普通高等教育 十二五 规划教材...
TRANSCRIPT
书书书
普通高等教育!十二五"规划教材
概率论与数理统计
马!
戈!
主编
梁!
瑛!
吴宏锷!
牛玉俊!
副主编
北!
京
科
学出版社
职教技术出版中心
www.abook.cn
内!
容!
简!
介
本书较系统地介绍了概率论与数理统计的基本内容!主要包括"随机事
件及其概率#随机变量及其分布#多维随机变量及其分布#随机变量的数字
特征#数理统计的基本知识#参数估计#假设检验#方差分析与回归分析#
!"#$"%
在统计分析中的应用&
本书注重对学生基础知识的训练及知识应用能力的培养!部分小节精选
了相当数量的例题#基本练习题$
'
组%和提高练习题$
(
组%!部分章最后还配
有复习题!书后附有各章习题参考答案或提示!便于教师教学和学生自学&
本书可作为高等院校工科#农医#经济#管理等专业的概率论与数理统
计课程教材!也可作为工程技术人员等实际工作者的参考用书&
!
图书在版编目!
!"#
"数据
!
概率论与数理统计&马戈主编&
'北京"科学出版社!
)*+)
!
$普通高等教育(十二五)规划教材%
!
,-(./01202*32*34)/12*
!!
5
"
概*
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5
"
马*
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5
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概率论2
高等学校2
教材%
数理统计2
高等
学校2
教材!&
5
"
6)+
!
中国版本图书馆7,8
数据核字$
)*+)
%第*/419)
号
责任编辑!戴!
薇!
李!
瑜"责任校对!马英菊
责任印制!吕春珉"封面设计!耕者工作室
版式设计!科地亚盟
! ! ! ! !
印刷
科学出版社发行!!
各地新华书店经销
"!
)*+)
年0
月第 一 版!!
开本"
(:
$
0)*;+***
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!
)*+)
年0
月第一次印刷!
印张"
)*3
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4
字数"
4*9***
定价#
$%&''
元
$如有印装质量问题!我社负责调换+
!!
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销售部电话*+*29)+4*1:*
!
编辑部电话*+*29)+3:0932)*31
版权所有!侵权必究
举报电话"
*+*294*3*))/
-
*+*294*343+:
-
+3:*++:+3*3
概率论与数理统计是随机数学的两个分支!其理论和方法的应用已经遍及科
学研究#工农业生产#医药卫生及国民经济的各个领域&
概率论与数理统计不仅是
高等院校理工科及经管类专业必修的基础理论课!也是这些专业的学生考研的重
要内容之一&
随着我国本科教育改革的深入!很多地方高校提出了培养应用型复合人才的
目标要求!启动了卓越工程师培养计划等!更加突出了(应用性)在课程教学中的地
位&
概率统计教材如何适应时代发展的需要.我们结合多年来课程建设的教改实
践!在广泛参阅国内外优秀教材的基础上!编写了本书&
本书在取材和编写过程中!注重突出以下几个方面的特点"
$
+
%在概念#定理及理论叙述上!力求准确#精炼!在符号的使用上标准#规范&
$
)
%注重概率论#数理统计应用的广泛性!精选例题和习题!用(巧妙的思维)
和(有趣的结论)吸引学生!帮助学生从不同的侧面理解概念!掌握方法&
$
3
%为帮助学生更好地掌握课程内容!本书部分小节分层次配有'
#
(
两组习
题!
'
组为基本练习题!
(
组是带有一定难度的提高练习题&
另外!部分章还配有复
习题!以供学生巩固所学知识&
$
4
%借助于统计分析实验!引导学生注重现代科学技术成果的应用!提高学生
的数学应用能力&
书中标(
"
)的内容为选学内容!各学校可根据实际情况自主选择&
本书由马戈主编!并对全书进行统稿&
具体编写情况"第一#二章由梁瑛执笔-
第三#四章由吴宏锷执笔-第五#六#八章由马戈执笔-第七#九章由牛玉俊执笔&
在本书的编写与出版过程中!得到了南阳理工学院和科学出版社的大力支持
与帮助!在此表示衷心感谢/
由于编者水平所限!书中不妥和错误之处在所难免!恳请同行及读者批评
指正&
编!
者
)*+)
年:
月
科
学出版社
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书书书
前言
第一章!
随机事件及其概率!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"!#!
!
随机事件及其运算!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#!#!
!
随机现象和随机试验!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#!#$
!
样本空间与随机事件$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#!#%
!
事件的关系与运算%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题!#! &
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"!#$
!
事件的概率'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#$#!
!
概率的统计定义'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#$#$
!
概率的公理化定义!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题!#$ !%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"!#%
!
古典概型与几何概型!%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#%#!
!
古典概型!(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#%#$
!
几何概型!'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题!#% $)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"!#(
!
条件概率和三个基本公式$!
!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#(#!
!
条件概率与乘法公式$!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#(#$
!
全概率公式与贝叶斯公式$*
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题!#( %)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"!#+
!
事件的独立性和伯努利概型%!
!!!!!!!!!!!!!!!!
!#+#!
!
两个事件的相互独立性%!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#+#$
!
多个事件的相互独立性%%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!#+#%
!
伯努利概型与二项概率公式%*
!!!!!!!!!!!!!!!!
习题!#+ %&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
复习题一%'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第二章!
随机变量及其分布((
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"$#!
!
离散型随机变量及其分布律((
!!!!!!!!!!!!!!!!
$#!#!
!
随机变量的概念((
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!"
$#!#$
!
离散型随机变量的分布律(+
!!!!!!!!!!!!!!!!!
$#!#%
!
常见的离散型分布(,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题$#! +$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"$#$
!
随机变量的分布函数+(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$#$#!
!
分布函数的定义及其性质+(
!!!!!!!!!!!!!!!!!
$#$#$
!
离散型随机变量的分布函数+*
!!!!!!!!!!!!!!!!
习题$#$ +,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"$#%
!
连续型随机变量及其概率密度+&
!!!!!!!!!!!!!!!
$#%#!
!
连续型随机变量的概率密度+&
!!!!!!!!!!!!!!!!
$#%#$
!
连续型随机变量的性质+'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题$#% *$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"$#(
!
常见的连续型分布*(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$#(#!
!
均匀分布*(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$#(#$
!
指数分布*+
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$#(#%
!
正态分布**
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题$#( ,!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"$#+
!
随机变量函数的分布,$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
$#+#!
!
离散型随机变量函数的分布,$
!!!!!!!!!!!!!!!!
$#+#$
!
连续型随机变量函数的分布,%
!!!!!!!!!!!!!!!!
习题$#+ ,&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
复习题二,'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第三章!
多维随机变量及其分布&%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"%#!
!
二维随机变量的联合分布&%
!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#!#!
!
二维随机变量&%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#!#$
!
联合分布函数&%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题%#! &+
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"%#$
!
二维离散型随机变量&*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题%#$ &'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"%#%
!
二维连续型随机变量&'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#%#!
!
联合概率密度&'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#%#$
!
两种常见的二维连续型随机变量'!
!!!!!!!!!!!!!!
习题%#% '$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"%#(
!
边缘分布'%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#(#!
!
边缘分布函数'%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#(#$
!
边缘分布律'%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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目!!
录 "
%#(#%
!
边缘概率密度'(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题%#( ',
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"%#+
!
条件分布'&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#+#!
!
条件分布函数'&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#+#$
!
条件分布律''
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#+#%
!
条件概率密度!))
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题%#+ !)$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"%#*
!
随机变量的独立性!)(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#*#!
!
随机变量相互独立的定义!)(
!!!!!!!!!!!!!!!!
%#*#$
!
离散型随机变量的独立性!)(
!!!!!!!!!!!!!!!!
%#*#%
!
连续型随机变量的独立性!)*
!!!!!!!!!!!!!!!!
%#*#(
!
二维正态变量的独立性!),
!!!!!!!!!!!!!!!!!
%#*#+
!
!
维随机变量的独立性!),
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题%#* !)&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"%#,
!
两个随机变量的函数分布!!)
!!!!!!!!!!!!!!!!
%#,#!
!
!
"
"
#
#为二维离散型的情况!!)
!!!!!!!!!!!!!!!
%#,#$
!
!
"
"
#
#为二维连续型的情况!!!
!!!!!!!!!!!!!!!
习题%#, !!*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
复习题三!!,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第四章!
随机变量的数字特征!$$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"(#!
!
数学期望!$$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#!#!
!
数学期望的定义!$$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#!#$
!
几种常见分布的数学期望!$+
!!!!!!!!!!!!!!!!
(#!#%
!
随机变量函数的数学期望!$,
!!!!!!!!!!!!!!!!
(#!#(
!
数学期望的性质!$'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题(#! !%!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"(#$
!
方差!%%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#$#!
!
方差的定义!%%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#$#$
!
几种常见分布的方差!%(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#$#%
!
方差的性质!%*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#$#(
!
切比雪夫不等式!%&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题(#$ !()
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"(#%
!
协方差和相关系数!($
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#%#!
!
协方差!($
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#%#$
!
相关系数!(+
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"!
(#%#%
!
矩$协方差矩阵!(&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题(#% !('
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"(#(
!
大数定律与中心极限定理!+!
!!!!!!!!!!!!!!!!
(#(#!
!
大数定律!+!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
(#(#$
!
中心极限定理!+(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题(#( !+&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
复习题四!+'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第五章!
数理统计的基本知识!*%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"+#!
!
总体与样本!*%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
+#!#!
!
总体和总体分布!*%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
+#!#$
!
样本与样本分布!*(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
+#!#%
!
样本的数字特征和样本矩!*+
!!!!!!!!!!!!!!!!
+#!#(
!
统计量!**
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题+#! !*,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"+#$
!
抽样分布!*,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
+#$#!
!
分位数!*&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
+#$#$
!
三个重要分布!*'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
+#$#%
!
正态总体的抽样分布!,%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题+#$ !,,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
复习题五!,,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第六章!
参数估计!&)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"*#!
!
点估计!&)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
*#!#!
!
矩估计法!数字特征法#
!&)
!!!!!!!!!!!!!!!!!
*#!#$
!
极大似然估计法!&$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
*#!#%
!
估计量的优良性标准!&,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题*#! !')
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"*#$
!
区间估计!'!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
*#$#!
!
置信区间的概念!'!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
*#$#$
!
单正态总体的区间估计!'*
!!!!!!!!!!!!!!!!!
*#$#%
!
双正态总体均值差或方差比的区间估计!''
!!!!!!!!!!!
*#$#(
!
单侧置信区间$)$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题*#$ $)%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
复习题六$)(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第七章!
假设检验$),
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
",#!
!
假设检验的基本原理$),
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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目!!
录 "!!
,#!#!
!
假设检验问题$),
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
,#!#$
!
假设检验基本思想$)&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
,#!#%
!
两类错误$)'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
,#!#(
!
假设检验一般步骤$!)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题,#! $!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
",#$
!
单正态总体的假设检验$!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!
,#$#!
!
正态总体均值的假设检验$!!
!!!!!!!!!!!!!!!!
,#$#$
!
正态总体方差的假设检验$!*
!!!!!!!!!!!!!!!!
习题,#$ $$)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
",#%
!
两正态总体的假设检验$$!
!!!!!!!!!!!!!!!!!
,#%#!
!
两正态总体均值差的假设检验$$!
!!!!!!!!!!!!!!!
,#%#$
!
两正态总体方差比的假设检验$$%
!!!!!!!!!!!!!!!
习题,#% $$&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
",#(
!
分布拟合检验$$'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题,#( $%%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
复习题七$%(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"第八章!
方差分析与回归分析$%,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"&#!
!
单因素方差分析$%,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&#!#!
!
单因素试验$%,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&#!#$
!
数学模型$%&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&#!#%
!
偏差平方和及其分解$%'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&#!#(
!
假设检验方法$(!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题&#! $(%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"&#$
!
一元线性回归$((
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&#$#!
!
一元线性回归模型$(+
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&#$#$
!
最小二乘估计$(*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&#$#%
!
回归方程的假设检验$('
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&#$#(
!
预测与控制$+!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
&#$#+
!
可线性化的一元非线性回归$++
!!!!!!!!!!!!!!!
习题&#$ $+,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"第九章!
!"#$"%
在统计分析中的应用$+'
!!!!!!!!!!!!!!!!
实验一!
数据与分布函数的调用$+'
!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题'#! $*%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
实验二!
统计量计算及频数直方图绘制$*%
!!!!!!!!!!!!!!
习题'#$ $*+
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
"!!!
实验三!
参数估计$*+
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
习题'#% $*,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
实验四!
假设检验$*,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
实验五!
回归分析$,+
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
实验六!
-./0.1
统计工具箱函数$&)
!!!!!!!!!!!!!!!!
复习题九$&+
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考文献$&,
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
参考答案$&&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
附表&
!
标准正态分布表%)'
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
附表'
!
泊松分布表%!)
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
附表(
!
!
分布表%!$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
附表)
!
!
' 分布表%!(
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
附表*
!
"
分布表%!*
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
附表+
!
相关系数显著性检验表%$$
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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第一章!
随机事件及其概率
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科!它以概率论为基
础!具有严格的概念体系和严密的逻辑结构!
概率论与数理统计的理论和方法已经
被广泛地应用在自然科学"技术科学"社会科学和人文科学等各个领域!是科技"经
济"管理等领域工作者必备的数学工具!
本章先介绍与随机事件及其概率有关的概
念"性质与公式等!
!"#"
!
随机事件及其运算
"#"#"
!
随机现象和随机试验
自然界和人类社会中所发生的现象是多种多样的!但从结果能否准确预知的
角度去划分!大致可分为两类!
一类是确定性现象!即在一定条件下必然发生的现
象!
例如!#在标准大气压下!水烧到!""#
必然会沸腾$"#同性电荷排斥!异性电荷
吸引$"#上抛一石子必然下落$等!
这类现象的结果是能准确地预知的!研究这类现
象的数学工具是线性代数"微积分等经典数学理论与方法!
另一类是随机现象!即
在一定的条件下!可能会出现这样的结果!也可能会出现那样的结果!具有不确定
性%或随机性&!事先我们无法准确预知其结果的现象!
例如!抛掷一枚质地均匀的
硬币!其落地后可能会出现正面!也可能会出现反面!每次抛掷前我们不能准确预
知将出现正面还是反面'又如!用同一大炮向同一个目标射击!每次弹着点的位置
不尽相同!射击之前无法预测弹着点的确切位置!
随机现象在实际生活中还有很
多!比如!某人参与抽奖!此人能否中奖(从含有不合格的一批产品中任意抽取一
件!它是否一定为合格品(从装有红白两种颜色球的袋子中任意取一个球!它是什
么颜色的(某种股票明天的价格是多少(商店一天的销售额是多少(这些问题事
先都不能准确预测!
为了研究随机现象!通常是先通过试验进行观察!
例如!观察某射手对固定目
标进行射击的情况'抛掷一枚质地均匀的骰子!观察其出现的点数'记录某交通路
口!在给定的时间段内所通过的车辆数'记录急救电话一昼夜接到的呼叫次数等!
我们把对随机现象的这种观察或观测称为随机试验!简称试验!并记为"!
随机试
验的特征如下!
"
可重复性)试验可以在相同条件下重复进行!
!
!!!!
"
可观察性)每次试验的可能结果不止一个!但事先能明确试验的所有可能
结果!
"
不确定性)每次试验可能出现这一结果!也可能出现另一结果!将要出现哪
一结果事先不能准确预知!
就一次随机试验而言!其结果不能实现预测!似乎难以捉摸!但在大量重复试
验下!人们会发现其结果总呈现出某种规律性!
例如!抛掷一枚质地均匀的硬币!在
多次重复抛掷时!就会发现#出现正面$和#出现反面$这两个实验结果出现的次数
大致相等!
再如!一名优秀的射手向某一靶子进行射击!就一次射击而言!#击中十
环$与#不能击中十环$这两个实验结果都有可能发生!因此一两次射击不足以反映
其真实水平!但当大量重复射击时!#击中十环$的次数与总射击次数的比会呈现出
某种稳定性!
这种随机现象在大量重复实验时所呈现出的内在规律性!我们称为随
机现象的统计规律性!
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的
一门学科!
"#"#$
!
样本空间与随机事件
尽管一次随机试验将要出现的结果事先无法准确预知!但其所有可能出现的
结果是事先明确的!
我们把随机试验可能出现的每一种最基本的结果称为随机试
验的一个样本点!用!
表示'样本点的集合称为样本空间!用"
表示!
例"
%
!
&
"
!
)抛掷一枚质地均匀的硬币!观察出现正反面的情况!其样本空间为
"
!
#
*正面!反面+
!
!!
%
$
&
"
$
)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次!观察两次出现正反面的情况!
其样本空间为
"
$
#
*%正面!正面&!%正面!反面&%反面!正面&%反面!反面&+
!
!!
%
%
&
"
%
)抛掷一枚质地均匀的骰子!观察其出现的点数!其样本空间为
"
%
#
*
!
!
$
!
%
!
&
!
'
!
(
+
!
!!
%
&
&
"
&
)记录某电话交换台在固定的某时间段内接到的呼叫次数!由于难以规
定呼唤次数的上限!理论上认为每个正整数都是一个可能的实验结果!其样本空间
为
"
&
#
*
"
!
!
!
$
!,!
$
!,+
!
!!
%
'
&
"
'
)从一大批灯泡中!任意抽取一个!测试其寿命%
!其样本空间为
"
'
#
*
%
&
%
#
"
+
!
!!
从例!
可以看到!样本空间有的是数集!有的不是数集'有的是有限集!有的是
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第一章!
随机事件及其概率 "
!!!!
无限集'有的数集是离散的!有的数集是连续的!
在研究随机试验中!人们通常关心的不仅是某个样本点在试验后是否会出现!
更关心的是满足某种条件的样本点在试验后是否出现!
例如在上例"
'
中!测试灯
泡的使用寿命以便确定其质量!若规定使用寿命超过$"""
小时为正品!则人们关
心的是测试结果是否大于$"""
小时!满足这一条件的样本点组成"
'
的一个子
集)*
%
$
%
%
$"""
+
!
我们把随机试验的样本空间的子集!称为随机事件!简称事件!
事
件通常用大写英文字母'
!
(
!
)
等表示!如')
*
%
$
%
%
$"""
+!也可以用加花括号的
语言描述来表示!如')
*
%
$
%
%
$"""
+
)
*灯泡为合格品+
!
注意!在每次试验中"当且仅当事件中的一个样本点出现时"我们称这一事件
发生!
例如在例!
的"
%
中"对于事件')
#出现偶数点$
)
#
$
"
&
"
(
$"若试验结果是
%出现点数(
&"就说事件'
发生!
特别地!如果一个事件只包含一个样本点!则称此事件为基本事件!
如在例!
的"
%
中!有(
个基本事件!
!
)
*出现点数!
+!
!
$
)
*出现点数$
+!
!
%
)
*出现点数
%
+!
!
&
)
*出现点数&
+!
!
'
)
*出现点数'
+!
!
(
)
*出现点数(
+
!
由于样本空间"
是其自身的子集!因而也是一个随机事件!又因其包含所有
的样本点!所以每次试验必然发生!
我们称在随机试验中必然发生的事件为必然事
件!因此"
就是必然事件!必然事件就记作"
!
同样!空集&
也是样本空间"
的子集!是一个随机事件!由于它不包含任何样
本点!所以在任何一次试验中&
必定不会发生!
我们称在任何一次试验中都不会发
生的事件为不可能事件!
因此&
就是不可能事件!不可能事件就记作&
!
如在例!
的"
%
中!若记事件')
*出现点数'
+!
()
*出现的点数不大于(
+!
))
*出现点数*
+!则'
!
(
!
)
都是事件!其中'
是一个基本事件!
(
是一个必然事
件!
)
是一个不可能事件!
实际上!必然事件与不可能事件已经无随机性可言!但在概率论中起着重要的
作用!为讨论问题的方便!我们把它们作为两个特殊的随机事件!
"#"#%
!
事件的关系与运算
在解决实际问题时!遇到的事件往往比较复杂!在求其概率时就需要把复杂事
件分解成较简单事件的#组合$
!
而这种#组合$就是下面要介绍的事件之间的关系
与运算!
由于随机事件是样本空间的子集!所以事件之间的关系和运算与集合之间的
关系和运算类同!只是这些关系和运算在概率中赋予了新的含义!
事件的关系主要
有)包含"相等"互斥%互不相容&"对立四种关系'事件的运算主要有)并%和&"交
%积&"差三种运算!
设"
为给定的随机试验"
的样本空间!事件'
!
(
!
'
*
%
*)!
!
$
!,!
$
!,&都是
#
!!!!
"
的子集!
!+
事件的关系
%
!
&包含关系
若事件'
发生必然导致事件(
发生!则称事件(
包含事件'
%或称'
是(
的
图!+!+!
!
子事件&!记为'
'
(
或(
(
'
%如图!+!+!
所示&
!
例如!在例!
的"
%
中!若事件')
*出现奇数点+
)
*
!
!
%
!
'
+!
()
*出现的点数不超过'
+
)
*
!
!
$
!
%
!
&
!
'
+!则显
然'
'
(!
%
$
&相等关系
若事件'
!
(
满足'
'
(
且(
'
'
!则称事件'
与事件
(
相等%或'
与(
等价&!记为')(!
注意!
')(
并不意味着'
与(
是同一事件!
例如甲'乙两个足球队进行比
赛"为公平起见"开赛前首先掷一枚硬币来决定谁先发球"并约定!若硬币出现正
面"则甲队先发球!
记事件')
#甲队先发球$"事件()
#出现正面$"这时显然有
')(
"但'
与(
是两个不同的事件!
%
%
&互斥%或互不相容&关系
如果在任何一次试验中!事件'
"
(
都不可能同时发生!则称事件'
"
(
是互斥
事件或互不相容事件!
例如!在例!
的"
%
中!若')
*出现的点数大于%
+!
()
*出现的点数小于%
+!
则'
"
(
两事件是互斥%或互不相容&事件!
显然!一个随机试验的样本空间的任意两个基本事件之间是互斥的!
%
&
&对立关系
事件#
'
不发生$也是一个随机事件!称其为事件'
的对立事件或逆事件或补
事件!记为)
'!
显然'
也是)
'
的对立事件!即*
')'
!所以称'
与)
'
互为对立事件!
两个互为对立的事件!在每次试验中必有一个出现!但不可能同时出现!
注意!两个相互对立的事件一定是互不相容事件"但两个互不相容的事件不一
定互为对立事件!
例如"在例!
的"
%
中"若')
#出现的点数大于%
$
)
#
&
"
'
"
(
$"
()
#出现的点数小于%
$
)
#
!
"
$
$"
))
#出现的点数不大于%
$
)
#
!
"
$
"
%
$"则)
与'
是互为对立事件"而(
与'
是互斥但非对立事件!
$+
事件的运算
%
!
&交%或积&
#事件'
"
(
同时发生$的事件称为事件'
"
(
的交事件%或积事件&!记作'
+
(
或'(!'
+
(
是由既属于'
又属于(
的样本点组成的集合!即'
+
()
*
!$!,
'
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第一章!
随机事件及其概率 $
!!!!
!
图!+!+$
且!,
(
+%如图!+!+$
所示的阴影部分&
!
例如!在例!
的"
%
中!若')
*出现的点数大于%
+
)
*
&
!
'
!
(
+!
()
*出现奇数点+
)
*
!
!
%
!
'
+!
))
*出现小于'
的
偶数点+
)
*
$
!
&
+!则'
+
()
*
'
+
)
*出现点数'
+!
'
+
))
*
&
+
)
*出现点数&
+
!
类似地!把#
$
个事件'
!
!
'
$
!,!
'
$
同时发生$的事
件!称为这$
个事件的交事件!记作'
!
+
'
$
,
+
'
$
或
+
$
,)!
'
,
或'
!
'
$
,
'
$
!
把#可列个事件'
!
!
'
$
!,!
'
$
!,同时发生$的事件!称为可列个事件的交事
件!记作'
!
+
'
$
,
+
'
$
,或+
,
,)!
'
,
或'
!
'
$
,
'
$
,
!
%
$
&并%或和&
#事件'
与(
至少有一个发生$的事件称为事件'
"
(
的并事件%或和事件&!
图!+!+%
!
记为'
-
(!
显然'
-
(
是由属于'
或属于(
的样本点组
成的集合!即'
-
()
*
!$!,
'
或!,
(
+%如图!+!+%
所示
的阴影部分&
!
例如!在例!
的"
%
中!若')
*出现的点数大于%
+
)
*
&
!
'
!
(
+!
()
*出现奇数点+
)
*
!
!
%
!
'
+!
))
*出现偶数点+
)
*
$
!
&
!
(
+!则'
-
()
*
!
!
%
!
&
!
'
!
(
+!
'
-
))
*
$
!
&
!
'
!
(
+
!
类似地!把#
$
个事件'
!
!
'
$
!,!
'
$
中至少有一个发
生$的事件称为这$
个事件的并事件!记作'
!
-
'
$
,
-
'
$
或-
$
,)!
'
,
!
把#可列个事件'
!
!
'
$
!,!
'
$
!,中至少有一个发生$的事件称为可列个事件
的并事件!记作'
!
-
'
$
-
,
'
$
-
,或-
,
,)!
'
,
!
%
%
&差
!
图!+!+&
#事件'
发生而(
不发生$的事件称为事件'
与(
的
差事件!记作'-(!
显然!
'-(
是由属于'
但不属于(
的样本点组成的集合!即'-()
*
!$!,
'
但!.
(
+%如
图!+!+&
所示的阴影部分&
!
注意到'-()'-'()'
/
(!
例如!在例!
的"
%
中!若')
*出现的点数大于%
+
)
*
&
!
'
!
(
+!
()
*出现奇数点+
)
*
!
!
%
!
'
+!
))
*出现偶数点+
)
*
$
!
&
!
(
+!则有'-))
*
'
+!
'-()
*
&
!
(
+
!
由事件差的运算!不难得出)
')
"
-'!
利用事件交"并运算!可将事件的互斥"
对立关系表述如下)
"
'
与(
互斥!当且仅当'()
&
%如图!+!+'
所示&'
%
!!!!
"
'
与(
对立!当且仅当'
-
()
"
且'()
&
%如图!+!+(
所示&
!
图!+!+'
!!!!
图!+!+(
%+
事件运算的规律
与集合的运算一样!事件的运算也满足下述的运算规律)
%
!
&交换律!
'
-
()(
-
'
!
'()('
'
%
$
&结合律!
%
'
-
(
&
-
))'
-
%
(
-
)
&!%
'(
&
))'
%
()
&'
%
%
&分配律!
'
-
%
()
&
)
%
'
-
(
&%
'
-
)
&!
'
%
(
-
)
&
)'(
-
')
'
%
&
&对偶律!
'
-
()
)
'
+
/
(
!
'
+
()
)
'
-
/
(!
事件的运算规律都不难证明!而且借助于./00
图更加直观!易于理解!./00
图是帮助我们理解和分析事件之间关系和运算的一种实用工具!
当然!由以上运算
规律可以推广到任意多个事件的情形!
在进行事件之间的运算化简时!我们要善于
运用这些规律!
例$
!
甲"乙"丙三人向同一个目标射击!设'
表示#甲击中目标$!
(
表示#乙
击中目标$!
)
表示#丙击中目标$!则下列事件可用'
"
(
"
)
的运算关系表示!
%
!
&甲未击中目标)
)
'
'
%
$
&甲"乙击中目标!丙未击中目标)
'(
/
)
'
%
%
&甲"乙"丙三人均击中目标)
'()
'
%
&
&甲"乙"丙三人至少有一人击中目标)
'
-
(
-
)
'
%
'
&甲"乙"丙三人恰好有一人击中目标)
'
/
(
/
)
-
)
'
/
()
-
)
'(
/
)
'
%
(
&甲"乙"丙三人恰好有两人击中目标)
'(
/
)
-
'
/
()
-
)
'()
'
%
*
&甲"乙"丙三人至少有两人击中目标)
'(
-
')
-
()
'
%
1
&甲"乙"丙三人均未击中目标)
)
'
/
(
/
)
'
%
2
&甲"乙"丙三人至多有一人击中目标)
'
/
(
/
)
-
)
'
/
()
-
)
'(
/
)
-
)
'
/
(
/
)!
注意!有些复杂事件用简单事件的表示方式不唯一"但这些表示方式是等价
的!
如本例的事件%甲'乙'丙三人至少有两人击中目标&等价于%恰好有两人击中目
标或者三人都击中目标&"因此也可以表示为
'(
/
)
-
'
/
()
-
)
'()
-
'()!
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第一章!
随机事件及其概率 &
!!!!
!!
例%
!
电路图基本的连接方式为串联和并联!设有$
个元件分别以串联和并
联的方式组成串联系统和并联系统%如图!+!+*
&!若记'
,
)
*元件,
正常工作+!
,)!
!
$
!,!
$
!
')
*系统正常工作+!分别就串联系统和并联系统用'
,
%
,)!
!
$
!,!
$
&表示事件'!
图!+!+*
解!
串联系统)整个系统正常工作当且仅当$
个元件同时正常工作!于是
'
#
*系统正常工作+
#
'
!
'
$
,
'
$
!
!!
并联系统)整个系统正常工作当且仅当$
个元件中至少有一个元件正常工作!
于是
'
#
*系统正常工作+
#
'
!
-
'
$
-
,
-
'
$
!
!!
例&
!
靶子由!"
个同心圆组成!半径分别为-
!
!
-
$
!,!
-
!"
!且-
!
0
-
$
0
,
0
-
!"
!若记'
*
)
*命中点在半径为-
*
的圆内+!叙述下列事件的意义)
%
!
&
-
(
*)!
'
*
'
!!!
%
$
&
+
1
*)!
'
*
'
!!!
%
%
&
)
'
!
'
$
!
解!
由于'
!
'
'
$
'
,
'
'
!"
!故有-
(
*)!
'
*
)'
(
!
+
1
*)!
'
*
)'
!
!
%
!
&事件-
(
*)!
'
*
表示命中点在半径为-
(
的圆内'
%
$
&事件+
1
*)!
'
*
表示命中点在半径为-
!
的圆内'
%
%
&事件)
'
!
'
$
表示命中点在内径为-
!
"外径为-
$
的圆环内!
例'
!
证明下列等式)
%
!
&%
'-(
&
-
()'
-
(
'
%
$
&
(-')
%
'(
&
-
%
)
'(
&
!
证明!
%
!
&%
'-(
&
-
()
%
'
+
/
(
&
-
()
%
'
-
(
&
+
%
(
-
/
(
&
)
%
'
-
(
&
+"
)'
-
(!
%
$
&
'(-
%
)
'(
&
)'(
%
)
'(
&
)'(
%
'(
&
)
%
)
'
-
/
(
&
)
'()
)
'
)
'(
-
/
(
)
'(
)
)
'(
-&
)
)
'()(-'!
在进行事件运算时!运算顺序约定为先进行逆的运算!然后再进行交的运算!
'
!!!!
最后进行并或差的运算'若有括号!则括号内运算优先!
通常!若有差事件时!往往
利用'-()'
/
(
转换为交的运算!再结合运算规律证明!
习题()(
!+
写出下列随机试验的样本空间"
以及随机事件'!
%
!
&对某一目标进行射击!直到击中目标为止!观察其射击的次数!事件'
表示#射击次数
不超过'
次$'
%
$
&将一枚质地均匀的硬币连掷%
次!观察%
次出现正"反面的情况!事件'
表示#恰有一
次出现反面$'
%
%
&在某段固定的时间内!观察某交通路口通过汽车的数量!事件'
表示#汽车数量不大于
!"
$'
%
&
&在数字!
!
$
!
%
中可重复地取两个数字形成两位数!事件'
表示#两位数为偶数$'
%
'
&某人向半径为.
的靶子上射击!观察弹着点的位置!事件'
表示#弹着点离靶心的距离
不大于-
%
-
1
.
&'
%
(
&生产某种产品直到得到!"
件正品!记录生产产品的总件数'
%
*
&将一尺的棰折成%
段!观察各段的长度!
$+
掷两枚匀称的骰子!观察其出现的点数!'
表示#两枚骰子点数相等$!
(
表示#两枚骰子
点数均小于%
$!
)
表示#两枚骰子点数均为奇数$!用样本点的集合表示各事件)
'
!
(
!
)
!
'(
!
'
-
(
!
'-)!
%+
甲"乙两个篮球队进行比赛!假设有%
种可能的结局)甲胜"乙胜和平局!
设事件')
*甲
胜乙负+!写出事件'
的对立事件)
'!
&+
在一次抽奖活动中!甲"乙"丙三人各随机抽取一张奖券!设'
表示#甲中奖$!
(
表示#乙
中奖$!
)
表示#丙中奖$
!
用'
"
(
"
)
的运算及关系表示下列事件)
%
!
&甲未中奖'
%
$
&甲"乙中奖!丙未中奖'
%
%
&甲"乙"丙三人均中奖'
%
&
&甲"乙"丙至少有一人中奖'
%
'
&甲"乙"丙恰好有一人中奖'
%
(
&甲"乙"丙恰有两人中奖'
%
*
&甲"乙"丙至少有两人中奖'
%
1
&甲"乙"丙三人均未中奖'
%
2
&甲"乙"丙至多有一人中奖!
'+
一批产品中有合格品也有废品!从中有放回地抽取%
次!每次取一件!设'
,
%
,)!
!
$
!
%
&
表示#第,
次抽到合格品$!试以'
,
%
,)!
!
$
!
%
&的运算"关系表示下列事件)
%
!
&第一次和第二次至少有一次抽到合格品'
%
$
&只有第一次抽到废品'
%
%
&
%
次都抽到合格品'
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第一章!
随机事件及其概率 *
!!!!
%
&
&至少有一次抽到合格品'
%
'
&只有第二次抽到合格品'
%
(
&只有两次抽到合格品'
%
*
&至少有两次抽到合格品!
(+
写出下列随机试验的样本空间或随机事件的样本点数!
%
!
&观察%
粒种子发芽的情况'
%
$
&同时掷两枚骰子!观察两次出现点数的情况'
%
%
&从1
名学生中随机挑选两名学生参加某项活动!观察挑选的情况'
%
&
&将甲"乙"丙%
名学生随机地分配到'
个房间中去!假设每个房间容纳的人数不限!观察
分配的情况'
%
'
&
'
个男孩!
%
个女孩随机地排成一列!假设任意两个女孩都不相邻!观察排列的情况'
%
(
&从装有%
个红球和两个黑球的盒子中任取两个球!其中恰有一个红球!
*+
对于任意事件'
"
(
!证明下列关系式)
%
!
&%
'
-
(
&
-
%
'-(
&
)(
'
%
$
&%
'
-
(
&
-()'
/
(
'
%
%
&%
'
-
(
&
+
%
'
-
/
(
&
)'
'
%
&
&%
'-
/
(
&%
'
-
(
&
)
&
!
!"#$
!
事件的概率
对于某个事件%除必然事件与不可能事件&来说!它在一次试验中可能发生!也
可能不发生!我们常常希望知道它在试验中发生的可能性有多大!
