______________________________________________________________________ MINISTRIO DA EDUCAO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL CENTRO DE CINCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CONTROLE OPERACIONAL OTIMIZADO DE SISTEMAS DE CANAIS EDINICE BORGES DE SIQUEIRA DissertaosubmetidaaoProgramadePs-Graduaoem TecnologiasAmbientaisdaUniversidadedeMatoGrossodo SulcomorequisitoparcialparaobtenodottulodeMestre em Saneamento Ambiental e Recursos Hdricos Orientador: Prof. Dr. Robert Schiaveto de Souza Campo Grande, dezembro de 2.007 ______________________________________________________________________ AGRADECIMENTOS Otrabalhoaquiapresentadofrutodeimportantescolaboraeseincentivosdepessoas especiais e que merecem o meu agradecimento.Agradeo a Deus por ter me proporcionado tudo que sou e tenho. AomeuorientadorDr.RobertSchiavetodeSouza,quemedeuforaemotivaonos momentos em que pensei em desistir. A acadmica Ana Karla Oliveira Veiga do curso de graduao de Engenharia Ambiental, que se mostrou sempre disposio nos momentos de dvidas.AminhaamadameEunicequedemaneirainquestionvelestevesempreaomeulado, apoiando e incentivando.AomeuamadopaiEdigar(inmemorian)quejamaispermitiuqueeudesanimasseem todas as minhas trajetrias. Aos meus queridos irmos Edini e Junior que sempre fizeram parte da minha vida. Obrigada por vocs existirem e ajudarem na concretizao de mais essa etapa. Vocs so especiais. ______________________________________________________________________ SUMRIO LISTA DE SMBOLOS.....................................................................................................i LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................ iii RESUMO ............................................................................................................................v ABSTRACT....................................................................................................................... vi I INTRODUO............................................................................................................. 1 II REVISO BIBLIOGRFICA.................................................................................... 3 2.1 Introduo......................................................................................................... 3 2.2 Controle timo de Sistemas de Canais........................................................... 5 2.3 Matrizes Peso de um Regulador Quadrtico Linear...................................... 11 2.3.1 Tcnicas Heursticas ......................................................................... 11 2.3.2 Tcnicas de Fixao de uma Estrutura Modal tima ....................................... 12 2.3.3 Tcnicas de Fixao de uma Estrutura Modal tima Assinttica.................... 26 III OBJETIVOS ............................................................................................................. 28 IV METODOLOGIA.................................................................................................... 29 4.1 Equaes Bsicas........................................................................................... 29 4.2 Modelo Hidrulico......................................................................................... 30 4.3 Teoria de Controle timo.............................................................................. 34 4.4 Anlise de Sistemas Lineares na Representao Espao do Estado............... 40 4.5 Estabilidade eControlabilidade do Sistema .................................................. 47 4.5.1 Estabilidade........................................................................................ 48 4.5.2 Controlabilidade ................................................................................ 49 4.6 Sistemas de Controle timo........................................................................... 49 4.7 O Regulador Quadrtico Linear...................................................................... 53 4.8 Distrbios Externos e Controle Integral ......................................................... 61 4.9 Mtodos de Seleo das Matrizes Peso .......................................................... 66 4.10 Escoamento Permanente Gradualmente Variado ......................................... 68 4.11 Canal de Estudo ............................................................................................ 71 ______________________________________________________________________ 4.12 Equipamento e Linguagem Computacionais............................................... 72 V RESULTADOS E DISCUSSO ............................................................................... 74 5.1 Introduo...................................................................................................... 74 5.2 Modelo do Canal Mtodo das Diferenas Finitas ....................................... 76 5.2.1 Sistema de Controle Linear ............................................................... 80 5.2.2 Aplicao do Regulador Quadrtico Linear ...................................... 86 5.2.2.1 Sistema No-Realimentado ................................................ 86 5.2.2.2 Sistema Realimentado ........................................................ 92 V I CONCLUSES....................................................................................................... 97 V II REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS............................................................... 100 Lista de Smbolos i LISTA DE SMBOLOS A rea da seo transversal do escoamento ou matriz do sistema realimentado blargura da comportaBmatriz de controle Cmatriz de demandadC coeficiente de descarga da comportaDprofundidade hidrulica Gverso discreta da matriz A gacelerao da gravidade Hverso discreta da matriz B Imatriz identidadeindice do trecho jndice dos ns em cada trecho kintervalo de amostragem Lmatriz semi-definida positiva Nnmero de ns de cada trecho ncoeficiente de rugosidade Psoluo da equao algbrica de Ricatti ou permetro molhado Qvazo do fluxo ou matriz semi-definida positiva qvazo lateral por unidade de comprimentoRraio hidrulicofS inclinao da linha de energia 0S inclinao do fundo do canal T largura da superfcie do fluxo ttempo ualtura de abertura da comportaVverso discreta da matriz C wdistrbio de estado xdistncia ou varivel de estado Lista de Smbolos ii yprofundidade da guaxespao entre os ns diferenciao Lista de Figuras iii LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 - Regio hiperblica de estabilidade .................................................................. 14 Figura 2.2 - Regio de interesse para o setor de ngulo menor que / 2 ........................... 15 Figura 2.3 - Regio de interesse para o setor entre / 2e ............................................ 16 Figura 4.1 - Esquema de um trecho de canal genrico........................................................ 31 Figura 4.2 - Diagrama esquemtico de um sistema no realimentado................................ 35 Figura 4.3 - Diagrama esquemtico de um sistema realimentado....................................... 36 Figura 4.4 - Diagrama de bloco para um sistema contnuo realimentado ........................... 56 Figura 4.5 - Diagrama de bloco para um sistema discreto no realimentado...................... 56 Figura 4.6 - Diagrama de bloco para um sistema discreto realimentado ............................ 59 Figura 4.7 - Diagrama de bloco para um sistema contnuo realimentado comdistrbios externos e ao integral................................................................................... 63 Figura 4.8 - Diagrama de bloco para um sistema discreto realimentado comdistrbios externos e ao integral................................................................................... 65 Figura 4.9 Disco D no plano complexo esquerdo ............................................................ 67 Figura 4.10 Disco D no disco unitrio com o centro na origem....................................... 67 Figura 4.11 Elementos do escoamento variado................................................................ 69 Figura 4.12 Layout do canal ............................................................................................. 72 Figura 5.1 Organograma das simulaes realizadas......................................................... 76 Figura 5.2 Discretizao espacial mostrando a configurao do canal ............................ 77 Figura 5.3 Canal mostrando os ns por um modelo de 96 estados (17 n por trecho) .... 78 Figura 5.4 Esboo e dimenses do canal exemplo........................................................... 79 Figura 5.5 Autovalores do sistema no realimentado....................................................... 87 Figura 5.6 Desvios da varivel de estado X1 para a simulao do sistema noLista de Figuras iv realimentado devido a uma entrada degrau na seo 1 do trecho 1 ............................... 88 Figura 5.7 Desvios da varivel de estado X33 para a simulao do sistema norealimentado devido a uma entrada degrau na seo 33 do trecho 2 ............................ 88 Figura 5.8 Desvios da varivel de estado X65 para a simulao do sistema norealimentado devido a uma entrada degrau na seo 65 do trecho 3 ............................ 89 Figura 5.9 Desvios da varivel de estado X1 para a simulao do sistema no realimentado devido a uma entrada degrau na seo 1 do trecho 1 ............................... 90 Figura 5.10 Desvios da varivel de estado X33 para a simulao do sistema norealimentado devido a uma entrada degrau na seo 33 do trecho 2 ............................ 91 Figura 5.11 Desvios da varivel de estado X65 para a simulao do sistema norealimentado devido a uma entrada degrau na seo 65 do trecho 3 ............................ 91 Figura 5.12 Desvios da varivel de estado X1 para a simulao do sistemarealimentado devido a uma entrada pulso na seo 1 do trecho 1................................. 93 Figura 5.13 Desvios da varivel de estado X33 para a simulao do sistemarealimentado devido a uma entrada pulso na seo 33 do trecho 2............................... 93 Figura 5.14 Desvios da varivel de estado X65 para a simulao do sistema realimentado devido a uma entrada pulso na seo 65 do trecho 3............................... 94 Figura 5.15 Controle nas comportas 1 a 4....................................................................... 95 Resumo v RESUMO SIQUEIRA, E. B. (2007). Controle Operacional Otimizado de Sistemas de Canais. Campo Grande, 2007. 106 p. Dissertao (Mestrado) Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Brasil. Estetrabalhoapresentaummodelohidrulicodecontroledeotimizaodesistemasde canais,constitudoemtrstrechos,interligadospor4comportas,emquecadatrecho segmentadoem17ns.Utiliza-seateoriadoreguladorquadrticolinear(RQL),coma finalidadedeconduzirosistemacondiodeequilbrio,mesmoquehajavariaese/ou perturbaesnoescoamentodofluxo,utilizando-sealeidecontroleusadanaregulaodas comportas. Palavras-chave: controle operacional, sistemas de canais, otimizao de projetos. Abstract vi ABSTRACT SIQUEIRA, E. B. (2007). Optimized Operational Control of Systems of Canals. Campo Grande, 2007. 