理论物理导论 II- （上）统计物理

1. 统计物理学发展简况  

2.     基本概念

1. 统计物理发展简况

统计物理从建立到现在已经有一百多年。 学科不断发展：不仅应用领域不断扩大，小

到原子核，大到宇宙；从物理学到其它自然科学( 化学、生物、信息科学、金融学、管理学、社会科学 ) ；而且，学科本身也有了许多重大的发展，包括概念、理论和方法。

永远的丰碑

Maxwell, Boltzmann, Gibbs: 经典统计奠基者Planck, Einstein, Fermi, Dirac, Pauli, Bose: 量子统计概念

von Neumann, Landau, Kramers, Pauli: 量子统计理论 Onsager ，杨振宁，李政道van de Waals, Wilson, Kadanoff, Widom, Fisher

Prigogine

世界名师： Pauli, Landau-Lifshitz, Fowler, 王竹溪

1.1 经典统计简史

经典统计建立于 19 世纪下半叶，主要是Maxwell, Boltzmann 和 Gibbs 的贡献。

平衡态的最普遍理论是 Gibbs 的统计系综理论（ 1902 ）；非平衡态的理论以 Boltzmann方程和 H- 定理为核心，不像系综理论那么普遍，仅适用于稀薄气体。应该指出，玻氏方程和 H-定理的意义重大，涉及统计物理的基本问题：趋于平衡的不可逆性。

1.2 量子统计简史 量子力学的建立与量子统计的建立有着相互依赖，相互促进的复杂关系。

1900 年， Planck 在研究黑体辐射谱的统计理论中提出了量子假说，当时他用的是 Boltzmann 统计。随后， Einstein (1907), Debye (1912) 和 Born 与 von Karman （ 1912 ， 1913 ）应用 Boltzmann 统计及能量量子化研究了固体比热。

有意思的是：量子假说的提出并不是从原子光谱的研究，而是从黑体辐射的统计理论。

• 1905 年， Einstein 提出了光量子的假说，这篇论文是唯一被爱氏自己称为革命性贡献的。它也源于黑体辐射。爱氏根据 Wien 区（高频区）内的辐射与经典实物粒子的经典理想气体的类比，而提出光量子假说，并用以解释了光电效应。

• 1924 年， Bose 提出了一种新的统计方法（这是在量子力学建立以前），重新推导了 Planck 的黑体辐射公式， 1925 年， Einstein 推广了 Bose 的统计方法 (以后被称为 Bose-Einstein 统计），把它用到理想原子气体，并从理论上预言了一种新的凝结现象（以后被称为 Bose-Einstein Condensation ） .

• 1926 年， Fermi 提出了另一种符合 Pauli 不相容原理的统计方法，稍后， Dirac 独立地提出了同样的统计方法（以后被称为 Fermi-Dirac 统计），并论证了 Bose 统计和 Fermi 统计与多粒子体系波函数对称性之间的关系。

• 对 Bose 统计和 Fermi 统计与粒子自旋之间的关系的认识要晚的多，是 1945 年由 Pauli 论证的。

• 1927 年， Von Neumann 提出了密度矩阵的概念，证明密度矩阵的作用类似于经典统计系综的几率密度，他还推导出量子的 Liouville 方程。 Landau 与 Kramers, Pauli等人对量子统计系综的建立也作出了重要的贡献。至此，量子统计系综理论的理论框架已经建立起来了 .

• 1929 年出版的 Fowler 的“统计力学”反映了当时统计物理学的几乎所有的主要成果。可以说是一部（当时的）统计物理学的“百科全书”。

1.3 从 1930s 年代以来统计物理的若干主要进展（林宗涵）：

• 稠密气体和液体（经典与量子）• 严格可解模型• 元激发的概念和方法 • 负绝对温度 • 线性响应理论• 相变和临界现象  

• 各态历经问题• 稀薄原子气体的玻色－爱因斯坦凝聚（ BEC）• 介观体系中的统计问题 • 天体物理和宇宙学中的统计问题• 混沌，分形 , 渗流，……• 凝聚态物理中的统计问题（许多许多）• 软凝聚物质（高分子，液晶……）• 非平衡相变（远离平衡态）• 交叉学科中的统计问题（经济学，社会学，…）• 计算机模拟（ Monte Carlo,分子动力学，…） ………………………………………