例如抛掷一枚骰
子!出现点数(
的可能性有多大(若抛掷两枚骰子!两次出现的点数之和为*
的可
能性又是多大(我们希望找到一个合适的数字来表示事件在试验中发生的可能性
大小!#概率$的概念就是源于这种需要产生的!
在随机试验中!我们把事件'
发生可能性大小的度量称为事件'
发生的概
率!记为/
%
'
&
!
本节我们首先引入频率概念!研究频率和概率之间的关系!
"#$#"
!
概率的统计定义
对于随机事件'
!若在$
次试验中发生了#
'
次!
#
'
称为事件'
在这$
次试验
中发生的频数!记
0
$
%
'
&
#
#
'
$
!
0
$
%
'
&称为事件'
在$
次试验中发生的频率!
不难证明!频率具有下列性质)
%
!
&
"
1
0
$
%
'
&
1
!
'
(+
!!!
%
$
&
0
$
%
"
&
)!
'
%
%
&若'
!
!
'
$
!,!
'
*
是两两互斥的事件!则有
0
$
%
'
!
-
'
$
-
,
-
'
*
&
#
0
$
%
'
!
&
1
0
$
%
'
$
&
1
,
1
0
$
%
'
*
&
!
!!
假如把#在$
次重复试验$称为#一系列试验$!事件'
在$
次试验中发生的频
率0
$
%
'
&不但与事件'
"试验条件和试验次数$
有关!而且与试验的#系列$有关!
也就是说!即便试验条件和试验次数$
保持不变!对于不同系列的试验!事件'
的
频率也会有所不同和波动的!产生这种现象的原因在于试验的随机性!
频率不但具
有波动性!也具有稳定性!
它的稳定性表现在)当试验次数$
充分大时!事件的频率
在任何系列的$
次试验中波动性很小!而且随着试验次数$
的增多!这种波动性有
变小的趋势!趋于稳定在某固定的数值%称之为频率的稳定值&附近!
这个频率的稳
定值既与试验的系列无关!也与具体的试验次数$
无关%只要$
充分大&!这是被人
们大量实践活动所证明的事实!频率的这种稳定性也就是我们所说的随机试验的
统计规律性!
为验证频率的稳定性!历史上曾有许多学者做过大量的试验!例如蒲丰"皮尔
逊等人先后做过掷一枚均匀的硬币试验!
记事件')
*出现正面+!
#
'
表示事件'
发生的频数!
0
$
%
'
&表示事件'
发生的频率!表!+$+!
给出了相关试验的数据
记录!
表"#$("
!
抛硬币试验表
试验者 试验总次数%
$
&
出现正面的频数%
#'
&
0
$
%
'
&
)
#'
$
德-摩根$"&1 !"(! "+'!1!
蒲丰&"&" $"&1 "+'"(2
皮尔逊!$""" ("!2 "+'"!(
皮尔逊$&""" !$"!$ "+'""'
维尼%"""" !&22& "+&221
这些试验为我们提供了直观的背景!
虽然事件')
*出现正面+在一次试验中
可能发生也可能不发生!事件'
发生的频率具有波动性!但从表中可以直观地看
到!在大量重复试验中!它出现的频率却非常稳定!都接近于"+'
!而且随着试验次
数$
的增大!出现正面的频率0
$
%
'
&越稳定于"+'!
频率的稳定性说明随机事件发生的可能性大小是随机事件本身固有的一种客
观属性!而不是由人的主观意志随意改变的!因此可以对它进行度量!这正是概率
论得以建立的现实基础!根据这一结果!确定/
%
'
&
)"+'
就是理所当然的了!
另
外!频率的稳定性也为我们提供了用频率估计概率的依据!而估计的#精度$可以靠
增大试验次数来保障!
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第一章!
随机事件及其概率 ((
!!!
综上所述!概率与频率之间关系非常密切!概率即为频率的稳定值!
定义"
!
设'
是随机试验"
中的事件!若试验的重复次数$
充分大时!事件'
发生的频率0
$
%
'
&总在区间.
"
!
!
/上的某一个确定的常数2
附近做微小摆动!并逐
渐稳定于2
!则称常数2
为事件'
发生的概率!记为/
%
'
&
)
2
!
"#$#$
!
概率的公理化定义
概率的统计定义具有重要应用价值!
它告诉我们!当试验次数充分大时!用事
件发生的频率作为事件发生的概率是合适的!
但在实践中!我们不可能对每一个事
件都做大量的试验!然后求得事件的频率!用于表示事件发生可能性的大小!
概率
的统计定义虽然直观!但在理论上不严密!并不普遍应用!
直到!2
世纪末!人们才
开始注意概率论的公理化!
所谓#概率的公理$是指经实践证实而无须逻辑证明的
概率的最基本性质!而其他的性质可以依据概率的公理来证!!2%%
年!苏联数学家
柯尔莫戈洛夫在总结前人大量研究成果的基础上!在他的0概率论的基本概念1一
书中!提出了现在已被广泛接受的概率公理化定义!第一次将概率论建立在严密的
逻辑基础上!从此确立了概率论作为一门独立数学分支的地位!
定义$
!
设"
是给定的随机试验的样本空间!若对每一事件'
%
'
'"
&!有且
只有一个实数/
%
'
&与其对应!且满足如下公理)
公理"
!
非负性!
"
1
/
%
'
&
1
!
'
公理$
!
规范性!
/
%
"
&
)!
'
公理%
!
可列可加性!
对任意可列个两两互斥事件'
!
!
'
$
!,!
'
,
!,!有
%
/
-
,
,
#
!
'
&
,
#
2
,
,
#
!
/
%
'
,
&
!
则称/
%
'
&为随机事件'
的概率!
由概率的公理化定义!可以推导出概率的一些重要性质!
性质"
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证明!
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且'
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1
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故/
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且'
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知
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加法公式可以推广到有限多个事件的情形!如对于任意%
个事件'
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一般地!用数学归纳法可证明!任意$
个事件的加法公式为
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科
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第一章!
随机事件及其概率 ("
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解!
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&由减法公式得
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&由对偶律和对立事件的概率得
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两个事件满足/
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'(
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(
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设/
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(
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恰好有一个发生+!证明)
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(
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'(
&
!
!"#%
!
古典概型与几何概型
不管是概率的统计定义还是概率的公理化定义!都未提供一个计算概率的有
(#
!!!
效方法!
对于具体的试验模型!如何计算随机事件的概率呢(本节我们将介绍两种
简单而又特殊的概率模型)古典概型与几何概型!
"#%#"
!
古典概型
若随机试验"
具有以下两个特征)
%
!
&有限性!
随机试验"
的样本空间"
中含有有限个样本点'
%
$
&等可能性!
试验的每个样本点%即基本事件&发生是等可能的!
则称此试验为古典概型!
古典概型在概率论发展初期是主要研究对象!
下面推导古典概型下某随机事件概率的计算公式!
设在古典概型下!样本空间"
)
*
!
!
!
!
$
!,!
!
$
+!即"
中含有有限$
个样本点!
由于每个样本点%即基本事件&发生是等可能的!即
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&
#
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%
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*
!
,
$
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-
,
-
*
!
,
*
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这里,
!
!
,
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!,!
,
*
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!
$
!,!
$
中某*
个不同的数!则事件'
的概率为
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2
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,
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&
#
*
$
!
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因此!在古典概型下!事件'
的概率计算公式为
/
%
'
&
#
'
包含的样本点数
"
包含样本点总数#
*
$
!
!!
在古典概型中!事件'
的概率计算公式是一个分数!其分母是样本空间所包
含的样本点总数$
!分子是事件'
所包含的样本点个数*
!由于'
中的样本点对'
的出现#有利$!因此习惯上称*
为有利于'
发生的场合数!即
/
%
'
&
#
*
$
#
有利于'
发生的场合数
样本空间的样本点总数!
!!
因此在古典概型下计算事件'
的概率!就需要考虑如何选择样本空间!如何
计算样本空间中样本点总数和有利于事件'
发生的场合数!
科
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第一章!
随机事件及其概率 ($
!!!
例"
!
把一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次!设事件'
表示#恰出现一个正
面$!事件(
表示#出现两个反面$!试求事件'
!
(
的概率!
解!
此试验的样本空间有&
个样本点构成!即
"#
*%正!正&!%正!反&!%反!正&!%反!反&+
!
易知!其中'
包含的样本点个数为$
!
(
仅包含其中的一个样本点!所以
/
%
'
&
#
$
&
#
!
$
!
!
/
%
(
&
#
!
&
!
!!
此例在应用古典概型计算时!必须慎重地判定等可能性!
若认为此例中"
)
*#两枚全正$!#一正一反$!#两枚全反$+!则样本点总数为%
!有利于事件#一正一
反$的样本点数为!
!此时/
%
'
&
)
!
%
!这个结果是错误的!
得出错误结果的原因在
于%
个样本点#两枚全正$"#一正一反$与#两枚全反$出现的机会是不相等的!#一
正一反$这一个样本点出现的可能性较大!因而破坏了古典概型等可能的要求!
当样本空间的样本点较多时!我们一般不再将"
中的元素一一列出!而只需
分别求出"
与'
中所包含的样本点数即可!
例$
!
将一枚匀称的骰子接连掷两次!试求两次掷出的点数之和等于2
的
概率!
解!
记')
*两次掷出的点数之和等于2
+
!
将一枚匀称的骰子接连掷两次!总
共有(4()%(
个基本事件!其中事件'
包含的基本事件有&
个)%
%
!
(
&!%
(
!
%
&!
%
&
!
'
&!%
'
!
&
&!故
/
%
'
&
#
&
%(
#
!
2
!
!!
例%
!袋中取物"
!
设袋中有!"
件产品!其中两件次品!现按照以下两种方式
随机地抽取两件产品)
%
5
&有放回%还原&地抽取!即先任意抽取一件!观察后放回!再从中任取一件'
%
6
&无放回%非还原&地抽取!即先任意抽取一件!观察后不放回!再从剩下的
产品中任取一件!
求下列事件的概率)
%
!
&两件均是正品'
%
$
&两件中恰有一件是次品'
%
%
&两件中至少有一件是次品!
解!
设所求概率的事件分别记为'
!
(
!
)!
%
5
&有放回的情况
每一次抽取均有!"
种可能结果!因而两次抽取的基本事件总数为!"
$
+
事件
'
发生意味着两次取的都是正品!由于每一次抽取均有1
种可能结果!因而事件'
(%
!!!
包含的基本事件数为1
$
!故
/
%
'
&
#
1
$
!"
$
#
!(
$'
!
!!
事件(
发生包括#第一次取到次品且第二次取到正品$或#第一次取到正品且
第二次取到次品$两种情况发生!因而事件(
包含的基本事件数为$41314$)
%$
!故
/
%
(
&
#
%$
!""
#
1
$'
!
而))
)
'
!所以/
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)
&
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)
'
&
)!-/
%
'
&
)!-
!(
$'
)
2
$'
!
%
6
&无放回的情况
第一次抽取一件有!"
种可能结果!由于不放回!故第二次抽取有2
种可能的
结果!因而两次抽取的基本事件总数为!"42)2"!
事件'
发生意味着两次取的都
是正品!由于第一次抽取有1
种可能结果!第二次有*
种可能的结果!因而事件'
包含的基本事件数为14*)'(
!故
/
%
'
&
#
'(
2"
#
$1
&'
!
!!
同样!事件(
发生包括#第一次取到次品且第二次取到正品$或#第一次取到
正品且第二次取到次品$两种情况发生!因而事件(
包含的基本事件数为$413
14$)%$
!故
/
%
(
&
#
%$
2"
#
!(
&'
!
而))
)
'
!所以/
%
)
&
)/
%
)
'
&
)!-/
%
'
&
)!-
$1
&'
)
!*
&'
!
注意!对于无放回抽样"从中取两件产品等效于不考虑抽取次序从!"
件产品
中一次性地抽取两件产品"此时总的取法有)
$
!"
种"有利于事件'
发生的场合数有
)
$
1
种"有利于事件(
发生的场合数有)
!
1
)
!
$
种"故
/
(
'
)
#
)
$
1
)
$
!"
#
$1
&'
"
!
/
(
(
)
#
)
!
1
)
!
$
)
$
!"
#
!(
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"
而))
)
'
"所以/
(
)
)
)/
(
)
'
)
)!-/
(
'
)
)!-
$1
&'
)
!*
&'
!
本题为袋中取物问题!古典概型的大部分问题都可以用该模型来描述!它是随
机抽样问题之一!也可以把产品看做球"人等!求解方法是相同的!
但要注意在计算
样本点总数以及有利场合数时!必须在同一样本空间考虑!也就是说!计数方式必
须统一!其中一个考虑顺序!另一个也必须考虑顺序!否则计算结果一定不正确!
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第一章!
随机事件及其概率 (&
!!!
例&
!
假设箱子中有5
个黑球!
6
个白球!把球随机地一个一个摸出来!试在有
放回和无放回两种不同的抽样形式下!分别求第*
次%
!
1
*
1
536
&摸出黑球的
概率!
解!
引进事件'
*
)
*第*
次摸出黑球+%
!
1
*
1
536
&
!
%
!
&对于有放回抽样的随机试验!每一次都是在536
个球中任取一个!因此
第*
次取球有536
种取法!而有利于第*
次摸到黑球的方法有5
种!故
/
%
'
*
&
#
5
5
1
6
!
!!
%
$
&对于无放回抽样的随机试验!
把536
个球一个一个摸出来!一共有%
53
6
&2种方式!而有利于第*
次摸出黑球的方式有5
-%
536-!
&2种方法!
这是因
为第*
次摸出黑球有5
种方法!而另外536-!
次摸球相当于536-!
个球进行
全排列!有%
536-!
&2种构成法!
因此所求的概率为
/
%
'
*
&
#
5
-
%
5
1
6
4
!
&2
%
5
1
6
&2
#
5
5
1
6
!
!!
注意!
(
!
)从计算结果可以看到"无论是有放回还是无放回抽样"第*
次摸出黑球的
概率与摸球的次序*
无关"即摸到黑球的概率与抽取的次序无关"而只与黑球所占
的比率 5
536
有关!
(
$
)无放回抽样得出的结果与我们平常生活经验是一致的!
例如"在体育比赛
中进行抽签"对各队机会均等"与抽签的先后次序无关"这就是所谓的%抽签原理&
!
例'
!
将$
个球随意地放入7
个箱子中去%
7
#
$
&!其中每个球都等可能地放
入任一箱子!求下列各事件的概率)
%
!
&指定的$
个箱子中各放一个球'
%
$
&每个箱子中最多放入一个球'
%
%
&某指定的箱子不空'
%
&
&某指定的箱子恰好放入*
%
*
1
$
&个球!
解!
所求概率的事件分别记为'
!
(
!
)
!
8!
将$
个球随意放入7
个箱子中去!
每一个球均有7
种放法!所以样本空间中样本点总数有7
$个!
%
!
&指定的$
个箱子中各放一个球!相当于把$
个球进行全排列!其方法共有
$
2种!故/
%
'
&
)
$
2
7
$
!
%
$
&每个箱子中最多放入一个球等价于从7
个箱子中随意抽取$
个箱子!然
后在被抽取的$
个箱子中各放入一个球!因此共有)
$
7
$
2种方法!所以
/
%
(
&
#
)
$
7
$
2
7
$
!
('
!!!
!!
%
%
&直接求有利于事件)
发生的场合数不易求!可先求其对立事件的概率!
显
然)
的对立事件/
))
*某指定的箱子是空的+
!
/
)
发生等价于$
个球仅能放入到除
指定的箱子外剩余的7-!
个箱子中去!故共有%
7-!
&
$种方法!
所以
/
%
/
)
&
#
%
7
4
!
&
$
7
$
!
于是/
%
)
&
)!-
7-!
% &
7
7
!
%
&
&事件8
发生等价于任取*
个球放入指定的箱子中去!其余$-*
个球随意
放入剩余的7-!
个箱子中去!故共有)
*
$
%
7-!
&
$-*种方法!所以
/
%
8
&
#
)
*
$
%
7
4
!
&
$
4
*
7
$
!
!!
例'
是古典概型中非常典型的一个问题!不少实际问题都可归结为这一模型!
例如若把球看做人!箱子看做房子!则问题又可变为把$
个人随意地分配到7
个
房子中的#分房问题$'若把球看做人!把7)%('
个箱子看做一年%('
天!则该问
题又变为#生日问题$
!
例+
!生日问题"
!
一年有%('
天!求$
个人中至少有两个人的生日在同一天
的概率%假设每人在一年内每一天出生可能性相同&
!
解!
记')
*至少有两个人的生日在同一天+!直接求其概率不易求得!
但可先
考虑其对立事件)
')
*
$
个人生日均不在同一天+的概率!
由于每个人的生日可能在%('
天的每一天!故$
个人的生日共有%('
$种可能
结果!而)
'
发生意味着每个人的生日在%('
天的不同的日子中!故)
'
包含有'
$
%('
种结果!
所以
/
%
)
'
&
#
'
$
%('
%
%('
&
$
!
故
/
%
'
&
#
!
4
/
%
)
'
&
#
!
4
'
$
%('
%
%('
&
$
!
!!
由上式可计算出不同的$
对应的概率/
%
'
&%见表!+%+!
&
!
表"#%("
!
至少有两个人的生日在同一天的概率
$ $" $% %"
,
'" (" !""
/
%
'
&
"+&!! "+'"* "+*"(
,
"+2* "+22$ "+222222*
从表中可以看到!在仅有("
人的班级里!#至少有两个人的生日在同一天$的
概率几乎是!
!这是出乎人们预料的!
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第一章!
随机事件及其概率 (*
!!!
"#%#$
!
几何概型
除古典概型外!历史上出现最早的直接计算事件概率的方法之一就是利用试
验结局的均衡性!借助于几何度量确定事件的概率!习惯上称为几何概型!
几何概
型克服了古典概型要求随机试验的样本空间中含有有限个样本点的局限性!
若随机试验"
满足)
%
!
&随机试验的样本空间"
对应一个几何区域!这个区域的大小是可以度量
的%如长度"面积"体积等&'
%
$
&每个基本事件的出现是等可能的!
则称该试验为几何概型!
考虑随机试验"
)向"
上投掷一质点!假设质点落到"
中的任何点都是可能
的!但不可能落到"
之外'质点的落点在"
中分布均匀!即质点落入"
中的任何区
域8
的可能性只与其几何度量9
%
8
&有关!并与其成正比!该实验"
即为几何概
型!
假设"
是一线段"平面或空间的有界区域!
9
%
"
&表示其几何度量%长度"面积"
体积&!则对于任何区域8
'"
!事件')
*质点落入区域8
+的概率为
/
%
'
&
#
9
%
8
&
9
%
"
&
!
!!
几何概型的应用在生活中也不乏常见!比如在一些抽奖活动中幸运观众所转
动的转盘!转盘上不同的扇形部分设置有不同档次的奖金!而且扇形面越大!奖金
额越小!其中就是利用了几何概型!
若幸运观众随机转一下转盘!转盘停下时!指针
会指向一个标着某数字的扇形!这个数字就是该参与者得到的奖金%单位)元&
!
若
转盘的周长是9
!标着某数字的扇形的弧长为5
!那么!该幸运观众能得到标有该
数字奖金的可能性为5
9
!
容易验证!几何概率满足概率的三公理!
例,
!
在区间%
"
!
$
&内随意地取两个数!试求两数之和不大于%
的概率!
!
图!+%+!
解!
记')
*两数之和不大于%
+!分别以:
!
;
表
示随意取的两个数!视%
:
!
;
&为随机点!则它等可能地
落入正方形区域
"#
*%
<
!
=
&
&
"
1
<
1
$
!
"
1
=
1
$
+
内!事件'
发生等价于事件#随机点%
:
!
;
&落入区域8
内$%见图!+%+!
阴影部分&
!
其中
8
#
*%
<
!
=
&
&
<
1
=
1
%
!
"
0
<
!
=
0
$
+!
由于区域8
的面积9
%
8
&
)
*
$
!正方形的面积为9
%
"
&
)
!+
!!!
&
!于是由几何概型的计算公式得/
%
'
&
)
9
%
8
&
9
%
"
&
)
*
1
!
例-
!会面问题"
!
两人相约*
点到1
点在某地会面!先到者等候另一人$"
分
钟!过时就可离去!
若每人在指定的一小时内任一时刻到达是等可能的!试求这两
人能会面的概率!
解!
设'
表示欲求概率的事件!
:
!
;
分别表示两人到达的时刻%单位)分钟&!
由于两人在*
点到1
点之间随机到达!故可视%
:
!
;
&为随机点!且随机点%
:
!
;
&等
可能地落入到正方形区域
"#
*%
<
!
=
&
&
"
1
<
1
("
!
"
1
=
1
("
+
图!+%+$
!
内!
而事件'
发生的等价于事件#随机点%
:
!
;
&落入
区域8
内%见图!+%+$
阴影部分&!其中
8
#
*%
<
!
=
&
&&
<
4
=
&
1
$"
!
"
0
<
!
=
0
("
+!
由于区域8
的面积9
%
8
&
)("
$
-
!
$
4$4&"
$
)$"""
!
正方形的面积为9
%
"
&
)("
$
)%(""
!于是由几何概型
的计算公式得
/
%
'
&
#
9
%
8
&
9
%
"
&
#
$"""
%(""
#
'
2
!
习题()"
)
组
!+
某班有%'
名男生!
'
名女生!从中任选(
名!求其中恰有&
名男生!两名女生的概率为
多少(
$+
同时抛掷两枚均匀的骰子!求事件#点数之和等于*
$的概率(
%+
袋中装有!"
件产品!其中&
件次品!其余为正品!
现从中任取'
件!求)
%
!
&恰有一件次品的概率'
%
$
&至少有一件次品的概率'
%
%
&至多有一件次品的概率!
&+
某城市电话号码升位后为1
位数!且第一位为(
或1!
求)
%
!
&随机抽取一个号码为不重复的1
位数的概率'
%
$
&随机抽取的号码末位数是1
的概率!
'+
一学生宿舍有(
名学生!问)
%
!
&
(
个人的生日都在星期天的概率是多少(
%
$
&
(
个人的生日都不在星期天的概率是多少(
%
%
&
(
个人的生日不都在星期天的概率是多少(
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第一章!
随机事件及其概率 !(
!!!
(+
设某超市有奖销售!投放$
张奖券只有两张有奖!每位顾客可抽!
张!求第*
%
!
1
*
1
$
&
位顾客中奖的概率为多少(
*+
把%
个不同的球随机地放入'
个盒子中去!试求)
%
!
&
%
个球放在不同盒子的概率'
%
$
&在指定的%
个盒子中各有一个球的概率'
%
%
&某指定的盒子不空的概率'
%
&
&某指定的盒子中恰好放入两个球的概率!
1+
在区间%
"
!
$
&内任取两个数!则事件*两数之和小于!
+的概率为多少(
2+
某人午觉醒来!发觉表停了!他打开收音机!想听电台报时!设电台每正点报时一次!求
他等待时间少于!"
分钟的概率(
!"+
甲"乙两艘轮船都要在某个泊位停靠(
小时!假定它们在一昼夜的时间段内随机到达!
试求这两艘船至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率(
*
组
!+
一批产品共有!""
件!废品率为'7
!对该产品进行不放回抽样检查!在被随机抽取的'
件产品中至少有一件是废品的概率是多少(
$+
从(
双不同的手套中任取&
只!问其中恰有一双配对的概率是多少(
%+!
袋中装有$-!
个黑球及!
个白球!每次从袋中随机地摸出一球!并换入!
个黑球!问
第*
次摸球时!摸到黑球的概率是多少(
&+
一元二次方程<
$
3(<3))"
!其中(
!
)
分别为将一枚骰子连续投掷两次先后出现的点
数!求该方程有实根的概率2
和有重根的概率>
!
'+
在一长为?
的线段上任取两点!将其分为%
段!试求得到的%
条线段恰能构成三角形的
概率!
!"#&
!
条件概率和三个基本公式
"#&#"
!
条件概率与乘法公式
条件概率是概率论中一个重要且实用的概念!
事件的概率是在一定条件下发
生的可能性大小的数值度量!因此事件的概率都是有条件的!
这里!条件概率所谓
的#条件$是指已知某个事件'
已经发生了!
比如血液化验时!有可能将带菌病人
血液检出阳性!但也有可能将健康人的血液检出阳性!则在#已知一个体血液被检
出为阳性的条件下$!事件#该个体确实患有此种疾病$的概率就是条件概率!
一般地!在#已知事件(
发生的条件下$!事件'
发生的条件概率记作/
%
'
$
(
&!
简称为#事件'
关于事件(
的条件概率$或#
'
关于(
的条件概率$
!
因为有了事件
(
已经发生的条件!一般来说!它与/
%
'
&是不同的!
先举一个例子!
例"
!
设'
件产品中%
件是正品!两件是次品!进行不放回抽样两次!一次一
件!
试求)
!!
!!!
%
!
&第二次抽到正品的概率'
%
$
&在第一次抽到正品的条件下!第二次抽到正品的概率'
%
%
&第一次和第二次都抽到正品的概率'
%
&
&验证/
%
'
$
(
&
)
/
%
'(
&
/
%
(
&
!
解!
设')
*第二次抽到正品+!
()
*第一次抽到正品+
!
%
!
&这是#袋中取物$模型!为古典概型!
试验是从'
件产品中进行不放回抽样
两次!一共抽取两件产品!共有'4&)$"
种取法!有利于事件')
*第二次抽到正
品+发生的方式数为%4&)!$
种!故/
%
'
&
)
!$
$"
)
%
'
!
%
$
&在#已知事件(
发生的条件下$!求事件'
发生的概率!这是一个条件概
率/
%
'
$
(
&
!
这时计算'
的概率多了一个#
(
发生$条件限制!即第一次抽到正品的
条件下计算'
的概率!
在第一次已经取到正品的条件下!由于不放回!样本空间已
缩小!所以第二次取产品的时候相当于在&
件产品%其中两件正品!两件次品&中任
取一件!这样共有&
种取法!而有利于取到是正品的方法有两种!故/
%
'
$
(
&
)
$
&
)
!
$
!
%
%
&第一次"第二次都抽到正品的概率!即事件'(
发生的概率!
由古典概
型知
/
%
'(
&
#
(
$"
#
%
!"
!
!!
%
&
&不难求得/
%
(
&
)
%
'
!
由于/%
'(
&
/
%
(
&
)
%
3
!"
%
3
'
)
!
$
!
/
%
'
$
(
&
)
!
$
!所以
/
%
'
&
(
&
#
/
%
'(
&
/
%
(
&
!
!!
一般地!我们将上述关系式作为条件概率的定义!
定义"
!
设'
"
(
为两个事件!且/
%
(
&
%
"
!则称
/
%
'
&
(
&
#
/
%
'(
&
/
%
(
&
%
!+&+!
&
为事件(
发生的条件下事件'
发生的条件概率%或'
关于(
的条件概率&
!
同时
习惯上称/
%
'
&为无条件概率!
易验证!条件概率/
%
'
$
(
&满足概率定义的三公理!即
%
!
&非负性!
"
1
/
%
'
$
(
&
1
!
'
%
$
&规范性!
/
%
"$
(
&
)!
'
%
%
&可列可加性!
设'
!
!
'
$
!,!
'
$
!,是两两互不相容的事件!则有
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第一章!
随机事件及其概率 !"
!!!
/
%
-
,
,
#
!
'
,
&
(
&
#
2
,
,
#
!
/
%
'
,
&
(
&
!
!!
由此可见!条件概率也是一个概率!它具有概率的一切性质!
如对任意事件'
!
'
!
!
'
$
!
(
!有
/
%
"&
(
&
#
!
!
!
/
%
'
&
(
&
#
!
4
/
%
)
'
&
(
&!
/
%
'
!
-
'
$
&
(
&
#
/
%
'
!
&
(
&
1
/
%
'
$
&
(
&
4
/
%
'
!
'
$
&
(
&
!
!!
注意!
/
(
'
)与/
(
'
$
(
)虽然都是针对事件'
发生的概率"但是不能混为一谈!
/
(
'
)是在一组条件下进行的随机试验中事件'
发生的概率"为此我们构造了一
个样本空间"
!
而/
(
'
$
(
)则是在%事件(
已经发生&的条件下"
'
发生的概率"故
计算/
(
'
$
(
)"除了原来的条件外"还附加了%
(
发生&的条件!
因此计算/
(
'
$
(
)
可以在缩小的样本空间"+
()(
中进行求解(若是古典概型"样本点容易算的
话)"当然也可以在原来样本空间"
中计算/
(
'(
)和/
(
(
)"然后利用条件概率的
定义进行计算!
例$
!
一批同型号的产品共!""
件!分别由甲"乙两厂生产!
其中甲厂生产的
正品%"
件"次品'
件!乙厂生产的正品'"
件"次品!'
件!
现从中任取一件产品!试
求)已知取到的产品是甲厂生产的条件下!它是次品的概率!
解!
记')
*取到次品+!
()
*取到甲厂的产品+
!
试验是从!""
件产品中任取
一件!对应的样本空间的基本事件总数$)!""!
显然!所求的概率为条件概率
/
%
'
$
(
&
!
事件'()
*取到的为甲厂产品且为次品+!由古典概型知
/
%
(
&
#
%'
!""
!
!
/
%
'(
&
#
'
!""
!
由条件概率的定义得
/
%
'
&
(
&
#
/
%
'(
&
/
%
(
&
#
'
3
!""
%'
3
!""
#
!
*
!
!!
当然!本例也可以在缩小的样本空间中!直接利用古典概型求得!即在#已知取
到的产品是甲厂生产的$这一条件下!相当于从甲厂生产的%'
件产品中任取一件!
其基本事件总数为%'
个!而事件%
'
$
(
&包含基本事件数有'
个!则由古典概型知
/
%
'
$
(
&
)
'
%'
)
!
*
!
很多情况下!若是古典概型!直接计算比利用条件概率公式计算更简便!
例%
!
盒中装有$$-!
个黑球及$$
个白球!现从中随机抽取$
个球!发现均
为同一颜色的球!
求这些球均为白球的概率!
解!
记()
*抽取的$
个球为同一颜色+!
')
*
$
个球均为白球+!则'()'!
!#
!!!
方法!
)直接计算法
因(
已发生!抽取到的这$
个球要么全为黑球!要么全为白球!故缩小后的样
本空间的样本点总数为)
$
$$
3)
$
$$-!
个!而有利于事件'
发生的样本点总数为)
$
$$
个!
由古典概型知
/
%
'
&
(
&
#
)
$
$$
)
$
$$
1
)
$
$$
4
!
#
%
$$
&2
%
$$
&2
1
%
$$
4
!
&2
@
$
#
$
%
!
!!
方法$
)条件概率定义法
先计算/
%
'(
&!
/
%
(
&
!
从盒中随机抽取$
个球共有)
$
&$-!
种方法!抽取的$
个
球是同一颜色的取法有)
$
$$
3)
$
$$-!
种方法!故
/
%
(
&
#
)
$
$$
1
)
$
$$
4
!
)
$
&$
4
!
!
!!
又因为抽取的$
个球全是白球的取法有)
$
$$
种!故
/
%
'(
&
#
/
%
'
&
#
)
$
$$
)
$
&$
4
!
!
于是由条件概率定义得
/
%
'
&
(
&
#
/
%
'(
&
/
%
(
&
#
)
$
$$
3
)
$
&$
4
!
%
)
$
$$
1
)
$
$$
4
!
&3
)
$
&$
4
!
#
)
$
$$
)
$
$$
1
)
$
$$
4
!
#
$
%
!
!!
例&
!
假设一种动物存活!'
年和$'
年的概率分别为"+1
和"+&
!现在它已经
存活了!'
年!求它再存活!"
年的概率!
解!
记')
*已存活了!'
年+!
()
*存活$'
年+!则所求概率为/
%
(
$
'
&!由条
件知/
%
'
&
)"+1
!
/
%
(
&
)"+&+
显然(
'
'
!因此
/
%
'(
&
#
/
%
(
&
#
"+&
!
于是
/
%
(
&
'
&
#
/
%
'(
&
/
%
'
&
#
"+&
"+1
#
"+'!
!!
定义$
!
当/
%
(
&
%
"
时!由条件概率定义/
%
'
$
(
&
)
/
%
'(
&
/
%
(
&
!有
/
%
'(
&
#
/
%
(
&
/
%
'
&
(
&
!
%
!+&+$
&
称公式%
!+&+$
&为概率的乘法公式!
对称地可得!当/
%
'
&
%
"
时!有
/
%
'(
&
#
/
%
'
&
/
%
(
&
'
&
!
%
!+&+%
&
!!
由式%
!+&+%
&容易推广到多个事件积的情况!
例如设'
!
(
!
)
这三个事件!且
/
%
'(
&
%
"
!则有
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随机事件及其概率 !$
!!!
/
%
'()
&
#
/
%
'
&
/
%
(
&
'
&
/
%
)
&
'(
&!
在这里!注意到由假设/
%
'(
&
%
"
可推导出/
%
'
&
#
/
%
'(
&
%
"!
一般地!设'
!
!
'
$
!,!
'
$
为$
个事件%
$
#
$
&!且/
%
'
!
'
$
,
'
$-!
&
%
"
!则有
/
%
'
!
'
$
,
'
$
&
#
/
%
'
!
&
/
%
'
$
&
'
!
&
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注意!
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)与/
(
'(
)好像都是(
发生'
也发生了"但两者有本质的
区别!
在计算条件概率/
(
'
$
(
)时"事件(
作为一个发生的条件参与进来"我们关
心的是在事件(
发生的条件下"事件'
发生的概率!
而在计算/
(
'(
)时"由于'(
是两个事件的交"它表示'
与(
同时发生"实际上是一个事件"因此我们面对的是
一个事件'(
发生的概率!
(
$
)在古典概型下"求/
(
'(
)可以利用乘法公式计算"也可以直接依据古典
概型的计算公式求得!
例'
!
箱子中装有'"
件产品!其中'
件为次品!其余为正品!
今无放回地随机
抽取&
次!每次取!
件!求第四次才取到正品的概率!
解!
记')
*第四次才取到正品+!
'
,
)
*第,
次取到正品+!
,)!
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&*
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!
!!
此例也可以直接用古典概型来计算!
无放回地随机抽取&
次!每次取!
件!共
有'"4&24&14&*
种方法!有利于事件#第四次才取到正品$发生的方式数为'4
&4%4&'
种!则由古典概型得该事件的概率为
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'"
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&*
#
2
!1&$&
!
与上面计算结果相同!
例+
!
罐中有5
个红球!
6
个黑球!从中任取一球!观察颜色后放回!并加进去
同色的球A
个!
若在盒中连取三次!试求第一"第二次取到红球!第三次取到黑球的
概率!
解!
记.
,
)
*第,
次取到红球+%
,)!
!
$
!
%
&!则/
.
%
表示事件#第三次取到黑
球$!于是所求概率为
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A
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A
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6
1
$A
!
!%
!!!
!!
此例也可以直接使用古典概型来计算!
该模型称为波利亚罐模型!
