整式乘除与因式分解 全攻略 -...
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整式乘除与因式分解
全攻略
学而思网校 吴铮
物以类聚,人以群分。外面冷,进群吧!
整式乘除:整式学不好,爸妈就要整事了!
皇上,还记得大明湖畔的容嬷嬷吗?
一、整式的有关概念
1.代数式 2.单项式 3.单项式的系数及次数
4.多项式 5.多项式的项、次数 6.整式
二、整式的运算
(一)整式的加减法
去括号,合并同类项
1.单项式除以单项式
2.多项式除以单项式
(三)整式的除法
你的海马区是不是还正常?
海马有没有死掉?
1.同底数幂的乘法 2.幂的乘方
3.积的乘方 4.同底数的幂相除
5.单项式乘以单项式 6.单项式乘以多项式
7.多项式乘以多项式 8.平方差公式
9.完全平方公式
(二)整式的乘法
一、整式的有关概念
1.单项式: 数与字母乘积,这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。
2.单项式的系数: 单项式中的数字因数。
3.单项式的次数: 单项式中所有的字母的指数和。
4.多项式:几个单项式的和叫多项式。
5.多项式的项及次数:组成多项式中的单项式叫多项式的项,多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
这些东西傻瓜都知道,你知道吗?!呵呵呵呵
6.整式:单项式与多项式统称整式。(分母含有字母的代数式不是整式)
二、整式的运算
(一)整式的加减法
基本步骤:去括号,合并同类项。
孩子跟我说,老师我最喜欢的歌者是张国荣,梅艳芳,黄家驹,你。我问:你这是合并同类项么…
1.同底数幂的乘法
法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
数学符号表示: (其中m、n为正整数) nmnm aaa
(二)整式的乘法
练习:判断下列各式是否正确(这要是判断错了,枪毙二十分钟~~)。
3 3 3 4 4 8 2 2 2
3 2 6 6
2 , , 2
( ) ( ) ( ) ( )
a a a b b b m m m
x x x x x
2.幂的乘方
法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
数学符号表示: mnnm aa )( (其中m、n为正整数)
练习:判断下列各式是否正确(三十分钟~~)。
mnppnm aa ])[( (其中m、n、P为正整数)
4 4 4 4 8 2 3 4 2 3 4 24
2 2 1 4 2 4 4 2 2
( ) ,[( ) ]
( ) ,( ) ( ) ( )n n m m m
a a a b b b
x x a a a
3.积的乘方
法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
符号表示:
)()(
),(,)(
为正整数其中
为正整数其中
ncbaabc
nbaab
nnnn
nnn
练习:计算下列各式(这题就不用给正确答案了,你能算错我就给你跪了~~)。
4 2 3 2 3 3 2 31(2 ) ,( ) ,( 2 ) ,( )
2xyz a b xy a b
4.单项式与单项式相乘的法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。(如果觉得名字不够霸气,可以叫做单项式与单项式相乘大法!)
法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。(展开时请保持队形!)
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
( a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n)
5 .多项式与多项式相乘:
=am+an+bm+bn
(1) 平方差公式
即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。这个公式叫(乘法的)平方差公式
.,,
))(( 22
也可以是代数式既可以是数其中 ba
bababa
说明:平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的,它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。
6.乘法公式:
一般的,我们有:
(2).完全平方公式
法则:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
.,,
2)(
;2)(
222
222
也可以是代数式既可以是数其中 ba
bababa
bababa
222 2)(: bababa 即
一般的,我们有:
注意:前面的式子是常态,以下是---变态:
(1)(a-b)=-(b-a)
(2)(a-b)2=(b-a)2
(3)(-a-b)2=(a+b)2
(4)(a-b)3=-(b-a)3
7.添括号的法则:
• 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都要改变符号。(切莫一失足成千古恨,别人还会笑你笨!)
(1)同底数幂的除法
即:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
一般地,我们有
nmnm aaa (其中a≠0,m、n为正整数,并且m>n )
01( 0)a a
8.整式的除法:
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
(2)单项式除以单项式
法则:单项式除以单项式,把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
(3)多项式除以单项式
法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
222 19992001)6(,1999)5(
)23)(23)(4(
zyxzyx
?
,2)()3(
.,1,2)2(
.)1
(,51
)1(
222
222
2
2
2
应为多少则
如果
的值求若
的值求已知
z
nmnmznm
xyyxyx
aa
aa
这些就不提供答案了,错的请自觉面壁思过三年!
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整式乘除拓展
如果你以为以上就是全部,那你就错了,而且错的很到位,接下来才是真正刺激的部分!
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乘法公式
基本公式:a2-b
2=(a+b)(a-b)
(a+b)2=a
2+2ab+b
2 (a-b)
2=a
2-2ab+b
变形公式:
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• 拓展公式:
• 立方和公式:a3+b
3=(a+b)(a
2-ab+b
2);
• 立方差公式:a3-b
3=(a-b)(a
2+ab+b
2);
• 完全立方公式:a3+3a
2b+3ab
2+b
3=(a+b)
3
a3-3a
2b+3ab
2-b
3=(a-b)
3
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一、基本变形
• 1.用“>”号,把355
、444
、533
连结起来_____。
• 解:∵ 355
=(35)11
=24311
, 444
=(44)
11=256
11,
∵ 533
=(53)
11=125
11, 而 256
11
>24311
>12511
.
