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物理雙月刊（廿六卷二期）2004年4月

一、簡介

當物體的大小與其組成物質的物質波波長相當

時,量子效應變成決定材料物、化、光、電等各種特

性的關鍵性因素。以IV及III-V族半導體為例，其物

質波波長約為20 ~ 40奈米 (nano-meter)，在三度空

間各方向大小均在此尺度的半導體物體因此稱之為

半導體量子點，這些奈米尺度的量子點其特性與的

巨觀塊材(bulk)截然不同，具有許多傳統材料所沒有

獨特而優越的性質，例如其電子能態密度(electronic

density of states)分佈不似塊材形成能帶，而是與單

一原子較為接近由狹窄的不連續能階組成，而量子

限域效應(quantum confinement effect)—當量子點的

尺寸變小其能階間距則變大—提供了一個經由控制

其大小而調變其能階的有效機制，表現在光學特性

上，量子點就是一個頻寬狹窄而頻率可控制的理想

光源。

目前許多研究專注於半導體量子點在光電與通

訊元件方面的應用。例如以量子點當作活性層(active

layer)材料的半導體雷射即備受矚目，它具有效率高

、穩定性佳、臨界電流低的優點，同時又具有可以

發出特定波長的選擇性，如何研發製作可產生符合

光纖通訊所需1.3µm波長的量子點雷射正是目前大家

努力的一個方向，可預期未來這種雷射也會被應用

在光學數據儲存元件上。雖然商用量子點雷射產品

即將問世，但是其關鍵成份-量子點的結構如形狀、

原子排列及成份分佈至今仍不甚清楚，而這些正是

決定其光電特性的關鍵因素。

目前最常被採用來生長半導體量子點的方法

是利用沉積材料與基板間適當的晶格參數差而造成

量子點的自行組成(self-assembly)。以這種方式長成

的量子點一般具有特定的形狀及狹窄的大小分佈等

特點。雖然許多理論學家如M. Scheffler [1-2]和A.

Barabasi [3]以第一原理(first principles) 計算的方法來

研究自組成量子點的穩定態尺寸、形狀以至於內部

應變場的分佈，然而理論的預測經常缺乏實驗數據

來比對，原因是缺乏適當的工具與技術來量測這些

奈米尺度的物體,光就對其結構的鑑定就是一項重要

又具挑戰性的工作，所得到的數據不但可以用來驗

證其形成機制的理論模型，同時也是量子點能階計

算的依據，作為設計量子點結構以達操控其光電性

質的指導原則。

目前用來量測量子點結構的技術多為表面科

學研究所用的技術，大致可分影像(imaging)與散

射(scattering)兩大類。前者如掃描穿隧顯微鏡(scan

tunneling microscopy, STM)[4,5]、原子力顯微鏡

(atomic force microscopy, AFM)[6]和穿透式電子顯微

鏡(transmission electron microscopy, TEM)[7]等，其

優點是無需繁複的數據處理即可提供直接具體的影

像，但受限其穿透能力無法在不破壞樣品的情形下

偵測其內部的結構。後者以反射式高能量電子繞射

(reflection high energy electron diffraction, RHEED) [8]

及X光散射[9-11]最為常用。反射式高能量電子繞射

經常應用於磊晶生長的過程中即時(real time)監測量

子點的形成，不過因為多重散射(multiple scattering)