波利亚
%
!11*
4
!21'
&!美籍匈牙利数学家!他一生发表了$""
多篇论文和许多专著!在数
学的广阔领域内有精深的造诣!在实变函数"复变函数"概率论"数论"几何"微分方
程等若干领域做出了开创性的贡献!
这个模型曾被波利亚用来作为描述传染病的数
学模型!
当然这是一般的摸球模型!当A)"
时!则是有放回地摸球模型'当A)-!
时!则是无放回摸球模型!
"#&#$
!
全概率公式与贝叶斯公式
概率论的重要研究内容之一就是希望从简单事件的概率推算未知的复杂事件
的概率!
为达到这个目的!经常把一个复杂的事件分解为若干个两两互斥的简单事
件的和来表示!通过计算简单事件的概率!再利用概率的有限可加性和概率的乘法
公式最终得到结果!
全概率公式就是从已知简单事件的概率出发!推算出未知复杂
事件的概率公式!
为建立全概率公式!我们先引入样本空间的完备事件组的概念!
定义%
!
设"
为随机试验"
的样本空间!
'
!
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'
$
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'
$
为"
的一组事件!
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两两互斥!即对任意,
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则称'
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$
!,!
'
$
为样本空间"
的一个完备事件组或一个划分!
例如!抛掷一枚骰子观察其出现点数的试验!则'
!
)
*出现奇数点+与'
$
)
*出现偶数点+构成完备事件组'而(
!
)
*出现的点数小于%
+与(
$
)
*出现的点数
大于%
+就不是完备事件组!
若'
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!
'
$
!,!
'
$
是"
的完备事件组!那么在每次试验中!事件'
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$
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$
中必有一个且仅有一个发生!
定理"
!全概率公式"
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设'
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$
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'
$
是样本空间"
的一个完备事件组!且
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$
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$
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$
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'
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被分解成两两互斥的
事件之和!根据概率的有限可加性和乘法公式!可得
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学出版社
职教技术出版中心
www.abook.cn
第一章!
随机事件及其概率 !&
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的一个完备事件组'
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!
'
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'
$
!而完备事件组'
!
!
'
$
!,!
'
$
往往是影响事件(
发生的各种#原因$或各种#条
件假设$
!
可见!全概率公式是由#原因$推断#结果$的概率计算公式!
全概率公式体
现了#化整为零!各个击破$的解题思想!
例,
!
袋中有!"
个球!其中%
个为白球!
*
个为黑球!现从中不放回地抽取!每
次随机抽取!
个球!试求)
%
!
&第二次抽到白球的概率'
%
$
&第三次抽到白球的概率!
解!
%
!
&以'
表示第一次抽到白球!
(
表示第二次抽到白球!则'
!
)
'
组成完
备事件组!且
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分别表示前两次取到的球为
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由古典概型得
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本例用全概率公式计算!再次说明了每次抽到白球的概率与抽取的次序无关!
仅与白球所占的比率有关!即#抽签的公平性原理$
!
例-
!
设某工厂有甲"乙"丙%
个车间生产同一型号产品!产品依次占全厂的
!'
!!!
&'7
"
%"7
"
$'7
!且各车间的次品率分别为&7
"
$7
"
!7!
现从全厂的产品中随机
抽取一件!求该产品是次品的概率!
解!
设(
表示抽取的产品是次品!
'
!
!
'
$
!
'
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分别表示甲"乙"丙车间生产的
产品!则'
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!!
例.
!
在例1
中!若已知抽到的产品为次品!试求这件产品分别是甲"乙"丙车
间生产的概率!
解!
利用例1
已设的事件!事件(
已经发生!要求的是%
个条件概率/
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显然/
%
'
!
$
(
&最大!故若已知抽取到的为次品!则是甲车间生产的可能性最大!
一般地!对这类问题可归纳为下述定理!
定理$
!贝叶斯公式"
!
设随机试验"
的样本空间为"
!
'
!
!
'
$
!,!
'
$
是"
的
一个完备事件组!则对任一事件(
!当/
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科
学出版社
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第一章!
随机事件及其概率 !*
!!!
称此公式为贝叶斯公式!也称为逆概率公式!
贝叶斯公式求解的是条件概率!
若事件(
表示试验结果!事件组'
!
!
'
$
!,!
'
$
表示事件(
发生的各种#原因$或#条件假设$!则贝叶斯公式用于探求#结果$
(
发生的各种#原因$
'
,
发生的可能性大小!
可见!全概率公式是由#原因$推断#结
果$的概率计算公式!而贝叶斯公式是由#结果$推断#原因$的概率计算公式!
无条件概率/
%
'
*
&称为#假设$
'
*
的验前概率或先验概率!它反映了各种原因
发生的可能性大小!往往是根据以往的经验!在实验前就已经确定!
现在若试验产
生了事件(
!这一信息将有助于探究事件(
发生的#原因$
!'
*
在#结果$
(
发生条
件下的条件概率/
%
'
*
$
(
&称为#假设$
'
*
的验后概率或后验概率!它反映了试验
后对各种#原因$发生的可能性大小的新见解!
例"/
!
假设一项血液化验用于诊断某种疾病!它以2'7
的概率将带菌病人检
出阳性!但也有!7
的概率误将健康人检出阳性%称为伪阳性&
!
统计资料表明!该
种疾病的患者在人口中的比重为"+'7
!试求这种血液化验呈阳性的人确实患有
此种疾病的概率!
解!
设'
表示#患者$!
(
表示#检查呈阳性$!则)
'
表示#非患者$!由已知条件
可得
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"+""'
@
"+2'
1
"+22'
@
"+"!
4
"+%$%!
!!
例!"
的计算结果表明!用这种验血方法!尽管对于确实患有这种疾病的确诊
率为2'7
!然而在化验呈阳性的人群中平均有(*+*7
没有患这种疾病!即用这种
方法进行诊断!把未患这种疾病的人误诊断为患者的概率高达(*+*7
!而在检查
结果呈阳性的人中!真正患病的人为%$+%7
!不到!
3
%
!这有点让人不可思议!
下面
我们用一组直观数据进行分析!
因为该病的患病率很低!仅为"+'7
!也就是说在!""""
个人中!约有'"
个人
有病!而22'"
人是健康的!
对该!""""
人进行化验检查!在22'"
个健康人中!约
有22'"4"+"!
4
!""
个人被错检呈现阳性!而在'"
个真正患病者!约有'"4
"+2'
4
&1
个人被检为呈阳性!因此血液检查呈阳性的共有!""3&1)!&1
个人!这
!&1
个血液被检查呈阳性的人中!真正患病的有&1
人!约占%$7!
经过分析可以看出!
/
%
'
$
(
&之所以很小!主要是因为人群中该疾病的患病率
很小2如果其他条件不变!增大/
%
'
&!则相应的概率/
%
'
$
(
&会随之增大!
例""
!
商店的玻璃杯成箱出售!每箱$"
只!假设各箱中含"
!
!
!
$
只残次品的
"+
!!!
概率分别为"+1
!
"+!
和"+!!
有一顾客欲购一箱玻璃杯!在购买时!售货员随机取
一箱!顾客开箱随机察看了其中&
只!若无残次品!则买下该箱玻璃杯'否则退回!
试求)
%
!
&顾客买下所察看的一箱的概率'
%
$
&在顾客买下的一箱中!确实没有残次品的概率!
解!
记()
*顾客买下所察看的一箱+!
'
,
)
*箱中恰有,
只残次品+%
,)"
!
!
!
$
&
!
显然'
"
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'
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(
&
!
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箱中装有!"
个黑色球和$
个白色球!从中任意取两次!每次取一个!取后不放回!求)
%
!
&第三次取到白色球的概率'
%
$
&第三次才取到白色球的概率!
'+
假设一批产品中一"二"三等品各占("7
!
%"7
!
!"7
!从中任取一件!结果不是三等品!
求取到的是一等品的概率!
(+
已知甲袋中装有(
件正品"
&
件次品!乙袋中装有1
件正品"
(
件次品!求下列事件的
概率)
%
!
&随机地取一个袋子!再从该袋中随机地取一件产品!该产品是正品的概率'
%
$
&合并两个袋子!从中随机地取一件产品!该产品是正品的概率!
*+
某保险公司把火灾保险的客户分为#易发$和#偶发$两类!
该公司的统计资料表明!#易
发$客户占%"7
!一年内索赔的概率为!"7
'#偶发$客户占*"7
!一年内索赔的概率为$7!
假
科
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第一章!
随机事件及其概率 "(
!!!
设现有一客户向保险公司索赔!试分别求该客户为#易发$和#偶发$客户的概率!
*
组
!+
设/
%
/
'
&
)"+%
!
/
%
(
&
)"+&
!
/
%
'
/
(
&
)"+'
!求条件概率/
%
(
$
'
-
/
(
&
!
$+
已知'
!
(
为任意两事件!试证明)若/
%
(
$
'
&
1
/
%
(
&!则有
/
%
'
&
(
&
1
/
%
'
&
!
!!
%+
为防止意外!在矿内同时设有两种报警系统'
与(
!每种系统单独使用时!其有效的概
率分别为"+2$
和"+2%
!在'
失灵的条件下!
(
有效的概率为"+1'
!求)
%
!
&发生意外时!这两个报警系统至少有一个有效的概率'
%
$
&
(
失灵的条件下!
'
有效的概率!
&+
在一个每题答案有&
种选择的测验中!只有一种答案是正确的!学生不知道正确答案
时!他就会做随机猜测!
倘若我们假定一名学生确实懂了和胡乱猜测的概率都是"+'
!现在从卷
子上看某道题做对了!求该学生对该题确实是懂了的概率!
'+
商店有电冰箱!"
台!其中有%
件是返修品!其余为优质品!
顾客去挑选时!商店已售出$
台!该顾客从余下的1
台中任选购一台!试求)
%
!
&该顾客购得优质电冰箱的概率'
%
$
&若已知顾客购到的是优质电冰箱!则已售出的两台都是返修品的概率!
(+
从过去的资料知!在出口罐头导致索赔事件中!有'"7
是质量问题!有%"7
是数量问题!
有$"7
是包装问题!
又知在质量问题争议中!经过协商不诉诸法律的占&"7
'在数量问题中!经
过协商解决的占("7
'在包装问题中!经过协商解决的占*'7!
如果一件索赔事件!在争议中经
过协商解决了!问这一案件不属于质量问题的概率是多少(
!"#'
!
事件的独立性和伯努利概型
独立性是概率论的又一个重要的概念!
利用独立性不仅可以简化概率的计算!
而且许多概率模型是以独立性为前提条件!
本节先介绍事件独立性的概念!在此基
础上再介绍伯努利概型!
"#'#"
!
两个事件的相互独立性
设'
!
(
是随机试验"
的两个随机事件!一般地!事件'
发生对事件(
发生
的概率是有影响的!这时/
%
(
$
'
&
3
/
%
(
&
!
但是当这种影响不存在时!也就是说
事件'
发生与否不影响事件(
发生的概率时!则有/
%
(
$
'
&
)/
%
(
&!这就是两
个事件'
!
(
的独立性!这种现象在实际生活中大量存在!如下面有放回地袋中
取物问题!
例"
!
设袋中装有*
个黑球和%
个白球!今有放回地随机抽取两次!每次抽取
一个!
设')
*第一次取到黑球+!
()
*第二次取到黑球+
!
试求/
%
'
&!
/
%
(
&!
/
%
'(
&!
/
%
(
$
'
&!
/
%
(
$
)
'
&
!
"!
!!!
解!
由古典概型知
/
%
'
&
#
/
%
(
&
#
*
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%
'(
&
#
*
@
*
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!"
#
&2
!""
!
!
/
%
)
'(
&
#
%
@
*
!"
@
!"
#
$!
!""
!
于是!由条件概率的定义得
/
%
(
&
'
&
#
/
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'(
&
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'
&
#
*
!"
#
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(
&
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'
&
#
/
%
)
'(
&
/
%
)
'
&
#
*
!"
#
/
%
(
&
!
!!
直观地!由于采用有放回地取球!因此不管第一次是否取到黑球!都不会影响
第二次取到黑球的概率!即事件'
是否发生不影响事件(
发生的概率!体现在
/
%
(
$
'
&
)/
%
(
&
!
当事件'
的发生不影响事件(
发生的概率!即/
%
(
$
'
&
)/
%
(
&时!显然有
/
%
'(
&
)/
%
'
&
/
%
(
&!又/
%
'(
&
)/
%
(
&
/
%
'
$
(
&!由此可得/
%
'
&
)/
%
'
$
(
&!即
事件(
的发生不影响事件'
发生的概率!
可见独立性是相互的!都等价于/
%
'(
&
)
/
%
'
&
/
%
(
&
!
下面给出两事件相互独立的定义!
定义"
!
若两个事件'
!
(
满足
/
%
'(
&
#
/
%
'
&
/
%
(
&!
则称事件'
与(
相互独立!简称'
与(
独立!否则称事件'
与(
不独立或相依!
注意!
(
!
)%两个事件'
与(
互不相容&与%两个事件'
与(
相互独立&是完全不同
的概念!'
与(
互不相容是指'
与(
在任何一次试验中都不会同时发生"此时
'()
&
!
而'
与(
相互独立是指一个事件发生是否不影响另一事件发生的概率"
此时/
(
'(
)
)/
(
'
)
/
(
(
)
!
(
$
)当/
(
'
)
%
"
"
/
(
(
)
%
"
时"若'
'
(
互不相容"则'
'
(
一定不独立*如果
'
'
(
相互独立"则'
'
(
一定相容"即'
'
(
独立与'
'
(
互不相容不能同时成立!
容
易证明"必然事件以及不可能事件与任何事件独立!
定理"
!
若事件'
与(
相互独立!则下列事件也相互独立!
'
与/
(
!
!
)
'
与(
!
!
)
'
与/
(!
!!
证明!
因为/
%
'
/
(
&
)/
%
'-(
&
)/
%
'
&
-/
%
'(
&
!
由事件'
与(
相互独立!知
/
%
'(
&
#
/
%
'
&
/
%
(
&!
代入上式得
/
%
'
/
(
&
#
/
%
'
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(
&
#
/
%
'
&
4
/
%
'(
&
#
/
%
'
&
4
/
%
'
&
/
%
(
&
#
/
%
'
&.
!
4
/
%
(
&/
#
/
%
'
&
/
%
/
(
&!
因此'
与/
(
相互独立!
由此易推得!
)
'
与/
(
相互独立!
再由5
()(
!又推出)
'
与(
科
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第一章!
随机事件及其概率 ""
!!!
也相互独立!
"#'#$
!
多个事件的相互独立性
两个事件的独立性!可推广到多个事件的情形!
我们先定义%
个事件的独立性!
定义$
!
对于%
个事件'
!
(
!
)
!如果满足下列等式
/
%
'(
&
#
/
%
'
&
/
%
(
&
/
%
()
&
#
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(
&
/
%
)
&
/
%
')
&
#
/
%
'
&
/
%
)
6
7
8
&
/
%
'()
&
#
/
%
'
&
/
%
(
&
/
%
)
&!
%
!+'+!
&
则称事件'
!
(
!
)
相互独立!
由两个事件独立性的定义知!若式%
!+'+!
&成立!则'
与(
!
(
与)
!
)
与'
均
相互独立!此时称'
!
(
!
)
两两相互独立!
显然!
'
!
(
!
)
相互独立!则它们一定是两
两相互独立!但反之不真!
例$
!
一个均匀的正四面体!其第一面染成红色!第二面染成白色!第三面染
成黑色!而第四面同时染上红"白"黑%
种颜色!
现将此正四面体抛掷一次!若以'
!
(
!
)
分别表示正四面体出现红"白"黑颜色朝下的事件!
证明)事件'
!
(
!
)
两两相
互独立!但'
!
(
!
)
不相互独立!
证明!
由于在正四面体中两面有红色!因此
/
%
'
&
#
!
$
!
同理!
/
%
(
&
)
!
$
!
/
%
)
&
)
!
$
!
容易算出
/
%
'(
&
#
!
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&
#
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&
!
!
/
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!
&
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'()
&
#
!
&
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!+'+!
&成立!即
/
%
'(
&
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/
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'
&
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(
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/
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')
&
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&
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!
/
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&
#
/
%
(
&
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)
&!
故'
!
(
!
)
两两相互独立!
但/
%
'()
&
)
!
&
3
!
$
4
!
$
4
!
$
)/
%
'
&
/
%
(
&
/
%
)
&!因此
'
!
(
!
)
不是相互独立!
对$
个事件的独立性!有类似的定义!
定义%
!
设'
!
!
'
$
!,!
'
$
%
$
#
$
&为$
个事件!如果对于所有可能的组合!
1
,
0
3
0
*
0
,
1
$
!成立着
/
%
'
,
'
3
&
#
/
%
'
,
&
/
%
'
3
&!
/
%
'
,
'
3
'
*
&
#
/
%
'
,
&
/
%
'
3
&
/
%
'
*
&!
,
!
,
!
,
"#
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/
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'
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,
'
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&
#
/
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'
!
&
/
%
'
$
&,
/
%
'
$
&! %
!+'+$
&
则称$
个事件'
!
!
'
$
!,!
'
$
相互独立!
由定义可得下面结论)
%
!
&若'
!
!
'
$
!,!
'
$
%
$
#
$
&相互独立!则其中任意B
%
$
1
B
1
$
&个事件也相互
独立!
%
$
&与定理!
类似!若'
!
!
'
$
!,!
'
$
%
$
#
$
&相互独立!则将该事件组中的任意
多个事件换为其对立事件后!所得到的$
个事件仍然相互独立!
在解决实际问题中!对于事件的独立性常常不是利用独立性的定义来验证!而
是根据事件的实际意义来判定!
一般地!若由实际情况分析!事件之间没有关联或
关联很微小时!就认为它们是相互独立!
例如两工人分别在甲"乙两车床上互不干
扰地操作!则事件')
*甲车床出次品+与事件()
*乙车床出次品+是相互独立的'
又如若分别用'
!
(
表示甲"乙两人患感冒!如果甲"乙两人活动范围相距甚远!就
认为'
!
(
相互独立'若两人是同住在一个房间里!那就不能认为事件'
!
(
相互
独立!
在实际应用中!利用独立性的定义可以简化概率的计算!如若'
!
!
'
$
!,!
'
$
相互独立!则有
/
%
'
!
-
'
$
-
,
-
'
$
&
#
!
4
/
%
'
!
-
'
$
-
,
-
'
$
&
#
!
4
/
%
)
'
!
)
'
$
,
)
'
$
&
#
!
4
/
%
)
'
!
&
/
%
)
'
$
&,
/
%
)
'
$
&!
而且相互独立的事件越多!这种运算方式的优越性就越大!
例%
!
设事件'
!
(
!
)
相互独立且概率相等!
/
%
'
-
(
-
)
&
)
*
1
!求/
%
'
&
!
解!
设/
%
'
&
)/
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(
&
)/
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)
&
)
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!则/
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'
&
)!-
2
!于是
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%
'
-
(
-
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&
#
!
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'
-
(
-
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&
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!
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/
%
)
'
&
/
%
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(
&
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/
)
&
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!
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%
!
4
2
&
%
#
*
1
!
即%
!-
2
&
%
)
!
1
!解得2
)
!
$
!
例&
!
设某车间有%
台车床!在一小时内机器不需要工人维护的概率分别是
"+2
!
"+1
和"+1'!
求一小时内%
台车床至少有一台不需要工人维护的概率!
解!
记')
*
%
台车床至少有一台不需要工人维护+!
'
,
)
*第,
台车床不需要
工人维护+%
,)!
!
$
!
%
&
!
由实际意义知!
'
!
!
'
$
!
'
%
相互独立!
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科
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第一章!
随机事件及其概率 "$
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&
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'
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'
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'
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&
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$
&
/
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)
'
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&
#
!
4
"+!
@
"+$
@
"+!'
#
"+22*!
!
图!+'+!
!!
例'
!
一个元件能正常工作的概率称
为该元件的可靠度!由元件组成的系统能
正常工作的概率称为该系统的可靠度!
设
构成系统的每个元件的可靠度均为-
%
"
0
-
0
!
&!且各元件能否正常工作是相互独立
的!试求图!+'+!
所示由$$
个元件组成的
系统可靠度2
!
解!
解法!
)
以'
,
表示#第,
个元件正常工作$!则有/
%
'
,
&
)-
%
,)!
!
$
!,!
$$
&!且事件
'
!
!
'
$
!,!
'
$$
相互独立!
因每条串联电路能正常工作!当且仅当这$
个串联的元
件都正常工作!所以每条串联电路的可靠性为
/
%
'
!
'
$
,
'
$
&
#
/
%
'
!
&
/
%
'
$
&,
/
%
'
$
&
#
-
$
!
!!
由于系统是由两条串联电路并联而成的!当且仅当两串联电路同时发生故障
时!系统才不能正常工作!
而每条串联电路发生故障的概率为!--
$
!所以两条串
联电路同时发生故障的概率为%
!--
$
&
$
!
于是系统的可靠度为
2
#
!
4
%
!
4
-
$
&
$
#
-
$
%
$
4
-
$
&
!
!!
解法$
)
以'
表示#整个系统正常工作$!其他事件的设定同上!
则有
'
#
%
'
!
'
$
,
'
$
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-
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'
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'
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于是
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,
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-
$
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$$
#
-
$
%
$
4
-
$
&
!
!!
系统可靠性的计算!关键是事件的表示!串联对应于事件的交运算!并联对应
于事件的并运算!
例+
!
小张与小王对同一目标轮流射击!当一人没有命中目标后!另一人可继
续射击!直到有人命中目标为止!先命中目标者获胜!
设两人命中目标的概率均为
2
%
"
0
2
0
!
&
!
若小张先打第一枪!计算两人获胜的概率!
解!
记事件'
,
)
*第,
次射击命中目标+%
,)!
!
$
!,&!
()
*小张获胜+!
))
*小王获胜+!则/
%
'
,
&
)
2
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%
)
'
,
&
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2
)
>
!
因为小张先打第一枪!所以
(
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又因为各次射击是独立的!所以得
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!即/
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(
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/
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)
&
!
虽然两人的命中率一样!但
是先打第一枪的小张获胜的可能性比小王大!
这说明在某些运动!如乒乓球"棋类
等对抗赛比赛中!先开球或先开局能形成较大的优势!因此需要通过抽签或公平分
配发球次序来解决这个问题!
"#'#%
!
伯努利概型与二项概率公式
为研究随机现象的统计规律性!需要做一系列的试验!
若随机试验"
只有两
个可能的结果)
'
及)
'
!我们称这样的试验为伯努利!
*01234556
"试验!
若/
%
'
&
)
2
%
"
0
2
0
!
&!则/
%
)
'
&
)!-
2
!
在生活中!伯努利试验的例子很多!如掷一枚硬币一次!只有*出现正面+与*出
现反面+两种结果'对某目标射击一次!只有*击中目标+与*没有击中目标+两种结
果'从一批产品中任取一件!也只有*产品为次品+和*产品为合格品+两种结果!
有
的试验结果尽管不止两个!但若试验中仅关心某一事件'
是否发生!则试验也可
归为伯努利试验!
如掷一枚骰子一次!其基本结果有(
个!但若关心出现的点数是
否为奇数点时!则试验的结果就只有两个)*奇数点+和*偶数点+
!
把伯努利试验"
在相同的条件下独立重复地进行$
次!则称这一串重复的独
立试验为!
重伯努利试验!或称为伯努利概型!
它的具体特征如下)
科
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第一章!
随机事件及其概率 "&
!!!
%
!
&每次试验只出现两个可能的结果之一)
'
或)
'
'
%
$
&
'
在每次试验中出现的概率2
保持不变'
%
%
&每次试验相互独立!即每次试验事件'
发生与否与其他各次试验'
发生
与否互不影响'
%
&
&试验可重复进行$
次!
$
重伯努利试验是一种很重要的数学模型!是研究最多的模型之一!
在实际中
有着广泛的应用!把一枚质地均匀的硬币在相同的条件下独立地重复抛掷$
次就
是$
重伯努利试验!
对于$
重伯努利试验!我们关心的是事件'
恰好出现*
%
"
1
*
1
$
&次的概率是
多少(若记(
*
)
*
$
重伯努利试验中事件'
恰好出现*
次+!则有如下定理!
定理$
!伯努利定理"
!
在一次试验中事件'
出现的概率为2
%
"
0
2
0
!
&!则在
$
重伯努利试验中!事件'
恰好出现*
次的概率为
/
%
(
*
&
#
)
*
$2
*
%
!
4
2
&
$
4
*
!
%
*
#
"
!
!
!
$
!,!
$
&
!
该概率公式称为二项概率公式!因为它正好是二项式.
2
3
%
!-
2
&/
$ 展开式的
通项!
证明!
因每次试验相互独立!故在$
次试验中!事件'
在固定*
次出现且其
余$-*
次'
不出现的概率为2
*
%
!-
2
&
$-*
!
由于#事件'
恰好出现*
次$可以是$
次中的任意*
次!而从$
次中抽选*
次的方法共有)
*
$
种!根据概率的有限可加性!
可得
/
%
(
*
&
#
)
*
$2
*
%
!
4
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&
$
4
*
!
%
*
#
"
!
!
!
$
!,!
$
&
!
!!
例,
!
把一枚质地均匀的硬币连续独立抛掷!"
次!求恰有'
次出现正面和至
多有两次出现正面的概率!
解!
每次抛掷只有两种可能结果)
')
*出现正面+!
)
')
*出现反面+!而每次抛
掷试验中/
%
'
&
)"+'
!因此这是一个!"
重伯努利试验!
故所求概率为
/
%
(
'
&
#
)
'
!"
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%
"+'
&
'
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%
!
4
"+'
&
'
#
)
'
!"
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%
"+'
&
!"
#
"+$&(!
由概率的有限可加性!可得
/
%至多有两次出现正面&
#
/
%
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1
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1
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%
"+'
&
!"
1
)
$
!"
@
%
"+'
&
!"
#
"+"''!
!!
例-
!
对某种药物的疗效进行研究!假定这药物对某种疾病的治愈率2
)"+1
!
有!"
个患此病的病人同时服用这种药!求其中至少有(
个病人能治愈的概率$
!
解!
任一病人服用该药只有两种可能结果)
')
*治愈+!
)
')
*没治愈+!而
/
%
'
&
)"+1!
因每个病人服药后是否治愈是彼此独立的!所以这是一个!"
重伯努
"'
!!!
利试验!
根据概率的有限可加性!所求事件的概率为
$#
2
!"
*
#
(
/
%
(
*
&
#
2
!"
*
#
(
)
*
!"
@
"+1
*
@
%
!
4
"+1
&
!"
4
*
#
"+2*!
!!
例.
!
甲"乙两选手比赛!每局比赛甲胜的概率为"+(
!乙胜的概率为"+&+
若
各局胜负相互独立!问对甲而言!采用三局二胜制有利!还是采用五局三胜制有利(
解!
记')
*每一局甲胜+!则/
%
'
&
)"+(
!且事件#三局二胜制中甲获胜$等
价于%
重伯努利试验中事件'
至少发生两次!故在三局二胜制中!甲获胜的概率
为
2
!
#
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1
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1
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"
#
"+(&1!
同理!在五局三胜制中!甲获胜的概率为
2
$
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)
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@
"+(
'
@
"+&
"
#
"+(1$(!
因为2
$
%
2
!
!所以采用五局三胜制对甲更有利!
从以上计算可以看出!局制较长对胜率较高的选手有利!
一般地!胜率高的选
手都希望局制长些以便稳定发挥!而胜率低的选手希望在短局制中侥幸取胜!
习题()$
)
组
!+
已知'
!
(
相互独立!且/
%
'
&
)"+&
!
/
%
(
&
)"+'
!试求)
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%
'
-
(
&
)"+*
!分别按以下条件求/
%
(
&
!
%
!
&若'
!
(
互不相容'
%
$
&若'
!
(
相互独立!
%+
设'
!
(
是任意两事件!其中'
的概率不等于"
和!
!证明)事件'
!
(
相互独立的充分必
要条件是/
%
(
$
'
&
)/
%
(
$
/
'
&
!
&+%
个人独立破译一密码!他们能独立译出的概率分别是"+$'
!
"+%'
!
"+&
!求此密码被破译
出的概率!
'+
设甲"乙两个射手每次射击命中目标的概率分别为"+1
和"+*
!现两人独立地对同一目
标射击一次!
%
!
&求目标被击中的概率'
图!+'+$
!
%
$
&若已知目标被击中!求甲命中的概率!
(+
设有&
个独立工作的元件!它们正常工作的概率均
为2
!将它们按图!+'+$
的方式连接!求这个系统正常工作
的概率!
*+
假设一部机器在一天内发生故障的概率为"+$
!机
科
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第一章!
随机事件及其概率 "*
!!!
器发生故障时全天停止工作!若一周'
个工作日里每天是否发生故障相互独立!试求一周'
个
工作日里恰好发生了%
次故障的概率!
1+
从次品率2
)"+$
的一批产品中!有放回地抽取'
次!每次抽取一件!分别求抽到的'
件
中恰好有两件次品以及至多有两件次品的概率!
2+
设某人打靶的命中率为"+*
!现独立重复地射击'
次!求恰好命中两次的概率是多少(
*
组
!+
设在%
次独立试验中事件'
出现的概率相等!若已知'
至少出现一次的概率等于!2$*
!求
事件'
在每次试验中出现的概率(
$+
对某一目标依次进行%
次独立的射击!设第一"第二"第三次射击命中的概率分别为
"+&
!
"+'
和"+*
!试求)
%
!
&
%
次射击中恰好有一次命中的概率'
%
$
&
%
次射击至少有一次命中的概率!
%+
某人向一目标进行射击!设每次射击的命中率为"+$
!问至少必须进行多少次独立射击!
才能使至少击中一次的概率不小于"+22
(
&+
甲"乙两人投篮!投中的概率分别为"+(
!
"+*!
今各投了%
次!求)
%
!
&两人投中的次数相等的概率'
%
$
&甲比乙投中的次数多的概率!
'+
甲"乙"丙"丁&
人猜出某灯谜的概率分别为"+&
!
"+%
!
"+$
!
"+!
!他们独立猜灯谜!求)
%
!
&灯谜被猜中的概率'
%
$
&只有一人能猜中的概率!
(+
制造一种零件可采用两种工艺!第一种工艺有%
道工序!每道工序的废品率分别为"+!
!
"+$
!
"+%
'第二种工艺有两道工序!每道工序的废品率都是"+%+
如果使用第一种工艺!在合格零
件中!一级品率为"+2
!而用第二种工艺!合格品中的一级品率只有"+1!
试问哪一种工艺能保证
得到一级品的概率较大(
*+
甲"乙"丙%
导弹同时向同一敌机射击!甲"乙"丙击中敌机的概率分别为"+&
!
"+'
!
"+*+
如果只有一弹击中!飞机坠落的概率为"+$
'如果只有两弹击中!飞机坠落的概率为"+(
'如果三
弹击中!飞机坠落的概率为"+2
!求)
%
!
&飞机坠落的概率'
%
$
&如果飞机坠落!是两弹击中的概率!
复习题一
一#填空题
!+
设'
!
(
!
)
为%
个随机事件!则事件#
'
!
(
!
)
至少有一发生$可表示为 !事件#
'
发生但(
!
)
都不发生$可表示为!
$+
掷一枚骰子!事件')
*出现奇数点+!事件()
*出现点数不超过%
+!则事件'-(
表示
!
%+
对某一目标接连进行三次射击!记'
,
)
*第,
次射击命中目标+!%
,)!
!
$
!
%
&!则事件*三
#+
!!!
次射击至少有一次命中目标+可表示为 !事件*三次射击恰好命中两次+可表示为
!事件*三次射击均未命中目标+可表示为 !事件*三次射击只有第一次命中目
标+可表示为!
&+
已知/
%
'
&
)"+*
!
/
%
'-(
&
)"+%
!则/
%
'(
&
) !
'+
设事件'
!
(
互不相容!且/
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'
&
)"+&
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(
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!则/
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'
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(
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) !
*+
若(
(
'
且/
%
'
-
(
&
)"+*
!则/
%
(
&
) !
1+
若事件'
!
(
相互独立!且/
%
'
&
)"+(
!
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%
(
&
)"+$
!则/
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'
-
(
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) !
2+
已知/
%
'
&
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&
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%
(
$
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&
)
!
%
!
/
%
'
$
(
&
)
!
$
!则'
!
(
至少有一个发生的概率为
!
!"+
设两个相互独立的事件'
和(
都不发生的概率为!
2
!
'
发生(
不发生的概率与(
发
生'
不发生的概率相等!则/
%
'
&
) !
!!+
若随机事件'
与(
互不相容!且')(
!则/
%
'
&
) !
!$+
设'
!
(
!
)
相互独立!且/
%
'
&
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(
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)
&
)
!
%
!则/
%
'
-
(
-
)
&
) !
!%+
甲"乙两人独立地向同一目标各射击一次!其命中率分别为"+(
和"+'!
现已知目标被
击中!则目标是乙击中的概率为!
!&+
已知男性有"+'7
是色盲患者!女性有"+$'7
是色盲患者!
今从男女人数相等的人群中
随机地挑选一人!恰是色盲患者!则此人是男性的概率为!
!'+
某宾馆大楼有&
部电梯!通过调查!知道在某时刻!各电梯正在运行的概率均为"+*'
!
则在此时恰有一半电梯在运行的概率为 !至少有一部电梯在运行的概率为!
!(+
一批产品共有!"
件正品和$
件次品!任意抽取两次!每次抽取一件!取后不放回!则第
二次抽出的是次品的概率为!
!*+
设工厂'
和工厂(
的产品的次品率分别为!7
和$7
!现从由'
和(
的产品分别占
("7
和&"7
的一批产品中随机抽取一件!发现是次品!则该产品是工厂'
生产的概率为
!
!1+
一小组有1
个学生!则这1
个学生的生日都不相同的概率为 %设一年为%('
天&
!
!2+
将一枚硬币重复掷$)$*3!
次!则正面出现的次数多于反面出现的次数的概率为
!
$"+
某人有一笔资金!他投入基金的概率为"+'1
!购买股票的概率为"+$1
!两项投资都做的
概率为"+!2+
则已知他已投入基金!再购买股票的概率是 '已知他已购买股票!再投入
基金的概率是!
$!+
若事件'
!
(
相互独立且互不相容!则9:0
*
/
%
'
&!
/
%
(
&+
) !
$$+
两两独立的%
个事件'
!
(
!
)
满足条件)
'())
&
!
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'
&
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%
(
&
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)
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$
!且
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'
-
(
-
)
&
)
2
!(
!则/
%
'
&
) !
科
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第一章!
随机事件及其概率 #(
!!!
$%+
设'
!
(
!
)
为随机事件!
'
!
)
互不相容!
/
%
'(
&
)
!
$
!
/
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)
&
)
!
%
!则/
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'(
$
/
)
&
)
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$&+
设/
%
'
&
)"+2
!
/
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&
)"+2'
!
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%
(
$
)
'
&
)"+1'
!则/
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'
$
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(
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) !
$'+
假设随机事件'
!
(
相互独立!且/
%
'
&
)/
%
/
(
&
)5-!
!
/
%
'
-
(
&
)
*
2
!则5)
!
