば

ΔKi =Ki −Ki−1 =ΔMi(S(ti) − S(ti−1))=ΔMiΔSi, i = 1, 2, · · · , k

と表すことができる（ただしここで tk+1 = T としておく）．そうすると終わり

の時点における資産の額は

K(T ) = K0 +k∑

i=1

ΔKi = K0 +k∑

i=1

ΔMiΔSi

となる．

ここで k は有限であるが，特に限界のないものとし，また t1, t2, · · · , tk も任意に取り得るものと仮定しよう．さらに一般的には Mi の値は t < ti にお

ける S(t) の値に基づいて決めることができるものとする．t0 についてはあら

かじめ定めておくものとしよう．

S については何らかの意味での正則条件を仮定する必要がある．一つは右側

連続性，すなわち

Δt > 0, Δt→ 0 のとき ΔS(t) = S(t+Δt) − S(t) → 0

第12章

連続時間の確率過程

12.1 連続時間の確率過程——ブラウン運動

前章で賭けゲームの基準となる資産価格（例えば株価）S(t) が連続時間 t の

関数として変化する場合について述べた．今回は S(t) が確率過程になってい

る場合について述べよう．

S(t) が確率過程であるとは，任意の t1 < t2 < · · · < tk に対して S(t1),

S(t2), · · · , S(tk) の同時確率分布が定義されていることを意味する．

前章と同様に賭けをする人は任意の t1, t2, · · · , tk を選んで，それぞれ M1,

M2, · · · , Mk（負でもよい）を賭けることができ，その結果最初の資金額を K0

とすれば，t = tk+1 = T > tk の時点で資金額を

K(T ) = K0 +k∑

j=1

Mj(S(tj) − S(tj−1))

とすることができると仮定する．

このとき S(t) に関する確率測度がこの賭けゲームと両立するためには，す

でに何度も述べたように S(t1), S(t2), · · · , S(tk) がマーティンゲールにならな

ければならない．すなわち

E(S(tj)|S(t1), S(t2), · · · , S(tj−1)) = S(tj−1).

あるいは ΔS(tj) = S(tj) − S(tj−1) とすれば

E(ΔS(tj)|S(t1), S(t2), · · · , S(tj−1)) = 0.

次に V (S(tj)|S(t1), S(t2), · · · , S(tj−1)) を考える．S(t) がマーティンゲー

ルになっている場合

V (S(tj)|S(t1), S(t2), · · · , S(tj−1)) = v(S(tj−1), tj−1, tj)

第13章

アメリカ型の派生資産

13.1 アメリカ型の派生資産

これまで，時点 t における価格が S(t) となるような資産に依存し，時点 T

において U(S(T )) の価値を持つ派生資産の評価について論じ，基本的な公式

として Black–Scholesの公式を展開した．そのとき，派生資産の価値が実現さ

れる時点 T は予め定められていることが前提とされた．このような派生資産

はヨーロッパ型（European option）と呼ばれる．

これに対して派生資産を，それを持っている人が任意の時点で実現する，あるい

は権利を行使することができるような資産はアメリカ型（American option）

と呼ばれる．すなわち時点 t でそれを行使すれば U(S(t)) の価値が得られる

とする．ただし t は 0 ≤ t ≤ T の任意の値を取ることができる．そのときこ

のような資産の t = 0 における価値をどのように評価すればよいであろうか．

数学的な困難を避けるために，時点は離散的である，すなわち t =

0, 1, 2, · · · , N (N は整数) としよう．前と同様の賭けのゲームを考えるが，こ

こで途中で権利を行使したとき，その後 T まではどうするかということを考え

なければならないので，ここでは現金（cash）という資産を考える．それは時

間とともに価値の変化しない資産である．

そこで次のような賭けのゲームを考える．ここで，hn = 1 は n 期において権

利を行使すること，hn = 0 は n 期において権利を行使しないことを意味する．

i) S0 = 0, D0 > 0 が与えられているとする．

ii) 賭けをする人は賭けの額 Mn, Vn, n = 1, 2, · · · , N および hn ∈{0, 1}を定めることができる（Mn, Vn は正負いずれでもよい）．

iii) 市場で Sn および Dn > 0, n = 1, · · · , N, DN = 0 が与えられる．

iv) 賭けをする人の期末の資金の額は

Kn = Kn−1+MnΔSn+Vn

((ΔSn)2 +ΔDn

), ただし K0 = 0.

