わかみず会第２９５回発表資料

金融世界覗き：確率微分方程式および パワーオプション（Power Option）の価格計算

(その1)

黄 文峰 (Dr.)

2012年2月1日（水）

株式会社アイヴィス東方システムズ

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1. 金融デリバティブ、オプション取引

2. 幾何ブラウン運動と金融工学

3. 確率微分方程式、伊藤の補題

4. ブラック・ショールズモデルとノーベル経済学賞

5. パワーオプションの価格計算

6. 検証手法：モンテ・カルロ法、その他

目 次

2

1. 金融デリバティブ、オプション取引

ー デリバティブ（Derivative） • 派生証券のこと。株式や債券などの原証券の値の変化に依存してその値が変化する証券である。 例： 日経株価指数300オプション、日経株価指数300の価格を基本的な変数として、これに依存してオプションの価格が決定されるデリバティブである。 サブプライム住宅債券

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1. 金融デリバティブ、オプション取引

ー オプション（Option）取引

• デリバティブの一種。

ある商品を、将来のある期日までに、その時の市場価格

に関係なくあらかじめ決められた特定の価格

（＝権利行使価格）で買う権利、又は売る権利を売買する。

• 売買種類：

Call（買う）

Put（売る）

• 目的：リスク回避（ヘッジ、Hedge） 。

4

1. 金融デリバティブ、オプション取引

ー オプション（Option）取引の例

１． Call:

株現在価格：100円。

6か月後、 130円で買う権利。権利金１円。

シナリオ１： 6か月後株価150円。

130円で買えるので、

1単位の利益：

150－130－1 ＝ 19円 （19倍！）

シナリオ２： 6か月後株価70円。

130円で買うより、市場取引のほうが得策

権利放棄による1単位の損失： 1 円

5

1. 金融デリバティブ、オプション取引

ー オプション（Option）取引の例

2． Put:

株現在価格：100円。

6か月後、 80円で売る権利。権利金１円。

シナリオ１： 6か月後株価50円。

80円で売れるので、

1単位の利益：

80－50－1 ＝ 29円 （29倍！）

シナリオ２： 6か月後株価120円。

80円で売るより、市場での取引のほうが得策

権利放棄による1単位の損失： 1 円

6

1. 金融デリバティブ、オプション取引

ー オプション（Option）取引の例

3． オプションによるリスク低減

株現在価格：100円。保有株数：20万単位。

総時価： 2,000万円

6か月後、 80円で売る権利（Putオプション）。

権利金１円×20万＝20万円。

6か月後株価50円。

80円で売れるので、

損失：

(100－80－1)×20万 ＝ 380万円

Putオプションがない場合の損失：

(100－50)×20万 ＝ 1000万円

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2. 幾何ブラウン運動と金融工学

ー 株価の実例

• 野村ホールディングス（株）

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2. 幾何ブラウン運動と金融工学 ー 株価変動の一般化: ブラウン運動

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 200 400 600 800 1000

X(t)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 200 400 600 800 1000

直線： 時間に安定して依存部分 曲線：

時間によってランダムな変動部分

青＝ピンク（左）＋ピンク（右）

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2. 幾何ブラウン運動と金融工学

特徴：

動きが正規分布

変動の平均値 0

変動の分散は経過時間 t の倍数

10

2. 幾何ブラウン運動と金融工学

ー 標準ブラウン運動：

任意時点 t ：

１．正規分布

２．変動の期待値 μ = 0

３．変動の分散 σ2 = 経過時間 t

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2. 幾何ブラウン運動と金融工学

ー ブラウン運動の数式化

Xt = μ t + σ Wt

Wtは標準ブラウン運動 -1

0

1

2

3

4

5

6

0 200 400 600 800 1000

X(t)

12

2. 幾何ブラウン運動と金融工学

logXt = μt + σWt

Xt = exp(μt + σWt)

ー 幾何ブラウン運動

または

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2. 幾何ブラウン運動と金融工学 ー ブラウン運動の鏡像原理

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3. 確率微分方程式、伊藤の補題

ー ブラウン運動の微分方程式（形式上）

dXt = μdt + σdWt

Wtは標準ブラウン運動

ー 幾何ブラウン運動の微分方程式（形式上）

d logXt = μdt + σdWt

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3. 確率微分方程式、伊藤の補題

ー 確率微分方程式の注意点

d logXt = μdt + σdWt

tt Wt

X

Xd d

d

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3. 確率微分方程式、伊藤の補題

ー 幾何ブラウン運動の微分方程式（形式上）

d logXt = μdt + σdWt

原因：(dWt)2 = dt !