$(+
袋中有'"
个乒乓球!其中$"
个是黄球!
%"
个是白球!今有两人依次随机地从袋中各取
一球!取后不放回!则第二人取得黄球的概率为!
$*+
设随机事件'
!
(
及其和事件'
-
(
概率分别为"+&
!
"+%
!
"+(
!那么积事件'
/
(
的概率
/
%
'
/
(
&
) !
$1+
某条公共汽车线路共有!!
个停车站!始发站时共有1
名乘客!假设1
名乘客在各站下
车的概率相同%始发站除外&!则1
人都在不同的站下车的概率为 !
1
人都在同一站下车
的概率为 !
1
人中恰好有%
人在终点站下车的概率为!
$2+
据资料表明!某三口之家患某种传染病!孩子得病的概率为"+(
!在孩子得病的条件下!
母亲得病的概率为"+'
!在孩子及母亲得病的条件下!父亲得病的概率为"+&
!则母亲及孩子得
病但父亲未得病的概率为!
二#选择题
!+
从一批由*
件正品"
%
件次品组成的产品中任取%
件产品!则其中恰有!
件次品的概率
为%
!!
&
!
%
;
&
$!
&"
'
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&
$"
&"
'
!!!!!
%
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&
!2
&"
'
!!!!!
%
>
&
!!
&"
!
$+
某超市进行有奖销售!投放!""
张奖券!其中只有!
张有奖!每位顾客可抽!
张!则第
*
%
!
1
*
1
$
&位顾客中奖的概率为%
!!
&
!
%
;
&
!
*
' %
<
&
!
!""
' %
=
&与*
有关' %
>
&以上都不对!
%+
掷两枚匀称的骰子!则两次点数之和为'
的概率为%
!!
&
!
%
;
&
!
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&
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2
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为随机事件!且/
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&以上都不对!
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两两独立!则下列式子不正确的是%
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&充分条件' %
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&必要条件' %
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&充要条件' %
>
&以上都不对!
*+
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(
&
!
1+
对于任意事件'
!
(
!若'
'
(
!则下列等式不成立的是%
!!
&
!
%
;
&
'
-
()(
' %
<
&
'-()
&
'
%
=
&
)
'
-
/
()
/
(
' %
>
&
'
/
()
&
!
2+
当事件'
!
(
同时发生时!事件)
必发生!则%
!!
&
!
%
;
&
/
%
)
&
)/
%
'(
&' %
<
&
/
%
)
&
)/
%
'
-
(
&'
%
=
&
/
%
)
&
1
/
%
'
&
3/
%
(
&
-!
' %
>
&
/
%
)
&
#
/
%
'
&
3/
%
(
&
-!!
!"+
已知"
0
/
%
(
&
0
!
且/
%%
'
!-
'
$
&
$
(
&
)/
%
'
!$
(
&
3/
%
'
$$
(
&!则下列选项成立的是
%
!!
&
!
%
;
&
/
%%
'
!-
'
$
&
$
/
(
&
)/
%
'
!$
/
(
&
3/
%
'
$$
/
(
&'
%
<
&
/
%
'
!
(
-
'
$
(
&
)/
%
'
!
(
&
3/
%
'
$
(
&'
%
=
&
/
%
'
!-
'
$
&
)/
%
'
!$
/
(
&
3/
%
'
$$
/
(
&'
%
>
&
/
%
(
&
)/
%
'
!
&
/
%
(
$
'
!
&
3/
%
'
$
&%
(
$
'
$
&
!
!!+
某人向同一目标独立重复射击!每次命中目标的概率为2
%
"
0
2
0
!
&!则此人第四次射
击恰好第二次命中目标的概率为%
!!
&
!
%
;
&
%
2
%
!-
2
&
$
' %
<
&
(
2
%
!-
2
&
$
'
%
=
&
%
2
$
%
!-
2
&
$
' %
>
&
(
2
$
%
!-
2
&
$
!
三#计算题
!+
设!"
件产品中有&
件不合格!从中任取两件!已知所取两件中有一件产品是不合格品!
求另一件也是不合格品的概率!
$+
甲"乙"丙%
个机床加工同一种零件!各机床加工零件占总数的比例分别为"+'
!
"+%
!
"+$
!各机床加工的零件为合格品的概率分别为"+2&
!
"+2
!
"+2'+
现从甲"乙"丙生产的零件中任
取一件!求)
%
!
&该产品为合格品的概率'
%
$
&若已知取到的是合格品!求它是乙机床加工的概率!
%+
将两信息分别编码为'
和(
传递出去!接收站收到时!
'
被误收作(
的概率为"+"$
!而
(
被误收作'
的概率为"+"!
!信息'
与信息(
传送的频繁程度为$?!
!若接收站收到的信息
是'
!问原发信息是'
的概率是多少(
&+
设某产品的合格率为2"7
!检验员在检验时合格品被认为是合格品的概率为2(7
!次品
被认为是合格品的概率为%7!
试求)
%
!
&任取一件产品被检验员检验为合格的概率'
%
$
&若一产品通过了检验!求该产品确为合格品的概率!
'+
发报台分别以概率"+(
和"+&
发出信号#
9
$和信号#
-
$
!
由于通信系统受到干扰!当发
出信号#
9
$时!收报台未必收到信号#
9
$!而是分别以概率"+1
和"+$
收到信号#
9
$和信号
#
-
$'同样!当发出信号#
-
$时!收报台未必收到信号#
-
$!而是分别以概率"+2
和"+!
收到信
号#
-
$和信号#
9
$
!
试求)
%
!
&收报台收到信号#
9
$的概率'
%
$
&当收报台收到信号#
9
$!发报台确实是发出信号#
9
$的概率!
科
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第一章!
随机事件及其概率 #"
!!!
(+
设某地区成年居民中肥胖者占!"7
!不胖不瘦者占1$7
!瘦者占17
!又已知肥胖者患
高血压的概率为$"7
!不胖不瘦者患高血压的概率为!"7
!瘦者患高血压的概率为'7
!试求)
%
!
&该地区居民患高血压的概率'
%
$
&从该地区任选一人!发现此人是高血压病人!那么属于哪种体型的可能性最大(说出
你的依据!
*+
从前$
个正整数中随意取出两个数!求两个数之和为偶数的概率!
1+
假设事件'
!
(
的概率分别为/
%
'
&
)"+'
!
/
%
(
&
)"+*
!问)
%
!
&在什么条件下概率/
%
'(
&最大(最大值等于多少(
%
$
&在什么条件下概率/
%
'(
&最小(最小值等于多少(
2+
假设有两箱同种零件)第一箱内装有'"
件!其中!"
件一等品'第二箱内装有%"
件!其中
!1
件一等品!
现从两箱中随意抽取一箱!然后从该箱中先后随机取两个零件%取出的零件均不
放回&
!
试求)
%
!
&先取出的零件是一等品的概率'
%
$
&在先取出的零件是一等品的条件下!第二次取出的零件仍然是一等品的概率!
!"+
假设一厂家生产的每台仪器!以概率"+*
可以直接出厂'以概率"+%
需要进一步调试!
经调试以概率"+1
可以出厂!以概率"+$
定为不合格产品不能出厂!
现在该厂新生产了!"
台仪
器%假设各台的质量状况相互独立&
!
试求)
%
!
&每台仪器能出厂的概率'
%
$
&
!"
台仪器都能出厂的概率'
%
%
&
!"
台仪器中至少两台不能出厂的概率'
!!+
有两名选手比赛射击!轮流对同一目标进行射击!甲命中目标的概率为$
!乙命中目标
的概率为%
!
甲先射!谁先命中目标谁获胜!
问甲"乙两人获胜的概率各为多少(
!$+
要验收一批%
!""
件&乐器!验收方案如下)从该批乐器中随机地抽取%
件测试%设%
件
乐器的测试是相互独立的&!如果%
件中至少有一件在测试中被认为音色不纯!则这批乐器就被
拒绝接受!
设一件音色不纯的乐器经测试查出其音色不纯的概率为"+2'
'而一件音色纯的乐器
经测试被误认为音色不纯的概率为"+"!!
如果已知这!""
件乐器中恰有&
件是音色不纯的!试
问这批乐器能被接受的概率是多少(
四#证明题
!+
已知事件'
!
(
相互独立!且'
'
(
!证明)
/
%
'
&
)"
或/
%
(
&
)!!
$+
已知/
%
'
&
)5
!
/
%
(
&
)6
!试证明)
/
%
'
$
(
&
#
536-!
6
!
%+
设'
!
(
!
)
为任意%
个事件!证明)
/
%
'(
&
3/
%
')
&
-/
%
()
&
1
/
%
'
&%提示)
'(
-
')
'
'
&
!
&+
假设事件'
!
(
!
)
两两独立!证明事件'
!
(
!
)
相互独立的充分必要条件是)事件'
和
(-)
相互独立!
'+
若事件'
!
(
!
)
相互独立!证明'
-
(
!
'(
!
'-(
都与)
相互独立!
第二章!
随机变量及其分布
概率论的核心内容是随机变量的研究!
前面我们已对随机试验某个特定事件
的概率进行了求解!通过这些讨论!对随机现象的统计规律性有了初步的认识!
但
随机试验的结果不止一个!要想更全面地研究随机现象的统计规律性!我们还需要
将随机试验的结果数量化!即引入一个特殊的变量!由于该变量的取值依赖于随机
试验的结果!因而称其为随机变量!
本章我们介绍随机变量的概念!讨论离散型和
连续型随机变量及其分布!以及随机变量函数的分布等!
!$#"
!
离散型随机变量及其分布律
$#"#"
!
随机变量的概念
要定量地研究随机现象!事件的量化是一项基本工作!
有些随机试验的结果直
接表现为数量!因而很自然地可以将结果用数值表示!
比如掷骰子!观察其出现的
点数!试验的可能结果有(
个!它们是)出现点数!
!
$
!
%
!
&
!
'
!
(
'
$
重伯努利试验中!
事件'
发生的次数可能是"
!
!
!
$
!,!
$
'测试一个灯泡的寿命!其寿命可能为.
"
!
3
,
&中的某个实数5!
对于这类随机试验!我们自然而然地把出现的点数"事件'
发生的次数"灯泡的寿命作为相应实验结果定量化的赋值!
然而在另一些试验中!
试验结果却与数值无关!
例如抛掷一枚质地均匀的硬币!观察它出现正"反面的情况!试验的可能结果
有两种)
!
!
)
*出现正面+!
!
$
)
*出现反面+
!
这个试验的结果完全是定性描述!与数
量无关!不能用数量#自然$地表示!
但一种简便的做法就是将#出现正面$与数#
"
$
对应!#出现反面$与数#
!
$对应!
也就是说!我们可引入一变量:
!当实验结果#出现
正面$时!我们就说:)"
'当实验结果#出现反面$时!我们就说:)!!
即
:
#
:
%
!
&
#
"
!
!#!
!
!
!
!#!
:
;
<
$
!
显然:
的取值具有随机性!其取值的随机性依靠事件的概率来体现!有
/
%
:
#
"
&
#
/
%
!
!
&
#
"+'
!
!
/
%
:
#
!
&
#
/
%
!
$
&
#
"+'!
!!
从上面的分析可以看到!无论随机试验的结果是否表现为数量!我们都可以对
每一结果赋予一个相应的值!在结果与数值之间建立起一定的对应关系!也就是我
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第二章!
随机变量及其分布 #$
!!!
们均可以通过引入变量:
对实验结果进行数量化!使变量:
的取值与随机试验的
结果相对应!
由于试验结果的出现具有一定的随机性!因此变量:
的取值也具有
一定的随机性!我们称这样的变量为随机变量!
定义"
!
设"
为随机试验"
的样本空间!若对于样本空间"
中的每一个样本
点!
!都有唯一确定的实数:
%
!
&与其对应!称:
%
!
&为随机变量!可简记为:!
通常
随机变量用大写的英文字母:
!
;
!
C
等表示!也可用希腊字母&
!
'
!
(
等表示!
而随
机变量的取值则用相应的小写英文字母<
!
=
!
D
等表示!如:)<
!
;)
=
!
!
图$+!+!
如图$+!+!
所示!给出了样本点!
与实数
:
%
!
&之间的对应关系!
随机变量要求"
中每一个样本点!
!都有唯
一确定的实数:
%
!
&与其对应!
这与数学中#函
数$概念本质上是一回事!
但随机变量的这种函
数关系与微积分中的函数关系却又略有不同!
随
机变量有其自身的特殊性)一是其定义域为样本
空间!而不是数集'二是由于试验结果具有随机
性!因而随机变量的取值也具有随机性!
引入随机变量后!随机试验中的所有事件都可通过随机变量的某种关系式表
示出来!
如掷骰子试验中!若用:
表示出现的点数!则事件#出现的点数不超过%
$
可表示为#
:
1
%
$'若用:
表示电视机的使用寿命%单位)年&!则#电视机的使用寿
命超过!"
年$可表示为#
:
%
!"
$'又如!若用:
表示$
重伯努利试验中事件'
发
生的次数!则#事件'
至少出现两次$可表示为#
:
#
$
$
!
这样!引入随机变量的概念
后!我们就把对随机事件的定性研究转化为对随机变量的定量研究!从而使我们能
充分地利用数学分析的方法来研究随机事件!而且这种研究会更广泛"更深入!
通常!随机变量可分为两类)离散型和非离散型!
非离散型中最重要的一类是
连续型!
我们只讨论离散型和连续型两种随机变量!
$#"#$
!
离散型随机变量的分布律
定义$
!
若随机变量的所有可能取值为有限个或可列个!则称这种随机变量
为离散型随机变量!
对于离散型随机变量!我们不仅要了解它可能取什么值!更重要的是要了解它
取每一个值的概率!
也就是说!要对随机变量有一个全面的了解!
这就需要引入离
散型随机变量的概率分布!
定义%
!
设离散型随机变量:
的全部可能取值为<
!
!
<
$
!,!
<
,
!,!且:
取各
个值的概率为
/
%
:
#
<
,
&
#
2
,
!
%
,
#
!
!
$
!,&
!
%
$+!+!
&
#%
!!!
我们称式%
$+!+!
&为离散型随机变量的概率分布律%概率分布列&!通常简称为分布
律%分布列&
!
分布律也常用下列表格形式来表示
:
<
!
<
$
,
<
,
,
/
2
!
2
$
,
2
,
,
由分布律能一目了然地看出随机变量的取值范围以及取这些值的概率!
有了随机
变量:
的分布律!可以求与其有关的任何事件的概率!如事件*
5
1
:
1
6
+与事件
*
:
1
<
+的概率分别为
/
%
5
1
:
1
6
&
#
2
5
1
<
,
1
6
/
%
:
#
<
,
&!
!
/
%
:
1
<
&
#
2
<
,
1
<
/
%
:
#
<
,
&
!
!!
显然!分布律2
,
具有下述两个基本性质)
%
!
&
2
,
#
"
%
,)!
!
$
!,&'
%
$
&
2
,
,
#
!
2
,
#
!!
以上两个性质是分布律所具有的!同时也是判别某数列*
2
,
+作为离散型随机
变量分布律的充分条件!
图$+!+$
!
若以离散型随机变量:
的可能取值<
,
作为横坐
标!以概率2
,
)/
%
:)<
,
&为纵坐标!也常把:
的分布
律表示为竖条图%见图$+!+$
&
!
例"
!
设离散型随机变量的分布律为
%
!
&
/
%
:)*
&
)5
% &
!
&
*
%
*)!
!
$
!
%
&'
%
$
&
/
%
:)*
&
)5
% &
!
&
*
%
*)!
!
$
!,&'
%
%
&
/
%
:)*
&
)
5*
$
%
$3!
&
%
*)!
!
$
!,!
$
&
!
分别求上面各式中的未知参数5
的值!
解!
由分布律的性质%
$
&知
%
!
&
5
-
!
&
35
-
% &
!
&
$
35
-
% &
!
&
%
)!
!所以5)
(&
$!
!
%
$
&
2
,
*
#
!
5
% &
!
&
*
#
5
-
!
&
!
4
!
&
#
5
%
#
!
!所以5
#
%!
%
%
&
2
$
*
#
!
/
%
:
#
*
&
#
5
$
%
$
1
!
&
2
$
*
#
!
*
#
5
$
%
$
1
!
&
@
$
%
$
1
!
&
$
#
5
$
#
!
!
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第二章!
随机变量及其分布 #&
!!!
所以5)$!
例$
!
一口袋中有(
个球!分别标有$
!
(
!
(
!
1
!
1
!
1
数字!
从此口袋中随机地抽
取一个球!求取到的球上数字:
的分布律!
解!
由题意知!
:
的所有可能取值为$
!
(
!
1
!由古典概型计算公式!可得
/
%
:
#
$
&
#
!
(
!
!
/
%
:
#
(
&
#
$
(
#
!
%
!
!
/
%
:
#
1
&
#
%
(
#
!
$
!
即:
的分布律为
: $ ( 1
/
!
(
!
%
!
$
!!
例%
!
从集合*
"
!
!
!
$
!
%
!
&
+中先后两次不放回抽样!求抽到数字为奇数的次数
:
的分布律!
解!
显然!随机变量:
的所有可能取值为"
!
!
!
$!
设'
,
)
*第,
次抽的是奇数+
%
,)!
!
$
&!由于抽样是不放回的!故由古典概型得
/
%
:
#
"
&
#
/
%
)
'
!
)
'
$
&
#
%
@
$
'
@
&
#
"+%
!
/
%
:
#
$
&
#
/
%
'
!
'
$
&
#
$
@
!
'
@
&
#
"+!
!
/
%
:
#
!
&
#
!
4
"+%
4
"+!
#
"+(!
即:
的分布律为
: " ! $
/ "+% "+( "+!
$#"#%
!
常见的离散型分布
下面介绍生活中最常见的几种离散型分布)两点分布"二项分布"泊松分布和
超几何分布!
!+
两点分布
若随机变量:
只可能取"
和!
!其分布律为
: " !
/ !-
2 2
其中"
0
2
0
!
!则称:
服从参数为2
的两点分布!两点分布又称为!
/7"
"分布或
伯努利分布!记为:
!
(
%
!
!
2
&
!
实际上!若随机试验结果只有两种时!我们都可以定义一个服从两点分布的随
#'
!!!
机变量!可见两点分布的背景是伯努利试验!
如买彩票中奖与否"产品质量合格与
否等!其对应的随机变量:
就服从两点分布!
而当试验结果有多个!我们又仅仅关
心事件'
是否出现时!则可将样本空间划分为两类)
'
"
)
'
!从而也可定义一个服从
两点分布的随机变量
:
#
"
!
'
不发生
!
!
'
* 发生!
!!
例如!从装有'
个红球和%
个白球的盒子中随机地取一个球!此时样本空间中
有1
个样本点!
若我们仅关心事件')
*取到的球为红球+!此时可设
:
#
"
!
'
不发生
!
!
'
* 发生!
则由古典概型得其分布律为
: " !
/
%
1
'
1
$+
二项分布
前面介绍了$
重伯努利试验!
在$
重伯努利试验中!若每次试验事件'
发生
的概率为2
%
"
0
2
0
!
&!以随机变量:
表示$
重伯努利试验中事件'
发生的次数!
则:
的可能取值为"
!
!
!
$
!,!
$
!且对每一个可能的取值!根据二项概率!有
/
%
:
#
*
&
#
)
*
$2
*
%
!
4
2
&
$
4
*
!
%
*
#
"
!
!
!,!
$
&! %
$+!+$
&
此时称随机变量:
服从参数为$
"
2
的二项分布!记为:
!
(
%
$
!
2
&
!
易见!式%
$+!+$
&满足分布律的两个基本性质)
%
!
&
/
%
:)*
&
#
"
'
%
$
&
2
$
*
#
"
)
*
$2
*
%
!
4
2
&
$
4
*
#
.
2
1
%
!
4
2
&/
$
#
!!
特别地!当$)!
时!二项分布就退化为两点分布
/
%
:
#
*
&
#
2
*
%
!
4
2
&
!
4
*
!
%
*
#
"
!
!
&!
可见两点分布是二项分布的特例!
例&
!
设某车间有!"
台同型号车床!若车床工作相互独立!且每台车床每小
时平均工作!'
分钟!
以:
表示该车间任一时刻处于工作状态的车床数!试求:
的
分布律!
解!
任一时刻!每台车床只有#工作$"#不工作$两种状态!且每台车床#工作$
的概率为!'("
)
!
&
!则考察这!"
台车床的工作状况!就相当于进行了!"
重伯努利试
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第二章!
随机变量及其分布 #*
!!!
验!故:
!
( !"
!
% &
!
&
!其分布律为
/
%
:
#
*
&
#
)
*
!"
% &
!
&
*
% &
%
&
!"
4
*
!
%
*
#
"
!
!
!,!
!"
&
!
!!
例'
!
在保险公司里有$'""
名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险!
这类人在一年中每个人死亡的概率为"+""$
!每个参加保险的人在!
月!
日须交
!$""
元保险费!而在死亡时家属可以从保险公司领取$"
万元赔偿金!试求)
%
!
&一年内至少有一人死亡的概率'
%
$
&保险公司亏本的概率'
%
%
&保险公司获利不少于$""
万元的概率!
解!
%
!
&由于一年内每个人只有#存在$与#死亡$两种状态!且每个人是否死
亡相互独立!因此对参保的$'""
名人进行观测相当于进行$'""
重伯努利试验!
设一年内死亡的人数为:
!则
:
)
(
%
$'""
!
"+""$
&!
其分布律为
/
%
:
#
*
&
#
)
*
$'""
"+""$
*
"+221
$'""
4
*
!
%
*
#
"
!
!
!,!
$'""
&!
于是!
$'""
名人中至少有一人死亡的概率为
/
%
:
#
!
&
#
!
4
/
%
:
#
"
&
#
!
4
"+221
$'""
#
"+22%$2(!
!!
这个概率几乎是!+
虽然每个人的死亡率很小%通常把概率小于"+"!
的事件
称为小概率事件!我们认为小概率事件在一次试验中实际是不会发生的!这称为小
概率事件原理&!但是随着人数的增多!即试验次数的增多!小概率事件至少发生一
次又几乎是必然的!
%
$
&以#年$为单位来考虑!在一年内保险公司总收入为
$'""
@
!$""
#
%""
%万元&
!
!!
若一年内死亡的人数为:
!则保险公司在一年内要赔偿的保险金为$":
万
元!要使保险公司亏本!则必须
$":
%
%""
!
!
即:
%
!'
!
于是
/
%保险公司亏本&
#
/
%
:
%
!'
&
#
!
4
/
%
:
1
!'
&
#
!
4
2
!'
*
#
"
)
*
$'""
"+""$
*
"+221
$'""
4
*
!
$+
!!!
!!
%
%
&
/
%保险公司获利不少于$""
万元&
)/
%
%""-$":
#
$""
&
)/
%
:
1
'
&
#
2
'
*
#
"
)
*
$'""
"+""$
*
"+221
$'""
4
*
!
从例'
可以看到!当试验次数$
很大时!直接计算二项概率显然很麻烦!
下面
介绍一种二项分布的近似计算方法444泊松逼近!
设:
!
(
%
$
!
2
&!当试验次数$
比较大!每次试验中事件'
发生的概率2
比较
小!
$
2
的值又适中%通常$
#
!"
!
2
1
"+!
!
$
2
1
'
&时!有
)
*
$2
*
%
!
4
2
&
$
4
*
4
*
*
*
2
/
4
*
!
%
*
#
"
!
!
!
$
!,!
$
&!
其中*
)$
2
!
等式右端的表达式就是下面要介绍的泊松分布的分布律!
%+
泊松分布
若随机变量:
的分布律为
/
%
:
#
*
&
#
*
*
*
2
/
4
*
!
%
*
#
"
!
!
!,&!
其中*%
"
!则称:
服从参数为*
的泊松分布!记为:
!
/
%
*
&或:
!"
%
*
&
!
易见!泊松分布满足分布律的两个基本性质)
%
!
&
/
%
:)*
&
#
"
!
%
*)"
!
!
!,&'
%
$
&
2
,
*
#
"
/
%
:
#
*
&
#
2
,
*
#
"
*
*
*
2
/
4
*
#
/
4
*
-
2
,
*
#
"
*
*
*
2
#
/
4
*
-
/
*
#
!!
泊松分布也是概率论中很重要的一种分布!服从泊松分布的随机现象往往集
中在社会生活与物理学领域中!
如某售票口单位时间内买票的顾客人数'保险公司
在某段时间内被索赔的次数'某地区一段时间间隔内发生火灾的次数"发生交通事
故的次数'一段时间间隔内某放射物质放射出的粒子数'显微镜下落在某区域中的
微生物的数目等!都近似地服从某一参数的泊松分布!
当:
!
/
%
*
&!要计算概率/
%
:
1
*
&
#
2
*
,
#
"
*
,
,
2
/
4
*时!可直接查表得到%见附表$
&
!
对于例'
!由于$)$'""
!
2
)"+""$
!
*
)$
2
)$'""4"+""$)'
!因此可用泊松
逼近近似计算!查表得
/
%
:
#
!
&
#
!
4
/
%
:
#
"
&
4
!
4
"+""(*&
#
"+22%$(
!
这与二项分布直接计算结果非常接近!
同样!利用泊松逼近近似计算!有
/
%保险公司亏本&
#
/
%
:
%
!'
&
#
!
4
2
!'
*
#
"
)
*
$'""
"+""$
*
"+221
$'""
4
*
4
!
4
2
!'
*
#
"
*
*
*
2
/
4
*
4
!
4
"+2222%
#
"+""""*!
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第二章!
随机变量及其分布 $(
!!!
/
%保险公司获利不少于$""
万元&
#
/
%
:
1
'
&
#
2
'
*
#
"
)
*
$'""
"+""$
*
"+221
$'""
4
*
4
2
'
*
#
"
*
*
*
2
/
4
*
4
"+(!'2(!
!!
例+
!
某商店出售某种商品!历史记录分析表明!这种商品每月的销售量服从
参数为'
的泊松分布!问在月底至少应购进多少件这种商品!才能以2'7
以上的
概率保证产品不脱销(%设只在月底进货&
解!
用:
表示该商品每月销售量!则:
!
/
%
'
&
!
设月底的进货量为*
件!要使
产品不脱销!则必须使:
1
*!
由题意得
/
%
:
1
*
&
#
2
*
,
#
"
/
%
:
#
,
&
#
"+2'!
!!
查泊松分布表得
2
1
,
#
"
*
,
,
2
/
4
*
4
"+2!!2!
0
"+2'
!
2
2
,
#
"
*
,
,
2
/
4
*
4
"+2(1!*
%
"+2'
!
因此!至少需进2
件这种商品才能以2'7
以上的概率保证产品不脱销!
&+
超几何分布
若一批产品共7
件!其中E
件次品!其余为正品!
现从中随机抽取$
件!以:
表示这$
件产品中含有的次品数!则由古典概型得:
的分布律为
/
%
:
#
*
&
#
)
*
E
)
$
4
*
7
4
E
)
$
7
!
.
*
#
"
!
!
!
$
!,!
9:0
%
E
!
$
&/!
我们称具有上述分布律的随机变量:
服从参数为7
!
E
!
$
的超几何分布!记为
:
!
F
%
$
!
E
!
7
&
!
实际上!若总体"
含有7
个元素!其中E
个元素具有特征'
!其余7-E
个
元素具有特征(
!从总体"
中随机抽取$
个元素!则其中具有特征'
的元素出现
的个数:
就是服从参数为7
!
E
!
$
的超几何分布!
例,
!
设某班有学生$"
名!其中!&
名男生!
(
名女生!
现从该班中任选%
名学
生当代表!求所选女生人数:
的分布律!
解!
:
服从超几何分布!其分布律为
/
%
:
#
*
&
#
)
*
(
)
%
4
*
!&
)
%
$"
!
%
*
#
"
!
!
!
$
!
%
&
!
$!
!!!
用表格的形式表示为
: " ! $ %
/
2!
$1'
2!
!2"
*
%1
!
'*
!!
例-
!
袋中有(
个球!其中$
个红球!
&
个白球!
现从中不放回任取%
次!每次
取一个!求抽到红球数:
的分布律!
解!
:
服从超几何分布!其分布律为
/
%
:
#
*
&
#
)
*
$
)
%
4
*
&
)
%
(
!
%
*
#
"
!
!
!
$
&
!
用表格的形式表示为
: " ! $
/
!
'
%
'
!
'
!!
二项分布的背景之一是有放回的抽样!超几何分布的背景之一是不放回抽样!
直观上!当总体的数目7
充分大!而所抽取的元素个数$
相对很小时!自有限总体
的非还原抽样和还原抽样的差别应相对很小!
因此超几何分布和二项分布的概率
相近!即有
)
*
E
)
$
4
*
7
4
E
)
$
7
4
)
*
$2
*
%
!
4
2
&
$
4
*
!
其中2
)
E
7
!
实际中!当$
1
"+!7
时!就可以利用上面近似计算!
习题!)(
)
组
!+
下列数列中!哪些是随机变量的分布律!并说明理由!
%
!
&
2
,
)
,
!'
%
,)!
!
$
!
%
!
&
!
'
&'
%
$
&
2
,
)
,
(
%
,)!
!
$
!,&'
%
%
&
2
,
)
'-,
$
(
%
,)"
!
!
!
$
!
%
&'
%
&
&
2
,
)%4
% &
!
&
*
%
,)!
!
$
!,&
!
$+
某同学求得一离散型随机变量:
的分布律为
: " ! $
/
!
$
!
&
!
%
科
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第二章!
随机变量及其分布 $"
!!!
试说明该同学的计算结果是否正确!
%+
设随机变量:
的分布律为/
%
:),
&
)
)
$
,
%
,)!
!
$
!,&!求)
%
!
&
)
的值'
!
%
$
&
/
%
:
1
%
&'
!
%
%
&
/
!
$
0
:
0% &
'
$
!
&+
设随机变量:
的分布律为
: -! " ! $ %
/ "+!(
5
!"
5
$
5
'
"+%
求)%
!
&常数5
'
!
%
$
&
/
%
:
#
$
&'
!
%
%
&
/
%
:
0
%
&
!
'+
设袋中装有编号为!
!
$
!
%
!
&
!
'
的'
个球!今从中随机抽取%
个球!求取到的%
个球中中
间号码数:
的分布律!
若:
表示所取的%
个球中的最小号码数呢(
(+
一汽车沿一街道行驶!需要经过%
个设有红绿信号灯的路口!每个信号灯为红或绿与其
他信号灯为红或绿相互独立!且红绿两种信号显示的时间相等!以:
表示该汽车首次遇到红灯
前已通过的路口个数!求:
的分布律!
*+
设每分钟通过某交叉路口的汽车流量:
服从泊松分布!且已知在一分钟内无车辆通过
与恰有一辆车通过的概率相同!求在一分钟内至少有两辆车通过的概率!
1+
某人进行射击!设每次射击的命中率为"+"$
!独立射击$""
次!
试求至少击中!
次的
概率!
2+
已知某种疾病的发病率为"+""'
!某单位有!"""
人!问该单位患有此种病的人数不超过
!"
人的概率!
!"+
袋子中有(
件产品!其中$
件次品!
&
件正品!现从中任取%
件!求抽到次品数:
的分
布律!
!!+
某试验成功率为"+1
!失败的概率为"+$
!若以:
表示试验者获得首次成功所进行的试
验次数!试写出:
的分布律!
*
组
!+
某类灯泡使用时间超过!"""
小时以上的概率为"+$
!现有%
个这种类型的灯泡!
求)
%
!
&使用不到!"""
小时坏了的灯泡个数:
的分布律'
%
$
&在使用!"""
小时以后最多只坏一个的概率!
$+
设某公司生产的螺丝钉的次品率为"+"!
!设每个螺丝钉是否为次品相互独立!
这家公司
将每!"
个螺丝钉包成一包出售!并保证包内多于一个次品则可退货!
求卖出的某包螺丝钉被退
回的概率!
%+
假定有1"
台车床!彼此独立工作!每台车床发生故障的概率为"+"!
!设一台车床的故障
能有一人维修!试就下述两种方法)
%
!
&有&
人维护人员!每人负责维修$"
台车床'
%
$
&由%
人共同负责维修1"
台车床!
分别求车床发生故障时!不能及时维修的概率!并说明哪种管理经济效益要好一些!
&+
某一公安局在长度为%
的时间间隔内收到紧急呼叫的次数:
服从参数为"+'%
的泊松分
$#
!!!
布!而与时间间隔的起点无关%时间以小时计&
!
%
!
&求某一天中午!$
时至下午%
时没有收到紧急呼救的概率'
%
$
&求某一天中午!$
时至下午'
时至少收到一次紧急呼救的概率!
!$#$
!
随机变量的分布函数
对于离散型随机变量可用列举其所有可能取值与对应的概率方法来描述其统
计规律性!
然而对于非离散型随机变量!由于其可能取值不能一个一个列举出来!
其取值有时可能布满某一区间!比如!测量的误差"灯泡的寿命等!因而对于这种类
型的随机变量就不能像离散型随机变量那样用分布律表示其统计规律性!
同时在
实际问题中对于这类随机变量!我们关心的也不再是随机变量取某个特定值的概
率!而是随机变量落在某个区间内的概率!如/
%
<
!
0
:
1
<
$
&
!
但由于
/
%
<
!
0
:
1
<
$
&
#
/
%
:
1
<
$
&
4
/
%
:
1
<
!
&
!
故只要知道形如/
%
:
1
<
&%
<
,
.
&的概率就可以了!
为此我们引入随机变量分布
函数的概念!
$#$#"
!
分布函数的定义及其性质
定义!
设:
为随机变量!称定义域为%
-
,
!
3
,
&的函数
G
%
<
&
#
/
%
:
1
<
&
为随机变量:
的分布函数!记为G
:
%
<
&或G
%
<
&
!
分布函数G
%
<
&的直观意义是!将:
看成是数轴上的随机点的坐标!那么G
%
<
&
在点<
处的函数值表示:
落在区间%
-
,
!
<
/内的概率!
由上述定义!对于任意的5
!
6
%
5
0
6
&!有
/
%
5
0
:
1
6
&
#
/
%
:
1
6
&
4
/
%
:
1
5
&
#
G
%
6
&
4
G
%
5
&
!
!!
可见!分布函数是一个普通的函数!它具有明确的概率含义!是一个概率!
例"
!
设离散型随机变量:
的分布律为
: " ! $
/ "+! "+% "+(
!!
%
!
&求G
% &
!
$
!
G
%
!
&!
G
% &
%
$
'
%
$
&求:
的分布函数G
%
<
&!并画出其图像!
解!
%
!
&
G
% &
!
$
)/ :
1
% &
!
$
)/
%
:)"
&
)"+!
!
科
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第二章!
随机变量及其分布 $$
!!!
G
%
!
&
)/
%
:
1
!
&
)/
%
:)"
&
3/
%
:)!
&
)"+!3"+%)"+&
!
G
% &
%
$
)/ :
1
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%
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:)"
&
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%
:)!
&
)"+!3"+%)"+&!
%
$
&当<
0
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时!