106 p. Master Dissertation FederalUniversity of Mato Grosso do Sul, Brazil (in Portuguese). Thisworkpresentsahydraulicalmodelofcontrolofotimizaoofsystemsofcanals, constitutedinthreestretches,linkedfor4floodgates,whereeachstretchissegmentedin17 we.Itisusedtheoryoftheregulatorlinearquadratic(RLQ),withthepurposetoleadthe systemtothebalancecondition,exactlythatithasvariationsand/ordisturbancesinthe draining of the flow, being used itself it used law of control in the regulation of the floodgates. Palavras-chave: operational control, systems of canals, optimized of projects. I - INTRODUO Comoconstanteaumentodademandadegua,devidoaocrescimentopopulacional, existeumanecessidadeurgentedeumgerenciamentoeficientedosrecursoshdricos.Este gerenciamentopodeserencontradonaoperaodecanaisprimrios(principal)ou secundrios(ramificados)emmuitoscasosprticos,podendoserobtidopelaautomao completa ou parcial de sistemas de canais. Amaioriadastcnicasdeoperaodecanais,notemexploradoasmodernas tecnologiasdisponveisparatornarasoperaesmaisflexveis.Existemtentativasrecentes para fazer operaes de canais automaticamente controlados, isto , fazer com que sistemas de canaisrespondamconformeademanda.Paraobterosmximosbenefciosusandoqualquer tcnica de controle, deve ser feita uma anlise adequada e cuidadosa, alm de uma sntese do sistema baseada em sua dinmica completa. Ocontroleautomticopodemelhorargrandementeaeficinciadeoperaodo transporte de gua em canais e aumentar os benefcios associados ao seu uso.Comcontroladoresautomticos,umsistemadecanalpodetornar-seoprprio reguladorcommaisflexibilidade,confianaesegurana.Seestescontroladorestrabalham corretamente,podemaperfeioarsignificativamenteaeficinciadeoperaoeigualmente minimizarodesperdciodeguaereduzirocustodeoperaoquandocomparadocoma operao manual, tendo, com isso, um compromisso entre flexibilidade e custo.Atualmente,podemserutilizadosprocedimentosefetivosparaanliseeprojetode controlesautomticosparasistemasdecanais,osquaistmsidoutilizadoscomxitoem algunssistemasdemltiplostrechos,masemoutros,notmtrabalhadodevidamentepor causadofatodeaoperaodocontroladorproduzircondieshidraulicamenteinstveisno 2 canal. Em certos casos, isso poderia resultar em transbordamento do canal e possibilidade de colapso em suas margens. Atcnicadeotimizaoaplicadanestapesquisaserbaseadanateoriadecontrole "moderno".Estatcnicafoiescolhidaporqueosistemaemquestoumsistemade parmetros distribudos multi-variveis degrandedimenso, ondeasequaes so utilizadas em sua forma original sem quaisquer transformaes, exceto discretizao e linearizao.Nestetrabalhoserpropostoummodelohidrulicoparaadeterminaodeleisde controle para a regulao de comportas na presena de distrbios ou perturbaes no sistema utilizando a teoria do regulador quadrtico linear do controle moderno. Esta uma etapa preliminar para a implementao em campo do conceito de controle em um canal real. Espera-se que as tcnicas estudadas nesta pesquisa possam ser aplicadas em umaprximafasedapesquisa,contribuindoparaamelhoriadossistemasdeirrigaoe outros usos existentes. Inicialmente,nocapituloIIdesenvolveu-seumarevisobibliogrficadosprincipais trabalhos encontrados na literatura aplicando a teoria de controle timo em sistemas de canais. Nestecaptuloencontram-seosconceitosfundamentaistericoseohistricodosmtodos relacionados com a otimizao dos sistemas de canais. Naseqncia,ocaptuloIIIforneceosobjetivospropostosnestetrabalhoea metodologia que ser utilizada no trabalho, contendo a descrio dos fundamentos tericos, os modelosutilizados,ashiptesesdetrabalho,osequipamentosutilizados,astcnicasde otimizao,osprocedimentosderesoluoeaspossibilidadesdeestudoestoapresentados no captulo IV.Os resultados e discusso so colocados no captulo V, as concluses no captulo VI e asrefernciasbibliogrficasquepermitemaidentificaodaspublicaescitadase consultadas esto no captulo VII. II REVISO BIBLIOGRFICA 2.1 Introduo Aplicaesdecontroleautomticoemsistemasdecanaissomuitorecentesquando comparadocomoutroscamposdaengenharia,ondeousopodeserdatadoantesde1778.A seguir,umabreverevisobibliogrficadescrevendoahistriadocontroleautomtico apresentada por BALOGUN (1985) reproduzida com a finalidade de introduzir o problema de controle em sistemas de canais.JamesWatt,em1778,foiopioneiroausararealimentaoautomtica.Eledecidiu que o controle de abertura e fechamento de uma vlvula a vapor realizado por uma pessoa no era a melhor maneira de manter a velocidade constante de uma mquina a vapor. Ele portanto inventouocontroladorWatt,queusavaaforacentrfugadarotaodebolascomoum controladordevelocidade.Quandoavelocidadedamquinaaumentava,ofornecimentode vapor cessava automaticamente e quando a velocidade da mquina diminua, o fornecimento de vapor aumentava. O controle em malha fechada foi tratado teoricamente em 1868 aproximadamente. Um esforo realizado por Maxwell foi dirigido para a anlise e pesquisa em uma mquina vapor epilotagemdenavio.Outrascontribuiesemcontrolerealimentadoforamrealizadaspor Hurwitzem1875,Routhem1884,eLiapunovem1892,juntamentecomtrabalhos fundamentaisdematemticoscomoLaplace,FouriereCauchy,nosquaisasbasesdos mtodos de anlise de engenharia moderna esto fundamentadas. Oaumentoinicialnousodecontroleautomticoemoutroscampos(porexemplo, eltrico,mecnico,etc.)foilento.Noentanto,comoadventodaeletrnica,aaplicaoeo entendimento terico de tcnicas de controle em malha fechada aumentou rapidamente. Uma 4 significante contribuio foi feita por Nyquist (1932) que realizou uma anlise de estabilidade usandoumarespostadefreqnciaemmalhaaberta.Heaviside(1920)deutambmuma contribuiosignificativa,conduzindoummelhorentendimentodaaplicaodas transformadasdeLaplaceeFourier.Hazenem1934apresentouaprimeiraaproximao analticaparaoprojetodesistemasdecontroleemmalhafechada.Devidoanecessidadede melhoresemaisprecisossistemasdecontrolerealimentadosduranteasegundaguerra mundial, houve rpidos desenvolvimentos. Destacam-se as tcnicas de resposta de freqncia deBodeeNichols,asntesederedesporGuillemin,omtododolugardasrazes desenvolvidoporEvans,aabordagemestatsticadeWeinerePhillips,eostrabalhosem sistemasnolineareseutilizaodecomputadoresdigitaisdeTustin,Kochenburger,Lure, Ragazzini, Zadeh, Shannon e Bellman. As desvantagens inerentes das tcnicas convencionais para o controle realimentado devido a alta dependncia dos procedimentos de tentativa e erro requereuumaabordagemmaismoderna.Nadcadarecentede1940,oconceitodecontrole timo ou moderno foi introduzido por Weiner. Essa tcnica foi baseada na otimizao de um dadocritriodedesempenho.McDonaldaplicouprimeiramenteesseconceitoem1950.Seu trabalhofoiminimizararespostatransientedeumsistemadecontrolerealimentadopara entradasdegraus.Em1951,DrapereLiescreveramumartigodiscutindoosconceitos tericosdocontroletimoparaumamquinadecombustointerna.Seusistematentou otimizaroconsumodecombustvel.Desdeento,muitostrabalhostmsidoescritossobre sistemas de controle. Entre os mais importantes so o trabalho de Bellman, que desenvolveu o conceitodeprogramaodinmica,edePontryagin,Boltyanski,eGamkreblidge,que desenvolveram o princpio mximo. A aplicao de controle automtico realimentado em sistemas de canais uma prtica recente. Com o aumento da demanda de gua em sistemas de irrigao e outros propsitos, e em vista da limitao atual dos recursos de gua, a necessidade de conservao de gua tem se 5 tornadocadavezmaisimportante.Aoperaomanualnopodeserfeitatoeficientemente ouprecisamentecomoocontroleautomtico.Essasquestesconduziramintroduodo controle automtico em sistemas de canais (SOUZA, 1998). Trabalhosrealizadosnareadecontroleautomticoestodispersosnaliteratura,e algumas descries aplicadas a canais tm sido encontradas. 2.2 Controle timo de Sistemas de Canais BALOGUN (1985) e BALOGUN, HUBBARD, DE VRIES (1988), aplicaram a teoria doreguladorquadrticolinearemtempocontnuoparaderivarumesquemaparaoperar canais. Este esquema de controle foi baseado nos sistemasdinmicos e pde ser aplicado no planejamento,organizaoemtodosdedemandaemtemporealdesistemasdecanais,e ofereceu um importante potencial para desenvolvimentos futuros. Contudo, ele foi baseado no controlecentralizado,oqualteveumelevadocustoinicialerequereugrandeesforo computacional para sua implementao.Desenvolveramumaaproximaointegradaparaoprojetodesistemasdecontrole automtico de canais, usando a teoria do regulador quadrtico linear. As equaes diferenciais parciaisunidimensionaisdescrevendooescoamentoemcanais(equaesdeSaint-Venant) foramlinearizadasemtornodascondiesdeequilbrioediscretizadasespacialmentepara deduzirumgrupodeequaesdiferenciaisordinriasoqualdescreveuosefeitosdas aberturas de comporta para altura e taxa de escoamento. Tcnicas de modelo linear quadrtico foramusadasparaprojetarumregulador.Anecessidadedemedirtodososestadosfoi evidentedevidoconstruodeumobservadorusandosomentemedidasdealturas adjacentesparacomportasdecontrole.Resultadosdesimulaoforamapresentadoscom aperfeioamento da resposta transiente. 6 REDDY(1990)apresentouumatcnicadecontroletimolocal(controledeuma comporta individual) para operao de canais de irrigao com um simples trecho. Usando os conceitos da teoria de controle, obteve uma expresso para abertura de comporta a montante deumtrechodecanaldeirrigaobaseadonocontroledenvelconstante.Naderivao,o trecho do canal entre duas comportas foi dividido em N ns e foram escritas, para cada n, as equaes da continuidade eda quantidade de movimento pelomtodo das diferenas finitas. AsriedeTaylorfoiaplicadaparalinearizarasequaesemtornodoestadoestacionrio inicial ou condies de equilbrio. As equaes linearizadas foram, ento, arranjadas na forma deumgrupodeequaeschamadadeequaodeestadoemteoriadecontrole.Ateoriado regulador quadrtico linear foi aplicada para derivar uma expresso paraaabertura tima da comportaparaconduzirosistemadevoltaacondiodeequilbrionapresenade perturbaes.Arespostadosistemalinearizadofoisimuladanapresenadeperturbaes constantes conhecidas e considerada aceitvel, para perturbaes inferiores a 20% da taxa de escoamentooriginalnotrechodocanal.Oresultadoobtidopelateoriadecontroletimofoi avaliado usando um modelo de escoamento variado em canais abertos. SegundoREDDY(1990),aolongodosltimosanos,diversosmodelosmatemticos paraoperarcanaiscomcontrolelocal,foramdesenvolvidos.OautordeclaraqueWylie,em 1969,apresentouumalgoritmoparaobteraaberturadascomportasdiretamente,enquantoo programadesenvolvidoporAmorochoeStrelkoff,em1965,simulouostransientespara abertura da comporta especificada. Zimbelman, em 1981, aperfeioou o funcionamento deste programa.Idealmente,umsistemadecanaisdevesersuficientementeflexvelparaprovergua em tempo real. REDDY (1990), em seu trabalho, descreveu que existem alguns ensaios neste sentido(BuyalskieSerfozo,em1979;Zimbelman,em1981eBurtem1983).Todasestas tcnicassousadasparaajustaronveldeguaajusante(excetoBurt)edetalhadaspor 7 modelagem hidrulica para a escolha dos parmetros de controle. Burt, em 1983, usou nveis mltiplosdeguaparaobterosparmetrosdecontrole.Contudo,estescontroladoreslocais necessitaram simulaes extensivas para obter os parmetros necessrios ao controle.REDDY,DIAeOUSSOU(1992)utilizaramomodelodasdiferenas-finitas linearizadoparaescoamentoemcanais.Oproblemadeoperaodecanaisfoiformulado comoumproblemadecontroletimoefoiapresentadoumalgoritmoparaaberturade comportanapresenadeperturbaesexternasarbitrrias(mudanasnasvazesde demanda). Um observador foi projetado para estimar os valores para alturas de escoamento e vazesdeescoamentonosnsintermedirios,baseadonosvaloresdealturasmedidosem doispontosdotrecho.Algoritmosdecontroleforampropostosparacontroledenvel constante e controle de volume constante. Durante a avaliao, as equaes do controlador e doobservador,derivadasdomodelolinearizado,foramincludascomomdulosnomodelo no-linear de escoamento em canais. Em um problema com perturbaes externas de 20% da taxa de escoamento inicial no trecho, o desempenho do algoritmo de controle e do observador em manter um nvel constante jusante do trecho, foi considerado aceitvel. SegundoREDDY(1995),asequaesdeSaint-Venantparaescoamentoemcanais foramlinearizadasemrelaocondiodeoperaodocanal.Osconceitosdateoriade otimizaolinearforamaplicadosparaderivarumalgoritmodecontrolerealimentadopara controledenvelconstantedeumcanaldeirrigao.Odesempenhodeumestimadorde estadoprojetadousandoomtododolugardasrazeseatcnicadofiltrodeKalmanfoi comparadacomosresultadosobtidosusandoumcontroladorcomrealimentaocompleta. Foi considerado um simples trecho para calculara vantagem da tcnica utilizada para projetar um estimador para canais de irrigao. Considerando a complexidade computacional eaacurciadosresultadosobtidos,atcnicadofiltrodeKalmanfoiconsideradaadequada para canais de irrigao. 