Ecuaciones diferenciales Una introducción

¿Qué es una ecuación diferencial ordinaria? Es una forma de dar una función, donde la función se define mediante una ley que representa la variación de la función al variar la variable.

Eso implica que si conocemos el valor de la función f en un punto x, la regla para calcular el valor la función en un punto próximo viene dada por el conocimiento de cómo cambia la función (la derivada)

Un ejemplo sencillo es la función definida como que indica que la variación con x de la función f, es proporcional al valor de f

f(x)

df

dx= !k.f(x) con f(x0) = f0

f(x)

aunque no es necesario que la función este explícitamente dada.g(x, f)

La definición más general de una ecuación diferencial de 1er grado esdf

dx= g(x, f)

f(x0) = f0La condición se llama condición de contorno (boundary condition). Es imprescindible para calcular la solución del problema, ya que indica cual es el valor inicial de la función .f(x)

Ejemplo df

dx= ex, f(x = 0) = 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.25 0.5 0.75 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.25 0.5 0.75 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.25 0.5 0.75 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.25 0.5 0.75 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.25 0.5 0.75 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.25 0.5 0.75 1

!x=.25

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.25 0.5 0.75 1

!x=0.10

Calcular f(x = 1)

Una forma aproximada es es usar el desarrollo en serie para calcular el valor de la función en un punto próximo al punto inicial

f(x0 +!x) ! f(x0) + f !(x0)!x+1

2f !!(x0)[!x]2 + ...

Si el incremento es pequeño, podemos calcular el valor de

f(x0 +!x)

Ahora podemos considerar el punto calculado como la condición inicial y repetir el proceso Error En este procedimiento hay dos tipos de errores: El debido a truncar la serie a primer orden. El valor de las condiciones de contorno a partir del primer paso son aproximadas El error se puede reducir haciendo más pequeño el intervalo

!x

Error

Este procedimiento –método de Euler- está en la base de la mayoría de los metodos numéricos de resolución de ecuaciones ordinarias

f(x)

x

Tipos de ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales ordinarias La función -o funciones- solución sólo depende de una única variable independiente. Asi por ejemplo df

dx= g(x, f)

d2f

dx2= g(x, f, f !)

Estas funciones son muy comunes en física y química; por ejemplo la dinámica o la cinética de un sistema está dada muchas veces como una ecuación ordinaria, donde el tiempo es la variable independiente.

df1dx

+df2dx

= h(x, f1, f2)

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

La solución puede consistir en más de una función, que solo dependen de la variable independiente. Por ejemplo

La función solución depende de varias variables, y por eso se expresa en términos de las derivadas parciales.

!2"

!x2+

!2"

!y2+

!2"

!z2= ! 1

#0$(x, y, z)

El orden de una ecuación diferencial es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación.

Orden de una ecuación diferencial

Esta definición se aplica a las ecuaciones ordinarias y a las ecuaciones en derivadas parciales.

Notaciones Leibniz df

dx,

d2f

dx2,

d3f

dx3...

Mecánica f =df

dx, f =

d2f

dx2,

...f =

d3f

dx3...

Subíndices fx =!f

!x, fy =

!f

!y, fxx =

!2f

!x2, fxy =

!2f

!x!y, fyy =

!2f

!y2...

Primas ó y!, y!!, y!!!, ... y!, y!2, y

!3, ...

Forma canónica de una ecuación diferencial La forma general de escribir una ecuación diferencial ordinaria de orden n es

F(x, f !, f !!, ...f!n) = 0

donde es una función de la variable independiente x y de las derivadas. FLa forma canónica, normal o reducida de la ecuación es y

!n = G(x, y, y!, ...y!n"1)

No siempre es posible escribir una ecuación diferencial en la forma canónica de forma sencilla. ln[f !(x) + x] = f(x) + f !(x)Por ejemplo

Sin embargo la ecuación (1) permite definir formalmente la función , de forma que podemos considerar la forma canónica como una forma general.

G

(1)

La solución general de una ecuación de orden n es el conjunto de funciones que verifica la ecc. (1) Depende de n constantes arbitrarias - - que deben determinarse en cada caso por medio de las condiciones de contorno.

y(x) = f(x,C1, C2, ....Cn)

C1, C2, ....Cn

Solución general de una ecuación diferencial

ya que: 1. verifica la ecuación diferencial 2. Depende de dos constantes arbitrarias (el mismo orden de la ecuación diferencial)

ya que aunque verifica la ecuación diferencial, sólo depende de dos constantes arbitrarias (y ahora el orden de la ecuación diferencial es 3)

De hecho, la solución general de (2) es

que aunque contiene la solución general de (1) (para ), contiene también funciones que no son soluciones de la ecuación de partida.