G
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<
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1
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G
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G
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#
$
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G
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<
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:)"
&
3/
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3/
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&
)!
!
故
G
%
<
&
#
"
!
<
0
"
"+!
!
"
1
<
0
!
"+&
!
!
1
<
0
$
!
!
<
#
:
;
<
$
!
!
图$+$+!
!!
G
%
<
&的图形如图$+$+!
所示!它是一个上升的
右连续的阶梯形函数!随机变量:
的所有可能取值
为G
%
<
&的跳跃间断点!
注意!
G
(
<
)的值不是随机变量:
取<
处的概率
值"而是:
取那些不超过<
的所有可能取值点的概
率累积"因此也称分布函数为随机变量:
的概率
%累积函数&
!
由分布函数的定义不难得出!分布函数G
%
<
&具
有如下基本性质)
%
!
&
"
1
G
%
<
&
1
!
'
%
$
&
G
%
<
&单调不减!即对任意的<
!
!
<
$
!当<
!
0
<
$
时!有G
%
<
!
&
1
G
%
<
$
&'
%
%
&
G
%
3
,
&
)@:9
<
=
3
,
G
%
<
&
)!
!
G
%
-
,
&
)@:9
<
=
-
,
G
%
<
&
)"
'
%
&
&
G
%
<
&在任一点<
"
处右连续!即@:9
<
=
<
3
"
G
%
<
&
)G
%
<
"
&
!
证明!
%
!
&由于G
%
<
&
)/
%
:
1
<
&!由概率的非负性可知"
1
G
%
<
&
1
!!
%
$
&对任意的<
!
!
<
$
!当<
!
0
<
$
时!事件*
:
1
<
!
+
'
*
:
1
<
$
+!由概率的性质知
/
%
:
1
<
!
&
1
/
%
:
1
<
$
&!
即G
%
<
!
&
1
G
%
<
$
&!故G
%
<
&是单调不减!
性质%
%
&与性质%
&
&的证明超出本书要求!我们只从几何意义上对性质%
%
&加以
说明!
将区间端点<
沿数轴无限向左移动%即<
=
-
,
&!随机变量:
落在<
左边
的事件趋于不可能事件!故其概率为"
!即G
%
-
,
&
)"
'将区间端点<
沿数轴无限
向右移动%即<
=
3
,
&!随机变量:
落在点<
左边的事件趋于必然事件!故其概
$%
!!!
率为!
!即G
%
3
,
&
)!!
随机变量:
的分布函数一定具有上述&
条性质!
反之!若一个函数G
%
<
&满足
上述&
条性质!则G
%
<
&一定可作为某一随机变量:
的分布函数!
有了分布函数!关于随机变量的许多概率都能方便算出!例如
/
%
:
0
<
"
&
#
G
%
<
"
4
"
&!
/
%
:
#
<
"
&
#
G
%
<
"
&
4
G
%
<
"
4
"
&!
/
%
:
#
<
"
&
#
!
4
/
%
:
0
<
"
&
#
!
4
G
%
<
"
4
"
&!
/
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1
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"
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#
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4
G
%
<
"
&!
因此!若已知:
的分布函数G
%
<
&!我们就能知道:
落在任一区间内的概率!
从这
个意义上说!分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性!
同时分布函数是一种
分析良好的函数!引进了分布函数!许多概率问题便简化或归结为函数的运算!这
样就能充分利用数学分析的结果!
例$
!
设随机变量:
的分布函数为
G
%
<
&
#
'
1
(5ABC50<
!
%
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<
0
1,
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&试确定'
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解!
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&由性质%
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G
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-G
%
-!
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!
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!
离散型随机变量的分布函数
由例!
可直观地看到!若离散型随机变量:
的分布律为
:
<
!
<
$
,
<
,
,
/
2
!
2
$
,
2
,
,
由概率的可加性!得随机变量:
的分布函数为
G
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<
&
#
/
%
:
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2
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,
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,
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,
1
<
2
,
!
科
学出版社
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第二章!
随机变量及其分布 $&
!!!
得到的G
%
<
&为上升的右连续阶梯分段函数!其跳跃点%也是G
%
<
&的分段点&恰是
:
可能的取值点!且跳跃度就是:
取该值时的概率!即
2
,
#
/
%
:
#
<
,
&
#
G
%
<
,
&
4
G
%
<
,
4
"
&
!
!!
分布律与分布函数是描述离散型随机变量的概率分布的两种不同形式!
由分
布律可确定其分布函数!反过来由分布函数也可以确定其分布律!
例%
!
设离散型随机变量:
的分布函数为
G
%
<
&
#
"
!
<
0
4
!
"+$
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4
!
1
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!
!
1
<
0
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!
!
<
#
:
;
<
%
!
求:
的分布律!
解!
随机变量:
的分布函数G
%
<
&的跳跃点恰为:
的取值点!故随机变量:
的所有可能取值为-!
!
!
!
%
!且
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%
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!
&
#
G
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4
!
&
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G
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G
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#
G
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&
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G
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"
&
#
!
4
"+(
#
"+&!
故随机变量:
的分布律为
: -! ! %
/ "+$ "+& "+&
习题!)!
)
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!+
已知下列函数
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!
&
G
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"
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<
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<
#
:
;
<
"
!
问它们能否作为随机变量的分布函数!
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设随机变量:
的概率分布为/
%
:)!
&
)"+!
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&
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!
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:)%
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求)
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$
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设随机变量:
的分布函数为
G
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!
&
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的分布律'%
$
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$
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:
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$
!
*
组
!+
设随机变量:
在区间.
"
!
!
/上取值!且对于任一实数5
,
.
"
!
!
/!概率/
%
"
1
:
1
5
&与5
成正比!试求:
的分布函数G
%
<
&
!
$+
假设一大型设备在任何长为%
的时间内发生故障的次数7
%
%
&服从参数为*
%
的泊松分
布!试求)
%
!
&相继两次故障发生间隔H
的分布函数'
%
$
&在设备已经无故障工作1
小时的情况下!再无故障工作1
小时的概率!
%+
进行独立重复试验!设每次试验成功的概率为2
!将试验进行到第-
次成功时为止!
以:
表示所需的试验次数!求:
的分布律!
!$#%
!
连续型随机变量及其概率密度
$#%#"
!
连续型随机变量的概率密度
由于连续型随机变量是在数轴%
-
,
!
3
,
&上连续取值的随机变量!描绘其概
率分布!就像无法由物体各点上的质量来描绘物体的质量一样!也不能由随机变量
取各个点的概率来描绘连续型随机变量的概率分布!
对于这类随机变量!就像用质
量密度描绘物体质量的分布一样!人们用概率密度来描绘连续型随机变量的概率
分布!
定义!
对于随机变量:
的分布函数为G
%
<
&!如果存在非负可积的函数0
%
<
&
%
-
,0
<
0
3
,
&!使得对于任意实数<
!有
G
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<
&
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>
<
4
,
0
%
%
&
E%
!
则称:
为连续型随机变量!称0
%
<
&为:
的概率密度函数!简称概率密度或密度!
由上述定义!可以得出!对于任意实数5
!
6
%
5
0
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&有
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&
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这是因为
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#
>
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<
&
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!!
上述结论表明!
:
落在区间%
5
!
6
/内的概率等于以区间%
5
!
6
/为底!以概率密度
科
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第二章!
随机变量及其分布 $*
!!!
曲线=
)
0
%
<
&为顶的曲边梯形的面积%见图$+%+!
&'而:
的分布函数G
%
<
&的几何
意义是概率密度曲线=
)
0
%
<
&以下!
<
轴上方!从-
,
到<
所围成区域的面积%见
图$+%+$
&
!
图$+%+!
!!!
图$+%+$
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%
<
&具有以下性质)
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<
&
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#
!!
以上两条性质是函数0
%
<
&作为某连续型随机变量的密度函数的充要条件!
上述性质具有明显的几何意义)性质%
!
&表明概率密度曲线不会在<
轴的下
方'性质%
$
&表明概率密度曲线=
)
0
%
<
&与<
轴之间的总面积等于!!
$#%#$
!
连续型随机变量的性质
设:
为连续型随机变量!
0
%
<
&为其的概率密度!则连续型随机变量有下面重
要的性质!
%
!
&对于任意常数A
!有/
%
:)A
&
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这是因为
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&!
在上述不等式中令#
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"
3
!即得/
%
:)A
&
)"
!表明连续型随机变量取任一常数
的概率均为"
!这是连续型随机变量与离散型随机变量的最大区别!
因此!用列举
连续型随机变量取某个值的概率来描述其概率分布不但做不到!而且也毫无意义!
此结果也表明!概率为零的事件不一定是不可能事件'概率为!
的事件也不一定是
必然事件!
由性质%
!
&知!对于连续型随机变量有
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0
:
1
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&
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E<
!
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因此在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时!区间是否包含其端点是无关
紧要的!
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$
&
G
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&处处连续!且在0
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<
&的连续点处!有0
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<
&
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&
!
由于G
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&
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!由微积分可知!
G
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<
&必在%
-
,
!
3
,
&上连续!并且
当0
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<
&连续时!
G
%
<
&可导!且GI
%
<
&
)
0
%
<
&!即概率密度函数是分布函数的导数!
概率密度函数与分布函数是描述连续型随机变量概率分布的两种不同形式!
已知:
的密度函数可以求出其分布函数'反之!已知:
的分布函数可以求出其概
率密度函数!
不难看出!使用概率密度描述连续型随机变量的概率分布规律!要比
使用分布函数方便"直观得多!
例"
!
设随机变量:
的概率密度函数为
0
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&
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<
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&常数5
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其他
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&由于G
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!本题中的概率密度函数为分段函数!所以求分
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<
&要分段讨论求解!
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第二章!
随机变量及其分布 %(
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!
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&处处连续!且除<)"
及<)!
两点之外!
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&存在且处处连续!
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0
"
时!
GI
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&
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处!可规定GI
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这说明连续型随机变量的密度函数不唯一!也不一定连续!它允许在个别点上
取不同的值!根据积分的知识知!
G
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>
<
4
,
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%
%
&
E%
的值不变!因此不影响我们研
究其概率分布!
这样!已知连续型随机变量的分布函数求概率密度函数时!直接求
%!
!!!
导即可!若分布函数为分段函数!则在分段点处!可任意规定GI
%
<
&的值!通常可就
近取值或规定为零!
例%
!
设连续型随机变量的分布函数为
G
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&由连续型随机变量的分布函数处处连续知!
G
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&必在<)"
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的分布函数为
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&能否作为某随机变量的概率密度函数(
科
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第二章!
随机变量及其分布 %"
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1
:
;
<
"
!
%
!
&求:
的概率密度函数'%
$
&计算/
%
:
1
$
&和/
%
:
%
%
&
!
'+
某型号电子管的寿命:
%单位)小时&为一随机变量!其概率密度函数为
0
%
<
&
#
!""
<
$
!
<
#
!""
"
!
:
;
< 其他
!
求)%
!
&电子管使用!'"
小时以上的概率'
%
$
&若某一电子设备内配有%
个这样的电子管!求它们都使用!'"
小时以上的概率!
*
组
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设连续型随机变量:
的概率密度函数为
0
%
<
&
#
"+'/
<
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<
1
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"+$'
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"
0
<
1
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"
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求其分布函数G
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&的表达式!
$+
已知连续型随机变量:
的概率密度函数为
0
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<
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#
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1
6
!
"
0
<
0
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"
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* 其他!
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1
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5
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6
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设随机变量:
的概率密度函数为
0
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$
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0
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* 其他!
试求)%
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&常数5
!使/
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5
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)/
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0
5
&'
%
$
&常数6
!使/
%
:
%
6
&
)"+"'!
%#
!!!
!$#&
!
常见的连续型分布
本节介绍常见的三种连续型分布)均匀分布"指数分布和正态分布!
$#&#"
!
均匀分布
若随机变量:
的密度函数为
0
%
<
&
#
!
6
4
5
!
5
0
<
0
6
"
!
:
;
<
其他
!
则称:
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5
!
6
&上的均匀分布!记为:
!
J
%
5
!
6
&或:
!
.
%
5
!
6
&
!
易知0
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<
&
#
"
!且>
1
,
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,
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#
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4
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E<
#
!!
当:
!
J
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5
!
6
&时!容易得到
%
!
&
/
%
:
#
6
&
)/
%
:
1
5
&
)"!
%
$
&随机变量:
落在区间%
5
!
6
&的任意子区间%
A
!
A3
#
?
&内的概率为%子区间
的长度为#
?
&
/
%
A
0
:
1
A
1#
?
&
#
>
A
1
#
?
A
!
6
4
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#
#
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6
4
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!
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&均匀分布的分布函数为
G
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<
&
#
"
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<
0
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4
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5
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<
0
6
!
!
<
#
:
;
<
6
!
!!
由计算结果可知!服从区间%
5
!
6
&上均匀分布的随机变量:
落在%
5
!
6
&的任一
子区间内的概率仅与子区间的长度有关!且与子区间的长度成正比!而与子区间的
所在位置无关!即它落在任意等长度的子区间的可能性是相同的!
均匀分布产生的背景可视为向区间%
5
!
6
&内随机投点!则质点的坐标:
就是
服从区间%
5
!
6
&上均匀分布!这正是几何概型的背景之一!因此均匀分布等同于几
何概型!
例如在数值计算中!由于四舍五入!小数点后第一位小数所引起的误差:
一般可以看做是服从区间%
-"+'
!
"+'
&上的均匀分布!
例"
!
某公共汽车站从上午(
)
""
时起!每隔!'
分钟发一趟车!一个乘客在
(
)
""
!
(
)
%"
随机到达该站点!
试求乘客在该站等候时间不超过'
分钟的概率!
解!
解法!
)利用几何概型
设乘客到站时刻为(
点过:
分钟!视:
为随机点!则随机变量:
取值充满时
科
学出版社
职教技术出版中心
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第二章!
随机变量及其分布 %$
!!!
间段(
)
""
!
(
)
%"
!该时间段的长度为%"
!而乘客在车站等候时间不超过'
分钟的
时间区间为(
)
!"
!
(
)
!'
和(
)
$'
!
(
)
%"
!这两段时间的长度为!"
!故由几何概型的
计算公式得
/
%乘客等候时间不超过'
分钟&
#
!"
%"
#
!
%
!
!!
解法$
)利用均匀分布
由于乘客到站的时刻:
!
.
%
"
!
%"
&!故其密度函数为
0
%
<
&
#
!
%"
!
"
0
<
0
%"
"
!
:
;
<
其他
!
为使候车时间不超过'
分钟!必须!"
0
:
0
!'
或者$'
0
:
0
%"
!故所求概率为
/
%乘客等候时间不超过'
分钟&
#
/
%*
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0
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0
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-
*
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/
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1
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%"
E<
1
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E<
#
!
%
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!
指数分布
若随机变量:
的概率密度函数为
0
%
<
&
#
*
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4
*
<
!
<
%
"
"
!
* 其他!
其中*%
"
!则称随机变量:
服从参数为*
的指数分布!记为:
!
"
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*
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!
易知0
%
<
&
#
"
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,
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0
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#
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#
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当:
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"
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*
&!其分布函数为
G
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#
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0
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<
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"
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<
其他
#
!
4
/
4
*
<
!
<
#
"
"
!
* 其他!
!!
指数分布也有广泛的应用!常用它来作为各种#寿命$分布的近似!例如某些电
子元件的寿命"动物的寿命'电话问题中的通话时间'随机服务系统中的服务时间
等常假定为服从指数分布!
指数分布有广泛应用的重要原因在于!它具有下面有趣的性质!
对于任意的B
!
%
%
B
%
"
!
%
%
"
&!有
%%
!!!
/
%
:
#
B
1
%
&
:
#
B
&
#
/
%
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#
%
&
!
!!
这是因为
/
%
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#
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&
#
!
4
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/
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:
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B
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B
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B
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因此/
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#
B3%
$
:
#
B
&
)/
%
:
#
%
&
!
该性质称为#无记忆性$
!
如果:
是某一电子元件的寿命%单位)小时&!那么上
式表明)已知这一电子元件已经使用了B
小时!还能够再使用%
小时以上的条件概
率!与从开始使用时算起它能够使用%
小时以上的概率相同!
这就是说!元件对它
已经使用了B
小时没有记忆!
因此!人们风趣地称指数分布为#永远年青$的分布!
正因为指数分布的这一特性!所以常用它来描述本身衰老作用不明显"其#生命$的
结束主要是随机因素造成的某些电子元件或某些微生物的寿命分布!其中参数*
的倒数!
*
为寿命:
的平均值!即平均寿命!
例$
!
某电子元件的使用寿命:
%单位)小时&服从参数为"+"!
的指数分布!
求)
%
!
&此电子元件能使用!""
小时以上的概率2
!
'
%
$
&此电子元件使用$""
小时以后!能再使用!""
小时以上的概率2
$
!
解!
:
的密度函数为
0
%
<
&
#
"+"!/
4
"+"!<
!
<
%
"
"
!
* 其他!
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%
!
&此电子元件能使用!""
小时以上的概率为
2
!
#
/
%
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!""
&
#
>
1
,
!""
"+"!/
4
"+"!<
E<
#
!
/
4
"+%(1!
!!
%
$
&利用指数分布的无记忆性!此电子元件使用$""
小时以后!再使用!""
小
时以上的概率和此电子元件能使用!""
小时以上的概率相等!于是
2
$
#
/
%
:
%
%""
&
:
%
$""
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#
/
%
:
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&
#
>
1
,
!""
"+"!/
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"+"!<
E<
#
!
/
4
"+%(1!
!!
当然!本例也可以用条件概率的定义进行计算!
$#&#%
!
正态分布
!+
正态分布的定义
若随机变量:
的概率密度函数为
科
学出版社
职教技术出版中心
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第二章!
随机变量及其分布 %&
!!!
0
%
<
&
#
!
$槡"+
/
4
%
<
4
#
&
$
$
+
$
!
%
4,
0
<
0
1,
&!
其中#
!
+
$
%
+%
"
&为常数!则称:
服从参数为#
!
+
$的正态分布!记为:
!
7
%
#
!
+
$
&
!
习惯上!把服从正态分布的随机变量称为正态变量!
下面证明函数0
%
<
&满足概率密度函数的两条性质!
%
!
&显然0
%
<
&
#
"
'
%
$
&
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1
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&
E<
#
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$槡"+
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$
$
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$
E<
!
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#
<
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#
!
$槡"
>
1
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%
$
$
E%
#
!
$槡"
@
$槡"#
!
!
其中>
1
,
4
,
/
4
%
$
E%
#
槡"
!
正态分布是概率论与数理统计中最重要的分布之一!
一方面!在实际问题中大
量的随机变量服从或近似服从正态分布!
一个量只要它是许多微小的"独立的随机
因素作用的综合或结果!而各种因素在正常情况下都不起压倒一切其他因素的主
导作用!一般都可以认为服从正态分布!
例如成年男子的身高受到种族"饮食习惯"
地域"运动等因素的影响!而这些因素相互独立!且每一因素的影响又都是微小的!
因此!成年男子的身高在正常状态下服从正态分布!
还有人的体重"某班的考试成
绩"测量同一物体的测量误差"射击时命中位置对目标沿某坐标轴的偏差等都服从
正态分布!
另一方面!正态分布具有良好的性质!许多分布可用正态分布来近似!而
且有一些分布又可以由正态分布来导出!
因此在理论研究中!正态分布十分重要!
正态分布又称为高斯分布!这是因为德国的数学家高斯在研究误差理论时!较早地
引用了这种分布!
$+
正态分布概率密度曲线的性质
利用高等数学的知识容易知道!正态分布概率密度曲线具有下述性质!
%
!
&
0
%
<
&关于直线<)
#
对称'
%
$
&
0
%
<
&在区间%
-
,
!
#
&内单调增加!在区间%
#
!
3
,
&内单调减小!因而
0
%
<
&在<)
#
处取得最大值 !
$槡"+
'
%
%
&曲线0
%
<
&以K<
轴为渐近线'
%
&
&在横坐标<)
#
F
+
处!曲线0
%
<
&有拐点'
%
'
&若固定+
!改变#
的值!则曲线的位置沿着K<
轴平移!曲线的形状不改
变!
若固定#
!改变+
的值!则曲线的形状改变!
+
越小!曲线的峰顶越高!曲线越陡
峭'
+
越大!曲线的峰顶越低!曲线越平坦!
%'
!!!
根据以上性质!不难绘出正态分布的密度函数0
%
<
&的图像!如图$+&+!
所示!
可见正态分布的密度曲线=
)
0
%
<
&的中心位置完全由参数#
确定!而参数+
决定
了曲线的形状%见图$+&+$
&
!
图$+&+!
!!!
图$+&+$
正态分布的参数+
$
!
#
的概率意义是)
+
$的大小反映了:
取值的离散程度!
+
$
越大!其取值就越分散!
而参数#
则反映了随机变量取值的中心位置!这在后面章
节将详细介绍!
根据正态分布的密度曲线性质!我们可以看到随机变量在<)
#
附近取值的
可能性较大!而取值离<)
#
越远!可能性就越小!且关于直线<)
#
对称!
这一特
性可简单地概括为#中间大!两头小!且对称$
!
由于概率密度曲线形状类似于#钟
形$!故常称正态分布为#钟形分布$
!
%+
标准正态分布
参数#
)"
!
+
)!
时的正态分布称为标准正态分布!记作7
%
"
!
!
&
!
标准正态分
布的密度函数和分布函数分别常用,
%
<
&和-
%
<
&表示!
,
%
<
&
#
!
$槡"
/
4
<
$
$
!
%
4,
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<
0
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&!
-
%
<
&
#
>
<
4
,
!
$槡"
/
4
%
$
$
E%!
图$+&+%
!
!!
显然正态分布的概率密度,
%
<
&关于=
轴对
称%见图$+&+%
&!利用对称性!易见
-
%
4
<
&
#
!
4-
%
<
&!
!
/
%
:
0
"
&
#-
%
"
&
#
"+'!
!!
为使用方便!人们已编制了-
%
<
&的函数值
表!称为标准正态分布表%见附表!
&!可供在计
算时使用!
例%
!
设:
!
7
%
"
!
!
&!试计算)
科
学出版社
职教技术出版中心
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第二章!
随机变量及其分布 %*
!!!
%
!
&
/
%
:
1
$+$
&'
!
%
$
&
/
%
:
%
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!
%
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:
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%
&
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$
:
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!
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$
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&
!
解!
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!
&
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:
1
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&
)
-
%
$+$
&
)"+21(!
'
%
$
&
/
%
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&
)!-/
%
1
!+*(
&
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-
%
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&
)!-"+2("1)"+"%2$
'
%
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&
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%
:
0
-"+*1
&
)
-
%
-"+*1
&
)!-
-
%
"+*1
&
)!-"+*1$%)"+$!**
'
%
&
&
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$
:
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&
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0
:
0
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&
)
-
%
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-
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-
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!+''
&
-!)$4"+2%2&-!)"+1*11
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$
:
$%
$+'
&
)!-/
%
$
:
$1
$+'
&
)!-/
%
-$+'
1
:
1
$+'
&
)!-
-
%
$+'
&
3
-
%
-$+'
&
)$-$
-
%
$+'
&
)$-$4"+221%)"+"!$&!
&+
一般正态分布的标准化
标准正态分布的重要性在于所有的正态分布都可以通过线性变换转化为标准
正态分布!
定理!
若:
!
7
%
#
!
+
$
&!则:-
#
+
!
7
%
"
!
!
&
!
证明!
令:
9
)
:-
#
+
!则:
9的分布函数为
G
%
<
&
#
/
%
:
9
1
<
&
#
/
:
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#
+
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#
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%
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1
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#
!
$槡"+
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$
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>
<
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$
$
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#-
%
<
&!
所以:
9
)
:-
#
+
!
7
%
"
!
!
&
!
通常称:
9
)
:-
#
+
为:
的标准化随机变量!
例&
!
设:
!
7
%
-!
!
!(
&!试计算)
%
!
&
/
%
:
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%
$
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$
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)"+2%%$3"+'21*-!)"+'%!2!
例'
!
设随机变量:
!
7
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&!试求)
%
!
&
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%
$
:-
#
$0
$
+
&'
%
%
&
/
%
$
:-
#
$0
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+
&
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:-
#
$0+
&
)/
%
-
+0
:-
#
0+
&
)/ -!
0
:-
#
+
0
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!
)
-
%
!
&
-
-
%
-!
&
)$
-
%
!
&
-!)$4"+1&!%-!
)"+(1$(
'
%
$
&
/
%
$
:-
#
$0
$
+
&
)$
-
%
$
&
-!)$4"+2**$-!)"+2'&&
'
%
%
&
/
%
$
:-
#
$0
%
+
&
)$
-
%
%
&
-!)$4"+221*-!)"+22*&!
由此看出!尽管服从正态分布的随机变量:
的取值范围是%
-
,
!
3
,
&!但:
几乎总取值于区间%
#
-%
+
!
#
3%
+
&内!而落在该区间外的可能性不到"+%7!
因此!
若在一次试验中发现:
的取值不在区间%
#
-%
+
!
#
3%
+
&内!就认为出现了异常情
况!这个做法俗称#
%
+
+
规则$
!
在企业管理中!经常应用该法则进行质量检查和工艺
过程的控制!
例+
!
假设某年级学生概率论与数理统计的考试成绩:
%百分制&服从正态分
布7
%
#
!
+
$
&!考试成绩*'
分以下者占%&7
!而2"
分以上的考生占!&7!
求)
%
!
&分布参数#
!
+
$
'%
$
&考试成绩在1"
!
2"
分的考生占多少(
解!
由已知条件得
/
%
:
0
*'
&
#-
*'
4
#
% &
+
#
"+%&
!
/
%
:
%
2"
&
#
!
4
/
%
:
1
2"
&
#
!
4-
2"
4
#
% &
+
#
"+!&
!
即-
*'-
#
% &
+
)"+%&
!
!-
2"-
#
% &
+
)"+1(
!
科
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第二章!
随机变量及其分布 &(
!!!
由于-
%
"
&
)"+'
!可见*'-
#
+
0
"
!因此
-
*'
4
#
% &
+
#
!
4-
#
4
*'
% &
+
#
"+%&
!
于是
-
#
4
*'
% &
+
#
"+((!
!!
由标准正态分布函数表%附表!
&查得!
-
%
"+&!
&
4
"+((
!
-
%
!+"1
&
4
"+1(
!于是
#
4
*'
+
4
"+&!
!
!
2"
4
#
+
4
!+"1
!
由此解得#
)*2+!%
!
+
$
)!"+"*
$
!
%
$
&
/
%
1"
0
:
0
2"
&
)
-
2"-*2+!%
% &
!"+"*
-
-
1"-*2+!%
% &
!"+"*
)
-
%
!+"1
&
-
-
%
"+"2
&
)"+1'22-"+'%'2)%$+&7
!
即考试成绩在1"
!
2"
分的考生占%$+&7!
习题!)#
)
组
!+
某随机变量:
!
.
%
!
!
(
&!求方程%
$
3:%3!)"
有实根的概率!
$+
假设一次电话通话时间是一随机变量!服从参数为"+!
的指数分布!假设你到达电话亭
时有一人正在通电话!试求)
%
!
&至少需要等!"
分钟的概率'
%
$
&需要等!"
!
$"
分钟的概率!
%+
假设收音机的有效使用时间%单位)年&服从参数为"+!$'
的指数分布!
现在有人买了一
台旧收音机!试求收音机还能使用1
年以上的概率!
&+
设:
!
7
%
!
!
&
&!试求)
%
!
&
/
%
"
0
:
0
!+(
&'
!!
%
$
&
/
%
:
%
'
&'
!!
%
%
&
/
%
:
0
-!+'
&'
%
&
&
/
%
:
%
-!+$
&' %
'
&
/
%
$
:-$
$0
!
&
!
'+
将一温度调节器放置在存贮着某种液体的容器内!调节器定在M#!
液体的温度:
%单
位)
#
&是一个随机变量!且:
!
7
%
M
!
"+'
$
&!求)
%
!
&若M)2"
!则:
小于12
的概率'
%
$
&若要求液体的温度至少为1"#
的概率不低于"+22
!则M
至少为多少(
(+
设某城市男子身高:
!
7
%
!*"
!
(
$
&%单位)
B9
&!问应如何设计公共汽车车门的高度!使男
子与车门碰头的机会小于"+"!
(
*+
某人上班所需时间%单位)分钟&
:
!
7
%
%"
!
!"
$
&!已知上班的时间是1
)
%"
!他每天*
)
'"
&!
!!!
出门!求)
%
!
&某天迟到的概率'
%
$
&一周%以'
天计&最多迟到一次的概率!
*
组
!+
设随机变量:
在区间%
$
!
'
&上服从均匀分布!现对:
进行%
次独立观测!试求至少有两
次试验值大于%
的概率!
$+
某仪器装了%
支独立工作的同型号电子元件!其寿命:
%单位)小时&都服从同一指数分
布!其概率密度函数为
0
%
<
&
#
!
(""
/
4
<
(""
!
<
%
"
"
!
<
1
:
;
<
"
!
试求在仪器使用的最初$""
小时内!至少有一支电子元件损坏的概率!
%+
某地抽样调查结果表明!考生的数学成绩%百分制&
:
!
7
%
*$
!
+
$
&!且2(
分以上的考生占
考生总数的$+%7!
试求)
%
!
&考生数学成绩为("
!
1&
分的概率!
%
$
&
'
位学生中至少有一位学生成绩为("
!
1&
分的概率!
!$#'
!
随机变量函数的分布
在实际问题中!有时我们考察的随机变量是另一随机变量的函数!
例如!某超
市某段时间的销售量:
是一个随机变量!而利润;
是随着销售量的变化而变化
的!所以利润;
是销售量:
的函数!
一般地!设=
)
N
%
<
&是一元函数!
:
是一个随机变量!则;)
N
%
:
&也为随机变
量!称;
是随机变量:
的函数!
那么!如何根据已知随机变量:
的概率分布求函
数;)
N
%
:
&的概率分布呢(下面我们分离散型和连续型两种情况进行讨论!
$#'#"
!
离散型随机变量函数的分布
设:
为离散型随机变量!其分布律为
:
<
!
<
$
,
<
,
,
/
2
!
2
$
,
2
,
,
又N
%
<
&是已知函数!则随机变量:
的函数;)
N
%
:
&也是离散型随机变量!其分布
律为
;)
N
%
:
&
N
%
<
!
&
N
%
<
$
&
,
N
%
<
,
&
,
/
2
!
2
$
,
2
,
,
!!
注意!若N
(
<
,
)(
,)!
"
$
"+)中有相同的值"则把那些相同的值分别合并"并根
科
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第二章!
随机变量及其分布 &"
!!!
据概率的加法公式把相应的概率相加!
例"
!
设随机变量:
的分布律为
: -! " ! $ %
/ "+% "+! "+! "+% "+$
求下列函数的分布律!
%
!
&
:3!
'
!
%
$
&
-$:
'
!
%
%
&
:
$
!
解!
根据:
的分布律!列表进行计算!
/ "+% "+! "+! "+% "+$
: -! " ! $ %
:3! " ! $ % &
-$: $ " -$ -& -(
:
$
! " ! & 2
由上表可知!
:3!
的分布律为
:3! " ! $ % &
/ "+% "+! "+! "+% "+$
-$:
的分布律为
-$: -( -& -$ " $
/ "+$ "+% "+! "+! "+%
:
$的分布律为
:
$
" ! & 2
/ "+! "+& "+% "+$
$#'#$
!
连续型随机变量函数的分布
设:
为连续型随机变量!则函数;)
N
%
:
&不一定是连续型随机变量!
若;)
N
%
:
&只有有限个或可列个取值!则函数;)
N
%
:
&为离散型随机变量!此时求解方
法按上述离散型的情形进行!
若=
)
N
%
<
&为连续函数!则函数;)
N
%
:
&一定也是
连续型随机变量!此时可由:
的概率密度函数0
:
%
<
&求出;)
N
%
:
&的概率密度函
数0
;
%
=
&
!
求解的基本方法是分布函数法!具体步骤如下!
第一步)由随机变量:
的取值范围"
:
确定函数;)
N
%
:
&的值域"
;
'
第二步)当=
,"
;
时!求出;
的分布函数G
;
%
=
&
G
;
%
=
&
#
/
%
;
1
=
&
#
/
%
N
%
:
&
1
=
&
#
/
%
:
,
O
=
&
#
>
O
=
0
:
%
<
&
E<
!
其中O
=
)
*
<
$
N
%
<
&
1
=
+是实数轴上某一集合'
&#
!!!
第三步)对G
;
%
=
&求导!则;)
N
%
:
&的概率密度函数为
0
;
%
=
&
#
>
O
=
0
:
%
<
&
E
% &
<I
!
=
,
"
;
"
!
:
;
<
其他
!
这里;
的值域"
;
可能为%
-
,
!
3
,
&
!
例$
!
设随机变量:
!
.
%
!
!
'
&!
;)
"
!
:
1
%
!
!
:
%
*
%
!试求随机变量;
的概率
分布!
解!
这里虽然:
为连续型随机变量!但;
是离散型随机变量!它所有可能取
值为"
!
!!
随机变量:
的概率密度函数为
0
%
<
&
#
!
&
!
!
0
<
0
'
"
!
:
;
<
其他!
!!
利用事件的等价性!不难算出
/
%
;
#
"
&
#
/
%
:
1
%
&
#
>
%
4
,
0
:
%
<
&
E<
#
>
%
!
!
&
E<
#
!
$
!
/
%
;
#
!
&
#
/
%
:
%
%
&
#
>
1
,
%
0
:
%
<
&
E<
#
>
'
%
!
&
E<
#
!
$
!
所以随机变量;
的分布律为
; " !
/
!
$
!
$
!!
例%
!
设随机变量:
服从区间%
"
!
!
&上的均匀分布!求;)/
: 的密度函数
0
;
%
=
&
!
解!
随机变量:
的密度函数为0
:
%
<
&
)
!
!
"
0
<
0
!
"
!
* 其他!
由于当:
,
%
"
!
!
&时!
;)/
:
,
%
!
!
/
&!于是有
当=
1
!
时!
G
;
%
=
&
)/
%
;
1
=
&
)/
%
/
:
1
=
&
)"
'
当!
0
=
0
/
时!
G
;
%
=
&
#
/
%
;
1
=
&
#
/
%
/
:
1
=
&
#
/
%
:
1
@0
=
&
#
>
@0
=
"
E<
#
@0
=
'
当=
#
/
时!
G
;
%
=
&
)/
%
;
1
=
&
)/
%
/
:
1
=
&
)!!
因此!
;)/
: 的分布函数为
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第二章!
随机变量及其分布 &$
!!!
G
;
%
=
&
#
"
!
=
1
!
@0
=
!
!
0
=
0
/
!
!
=
#
:
;
<
/
!
故;)/
: 的密度函数为
0
;
%
=
&
#
GI
;
%
=
&
#
!
=
!
!
0
=
0
/
"
!
:
;
<
其他!
!!
例&
!
设随机变量:
服从标准正态分布!试求;):
$的概率密度函数!
解!
随机变量:
的概率密度函数为
,
%
<
&
#
!