∴ 444
>355
>533
.
• 2.计算19992-2000×1998 =_____
• 解:原式=19992-1999
2+1=1
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二、公式转换
• 1.已知 a+b=5,ab=6求a2+b
2 和(a-b)
2
的值。
• 解:a2
+b2
=(a+b)2
-2ab=25-12=13
• (a-b)2
=(a+b)2
-4ab=25-24=1
• 2.已知x-y=2,x2+y
2=4,求(x+y)
2002
的值?
• 解:(x+y) 2002
= 22002
• 注意:灵活运用,基本公式及其变形公式。
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三、创造条件使用公式
1.已知:x=a+1,y=a+2,z=a+3,
求:x2+y
2+z
2-xy-yz-zx的值。
解:原式=1/2( 2x2+2y
2+2z
2-2xy-2yz-2zx )
=1/2[(x-y)2 +(y-z)
2 +(z-x)
2]
由题意得:x-y=-1,y-z=-1,z-x=2
原式=1/2 [(-1)2 +(-1)
2 +(2)
2]=3
2.求 的值
解:原式=19991998/19991996+19992000=1/2
3.4a2+4b
2+12a-16b+25=0,求ab/(a+b)的值?
解:(2a+3) 2+(2b-4)
2=0 a=-3/2 b=2 ab/(a+b)=-6
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四、x与1/x类型
1.若x-1/x=3,求x2+1/x2的值。
答案:11
2.若x2-13x+1=0,则x4+ 的个位数字是 。
答案:7
3.非0实数a、b满足4a2+b2=4ab,求 的值。
答案:2
注意:熟悉x与1/x关系一类题的性质,并学会创造条件。
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五、消元问题
1.已知实数x、y、z满足x+y=5 ,z2=xy+y-9, 那么
x+2y+3z=______。
解:带入,消元,z=0,y=3,所以原式=8
2.设x+2z=3y,试判断x2-9y
2+4z
2+4xz的值是不是定值?
如果是定值,•求出它的值;否则请说明理由 。
解:定值为0
注意:在解决多元问题时,通常使用消元法,切记此类问题要敢于去做,去消,看起来变复杂了,实际常常是柳暗花明。
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六、降次问题
1.已知x2-2x-3=0,求x
3+x
2-9x-8的值。
解:x2=2x+3,代入得值为1
注意:降次问题在初二阶段使用不多,但要了解解决此类问题的方法,仅以此题为例。
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七、规律性问题
1.19492-19502+19512-19522+……+19972-
19982+19992=_________
解:(1949+1950)(1949-1950)+(1951+1952)(1951-
1952)+…+(1997+1998)(1997-1998)+(2000-1)2
= -(1949+1950+1951+……+1997+1998)+(4000000-
4000+1)
= -25×(1949+1998)+4000000-4000+1
注意:复杂的公式应用,找到其中的规律。
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2.求 的值
3.
注意:灵动思维的锻炼,发现规律。
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八、尾数问题
1.19881989+19891988的个位数字是_____
解:∵ 19881989=19884×497+1=(19884)497·1988,
而(19884)497的个位数是6。
∴ 19881989的个位数是8。
∵ 19891988=19892×994=(19892)994,
而19892的个位数字是1,
则(19892)994的个位数字是1。
即 19891988的个数数字是1。
∴ 19881989+19891988
的个位数字是9
注意:化归思想,变动为静思想,整体的思想,拆分的思想等多种思想的综合应用
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2.31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561,39=19683,……它们的个位数字的变化有一定规律,用你发现的规律直接写出910的个位数字是几?
答案:1
3.判断(2+1)·(22+1)·(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几?
解:原式=(2-1)(2+1)(22
+1)(24
+1)……(22048-1)+1 =24096=161024
个位数字必为6。
注意:多种数学方法的综合应用。
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九、实际应用问题
1.随着计算机技术的迅猛发展,电脑价格不断降低.
某品牌电脑按原售价降低m元后,又降价20%,现售价为n元,那么该电脑的原售价为 多少?
解:(5n/4+m)元
注意:此类问题是现阶段考试的热点,难度不大,往往联系实际,只是一些固有知识穿上了时尚的外衣。
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十、综合运用问题
1.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.
设这个自然数为x,由题意得
②-①得n2-m
2=89 即(n+m)(n-m)=89×1
从而 ,解得 (m,n都为自然数)
故 x=452-44=1981。
注意:多个知识点的综合考察性问题。
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练习
1已知:5x2+10x+30=5-4xy-y2,求2x+y的值?
2已知:2a+b=4,3b=2c,求(a+c-b)2-(3a+c)2的值?
3已知:a-b=ab=2,求3a2+4ab+3b2的值?
4已知:x2-5x-1=0,求x2+1/x2的值?
5已知:a2+b2+2c2+2ac-2bc=0,求a+b的值?
6已知:x2-5x+1=0,求x3-4x2-4x-1的值?
7已知:25x2-30x+k是完全平方式,求k的值?
8已知:三角形abc满足a2+b2+c2=ab+bc+ca
判断三角形abc的形状。
答案:32,-32,32,27,0,-2,9,等边△
物以类聚,人以群分。外面冷,进群吧!