C3 = 0

Cambiar el orden de una ecuación diferencial supone introducir soluciones espurias, que no son soluciones de la ecuación diferencial original. En este caso hay que asegurarse que las soluciones verifican la ec. de partida

Ejemplo

La familia de funciones es la solución general de la ecuación diferencial

(1)

f(x) = C1ex ! C2e

!x

d2f

dx2= f

Sin embargo no es la solución general solución de la ecuación diferencial

(2) d3f

dx3=

df

dx

f(x) = C1ex + C2e

!x + C3

Ecuaciones ordinarias de 1er orden Teorema de existencia y unicidad

Teorema de Picard-Lindelöf Teorema de Cauchy-Lipschitz

La condición usada es una condición más restrictiva de la condición de Lipschitz: Para que exista solución y sea única basta que la función verifique la condición de Lipschitz en un entorno al punto : x0

!y1, y2, "L > 0; | g(x, f1)# g(x, f2) |< L | f1 # f2 |

g(x)

Sea la ecuación diferencial ,con la condición de contorno . Si y son continuas, existe en un entporno de una solución, y esta solución es única.

df

dx= g(x, f) f0 = f(x0)

x0

g(x)

En lo que sigue, dado que en ecuaciones ordinarias no hay ambigüedad, usaremos la notación donde es la variable independiente e la solución buscada.

dy

dx= f(x, y)

x y(x)

gf (x) = !g/!f

Teorema de existencia y unicidad (continuación) El teorema anterior se aplica en funciones de variable real, definidas en el plano complejo; es decir que la variable es real, pero la solución de la ecuación, , puede ser compleja x y(x)

Ejemplo I : calcular la solución general de la ecc. diferencial: (y!)2 + y2 = 0

La ecuación puede escribirse como

(y!)2 = !y2 y! = ±iy ! dy

dx= ±iy dy

y= ±idx ln(y) = ±ix+ C1

Nótese que la solución –aunque tiene dos ramas debido al signo que aparece en la forma canónica - sólo depende de una única constante de integración.

±

Esta familia de funciones no tiene soluciones reales, diferentes de la trivial y(x) = 0

o bien y = Ae±ix

A = eC

Aparentemente este problema viola el Teorema de existencia y unicidad.

Sin embargo nótese que la ecuación no está escrita de la forma canónica: (y!)2 + y2 = 0

y! = ±iy ! dy

dx= ±iy

donde está claro que el problema representa dos ecuaciones diferenciales diferentes, según la determinación del signo de la raíz cuadrada que se elija.

Teorema de existencia y unicidad (continuación)

Ejemplo II : calcular la solución general de la ecc. diferencial: (y!)2 + x2 = 0

Escribimos la ecuación como

y! = ±ix ! dy = ±ixdx y(x) = ±ix2

2+ C1

Como antes, la solución tiene dos ramas debido al signo que aparece en la forma canónica - sólo depende de una única constante de integración.

±

En este caso la ecc. diferencial no tiene soluciones reales.

y 2 = ! x 2

RobertMusil:TheConfusionsoftheYoungTörless(1906):Törless,ayoungstudentinanaustrianmilitaryacademy,wonders

abouttheimaginarynumbers:

“Thestrangefactisthatwiththeseimaginaryorevenimpossiblenumbersonecananywaymakeperfectlyrealcalcula8onswhichendinaconcreteresult.”

Complexnumberswereuseful–evenforsoldiers!‐muchbeforethantheQuantumMechanicsproposedthemtodescribethestateofphysicalsystems.

Why?

Theresponseofmostoftherealsystemsislinear.

Complexanalysis:Anintroduc;onWhycomplexnumbersaresoimportant?

Ecuaciones de variables separables Una ecuación de la forma se dice que es de variables separadas.

g(y)dy = h(x)dx

La solución es trivial que verifica la condición inicial . El problema queda reducido al calculo de integrales (cuadraturas).

! y

y0

g(y)dy =

! x

x0

h(x)dx

y0 = y(x0)

Ejemplo I : calcular la solución de la ecc. diferencial: dy

dx= 4x

!y, y(1) = 1

! dy"y= 4xdx !