$槡"
/
4
<
$
$
!
%
4,
0
<
0
1,
&
!
!!
由于当:
,
%
-
,
!
3
,
&时!
;):
$
,
.
"
!
3
,
&!于是有
当=
0
"
时!
G
;
%
=
&
)/
%
;
1
=
&
)/
%
:
$
1
=
&
)"
'
当=
#
"
时!
G
;
%
=
&
)/
%
;
1
=
&
)/
%
:
$
1
=
&
)/
%
-槡=
1
:
1
槡=
&
#
>
槡=
4槡=
,
%
<
&
E<
#
$
>
槡=
"
!
$槡"
/
4
<
$
$
E<!
因此!
;):
$的分布函数为
G
;
%
=
&
#
$
>
槡=
"
!
$槡"
/
4
<
$
$
E<
!
=
#
"
"
!
=
0
:
;
<
"
!
故;
概率密度函数为
0
;
%
=
&
#
GI
;
%
=
&
#
$
>
槡=
"
!
$槡"
/
4
<
$
$
E
% &
<
I
!
=
%
"
"
!
:
;
<
其他
#
!
$
"
槡=
/
4
=
$
!
=
%
"
"
!
:
;
<
其他
!
!!
以上做题方法具有普遍性!一般来说!我们都可以用分布函数法求出连续型随
机变量函数的概率密度函数!
特殊地!当函数=
)
N
%
<
&单调且具有一阶连续的导数
时!利用分布函数法可推导出;)
N
%
:
&的概率密度函数公式!
定理!
设连续型随机变量:
的概率密度函数为0
:
%
<
&%
-
,0
<
0
3
,
&!若
函数=
)
N
%
<
&单调且具有一阶连续导数!其反函数为<)P
%
=
&!则;)
N
%
:
&也是
一个连续型随机变量!其概率密度函数为
&%
!!!
0
;
%
=
&
#
0
:
%
P
%
=
&&
&
PI
%
=
&
&
!
=
,
"
;
"
!
:
;
<
其他!
!!
证明!
这里假设;
的值域"
;
)
%
$
!
%
&
!
%
!
&若=
)
N
%
<
&是单调递增函数!则它的反函数<)P
%
=
&也是单调递增函数!
此时PI
%
=
&
%
"!
于是有
当=
1$
时!
G
;
%
=
&
)/
%
;
1
=
&
)/
%
N
%
:
&
1
=
&
)"
'
当=
#
%
时!
G
;
%
=
&
)!
'
当$0
=
0
%
时!
G
;
%
=
&
#
/
%
;
1
=
&
#
/
%
N
%
:
&
1
=
&
#
/
%
:
1
P
%
=
&&
#
>
P
%
=
&
4
,
0
:
%
<
&
E<
!
故;
的概率密度函数为
0
;
%
=
&
#
GI
%
=
&
#
0
:
%
P
%
=
&&
PI
%
=
&!
$
0
=
0
%
"
!
:
;
<
其他!
!!
%
$
&若=
)
N
%
<
&是单调递减函数!则它的反函数<)P
%
=
&也是单调递减函数!
此时PI
%
=
&
0
"+
于是有
当=
1$
时!
G
;
%
=
&
)"
'
当=
#
%
时!
G
;
%
=
&
)!
'
当$0
=
0
%
时!
G
;
%
=
&
#
/
%
;
1
=
&
#
/
%
N
%
:
&
1
=
&
#
/
%
:
#
P
%
=
&&
#
>
1
,
P
%
=
&
0
:
%
<
&
E<
#4
>
P
%
=
&
1
,
0
:
%
<
&
E<
!
故;
的概率密度函数为
0
;
%
=
&
#
GI
%
=
&
#
4
0
:
%
P
%
=
&&
PI
%
=
&!
$
0
=
0
%
"
!
:
;
<
其他!
!!
综合%
!
&"%
$
&便得
0
;
%
=
&
#
0
:
%
P
%
=
&&
&
PI
%
=
&
&
!
=
,
"
;
"
!
:
;
<
其他!
!!
说明!该定理中"函数=
)
N
(
<
)不一定在(
-
,
"
3
,
)单调"只需=
)
N
(
<
)在
"
:
内单调即可!
例'
!
设随机变量:
的概率密度函数为
0
:
%
<
&
#
<
1
!
"
0
<
0
&
"
!
:
;
<
其他
!
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第二章!
随机变量及其分布 &&
!!!
求函数;)$:31
的概率密度函数0
;
%
=
&
!
解!
由已知条件可知;)$:31
的值域"
;
为%
1
!
!(
&
!
由于函数=
)$<31
单
调递增且具有一阶连续的导数!其反函数为<)P
%
=
&
)
=
-1
$
!且PI
%
=
&
)
!
$
!
由定
理知!
;
的概率密度函数为
0
;
%
=
&
#
0
:
%
P
%
=
&&
&
PI
%
=
&
&
!
1
0
=
0
!(
"
!
:
;
<
其他
#
=
4
1
%$
!
1
0
=
0
!(
"
!
:
;
<
其他
!
!!
例+
!
设随机变量:
!
7
%
#
!
+
$
&!证明:
的线性函数;)*:36
%
*
3
"
&也服从
正态分布!
证明!
随机变量:
的概率密度函数为
0
:
%
<
&
#
!
$槡"+
/
4
%
<
4
#
&
$
$
+
$
!
%
4,
0
<
0
1,
&!
函数;)*:36
的值域"
;
为%
-
,
!
3
,
&
!
由于函数=
)*<36
%
*
3
"
&单调且具有
一阶连续的导数!其反函数为<)P
%
=
&
)
=
-6
*
!且PI
%
=
&
)
!
*
!
由定理知!随机变量
;
的概率密度函数为
0
;
%
=
&
#
0
:
%
P
%
=
&&
&
PI
%
=
&
&#
!
$槡"+
/
4
=4
6
*
4
% &
#
$
$
+
$
!
&
*
&
#
!
$槡"&
*
&+
/
4
.
=4
%
6
1
*
#
&/
$
$
%
*
+
&
$
!
%
4,
0
=
0
1,
&
!
!!
可见!若随机变量:
!
7
%
#
!
+
$
&!则:
的线性函数;)*:36
%
*
3
"
&也服从正
态分布!且;)*:36
!
7
%
*
#
36
!
*
$
+
$
&
!
特别地!当*)
!
+
!
6)-
#
+
时!
;)*:3
6)
:-
#
+
!
7
%
"
!
!
&
!
注意!若连续函数=
)
N
(
<
)在"
:
内不单调"则不能直接使用定理"此时求;)
N
(
:
)的概率密度函数需用最基本的分布函数法进行求解"如例&
就不能直接使用
定理!
&'
!!!
习题!)$
)
组
!+
设随机变量:
的分布律为
: -! " ! $ %
/
!
'
!
!"
!
!"
%
!"
%
!"
求函数:3$
!
-:3!
!
:
$的分布律!
$+
假设由自动线加工的某种零件内径:
%单位)
99
&服从正态分布7
%
!!
!
!
&!内径:
小于
!"
或大于!$
为不合格品!其余为合格品!
销售每件合格品获利!销售每件不合格品则亏损!已知
销售利润;
%单位)元&与销售零件的内径:
有如下关系
;
#
4
!
!
:
0
!"
$"
!
!"
1
:
1
!$
4
'
!
:
%
:
;
<
!$
!
试求;
的分布律!
%+
设随机变量:
服从参数*
)!
的指数分布!求;):
$的密度函数0
;
%
=
&
!
&+
设随机变量:
的概率密度函数0
:
%
<
&
)
<
%
/
-<
$
!
<
#
"
"
!
<
0
*
"
!求;)$:3%
的概率密度0
;
%
=
&
!
'+
设随机变量:
服从标准正态分布!求下列随机变量的概率密度函数)
%
!
&
;)%:3!
'
%
$
&
;)
$
:
$
!
(+
设随机变量:
服从区间%
"
!
!
&上均匀分布!求;)-$@0:
的概率密度函数0
;
%
=
&
!
*+
设随机变量:
!
. -
"
$
!
"
% &
$
!试用两种不同的方法求函数;)D:0:
的概率密度函数
0
;
%
=
&
!
*
组
!+
设随机变量:
的概率密度函数为
0
%
<
&
#
$
"
!
/
<
1
/
4
<
!
%
4,
0
<
0
1,
&!
求随机变量;)
N
%
:
&的概率分布!其中;)
N
%
:
&
)
-!
!
:
0
"
!
!
:
#
*
"
!
$+
由于加工的误差!钢球的半径是一随机变量:
!其概率密度函数为
0
%
<
&
#
(<
%
!
4
<
&!
"
0
<
0
!
"
!
* 其他!
试求钢球的表面积概率密度函数!
%+
设随机变量:
!
.
%
"
!
"
&!试求函数;)D:0:
的概率密度函数0
;
%
=
&
!
&+
已知随机变量:
的分布律如下!试求;)D:0
"
$
% &
:
的分布律!
科
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第二章!
随机变量及其分布 &*
!!!
: ! $ %
,
*
,
/
!
$
!
&
!
1
,
!
$
*
,
复习题二
一#填空题
!+
若随机变量:
的分布律为/
%
:)*
&
)
!
'
%
*)!
!
$
!
%
!
&
!
'
&!则/
%
:)$
&
)
!
/
%
"+'
0
:
0
$+'
&
) !
$+
若随机变量:
的分布函数为G
%
<
&
)
!-
%
!3<
&
/
-<
!
<
#
"
"
!
<
0
*
"
!则随机变量:
的概率密
度函数为 !
/
%
:
1
!
&
) !
%+
若每次射击中靶的概率为"+*
!现射击'
炮!则恰好命中两炮的概率为 !至少命
中!
炮的概率为!
&+
已知随机变量:
!
(
%
(
!
2
&!若/
%
:)!
&
)/
%
:)'
&!则2
)
!
/
%
:)$
&
)
!
'+
设随机变量:
服从区间%
"
!
$
&上的均匀分布!则随机变量;):
$在%
"
!
&
&内的概率密度
函数为0
;
%
=
&
) !
(+
设随机变量:
服从.
"
!
(
/上的均匀分布!则方程%
$
3%:3!)"
有实根的概率为
!
*+
设某批零件的长度:
!
7
%
!"
!
"+"$
$
&%单位)
99
&!按规定长度在.
2+2'
!
!"+"'
/范围内的
工件为合格品!则零件的合格率为!
1+
若随机变量:
的概率密度函数为0
%
<
&
)
$/
-$<
!
<
#
"
"
!
<
0
*
"
!则/ :
%% &
!
$
)
!若
;)$:3!
!则;
的概率密度函数0
;
%
=
&为!
2+
若随机变量:
的概率密度函数0
%
<
&
)
A
%
!-<
&!
"
0
<
0
!
"
!
* 其他!则常数
A)
!
:
的
分布函数G
%
<
&为!
!"+
若随机变量:
!
7
%
"
!
$
&!则;)%:-!
的概率密度函数为!
!!+
设随机变量:
!
/
%
*
&!且/
%
:)!
&
)/
%
:)$
&!则/
%
:)&
&
) !
!$+
已知随机变量:
!
(
%
$
!
2
&!
;
!
(
%
%
!
2
&!并且/
%
:
#
!
&
)
'
2
!则/
%
;
#
!
&
) !
!%+
若:
!
7
%
#
!
+
$
&!而方程=
$
3&
=
3:)"
无实根的概率为!
$
!则#
) !
!&+
在区间.
"
!
!
/中任取一点:
!则/ :
$
-
%
&
:3
!
1
#% &
" ) !
!'+
设随机变量:
的概率密度函数为
'+
!!!
0
%
<
&
#
!
%
!
"
1
<
1
!
$
2
!
%
1
<
1
(
"
!
:
;
< 其他
!
若*
使得/
%
:
#
*
&
)
$
%
!则*
的取值范围是!
!(+
设随机变量:
的概率密度函数为0
%
<
&
)
$<
!
"
0
<
0
!
"
!
* 其他!以
;
表示对:
的三次独立
重复观察中事件*
:
1
"+'
+出现的次数!则/
%
;)$
&
) !
!*+
设连续型随机变量:
的分布函数G
%
<
&
)
'3(/
-
<
$
$
!
<
%
"
"
!
<
1
:
;
<
"
!则')
!
()
!
!1+
设随机变量:
!
7
%
%
!
&
&!若/
%
:
0
A
&
)/
%
:
#
A
&!则A) !
!2+
已知随机变量:
的概率密度函数为0
%
<
&
)
!
$
/
-
$
<
$
%
-
,0
<
0
3
,
&!则:
的分布函
数为!
$"+
设:
!
7
%
$
!
+
$
&!且/
%
$
0
:
0
&
&
)"+%
!则/
%
:
0
"
&
) !
$!+
对圆片直径进行测量!测量值:
!
.
%
'
!
(
&!则圆的面积;
的概率密度函数为!
二#选择题
!+
设随机变量:
!
7
%
#
!
+
$
&!则随+
的增大!概率/
%
$
:-
#
$0+
&%
!!
&
!
%
;
&单调增大'
!! !
%
<
&单调减小'
!! !
%
=
&保持不变'
!! !
%
>
&增减不定!
$+
设随机变量:
的概率密度函数0
%
<
&是偶函数!而G
%
<
&是:
的分布函数!则对于任意的
实数5
!有%
!!
&
!
%
;
&
G
%
4
5
&
#
!
4
>
5
"
0
%
<
&
E<
' %
<
&
G
%
4
5
&
#
"+'
4
>
5
"
0
%
<
&
E<
'
%
=
&
G
%
-5
&
)G
%
5
&' %
>
&
G
%
-5
&
)$G
%
5
&
-!!
%+
设随机变量:
!
7
%
#
!
+
$
&!其分布函数记作G
%
<
&!则对于任意的<
!有%
!!
&
!
%
;
&
G
%
#
3<
&
3G
%
#
-<
&
)!
' %
<
&
G
%
<3
#
&
3G
%
<-
#
&
)!
'
%
=
&
G
%
#
3<
&
-G
%
#
-<
&
)"
' %
>
&
G
%
<3
#
&
-G
%
<-
#
&
)"!
&+
设随机变量;)5:36
%
5
3
"
&与随机变量:
服从同一名称的分布!如果:
服从%
!!
&
!
%
;
&二项分布' %
<
&泊松分布' %
=
&正态分布' %
>
&指数分布!
'+
设G
!
%
<
&与G
$
%
<
&分别为随机变量:
!
!
:
$
的分布函数!在下列给定的各组数值中!使
G
%
<
&
)5G
!
%
<
&
-6G
$
%
<
&为某一随机变量的分布函数!应取%
!!
&
!
%
;
&
5)
%
'
!
6)-
$
'
' %
<
&
5)
$
%
!
6)
$
%
'
%
=
&
5)-
!
$
!
6)
%
$
' %
>
&
5)
!
$
!
6)-
%
$
!
(+
设G
!
%
<
&与G
$
%
<
&都是随机变量的分布函数!
0
!
%
<
&与0
$
%
<
&是相应的密度函数!则
%
!!
&
!
科
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第二章!
随机变量及其分布 '(
!!!
%
;
&
G
!
%
<
&
3G
$
%
<
&是分布函数' %
<
&
G
!
%
<
&
G
$
%
<
&是分布函数'
%
=
&
0
!
%
<
&
3
0
$
%
<
&是密度函数' %
>
&
0
!
%
<
&
0
$
%
<
&是密度函数!
*+
已知G
%
<
&
)
"
!
<
0
"
<3"+'
!
"
1
<
0
"+'
!
!
<
#
:
;
<
"+'
!则G
%
<
&是%
!!
&型随机变量的分布函数!
%
;
&连续型' %
<
&离散型' %
=
&非连续亦非离散!
1+
已知随机变量:
!
7
%
#
!
!
+
$
!
&!随机变量;
!
7
%
#
$
!
+
$
$
&!并且/
%
$
:-
#
!
$0
!
&
%
/
%
$
;-
#
$
$0
!
&!则必有%
!!
&
!
%
;
&
+!0+$
' %
<
&
+!%+$
' %
=
&
#
!
0
#
$
' %
>
&
#
!
%
#
$
!
三#计算题
!+
同时掷两枚骰子!观察它们分别出现的点数!求两枚骰子出现的最大点数:
的分布律!
$+
设随机变量:
的分布函数为
G
%
<
&
#
"
!
<
0
4
$
!
%
!
4
$
1
<
0
"
!
$
!
"
1
<
0
%
!
!
<
#
:
;
<
%
!
求:
的分布律!
%+
有一辆繁忙的汽车站!有大量的汽车通过!设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概
率为"+"""!
!在某天的该段时间内有!"""
辆汽车通过!问出现事故的次数不少于$
的概率是
多少(
&+
某种电池的寿命%单位)小时&
:
!
7
%
%""
!
%'
$
&
!
试求)
%
!
&电池寿命在$'"
小时以上的概率'
%
$
&求<
!使寿命在#
-<
与#
3<
之间概率不小于"+2!
'+
假设一种电池的寿命:
服从*
)
!
$""
的指数分布!有一枚电池已经使用了1"
小时!求它
至少还能再使用1"
小时的概率!
(+
设顾客在某银行的窗口等待服务的时间%单位)分钟&服从*
)
!
'
的指数分布!某顾客在
窗口等待服务!若超过!"
分钟!他就离开!
试求)
%
!
&设某顾客某天去银行!他未等到服务就离开的概率'
%
$
&设某顾客一个月要去银行'
次!他'
次中至多有!
次未等到服务就离开的概率!
*+
某射手有'
发子弹!射一次!命中的概率为"+2
!如果命中了就停止射击!否则一直射到
子弹用完!
试求)
%
!
&耗用子弹数:
的分布律'
%
$
&
:
的分布函数'
%
%
&最多用%
发子弹的概率!
1+
试确定常数5
!
6
!
A
!
M
的值!使函数
'!
!!!
G
%
<
&
#
5
!
<
0
!
6<@0<
1
A<
1
M
!
!
1
<
1
/
M
!
<
%
:
;
<
/
为某连续型随机变量的分布函数!
2+
电源电压在不超过$"".
"
$""
!
$&".
和超过$&".
的%
种情况下!元件损坏的概率分别
为"+!
"
"+""!
"
"+$!
设电源电压:
!
7
%
$$"
!
$'
$
&!求)
%
!
&元件损坏的概率'
%
$
&元件损坏时!电压在$""
!
$&".
间的概率!
!"+
设随机测量的误差:
!
7
%
"
!
!"
$
&!求在!""
次独立重复测量中至少有%
次测量误差的
绝对值大于!2+(
的概率!并用泊松分布求其近似值!
!!+
已知甲"乙两箱中装有同种产品!其中甲箱中装有%
件合格品和%
件次品!乙箱中仅装
有%
件合格品!
从甲箱中任取%
件产品放入乙箱后!求乙箱中次品件数:
的分布律!
!$+
某单位招聘$'""
人!按考试成绩从高分到低分依次录用!共有!""""
人报名!假设报
名者的成绩:
!
7
%
#
!
+
$
&!已知2"
分以上有%'2
人!
("
分以下有!!'!
人!问被录用者中最低分
为多少(
!%+
某人去火车站乘车!有两条路可以走!
第一条路线较短!但交通阻塞!所需时间%单位)
分钟&服从正态分布7
%
'"
!
!"
$
&'第二条路线较长!但意外阻塞较少!所需时间:
服从正态分布
7
%
("
!
&
$
&
!
试问)
%
!
&若动身时离开时间只有*"
分钟!应该走哪一条路线(
%
$
&若动身时离开时间只有('
分钟!应该走哪一条路线(
四#证明题
!+
设G
!
%
<
&与G
$
%
<
&都是随机变量的分布函数!
5
!
6
是非负常数!且536)!
!证明)
G
%
<
&
)
5G
!
%
<
&
36G
$
%
<
&可作为某随机变量的分布函数!
$+
假设随机变量:
服从参数*
)$
的指数分布!证明)
;)!-/
-$:在区间.
"
!
!
/上服从均匀
分布!
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第三章!
多维随机变量及其分布
前面我们仅限于讨论用一个随机变量所描述的随机现象!
但在实际问题中!许
多随机试验的结果!仅用一个随机变量不能确切地描述!这时需要用两个或两个以
上的随机变量来描述!
例如!考察儿童身体发育状况!需要同时考察儿童的身高与
体重!这时需要引入二维随机变量%
:
!
;
&!其中:
表示儿童的身高!
;
表示体重!
为了研究居民的银行储蓄存款余额与国民收入"通货膨胀等之间的关系!往往需要
引入多个随机变量!等等诸如此类的问题很多!
因此!我们引入二维及二维以上随
机变量的概念!
由于关于二维随机变量的讨论不难推广到$
%
$
%
$
&维随机变量的
情形!因此下面重点讨论二维随机变量及其分布!
!%#"
!
二维随机变量的联合分布
%#"#"
!
二维随机变量
定义"
!
设随机试验的样本空间为"
)
*
!
+!设:
%
!
&"
;
%
!
&是定义在"
上的
随机变量!
由它们构成的向量%
:
%
!
&!
;
%
!
&&称为二维随机变量%或二维随机向
量&!简记为%
:
!
;
&!并称:
!
;
为二维随机变量%
:
!
;
&的两个分量!
实际上!二维随机变量%
:
!
;
&就是定义在同一随机试验所对应的"
上的
两个随机变量:
!
;
!我们之所以要把它们作为一个二元整体%
:
!
;
&加以研
究!而不分开单个研究!其目的在于要讨论:
和;
之间内在联系的统计规
律性!
如考察儿童身体发育状况!我们感兴趣的不仅是每个儿童的身高:
与体
重;
!还要考察它们之间的相依关系!
因而需要把它们作为一个二元整体%
:
!
;
&进行研究!这样才能更好地反映儿童的身体发育状况!
与一维随机变量类似!我们引入二维随机变量的分布函数!
%#"#$
!
联合分布函数
定义$
!
设%
:
!
;
&为二维随机变量!对于任意实数<
!
=
!称二元函数
G
%
<
!
=
&
#
/
%
:
1
<
!
;
1
=
&
为二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布函数!简称分布函数!
其中*
:
1
<
!
;
1
=
+
)
*
:
1
<
+
+
*
;
1
=
+!表示两个事件*
:
1
<
+"*
;
1
=
+同时发生!
'#
!!!
图%+!+!
!
若将二维随机变量%
:
!
;
&看成平面上随
机点的坐标!则G
%
<
!
=
&在点%
<
!
=
&处函数值
的几何意义是)随机点%
:
!
;
&落在以点%
<
!
=
&
为顶点的左下方的无穷矩形域内的概率%见
图%+!+!
&
!
依照上述几何意义!不难推得随机点%
:
!
;
&
落在矩形域8)
*%
<
!
=
&
$
<
!
0
<
1
<
$
!
=
!
0
=
1
=
$
+
内的概率为
!
/
%
<
!
0
:
1
<
$
!
=
!
0
;
1
=
$
&
#
G
%
<
$
!
=
$
&
4
G
%
<
!
!
=
$
&
4
G
%
<
$
!
=
!
&
1
G
%
<
!
!
=
!
&
!
!!
由此可见!只要知道了%
:
!
;
&的联合分布函数!那么随机点%
:
!
;
&落在任一矩
形域8
内的概率即可求得!
这说明联合分布函数完全刻画了二维随机变量的概率
分布规律!
与一维随机变量分布函数的性质类似!二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布函数
G
%
<
!
=
&具有如下性质)
%
!
&
"
1
G
%
<
!
=
&
1
!
'
%
$
&
G
%
3
,
!
3
,
&
)!
!
G
%
-
,
!
=
&
)G
%
<
!
-
,
&
)G
%
-
,
!
-
,
&
)"
'
%
%
&
G
%
<
!
=
&分别关于<
!
=
单调不减!
即对任意固定的=
!当<
!
%
<
$
时!有
G
%
<
!
!
=
&
#
G
%
<
$
!
=
&'对任意固定的<
!当=
!
%
=
$
时!有G
%
<
!
=
!
&
#
G
%
<
!
=
$
&'
%
&
&
G
%
<
!
=
&分别关于<
!
=
右连续!
即
G
%
<
!
=
&
#
G
%
<
1
"
!
=
&!
G
%
<
!
=
&
#
G
%
<
!
=
1
"
&'
!!
%
'
&对任意<
!
0
<
$
!
=
!
0
=
$
!有
G
%
<
$
!
=
$
&
4
G
%
<
!
!
=
$
&
4
G
%
<
$
!
=
!
&
1
G
%
<
!
!
=
!
&
#
"!
!!
反过来!若二元函数G
%
<
!
=
&具有上述性质!则它可作为某二维随机变量
%
:
!
;
&的联合分布函数!
例"
!
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布函数为
G
%
<
!
=
&
#
'
%
(
1
5ABC50$<
&%
)
1
5ABC50%
=
&!
其中-
,0
<
0
3
,
!
-
,0
=
0
3
,
!
求)
%
!
&常数'
"
(
"
)
'%
$
&
/
"
0
:
1
!
$
!
!
%
1
;
1
槡%% &
%
!
解!
%
!
&由联合分布函数的性质得
科
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第三章!
多维随机变量及其分布 '$
!!!
G
%
1,
!
1,
&
#
'
(
1
"
% &
$
)
1
"
% &
$
#
!
G
%
4,
!
=
&
#
'
(
4
"
% &
$
%
)
1
5ABC50%
=
&
#
"
G
%
<
!
4,
&
#
'
%
(
1
5ABC50$<
&
)
4
"
% &
$
#
:
;
<
"
!
解之得
'
#
!
"
$
!
!
(
#
"
$
!
!
)
#
"
$
!
故
G
%
<
!
=
&
#
!
"
$
"
$
1
5ABC50$
% &
<
"
$
1
5ABC50%
% &
=
!
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%
$
&
/
"
0
:
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!
$
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!
%
1
;
1
槡%% &
%
)G
!
$
!
槡%% &
%
-G
!
$
!
% &
!
%
-G
"
!
槡%% &
%
3G "
!
% &
!
%
)
!
&1
!
以上关于二维随机变量的讨论!不难推广到$
维随机变量中!
设随机试验的样本空间为"
)
*
!
+!
:
!
%
!
&!
:
$
%
!
&!,!
:
$
%
!
&是"
上的随机变
量!则它们构成的$
维向量%
:
!
%
!
&!
:
$
%
!
&!,!
:
$
%
!
&&称为$
维随机变量!简记为
%
:
!
!
:
$
!,!
:
$
&
!
一般地!对于任意$
个实数<
!
!
<
$
!,!
<
$
!我们称$
元函数
G
%
<
!
!
<
$
!,!
<
$
&
#
/
%
:
!
1
<
!
!
:
$
1
<
$
!,!
:
$
1
<
$
&
为$
维随机变量%
:
!
!
:
$
!,!
:
$
&的联合分布函数!简称为分布函数!
它具有类似
于二维随机变量分布函数的性质!
习题")(
!+')
*
:
1
5
!
;
1
6
+与()
*
:
%
5
!
;
%
6
+互为对立事件吗(如果不是!它们的对立事件分
别是什么(
$+
二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布函数为G
%
<
!
=
&是什么事件的概率(
%+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布函数为G
%
<
!
=
&!使用G
%
<
!
=
&表示下列概率)
%
!
&
/
%
5
1
:
0
6
!
;
0
A
&'
!
%
$
&
/
%
"
1
;
0
6
&'
!
%
%
&
/
%
:
%
5
!
;
%
6
&
!
&+
二元函数G
%
<
!
=
&
)
!
!
<3
=
#
"
"
!
* 其他是否可作为某二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布函数(
'+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布函数为
G
%
<
!
=
&
#
!
4
$
4
<
4
$
4=
1
$
4
<
4=
!
<
#
"
!
=
#
"
"
!
* 其他!
试求)%
!
&
/
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!
0
:
1
$
!
%
0
;
1
'
&'
!
%
$
&
@:9
<
=
3
,
G
%
<
!
=
&!
@:9
==
3
,
G
%
<
!
=
&
!
'%
!!!
!%#$
!
二维离散型随机变量
对于二维随机变量!与一维随机变量的讨论类似!我们基本上只讨论离散型和
连续型!
下面先讨论离散型随机变量!
如果二维随机变量%
:
!
;
&全部可能取值为有限对或无限可列对!则称%
:
!
;
&
为二维离散型随机变量!
显然!%
:
!
;
&为二维离散型随机变量!当且仅当:
!
;
均为离散型随机变量!
自
然!对于二维离散型随机变量的最直接描绘是给出其取每一可能值的概率!
为此!
我们给出下列定义!
定义!
设%
:
!
;
&为二维离散型随机变量!它的全部可能取值为%
<
,
!
=
3
&%
,
!
3
)
!
!
$
!,&!若/
%
:)<
,
!
;)
=
3
&
)
2
,
3
!则称其为二维离散型随机变量%
:
!
;
&的联合
分布律!简称为分布律!
易知!联合分布律具有以下基本性质)
%
!
&非负性!
2
,
3
#
"
!
,
!
3
)!
!
$
!,'
%
$
&规范性!
2
,
2
3
2
,
3
#
!!
为了直观!%
:
!
;
&的联合分布律通常可采用表格形式来表示
!
;
:
!
=
!
=
$
,
=
3
,
<
!
2
!!
2
!$
,
2
!
3
,
<
$
2
$!
2
$$
,
2
$
3
,
5 5 5 5
<
,
2
,!
2
,$
,
2
,
3
,
5 5 5 5
对于二维离散型随机变量%
:
!
;
&而言!联合分布律不仅比联合分布函数更加
直观!而且能够更加方便地确定%
:
!
;
&取值于任何区域8
上的概率!即
/
%%
:
!
;
&
,
8
&
#
2
%
<
,
!
=
3
&
,
8
2
,
3
!
!!
特别地!由联合分布律可求得%
:
!
;
&的联合分布函数!即
G
%
<
!
=
&
#
/
%
:
1
<
!
;
1
=
&
#
2
<
,
1
<
!
=
3
1
=
2
,
3
!
!!
例"
!
二维随机变量%
:
!
;
&所有取值为%
"
!
"
&!%
-!
!
!
&!%
-!
!
$
&!%
$
!
"
&!且取
这些值的概率依次为"+!
!
"+$
!
"+%
!
"+&
!试求)
科
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第三章!
多维随机变量及其分布 '&
!!!
%
!
&%
:
!
;
&的联合分布律'
!!
%
$
&
/
%
:)-!
&!
/
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;)!
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&
G
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"
!
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&
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解!
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:
!
;
&的联合分布律为
!
;
:
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-! " "+$ "+%
" "+! " "
$ "+& " "
!!
%
$
&
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%
:)-!
&
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%
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!
;)!
&
3/
%
:)-!
!
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&
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'
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;)!
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:)-!
!
;)!
&
)"+$
'
%
%
&
G
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"
!
!
&
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%
:
1
"
!
;
1
!
&
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&
3/
%
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!
;)!
&
)"+%
'
%
&
&
/
%
:
#
;
&
)/
%
:)"
!
;)"
&
3/
%
:)$
!
;)"
&
)"+'!
不难看出!由二维离散型随机变量%
:
!
;
&的联合分布律!可求得其所有的概率
分布!
例$
!
一口袋中有%
个球!它们依次标有数字!
!
$
!
$
!从该袋中不放回地随
机抽取两次!每次取一个!以:
!
;
分别表示第一次"第二次取得的球上标有的数
字!
求)
%
!
&%
:
!
;
&的联合分布律'%
$
&
/
%
:
#
;
&
!
解!
%
!
&
:
!
;
可能的取值均为!
!
$
!由乘法公式!易得
/
%
:
#
!
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#
$
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#
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$
%
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!
$
#
!
%
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%
:
#
!
!
;
#
!
&
#
"!
于是!所要求的联合分布律为
!
;
:
!
! $
! "
!
%
$
!
%
!
%
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%
$
&
/
%
:
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&
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%
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!
;)!
&
3/
%
:)$
!
;)!
&
3/
%
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!
;)$
&
)"3
!
%
3
!
%
)
$
%
!
''
!!!
如果在例$
中我们采用有放回的抽取方式!易见:
!
;
可能的取值为!
!
$
!再
由古典概型得
/
%
:
#
!
!
;
#
!
&
#
!
@
!
%
@
%
#
!
2
!
/
%
:
#
!
!
;
#
$
&
#
!
@
$
%
@
%
#
$
2
!
/
%
:
#
$
!
;
#
!
&
#
$
@
!
%
@
%
#
$
2
!
/
%
:
#
$
!
;
#
$
&
#
$
@
$
%
@
%
#
&
2
!
所以%
:
!
;
&的联合分布律为
!
;
:
!
! $
!
!
2
$
2
$
$
2
&
2
从这里可以看到不同的抽样方式对%
:
!
;
&取值的统计规律性是有影响的!
例%
!
把一枚均匀硬币抛掷%
次!设:
为%
次抛掷中正面出现的次数!
;
为正
面出现次数与反面出现次数之差的绝对值!求%
:
!
;
&的联合分布律!
解!
随机变量:
可能的取值为"
!
!
!
$
!
%
!
;
可能的取值为!
!
%
!且:
!
(%
!
% &
!
$
!故
/
%
:
#
"
!
;
#
%
&
#
% &
!
$
%
#
!
1
!
!
/
%
:
#
!
!
;
#
!
&
#
)
!
%
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!
$
%
#
%
1
!
/
%
:
#
$
!
;
#
!
&
#
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$
%
% &
!
$
%
#
%
1
!
!
/
%
:
#
%
!
;
#
%
&
#
% &
!
$
%
#
!
1
!
!!
所以%
:
!
;
&的联合分布律为
!
;
:
!
! %
" "
!
1
!
%
1
"
$
%
1
"
% "
!
1
科
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第三章!
多维随机变量及其分布 '*
!!!
习题")!
!+
设二维随机变量%
:
!
;
&的所有可能取值为%
!
!
!
&"%
!
!
%
&"%
$
!
!
&"%
$
!
%
&"%
$
!
&
&"%
%
!
$
&!其
对应的概率分别为"+!
"
5
"
"+%
"
"+!
"
"+$
"
"+$!
%
!
&求常数5
'
!!!
%
$
&写出%
:
!
;
&联合分布律'
%
%
&求/
%
:
#
;
&!
G
%
!
!
%
&!
/
%
:)!
&!
/
%
;)$
&
!
$+
一口袋中装有(
个球!它们依次标有数字!
!
$
!
$
!
%
!
%
!
%
!从此袋中不放回地随机抽取两
次!每次取一球!设:
!
;
分别表示第一次"第二次取到的球上标有的数字!
求)
%
!
&%
:
!
;
&的分布律'
!!!
%
$
&若采用有放回方式取球呢(
%+
盒子中装有%
个黑球!
$
个红球!在其中任取&
个!以:
表示其中取到黑球的个数!以;
表示取到红球的个数!求%
:
!
;
&的联合分布律!
&+
设随机变量:
在!
"
$
"
%
"
&
这&
个数字中等可能地取一个数!另一个随机变量;
在!
!
:
中等可能地取一整数!试求%
:
!
;
&的联合分布律!