8 OtrabalhodeSAWADOGO,MALATERREeKOSUTH(1995),apresentouuma aplicaodateoriadecontroletimoparaocontroleautomticodeumnicotrechodeum canaldeirrigao.Omodelousadoparaprojetarocontroladorfoideduzidoatravsdas equaesdeSaintVenantdiscretizadaspormeiodomodeloimplcitodePreissmane linearizadas. Um observador de estado e perturbaofoi usado para reconstruir a varivel de estadocomumnmeroreduzidodevariveisobservadas.Rejeiesdeperturbaesforam consideradas.Ocontroladoreoobservadorforamtestadoscommodeloslineareseno-lineares e provaram ser eficientes. Umalgoritmodecontroledejusantefoidesenvolvidoparaocontroledesistemas mltiplos de canal trechos por LIU, FEYEN e BERLAMONT (1995). O objetivo do controle foimanterametadenveldeguanaextremidadejusantedecadatrecho,porajustedo controle de comporta na extremidade montante. Se a medida do nvel de gua diferisse do seu valor-meta, a comporta era ajustada, objetivando eliminar o desvio o mais rpido possvel. O mtodo foi baseado em um procedimento de soluo explcita das equaes de Saint-Venant. Ajustesemcadacomportadecontroleforamcalculadosdeacordocomosnveisdegua, imediatamenteamontante.Amenosqueotrechofosseextremamentelongo,umcontrole efetivopoderiaserobtidosomentecomduasinformaesdosnsdecadatrecho (extremidade montante e jusante do trecho). Se as taxas de escoamento nos ns de informao fossem estimadas usando um mtodo gradiente, quatro nveis de gua eram medidos em cada trecho. O problema de regulao de canais de irrigao sujeitos a operao de distribuio de demandafoiformuladoporREDDY(1996),comoumproblemadecontroletimo.Para aplicarateoriadecontroletimolinear,asequaesdeSaint-Venantparaescoamentoem canaisforamlinearizadasusandoseriedeTaylor,apsaproximarpordiferenasfinitasas equaesdiferenciaisparciaisnolineares.Umcontroladorproporcionalintegralfoi 9 desenvolvidousandoconceitosdateoriadecontroletimolineareumobservadortimo (filtrodeKalman),paraestimarosvaloresparaasvariveisquenoerammedidas.Foi consideradoumexemplodecanaldeirrigaocomcincotrechos.Comatcnicadas diferenasfinitasutilizada,umtotalde45variveisdeestadosecincovariveisdecontrole (comporta) resultou no problema. Com duas medidas por trecho, foram estimados valores de 35variveisdeestadousandoumobservador.Submetendo-seocanalaperturbaes aleatriasdeaproximadamente40%dataxadeescoamentoinicial,odesempenhodo algoritmodecontrolerealimentadoglobalsimulado,comfiltroKalmanfoiconsiderado aceitvelemtermosdeobtenodeumcontroledevolumeconstanteoudeumcontrolede nvelconstantenostrechosdocanal,napresenadeperturbaesaleatriasnastaxasde escoamento lateral. CLEMMENS, KACEREK, GRAWITZ e SHUURMANS (1998) desenvolveram testes paraavaliaodalgicadeesquemasdecontroleemcanais.Oobjetivodessestestesfoi preliminarmente,exibirosvriosmtodosdecontrolerealimentado.Aexperinciafoi desenvolvidacomummodelodesimulaodeescoamentovarivel.Doistestesdecanais foramapresentados,representandopropriedadeshidrulicasextremas.Osdoiscenrios abrangeram uma escala de condies de escoamento. Os testes determinaram a qualidade das solues e os seus respectivos tempos de obteno. Foram dadastambm recomendaes de como apresentar os resultados desses testes e o grupo associado de desempenhos indicados ou medidos.Durantedcadas,numerosossistemasdecontroleautomticoforampropostospara operaodecanaisdeirrigao.Tiposdesistemasdecontroleautomticoestobaseados desdeesquemasempricosdecanalnico,atprocedimentoscommltiplostrechose mltiplasvariveis,baseadosnaminimizaodecritriosdedesempenhoquadrtico. SegundoCARMONA,CLEMMENSeSHUURMANS(1998),amaioriadosalgoritmosde 10 controlepodeserexpressaemteoriadecontroletradicional,dasquaispropriedadese caractersticaspodemserdeterminadas.Foiapresentadapelospesquisadoresadeterminao da ao de controle ou varivel de controle exigida para obter uma operao de canal desejada em funo da tcnica de projeto usada. As leis de controle associadas as diferentes tcnicas de projeto foram demonstradas numa forma polinomial. As expresses resultantes esclarecem as diferenasentreosalgoritmosesuaslimitaesquandoelessousadosemoperaode canaisdeirrigao.Foi,ainda,apresentadaumadiscussosobreasvantagensdesses algoritmos para diversas situaes. AsequaesdeSaint-Venantparaescoamentoemcanais,originadasdasequaes diferenciaisparciaisno-lineares,foramlinearizadasusandoasriedeTayloreaps aproximao pelo mtodo das diferenas finitas, por REDDY e JACQUOT (1999). Usando a teoriadocontroletimolinear,foidesenvolvidoumcontroladorproporcionalintegralpara umcanaldeirrigaocomcincotrechos.UmfiltrodeKalmanfoiprojetadoparaestimar valoresparavariveisdeestadoquenoforammedidas.Adinmicasimuladacom controladorproporcionalintegralaolongodocanalecomfiltrodeKalmanfoicomparada com o desempenho dos algoritmos de controle global para do controle de volume constante e ocontroledenvelconstantedeumexemplodecanaldeirrigao.Odesempenhodos algoritmos de controle de volume constante foi considerado to bom quanto o desempenho do algoritmo de controle global.Umprojetodecontroladorpredictivoadaptativoparacontroledescentralizadodeum canaldeirrigaofoipropostoporSAWADOGO,FAYEeCAMINO(2001).Os pesquisadores consideraram um canal, decomposto em toda a sua extenso em N subsistemas (trechos)separadosporumaestruturadecontrole(comporta).Ossubsistemasforam considerados interdependentes, pois o escoamento atravs dasestruturasdependia dos nveis deguaamontanteejusante.Notrabalhoapresentado,ateoriadocontrolepredictivofoi 11 usadaparaformularumasriedecontroladoreslocaisparaoperaoautomticadecada trecho.Oesquemadecontroleapresentadoconsiderouasinteraesentreossubsistemas.O objetivodecadacontroladorfoiodemanterconstanteonveldeguajusantedecada trecho,sujeitoaperturbaesexternas.Paraavaliarodesempenhodocontroladorem condiesreais,omesmofoitestadoporummodelono-lineardeescoamentoemcanal.O caso de estudo considerou um canal dividido em oito trechos. 2.3 Matrizes peso de um regulador quadrtico linear Nafunocustoquadrticaintegral,humarelaoentreaespecificaodo desempenho desejado do sistema e os parmetros do projeto. Para um ndice de desempenho quadrticolinear,estesparmetrossoasmatrizespeso,eelesdevemserescolhidospara atingir o desempenho desejado do sistema. As tcnicas disponveis para a escolha das matrizes peso, podem ser divididas em trs grupos principais (GRIMBLE e JOHNSON 1988): - tcnicas heursticas - tcnicas de fixao de uma estrutura modal tima - tcnicas de fixao de uma estrutura modal tima assinttica A essncia das tcnicas destes trs grupos descrita a seguir. 2.3.1 Tcnicas Heursticas Asprimeirastcnicasutilizadasparaaseleodasmatrizespesodafunocusto quadrtica foram de natureza heurstica. Uma dessas tcnicas o mtodo quadrtico inverso ou"mtodoquadrticoinversodeBryson"(BRYSON,1975).Estemtodoaindausado comoumaprimeiraavaliaopormuitosprojetistas.Omtodoquadrticoinversoainda 12 persiste como um mtodo largamente usado para a seleo das matrizes custo quadrticas. O conceito bsico da tcnica normalizar a contribuio dos estados (ou sadas) e dos termos de controle,nafunocustoquadrtica.Estanormalizaogeralmenterealizadausandoos valores mximos dos estados e controles individuais. Suponha que as matrizes pesoQ Rn x n eR Rr x r sejam diagonais, ou seja: Q diag q qn= [ ,..., ]1(2.1) R diag r rr= [ ,..., ]1(2.2) O algoritmo descrito como: i)Determineosmximosdesviostolerveisx max ni( ) ,...,com i = 1 ,e u max rj( ) ,...,comj = 1 . ii) Calcule as matrizes peso da funo custo quadrtica: qx maxii=12( ) i n = 1,..., (2.3) ru maxjj=12( ) j r = 1,..., (2.4) Emborasimples,omtodorequerumprocedimentodetentativaeerroparauma resposta satisfatria. 2.3.2 Tcnicas de Fixao de uma Estrutura Modal tima As tcnicas apresentadas nesta seo dependem da capacidade do projetista especificar o comportamento dinmico desejvel do sistema realimentado. Para sistemas na representao espaodeestado,ocomportamentodinmicotransientedependedaestruturamodaldo sistemarealimentado,ouseja,dosautovalores(ouplos)eseusautovetoresassociados. Enquanto a especificao dos plos do sistema realimentado aceita na prtica, a seleo dos 13 seusautovetoresassociadosumconceitonovocompoucascorrelaesdisponveisparaa orientaoemprojetosdecontrole.Estastcnicastmsuasorigensemdoismtodosde seleodasmatrizespeso,eestobaseadasnaobtenodeumsistemarealimentadocom plos exatamente prescritos ou aproximadamente prescritos. Esses mtodos so chamados de controle modal timo e projeto regulador com estabilidade prescrita respectivamente. Oproblemadocontrolemodaltimoutilizaaespecificaodosplosdosistema realimentado para determinar as matrizes peso Q e R apropriadas, ou seja, as matrizes Q e R soescolhidas de talforma que oregulador coloca os plosem posiesdesejadase exatas. Emalgunscasos,suficienteobterploscomcertograudeestabilidade.Essaclassede tcnicasconhecidacomoprojetoreguladorcomestabilidadeprescrita.Envolvendoestes doistiposdetcnicas,hdiversassoluesparaoproblemadefixaodeumaestrutura modaltima.Umacaractersticacomumdamaioriadestesalgoritmosousodeum algoritmo de otimizao no linear para obter a eventual soluo. - Projeto Regulador com Estabilidade Prescrita Paramuitospropsitosdeprojeto,nonecessrioprescreverposiesexatasde todososplos.Emvezdisso,freqentementesuficienteespecificarumaregionoplano complexoesquerdoondeosplosdeveriamseposicionar.Taltcnica,quandobaseadana metodologiadecontroletimo,conhecidacomoumprojetoreguladorcomestabilidade prescrita. No contexto de controle timo, essa idia foi primeiramente descrita por ANDERSON e MOORE (1969), ondeuma simples transformaode estado foi usadapara localizar todos osautovaloresesquerdadeumalinhaverticalparalelaaoeixoimaginrionoplano complexo esquerdo. 14 KAWASAKI e SHIMEMURA (1983) publicaram uma nota tcnica para posicionar os autovaloresdentrodeumaregiohiperblicanoplanocomplexoesquerdo.Estemtodo exploraaspropriedadesdoreguladordemnimaenergiaedaequaomatricialdeRiccati paraconstruirasmatrizespesoapropriadas.Ateoriadoalgoritmopodeseraplicadapara outras regies de estabilidade prescrita. Usando o mtodo proposto, os pesos quadrticos so obtidosdeumaformaquetodososplosdosistemarealimentadosolocalizadosnuma regio desejada para a obteno de uma boa resposta e estabilidade. O sistema construdo por estemtodopossuiascaractersticasdeumproblemalineartimoedeumproblemade colocaodeplo,sendo,portanto,tilemprojetosdesistemasderealimentaolinear.O mtodopermitequetodososplosdosistemarealimentadoestejamlocalizadosnaregio hachurada da figura (2.1). Figura 2.1 - Regio hiperblica de estabilidade. Porexperincia,sabe-sequesetodososplosestolocalizadosnaregiodafigura (2.1),asrespostasconvergemparaoestadopermanentenumavelocidadeapropriadaesem oscilaes. Este mtodo coloca os plos do sistema realimentado em um nmero finito de no mximo n iteraes. Alm disso, os plos que tm sido j localizados na regio desejada, no so removidos nas iteraes subsequentes do algoritmo.JUANGeLEE(1984)propuseramummtodoquepodeserusadoparadirecionaro procedimento de colocao tima de plo. Uma regio varivel definida para onde os novos autovaloresdosistemarealimentadosolocalizados.Segundoospesquisadores,o procedimento proposto no exige a resoluo da equao de Riccati, flexvel quanto a regio -m Re(s) Im(s) 15 ondeoplopodeserfixadodemaneiratima,etemdiversaspropriedadesnumricas vantajosas, especialmente para sistemas mal condicionados ou sistemas de ordem elevada. SHIEH,DIBeMcINNIS(1986)apresentaramummtodoparaencontrarum regulador quadrtico linear que resulte em um sistema timo realimentado com os autovalores prescritos dentro de uma faixa vertical no plano esquerdo complexo. Oproblemadecolocaodetodososplosdeumsistemaporrealimentaode estado,dentrodeumdiscoespecificado,consideradoporFURUTAeKIM(1987)para sistemascontnuosediscretos.Umaleidecontroledeterminadausandoumaequaode Riccatidiscretaquepodesercalculadadiretamente.Estetipodeproblemadenominadode colocaodeplo-D,esuaspropriedadesecaractersticasemrelaoaoproblemado controle timo so discutidas.Um regulador quadrtico linear timo foi desenvolvido por SHIEH, DIB e GANESAN (1988) para colocar de maneira tima os plos de sistemas multivariveis contnuos em uma regiodeumsetoraberto(figura2.2),limitadapelaslinhasinclinadas / 2k ( k = 2 3 ou) em relao ao eixo real negativo, e uma linha paralela ao eixo imaginrio do lado esquerdo do planocomplexo.Acolocaodeplotimafoirealizadasemutilizarexplicitamenteos autovaloresdosistemanorealimentado.Osistemarealimentadoresultantecomseus autovalores na regio desejada timo com relao a um ndice de desempenho quadrtico.