! y

1

dy"y= 4

! x

1xdx ! 2

"y |y1= 4

1

2x2 |x1 y = x4

Ejemplo II : calcular la solución de la ecc. diferencial: dy

1! y2=

x

2dx, y(0) = 0

!! y

0

dy

1" y2=

! x

0

x

2dx ! 1

2ln

1 + y

1" y= x2

La solución buscada -y(x)- se puede obtener tomando la exponencial de esta ecuación

! 1

2ln

1 + y

1" y|y0= x2 |x0

y(x) =e2x

2 ! 1

e2x2 + 1= tanh(x2)

Ecuaciones diferenciales exactas Una ecuación de la forma donde las funciones M y N se pueden derivar de una función es una ecuación diferencial exacta, cuya solución es

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

M(x, y) =!"

!x, N(x, y) =

!"

!y

!(x, y)

!(x, y) + C = 0

! !N

!x=

!M

!yCriterio de exactitud

!2"

!x!y=

!2"

!y!x

Esta solución define la solución del problema de forma implícita: a partir de ella formalmente se puede definir la función solución y(x) = f(x;C)

!x, y = f(x;C) / !(x, y) + C = 0

Esta condición es misma la condición (en el plano XY) que encontramos para que un campo fuera irrotacional, y que en consecuencia se pudiera escribir como el gradiente de un campo escalar.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales exactas Calcular la solución general de la ED

Encontrar la solución particular con la condición de contorno

(cosx! x sinx+ y2)dx+ 2xydy = 0

Comprobamos que es una ED exacta

M(x, y) = cosx! x sinx+ y2

N(x, y) = 2xy! !N

!x=

!M

!y= 2y

Una vez comprobado que es una ED exacta, buscamos la solución, tal que !(x, y)

M(x, y) =!"

!x, N(x, y) =

!"

!y

N(x, y) =!"

!y= 2xy ! !(x, y) =

!2xydy = xy2 + !(x)

M(x, y) =!"

!x=

!"

!x[xy2 + #(x)] = y2 +

d!

dx= cosx! x sinx+ y2 ! d!

dx= cosx" x sinx

!(x) =

!(cosx! x sinx)dx

xy2 + x cosx+ C = 0

= x cosx+ C1

y(!) = 1

Por lo tanto la función queda definida como ; y la solución general:

!(x, y) !(x, y) = xy2 + x cosx+ C1

La condición y(!) = 1 ! C = 0 y(x) =!"cosx

Nótese que la condición de contorno asegura la unicidad de la solución, eliminando la ambigüedad (signo ±) de la solución general (1)

! y(x) = ±!

"x cosx+ C

x(1)

Ejemplos de ecuaciones diferenciales exactas (continuación)

Calcular la solución general de la ED con la condición inicial

1

xdx+ [

1

y+ 1]dy = 0

Comprobamos que es una ED exacta

M(x, y) =1

x

N(x, y) =1

y+ 1

! !N

!x=

!M

!y= 0

Una vez comprobado que es una ED exacta, buscamos la solución, tal que !(x, y)

M(x, y) =!"

!x, N(x, y) =

!"

!y

M(x, y) =!"

!x=

1

x! !(x, y) = ln(x) + "(y)

N(x, y) =1

y+ 1 =

!"

!y=

!

!y[ln(x) + "(y)] =

d

dy!(y) ! !(y) =

![1

y+ 1]dy = ln(y) + y + C1

!(x, y) = ln(x) + ln(y) + y + C1

y(1) = 1

ln(xy) + y = C

la condición inicial permite determinar el valor de C correspondiente a la solución particular ! C1 = 1

y(1) = 1

No se puede escribir directamente la solución La solución está dada como una función implícita

y = y(x)

ln(xy) + y = 1

Ecuaciones lineales de 1er orden Son de la forma dy

dx+ p(x)y = q(x)

donde y son funciones arbitrarias, a las que supondremos continuas. p(x) q(x)

Haciendo , C = eC1

(1)

A la ecuación se le llama ecuación homogénea,

dy

dx+ p(x)y = 0 (2)

! ln(yh) = "!

p(x)dx+ C

(3) yh(x) = Ce[!!p(x)dx]

! yh = e[!!p(x)dx!C1]

Una solución particular de la ED completa (1) es yp(x)

(4) yp(x) = e[!!p(x)dx]

!q(x)e[

!p(x)dx]dx

Demostración dypdx

=d

dx{e[!