第14章

「効率的な市場」と確率モデル

14.1 効率的な市場

ここで「公正な市場」あるいは「効率的な市場」（efficient market）の問

題を考える．Shafer と Vovk の本では，これが次のようなゲームとして定式化

されている．

市場では K 種の証券が存在する．そこには 3種の参加者がいる．市場，投

資家，および賭けをする人である．そうして n = 1, 2, · · · に対して

市場は mkn≥0, k=1, 2, · · ·,K,∑km

kn =1 および xk

n, k=1, 2,· · · , K,

xkn ≥ −1,

∑k m

knx

kn = 0 を選ぶ．

投資家は gkn, k = 1, 2, · · · ,K を選び，

賭けをする人は hkn, k = 1, 2, · · · ,K を選ぶ．

そうして賭けをする人の n 期末の資金は

Kn = Kn−1 +K∑

k=1

hknx

kn, K0 > 0

となるものとする．ただし賭けをする人は n 期において mkn, g

kn は知っている

が xkn は知り得ないものとする．

ここで xkn は n 期における k 番目の債券の値上がり（xk

n < 0 ならば値下が

り）の大きさを表し，xkn ≥ −1 はそれが価格としてはゼロ以下にならないこと

を意味する．∑

k mknx

kn = 0 の条件は全体としては債券の価格は変化しないこ

とを意味する．gkn, k = 1, 2, · · · ,K は n 期における「投資家一般」のポート

フォリオ，hkn, k = 1, 2, · · · ,K は「賭けをする人」のポートフォリオを表す．

ここで前と同様に gkn, h

kn は負になってもよいとされている．ここで重要な点は

「賭けをする人」は n期において賭けをする前に「一般投資家」のポートフォリ

オを知ることができるとされていることである．

索 引

アアメリカ型（American option） 112

安定分布（stable law） 92

一様（homogeneous） 105

カ下確率 48

下期待価格 47

確率 48

賭け 2

過程（process） 73

幾何ブラウン運動 107

径路（path） 4, 72

公正（fair） 11

効率的な市場（efficient market） 119

コレクティブ（collective） 8

サ上確率 48

上期待価格 47

状態（state） 72

スーパーマーティンゲール（supermartingale） 18

整合的（coherent） 73

戦略 3

相場（Forecaster） 27

タ中立的（neutral） 3, 20

ドゥモアブルの定理 63

ハブラウン運動 106

ベルヌーイ系列ゲーム 62

変動指数（variation exponent） 98

ママーティンゲール（martingale） 12, 73

無限分解可能（infinitely divisible） 92

ヤ有限決定 79

ヨーロッパ型（European option） 112

欧字Bachelierの中心極限定理 100

Black–Scholesの公式 86, 107

Lindebergの定理 75

quadratic supervariation（QSV） 120

superparabolic 66

著者略歴

竹たけ内うち　啓

けい

1933 年 東京生まれ1956 年 3 月 東京大学経済学部卒業1961 年 3 月 東京大学大学院経済学研究科博士課程修了1961 年 4 月 東京大学経済学部助手1963 年 4 月 東京大学経済学部助教授1966 年 3 月 経済学博士1967 年〜1970 年　ニューヨーク大学クーラント数理科学研究所客員研究員1975 年 7 月 東京大学経済学部教授1987 年 5 月 東京大学先端科学技術研究センター教授，（併任）経済学部教授1994 年 4 月 明治学院大学国際学部教授，東京大学名誉教授2006 年 4 月 明治学院大学名誉教授2012 年 12 月日本学士院会員．専　　門 統計学（特に統計的推測理論），計量経済学，日本経済論，科学技術論，等．

臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ-35

『賭けの数理と金融工学 ゲームとしての定式化』（電子版）

著　者　竹内 啓2018 年 5 月 10 日　初版発行　ISBN 978─4─7819─9949─4この電子書籍は 2004 年 9 月 25 日初版発行の同タイトルを底本としています．

数 理 科 学 編 集 部 発行人　森　平　敏　孝TEL.（03）5474─8816FAX.（03）5474─8817

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