-105-

第 32 屆海洋工程研討會論文集 國立臺灣海洋大學 2010 年 11 月 Proceeding of the 32nd Ocean Engineering Conference in Taiwan National Taiwan Ocean University, November 2010

以泰勒葛拉金法推導含黏滯性效應之緩坡方程式

林岳霆1 蔡加正

2 許泰文

3

1國立成功大學海洋及水利工程學系博士生 2國立高雄海洋科技大學海洋環境工程系副教授

3國立成功大學海洋及水利工程學系教授

摘要 本文架構主要以納維爾-斯托克斯方程式為核心，考量線性假設情況，利用泰勒葛拉金法與

分離變數法來重新推導一含有黏滯性效應之流函數形態緩坡方程式，藉以模擬黏性流體的波浪

變形效應。同時邊界條件部分也引入含有黏滯效應之線性動力邊界條件，並考量底床為滑動的

情況。計算結果顯示，本模式模擬前進波通過等深底床時，波場之水位變化隨時間變化而呈減

衰之趨勢，與解析解一致。另外，水位減衰程度則是會受黏滯效應增大而加劇。

關鍵詞：納維爾-斯托克斯方程式、黏滯性效應、緩坡方程式、流函數

Derivation of Viscous Mild-Slope Eqution Using Taylor Gelerkin Method

Yueh-Ting Lin Chia-Cheng Tsai Tai-Wen Hsu* *Professor, Department of Hydraulics and Ocean Engineering, National Cheng Kung University

ABSTRACT

In this paper, a two dimensional mild-slope equation based on Navier-Stokes equation is developed to simulate the transformation of regular progressive wave for viscous fluid. Considering situation of linearization, the Dynamic Free Surface Condition with viscousity and the completely sliping bottom condition will be included into the governing equation. According to results, the wave motion in real fluids of uniform depth will be degerative with time because of viscousity. In additon, elevations degerate more strongly when fluids is more viscous.

Keywords: Navier-Stokes equation; Viscosity; Mild-slope equation;Streamfunction; Taylor Gelerkin Method