!p(x)dx]

!q(x)e[

!p(x)dx]dx}

=d

dx{e[!

!p(x)dx]}!

!q(x)e[

!p(x)dx]dx+ e[!

!p(x)dx] ! d

dx{!

q(x)e[!p(x)dx]dx}

+q(x)

= !p(x)e[!!p(x)dx] "

!q(x)e[

!p(x)dx]dx+ e[!

!p(x)dx] " q(x)e[

!p(x)dx]dx

que resulta ser separable. Su solución verifica yh(x)

dyhdx

= !p(x)dx

que sólo depende de una constante de integración C.

La solución general de la ecuación completa (1) es la suma de la general de la homogénea más una particular de la completa

y(x) = Ce[!!p(x)dx] + e[!

!p(x)dx]

!q(x)e[

!p(x)dx]dx

Esta es una de las posibles soluciones de la ec. (1), pero no la única; dos posibles soluciones particulares difieren en una una función que es solución de la homogénea, , de la forma de la ec. (3)

yh(x)

yp(x) = e[!!p(x)dx]

!q(x)e[

!p(x)dx]dx

Ejercicio Dada la ED , de pide

Calcular la solución general de la ED. Calcular la solución con la condición

dy

dx+

2x+ 1

xy = e!2x

1.- Solución general de la homogénea: yh(x) = Ce[!!p(x)dx] donde p(x) =

2x+ 1

x

yh(x) = Ce[!! 2x+1

x dx] = Ce![2x+ln(x)]= Ce!2xe!ln(x) = Ce!2x

x yh(x) = Ce!2x

x2.- Solución particular de la completa:

yp(x) = e[!!p(x)dx]

!q(x)e[

!p(x)dx]dx

hemos visto e[!!p(x)dx] =

e!2x

x! e

!p(x)dx = xe2x

yp(x) = e[!!p(x)dx]

!q(x)e[

!p(x)dx]dx

y q(x) = e!2x

=e!2x

x

!dxe!2x[xe2x]=

1

2xe!2x

yp(x) =1

2xe!2x

3. La solución general de la completa

y(x) = yh(x) + yp(x) y(x) = Ce!2x

x+

1

2xe!2x

4.La solución correspondiente a la condición y(!1

2) = 0

y(!1

2) = 0

y(!1

2) = !2Ce! e

4= 0 ! C = "1

8y(x) = !e!2x

8x+

1

2xe!2x

dypdx

+ p(x)y(x) = q(x)

ED lineales. Linealidad de las soluciones Sea una ecuación diferencial homogénea cuya solución general es yh(x)

dos de cuyas soluciones particulares son y(1)p = f1(x)

y(2)p = f2(x)

y(x) = yh(p) + !1f1(x) + !2f2(x)

dy

dx+ p(x)y(x) = 0

Construimos a partir de ella dos ecuaciones completas dy

dx+ p(x)y(x) = q1(x)

dy

dx+ p(x)y(x) = q2(x)

Entonces, la solución general de la ecuación

donde son constantes (reales o complejas), es !1, !2

dy

dx+ p(x)y(x) = !2q2(x) + !2q2(x)

Aplicación Supongamos que conocemos la solución de la ED

dfkdx

+ p(x)fk(x) = gk(x); k = 1, 2.....donde las funciones son tales que permiten escribir otra función

gk(x)!(x) =

!

k=1

"kgx(x)

entonces la solución general de la ED

d dx

+ p(x) (x) = (x) (x) = yh(x) +!

k=1

kfk(x)es

Problema Calcular la función fk(x), solución general de la ecuación diferencial

,

donde k es un número entero positivo. Encontrar la solución con la condición de contorno fk(0)=0

dfkdx

+1

xfk = xk

utilizando los desarrollos en serie:

[1 +!1 + x]a = 2a[

a

1!

x

4+

a(a" 3)

2!(x

4)2 +

a(a" 3)(a" 5)

3!(x

4)3 + . . . ]

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+

x3

3!+ · · · =

!!

k=0

xk

k!

sinx = x! x3

3!+

x5

5!+ · · · =

!!

k=0

(!1)kx2k+1

(2k + 1)!