'+(
个乒乓球中有&
个是新球!第一次取出$
个!用完后放回去!第二次又取出$
个!以:
"
;
分别表示第一次与第二次取到新球的个数!求二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布律!
(+
设随机变量;
!
7
%
"
!
!
&!令:
,
)
"
!
$
;
$#
,
!
!
$
;
$0
*
,
%
,)!
!
$
&!试求%
:
!
!
:
$
&的联合分布律!
!%#%
!
二维连续型随机变量
与一维连续型随机变量类似!我们引入联合概率密度来描述二维连续型随机
变量%
:
!
;
&的概率分布规律!
%#%#"
!
联合概率密度
定义!
设二维随机变量%
:
!
;
&的分布函数为G
%
<
!
=
&!若存在非负可积函数
0
%
<
!
=
&!使得对任意的<
!
=
有
G
%
<
!
=
&
#
>
<
4
,
>
=
4
,
0
%
L
!
Q
&
ELEQ!
则称%
:
!
;
&为二维连续型随机变量!函数0
%
<
!
=
&称为%
:
!
;
&的联合概率密度!简
称为概率密度或密度函数!
由定义易知!联合概率密度0
%
<
!
=
&具有以下性质)
%
!
&
0
%
<
!
=
&
#
"!
%
$
&
>
1
,
4
,
>
1
,
4
,
0
%
<
!
=
&
E<E
=
#
!!
反之!若某一函数0
%
<
!
=
&满足性质%
!
&"性质%
$
&!则0
%
<
!
=
&可视为某二维连
续型随机变量的联合概率密度!
*+
!!!
%
%
&若8
是<K
=
平面上某一区域!则/
%%
:
!
;
&
,
8
&
)
?
8
0
%
<
!
=
&
E<E
=
!
在几何上!联合概率密度D)
0
%
<
!
=
&表示空间上的一张曲面!
性质%
!
&表示该
曲面不会位于<K
=
坐标面的下方'性质%
$
&表示介于该曲面与<K
=
坐标面之间的
空间区域的全部体积等于!
'性质%
%
&表示随机点%
:
!
;
&落入区域8
的概率等于以
区域8
为底面!以该曲面为顶的曲顶柱体的体积!即
/
%%
:
!
;
&
,
8
&
#
?
8
0
%
<
!
=
&
E<E
=
#
R
曲顶柱体!
!!
可见!联合概率密度0
%
<
!
=
&全面描述了二维连续型随机变量的概率分布规律!
%
&
&当#
<
!
#
=
充分小时!在0
%
<
!
=
&的连续点处!有
/
%
<
0
:
1
<
1#
<
!
=
0
;
1
=
1#
=
&
4
0
%
<
!
=
&
#
<
#
=
!
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此式说明!如果0
%
<
!
=
&在点%
<
"
!
=
"
&处的函数值越大!则%
:
!
;
&在点%
<
"
!
=
"
&
附近取值的可能性就越大'反之!如果0
%
<
!
=
&在点%
<
"
!
=
"
&处的函数值越小!则
%
:
!
;
&在点%
<
"
!
=
"
&附近取值的可能性就越小!
%
'
&若0
%
<
!
=
&在点%
<
!
=
&处连续!则有$$
G
%
<
!
=
&
$
<
$
=
)
0
%
<
!
=
&
!
例"
!
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
5/
4
%
$<
1
%
=
&
!
<
%
"
!
=
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"
"
! 其他*
!
!
图%+%+!
!
试求)%
!
&常数5
'%
$
&联合分布函数G
%
<
!
=
&'
%
%
&
/
%%
:
!
;
&
,
8
&
!
其中8
是由<
轴"
=
轴及直
线$<3%
=
)(
围成的部分%见图%+%+!
&
!
解!
%
!
&由>
1
,
4
,
>
1
,
4
,
0
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<
!
=
&
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#
!
可得
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>
1
,
"
>
1
,
"
5/
4
%
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1
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=
&
E<E
=
#
5
>
1
,
"
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4
$<
E<
>
1
,
"
/
4
%
=
E
=
#
5
(
#
!
!
所以5)(!
故联合概率密度函数为
0
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<
!
=
&
#
(/
4
%
$<
1
%
=
&
!
<
%
"
!
=
%
"
"
!
* 其他!
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%
$
&当<
%
"
!
=
%
"
时!
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<
!
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&
#
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<
4
,
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,
0
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L
!
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&
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"
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"
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$L
1
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&
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#
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<
"
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$L
EL
>
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"
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4
%Q
EQ
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/
4
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&
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!
4
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4
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科
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第三章!
多维随机变量及其分布 *(
!!!
!!
当<
1
"
或=
1
"
时!
G
%
<
!
=
&
#
>
<
4
,
>
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4
,
0
%
L
!
Q
&
ELEQ
#
>
<
4
,
>
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4
,
"ELEQ
#
"
'
故%
:
!
;
&的联合分布函数为
G
%
<
!
=
&
#
%
!
4
/
4
$<
&%
!
4
/
4
%
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&!
<
%
"
!
=
%
"
"
!
* 其他!
!!
%
%
&
/
%%
:
!
;
&
,
8
&
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8
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L
!
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&
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%
"
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>
!
%
%
(
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&
"
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1
%
=
&
E
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#
!
4
*/
4
(
!
%#%#$
!
两种常见的二维连续型随机变量
下面介绍两种常见的二维连续型随机变量!
!+
二维均匀分布
若二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
!
'
! %
<
!
=
&
,
S
"
!
:
;
<
其他
!
其中'
为平面区域S
的面积%
"
0
'
0
3
,
&!则称%
:
!
;
&服从区域S
上的均匀分布!
若%
:
!
;
&服从区域S
上的均匀分布!则对S
内的任一子区域8
来说!有
/
%%
:
!
;
&
,
8
&
#
?
8
0
%
<
!
=
&
E<E
=
#
?
8
!
'
E<E
=
#
!
'
T
8
!
其中T
8
是子区域8
的面积!
由此可知!二维均匀分布所描述的随机现象是!若%
:
!
;
&服从区域S
上的均
匀分布!则%
:
!
;
&是平面区域S
内的随机点!它只可能在区域S
内取值!且取值于
S
内任何子区域的概率与该子区域的面积成正比!而与该子区域的具体位置和形
状无关!
可见!二维均匀分布描述的正是第一章所讲的二维几何概型!
例$
!
设二维随机变量%
:
!
;
&服从区域S
上的均匀分布!其中S)
*%
<
!
=
&
$
<
$
3
=
$
1
2
+!求)
%
!
&%
:
!
;
&的联合概率密度0
%
<
!
=
&'
%
$
&
/
%
"
0
:
0
!
!
"
0
;
0
$
&
!
解!
%
!
&%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
!
2
"
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<
$
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$
1
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"
!
:
;
<
其他
'
*!
!!!
!!
%
$
&区域8)
*%
<
!
=
&
$
"
0
<
0
!
!
"
0
=
0
$
+为区域S
的子区域!实际上子区域
8
的面积为T
8
)$
!故
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%
"
0
:
0
!
!
"
0
;
0
$
&
#
$
2
"
!
$+
二维正态分布
若二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
!
$
"+
!
+
$
!
4
.
槡 $
/
4
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%
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4
.
&
%
$
<
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#
&
!
$
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$
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$
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.
<
4
#
&%
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#
&
$
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+
$
%
1
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#
&
$
$
+
. /
$
$
!
其中-
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<
0
3
,
!
-
,0
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0
3
,
!
#
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!
#
$
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$
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.
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!则称%
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!
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!
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#
$
!
+
$
!
!
+
$
!
!
.
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:
!
;
&
!
7
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#
!
!
#
$
!
+
$
!
!
+
$
!
!
.
&
!
二维正态分布的联合概率密度D)
0
%
<
!
=
&的几何图形是一张以%
#
!
!
#
$
&为极
大值点的单峰钟形曲面!
习题")"
)
组
!+
说明函数0
%
<
!
=
&
)
%
!
<
$
3
=
$
1
!
"
!
* 其他能否作为某随机变量的联合概率密度(
$+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
*/
4
%
$<
1=
&
!
<
%
"
!
=
%
"
"
!
* 其他!
求)%
!
&常数*
'%
$
&
/
%
;
1
:
&'%
%
&联合分布函数G
%
<
!
=
&
!
%+
已知二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
*
%
(
4
<
4
=
&!
"
0
<
0
$
!
$
0
=
0
&
"
!
* 其他!
求)%
!
&确定常数*
'%
$
&
/
%
:3;
1
&
&
!
&+
设二维随机变量%
:
!
;
&服从区域S
上的均匀分布!其中S
是由<
轴"
=
轴以及直线
<3$
=
)&
围成!
试求)
%
!
&%
:
!
;
&的联合概率密度'%
$
&
/
%
"
1
:
1
!
!
"
1
;
1
!
&'%
%
&
/
%
;
#
:
&
!
'+
设二维随机变量%
:
!
;
&服从区域S
上的均匀分布!其中S)
*
"
0
<
0
!
!
<
$
0
=
0
<
+!试求)
%
!
&%
:
!
;
&的联合概率密度'%
$
&
/ "
1
:
1% &
!
$
!
*
组
!+
已知随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
&<
=
!
"
1
<
1
!
!
"
1
=
1
!
"
!
* 其他!
科
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第三章!
多维随机变量及其分布 *"
!!!
求%
:
!
;
&的联合分布函数G
%
<
!
=
&
!
$+
设二维随机变量%
:
!
;
&服从区域S
上的均匀分布!其中S
是由<
轴"
=
轴以及直线
=
)$<3!
围成的三角形区域!试求)
%
!
&%
:
!
;
&的联合概率密度'%
$
&%
:
!
;
&的联合分布函数G
%
<
!
=
&
!
!%#&
!
边 缘 分 布
二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布!既包含了:
!
;
之间相互联系的信息!也包含
了它的分量:
!
;
各自概率分布的信息!
相对于联合分布来说!我们把分量:
!
;
的概
率分布称为边缘分布!
本节讨论如何由%
:
!
;
&的联合分布求其边缘分布的问题!
%#&#"
!
边缘分布函数
定义"
!
设G
%
<
!
=
&为二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布函数!称
/
%
:
1
<
&
#
/
%
:
1
<
!
;
0
1,
&
!
%
4,
0
<
0
1,
&
为二维随机变量%
:
!
;
&关于:
的边缘分布函数!记为G
:
%
<
&
!
同理!称G
;
%
=
&
)/
%
:
0
3
,
!
;
1
=
&%
-
,0
=
0
3
,
&为二维随机变量
%
:
!
;
&关于;
的边缘分布函数!
由定义可以看出!联合分布函数与边缘分布函数之间有以下关系
G
:
%
<
&
#
/
%
:
1
<
&
#
/
%
:
1
<
!
;
0
1,
&
#
@:9
=
=
1
,
G
%
<
!
=
&!
G
;
%
=
&
#
/
%
;
1
=
&
#
/
%
:
0
1,
!
;
1
=
&
#
@:9
<
=
1
,
G
%
<
!
=
&
!
!!
例"
!
求G%+!
中例!
的二维随机变量%
:
!
;
&的边缘分布函数!
解!
%
:
!
;
&分别关于:
"
;
的边缘分布函数为
G
:
%
<
&
#
@:9
=
=
1
,
G
%
<
!
=
&
#
@:9
=
=
1
,
!
"
$
"
$
1
5ABC50$
% &
<
"
$
1
5ABC50%
% &
=
#
!
"
"
$
1
5ABC50$
% &
<
%
4,
0
<
0
1,
&
!
G
;
%
=
&
#
@:9
<
=
1
,
G
%
<
!
=
&
#
@:9
<
=
1
,
!
"
$
"
$
1
5ABC50$
% &
<
"
$
1
5ABC50%
% &
=
#
!
"
"
$
1
5ABC50%
% &
=
%
4,
0
=
0
1,
&
!
%#&#$
!
边缘分布律
定义$
!
设%
:
!
;
&为二维离散型随机变量!其联合分布律为
/
%
:
#
<
,
!
;
#
=
3
&
#
2
,
3
!
%
,
!
3
#
!
!
$
!,&!
*#
!!!
称/
%
:
#
<
,
&
#
/
%
:
#
<
,
!
;
0
1,
&
#
2
3
2
,
3
%
,
#
!
!
$
!,&为%
:
!
;
&关于:
的
边缘分布律!记为2
,
-
!即2
,
-
#
2
3
2
,
3
%
,
#
!
!
$
!,&
!
同样!称/
%
;
#
=
3
&
#
/
%
:
0
1,
!
;
#
=
3
&
#
2
,
2
,
3
%
3
#
!
!
$
!,&为%
:
!
;
&
关于;
的边缘分布律!记为2
-
3
!即2
-
3
#
2
,
2
,
3
%
3
#
!
!
$
!,&
!
用表格的形式表示如下
!
;
:
!
=
!
=
$
,
=
3
,
2
-
3
<
!
2
!!
2
!$
,
2
!
3
,
2
!
-
<
$
2
$!
2
$$
,
2
$
3
,
2
$
-
5 5 5 5 5
<
,
2
,!
2
,$
,
2
,
3
,
2
,
-
5 5 5 5 5
2
-
3
2
-
!
2
-
$
,
2
-
3
,
上表中!把每一行中2
,
3
对3
相加便得到2
,
-
!它就是随机变量:
的分布律'相
应地!把每一列中的2
,
3
对,
相加便得到2
-
3
!它就是随机变量;
的分布律!
在这样的表示方式中!分量:
!
;
的分布律恰好位于联合分布律的边缘上!于
是形象地将:
!
;
的分布律称为%
:
!
;
&关于:
"
;
的边缘分布律!
例$
!
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布律为
!
;
:
!
-( ! %
-' "+! "+$ "
! " "+% "+!
1 "+$ "+! "
求%
:
!
;
&的边缘分布律!
解!
由2
,
-
#
2
3
2
,
3
!
2
-
3
#
2
,
2
,
3
得%
:
!
;
&分别关于:
"
;
的边缘分布律为
: -' ! 1
/ "+% "+& "+%
; -( ! %
/ "+% "+( "+!
%#&#%
!
边缘概率密度
设二维连续型随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为0
%
<
!
=
&!由:
的边缘分布
函数定义有
科
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第三章!
多维随机变量及其分布 *$
!!!
G
:
%
<
&
#
/
%
:
1
<
!
;
0
1,
&
#
>
<
4
,
>
1
,
4
,
0
%
L
!
=
&
E
% &
=
EL!
故分量:
仍为连续型随机变量!且GI
:
%
<
&
)
>
1
,
4
,
0
%
<
!
=
&
E
=
!故:
的概率密度就是
二维随机变量%
:
!
;
&关于:
的边缘概率密度!于是
0
:
%
<
&
#
>
1
,
4
,
0
%
<
!
=
&
E
=
!
!!
同理!分量;
仍为连续型随机变量!%
:
!
;
&关于;
的缘概率密度为
0
;
%
=
&
#
>
1
,
4
,
0
%
<
!
=
&
E<!
!!
例%
!
设二维随机变量%
:
!
;
&服从区域上S
上的均匀分布!其中区域
S)
*%
<
!
=
&
$
"
0
<
0
!
!
$
=
$0
<
+!求)
%
!
&%
:
!
;
&的联合概率密度0
%
<
!
=
&'
%
$
&边缘概率密度0
:
%
<
&"
0
;
%
=
&
!
解!
%
!
&由题意知!%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
!
! %
<
!
=
&
,
S
"
!
* 其他'
!!
%
$
&由于%
:
!
;
&只可能在区域S
内取值!故
当<
0
"
或<
%
!
时!
0
:
%
<
&
)"
'
当"
1
<
1
!
时!
0
:
%
<
&
)
>
1
,
4
,
0
%
<
!
=
&
E
=
#
>
<
4
<
!E
=
#
$<
!
因此!%
:
!
;
&关于:
的边缘概率密度为
0
:
%
<
&
#
$<
!
"
1
<
1
!
"
!
* 其他!
!!
同理!当=
0
-!
或=
%
!
时!
0
;
%
=
&
)"
'
当-!
1
=
1
"
时!
0
;
%
=
&
#
>
1
,
4
,
0
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<
!
=
&
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#
>
!
4
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#
!
1
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'
当"
0
=
1
!
时!
0
;
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故:
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科
学出版社
职教技术出版中心
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第三章!
多维随机变量及其分布 *&
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故:
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!
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!
!
&
!
由上面的例&
"例'
可得以下结论)
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!
&当%
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!
;
&
!
7
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#
$
!
+
$
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!
+
$
!
!
.
&时!无论参数.
在$
.
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!
中的取值为多少!
其两个边缘分布都是一维正态分布!
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$
&当%
:
!
;
&
!
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#
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$
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!
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$
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!
.
&时!对于给定的#
!
!
#
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+
$
!
!
+
$
!
!虽然它们的边
缘分布是一样的!但不同的.
对应不同的二维正态分布!
%
%
&二维随机变量的边缘分布都是一维正态分布的!其联合分布不一定是二
维正态分布!
二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布一定能确定分量:
!
;
的概率分布!
但反过
来!单由:
!
;
的概率分布却不能确定%
:
!
;
&的联合分布!
习题")#
!+
已知%
:
!
;
&的联合分布函数为G
%
<
!
=
&!关于:
!
;
的边缘分布函数分别为G
:
%
<
&!
G
;
%
=
&!那么/
%
:
%
5
!
;
%
6
&如何用它们表示(
$+
已知%
:
!
;
&的联合分布律为
!
;
:
!
! $ %
" "+! " "+%
! " "+! "+$
$ "+$ " "+!
求分别关于:
!
;
的边缘分布律!
%+
求习题%+$
中第$
题的%
:
!
;
&在两种不同抽取方式下的边缘分布律!并判定联合分布是
否一定能确定边缘分布(已知边缘分布是否一定能确定联合分布(
&+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
!$
=
$
!
"
1
=
0
<
0
!
"
!
* 其他!
求分别关于:
!
;
的边缘概率密度!并验证等式0
%
<
!
=
&
)
0
:
%
<
&
0
;
%
=
&是否成立!
'+
求习题%+%
中;
组第$
题的边缘概率密度0
:
%
<
&"
0
;
%
=
&!并验证等式0
%
<
!
=
&
)
*'
!!!
0
:
%
<
&
0
;
%
=
&是否成立(
(+
设二维随机变量%
:
!
;
&服从下列区域的均匀分布!
%
!
&圆域S
!
)
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<
!
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&
$
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$
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$
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%
$
&矩形区域S
$
)
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&
$
"
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"
1
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1
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求分别关于:
!
;
的边缘概率密度!并验证等式0
%
<
!
=
&
)
0
:
%
<
&
0
;
%
=
&是否成立(由此能否得到
二维均匀分布的边缘分布一定是一维均匀分布这样的结论(
!%#'
!
条 件 分 布
前面学习了条件概率/
%
(
$
'
&
)
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&
/
%
'
&
%
/
%
'
&
%
"
&
!
若记事件')
*
;)
=
+!
()
*
:)<
+!则由此可引出在事件*
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=
+发生的条件下!事件*
:)<
+发生的条件
概率/
%
:)<
$
;)
=
&
!
%#'#"
!
条件分布函数
定义"
!
设:
是一个随机变量!其分布函数为
G
:
%
<
&
#
/
%
:
1
<
&
!
%
4,
0
<
0
1,
&!
若另外有一事件'
已经发生!并且'
的发生可能会对事件*
:
1
<
+发生的概率产
生影响!则对任给定的实数<
!记
G
%
<
&
'
&
#
/
%
:
1
<
&
'
&
!
%
4,
0
<
0
1,
&!
并称G
%
<
$
'
&为事件'
发生的条件下:
的条件分布函数!
例"
!
设:
服从区间%
"
!
!
&上的均匀分布!求在:
%
* +
!
$
发生的条件下:
的
条件分布函数G <
$
:
%
% &
!
$
!
解!
:
的概率密度0
%
<
&
)
!
!
"
0
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0
!
"
!
* 其他!分布函数
G
%
<
&
)
"
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1
"
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"
0
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1
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而/ :
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)
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$
!由条件分布函数的定义!有
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科
学出版社
职教技术出版中心
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第三章!
多维随机变量及其分布 **
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当!
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<
0
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时!
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$
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-!)$<-!
'
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!
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!
$
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故
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&
:
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!
$
#
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$
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!
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#
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"
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;
<
!
$
!
%#'#$
!
条件分布律
定义$
!
设%
:
!
;
&为二维离散型随机变量!其联合分布律为
/
%
:
#
<
,
!
;
#
=
3
&
#
2
,
3
!
%
,
!
3
#
!
!
$
!,&
!
对于任一固定的3
!若/
%
;)
=
3
&
)
2
-
3
%
"
!则由条件概率的定义可得
/
%
:
#
<
,
&
;
#
=
3
&
#
/
%
:
#
<
,
!
;
#
=
3
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/
%
;
#
=
3
&
#
2
,
3
2
!
3
!
%
,
#
!
!
$
!,&
!
称其为在事件*
;)
=
3
+已发生的条件下事件*
:)<
,
+发生的条件概率!
容易验证!这些条件概率2
!
3
2
!
3
!
2
$
3
2
!
3
!,!满足作为分布律的两个性质!
%
!
&
2
,
3
2
!
3
#
"
%
,)!
!
$
!,&'
!!
%
$
&
2
,
2
,
3
2
!
3
#
2
!
3
2
!
3
#
!!
于是!又可称/
%
:)<
,
$
;)
=
3
&
)
2
,
3
2
!
3
%
,)!
!
$
!,&为在*
;)
=
3
+的条件下:
的条件
分布律!
类似地!对于任一固定的,
!若/
%
:)<
,
&
)
2
,!
%
"
!称
/
%
;
#
=
3
&
:
#
<
,
&
#
/
%
:
#
<
,
!
;
#
=
3
&
/
%
:
#
<
,
&
#
2
,
3
2
,
-
!
%
3
#
!
!
$
!,&
为在*
:)<
,
+的条件下;
的条件分布律!
例$
!
设随机变量%
:
!
;
&的联合分布律为
!
;
:
!
" $
! "+! "+$
$ "+% "+&
(++
!!
求:
的条件分布律!
解!
由%
:
!
;
&的联合分布律可得;
的边缘分布律为
; " $
/ "+& "+(
于是有
/
%
:
#
!
&
;
#
"
&
#
/
%
:
#
!
!
;
#
"
&
/
%
;
#
"
&
#
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&
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/
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:
#
$
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#
"
&
#
/
%
:
#
$
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;
#
"
&
/
%
;
#
"
&
#
%
&
!
故在*
;)"
+的条件下:
的条件分布律为
:)* ! $
/
%
:)*
$
;)"
&
!
&
%
&
!!
类似地!有
/
%
:
#
!
&
;
#
$
&
#
/
%
:
#
!
!
;
#
$
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#
$
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#
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#
$
&
#
/
%
:
#
$
!
;
#
$
&
/
%
;
#
$
&
#
$
%
!
故在*
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+的条件下:
的条件分布律为
:)* ! $
/
%
:)*
$
;)$
&
!
%
$
%
%#'#%
!
条件概率密度
定义%
!
设二维连续型随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为0
%
<
!
=
&!若对于固
定的=
!%
:
!
;
&关于;
的边缘概率密度0
;
%
=
&
%
"
!则称0%
<
!
=
&
0
;
%
=
&
为在*
;)
=
+的条件
下:
的条件概率密度!记为0
:
$
;
%
<
$
=
&!可简记为0
%
<
$
=
&
!
即
0
:
&
;
%
<
&
=
&
#
0
%
<
&
=
&
#
0
%
<
!
=
&
0
;
%
=
&
!
!!
类似地!当0
:
%
<
&
%
"
时!可定义在*
:)<
+的条件下;
的条件概率密度为
0
;
&
:
%
=
&
<
&
#
0
%
=
&
<
&
#
0
%
<
!
=
&
0
:
%
<
&
!
科
学出版社
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第三章!
多维随机变量及其分布 (+(
!!
!!
注意!在0
(
<
$
=
)中"
=
固定"
<
变动*而在0
(
=
$
<
)中"
<
固定"
=
变动!
比如"当
:
和;
分别表示人的身高(单位!
B9
)与体重(单位!
H
I
)时"
0
:
$
;
(
<
$
("
)刻画了体重
为("H
I
的人之身高的变化规律*而0
;
$
:
(
=
$
!*(
)则刻画了身高为!*(B9
的人之体
重变化规律!
当%
:
!
;
&为二维连续型随机变量时!在;
#
=
的条件下%
0
;
%
=
&
%
"
&!
G
%
<
&
=
&
#
>
<
4
,
0
:
&
;
%
L
&
=
&
EL!
类似地!在:
#
<
的条件下%
0
:
%
<
&
%
"
&!
G
%
=
&
<
&
#
>
=
4
,
0
;
&
:
%
Q
&
<
&
EQ!
例%
!
设商店在每日开门营业时!放在柜台上的某种商品的货物量为;
!当日
销售量为:
!并且规定一天中不再往柜台补充这种商品!根据以往资料知%
:
!
;
&的
概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
!
$""
!
"
1
<
1
=
!
"
1
=
1
$"
"
!
:
;
<
其他
!
!!
%
!
&求给定;)
=
条件下!
:
的条件概率密度'
%
$
&设商店某日开门时!货物量;)!"
件!求这一天卖出商品不少于'
件的概
!
图%+'+!
率!
如果货物量;)$"
件呢(
解!
%
:
!
;
&服从三角形区域上的均匀分布%见
图%+'+!
&
!
%
!
&
;
的边缘概率密度为
0
;
%
=
&
#
=
$""
!
"
1
=
1
$"
"
!
:
;
<
其他
!
!!
当"
1
=
1
$"
时!
0
:
&
;
%
<
&
=
&
#
0
%
<
!
=
&
0
;
%
=
&
#
!
=
!
"
1
<
1
=
"
!
:
;
<
其他!
其中!条件#
"
1
<
1
=
$是由联合概率密度0
%
<
!
=
&
3
"
的条件而来的!这时=
是固
定的!
%
$
&取;)!"
!得
0
:
&
;
%
<
&
!"
&
#
!
!"
!
"
1
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1
!"
"
!
:
;
<
其他
!
则
/
%
:
#
'
&
;
#
!"
&
#
>
1
,
'
0
:
&
;
%
L
&
!"
&
EL
#
>
!"
'
!
!"
EL
#
"+'!
(+!
!!
因此!当商店有!"
件商品开门营业时!当日卖出商品不少于'
件的概率为"+'!
当;)$"
时!得
0
:
&
;
%
<
&
$"
&
#
!
$"
!
"
1
<
1
$"
"
!
:
;
<
其他
!
则
/
%
:
#
'
&
;
#
$"
&
#
>
1
,
'
0
:
&
;
%
L
&
$"
&
EL
#
>
$"
'
!
$"
EL
#
"+*'!
因此!当商店有$"
件商品开门营业时!当日卖出不少于'
件商品的概率为"+*'!
此例表明!商品的销售量与现有商品的数量有关!
商品的数量越多!多销的可
能性就越大!
例&
!
设数:
在区间%
"
!
!
&上随机地取值!当观察到:)<
%
"
0
<
0
!
&的条件
下!数;
在区间%
<
!
!
&上随机地取值!
求;
的概率密度0
;
%
=
&
!
解!
:
的概率密度为
0
:
%
<
&
#
!
!
"
0
<
0
!
"
!
* 其他!
!!
对于任意给定的值<
%
"
0
<
0
!
&!在:)<
的条件下!
;
的条件概率密度为
0
;
&
:
%
=
&
<
&
#
!
!
4
<
!
<
0
=
0
!
"
!
:
;
<
其他
!
因此!%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
0
;
&
:
%
=
&
<
&
0
:
%
<
&
#
!
!
4
<
!
"
0
<
0
=
0
!
"
!
:
;
<
其他
!
于是!
;
的概率密度为
0
;
%
=
&
#
>
1
,
4
,
0
%
<
!
=
&
E
=
#
>
=
"
!
!
4
<
E<
#4
@0
%
!
4
=
&!
"
0
=
0
!
"
!
:
;
< 其他!
习题")$
)
组
!+
将某医药公司1
月份和2
月份的青霉素针剂的订货单数分别记为:
与;
!据以往积累
的资料知!
:
和;
的联合分布律为
科
学出版社
职教技术出版中心
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第三章!
多维随机变量及其分布 (+"
!!
!
;
:
!
'! '$ '% '& ''
'! "+"( "+"' "+"' "+"! "+"!
'$ "+"* "+"' "+"! "+"! "+"!
'% "+"' "+!" "+!" "+"' "+"'
'& "+"' "+"$ "+"! "+"! "+"%
'' "+"' "+"( "+"' "+"! "+"%
求)%
!
&边缘分布律'
%
$
&
2
月份的订单数为'!
时!
1
月份订单数的条件分布律!
$+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
(
%
<
1
=
1
!
&
&
!
<
%
"
!
=
%
"
"
!
:
;
< 其他
!
试求)%
!
&条件概率密度0
:
$
;
%
<
$
=
&%其中=
%
"
&'
%
$
&
/
%
"
1
:
1
!
$
;)!
&
!
%+
设二维随机变量%
:
!
;
&服从单位区域上的均匀分布!
求)
%
!
&条件概率密度0
:
$
;
%
<
$
=
&与0
;
$
:
%
=
$
<
&'
%
$
&
/
%
"
1
:
1
!
$
;)"
&
!
*
组
!+
设:
和;
的联合概率分布为
!
;
:
!
" !
"
$
$'
6
! 5
%
$'
$
!
$'
$
$'
且已知/
%
;)!
$
:)"
&
)
%
'
!求常数5
!
6!
$+
设某班车起点站乘客人数:
服从参数为(
的泊松分布!每位乘客在中途下车的概率为
2
%
"
0
2
0
!
&!且中途下车与否相互独立!以;
表示在中途下车的人数!
求)
%
!
&该班车在起点站有$
个乘客的条件下!中途有U
个乘客下车的概率'
%
$
&%
:
!
;
&的联合分布律!
%+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为0
%
<
!
=
&
)
/
-<
!
"
0
=
0
<
"
!
* 其他!求条件概率密度
0
;
$
:
%
=
$
<
&
!
(+#
!!
!%#+
!
随机变量的独立性
一般地!由于随机变量:
!
;
之间存在相互联系!因而!一个随机变量的取值
可能会影响另一个随机变量的统计规律性!
在何种情况下!随机变量:
!
;
之间
没有上述影响!即具有所谓的#独立性$
!
我们知道!对于事件'
"
(
满足/
%
'(
&
)
/
%
'
&
/
%
(
&!则'
与(
相互独立!
下面借助于事件的独立性引入随机变量的独立性!
%#+#"
!
随机变量相互独立的定义
若设事件')
*
:
1
<
+"
()
*
;
1
=
+!由事件相互独立的定义引出随机变量:
与;
相互独立的定义!
定义"
!
设:
!
;
为两个随机变量!若对任意的实数<
!
=
!都有
/
%
:
1
<
!
;
1
=
&
#
/
%
:
1
<
&
/
%
;
1
=
&
即
G
%
<
!
=
&
#
G
:
%
<
&
G
;
%
=
&
则称随机变量:
与;
相互独立!简称:
与;
独立!
例"
!
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布函数为
G
%
<
!
=
&
#
!
"
$
"
$
1
5ABC50$
% &
<
"
$
1
5ABC50%
% &
=
!
证明随机变量:
与;
相互独立!
证明
G
:
%
<
&
#
@:9
=
=
1
,
G
%
<
!
=
&
#
!
"
"
$
1
5ABC50$
% &
<
!
%
4,
0
<
0
1,
&
!
G
;
%
=
&
#
@:9
<
=
1
,
G
%
<
!
=
&
#
!
"
"
$
1
5ABC50%
% &
=
!
%
4,
0
=
0
1,
&
!
显然!对任意的<
!
=
!均有G
%
<
!
=
&
)G
:
%
<
&
G
;
%
=
&成立!故:
与;
相互独立!
%#+#$
!
离散型随机变量的独立性
设%
:
!
;
&为二维离散型随机变量!其联合分布律为
/
%
:
#
<
,
!
;
#
=
3
&
#
2
,
3
!
%
,
!
3
#
!
!
$
!,&!
而
/
%
:
#
<
,
&
#
2
,
-
#
2
3
2
,
3
!
%
,
#
!
!
$
!,&!
及
/
%
;
#
=
3
&
#
2
-
3
#
2
,
2
,
3
!
%
3
#
!
!
$
!,&
科
学出版社
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第三章!
多维随机变量及其分布 (+$
!!
分别是%
:
!
;
&关于:
!
;
的边缘分布律!
关于:
与;
的独立性有下述定理!
定理"
!
离散型随机变量:
与;
相互独立的充要条件是)
2
,
3
)
2
,
-
-
2
-
3
对任
意,
!
3
)!
!
$
!,均成立!
即联合分布律恰好等于两个边缘分布律的乘积!
我们不去严格地证明本定理!但不难从随机变量的实际意义理解本定理的
结论!
例$
!
袋中装有$
只白球及%
只黑球!从此袋中有放回地随机抽取两次!每次
取一球!定义下列随机变量
:
#
!
! 第!
次摸出白球
"
! 第!
* 次摸出黑球!
!
;
#
!
! 第$
次摸出白球
"
! 第$
* 次摸出黑球!
则%
!
&当采取有放回抽取时!得到的%
:
!
;
&的联合分布律及边缘分布律为
!
;
:
!
" !
2
,
-
"
2
$'
(
$'
%
'
!
(
$'
&
$'
$
'
2
-
3
%
'
$
'
!!
显然!对于任意的,
!
3
%
,
!
3
)!
!
$
!
%
&!均有2
,
3
)
2
,
-
2
-
3
!
因此!采用有放回取球
时!
:
与;
是相互独立的!这与实际意义相同!
%
$
&当采取不放回抽取时!得到的%
:
!
;
&的联合分布律及边缘分布律为
!
;
:
!
" !
2
,
-
"
(
$"
(
$"
%
'
!
(
$"
$
$"
$
'
2
-
3
%
'
$
'
!!
由于/
%
:)"
!
;)"
&
3
/
%
:)"
&
/
%
;)"
&!故采用无放回抽取时!可判定:
与;
不是相互独立的!这也与实际意义一致!
在这里我们注意到一个重要事实!此例中采用的抽取方式不同!得到的联合分
布不同!但边缘分布律是相同的!这说明联合分布不能由边缘分布唯一确定!但当
随机变量相互独立时!其联合分布可由边缘分布唯一确定!
随机变量是随机事件的量化指标!因此在判断随机变量:
与;
是否相互独立
时!仍可以像判断随机事件的独立性一样!根据问题的实际意义去判定!
(+%
!!
%#+#%
!
连续型随机变量的独立性
定理$
!
设二维连续型随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为0
%
<
!
=
&!%
:
!
;
&分
别关于:
!
;
的边缘概率密度为0
:
%
<
&与0
;
%
=
&!则:
与;
相互独立的充要条件
为对于任意的<
!
=
!有
0
%
<
!
=
&
#
0
:
%
<
&
0
;
%
=
&
几乎处处成立!
注意!这里%几乎处处成立&的含义是在平面上除去面积为"
的集合外"处处
成立!