Figura 2.2 - Regio de interesse para o setor de ngulo menor que / 2. Oproblemadecolocaotimadeploestbaseadoprincipalmentenasoluode umaequaomatriciallineardeLyapunov,enquantoqueomtodoapresentadopor / 2k / 2kh I Re 16 KAWASAKIeSHIMEMURA(1983)baseadonasoluodeumaequaomatricialno lineardeRiccati.Almdisso,elesintroduziramcertaquantidadedearbitrariedadesna avaliao das matrizes peso e ganho de realimentao, como por exemplo, a escolha arbitrria deumganhoconstante.Estemtodocolocaosautovaloresdosistemanorealimentadona regiolimitadapelaslinhas / 2k emrelaoaoeixorealnegativoparak = 2 3 ou. Portantoamaiorregioquepodeserconsideradalimitadapelaslinhasinclinadas / ) 4 (45.Paraocasodesetoresquesolimitadosporngulosmaiores,umatcnicade transfernciadesetorfoiusadaparaacolocaodoplo.Omtodoapresentadocolocade maneira tima os plos de um sistema realimentado em qualquer setor geral com ngulo entre / 2 e (figura 2.3). Embora o mtodo apresentado coloque de forma tima os plos em um setormaisgeralcomngulosentre / 2 e,quandok = 2 3 ou,asrespostasdosistema convergem com uma velocidade apropriada e sem oscilaes excessivas. Considere a regio mostrada na figura (2.3), onde o setor limitado pelas linhas (a) e (b)inclinadascomngulos( ) > 45emrelaoaoeixorealnegativo.Tambm considerearegiolimitadapelaslinhas(c)e(d),ealinhaverticalemh1.Osplosdo sistema realimentado devem ser colocados nesta ltima regio. Figura 2.3 - Regio de interesse para o setor entre / 2e . h Im Re a c d b h2 h1 450 450 17 O setor limitado pelas linhas (c) e (d) inclinadas de / 4em relao ao eixo real tem origemnoeixorealpositivoemh h h = 2 1,ondeh h2 1= tan( ) .Portanto,oproblemade colocaodeplopodeserreduzidoaumcasoparticulardoproblemavistoanteriormente parak = 2 . O procedimento de projeto apresentado no requer o conhecimento explcito dos autovalores do sistema no realimentado e uma expresso foi deduzida para uma constante de ganho que assegura que no mnimo dois autovalores adicionais se movem para o setor aberto emcadaiterao.Onmeromximodeiteraesrequeridoparaalcanaracolocao desejadadosplosigualaomaiorinteiromenorouiguala( / ) n 2 2 + .Baseadonas observaes acima, os procedimentos de projeto apresentados foram considerados eficientes. - Controle Modal timo Oobjetivodocontrolemodaldeterminarumaleiderealimentaodeestadopara queosistematenhaumconjuntodeautovalorespr-definidos.Ocontrolemodaltimo, diferentementedoreguladorcomestabilidadeprescrita,utilizaumaespecificaoexatadas posies individuais dos plos do sistema realimentado para determinar as matrizes peso Q e R apropriadas. O ganho de realimentao ento obtido do problema do regulador quadrtico linear.Vriosmtodospodemserencontradosnaliteratura:SOLHEIM(1972),GRAUPE (1972),BAR-NESS(1978),AMIN(1985),SAIF(1989),LUOeLAN(1995),OCHIe KANAI (1995). Estas tcnicas podem ser divididas em dois grupos: os mtodos exatos e os mtodos de perturbao. - Mtodos Exatos para Controle Modal timo 18 Estesmtodosrealizamacolocaodeplosatravsdeumaformulaoexplcita entre os elementos das matrizes peso e os autovalores desejados para o sistema realimentado. Ostrabalhosquesedestacamso:SOLHEIM(1972),AMIN(1985),SAIF(1989)e LUO e LAN (1995). SOLHEIM (1972) desenvolveu um mtodo quepermite projetar sistemas decontrole timo realimentado com autovalores prescritos, e permite tambm ser usado para transferir os autovaloresdeumsistemajtimoparaposiesdesejveis.Ummtodogeralesimples desenvolvido para encontrar os elementos da matriz peso de estado para uma dada matriz de controle.Omtodopodeseraplicadoemprojetosdesistemascontnuosediscretos.Ele considerouocasoondeamatrizdosistematemautovaloresdistintosreaiseautovalores complexos.Omtodobaseadonofatoqueosdiferentesganhosderealimentaoeas diferentesmatrizespesopodemsersomadosparaforneceroresultadofinal.Aseqnciade transferncia dos autovalores pode ser arbitrria, mas cada seqncia resultar em uma matriz Q diferente. Ummtodoparatransferiraspartesreaisdosplosdeumsistemanorealimentado paraasposiesdesejadas,preservandoaspartesimaginriasapresentadoporAMIN (1985).Emcadapassodaaplicaoproposta,foinecessrioresolverumaequaomatricial linear de Lyapunov de primeira ou de segunda ordem para transferir um plo real ou um par deploscomplexosconjugadosrespectivamente.Natransfernciadosdiversosplos,o procedimentorealizadorecursivamente.Omtodoapresentadoforneceumasoluoque tima em relao ao ndice de desempenho quadrtico. O trabalho de AMIN (1985) considera o mesmo problema discutido por SOLHEIM (1972). No entanto, as partes reais dos plos do sistemanorealimentadosoconsideradassertransferidasparaasposiesdesejadas, enquanto as partes imaginrias so preservadas sem alterao, permitindo assim resolver uma 19 equaolineardeLyapunovaoinvsdeumaequaonolineardeRiccati.Oprocessode transferncia de plos obtido por uma lei de controle de realimentao tima com relao a um ndice de desempenho quadrtico. SAIF(1989)propsumalgoritmorecursivoparaaseleodamatrizpesodeestado Q,econseqentementedeumcontroladortimoparaumproblemareguladorquadrtico linear (RQL) que resultaem um conjunto de autovalores desejados no sistemarealimentado. A lei de controle resultante minimiza o ndice de desempenho quadrtico, e ao mesmo tempo resultaemumconjuntodesejadodeautovaloresdosistemarealimentado.Ummtodode agregaoutilizado,paraqueacadapassodoprocessorecursivodomodeloreduzido,um plorealouumpardeploscomplexos,sejamdevidamentealocados.Istofeitocom equaesmatriciaisdeduasouquatrodimensesrespectivamente,independenteda dimensionalidadedosistema.Oalgoritmo,aindacapazdecolocarumparconjugado complexoemumanova posioconjugadacomplexaouemduasposiesdistintasreais.A tcnicausapropriedadessimplesdosistemahamiltonianoparaatransfernciadeplose clculodassoluesestveisenoestveisdaequaomatricialdeRiccati.Otrabalho basicamenteumaextensodotrabalhodeAMIN(1985).Especificamente,oalgoritmo apresentadosuperiorqueletrabalho.Umavantagemdoesquema,queacadaestgiodo processorecursivo,trabalha-secommatrizesdebaixaordem(segundaouquartaordem) independente da dimenso do sistema. Neste trabalho de SAIF (1989), a seleo tima da matriz peso do sistema realizada de maneira seqencial, ou seja, em cada estgio, um plo real ou um par conjugado complexo transferido,eumamatrizpesoapropriadaealeidecontroletimacorrespondenteso encontradas. A aplicao computacionalmente simples, especialmente para grandes sistemas malcondicionadosondesomenteosautovaloresdominantesouinstveisprecisamser fixados, pois matrizes de grandes ordens so evitadas em tais casos. Esta simplicidade resulta 20 dofato que a cadaestgio do processo seqencial, o sistema agregado para um sistema de primeira ou de segunda ordem, dependendo se um plo real ou um par conjugado complexo alocado.Destaforma,todososclculosrequeremmatrizesdesegundaouquartaordem, independentementedadimensionalidadedosistemaparafixarumautovaloratravsda seleodamatrizpesodeestado.Estacaractersticadoalgoritmoreduzoesforo computacional drasticamente, em particular quando sistemas de grande ordem so envolvidos. Estaaplicaoaindacapazdefixartodososautovaloresparaasnovasposies,oufixar apenasumsubconjuntodeautovaloresemnovasposiesemanterosdemais,umavezque dopontodevistadateoriadecontrole,noaconselhvelemtaissistemas,alteraro comportamentodinmicodosistemamaisdoquesejanecessrio.Estaimportante caracterstica do algoritmo permite que nenhum esforo de controle seja utilizado para mover osmodosnodominantesdosistema.Destaforma,todooesforodecontroleserusado eficientementeparamoverosmodosdominantese,portanto,podem-seesperarganhosde realimentao menores. Resumindo,oprojetodocontroladoreseudesempenhososuperioresstentativas realizadas anteriormente. As vantagens oferecidas pelo uso desta aplicao so: -adificuldadeemselecionarumconjuntoapropriadodematrizespeso completamenteresolvidausandoaliberdadenaseleodestespesosparafixarplosno sistema realimentado. -arespostatransientedesejadaparaosistemapodeseratingidafixandoaestrutura modal do sistema em posies apropriadas atravs da escolha das matrizes peso. -oalgoritmocapazdefixarumsubconjuntodeplosdosistema,semalteraros plos restantes. Isto importante no projeto de um controlador timo, pois somente os modos dominantes devem ser alterados evitando um alto ganho de realimentao. 21 -oalgoritmocomputacionalmenteatrativo,poisamaioriadosclculosenvolve matrizes de baixa ordem independentemente da dimenso do sistema. UmcritriousandoaanlisedaenergiamodaldominantedesenvolvidoporLIAW (1991) para decidir quais plos do sistema devem ser alterados. Somente os plos de energia dominantedosistemanorealimentado,ouosplosdeumsistemaderealimentaotima queestolocalizadosmuitoprximosdoeixoimaginrio,sotransferidosparaaregio desejada.Transferindosomenteosautovaloresdominantes,umcontroladoreficientee simples do sistema dinmico pode ser obtido. Ummtodosistemticoparaadeterminaodematrizespesodiagonaisparao problema regulador quadrtico linear foipropostoe estudado recentemente porLUO eLAN (1995).Opropsitodotrabalhofoiapresentarummtodosistemticoparaadeterminao dasmatrizespesodiagonaisQeRqueforneaosautovaloresespecificadosparaosistema realimentado.Oclculodemonstrousereficienteemalgunscasos.AmatrizdiagonalR escolhidapelomtodoquadrticoinverso.ComoamatrizQsupostasersemi-definida positiva,umelementocomvalornegativocalculadopelomtodoproposto,trocadopor zero, significando que a varivel de estado correspondente no tem nenhuma penalizao. Se vrioselementosdeQresultamnegativos,amatrizpesoRdecontrolenecessitarser ajustada,alterando,porexemplo,asmagnitudesmximasrequeridasdecadacontrolede entrada.Estaumadasprincipaisfalhasdomtodoproposto.Comoresultadodasmatrizes peso Q e R, a equao de Riccati ento usada para encontrar a matriz P, e conseqentemente o controle de realimentao timo determinado. - Mtodos de Perturbao para Controle Modal timo O conceito bsico destes mtodos encontrar uma relao direta entre as perturbaes dasmatrizespesoeosmovimentoscorrespondentesdasposiesdosplosdosistema 22 realimentadotimo.Essasrelaespodemserexploradasparaumaaproximaoiterativa paraocontrolemodaltimo.Contribuiesrecentestmtentadoaperfeioarestaaplicao incorporandoumatcnicadeotimizao(GRAUPE1972),ougeneralizandoateoria(BAR-NESS1978).Poucostrabalhoscomputacionaisestodisponveis,sendoportantodifcil avaliar o sucesso da aplicao.GRAUPE(1972)apresentouumtrabalhorelacionadocomoproblemade determinao das matrizes peso apropriadas para o ndice de desempenho do regulador linear, tal que a lei de controle tima resultante satisfizesse os autovalores requeridos. O pesquisador fornece um algoritmo para obter uma matriz peso diagonal e o ganho timo de acordo com os autovalores desejados. A soluo emprega clculo diferencial de matrizes e uma estratgia de minimizao gradiente. Um algoritmo apresentado para um sistema linear com uma simples entradaderealimentao.Noentanto,esteprocedimentocomplicadoenopareceser prtico. Enquanto as equaes diferenciais de GRAUPE (1972) so deduzidas da equao de Riccati, OCHI e KANAI (1995) deduziram estas equaes da equao caracterstica da matriz de Hamilton. Como estas equaes no incluem solues da equao de Riccati, elas so mais simples.Ascaractersticasdomtodopropostoseresumememdeterminarumamatrizpeso diagonal que fornece os plos do sistema realimentado em localizaes exatas desejadas pela resoluo das referidas equaes diferenciais. No entanto, o mtodo proposto tem as seguintes desvantagens: -omtodorequerumagrandequantidadedeclculospararesolverumconjuntode equaes diferenciais. - o procedimento de projeto no garante que amatriz peso seja no definida negativa, no sendo sempre possvel obter o regulador timo. -aregiodeposicionamentodosautovaloreslimitada,pelarestriodaformada matriz peso ser diagonal. 