1.4     基本结构 统计物理的基本原理并不复杂，平衡态的理论框架也很简单（等几率原理，几种系综，配分函数与巨配分函数，分布与关联函数）。

但是，对有相互作用的体系，如何计算是相当困难的任务。

例 1 ：稀薄原子气体的玻色－爱因斯坦凝聚 *历史的回顾 : 1924 年， Bose 对黑体辐射（光子气体）提出一种新的数态的方法，重新导出 Planck 辐射公式。投稿被拒后，求助于 Einstein.Einstein将该文译成德文，并加注“是一个重要的进展”。

1924－ 25 ， Einstein 将该方法推广到实物粒子，相继发表了两篇文章（注），即“单原子理想气体的量子理论”（一）（二），在文（二）中，理论上预言了“ condensation”, 后来被称为 Bose-Einstein Condensation(BEC).其实，预言“ condensation” 与 Bose 无关，应该称为 “ Einstein Condensation” 更合适。

1938年，F.London 提出液氦的超流与金属的超导转变可以近似理解为BEC，此后逐渐被接受。 1940s－ 1960s, Bogoliubov, Penrose, Schafroth, Lee & Yang 等人研究了弱相互作用Bose 气体的 BEC。 1976,MIT,Netherland, Canada等几个研究组开始探索用自旋极化原子氢实现BEC的可能。其间，发展了 Laser cooling 等方法。1998年实现BEC。 1980s,开始探索用碱金属原子气体的道路。 1995 年， Colorado 大学的 Cornell 和 Wieman 首先在铯原子气体中实现了 BEC 。同年稍后， MIT 的 Ketteler 在钠原子气体中观察到BEC. 他们三人共同获得 2001 年 Nobel 物理学奖。

新领域的开辟(1) 新的量子流体（气体） 非均匀约束； 有排斥或吸引的相互作用； 多组分， spinor ； 超流；……(2) Atom Laser, Atom Optics(3) New atom / Molecule BEC(4) New Cooling, trapping……(5) Applications precision measurement, nanotechnology,……Nobel Lectures: Cornell & Wieman,RMP74,875(2002); Ketterle, RMP74,1131(2002)

例 2．介观体系中的统计问题 *

介观体系的大小介于宏观与微观之间，其基本特征是：粒子保持位相相干（位相记忆）的特征长度大于体系的尺度。因而量子相干效应对其输运及其它性质有重要影响。位相相干长度依赖于温度等因素，对于低温下的高品质的半导体，介观体系的尺度可以从几十纳米到几微米。

由于微加工技术的发展，各种人造介观体系成功实现，使介观物理的研究成为一个十分活跃的研究领域。它不仅能为新一代的介观或纳米器件提供物理基础，而且具有重要的基础研究意义。

碳纳米管场致电子发射

NEC ， ZSU FED: SAMSUMG, NORITAKE ， LG

Merits:Higher current densityLow threshold voltageLow energy cost……

Length m2~1

Number of atoms 6 510 ~ 10

Open system

Under an applied field

The electron emits from the tube by tunneling,

that is sensitive to all the details in the tip !

介观体系的研究提出了一系列问题，如：（ 1 ）不满足热力学极限的后果： 各种平衡态统计系综不等价； 涨落新特征（ UCF,Non-Gaussian Lognormal 行为）； 纳米颗粒的相变；（ 2）介观体系的量子输运 各种人造介观体系： 量子点；量子线；环形结构；碳纳米管；… 包含铁磁，超导等的复合结构。 各种不同的输运： 扩散， Ballistic, 隧穿。

理论方法（ Boltzmann输运理论不再适用）： Landauer-Buttiker 散射矩阵理论； 非平衡 Green 函数理论；美妙的实验： 介观体系是理想的人造小实验室，已成功地

用以研究 AB 效应 , Kondo 效应 , Luttinger

效应 ,Fano 效应 ,…..