例%
!
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
(
!
"
0
<
0
!
!
<
$
1
=
1
<
"
!
* 其他!
求%
:
!
;
&分别关于:
!
;
的边缘密度函数0
:
%
<
&与0
;
%
=
&!并判断:
!
;
是否相互
独立!
解
0
:
%
<
&
#
>
1
,
4
,
0
%
<
!
=
&
E
=
#
>
<
<
$
(E
=
#
(
%
<
4
<
$
&!
"
0
<
0
!
"
!
:
;
<
其他
!
0
;
%
=
&
#
>
1
,
4
,
0
%
<
!
=
&
E<
#
>
槡=
=
(E<
#
(
%槡=
4
=
&!
"
0
=
0
!
"
!
:
;
< 其他
!
!!
由于0
%
<
!
=
&
3
0
:
%
<
&
0
;
%
=
&!故:
与;
不是相互独立!
例&
!
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
1/
4
%
$<
1
&
=
&
!
<
%
"
!
=
%
"
"
!
* 其他!
问:
和;
是否相互独立(
解!
当<
%
"
时!
0
:
%
<
&
#
>
1
,
"
1/
4
%
$<
1
&
=
&
E
=
#
$/
4
$<
!
当=
%
"
时!
0
;
%
=
&
#
>
1
,
"
1/
4
%
$<
1
&
=
&
E<
#
&/
4
&
=
!
故%
:
!
;
&分别关于:
与;
的边缘概率密度为
0
:
%
<
&
#
$/
4
$<
!
<
%
"
"
!
* 其他!
!
0
;
%
=
&
#
&/
4
&
=
!
=
%
"
"
!
* 其他!
由于对一切<
!
=
!均有0
%
<
!
=
&
)
0
:
%
<
&
0
;
%
=
&!故:
!
;
相互独立!
科
学出版社
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第三章!
多维随机变量及其分布 (+&
!!
由以上的讨论知!对于二维随机变量%
:
!
;
&来说!若知联合概率分布!则其边
缘概率分布也随之确定!
若其边缘概率分布已知!则联合概率分布不一定就能确
定!
但若:
与;
独立时!则其联合概率分布一定能确定!
%#+#&
!
二维正态变量的独立性
定理%
!
设%
:
!
;
&
!
7
%
#
!
!
#
$
!
+
$
!
!
+
$
$
!
.
&!则:
与;
相互独立的充要条件是.
)"!
证明!
%
:
!
;
&的联合密度函数及边缘密度函数分别为
0
%
<
!
=
&
#
!
$
"+
!
+
$
!
4
.
槡 $
/
4
!
$
%
!
4
.
$
&
%
<
4
#
!
&
$
+
$
!
4
$
.
%
<
4
#
!
&%
=4
#
$
&
+
!
+
$
1
%
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#
$
&
$
+
. /
$
$
!
0:
%
<
&
#
!
$槡"+
!
/
4
%
<
4
#
!
&
$
$
+
$
!
!
%
4,
0
<
0
1,
&!
0;
%
=
&
#
!
$槡"+
$
/
4
%
=4
#
$
&
$
$
+
$
$
!
%
4,
0
=
0
1,
&
!
!!
充分性!
当.
)"
时!显然有0
%
<
!
=
&
)
0
:
%
<
&-
0
;
%
=
&!故:
!
;
相互独立!
必要性!
当:
!
;
相互独立时!有0
%
<
!
=
&
)
0
:
%
<
&-
0
;
%
=
&!于是有
0
%
#
!
!
#
$
&
#
0
:
%
#
!
&
-
0
;
%
#
$
&!
即
!
$
"+
!
+
$
!
4
.
槡 $
#
!
$槡"+
!
-
!
$槡"+
$
!
故.
)"!
由此可知!
.
反映了服从二维正态分布的两个变量:
!
;
之间的联系!
%#+#'
!
!
维随机变量的独立性
随机变量独立性的概念不难推广到$
维随机变量的情形!
定义$
!
设$
维随机变量%
:
!
!,!
:
$
&的分布函数为
G
%
<
!
!,!
<
$
&
#
/
%
:
!
1
<
!
!,!
:
$
1
<
$
&
其中<
!
!
<
$
!,!
<
$
为任意实数!
若存在非负可积函数0
%
<
!
!
<
$
!,!
<
$
&!使对于任
意的<
!
!
<
$
!,!
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$
!均有
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$
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<
$
&
#
>
<
!
4
,
>
<
$
4
,
,
>
<
$
4
,
0
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%
!
!,!
%
$
&
E%
!
,
E%
$
!
则称0
%
<
!
!
<
$
!,!
<
$
&为$
维随机变量%
:
!
!,!
:
$
&的联合概率密度!
$
维随机变量同二维随机变量一样!若其联合概率分布已知!则其边缘概率分
布也随之确定!
(+'
!!
设%
:
!
!,!
:
$
&的联合分布函数为G
%
<
!
!
<
$
!,!
<
$
&!则关于:
,
的边缘分布函
数G
:
,
%
<
,
&%
,)!
!
$
!,!
$
&也随之确定!
如
G
:
!
%
<
!
&
#
G
%
<
!
!
1,
!
1,
!,!
1,
&
!
!!
设%
:
!
!
:
$
!,!
:
$
&为$
维连续型随机变量!若其联合概率密度0
%
<
!
!
<
$
!,!
<
$
&
已知!则关于:
,
的边缘概率密度也随之确定!
如
0
:
!
%
<
!
&
#
>
1
,
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,
>
1
,
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,
,
>
1
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<
!
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<
$
!,!
<
$
&
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$
,
E<
$
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!均有G
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&
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:
$
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&,
G
:
$
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$
&成立!
则称$
维随机变量:
!
!
:
$
!,!
:
$
是相互独立!
当%
:
!
!,!
:
$
&为$
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!
!,!
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$
!均有
/
%
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!
#
<
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$
#
<
$
&
#
/
%
:
!
#
<
!
&,
/
%
:
$
#
<
$
&
成立!则称$
维离散型随机变量:
!
!
:
$
!,!
:
$
是相互独立!
当%
:
!
!,!
:
$
&为$
维连续型随机变量时!若对于任意的<
!
!,!
<
$
!均有
0
%
<
!
!,!
<
$
&
#
0
:
!
%
<
!
&
0
:
$
%
<
$
&,
0
:
$
%
<
$
&
成立!则称$
维连续型随机变量:
!
!
:
$
!,!
:
$
是相互独立!
同二维随机变量一样!已知$
维随机变量边缘分布不一定就能确定其联合概
率分布!
但若它们相互独立!则其联合概率分布一定也能确定!
独立的随机变量具有如下性质)
%
!
&若:
!
!
:
$
!,!
:
$
相互独立!则其中任意*
%
$
1
*
1
$
&个随机变量也相互
独立!
%
$
&若:
!
!
:
$
!,!
:
$
相互独立!则它们的函数N!
%
:
!
&!
N$
%
:
$
&!,!
N$
%
:
$
&
也相互独立!
例如:
!
;
相互独立!则BJD:
和D:0;
也相互独立!
习题")%
)
组
!+
设随机变量:
与;
相互独立!其分布律均为
: " !
/
!
%
$
%
则%
!!
&是正确的!
%
;
&
:);
'
!!
%
<
&
/
%
:);
&
)!
'
!!
%
=
&
/
%
:);
&
)
'
2
'
!!
%
>
&
/
%
:);
&
)"!
$+
设二维随机变量%
:
!
;
&服从区域8)
*%
<
!
=
&
$
-!
1
<
1
!
!
-!
1
=
1
!
+上的均匀分布!则
%
!!
&
!
科
学出版社
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第三章!
多维随机变量及其分布 (+*
!!
%
;
&%
:
!
;
&落入第一象限的概率为"+'
'
!
%
<
&
:
!
;
都不服从一维均匀分布'
%
=
&
:
!
;
相互独立' %
>
&
:
!
;
不相互独立!
%+
若%
:
!
;
&的分布律如下表所示!则$
!
%
应满足的条件是 !若:
与;
独立!则
$
)
!
%
) !
!
;
:
!
! $ %
!
!
(
!
2
!
!1
$
!
%
$
%
!!
&+
设:
!
;
相互独立!且分别具有下列分布律
: -! " ! $
/
!
&
!
%
!
!$
!
%
!!
; -! ! %
/
!
$
!
&
!
&
!!
%
!
&写出%
:
!
;
&联合分布律'
%
$
&求/
%
:);
&
!
'+
判定习题%+&
中第(
题的:
!
;
是否相互独立(
(+
设%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
</
4
%
<
1=
&
!
<
%
"
!
=
%
"
"
!
* 其他!
!!
%
!
&求边缘概率密度0
:
%
<
&!
0
;
%
=
&'
%
$
&判断:
和;
是否独立(
%
%
&
:
的条件概率密度是否等于:
的边缘概率密度(
*+
一电子仪器由两部件构成!以:
和;
分别表示两部件的寿命%单位)千小时&!已知:
和
;
的联合分布函数为
G
%
<
!
=
&
#
!
4
/
4
"+'<
4
/
4
"+'
=
1
/
4
"+'
%
<
1=
&
!
<
#
"
!
=
#
"
"
!
* 其他!
!!
%
!
&问:
与;
是否相互独立'
%
$
&求两部件寿命都超过!""
小时的概率!
*
组
!+
判定下列说法正确的是%
!!
&
!
%
;
&设随机变量:
!
;
相互独立!且均服从2
)"+$
的两点分布!则:);
'
%
<
&随机变量:
以概率!
取常数A
!则随机变量:
与任意随机变量都是独立的'
%
=
&设随机变量:
!
;
同分布!则:
!
;
一定不相互独立'
%
>
&设随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度0
%
<
!
=
&可分解为N
%
<
&
P
%
=
&的形式!则:
!
;
一定相
互独立!
$+
甲"乙两人分别独立地进行两次射击!假设甲的命中率为"+$
!乙的命中率为"+'
!以:
((+
!!
和;
分别表示甲和乙的命中次数!试求%
:
!
;
&的联合分布律!
%+
设:
!
;
是相互独立的随机变量!
:
服从区间%
"
!
"+$
&上的均匀分布!
;
服从参数为'
的
指数分布!求%
:
!
;
&的联合概率密度及/
%
:
#
;
&
!
&+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
%<
!
"
0
<
0
!
!
"
0
=
0
<
"
!
* 其他!
!!
%
!
&求:
与;
的边缘概率密度'
%
$
&求:
与;
的条件概率密度'
%
%
&判断:
与;
是否相互独立(
'+
假设连续型随机变量:
与;
相互独立!
5
!
6
!
A
!
M
%
5
0
6
!
A
0
M
&为任意实数!
证明事件
')
*
5
0
:
0
6
+!
()
*
A
0
;
0
M
+相互独立!
!%#,
!
两个随机变量的函数分布
在实际应用中!有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数!
例如!
如果某人同时购买了两种不同的股票!
:
和;
若分别表示这两种股票一年的投资
回报!那么一年后的收益可以表示为:3;
!这是两个随机变量的和!是一个新的
随机变量!
在现实生活中!经常需要研究多个随机变量函数!也就是说已知%
:
!
;
&
的联合分布时!需要求两个随机变量函数C)
N
%
:
!
;
&的概率分布!
%#,#"
!
!
"
$
#
"为二维离散型的情况
例"
!
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布律为
!
;
:
!
-! " !
" "+! "+% "+$
! "+! "+% "
求C
!
):3;
!
C
$
):;
!
C
%
)95K
%
:
!
;
&的分布律!
解!
由%
:
!
;
&的分布律!可得下表
/ "+! "+% "+$ "+! "+% "
%
:
!
;
& %
"
!
-!
& %
"
!
"
& %
"
!
!
& %
!
!
-!
& %
!
!
"
& %
!
!
!
&
:3; -! " ! " ! $
:; " " " -! " !
95K
%
:
!
;
&
" " ! ! ! !
由此可得C
!
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的分布律为
科
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第三章!
多维随机变量及其分布 (((
!!
C
!
-! " !
/ "+! "+& "+'
C
$
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的分布律为
C
$
-! "
/ "+! "+2
C
%
)95K
%
:
!
;
&的分布律为
C
%
" !
/ "+& "+(
!!
由此题可以看出!当%
:
!
;
&为二维离散型随机变量!
C)
N
%
:
!
;
&为一维离散
型随机变量!
例$
!
设:
!
;
为相互独立的随机变量!且:
!
/
%
*
!
&!
;
!
/
%
*
$
&
!
求C):3;
的分布律!
解!
由:
与;
相互独立!可知
/
%
C
#
*
&
#
/
%
:
1
;
#
*
&
#
2
*
,
#
"
/
%
:
#
,
!
;
#
*
4
,
&
#
2
*
,
#
"
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%
:
#
,
&
/
%
;
#
*
4
,
&
#
2
*
,
#
"
*
,
!
,
2
/
4
*
!
*
*
4
,
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%
*
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*
$
#
/
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4
*
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* &
$
2
*
,
#
"
*
,
!
*
*
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,
$
,
2%
*
4
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#
/
%
4
*
!
1
* &
$
*
2
2
*
,
#
"
*
2
,
2%
*
4
,
&2
*
,
!
*
*
4
,
$
#
/
%
4
*
!
1
* &
$
*
2
2
*
,
#
"
)
,
*
*
,
!
*
*
4
,
$
#
%
*
!
1*
$
&
*
*
2
/
4
%
*
!
1
*
$
&
!
%
*
#
"
!
!
!
$
!,&
即C):3;
!
/
%
*
!
3
*
$
&
!
服从泊松分布的独立随机变量之和仍服从泊松分布!且其参数为相应的随机
变量分布参数之和!
这表明泊松分布具有可加性!但要注意!若无相互独立的条件!
则它们的和未必服从泊松分布!
%#,#$
!
!
"
$
#
"为二维连续型的情况
设%
:
!
;
&的联合概率密度为0
%
<
!
=
&!
N
为已知二元连续函数!
C)
N
%
:
!
;
&虽
为:
和;
的二元函数!但此时C
仍为一维连续型随机变量!那么对于一维连续型
随机变量C
来说!它的概率密度0
C
%
D
&如何来确定呢(
概率密度0
C
%
D
&确定的方法与求一维随机变量函数的概率密度相同!仍采用
分布函数法!
其步骤如下!
((!
!!
第一步)先求出C)
N
%
:
!
;
&的分布函数G
C
%
D
&
G
C
%
D
&
#
/
%
C
1
D
&
#
/
%
N
%
:
!
;
&
1
D
&
#
/
%%
:
!
;
&
,
8
D
&
#
?
8
D
0
%
<
!
=
&
E<E
=
!
其中区域8
D
)
*%
<
!
=
&
$
N
%
<
!
=
&
1
D
+
!
第二步)再对G
C
%
D
&求导!便可得C)
N
%
:
!
;
&的概率密度0
C
%
D
&!即
0C
%
D
&
#
GI
C
%
D
&
!
!!
例%
!
设随机变量:
!
7
%
"
!
!
&!
;
!
7
%
"
!
!
&!且:
!
;
相互独立!
试求
C) :
$
3;槡 $的概率密度!
解!
%
:
!
;
&的联合密函数为0
%
<
!
=
&
)
!
$
"
/
-
<
$
3
=
$
$
!下面先求C
的分布函数
G
C
%
D
&
!
当D
0
"
时!
G
C
%
D
&
)/
%
C
1
D
&
)/
%
:
$
3;槡 $
1
D
&
)"
'
当D
#
"
时!
G
C
%
D
&
)/
%
C
1
D
&
)/
%
:
$
3;槡 $
1
D
&
)
?
8
D
!
$
"
/
4
<
$
1=
$
$
E<E
=
!
其中8
D
)
*%
<
!
=
&
$
<
$
3
=
$
1
D
$
+为半径为D
的圆域!令<)-BJD
/
!
=
)-D:0
/
!
则上式为
G
C
%
D
&
#
!
$
"
>
$
"
"
>
D
"
/
4
-
$
$
-E-E
/#
!
4
/
4
D
$
$
!
故C
的分布函数G
C
%
D
&为
G
C
%
D
&
#
!
4
/
4
D
$
$
!
D
#
"
"
!
:
;
<
其他!
再对G
C
%
D
&求导得C
的概率密度为
0
C
%
D
&
#
GI
C
%
D
&
#
D/
4
D
$
$
!
D
%
"
"
!
:
;
<
其他!
!!
从上面的计算过程可以看到!确定C)
N
%
:
!
;
&概率密度0
C
%
D
&的基本方法是
分布函数法!
理论上对任何一个函数N
%
<
!
=
&都是适应的!但在具体推导中会遇到
很大的麻烦!
因此!我们只解决一些简单"常用函数的概率分布!如多个随机变量的
和"最值函数!然后推得它们的计算公式!便于在求其分布时直接套用!
!+
和的分布
设%
:
!
;
&是二维连续型随机变量!其联合概率密度为0
%
<
!
=
&!求C):3;
的
科
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第三章!
多维随机变量及其分布 (("
!!
!
图%+*+!
概率密度0
C
%
D
&
!
欲求C):3;
的概率密度0
C
%
D
&!可先求出C
的分布函
数G
C
%
D
&
G
C
%
D
&
#
/
%
C
1
D
&
#
/
%
:
1
;
1
D
&
#
?
8
0
%
<
!
=
&
E<E
=
!
!!
这里积分区域8)
*%
<
!
=
&
$
<3
=
1
D
+是直线<3
=
)D
左
下方的半平面%见图%+*+!
&!即
G
C
%
D
&
#
?
<
1
=
1
D
0
%
<
!
=
&
E<E
=
!
G
C
%
D
&
#
/
%
:
1
;
1
D
&
#
?
<
1
=
1
D
0
%
<
!
=
&
E<E
=
#
>
1
,
4
,
E<
>
D
4
<
4
,
0
%
<
!
=
&
E
=
#
>
1
,
4
,
E<
>
D
4
,
0
%
<
!
Q
4
<
&
EQ
!
%令=
#
Q
4
<
&!
故
G
C
%
D
&
#
>
D
4
,
>
1
,
4
,
0
%
<
!
Q
4
<
&
E
. /
< EQ!
上式两边对D
求导得
0
C
%
D
&
#
GI
C
%
D
&
#
>
1
,
4
,
0
%
<
!
D
4
<
&
E<!
由:
!
;
的对称性可得
0
C
%
D
&
#
>
1
,
4
,
0
%
D
4
=
!
=
&
E
=
!
即
0
C
%
D
&
#
>
1
,
4
,
0
%
<
!
D
4
<
&
E<
#
>
1
,
4
,
0
%
D
4
=
!
=
&
E
=
!
特别地!当:
!
;
相互独立时!则有
0
C
%
D
&
#
>
1
,
4
,
0
:
%
<
&
0
;
%
D
4
<
&
E<
#
>
1
,
4
,
0
:
%
D
4
=
&
0
;
%
=
&
E
=
!
其中0
:
%
<
&!
0
;
%
=
&分别为关于:
!
;
的边缘概率密度!
此公式称为卷积公式!
例&
!
设某种商品一周的需求量是一个随机变量!其概率密度为
0
%
<
&
#
</
4
<
!
<
%
"
"
!
* 其他!
((#
!!
如果各周的需求量相互独立!求两周需求量的概率密度!
解!
分别用:
和;
表示第一二周的需求量!则
0
:
%
<
&
#
</
4
<
!
<
%
"
"
!
* 其他!
!
0
;
%
=
&
#
=
/
4
=
!
=
%
"
"
!
* 其他!
从而两周需求量为C):3;
!由卷积公式
0
C
%
D
&
#
>
1
,
4
,
0
:
%
<
&
0
;
%
D
4
<
&
E<!
!!
当D
%
"
时!
0
C
%
D
&
#
>
1
,
4
,
0
:
%
<
&
0
;
%
D
4
<
&
E<
#
>
D
"
</
4
<
%
D
4
<
&
/
4
%
D
4
<
&
E<
#
D
%
(
/
4
D
!
从而两周需求量C
的概率密度为
0
C
%
D
&
#
D
%
(
/
4
D
!
D
%
"
"
!
:
;
< 其他!
!!
例'
!
设随机变量:
!
7
%
"
!
!
&!
;
!
7
%
"
!
!
&!且:
!
;
相互独立!
试求C):3
;
的密度函数0
C
%
D
&
!
解!
由卷积公式得
0
C
%
D
&
#
>
1
,
4
,
0
:
%
<
&
0
;
%
D
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<
&
E<
#
!
$
"
>
1
,
4
,
/
4
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$
$
-
/
4
%
D
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<
&
$
$
E<
#
!
$
"
/
4
D
$
&
>
1
,
4
,
/
4
%
<
4
D
$
&
$
E<
!
令%
槡$)<-
D
$
!得
0
C
%
D
&
#
!
$
"
/
4
D
$
&
>
1
,
4
,
!
槡$/
4
%
$
$
E%
#
!
$
"
/
4
D
$
& 槡"#
!
$槡"
/
4
D
$
&
!
即C
!
7
%
"
!
$
&
!
类似于上例!利用卷积公式可得到下列更一般的结论!
定理!
设:
!
;
相互独立!且:
!
7
%
#
!
!
+
$
!
&!
;
!
7
%
#
$
!
+
$
$
&!则C):3;
仍服
从正态分布!且C
!
7
%
#
!
3
#
$
!
+
$
!
3
+
$
$
&
!
定理表明正态分布具有可加性!
更一般地!
:
!
;
的线性组合
*
!
:
1
*
$
;
)
7
%
*
!
#
!
1
*
$
#
$
!
*
$
!
+
$
!
1
*
$
$
+
$
$
&
!
且此结论可推广到$
个服从正态分布且相互独立的随机变量的情况!
科
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第三章!
多维随机变量及其分布 (($
!!
$+
最大值,最小值的分布
设随机变量:
!
;
相互独立!其分布函数分别为G
:
%
<
&和G
;
%
=
&!由于
E)95K
*
:
!
;
+不大于D
等价于:
和;
都不大于D
!故有
G
E
%
D
&
#
/
%
E
1
D
&
#
/
%
:
1
D
!
;
1
D
&
#
/
%
:
1
D
&
/
%
;
1
D
&
#
G
:
%
D
&
G
;
%
D
&
!
类似地!可得7)9:0
*
:
!
;
+的分布函数
G
7
%
D
&
#
/
%
7
1
D
&
#
!
4
/
%
7
%
D
&
#
!
4
/
%
:
%
D
!
;
%
D
&
#
!
4
/
%
:
%
D
&
/
%
;
%
D
&
#
!
4
.
!
4
G
:
%
D
&/.
!
4
G
;
%
D
&/
!
!!
上述结果易推广到$
维情形)设:
!
!
:
$
!,!
:
$
是$
个相互独立的随机变量!
其分布函数分别为G
:
,
%
<
,
&%
,)!
!,!
$
&!则E)95K
*
:
!
!,!
:
$
+的分布函数为
G
E
%
D
&
#
G
:
!
%
D
&,
G
:
$
%
D
&
#
@
$
,
#
!
G
:
,
%
D
&
!
7)9:0
*
:
!
!,!
:
$
+的分布函数为
G
7
%
D
&
#
!
4
.
!
4
G
:
!
%
D
&/,.
!
4
G
:
$
%
D
&/
#
!
4
@
$
,
#
!
.
!
4
G
:
,
%
D
&/
!
!!
例+
!
设系统9
由两个相互独立的子系统9
!
!
9
$
连接而成!连接的方式分别
为串联"并联"备用%当系统9
!
损坏时!系统9
$
开始工作&!如图%+*+$
所示!
图%+*+$
设9
!
!
9
$
的寿命分别为:
!
;
!已知它们的概率密度分别为
0
:
%
<
&
#
$
/
4
$
<
!
<
%
"
"
!
<
1
*
"
!
!
0
;
%
=
&
#
%
/
4
%
=
!
=
%
"
"
!
=
1
*
"
!
其中$%
"
!
%
%
"
且$3
%
!试分别就以上%
种连接方式求出9
的寿命C
的概率密度!
解!
方式!
)串联的情况
由于当9
!
!
9
$
中有一个损坏时!系统9
就会停止工作!所以这时系统9
的寿
命为C)9:0
*
:
!
;
+!由题设知!
:
!
;
的分布函数分别为
G
:
%
<
&
#
!
4
/
4
$
<
!
<
%
"
"
!
<
1
*
"
!
!
G
;
%
=
&
#
!
4
/
4
%
=
!
=
%
"
"
!
=
1
*
"
!
((%
!!
于是!
C)9:0
*
:
!
;
+的分布函数为
G
9:0
%
D
&
#
!
4
.
!
4
G
:
%
D
&/.
!
4
G
;
%
D
&/
#
!
4
/
4
%
$
1
%
&
D
!
D
%
"
"
!
D
1
*
"
!
故C)9:0
*
:
!
;
+的概率密度为
0
9:0
%
D
&
#
%
$1
%
&
/
4
%
$
1
%
&
D
!
D
%
"
"
!
D
1
*
"
!
!!
方式$
)并联的情况
由于当且仅当9
!
!
9
$
都损坏时!系统9
才停止工作!所以这时9
的寿命C
为
C)95K
*
:
!
;
+!于是C
的分布函数为
G
95K
%
D
&
#
G
:
%
D
&
G
;
%
D
&
#
%
!
4
/
4
$
D
&%
!
4
/
4
%
D
&!
D
%
"
"
!
D
1
*
"
!
从而C)95K
*
:
!
;
+的概率密度为
0
95K
%
D
&
#
$
/
4
$
D
1
%
/
4
%
D
4
%
$1
%
&
/
4
%
$
1
%
&
D
!
D
%
"
"
!
D
1
*
"
!
!!
方式%
)备用的情况
由于当系统9
!
损坏时系统9
$
才开始工作!因此!整个系统9
的寿命C
是9
!
!
9
$
寿命之和!即C):3;!
故当D
%
"
时!
C):3;
的概率密度为
0
C
%
D
&
#
>
1
,
4
,
0
:
%
D
4
=
&
0
;
%
=
&
E
=
#
>
D
"
$
/
4
$
%
D
4
=
&
%
/
4
%
=
E
=
#$
%
/
4
$
D
>
D
"
/
4
%
%
4
$
&
=
E
=
#
$
%
%
4$
.
/
4
$
D
4
/
4
%
D
/!
于是!
C):3;
的概率密度为
0
C
%
D
&
#
$
%
%
4$
%
/
4
$
D
4
/
4
%
D
&!
D
%
"
"
!
D
1
:
;
<
"
!
习题")&
)
组
!+
已知随机变量:
!
/
%
%
&!
;
!
/
%
$
&!且:
与;
相互独立!则C):3;
服从!
$+
已知:
!
7
%
!
!
&
&!
;
!
7
%
$
!
2
&!且:
与;
相互独立!则C)$:-%;
服从!
%+
设随机变量:
!
;
相互独立!
:
!
"
%
$
&!
;
!
"
%
%
&!则C)9:0
%
:
!
;
&的概率密度
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第三章!
多维随机变量及其分布 ((&
!!
为!
&+
设随机变量:
!
;
独立同分布!且:
的分布函数为G
%
<
&!则随机变量C)95K
%
:
!
;
&的
分布函数为%
!!
&
!
%
;
&
G
$
%
<
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<
&
G
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<
&
G
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$
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>
&
!-
.
!-G
%
<
&/.
!-G
%
=
&/
!
'+
已知随机变量:
与;
是相互独立的均匀分布!则下列随机变量中服从均匀分布的是%
!!
&
!
%
;
&
:3;
' %
<
&
:-;
'
%
=
&
:;
' %
>
&%
:
!
;
&
!
(+
设%
:
!
;
&的联合分布律为
!
;
:
!
-! ! $
-!
'
$"
$
$"
(
$"
$
%
$"
%
$"
!
$"
求下列函数的分布律
%
!
&
:3;
'%
$
&
:-;
'%
%
&
9:0
%
:
!
;
&'%
&
&
95K
%
:
!
;
&
!
*+
设随机变量:
!
;
独立同分布!均服从%
"
!
!
&上的均匀分布!求随机变量C):3;
的概率
密度!
*
组
!+
%二项分布的可加性&已知随机变量:
与;
相互独立!且:
!
(
%
$
!
!
2
&!
;
!
(
%
$
$
!
2
&!证
明:3;
!
(
%
$
!
3$
$
!
2
&
!
$+
设随机变量:
!
;
相互独立!且均服从%
"
!
%
&上的均匀分布!试求事件95K
*
:
!
;
+
1
!
的
概率!
%+
设随机变量:
与;
独立!且它们的概率密度分别为
0
:
%
<
&
#
!
!
"
1
<
1
!
"
!
* 其他!
!
0
;
%
=
&
#
/
4=
!
=
%
"
"
!
* 其他!
试求C):3;
的概率密度!
&+
二维随机变量%
:
!
;
&服从区域8)
*%
<
!
=
&
$
"
1
<
1
$
!
"
1
=
1
!
+上的均匀分布!求矩形面
积C):;
的概率密度!
复习题三
一#填空题
!+
设随机变量:
与;
相互独立!下表给出了二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布律及关
于:
和;
的边缘分布律中的部分值!试填出表中空白处的1
个概率!
(('
!!
!
;
:
!
=
!
=
$
=
%
2
,
-
<
!
!
1
<
$
!
1
2
-
3
!
(
!
!!
$+
设:
!
;
为随机变量!且/
%
:
#
"
!
;
#
"
&
)
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*
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%
:
#
"
&
)
&
*
!
/
%
;
#
"
&
)
&
*
!则/
%
95K
%
:
!
;
&
#
"
&
) !
%+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
5
%
<
1
=
&!
"
0
<
0
!
!
"
0
=
0
$
"
!
* 其他!
则常数5)
!
/
%
;
1
:
&
) !
&+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
$<
=
!
<
$
1
=
1
槡<
"
!
* 其他!
则/
%
:3;
1
!
&
) !
'+
设随机变量%
:
!
;
&的联合分布律为
!
;
:
!
-! !
! 5
!
2
$
!
2
6
% A
!
%
若:
!
;
相互独立!则5)
!
6)
!
A) !
(+
设随机变量:
!
;
独立同分布!其分布律均为
: " !
/ "+' "+'
则随机变量C)95K
%
:
!
;
&的分布律为!
*+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
(<
!
"
1
<
1
=
1
!
"
!
* 其他!
则/
%
:3;
1
!
&
) !
科
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第三章!
多维随机变量及其分布 ((*
!!
二#选择题
!+
设随机变量:
!
;
独立同分布!其分布律均为
: -! !
/ "+' "+'
则有%
!!
&
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
%
;
&
/
%
:);
&
)"+'
' %
<
&
/
%
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&
)"+$'
' %
>
&
/
%
:;)!
&
)"+$'!
$+
二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
<
=
2(
!
"
0
<
0
&
!
!
0
=
0
'
"
!
:
;
<
其他
!
则/
%
:
#
%
!
;
1
$
&
)
%
!!
&
!
%
;
&
!
(
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<
&
!
2(
' %
=
&
*
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' %
>
&
!!
!2$
!
%+
二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
!
"
!
<
$
1
=
$
1
!
"
!
:
;
< 其他
!
则:
!
;
为%
!!
&
!
%
;
&独立同分布' %
<
&独立不同分布'
%
=
&不独立同分布' %
>
&不独立也不同分布!
&+
下列分布中!%
!!
&不具有可加性!
%
;
&均匀分布' %
<
&泊松分布'
%
=
&正态分布' %
>
&二项分布!
'+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合分布律为
!
;
:
!
" !
" "+& 5
! 6 "+!
且随机事件*
:)"
+与*
:3;)!
+相互独立!则常数5
!
6
分别为%
!!
&
!
%
;
&
"+$
!
"+%
' %
<
&
"+&
!
"+!
' %
=
&
"+%
!
"+$
' %
>
&
"+!
!
"+&!
(+
设两个相互独立的随机变量:
!
;
分别服从正态分布7
%
"
!
!
&!
7
%
!
!
!
&!则%
!!
&
!
%
;
&
/
%
:3;
1
"
&
)
!
$
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<
&
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%
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1
!
&
)
!
$
'
%
=
&
/
%
:-;
1
"
&
)
!
$
' %
>
&
/
%
:-;
1
!
&
)
!
$
!
*+
设随机变量:
,
%
,)!
!
$
&的分布律均为
(!+
!!
:
,
-! " "
/ "+$' "+' "+$'
!
且/
%
:
!
:
$
)"
&
)!
!则/
%
:
!
):
$
&
)
%
!!
&
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%
;
&
"
' %
<
&
"+$'
' %
=
&
"+'
' %
>
&
!!
三#计算题
!+
已知随机变量:
!
和:
$
的分布律为
:
!
-! " !
/ "+$' "+' "+$'
!!
:
$
" !
/ "+' "+'
且/
%
:
!
:
$
)"
&
)!!
求)%
!
&%
:
!
!
:
$
&的联合分布律'%
$
&
:
!
和:
$
是否独立(
$+
设随机变量J
,
%
,)!
!
$
&相互独立且服从参数为2
的"-!
分布!令
:
#
!
!
J
!1
J
$
为奇数
"
!
J
!1
J
$
* 为偶数!
!
;
#
!
!
J
!1
J
$
为奇数
"
!
J
!1
J
$
* 为偶数!
求:
!
;
的联合分布律!
%+
设随机变量:
!
!
:
$
!
:
%
!
:
&
相互独立且同分布!且:
,
%
,)!
!
$
!
%
!
&
&的分布律均为
:
,
" !
/ "+( "+&
求行列式:)
:
!
:
$
:
%
:
&
的分布律!
&+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
%
$
<
=
$
!
"
1
<
1
$
!
"
1
=
1
!
"
!
:
;
< 其他
!
求边缘密度函数0
:
%
<
&!
0
;
%
=
&!并说明:
!
;
是否相互独立!
'+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
*
%
!
4
<
&
=
!
"
0
<
0
!
!
"
0
=
0
<
"
!
* 其他!
%
!
&求常数*
'
!
%
$
&求边缘概率密度0
:
%
<
&!
0
;
%
=
&'%
%
&判断:
!
;
是否相互独立!
(+
设随机变量:
在区间%
$
!
%
&上服从均匀分布!在:)<
%
$
0
<
0
%
&的条件下随机变量;
在
%
$
!
<
&区间上服从均匀分布!求)
%
!
&随机变量:
和;
的联合概率密度'
%
$
&
;
的概率密度!
*+
设二维随机变量%
:
!
;
&服从区域S)
*%
<
!
=
&
$
!
1
<
1
%
!
!
1
=
1
%
+上的均匀分布!试求随
机变量C)
$
:-;
$
的概率密度0
C
%
D
&
!
1+
设二维随机变量%
:
!
;
&的联合概率密度为
0
%
<
!
=
&
#
!
!
"
0
<
0
!
!
"
0
=
0
$<
"
!
* 其他!
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第三章!
多维随机变量及其分布 (!(
!!
求C)$:-;
的概率密度!
2+
设:
!
;
是相互独立的随机变量!其中:
的分布律为
: ! $
/ "+% "+*
随机变量;
的密度函数为0
%
=
&!求J):3;
的概率密度N
%
L
&
!