23 - o comportamento dos autovalores que no so fixados, no pode ser predito, ou seja, essesautovalorespodemsedeslocarparaoplanocomplexodireitoseamatrizpeso indefinida. -amatrizderivadapodesetornarsingularemalgunscasos.Estasingularidadepode ser evitada, mas h um custo computacional exigido. Dois mtodos foram propostos por BAR-NESS (1978) para a seleo das matrizes do ndicededesempenho,talqueosistemadecontroletimorealimentadotenhaautovalores prescritos.Ummtododireto,quebaseadonasensibilidadedosplosdosistema realimentadocomrelaosvariaesnasmatrizespeso,eumindireto,denominadode mtododamatrizassociada,quebaseadonasensibilidadedosautovaloresdeumamatriz associadaemrelaosvariaesnasmatrizespeso.Avantagemmaissignificativado mtododamatrizassociadaanonecessidadederesolveraequaonolinearmatricial quadrtica de Riccati. Embora seja necessrio em ambos os mtodos calcular os autovalores, nomtododireto,osautovaloresdireitoeesquerdodevemsercalculados,enquantoqueno mtododamatrizassociada,suficientecalcularosautovetoresdireito.Procedimentos computacionais foram sugeridos para sistemas discretos e contnuos. - Mtodos Aproximados de Fixao da Estrutura Modal tima O desenvolvimento da teoria bsica de sistemas lineares afeta profundamente os tipos dealgoritmosqueaparecemnaliteratura.Porexemplo,astcnicasdecontrolemodaltimo pr-datamoconceitodecolocaodaestruturamodaldosistemarealimentado.Porisso,os algoritmos de fixao da estrutura modal tima esto ainda sendo desenvolvidos. Esta seo voltada para alguns exemplos deste tipo de algoritmo. 24 Aliberdadedeprojetoqueocorrenoproblemadefixaodeumaestruturamodal tima,somadapelanounicidadedoganhoderealimentaoparaseobterumaestrutura modal desejada. Uma aplicao comum explorar esta liberdade para adicionar uma restrio adicionalqueamatrizganhodevesatisfazer,eformularumproblemadeotimizaopara satisfazer esta condio. Este um esquema bsico das tcnicas numricas de otimizao no linear.Essastcnicastmcomoobjetivoalcanarasposiesdosplosdesejados, minimizarem a sensibilidade dos plos para uma variao de parmetros, e conciliar o ndice dedesempenhotimo.Algunspesquisadorestmrealizadoumaaplicaodiretaparaa soluo deste tipo de problema.Um exemplo recente da aplicao da otimizao no linear para obter-se um controle modaltimoodeCHEN,MALIK,QINeXU(1992).Aescolhadamatrizpesodeum projetodecontrolelineartimoparaobterposiespr-especificadasdosautovalores dominantesesobrestrieslimitesdoganhoderealimentaoapresentada.Estudos mostramque,comomtodoproposto,pode-seobteramatrizpesodesejadarapidamentee convenientementesemopesadofardodeterqueescolherumamatrizpesoportentativae erro.Osautovaloresdominantesdosistemarealimentadotminflunciadiretano desempenho dinmico. Portanto, o ponto chave do mtodo proposto otimizar a matriz peso sob um conjunto de restries para mover os autovalores dominantes do sistema realimentado paraposiespr-especificadasnoladoesquerdodoplanocomplexo.Oprocedimentode otimizaobaseadonaspartesreaisdosautovalores.Noentanto,omodelodeotimizao podesermodificadoparaconsiderarosefeitosdaspartesimaginrias.Matematicamente,o objetivo de introduzir um sistema de controle timo, aperfeioar as posies dos autovalores do sistema realimentado no plano complexo. O objetivo de otimizar as matrizes peso mover os autovalores dominantes do sistema realimentado o mximo esquerda no plano complexo 25 semviolarasrestriesexistentes.Estatcnicadeotimizaopodeconsiderarmuitostiposde restries.UmoutromtododeotimizaoapresentadoporSUNAReRAO(1993).Eles usaram um mtodo heurstico que tem como objetivo fixar uma estrutura modal usando uma leiderealimentaooudecontroletimo.Oalgoritmoprocuraasmatrizespesodiagonais apropriadasparaaleitimamaisprxima,quealcanceaestruturamodaldesejada.O algoritmorequerousodeumatcnicadeotimizaonolinear.Ametodologiafoi desenvolvidaparaaseleotimadasmatrizespesodeestadoedecontroledomtodo regulador quadrtico linear (RQL) em projetos de estruturas. Um problema de controle timo colocado de tal maneira que as variveis de projeto so os elementos diagonais de Q e R, a funo objetivo o trace da soluo matricial da equao de Riccati do mtodo RQL, e as restries so impostas em relao aos autovalores do sistema realimentado para satisfazer as condiesmnimasdeestabilidadeparaosistemadecontrole.Oprocedimentoencontraas matrizes diagonais timas Q e R permitindo ao sistema controlado alcanar a estabilidade e os limites de desempenho pr-especificados. Alm disso, as matrizes resultantes Q e R produzem um ndice de desempenho mnimo possvel, e assim o esforo de controle substancialmente reduzido. Segundo os pesquisadores, o mtodo eficiente para sistemas de grande escala. No trabalhoapresentadoporeles,mostradoqueaminimizaodondicededesempenho quadrticoparaalgumasescolhasdeQeRproporcionalaotracedamatrizsoluoda equao algbrica de Riccati. Se o trace de P, tr(P), minimizado, com as variveis de projeto sendooselementosdiagonaisdeQeR,essasmatrizesresultantesproduzemumndicede desempenho mnimo. O objetivo do trabalho foi encontrar o ndice de desempenho quadrtico mnimopossveleaestabilidadepr-especificadadosistema.Estaestratgiatimareduzo custodecontrole,esimultaneamenteencontraoslimitesdedesempenhoeestabilidade 26 impostosnosistema.A aplicaobastantegeralepodeseraplicadaparaqualquersistema com limites especificados de desempenho e estabilidade. 2.3.3 Tcnicas de Fixao de uma Estrutura Modal tima Assinttica Umadesvantagemdastcnicasdescritasataqui,anoconsideraodasdirees dosautovetoresdosistemarealimentado.Noentanto,elessounsimportantesfatoresna respostadosistema.Tcnicasqueconsideramtodaaestruturamodalsoconsideradasnesta seo.Oconceitodaestruturamodaltimaligadadireodevetoresfoiprimeiramente exploradoparaaseleodasmatrizespesoQeRemumprojetoreguladortimopor HARVEY e STEIN (1978).Eles descreveram um procedimento para a seleo das matrizes pesoemprojetosdecontroletimoquadrticolinear.Oprocedimentobaseadonas caractersticasmodaisassintticasdereguladoreslinearesquadrticosmultivariveisquando ospesosdecontroletendemazero.Sodesenvolvidasaspropriedadesdosautovalorese autovetoresparaosplosquesemantmassintticamentefinitoseparaaquelesquevo assintticamenteparaoinfinito.Estaspropriedadessousadasparaforneceruma caracterizao completa e nica dos pesos quadrticos. A caracterizao oferece um poderoso e novo procedimento de seleo dos pesos, e promete reduzir substancialmente as iteraes de projeto.Frmulassimpleseexplcitasforamdadasparaasmatrizespesodetalformaa produzirumaestruturamodalcom(n-r)modosdistintosassintticamentefinitos,ermodos tendendoaoinfinito(nersodimensesinteirasdoestadoecontrolerespectivamente).O projetistadeveespecificarosparmetrosmodais(autovaloreseautovetores)paratodososn modos explicitamente. Emuma publicao mais recente, STEIN (1979) desenvolveu um procedimento mais geraldeseleodospesosassintticosparacobriroscasosondemenosdoque(r-n)modos sejamfinitos,eorestantedosmodostendamaoinfinitoousejamdeterminadosporoutros 27 objetivosdeprojetosecundrios.Odesenvolvimentodoprocedimentodeseleodospesos quadrticosestbaseadoemcertaspropriedadesassintticasdosreguladoresquadrticos lineares.Oprocedimentoforneceumaestruturamodalassintticadesejadadosistema realimentadoquandoospesosdecontroletendemazero.Aestruturapodeconsistirde 0 p n r modosfinitos,comautovaloresarbitrrios(estveis),cujoautovetores associados esto restritos ao subespao m dimensional. Os modos restantes tendem ao infinito ou podem ser determinados atravs de outras consideraes secundrias de projeto. Frmulas explcitasparaasmatrizespesoforamdeduzidas.Essasfrmulassosimplese computacionalmentefceisdeimplementar.Elastambmpossibilitamumentendimento adicionaldasrelaesbsicasentreosparmetrosdepesoeaspropriedadesresultantesdo sistema realimentado para o problema do regulador quadrtico. Desprende-sedestarevisobibliogrfica,queoestadodaartecontinuaavanando, pois vrios modelos matemticos tm sido desenvolvidos para a anlise e controle de sistemas decanaisequeumnmerosignificativodeaperfeioamentostemsidofeitonosanos recentes. O problema de controle timo apenas recentemente, tem merecido ateno especial, embora existam algoritmos e tcnicas j largamente usadas. Estetrabalhofocalizasuaatenonodesenvolvimentodosconceitosetcnicas computacionais requeridos na operao e implementao de um eficiente esquema de controle timo de comportas para sistemas de canais. III - OBJETIVOS finalidadedestapesquisa,estudararesoluodeproblemastransientesassociados ao fluxo de canais, empregando a teoria de controle timo de sistemas dinmicos e avaliar o desempenho do algoritmo proposto. O problema de operao de sistemas de canais ser formulado como um problema de controletimolinearemtempocontnuoediscreto,usandoateoriadoreguladorquadrtico linear(RQL).Oconjuntoapropriadodeleisdecontroleparaaregulaodecomportas, quando mudanas ou variaes da demanda ocorrem, ser determinado a partir de um ndice de desempenho e de restries nas variveis de controle, com o objetivo de conduzir o sistema condio de equilbrio. IV - METODOLOGIA objetivodestecaptuloressaltaraspossibilidadesdeestudotendoemvistaos conceitosfundamentaistericosapresentadosefazerumadescriodosmodelostericos utilizados,docritriodeconvergnciaadotado,doequipamentoelinguagemcomputacional necessrios, do canal de estudo selecionado e das aplicaes propostas. 4.1. Equaes Bsicas Ofluxoemcanaisgovernadoporequaesdiferenciaisparciaisno-lineares (Equaes4.1e4.2).Estasequaesso,geralmente,denominadascomoasequaesde Saint-Venant (WYLIE e STREETER, 1978). 01= ++TqxQT ty(4.1) e 002= ||