× tt Wt

X

Xd d

d

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3. 確率微分方程式、伊藤の補題

ー その理由

d logXt = μdt + σdWt

18

y = d logXt とする。

つまり、X = ey。

dy = μdt + σdWt

Xをティラー展開すると、

3. 確率微分方程式、伊藤の補題

ー その理由（続き）

となる。 19

(dWt)2 = dt

3. 確率微分方程式、伊藤の補題

ー 伊藤の補題

tWX

Yt

X

Y

X

Y

t

YY dd

2

1d 2

2

2

dXt = μ(t)dt + σ(t)dWt

に従う場合、

X と t の関数である確率過程 Y (X, t) は

に従う。

確率過程X(t)が

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3. 確率微分方程式、伊藤の補題

ー 伊藤の補題（補足説明）

となる。 21

3. 確率微分方程式、伊藤の補題

ー 伊藤の補題（補足説明）

特に、先ほどの例で

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d y = μdt + σdWt

y = d logXt とする。

つまり、X (y,t )= ey。

ここでのXは伊藤の補題のY、

yは伊藤の補題のXと読み替えて代入すると、

となる。

3. 確率微分方程式、伊藤の補題

ー 伊藤の補題

伊藤清（1915~2008）

数学者。 京都大学 プリンストン高等研究所 コーネル大学 オーフス大学

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4. ブラック・ショールズモデル とノーベル経済学賞

ー マイロン・ショールズ (Myron S. Scholes)

1941年7月1日 –

現在スタンフォード大学教授。

1997年にブラック-ショールズ方程式を理論面から完成させたロバート・マートンとともに、ノーベル経済学賞を受賞。

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4. ブラック・ショールズモデル とノーベル経済学賞

ー ブラック・ショールズモデル

WtrS

Sd d

d

株価の確率過程（Sは株価）

Sに基づいた派生証券

f (S,t)

が満たすべき方程式？

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4. ブラック・ショールズモデル とノーベル経済学賞

ー ブラック・ショールズモデル

S

f

価値：

),( tSf

株購入の単位数：

派生証券売出の単位数： 1

),(1 tSfSS

f

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4. ブラック・ショールズモデル とノーベル経済学賞

ー ブラック・ショールズモデル

同値のものが Δt 時間経過後の無リスク金利：

Δt 時間内の価値変動（伊藤の公式利用）：

ttSfSS

fr

),(1

tSS

f

t

f

22

2

2

2

1

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4. ブラック・ショールズモデル とノーベル経済学賞

ー ブラック・ショールズモデル

無裁定仮説： Δt 時間内の価値変動＝無リスク金利

ttSfSt

frtS

S

f

t

f

),(

2

1 22

2

2

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4. ブラック・ショールズモデル とノーベル経済学賞

ー ブラック・ショールズ微分方程式

SS

frS

S

f

t

ftSfr

22

2

2

2

1),(

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4. ブラック・ショールズモデル とノーベル経済学賞

ー ショールズ本人の投資実績

・1997年にブラック-ショールズ、ロバート・マートンノーベル経済学賞を受賞。

・1998年、この2人が経営陣に名を連ねた巨大ヘッジファンドLTCM（Long Term Capital Management）倒産。

2008年、ショールズ自身が設立したヘッジファンドが一年間に38％の損失を出し解約を停止、LTCMに続く2度目のファンド運用失敗。

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5. パワーオプションの価格計算

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6. 検証手法：モンテカルロ法、その他

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ご清聴ありがとうございました。

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