效應使得數據分析十分繁複，因此很少用於定量的

結構分析，而X光具有約0.1奈米的波長，又具有良

好的穿透力，適用於奈米尺寸物體的內部結構分析

半導體量子點的結構研究

文/徐嘉鴻

量子點內部的應力與成份分佈決定其光電特性，一般的實驗技術對此兩項糾結難分的關鍵因素

無法釐清，本文介紹利用同步輻射X光散射來解決半導體量子點內部結構的難題。

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物理雙月刊（廿六卷二期）2004年4月

，因此可以得到其他技術所無法提供的資訊。

二、樣品製作與原子結構的鑑定

我們所研究的三元InGaAs量子點是由中央大

學電機系綦振瀛教授實驗室以分子束磊晶(molecular

beam epitaxy, MBE)的方式生長在GaAs(001)基板

上[12]，在520°C的生長溫度下沉積五個原子層的

In0.5Ga0.5As，此量剛超過二維轉三維生長的臨界厚度

，基板的表面均勻的佈滿了直徑約為數十奈米的量

子點。圖一即為利用原子力顯微鏡所觀測到的影像

，一個個座落表面上的小丘就是InGaAs量子點，受

限於探針本身的直徑即超過10奈米，與量子點的尺

寸相當，因此影像中所得量子點的大小較實際值為

大。由影像我們得到量子點的密度約為2.5 ×1010 cm-2

，而X光量測時偵測的面積為數平方公厘，這表示

我們所得的資訊是超過108個量子點的平均值，這正

是散射技術與顯微術最大的不同之處，前者所得是

一系綜平均(ensemble average)而後者則為局部觀察

的結果，二者所提供的資訊或有出入但有相輔相成

的功能。

由先前的研究以及後續的X光量測我們知道這

些量子點尚未大到其彈性能量超過產生塑性形變

(plastic deformation)所需的能量，因此沒有晶體缺

陷(defects)形成，在此情形下量子點內部的原子排

列與基板的原子排列保持一定的關係，這即所謂的

同調量子點(coherent dots)。這些同調量子點因為可

以藉由調變其應變分佈而有效的控制其光電性質，

才是有實用價值的量子點。由於In0.5Ga0.5As的晶格

參數較GaAs大3.58 %，預期整個量子點內部平行

基板表面方向的晶格參數al會自下而上由接近GaAs

塊材的5.653 Å逐漸增加到接近In0.5Ga0.5As的5.856 Å

。正因如此，我們將量子點分割成所謂的等應變區

(iso-strain region)，亦即在平行基板表面方向維持固

定晶格參數的區域。在最簡單的模型中這些等應變

區具有圓板的形狀，而整個量子點則是由不同大小

的圓板堆疊而成，如圖二(b)所示。

繞射理論中一個基本的觀念是實空間 ( r ea l

圖一：長在GaAs(001)表面上的In0.5Ga0.5As量子點之原子力

顯微術影像。

圖二：(a)源自不同等應變區的散射X光強度對出射角αf的分佈圖,峰值所在的出射角反應該等應變區距基板表面的高度z (b)量子點可由具有不同晶格參數al的等應變區組成之示意圖， (c)源自不同等應變區的散射X光強度對角向散射向量qa的分佈圖

， 峰寬與所對應的等應變區之半徑成反比

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space)與倒空間(reciprocal space)呈一簡單的倒數關

係，因此被不同等應變區所散射的X光會分佈在倒

空間中不同的地方。具有較大(小) al 的等應變區對應

的繞射點在倒空間中會具有較小(大)的徑向散射向量

(radial scattering vector, qr)，本文所用的方法就是利

用這個特性，由不同 qr 處的散射X光強度分佈來重

建對應的等應變區的大小與位置。由於量子點中晶

格參數只在平行表面方向具有週期性，在垂直表面

的方向則呈連續變化，因此只有表面繞射點(surface

Bragg peak)亦即(H K L= 0)會存在。為方便起見，

所有的(H K 0)繞射點的位置均以GaAs的倒晶格單位

(reciprocal lattice unit, rlu)亦即0.1769 Å-1為單位。例

如一個 al = 5.856 Å的等應變區其(2 0 0)繞射點會出現

在(1.93 0 0)GaAs處。

實驗的散射幾何關係繪於圖三，X光以掠角

(grazing angle)入射樣品表面，在散射向量

滿足表面繞射(H K L~0)的條件下，繞射X光會再以

掠角離開樣品表面。圖中 和 表示入射和出射的

波向量，其值等於 ， 其中λ 是X光的波長，而αι

和α f 代表X光的入射角和出射角，在實驗過程中αι 保

持小於樣品的臨界角αc以確保X光對表面區域的靈敏

度。當使用的X光波長λ為1.6 Å時，此類樣品的α c約

為0.325°，這正是為什麼具有高準直性，高亮度的同

步輻射光源是這類實驗成功不可或缺的條件。

散射向量 可分成相互正交的三個分量，亦即

徑向、角向和表面法線方向(qr qa qz)，他們分別是

在平行和垂直(HK0)方向和沿著表面法線方向的投影

。類似於粉末繞射中峰寬與晶粒的大小成倒數關係

，固定某一qr值做角向的掃描，對應的等應變區的

半徑反比於qa掃描的半高波寬。此外根據變形波波

爾近似法(distorted wave Bohr approximation, DWBA)

來計算散射光在表面法線方向(surface normal)的強度

分布，峰值所在的αfmax與其對應的等應變區距離表

面的高度 z 遵守下列簡單的公式[10]。

zk f

f

c= −1 1

αααmax

max

cos ( ) (1)