\|+ +|||

\|+fS SxygAxAQtQ(4.2) ondeyaprofundidadedagua(m);Qavazodofluxo(m/s);qavazolateralpor unidade de comprimento (m/s); A a rea da seo transversal do escoamento (m); 0S a inclinao do fundo do canal(m/m); R o raio hidrulico igual a PA (m); P o permetro molhado (m); n o coeficiente de rugosidade (6 / 1m ); g a acelerao da gravidade (m/s); x a distncia (m); t o tempo (s); T a largura da superfcie do fluxo (m); fS a inclinao da linha de energia, expressa pela equao de Manning e igual a 3 / 4 2 2R A n QfQ S = . 30 A equao (4.1) expressa a continuidade ou conservao da massa e a equao (4.2), a quantidade de movimento ou equao dinmica (ALMEIDA e KOELLE, 1993). 4.2. Modelo Hidrulico OmodelohidrulicousadonesteestudobaseadonasequaesdeSaint-Venant (CHAUDHRY, 1979) para escoamento em canais abertos (Equaes 4.1 e 4.2). Supe-sequeofluxogradualmentevarivelesubcrticoemtodaaextensodo canal. Nestascondies,as equaes (4.1) e (4.2) so vlidas. O canal a ser controlado, ser considerado retilneo, com reservatrios de energia constante nas extremidades. Estruturas de comportas sero localizadas, exatamente, depois e antes destes reservatrios, respectivamente. Reguladores transversais sero localizados em vrios pontos do canal para permitirem ocontroledefluxoearegulaodonveldegua.Paraocontroledeentradaesadado sistemaseroadotadascomportasderefluxo.Trstrechosdecanaisseroutilizados.As formasdeperturbaesconsideradassoasvariaesnademanda(vazeslaterais).Para satisfazerassuposiesbsicaseaslimitaesdomodelolinearizado,asperturbaesou distrbios sero considerados inferiores a 20% da taxa de fluxo do canal. Asequaesdiferenciaisparciaisno-linearesdosistemaserotransformadasem equaes diferenciais ordinrias, utilizando a tcnica das diferenas finitas e linearizadasem tornodeumestadodeequilbrio.Estacondiodeequilbriosercalculadautilizandoum algoritmo de anlise de canais em regime permanente. As equaes lineares resultantes sero, ento, expressas numa forma apropriada para anlise de sistemas de controle, conhecidas por equaes de estado do sistema. ConsidereumcanaldivididointernamenteemNsub-trechosdecomprimentox. Existiro N ns em cada trecho (Figura 4.1). 31 Figura 4.1 - Esquema de um trecho de canal genrico. Por convenincia, o espao entre os ns ser considerado constante (x). Usando uma aproximao de diferena finita, equaes dacontinuidade e de momentosero escritas para cadan.Paransintermedirios,oesquemacentradodediferenasfinitasseraplicado, resultando nas seguintes equaes (REDDY, DIA e OUSSOU, 1992): ( )j ij ij i j ij ij ixTqQ QxTy,,1 , 1 ,,,2 21 = +& (4.3)