一、前言 往昔描述波浪變形效應大多採用勢函數所表示

之控制方程式，如緩坡方程式，其中假設在滿足質

量守恆與能量守恆原則下，且海底地形是以階梯狀

底床地形描述，因此無法將底床視為連續，而適當

描述底床邊界。然而勢函數所呈現的理論僅能適用

理想流體條件下，在不考慮流體黏滯性情況下，其

運動與實際流體所呈現的情況不同，所以也難以真

實地呈現出實際水位的變化與流體內部的物理變

化。 緩坡方程式最早是由 Berkhoff (1972) 提出，其

基本假設流體為非旋性（irrotational）、不可壓縮（incompressible），故滿足拉普拉斯方程 (Laplace

Equation)，接著將三維勢能函數乘上水深因子後沿水深方向積分，如此將三維的計算問題簡化為二維

平面的計算問題，同時可描述波浪的折射、繞射及

反射等現象，乃屬二維平面橢圓型態之偏微分方程

-106-

式。爾後相繼沿生出拋物線型(Radder,1979)、雙曲線型(Booij,1981)、演進型態緩坡方程式(Li,1994)、

(Hsu、溫 2001)。近年來 Kim and Bai (2004)利用變分法搭配流函數理論重新推導線性緩坡方程式

(Complementary Mild Slope Equation, CMSE)，此理論架構仍是滿足流域中之連續方程式、且靜水位處

與不平坦底床處其運動邊界條件也是滿足。結果發

現CMSE的表現上比一般架構在勢能理論下之緩波

方程式來的優，歸究其原因乃在於流函數理論的特

徵函數能正確滿足底床邊界條件所造成的結果。許

等(2007)等人同樣利用流函數法推導高階流函數緩波方程式，異於 Kim and Bai (2004)積分至平均水面

而是積分至自由水面處、並以有限元素法建立二維

數值模式，結果發現相較傳統勢能函數理論所推導

之緩坡方程式，流函數原理重新推導緩坡方程式，

能適切地描述底床邊界，而有更好的結果展現。另

外，在斜坡底床與單一潛堤下，底床坡度小於 1 時，其成果皆有良好的一致性，且底床坡度越平坦，反

射係數也越小。Toledo and Agnon（2009）沿用 Kim & Bai (2004)概念繼續延伸推導出二階非線性頻率

域模式之非線性 CMSE。其結果顯示此非線性模式對於波與底床或是波與波交互作用均有者較高的準

確性。 有關真實流體黏滯性描述，依 Stokes (1845)的

黏性定律(Stoke’s law of viscosity)得知，具黏性之流體當其運動產生角變形(angular deformation)時，於

該處的流體必存在剪力。因此隨真實流體波動之自

由表面運動的自由表面處之流體質點，當其運動產

生角變形的時候，則在波動之自由表面處必有內在

剪力的存在，且會引起對應作用效應出現。然而，

眾所皆知 Navier-Stokes equation 乃是求解流體最根本的控制方程式，其中考量黏滯性效應，因此可真

實 反 映 出 真 實 流 體 的 流 場 變 化 。 往 昔 有

Hough(1896)、Harrison(1908)直接解析整個真實流

體中之前進波流場，並考量完全黏著與完全滑動底

床情況，但解析過程中有諸多簡化，且限制自由表

處無剪力，因此造成自由表面處具有旋性，且渦動

量在黏性甚小時會呈無限大之不合理之情況。

Stewart(1967)、Longuet-Higgins(1969)、Phillips(1977)與陳(1990)曾將自由表面處的剪力重新考慮，但仍

無法針對自由表面處的動力現象做完整描述。陳

(1996)再針對自由表面處分析流體之動力平衡結構，再依動量守恆原則將自由表面處的空氣壓力、

剪力及表面張力考量至自由表面動力邊界條件中，

同時解析滑動底床與固定底床之前進波流場一階線

性解。 本文將以流函數法搭配水深積分方法，在

Navier-Stokes equation 的理論架構下，同時引入含黏滯效應之動力邊界條件(陳，1996)，進而重新推

導出含黏滯性效應之緩坡方程式，以期本模式能更

貼切描述真實流體規則前進波在緩變地形下波場的

變化。

二、理論分析

2-1 控制方程式 根據可描述真實流體之 Navier-Stokes 方程式，

其二維型態表示如下

21dU P Udt x

(1)

21dW Pg Wdt z

(2)

式中U 和W 為流場在 x 和 z 方向的速度分量，t 表示時間，P 為流體動壓力，而 表示運動黏滯係數。

(1)、(2)式分別對 z 與 x 方向做偏微分後合併消去壓力項得

2 4ddt

(3)

其中 x,z,t 為流函數，假設 time-harmonic 則(3)式可演化成

2 4i + =0 (4) 其中 x,z 為空間上之流函數，(4)式再對水深做積分得

2 4 0

-hf i + dz=0 (5)

其中水深函數可表示為

sinhk h zaf

k sinhkh (6)

利用分部積分將(5)式化簡，並帶入待求解邊界條件 ， 同 時 利 用 分 離 變 數 法 ， 並 假 設

x,z f z x 帶入並重新整理得控制方程式如下

0 x xx xxxxA B C D (7) 其中

-107-

2

22 2

hˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA i H C K B L Jx

22 41

hh xˆB Jx h

x

2 igˆ ˆ ˆ ˆC i A H D F

ˆ ˆD A E

0 2 -h f dz 3

30

z

fB̂ f z

0

z

fˆ ˆ ˆC f =G=Mz

2

02

z

fD̂ dz f z

0 zÊ f dz f 2

0 zF̂ f 0

-h

fĜ fz

20

2

- hfĤ f dz

z

20

20

-hzf f ˆˆ ˆI f f dz C Hz z

2

z h

fĴz

2

20

z

f fK̂z z

40

4

-hfˆ ˆL K f dz

z

z -h

fˆM̂ C fz

2-2 邊界條件 利用陳(1996)依動力平衡原則所重新推導出的

自由表面動力邊界條件如下

2 2

0

zt z xxz x

xxzz xxxx

g

dz

(8)

假設波動自由表面處在均勻大氣壓分部之下，該處

流體質點運動為非旋性，則運動邊界條件可表示如

下

xt xx (9)

2 =0 (10) 考慮緩坡架構下底床為非水平且不隨時間而改變，

底床處垂直速度滿足V n=0

，並引用 Hough(1896)所提之完全滑動底床論點，此時底床處無剪力存在

且滿足 0n t (圖一)，則底床邊界條件可表示如

下 h

x z x

(11)