圖二(a)和(c)分別圖示在一系列qr處所量得沿αf

和qa的散射X光強度，我們可以發現隨著qr的增加，

αfmax 遞增而qa的寬度遞減，顯示al 較小的等應變區的

高度較低而半徑較大，經過定量的分析各等應變區

的大小和相對位置的關係得以建立,量子點的外部輪

廓及內部應變場分布於是重建。

圖四為以上述方法所得到的沿著[220]和[ ]

兩個方向InGaAs量子點的高度對半徑關係圖，顯而

易見這些量子點約有6~7奈米高，輪廓類似鈴鐺的

形狀，在底部2 奈米範圍內其半徑急遽減少，當高

度超過2 奈米時則坡度變得十分陡峭，在半高處的

直徑沿著[220]和[ ]方向分別為25和28 奈米。值

得注意的一點是在[ ]方向量子點的半徑均大於

[220]方向的半徑，這個結果表示InGaAs量子點並不

具有圓形對稱，而是像長軸沿著[ ]方向的半個橢

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 260

1

2

3

4

5

6

7 5.0%4.5%

4.0%

3.5%

1.0%1.5%

2.0%

3.0%

2.5%

0.5%

Z (

nm)

R (nm)

(� ) [2 -2 0](� ) [2 2 0]

mismatch

圖四：沿著[220] (,)及[2-20](!)兩個相互垂直的方向上量子

點的高度相對於半徑的關係圖,一旁標示的百分比為該處

相對於GaAs基板的晶格參數差。

圖三：量子點X光散射的散射幾何示意圖

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物理雙月刊（廿六卷二期）2004年4月

球。圖四中在不同高度所標示的數字是該處的a l與

GaAs晶格參數差別的百分比(lattice mismatch)，如預

期的自下而上此值逐漸增加，不過在量子點的頂部

量得的最大的晶格參數差為5%，顯著地大於依維軋

定律(Vegard's law)計算所得In0.5Ga0.5As與GaAs的3.5%

晶格參數差。此晶格參數差向上遞增的變化趨勢以

及在頂部高於預期的晶格參數差可能源於自於量子

點內部並非是由均勻的In0.5Ga0.5As所組成而是呈現不

均勻的成份分佈，抑或肇因於GaAs基板對InGaAs所

加的應力，甚至更可能二者均有貢獻，因此要澄清

這個問題必須解析出各個等應變區的成分。過去許

多研究假設InxGa1-xAs可以當成是GaAs和InAs的合金

系統，故其晶格參數可以二者塊材的晶格參數依成

份比例內插而得，這即是維軋定律，因此用量測所

得的晶格參數來反推其成份。事實上，適用於巨觀

系統的維軋定律對於奈米尺度的量子點並不一定成

立，更何況基板與InGaAs之間可觀的晶格參數差是

個絕對不可忽略的影響，因此我們必須利用一種與

晶格參數無關的方法來分析量子點的成份。

三、成份分佈的決定

繞射理論中各X光繞射點的強度正比於其結構

因子(structure factor)的平方[13,14]，而結構因子與晶

體內的原子排列和原子種類有關。GaAs晶體具有閃

鋅礦結構(zinc blende)，每個正方體的單位晶胞 (unit

cell) 內有四個Ga與As分別遵守面心(face center)排列

，而彼此間又有一個(1/4 1/4 1/4)的位移。所以(HKL)

繞射點的結構因子F(HKL)可以寫成

(2)

其中fGa 和fAs分別代表Ga和As的原子散射因子

(atomic scattering factor)。在InxGa(1-x)As中x 部分的

Ga被In所取代，因此上式中的fGa將變成x fIn +(1-x)fGa

。如果量測兩個強度不同的繞射點如(200)和(400)

，由它們的強度比就可以依下式解出In的含量 x，

(3)

這正是Kegel 等人用於研究InAs量子點成份所用的

方法[9,10]，然而此法涉及兩個繞射點，實驗上較易

造成誤差，因此我們利用異常散射(anomalous X-ray

scattering)的觀念發展另一套能更準確解析出量子

點成份的方法[15]。做過吸收光譜的人都知道，如

同人的指紋一樣，每一種元素都有其特定的吸收

光譜，當入射光的能量掃描過某一元素的吸收邊界

(absorption edge)時，它的光譜即呈現急遽的變化，

但在其他能量範圍變化則非常平緩，原子散射因子

隨能量的改變正是上述吸收光譜變化的來源。原子

散射因子通常分成三項來表示

f = f(q,E) = f0(q)+f’(E)+if”(E) (4)