( )+||

\|=+ xQ QAQQj i j ij ij i1 , 1 ,,,& ( )( )+||

\| +xA AAQj i j ij i21 , 1 ,2, ( )( ) ( )f j i j i j ij iS S gA y yxAg + + 0 , 1 , 1 ,,2(4.4) Nosnsdemontante(n1)ejusante(nN)serousadosesquemasprogressivose regressivos, respectivamente. Sero escritas as equaes da continuidade, a seguir. N a montante (j = 1) ( )1 ,1 ,2 ,1 ,1 ,1iig iiixTqQ QxTy = & (4.5) 32 onde, gQ a equao de descarga da comporta a montante (m/s) e, dada por: ( ) ( )2 11 , , 12 12i N i i i di gy y g u b C Q =(4.6) onde, diC o coeficiente de descarga da comporta a montante em cada trecho i; ib a largura dacomportaamontantedecadatrechoi(m);e iu aalturadeaberturadacomportaa montante no trecho i (m). N a jusante (j = N) ( )N iN iN gN iN ixTqQ QxTy,,1 , 1,,1 =& (4.7) onde, gQ a equao de descarga da comporta a jusante (m/s) e, dada por: ( ) ( )2 11 , 1 ,2 11 1 12+ + + + =i N i i i di gy y g u b C Q (4.8) onde, 1 + diC o coeficiente de descarga da comporta a jusante em cada trecho i; 1 + ib a largura dacomportaajusantedecadai(m);e 1 + iu aalturadeaberturadacomportaajusanteno trecho i (m). Nas equaes (4.6) e (4.8), i o ndice do trecho e j o ndice dos ns em cada trecho. Nos ns a montante e a jusante de cada trecho, a equao da quantidade de movimento substitudapelaequaodeescoamentodacomporta(Equaes4.3a4.8),queso basicamenteexpressasemtermosdaprofundidadedofluxodestesns.Emcadan intermedirioenosnsamontanteeajusante,existemduasincgnitas(Qey)e(yeu), respectivamente. Sendo N, o nmero de ns de cada trecho, o nmero total de incgnitas por trecho, 2N, e o nmero total de equaes por trecho, 2 (N - 2) + 2. Portanto, para resolver o conjunto de equaes, duas condies de contorno devem ser especificadas. 33 AsriedeTaylorusadaparalinearizarasequaes(4.3)a(4.8).Noprocessode linearizao, sero usadas as seguintes relaes: ( ) ( ) ( ) t Q t Q t Qe + =(4.9) ( ) ( ) ( ) t y t y t ye + = (4.10) ( ) ( ) ( ) t u t u t ue + =(4.11) onde, eQ ,ey e eu ,soavazo,aalturadoescoamentoeaaberturadacomporta, respectivamente, nas condies de equilbrio; e( ) ( ) t y t Q ,e( ) t u , so os desvios de vazo, daalturadoescoamentoedaaberturadacomporta,respectivamente,paraascondiesde equilbrio. Primeiro, a derivada de cada termo nas equaes (4.3) a (4.8), com relao a todas asincgnitasemumdadotrecho,obtida.Ento,avariaototalcomrelaoaumadada varivel, igual a soma das variaes de cada termo nas equaes. Na derivao, considera-se que as demandas (vazes laterais) esto localizadas a jusante do trecho. O ltimo n tem uma varivel adicional (a soma das taxas de descarga atravs das demandas).As equaes linearizadas podem ser escritas na forma compacta, a seguir: ( ) [ ]( ) q C u B t x Att x + + = (4.12) onde,x(t)odesvioparaascondiesdeequilbrio,qodesvionademanda(ou distrbios); A a matriz do sistema realimentado; B a matriz de controle; e C a matriz de demanda (distrbios). Na equao (4.12), x definido a seguir: ( )N N Ny Q y Q y y x , , ,..., , ,1 1 2 2 1 =para cada trecho i(4.13) Os elementos das matrizes A, B e C so calculados baseados nos valores de equilbrio usando a equao de fluxo varivel no permanente: 34 2201gDAQS Sdxdyf= (4.14) onde, D a profundidade hidrulica (rea/largura da superfcie) (m).Comooobjetivodesenvolverumesquemadecontroletimodiscretonotempo,as equaesderivadasemtempocontnuosoconvertidasemtempodiscreto,usandoum intervalo de amostragem de 30 segundos. Estas equaes so dadas por: ( ) ( ) ( ) ( ) k q V k u G k x F k x + + = +1(4.15) onde, H, G e V so as verses discretas das matrizes A, B e C, respectivamente. 4.3. Teoria de Controle timo Oprogressonodesenvolvimentodastcnicasdecontroleeoperaodecanaispode ser classificado em quatro categorias principais: - controle manual. - controle local no realimentado. - controle remoto auxiliado por computador. - controle realimentado. O controle manual a forma mais comum em sistemas de distribuio de gua. No h ummtodopadrodeoperao.Qualqueralteraodofluxodeveseracompanhadaporum desvio no grau de abertura das comportas ou outros mecanismos de controle, com o objetivo de manter constantemente as condies de fluxo de regime permanente. A condio de fluxo nocanalestsempreacimaouabaixodacondiodeequilbrio,poisimpossvelpredizer precisamenteosdesviosquedeveroocorrernosdispositivosdecontrole.Sistemas controlados manualmente so, portanto, muito trabalhosos e inflexveis. 35 O controle local no realimentado representa a forma mais simples e menos complexa deumcontroleautomtico.Numcontrolenorealimentado,aaodecontrole independentedasada.Nohcomparaoporrealimentao.Estetipodecontroletema vantagemdesersimplesemenoscomplicadodeseprojetardoqueocontroledesistemas realimentados.Afigura(4.2)mostraodiagramaesquemticodeumsistemano realimentado. Alguns dos dispositivos ou mecanismos utilizados para esse tipo de controle em canaiatmsidodesenvolvidospelosprpriosoperadoresparaaperfeioarefacilitarsuas tarefas.Essesmecanismosincluem,porexemplo,comportasdecontrolequereduzemo escoamentonumvalorconstantequandoavazoimediatamenteamontantemaiordoque certo limite especificado. Figura 4.2 - Diagrama esquemtico de um sistemano realimentado. Darevisobibliogrficarealizadanocaptulo2,aoapresentarostrabalhos encontrados na literatura sobre o controle de sistemas hidrulicos, nota-se claramente que com o advento de computadores digitais, tem havido um grande progresso na operao de sistemas dedistribuiodegua,especialmenteusandotcnicasdecontroleremoto.Estaformade controleessencialmentediferentedaautomaorealimentada.Ocontrolerealimentado requeroconhecimentodosestadosdosistemaparaformularoscontroles,enquantoqueas tcnicas de controle remoto no. No controle remoto, a automao usualmente centralizada eocontrolerealizadoporoperadorestreinadosparamonitorartodoosistema.Os operadores realizam as mudanas no sistema para igualar as demandas por toques de botes. A disponibilidade dos computadores digitais tem tambm estimulado um grande interesse no desenvolvimentodemodelosmatemticosparaaanliseeocontroledesistemasde distribuiodegua.Algunsdessesprogramascomputacionaissodesenvolvidoscomo Elemento de Controle Entrada Sada 36 propsitodesimularasoperaesdecanalcomoobjetivodeilustraroquedeveocorrerna prtica, enquanto outros programas so desenvolvidos para controlar o canal em tempo real a partirdeprocedimentosdetentativaeerro.Amaioriadascontribuiesparaaoperaoe controle de canais est na direo de aperfeioar o controle remoto ou o controle lgico local automtico. Emcontrasteaocontrolenorealimentadoeoscontrolesdescritosanteriormente,o controle realimentado utiliza medidas de sadas reais com o objetivo de comparar estas sadas comassadasdesejadas.Nocontrolerealimentadoosinalerrorealimentadonoprprio sistema.Afigura(4.3)mostraodiagramaesquemticodeumsistemadecontrole realimentado Figura 4.3 - Diagrama esquemtico de um sistema realimentado. O objetivo da anlise, operao e controle de sistemas de abastecimento e distribuio deguaoatendimentodasnecessidadesdeconsumosemriscosecomaminimizaodos custosoperacionais,taiscomoosdeconsumodeenergia,manutenoeperdasdeguapor vazamento. De uma forma simplista, pode-se dizer que a operao e o controle de um sistema aseqnciademanobrasexercidassobreoselementosativosdestesistema,taiscomo comportas e outros componentes hidrulicos, de forma a atender aos objetivos especificados. Esta seqncia de manobras (regras de operao) definida conhecendo-se os dados relativos ao sistema, o seu estado atual e os estados provisionais embasados em cadastros de consumo. Omododeoperaodosvriosacessriosemecanismosdecontrolequeresultamem respostas desejadas do sistema, chamado de controle de fluxo timo. Entrada x(t) Sada y(t) x(t) - y(t) Comparador Mecanismo de Medida Sistema Fsico 37 Ocontroleautomticorealimentadopodegrandementeaumentaraeficincia operacional da distribuio de gua em canais, e aumentar os benefcios associados com o seu uso.Comoscontroladoresautomticos,ossistemasdecanaisdegua,podemtermaior flexibilidade,confiabilidadeesegurana,bemcomo,minimizarodesperdciodeguae reduzir os custos de operao quando comparados com a operao manual. Nestetrabalho,ocontroleautomticorealimentadoparaumsistemadecanal investigadousandoateoriadoreguladorquadrticolinear.Atenofoidadaparaocontrole automtico de comportas reguladoras de vazo. O projeto baseado em um modelo dinmico docanal,nosentidoquealeidecontroleresultantedascomportasreguladorasusauma realimentaoglobalpelaconsideraodosdesviosnasvariveisdeestado.Omodelo hidrodinmicodesenvolvidodasequaesnolinearesquedescrevemadinmicado escoamento para fluxo em canais, com o controle introduzido pela equao de perda de carga nascomportas.Somenteemcasosmuitosespeciais,assoluesanalticassopossveis. Geralmente necessrio aproximar a soluo fazendo algumas simplificaes. O resultado da simplificao a troca das equaes diferenciais parciais em equaes diferenciais ordinrias nolineares.Comoobjetivodeexplorarastcnicasdecontrolemodernoemsistemas dinmicosmultivariveis,umaaproximaodeveserempregadaparaobterumconjuntode equaesordinriaslinearescujasoluoestprximavizinhanadeumequilbrio.Isto feito linearizando estas equaes ordinrias no lineares em torno das condies de equilbrio definidascomoascondiesdesejadasdeestadopermanentequeosistemaeventualmente atingir depois das mudanas operacionais. A resposta desejada do sistema pode ser: -eliminaroureduzirosefeitostransientescomoasoscilaesdefluxolimitandoas vazes mximas e mnimas.- manter as condies de equilbrio ou as condies nominais desejadas na presena de distrbios de fluxo. 38 - assegurar o estado permanente final do sistema ao completar o processo de operao. - mudar as condies de fluxo de um estado permanente para outro estado permanente em um tempo mnimo. Portanto,umaaplicaoprticadocontroledefluxotimoemregimetransiente,o controledecomportasreguladoras,comafinalidadedemanter,emumtempomnimo,com uma quantidade razovel de esforo da comporta, e sem violar os limites mximos e mnimos de vazo, o estado de equilbrio do sistema dinmico aps um distrbio qualquer da condio defluxo.Oidealqueocomportamentodocontroledefluxosejarpido,estvelequeas magnitudes das perturbaes sejam minimizadas ao se aproximar das condies de equilbrio. Destaforma,controladoresautomticosparacomportaspodemserempregadoscom sucessoemsistemasdecanais.Porexemplo,aaberturadecomportasexistentesnosistema podeserreguladaadequadamenteparafornecerescoamentosdesejadosemfacedevariao dasvazesdeconsumooudedemanda,equeosfluxostransientesnoscanaisdesapaream aps um perodo de tempo determinado. Tal operao denominada de tima. O controle de fluxotimoumprojetoousnteseemqueasvariaesdascondiesdecontornoso determinadasparaseobterumarespostadesejadadosistema.Estaaplicaodiferentedas anlises usuais no sentido em que as variaes das condies de contorno so especificadas e a resposta do sistema calculada. Noproblemaproposto,asalturasevazesnasseessoasvariveisinternasoude estado, e a variao dasvazes de consumo ou de demandarepresentamos distrbios. Estes distrbios causam desvios do fluxo planejado e motivam o emprego do controle realimentado naoperaoecontroledoscanais.Outrasvariveisdeestadoeoutrosdistrbiospodemser considerados. A equao de estado discreta no tempo descreve a condio ou a evoluo das variveisinternasbsicasdosistema.Seosistemaestemequilbrio,enohdistrbios,o sistemacontinuaremequilbrio,enohanecessidadedequalqueraodecontrole. 39 Inversamente,napresenadedistrbios,osistemasedesviardacondiodeequilbrio.A condioatualdosistemapodeestarouacimaouabaixodacondiodeequilbrio, dependendo do sinal e da magnitude dos distrbios. Se o sistema desvia significativamente da condiodeequilbrio,asvariveisdeestadoserodiferentesdosvaloresdesejados.O principalobjetivosermanteressesdesviososmenorespossveis.Issopodeserfeito, selecionandoumcontroleapropriadodosinaldeentrada(aberturaoufechamentodas comportas)paracompensarasmudanasnasvazesdedemandaouconsumo(distrbios). Geralmenteesseumprocedimentodetentativaeerro.Osconceitosdateoriadecontrole, mais especificamente, do regulador quadrtico linear, podem ser aplicados para eliminar esse procedimentodetentativaeerroeresolverdiretamenteparaencontraraaberturaou fechamento timo das comportas, que neutralizar os efeitos dos distrbios. O objetivo bsico forar o sistema dinmico (canal de distribuio de gua) a satisfazer um dado conjunto de restriesdedesempenho(mnimoesforodecontroledacomporta,tempomnimode aproximaodoestadodeequilbrio,limitesdeabertura,etc.).Naoperaodecanaisde distribuiodegua,omodelodevesatisfazerocritriodeestabilidadeecontrolabilidade. Distrbiosinduzidosatravsdemudanasoperacionaisnascondiesdefluxodevemser prximos do equilbrio para validade do modelo linearizado. Embora as perturbaes devam estarprximasdoestadodeequilbrio,modelosalternativosdevemserestudados,detal formaapermitiraaplicaoemsistemasdinmicosquepossuemrelativamentegrandes excurses,foradointervalolineardasoluolinearizada.Aimplementaodecomportas paraaregulaodosistemahidrulicorealizadadeformaaminimizarosdesviosdas condies nominais. Decises em relao abertura de comportas reguladoras de vazo para variaes arbitrrias nos consumos ou demandas nos ns so requeridas para manter as vazes emvaloresdesejados.Esseproblemasimilaraoproblemadecontroledeprocesso,ondeo estadodosistemamantidoprximoaovalordesejadousandoocontrolerealimentadoem 40 tempo real. Desde que estes procedimentos limitem ou restrinjam o comportamento transiente de um sistema de distribuio de gua, eles so considerados timos.Oobjetivodessetrabalho,apresentarumesquemadecontroletimoparaoperao desistemasdecanaissobcondiesdedistribuioplanejada.Omodelolinearpermite controlar a magnitude das ondas transientes a partir de um ndice de desempenho e a gerao de entradas de referncia. Os modelos usados para desenvolver o algoritmo de regulao so umaaproximaodasequaeshidrodinmicas.Opropsitodemonstrarapraticidadedo regulador quadrtico linear timo e investigar a performance do modelo. Neste captulo apresentada uma breve introduo dos conceitos da teoria de controle timo quadrtico linear. Essa a tcnica utilizada na anlise e sntese do problema regulador discutidonesteestudo.Comoobjetivodeentendercompletamentealgunsdos desenvolvimentostericosdiscutidosposteriormente,necessrioiniciarcomalgumas definies fundamentais dos termos e conceitos em controle timo linear. 4.4 - Anlise de Sistemas Lineares na Representao Espao de Estado Devidodisponibilidadedecomputadoresdigitaisadequados,ousodateoriade controleconstituiatualmenteumaprticacomum.Pode-sedizerqueosdesenvolvimentos maisrecentesnateoriadecontrolemodernoestonadireodocontroletimotantode sistemas determinsticos como estocsticos.Atendnciaatualemestudosdeengenhariaanalisarsistemascadavezmais complexos. Sistemas complexos podem ter mltiplas entradas e mltiplas sadas e podem ser variantes no tempo. Em virtude da necessidade de satisfazer especificaes mais rigorosas no desempenho de sistemas de controle, edevido ao aumento da complexidade do sistema e no prontoacessoacomputadores,ateoriadecontrolemoderno,queumanovaabordagemna 41 anlise e projeto de sistemas de controle complexos, foi desenvolvido em torno de 1960. Esta nova abordagem baseada no conceito de estado. Umsistemalineardefinidocomoaquelenoqualasequaesdiferenciaisque descrevem a dinmica do sistema podem ser aproximadas por equaes diferenciais ordinrias de ordem n. O tempo a varivel independente, e cada termo dessas equaes contm quando muito,somenteaprimeirapotnciadavariveldependenteoudesuasderivadas;eno contmnenhumtermodeprodutoentreessasvariveis.Seessasequaesdiferenciaisso no lineares, ento o sistema chamado de no linear. Sistemas lineares por sua vez podem ser divididos em sistemas lineares invariantes no tempoesistemaslinearesvariantesnotempo.Umsistemainvariantenotemposesuas caractersticas no variam com o tempo. A maioria dos sistemas fsicos variante no tempo. Seasvariaesnascaractersticasdosistemasomuitolentasemcomparaocomas variaesnaentrada,umsistemalinearvariantenotempoaproximadocomsuficiente precisoporumsistemalinearinvariantenotempo.Osistemaemestudonestapesquisa assumido ser invariante no tempo e nossa discusso ser restrita a esse tipo de sistema. Ateoriadecontrolemodernosebaseianadescriodasequaesdosistemaem termosdenequaesdiferenciaisdeprimeiraordem,quepodemsercombinadasemuma equaodiferencialvetorialmatricialdeprimeiraordem.Ousodanotaovetor-matriz simplificamuito a representao matemtica do sistema de equaes. Oaumento no nmero de variveis de estado, de entradas, ou de sadas no aumenta a complexidade das equaes. Dopontodevistacomputacional,osmtodosqueempregamarepresentaoespao deestadosoparticularmenteadequadosparacomputaesdigitaisporcausadaabordagem no domnio do tempo. Um sistema dinmico que consiste de um nmero finito de elementos concentradospodeserdescritoporequaesdiferenciaisordinriasemqueotempoa varivelindependente.Usando-seanotaomatricial,umaequaodiferencialdeordemn 42 podeserrepresentadaporumaequaomatricialdiferencialdeprimeiraordem.Sen elementosdovetorformamumconjuntodevariveisdeestado,entoaequaomatricial diferencialchamadadeumaequaodeestado.Umconjuntodevariveisdeestadono nico para um dado sistema. Se x um vetor de estado, entoPx x =~ tambm um vetor de estado,contantoquePsejanosingular.Diferentesvetoresdeestadofornecemamesma informao sobre o comportamento do sistema. Para a representao de espao de estados de umsistemadeequaesdiferenciaisdeordemncomrfunesdeexcitaoepfunesde sada,considereosistemademltiplasentradasesadas(eqs.4.16e4.17).Nessesistema, nx x x ,..., ,2 1representamasvariveisdeestado; ru u u ,..., ,2 1representamasvariveisde entrada; e py y y ,..., ,2 1 so as variveis de sada. Aspropriedadesesoluesdesistemasdinmicosinvariantesnotemposobem conhecidas(OGATA1987).Taissistemassodescritosporequaesdiferenciaisordinrias na seguinte forma: [ ]r nu u u u x x x x fdtdx,..., , , , ,..., , ,3 2 1 3 2 1 11= [ ]r nu u u u x x x x fdtdx,..., , , , ,..., , ,3 2 1 3 2 1 22= (4.16) . . . [ ]r n nnu u u u x x x x fdtdx,..., , , , ,..., , ,3 2 1 3 2 1=[ ]nx x x x f y ,..., , ,3 2 1= (4.17) No caso especial linear, as equaes (4.16) e (4.17) podem ser escritas em uma forma expandida como segue: r r n nu b u b x a x a x a x a x1 1 11 1 3 13 2 12 1 11 1... ... + + + + + + + = & 43 r r n nu b u b x a x a x a x a x2 1 21 2 3 23 2 22 1 21 2... ... + + + + + + + = & . . . r nr n n nn n n n nu b u b x a x a x a x a x + + + + + + + = ... ...1 1 3 3 2 2 1 1& (4.18) e n nx c x c x c x c y1 3 13 2 12 1 11 1... + + + + =. .. n pn p p p px c x c x c x c y + + + + = ...3 3 2 2 1 1(4.19) onde dtdxx = & (4.20) e ijc e ,ij ijb a soconstantes.Asvariveisdeestadoxsoasvariveisquedeterminamo comportamento futuro de um sistema quando seus valores presentes e os sinais de entrada so conhecidos. Oconjunto de equaes simultneas (4.18) e(4.19) pode ser colocado na forma matricial para simplificao: ((((((((((

((((((((((

+((((((((((

((((((((((

=((((((((((

r nr nrrrn nn nnnnnuuuub ba ba bb bxxxxa aa aa aa axxxxdtd.... . . . .. .. .. .. . . . .. . . . .. . . . ..... . . . .. .. .. .. . . . .. . . . .. . . . ....32113 312 211 1132113 312 211 11321(4.21) 44 ((((((((((((((((

