電路學(一) 第5章電感與電容第5章...

電路學(一) 第 5 章電感與電容

Kun Shan University http://www.ksu.edu.tw

1

第 5 章電感與電容

研習完本章，將學會

1. 電感 ------------------------------------------------01

2. 電容 ------------------------------------------------10

3. 串並聯 ------------------------------------------------17

4. 習題 ------------------------------------------------23

5-1 電感

電感器是以磁場形式儲存能量的裝置，其電子符號表示如下

代號：L，單位：亨利 H，若是標示參考電壓極性與電流方向，如下圖所示

其電壓為

其中為電流變化率，代表意義

1. 若是固定電流，電感器電壓為零，意即短路

2. 電流無法瞬間變化

電感器電流

由上式可知



2

在實際應用上，t0 =0

電感器功率

已知

及 p = iv，可得電感器功率為

電感器能量

已知

及 p=iL ，可得電感器能量為



3

如圖電路，求

(a) t = ?，電流源 i 有最大值 (b) 畫電流源 i 的波形

(c) v 的表示式 (d) 畫電壓 v 的波形

(e) v 與 i 同一時間有最大值? (f) t = ?，電壓 v 變換極性

(g) 電感器是否有瞬間電壓變化? 如果有，t = ?

(a) 極值發生在 di/dt =0

即

(b) 電流源 i 的波形

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

t(s)

i(A)



4

(c) 使用 VL=L di/dt

即

(d) 電壓 v 的波形

0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t(s)

v(V

)

(e) 由方程式 VL=L di/dt 可知，電感電壓正比於 di/dt，而非 i，此結果亦可由上列電流、電

壓與時間的關係圖看出

(f) t = 0.2 s，電壓 v 變換極性

(g) t = 0

如圖電路，求(a)畫電壓源 v 的波形 (b) i 的表示式 (c)畫電流 i 的波形

(a) 電壓源 v 的波形



5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

t(s)v(

V)

(b) 使用

先求積分式：使用分部積分

將上式結果代回

(c) 電流 i 的波形



6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

1.5

2

t(s)

i(A)

如圖電路，求

(a) 畫 p，w 的波形 (b)電感器何時段儲存能量

(c) 電感器何時段釋放能量 (d)電感器儲存的最大能量

(e) 計算與

(a) 已知

0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

t(s)

i(A)

0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t(s)

v(V

)



7

p = i v

0 0.5 1 1.5 2

-50

0

50

100

150

200

t(s)

p(m

W)

(b)電感器儲存能量：t = 0 ~ 0.2 秒，此時段 p > 0

(c) 電感器釋放能量：t = 0.2 ~ ∞ 秒，此時段 p < 0

(d) t = 0.2 s，i 的最大值為



8

使用

(e) 已知

因為 p = i v

其中

合併上兩式

計算



9

計算

5-1 練習

1. 如圖電路，求

(a) 畫電流源 i 的波形 (b) 畫 v 的表示式與波形

(c) 畫 p 的表示式與波形

(a)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

t(ms)

i(A)

(b) v=-6*exp(-300*t)+24*exp(-1200*t)



10

0 5 10 15 20

0

5

10

15

t(ms)v(

V)

(c)

0 5 10 15 20

0

5

10

t(ms)

p(W

)

5-2 電容

電容器的電子符號表示如下

代號：C，單位：法拉 F，若是標示參考電壓極性與電流方向，如下圖所示

電容器電流



11

其中為電壓變化率，代表意義

1. 若是固定電壓，電容器電壓為零，意即短路

2. 電壓無法瞬間變化

電容器電壓

由上式可知

在實際應用上，t0 = 0

電容器功率

已知

及 p = i v，可得電感器功率為



12

電容器能量

已知

及，可得電感器能量為

如下所示的電壓，跨於 0.5μF 電容器兩端，求

(a)推導電容器的電流，功率，及能量表示式

(b)畫電壓，電流，功率，及能量波形

(c) 電容器何時段儲存能量

(d)電容器何時段釋放能量

(e) 計算與



13

(a)

：已知，

(b)



14

0 2 4 60

1

2

3

4

t(s)

v(V

)

0 2 4 6-2

-1

0

1

2

t(s)

i(uA

)

0 2 4 6

-5

0

5

t(s)

p(uW

)

0 2 4 60

1

2

3

4

t(s)

w(u

J)

© 電容器何時段儲存能量 : t = 0 ~ 1 秒

(d) 電容器何時段儲存能量 : t = 1 ~ ∞ 秒



15

(e)

5-2 練習

1. 未充電電容 0.2μF，由三角脈波電流驅動

求

(a) 電容各時間區間的電壓 v、功率 p、能量 w (b) 畫 v 的波形

(c) 畫 p 的波形 (d) 畫 w 的波形

0 20 40 600

20

40

60

80

100

t(us)

i(mA

)

(a) t≦0：v, p, w 皆為 0

0≦t≦20ms：



16

20≦t≦40ms：

40ms≦t：

(b)

0 20 40 600

2

4

6

8

10

t(us)

v(V

)



17

(c)

0 20 40 600

200

400

600

t(us)

p(m

W)

(d)

0 20 40 600

2

4

6

8

10

t(us)

w(u

J)