f 0為與能量無關的湯瑪森項(Thomson term)其值大約

等於該元素的原子數，而 f’和f "分別為色散更正項

(dispersion correction)的實部和虛部，他們只在吸收

邊界處有顯著變化。圖五所示為在Ga的k-吸收邊界

(10.376 keV)附近Ga、As和In原子散射因子隨能量的

變化，只有Ga的原子散射因子有顯著的改變，而這

個變化會反應在繞射點的強度上，因此些許的成份

改變就足以影響結構因子而造成X光能量掃描能譜

的明顯差異，反之由能譜的形狀我們可以解出其中

Ga和In的含量。

圖五：Ga、As和In原子散射因子在Ga之K吸收邊界附近隨

能量的變化。

I

I

xf x f f

xf x f fIn Ga As

In Ga As

( )

( )

( )

( )

200

400

1

1

2

2=+ − −

+ − +

F HKL f f e

e eGa As

i H K L

i H K i K

( ) ( )

(

( / / / )

( / / ) ( /

= + ⋅+ +

+ +

+

2 4 4 4

2 2 2 21

π

π π 22 2 2 2 2+ ++L i L He/ ) ( / / ) )π

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然而並非任一繞射點都會給我們相同的靈敏度

，慎選繞射點是此法成功的關鍵因素。當選用(200)

或(020) 繞射點,Ga和In與As呈破壞性的干涉，因此

整個結構因子的絕對值很小而 fGa隨能量的變化得以

突顯。所以我們在各等應變區所對應的(020)繞射點

處做能量掃描以得到它的成份，當然這又是一個非

同步輻射光源不可的量測，因為只有同步輻射光源

具有能量連續可調的特性。

圖六中的彩色圓點即為針對(020) 表面繞射點所

得的實驗結果。每個能譜均對應於不同的等應變區

,各能譜右側的數字即為該能譜量測處之qr值。顯而

易見不同的等應變區所得的能譜形狀都不相同，經

過計算擬合所得到的計算能譜也以實線標示於圖中

，得到的In含量x及其分佈範△x分別列在各能譜左

側的括弧內。圖七中的紅色圓點是我們將所得到的

In含量x對晶格參數差做圖，同時也畫出根據維軋定律推算的x (黑色方塊)做為比較。由於先前的量測我

們知道量子點內的晶格參數差由下而上呈單調的遞

增，因此由圖七的結果我們可以確定量子點的成份

並不均勻，In的含量也是由下而上呈單調的遞增，

In含量的變化可歸因於在GaAs基板與InGaAs量子點

介面附近Ga和In相互擴散以及量子點內In的表面分

凝(surface segregation)。此外實驗的結果顯著偏離維

軋定律的預測，證實適用於巨觀塊材的維軋定律在

此自組成量子點系統中並不成立。進一步觀察實測

值與預測值偏離的方向，我們發現當把成份變化考

慮在內幾乎整個量子點都承受著壓應力(compressive

stress)，此應力自底部逐漸增加約在晶格參數差等於

3.5%處達到最大，然後再隨高度逐漸減少直到接近

量子點的頂部幾乎已無應力存在，如此的應力變化

則可歸因於GaAs基板較小的晶格參數和表面區域的

結構鬆弛(structure relaxation)。

四、結語

本文示範了利用X光散射以及異常散射的方法

來研究半導體量子點的結構，它可在不破壞樣品的

條件下決定其內部的原子排列和組成分佈，為奈米

材料的研究提供了一項有利的技術，此外本研究充

分利用同步輻射光源能量可連續調變的長處，結合

傳統的用以解結構的X光散射和用以分析化學成份

的能譜學，達到有選擇性地針對特定原子位置或是

特定元素研究的目的。或許下回您有機會利用同步

輻射進行研究時，考慮一下同步輻射的這些優點是

否可幫助您解決一個的結構與成份糾結不清的難題

。

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圖六：在不同qr處所得之能量掃描能譜，在各能譜左側所

標的數字為該能譜量測處的qr值，而各能譜右側標註的數

字為擬合結果所得之In成份x及分佈寬度Δx。

0 1 2 3 4 5

0

20

40

60

80

In (

%)

mismatch

Vegard's law Exp.

圖七：(,)實驗所得的In成份x對晶格參數插之關係圖，根

據維軋定律所推算的預測值(o)也繪於圖中作為比較。

400

物理雙月刊（廿六卷二期）2004年4月

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作者簡介

徐嘉鴻，美國波士頓大學物理博士，1992 - 1993年

任美國哈佛大學博士後研究，現任職國家同步輻射

研究中心研究組，專長為X光散射及表面科學。

Email：chsu@nsrrc.org.tw