2

4 1 0xz zz xxh hx x

(12)

圖 1 底床受力示意圖

2-2 數值計算 假設待求解流函數可以富立葉級數近似之，則

待求解流函數可表示如下 2 2

1 1

m mn nN Ni x i xL L

m n nn n

a e r e

(13)

(13)式帶入(7)式後整理得一矩陣式

1 1 1 1 1 1 1

1

2 1 2 2 1 2

0

0

, n , ,n

n

n, n,n n, n ,n n

b ~ b ~ a~ ~~ ~ a~ ~~ ~

b ~ b ~

(14)

再利用高斯消去法求解矩陣各係數值 na 、 nr 。

三、結果與討論 本文先以等水深地形（ 20h 公分）、週期

0 8T . 秒 、 波 高 2 公 分 、 黏 滯 性 系 數

0 00119 . m2/s 為例，並與解析解(陳，1996)做比較，結果發現本模式所計算之水位變化與解析解一

致（圖 2）。再比較流體為清水（ 61 12 10 . m2/s）與甘油（ 31 19 10 . m2/s）在固定位置時水位，

與前例同樣條件下，發現水位也是隨時間變化而衰

減，且甘油的波浪減衰程度會比清水來的大且快（圖

3）；另外，比較不同水深（ 20h 、 50h 公分）、

-108-

週期 0 8T . 秒、波高 2 公分時甘油水位減衰程度，發現較淺水深時之時水位減衰相較深水深時來的大

（圖 4）。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25t/T

-1.2

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

a0

Mediate water dapthanalytical solution(Chen,1996)present model

圖 2 水位時序列驗證比較圖

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25t/T

-1.2

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

a0

(a)

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50t/T

-1.2

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

a0

(b)

圖 3 不同流體等水深時水位時序列比較圖（虛 線：海水；實線：甘油）

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25t/T

-1.2

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

a0

secm2/s

depth=50 cmdepth=20 cm

圖 4 不同等水深地形水位時序列比較圖

四、結論 本模式經解析解(陳，1996)驗證，波浪之水位

變化會因黏滯效應而生減衰之現象，而且隨著黏滯

性的增加則減衰幅度越大、越快；水深越淺其衰減

幅度相較深水時越大。另外，海水或是清水因其黏

性系數均小於 510 ，黏滯效應反應致水位變化較為

薄弱，所以巨觀而言水位變化近似於理想流體。總

而言之，考慮黏滯效應的緩坡方程式能改善勢能流

理論的不足，對應用實際流體的波場變化可提供有

效且實際的參考。

參考文獻 1. 陳陽益(1990)「波動流體之一些真實性」，第三

屆基礎港灣數值研習會論文集，第 1-41 頁。 2. 陳陽益、楊炳達(1996)「真實流體中之重力駐

波」，第十八屆海洋及海岸工程研討會論文集，

第 14-24 頁。

3. 陳陽益(1996)「真實流體中之規則前進波」，港灣技術第十一卷第一期，第 57-88 頁。

4. 許泰文、林達遠、莊敬偉、蕭冠宇(2007)「以流函數法推導高階緩坡方程式」，第十六屆水利

工程研討會論文集，第 882-889 頁。 5. Berkhoff, J.C.W. (1972) “Computations of

combined refraction-diffraction,” Proc. 13th Int. Conf. Coastal Engineering, ASCE, New York,

pp.471-490. 6. Harrison, W.J. (1908) “The influence of viscosity

and capillarity on waves of finite ampliture.” Proc. Lond. Math. Soc. Ser.1,28, pp.107-121.

7. Kim, J. W. and Bai, K. J., “A new complementary mild-slope equation,” Journal of Fluid Mechanics,

vol. 511, pp. 25–40 (2004). 8. Longuet-Higgings, M.A. (1969) “Action of a

variable stress at the surface of water waves” Phys. Fluid 12, pp.737-740.

9. Phillps, O.M. (1977) The dynamics of the upper ocean. Cambrige University Press, London. 2th

edition. 10. Stokes, G. G. (1847) “On the theory of oscillatory

waves.” Trans. Camb. Phil. Soc. 8, pp.441-455