((((((((((

=((((((((((

nppn pnnnpxxxxxc cc cc cc cyyyy....... . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ....32113 312 211 11321(4.22) Escritasemumaformacompacta,essasequaesmatriciaispodemserexpressas como: ) ( ) ( ) ( t Bu t Ax t x + = & (4.23) ) ( ) ( t Cx t y = (4.24) ondex(t)ovetordeestadonx1;u(t)ovetordecontrolerx1;y(t)ovetorsada(ou medido)px1;Aamatrizdeestadodosistemanxn;Bamatrizdedistribuiode controle n x r; e C a matriz de sada p x n. Note que em geral p n < . A equao (4.23) que descreve o sistema fsico ou a planta denominada de equao dinmicadeestado.Elageralmentededuzidamatematicamentedasleisfsicasque governamosistema.Freqentemente,nasuaformaoriginal,essasequaespodemser equaesdiferenciaisparciaisnolinearesquesoaproximadasporequaesdiferenciais ordinriaslineares,comoserfeitosubseqentementenestetrabalhonocaptuloseguinte.A equao(4.24)representaumconjuntodepequaesalgbricaslinearesdenominadasde equaesdesada.Asequaes(4.23)e(4.24)sodenominadascomoequaesde representao do sistema S: ] , , [ C B A S = (4.25) e as matrizes A, B e C caracterizam completamente a dinmica do sistema. 45 Escrevendo a equao (4.23) como: ) ( ) ( ) ( t Bu t Ax t x = & (4.26) e pr-multiplicando ambos os lados desta equao poreAt , obtemos: [ ] ) ( ) ( )] ( ) ( [ t Bu e t x edtdt Ax t x eAt At At = = &(4.27) Integrando a equao anterior entre 0 e t, resulta: + =tA Atd Bu e x t x e0) ( ) 0 ( ) ( (4.28) ou: + =tt A Atd Bu e x e t x0) () ( ) 0 ( ) ( (4.29) A equao (4.29) pode tambm ser escrita como: + =td Bu t x t t x0) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( (4.30) onde Ate t = ) ( . A equao (4.29) ou a equao (4.30) a soluo da equao (4.23). A soluo x(t) claramenteasomadeumtermoqueconsistenatransiodoestadoinicialeumtermo proveniente do vetor de entrada. Aabordagemdeespaodeestadosparaaanlisedesistemasdinmicospodeser estendidaparaocasodetempodiscreto.Aformadiscretadarepresentaodeespaode estados bastante anloga forma contnua. A representao geral de espao de estados para sistemas lineares de tempo discreto : ) ( ) ( ) 1 ( k Hu k Gx k x + = + (4.31) ) ( ) ( k Cx k y = (4.32) 46 onde x(k) o vetordeestados, u(k) o vetor de entrada, ey(k) o vetor de sada,cada um especificado em t = k T, k=0,1,2,... ; e T o perodo de amostragem. Usar-se- a notao x(k) = x(t), em t = k T. Sedesejarmoscomputaroestadox(t)usandoumcomputadordigitaldevemos converterumaequaodeestadodetempocontnuoparaumaequaodeestadodetempo discreto.Supomosqueovetordeentradau(t)variaapenasnosinstantesdeamostragem igualmente espaados. Considereaequaodeestadodetempocontnuo(4.23).Aseguir,paratornara anlisemaisclara,usaremosanotaokTe(k+1)Temvezdekek+1.Arepresentaode tempo discreto da equao (4.31) tomar a forma: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 (( kT u T H kT x T G T k x + = + (4.33) Note que as matrizes G e H dependem do perodo de amostragem T (uma vez que este perodofixado,GeHsomatrizesconstantes).ParadeterminarG T) ( eH T) ( ,usamosa equao (4.28) que a soluo da equao (4.23). Supomos que todos os componentes de u(t) soconstantesnointervaloentrequaisquerdoisinstantessucessivosdeamostragem,ou u(t)=u(kT) para o k-simo perodo de amostragem. Como: + + ++ = +T kA T k A T k Ad Bu e e x e T k x) 1 (0) 1 ( ) 1 () ( ) 0 ( ) ) 1 (( (4.34) e + =kTA AkT AkTd Bu e e x e kT x0) ( ) 0 ( ) ( (4.35) ento multiplicando a equao (4.35) poreAT e subtraindo da equao (4.34), obtemos: + = +TA Atd kT Bu e kT x e T k x0) ( ) ( ) ) 1 (( (4.36) onde = T t . Se definirmos: 47 ( )( )=+++ = =nATATI e T G01! 1) ((4.37) ( )( )BATT B dt e T HnTAT=+=|||

\|=00! 1) ((4.38) ento a equao (4.36) se torna: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 (( kT u T H kT x T G T k x + = + (4.39) queaequao(4.33).Portantoasequaes(4.37)e(4.38)fornecemasmatrizesG T) ( e H T) (desejadas. 4.5 Estabilidade e Controlabilidade do Sistema Osconceitosdeestabilidadeecontrolabilidadesomuitoimportantesnoprojetode sistemas de controle realimentado quando a tcnica espao de estado usada. A determinao do grau de estabilidade e controlabilidade de um sistema necessria e importante para que o sistema projetado seja realizvel. Aestabilidadeserefererespostadosistemaemfunodotempo.Noestudode sistemasdinmicos,doistiposdeestabilidadesoencontrados:aestabilidadeexternaea estabilidade interna. Acontrolabilidadeumapropriedadeestruturalinerentedeumsistema.Aresposta norealimentadaeataxadeamortecimentodealgunssistemasnotmmuitasvezeso comportamento desejado. possvel, no entanto, aperfeioar a velocidade de resposta e a taxa de amortecimento para cada modo do sistema, se e somente se, o sistema for controlvel.O conhecimento da controlabilidade crucial para a realimentao subseqente das variveis de 48 estado. Sem controlabilidade, nem todos os estados permitem ser dirigidos ou conduzidos na direodesejadapelamanipulaodaentrada.Acontrolabilidadeimplicaqueosplos (autovalores) de um sistema podem ser colocados arbitrariamente no plano complexo s ou no planoz.Umsistemanocontrolvelresultaquandohestadosquesocompletamente independentes da entrada. A soluo para um problema de controle timo pode no existir se o sistema considerado no for controlvel. Os conceitos de estabilidade e controlabilidade foram introduzidos por Kalman e eles desempenhamumimportantepapelnocontroletimodesistemasmultivariveis.As condies de estabilidade e controlabilidade governam a existncia de uma soluo completa para o problema de controle timo. 4.5.1 - Estabilidade Um sistema contnuo no tempo dito ser externamente estvel se uma entrada finita u t ( ) produzumasadafinitay(t).Paraumsistemaserinternamenteestvel,todosos autovaloresidamatrizdosistemaAdevemestarlocalizadosnoplanocomplexo esquerdo, ou seja, devem satisfazer a seguinte condio: 0 ) ( < Ai (4.40) SeiA ( ) > 0, oscilaes podem ocorrer no controlador de sada. Um sistema discreto no tempo dito ser externamente estvel se uma entrada finita u k ( ) produzumasadafinitay(k).Paraumsistemaserinternamenteestvel,todosos autovaloresi da matriz do sistema G deve satisfazer a seguinte condio: 1 ) ( < Gi (4.41) 49 4.5.2 - Controlabilidade Umsistemacontnuonotempoditoserdeestadocompletamentecontrolvelno tempot0,sepossvel,pormeiodeumvetordecontroledeentradanofinito) (0t u , transferir o sistema de qualquer estado inicialx t ( )0 para qualquer outro estadox ts( ) em um tempo finito, 0t ts . Um teste usado na prtica na determinao da controlabilidade requer que a matriz n x (n x r) de controlabilidadeGc: [ ] B A B A AB B Gnc...2= (4.42) tenha rank n. Umsistemadiscretonotempondimensionalcontrolvelseorankdamatrizde controlabilidadeGc igual dimenso do sistema, ou seja,rank G nc[ ] = , onde: ((

=H G H G GH H Gnc1 2... (4.43) 4.6 - Sistemas de Controle timo Ateoriadecontrolemodernodesempenhaumimportantepapelemprojetosde sistemasdecontroletimoparaprocessoscomplexoseprocessosmultivariveis.Problemas de controle timo tm recebido grande ateno dos engenheiros de controle recentemente. Um sistema de controle timo um sistema que otimiza (maximiza ou minimiza) o valor de uma funo escolhida, definida como ndice de desempenho. Aoseprojetarumsistemadecontroletimoouumsistemareguladortimo, necessrioencontrarumaregraparadeterminaradecisodecontrolesujeitaacertas restries,talcomominimizaralgumdesviodeumcomportamentoideal.Geralmenteisto 50 feito atravs da escolha de um ndice de desempenho, que uma funo que indica quo bem o desempenho atual do sistema se aproxima do desempenho desejado. Na maioria dos casos, o comportamento de um sistema otimizado escolhendo-se o vetor de controle u(t) de forma queondicededesempenhosejaminimizadooumaximizado.Nestetrabalho,ovetorde controlerepresentadopelasregrasdeoperao(abertura)dascomportasreguladorasde vazopresentesnumsistemadecanal.Aseleodeumndicededesempenhoapropriado importante porque ele determina a natureza do sistema de controle timo resultante. O sistema decontroletimoserlinear,nolinear,estacionrioouvariantenotempodependendoda formadondicededesempenho.Noentanto,osrequisitosdeprojetonoincluemsomente especificaesdedesempenho,mastambmrestriesnaformadecontrole,paraassegurar ser fisicamente realizvel. Oprocessodeotimizaonosomenteforneceleisdecontroletimo,mastambm predizquandoleisdecontrolenotimassoaplicadas.Escolherondicededesempenho maisapropriadoparaumdadoproblemamuitodifcil,especialmenteemsistemas complexos.Geralmenteaescolhadeumndicededesempenhoenvolveumcompromisso entre uma avaliao do desempenho do sistema e a tratabilidade matemtica do problema. As quantidadesqueaparecememproblemasdeotimizaodesistemasdecontrolesoas variveis de estado, as variveis de controle e os parmetros do sistema. Oproblemadeotimizaodeumsistemadecontrolepodeserformuladoseas seguintes informaes so dadas: - sistema de equaes - vetores de controle permitidos - restries do problema - ndice de desempenho - parmetros do sistema 51 Asoluodeumproblemadecontroletimodeterminarovetordecontroletimo u(t) dentro da classe de vetores permitidos. Esse vetor u(t) depende da: - natureza do ndice de desempenho - natureza das restries - estado inicial ou sada inicial - estado desejado ou sada desejada Excetoparacasosespeciais,oproblemadecontroletimopodesertocomplicado paraseobterumasoluoanalticaqueumasoluocomputacionaldeveserobtida.Em algunscasos,umacombinaoparticulardosistema,doestadodesejado,dondicede desempenhoedasrestries,podelevaraumcontroletimoimpossvel.Questesquese referemexistnciadeumvetordecontroletimosoimportantes,poisservempara informar ao projetista se o controle timo possvel ou no para um dado sistema e conjunto de restries. de fundamental importncia que um sistema dinmico representado na forma de estado possa ser controlado a partir de um estado inicial para um dado estado final, e que sejapossveldeterminarasvariveisdeestadoapartirdasmedidasdeentradaesada,ou seja, que o sistema seja controlvel e observvel. Osistemacujoprojetodecontroleminimizaoumaximizaondicededesempenho selecionado,pordefiniotimo.Noentanto,importanteressaltarqueumsistemade controle que timo sob um ndice de desempenho, em geral, no timo sob outro ndice de desempenho.ndicesdedesempenhoquadrticostmsidomuitousadosfreqentementeem sistemas de controle prticos, e no h dvida que a funo custo quadrtica uma das mais importantesferramentasmatemticasdocontroleautomtico.,portanto,bastantenatural queconsidervelatenotemsidodadaaestasfunescustonasntesedeprocessos, empregando a notao espao de estados. 52 Em muitos sistemas de controle, na prtica, quer-se minimizar alguma funo do sinal erro.Porexemplo,dadoosistemacontnuonotempo,podemosdesejarminimizaruma funo erro generalizada, tal como: =ftftfdt t x t x Q t x t x J0)] ( ) ( [ )] ( ) ( [ (4.44) ondex tf( )representa o estado desejado, x(t) o estado atual ( portanto,x t x tf( ) ( ) o vetor deerro),Qumamatrizpositivadefinida(oupositivasemidefinida),eointervalodetempo 0 t tfoufinitoouinfinito.Nesteestudo,asvariveisdeestadodeumsistemade distribuio so as vazes nas comportas e as alturas nos ns. Almdeconsiderarerroscomoumamedidadodesempenhodosistema,entretanto, devemos normalmente dar ateno energia requerida para a ao de controle. Como o vetor u(t)representaasleisdef