Aplicación Utilizar el resultado anterior para calcular las soluciones generales de de las siguientes ecuaciones diferenciales donde

1.! g(x) = x2 ! 1

3.! g(x) = sin(x)

2.! g(x) = e!x

4.! g(x) = [1 +"1 + x]a, a # R, | x |< 1

dy

dx+

1

xy = g(x)

Problema Calcular la función fk(x), solución general de la ecuación diferencial

, donde k es un número entero positivo.

dfkdx

+1

xfk = xk

Calculamos primero la solución de la homogénea, fhomo(x)

dy

dx+ p(x)y = q(x) yh(x) = Ce[!

!p(x)dx]

= Ce!!x!1dx = Ce! ln x = C

1

xfhomo(x) = C

1

xfhomo(x) = Ce!

!p(x)dx

Una solución particular de la completa, fk(x)

dy

dx+ p(x)y = q(x) yp(x) = e[!

!p(x)dx]

!q(x)e[

!p(x)dx]dx

fk(x) = e!!x!1dx

!xke

!x!1dxdx = e! ln x

!xkeln xdx =

1

x

!xk+1dx =

xk+1

k + 2

La solución general de la completa fk(x) = C1

x+

xk+1

k + 2

La condición de contorno fk(0)=0 ! C = 0 ! fk(x) =xk+1

k + 2

Aplicación 1.- Utilizar el resultado anterior para escribir las soluciones generales de de las siguientes ecuaciones diferenciales

En este caso, la función de la parte inhomogénea de la ecuación diferencial es una combinación lineal de dos potencias, x2 y x0.

dy

dx+

1

xy = x2 ! 1

La solución general será, la misma combinación lineal de las soluciones particulares fk(x) encontradas para estas potencias (más una solución general de la ecc. homogénea) , es decir:

y(x) = C1

x+ f2(x)! f1(x)

Es trivial comprobar que es la solución general buscada: - Verifica la ecuación diferencial. - Depende de una constante arbitraria de integración C

Teniendo en cuenta que fk(x) =xk+1

k + 2

y(x) = C1

x! 1

2x+

1

4x3la solución general es

Aplicación 1.- Utilizar el resultado anterior para escribir las soluciones generales de de las siguientes ecuaciones diferenciales

En este caso, la función de la parte inhomogénea de la ecuación diferencial es una combinación lineal que contiene todas las potencias de x.

Es trivial comprobar que es la solución general buscada: - Verifica la ecuación diferencial. - Depende de una constante arbitraria de integración C

Teniendo en cuenta que fk(x) =xk+1

k + 2

la solución general es

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+

x3

3!+ · · · =

!!

k=0

xk

k!

dy

dx+

1

xy = ex

La solución general será, la misma combinación lineal de las soluciones particulares fk(x) encontradas para estas potencias (más una solución general de la ecc. homogénea) , es decir:

y(x) = C1

x+ f0(x) +

1

1!f1(x) +

2

3!f2(x) + . . . = C

1

x+

!!

k=0

1

k!fk(x)

y(x) = C1

x+

!!

k=0

1

k!

1

k + 2xk+1

La constante C queda fijada por la condición de contorno. Así, si y(1)=0

C = !!!

k=0

1

k!

1

k + 2

Problemas propuestos Calcular la solución de las ecuaciones diferenciales siguientes

1.! dy

dx=

1 + x

x2y2, y(1) = 1

3.! dy

dx= e(3x+2y), y(0) = !1

2

2.! dy

dx=

y sinx

1 + 2y2, y(!) =

"2

4.! yexdy

dx= e!y + e!2x!y, y(0) =

"!

5.! (2x+ xy2)dx+ (4y + x2y)dy = 0, y(0) = !"3

6.! (sin y ! y sinx)dx+ (cosx+ x cos y ! y)dy = 0, y(!) = 0

7.! (ex + y)dx+ (2 + x+ yey)dy = 0, y(0) = 1

8.! dy

dx= !2x+ 4y ! 5

4x+ 6y ! 1, y(0) = 1

★

★

★

★

Problema propuesto Calcular la función fk(x), solución general de la ecuación diferencial

, donde k es un número entero positivo.

1. Usar estos resultados para calcular la solución general de la siguiente ecuación diferencial

,

donde h(x) es una función definida mediante la serie

2. Calcular la solución particular que verifica la condición de contorno y(1)=1

dy

dx! 1

xy = h(x)

h(x) = 1 +1

(1!)21

x2+

1

(2!)2[1

x2]2 +

1

(3!)2[1

x2]3 + · · · =

!!

k=0

1

(k!)2[1

x2]k

dfkdx

! 1

xfk = x!k