5-3 串並聯

電感器串、並聯

假設電感間沒有電磁性相互作用，則電感器串、並聯有如電阻器的串、並聯，即

串聯

等效成



18

並聯

等效成

並聯時，若有考慮 initial current，由方程式可知

證明： (a) 由等效電路可知

等效成

因為串聯，所以電流相等

即



19

(b) 由等效電路可知

等效成

因為並聯，所以電壓相等

電容器串、並聯

電容器串、並聯有如電阻器的並、串聯，即

串聯

等效成



20

串聯時，若有考慮 initial voltage，由方程式可知

並聯

等效成

證明 (a) 由等效電路可知

等效成

因為串聯，每一電容的電荷都一樣，令其值為 Q

即



21

(b) 由等效電路可知

等效成

因為並聯，所以電壓相等

又總電荷等於各電荷之和

代入

如下圖所示電路，若，t≧0，i1(0)=-5A，i2(0)=3A，求

(a)等效總電感值 (b)i(t) (c) i1(t) (d) i2(t)

(a) LT=(240×60)/( 240+60)=48 mH

(b) i(0)=-5+3=-2A

i



22

i A

(c) i1

(d) i2

或者使用 KCL

i2 i1

如下圖所示電路，若，t≧0，V1(0)=-10V，V2(0)=-5V，求

(a)等效總電容值 (b) V1(t) (c) V2(t)

(a) CT=(2×8)/( 2+8)=1.6

(b) V1

V1 V



23

(c) V2

V2 V

5-4 習題

1. 電感器 L=10mH，其橫跨的電流波形如下所示，求電壓波形

2. 電感器 L=2mH，其中的電流 i(t)=2sin(377t)A，求電感器(a)電壓 (b)儲存能量

3. 電感器 L=200mH，橫跨電壓 v(t)為

求電感器(a)電流 (b)功率 (b)能量的波形

4. 電容器 C=5μF，其橫跨的電壓波形如下所示，求電流波形

0 2 4 6 8 10 12 140

5

10

15

20

t (ms)

v(t)

(V

)



24

5. 續上一題，在 t=6ms，求電容器所儲存能量

6. 未充電電容器 C=4μF，其電流波形如下所示

求電容器(a)電壓 (b)功率 (c)能量的波形 (d)在 t=2ms，所儲存能量

7. 電容串聯電路如下所示，其中電容已經預先充電過，求(a)等效電容值 (b)初始儲存能量

8. 電容串並聯電路如下所示，求等效電容值

9. 電感並聯電路如下所示，其中電感已經預先充電過，求(a)等效電感值 (b)初始儲存能量

10. 電感串並聯電路如下所示，求等效電感值



25

1. 已知：0≦t≦2ms

i(t)=(20m-0)/(2m-0)t=10t

2ms≦t≦4ms

i(t)=(0-20m)/(4m-2m)t+b=-10t+b

代入(2m，20m)或(4m，0)

i(4m)=0=-40m+b ， b=40m

i(t)=-10t+40m

求電壓波形：0≦t≦2ms

v(t)=L =10m(10)=100m

2ms≦t≦4ms

v(t)=L =10m(-10)=-100m



26

2. (a) v(t)=L =(2m) 2sin(377t)= (2m)[ 2×377cos(377t)]=1.508 cos(377t) V

(b) wL(t)=0.5Li2=0.5(2m)[2sin(377t)]2=4sin2(377t) mJ

3. 已知

0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t (s)

v(t)

(m

V)

(a) i(t)=

- -

-

i(t)= =5{ - }

i(t)=5t mA



27

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

t (s)

i(t)

(mA

)

(b) p(t)=i(t)v(t)=5t(1-3t) μW

0 1 2 3-0.1

0

0.1

0.2

0.3

t (s)

p(t)

(μ

W)

(c) w(t)=0.5Li2=0.5(0.2)(25t2) =2.5t2 μJ

0 1 2 30

0.01

0.02

0.03

0.04

t (s)

w(t

) (μ

J)

4. 已知：0≦t≦6ms

v(t)=4000t



28

i(t)=C =(5μ)(4000)=20 mA

6ms≦t≦8ms

v(t)=-12000t+96

i(t)=C =(5μ)(-12000)=-60 mA

5. w(t=6ms)=0.5Cv2(6ms)=0.5(5×10-6)(24)2=1440 μJ

6. 已知

i(t)=

(a)



29

v(t)= =1000t2

v(t=2ms)=1000(2 )2=4 mV

v(t)=

v(t)= 4 m=-2t+8m

0 1 2 3 40

1

2

3

4

t (ms)

v(t)

(m

V)

(b) p(t)=i(t)v(t)=

0 1 2 3 4

-20

0

20

40

60

X: 2Y: -32

t (ms)

p(t)

(nW

)



30

(c) w(t)=

w t

w t 2ms 32 pJ

w t

w t

0 1 2 3 40

10

20

30

40

t (ms)

w(t

) (p

J)

(d) w t 2ms 32 pJ

7. (a) ， Ct = 1μF

(b) v(t0)=2-4-1=-3V

w(t0)=0.5[2×10-6(2)2+3×10-6(-4)2+6×10-6(-1)2]=4.5 μJ



31

8. 2μF//4μF =6μF，6μF 串聯 3μF=(6×3)/(6+3)=2μF，2μF//2μF=4μF

， Ct = 1.5 μF

9. (a) ， Lt = 2 mH

(b) i(t0)=3-6+2=-1A

w(t0)=0.5[12×10-3(3)2+6×10-3(-6)2+4×10-3(2)2]=340 mJ

10. 6mH//6mH=3mH，3mH 串聯 6mH=9mH，9mH//6mH=3.6mH

Lt =6m+3.6m+6m=15.6 mH

電路學(一) 第5章 電感與電容 第5章...

Documents

電路學(一) 第5章電感與電容第5章...