技術者教育のための電気電子回路実験・演習の改定　-カオス回路教材の開発 -

川上誠∗ 望月孔二† 舟田敏雄∗ 鈴木寛里‡

∗沼津工業高等専門学校電子制御工学科, †沼津工業高等専門学校電気電子工学科,‡沼津工業高等専門学校専攻科

[概要] 技術者教育プログラムの一層の充実を図るために「実験・理論・simulation・科学技術情報」の

相互関連を考慮して，電気電子工学実験の改定を進めて来た．本報告では，非線形力学・カオスの学

修のための「オペアンプによる区分線形回路」の実験と回路シミュレーション教材を紹介する．

1 はじめに

従来の「5年一貫教育」の高専教程の歴史を背景に，

現在では「本科 4,5年と専攻科 2年の 4年間の技術者

教育課程」が国立高専の整備計画 [1] の中に大きく位

置付けられている．2006年度からの「学修単位」の導

入に伴い教育課程の点検評価を行い，JABEE審査・機

関別認証評価・専攻科審査等のサイクルを視野に入れ

て，技術者教育プログラムの一層の充実を図る必要が

ある．本研究は，その高等教育の課題に応える教程改

革を図るべく，「実験・理論・simulation・科学技術情報」

の相互関連を考慮して，汎工学の基礎を固める一方で

専門の枠を超えた「General Engineering:工学（融合複

合・新領域）関連分野」への教材整備を目指している．

本報告では，沼津高専電気電子工学科の実験テーマ

の一つとして開発を進めて来た「オペアンプによる区

分線形回路」 (Chua回路) の実験と回路 simulationを

取り上げる．これは double/single scrollと呼ばれるカ

オス的振動が発生する代表的な回路であり，非線形力

学・カオス工学や脳科学の分野での回路 simulationと

しても非常に重要な専門教育的意義を持つ．本実験課

題を実施することにより，(1)工学基礎の入門課程とし

て，敷居を低く設定して入門を容易にする, (2)様々な

ICT (Information & Communication Technology)のツー

ルを活用したデータ処理技術の修得，(3)回路解析と

共に SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit

Emphasis)での回路 simulation，(4)最近の非線形力学/

カオス理論を適用した解析手法の修得，(5)従来の工学

は勿論，脳科学等の新しい学問分野の学修への糸口を

開き，電気電子工学から他の専門分野への知識展開を

容易にする，(6)知識を活用・応用し，科学的工学的問

題を見出し解決・展開・発展させる，(7)技術を応用し

社会に貢献し，製品開発・設計や特許発案に取組む等

の意義が挙げられ，高い学修・教育効果が期待される．

ここでは，Kennedyの論文 [2] に沿って，「オペアン

プによる区分線形回路」 (Chua回路)の回路設計並び

に Mathematicaによる simulationを 2節で述べる．3

節では，回路実験を行い，double scrollや single scroll

等のカオス現象が観測・測定でき，それが実験・演習

教材として効果的であることを示し，4節には数値解

析の評価を述べる．また，Chua回路の理論教材 [3] を

活用して学修でき，Chua回路を組み合わせて神経回路

網 [4] (Cellular Neural Networks, CNN)を構成し，電気

電子回路 simulationが，非線形力学・カオス工学や脳・

神経科学の学修教材を適確に提供できることを示す．

2 オペアンプによる区分線形回路

Kennedyの論文 [2] に示されているオペアンプ回路

は，回路 simulator (Micro Cap 8)[5] の動作画面上に

Fig.1のように表示され，図の左側のキャパシタ C1,

C2，インダクタ L，抵抗 R並びに右側の 2つのオペア

ンプと抵抗 R1-R6による「区分線形の負性抵抗特性回

路」と供給電源で構成されている:その回路設計の詳細

については資料 [2]を参照されたい．ここでは，回路の

接点での電圧を v ≡ v(t) (t:時間)，電流を i ≡ i(t)と表し，素子の記号を添え字に用いることにする．

Fig.1 2つのオペアンプによる区分線形負性抵抗回路．

この図は回路 simulatorの動作画面である．

Fig.1の左側の回路の方程式は，(vC1(t), vC2(t), iL(t))に対する3自由度の自律系であり，次のように表される:

LdiLdt

= vL, vL = vC2,

C1dvC1dt

= iC1, C2dvC2dt

= iC2,

RV iV = (vC2 − vC1) ,−iV = iL + iC2, iV = iC1 + iR,

iR = g(vR) = g1(vR) + g2(vR)

(2.1)

但し，Fig.1の右側のオペアンプ回路に流れ込む電流を

iRと表し，電圧 v = vC2の区分線形関数として，負性抵抗特性 (Fig.2)が iR = g(v)と与えられる:

g(v) = m0v+12

(m1 −m0)

× [|v + BP | − |v −BP |] (2.2)

-15 -10 -5 5 10 15

-0.006

-0.004

-0.002

0.002

0.004

0.006

Fig.2 (2.2)式の区分線形関数 g(v)対電圧 v．

R = 1600 Ωの場合のMathematicaによる simulation結果を次に示す．時系列は Fig.3(a)のように非周期的

である．Fig.3(b)の位相面図 (vC1, vC2)並びに Fig.3(c)の位相面図 (vC1, i) には double scrollが現れており，(2.1)式の平衡解の線形安定解析結果と合致している．

1000 2000 3000 4000 5000

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Fig.3(a)時系列 vC1 , vC2 , iL 対時間 t (R = 1600 Ω).

-3 -2 -1 1 2 3

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Fig.3(b)位相面図 (vC1 , vC2) (R = 1600 Ω).

-3 -2 -1 1 2 3

-0.002

-0.001

0.001

0.002

Fig.3(c)位相面図 (vC1 , iL) (R = 1600 Ω).

3 オペアンプの区分線形回路の実験

Fig.4(a)は実験装置一式で，手前の回路基板が実験

回路 (Fig.1)で，測定用プローブが取り付けられている．

2列目には，右から順に電源，オシロスコープ，DAQ

(Data acquisition)，パソコン (PC)が並んでおり，3列

目にもオシロスコープが設置されている．

Fig.4(a)オペアンプ回路の実験装置: オペアンプ回路

(前列中央), LaptopPCと LabVIEW画面 (左側),ディジ

タル・オシロスコープ (DSO3202A:右隣, DL1300:後

側),電源装置 (右側)．

Fig.4(b)時間 300 ms (30000点)の時系列データ (左上

側),時間 10 ms (1000点)の時系列データ (左下側) dou-

ble scrollの位相面図 (vC2, vC1) (右側), LabVIEWによる LaptopPC画面．

今回の実験では 3kHz程度の周波数で発振をしており，

1周期の振動波形を滑らかに表示するために周期の 30

倍程度の時間間隔のデータが要るので，データ収集を

100 kSa/sと設定した．2チャンネルのデータを 30000

点の連続データで取り込むので，約 300msの連続測定

を繰り返すことになる．LabVIEWでは，Fig.4(b)に示

す 3種類のグラフを描くように設定している:

位相面図 (vC2, vC1) (Fig.4(b)の PC画面の右側): Lab-VIEW により位相面図を描く．さらに連続データ数を

増やすと，画像は鮮明になる．DAQ＋ PC+LabVIEW

の組合せでは，連続して収集するデータ点数をもっと増

やすことも可能である．なお，今回データ収集の点数を

30000点に留めたのは，Excelとの関連に因る．Excel

は，ワークシートの大きさの制限から，32000点を超

える大きさのデータは取り扱いに制限を受け，64000

点を超える大きさのデータは取り扱えないからである．

時系列図 (Fig.4(b)の PC画面の左上): 連続収集データ

30000個を表示しており，データ収集が 100 kSa/sであ

るから，0.3秒に渡るデータである．

Time Baseフォーマットによる時系列図 (Fig.4(b)の PC

画面の左中): 連続収集したデータの 1000点を作図して

おり，データ収集が 100 kSa/sであるから，10msに渡

るデータが表示されている．LabVIEWから laptopPC

に USB接続で取り込まれた実験データは，PCのアプ

リケーションソフトウェアを用いて加工できる．

この装置では，可変抵抗 R を 0 ≤ R < 2000 Ω で変化させるだけで一連の実験が実施でき，データが短

時間で処理され且つ直感的で理解し易い画像により学

修できる．また，このようなアナログ的な実験が，カ

オス的な double/single scroll振動の合間に規則的な周

期振動が出現したりあるいはカオスに遷移するといっ

た微妙な現象変化を視覚的に捉えるの非常に有効であ

り，数値計算や回路 simulationとは異なる問題解決手

法であることが確認された．

4 回路シミュレータと数値解析の計

算結果の比較

数値解析結果に基づく振動波形の分類は Fig.5に示

される．‘C’ は規則的振動波形を表し，‘D’ は double

scroll，‘S’ は single scrollを表す．上段の図は，抵抗

の値を 0 < R < 2000 Ω の範囲で変化させたものであるが，抵抗値を大きい方から小さい方へ変化させる

場合 (Fig.5の上段上側の図)と逆の場合 (Fig.5の上段

下側の図) では変化の向きの違いが各計算での初期値

に影響するため異なる結果が得られる．中段の図は，

抵抗値の変化を小刻みに行ったものであり，下段の図

は，初期値を変えて，抵抗値の変化を小刻みに行った

もので，計算条件を変えると様々な結果が得られる．

Fig.5抵抗値の変化に伴う振動波形の分類．‘C’ は規則

的振動波形を表し，‘D’ は double scroll，‘S’ は single

scrollを表す．上段:初期値を (vC1(0), vC2(0), iL(0)) =(5, 0, 0) に設定し，上側 は抵抗値を 2000から 0 まで 20ずつ減少させた場合，下側 は抵抗値を 0から

2000まで 20ずつ増加させた場合．中段: 初期値を

(vC1(0), vC2(0), iL(0)) = (5, 0, 0)に設定し，上側は抵抗値を 2000から 1500まで 5ずつ減少させた場合，下

側は抵抗値を 1500から 2000まで 5ずつ増加させた場

合．下段:初期値を (vC1(0), vC2(0), iL(0)) = (0.1, 0, 0)に設定し，上側は抵抗値を 2000から 1500まで 5ずつ

減少させた場合，下側は抵抗値を 1500から 2000まで

5ずつ増加させた場合．初期条件の差異により，出現

する振動波形が異なる．

次に，回路シミュレータ (MicroCap8と NG-SPICE)

の計算結果が分析され，MicroCap8を用いている方が

C→Dの遷移するときの抵抗の値が大きい．また，D→Sへの遷移では抵抗の値は小さくなっている．よって，全

体的な傾向として，double scrollの現れる範囲が狭く

なっていることが示された．

先に Fig.5の上段上側の「抵抗値を減少させるときの

simulation」の結果を Fig.6(a)-(c)に示す．この系は自律

系であり，diL/dt = 0となる (即ち，vL = vC2(t)が符号を換える)ときのm番目の時間を tmとし，その時の

時間差 δtm = tm − tm−1, vC1(tm), vC2(tm), iL(tm)を記録して Poincaŕe mapを作成している．抵抗値の割振

り番号 nについて，0 < n < 25 (2000 > R > 1500)では，いずれの値もバラツキがありカオス的振動である．

25 < n < 100 (1500 > R > 20) では，δtm, vC1(tm),iL(tm)は規則的な値を取り，周期 T が定義できる．一方，vC2(tm) は不規則に振動しているように見え，Tと有理数比の関係の振動周期を持つとは思われない．

さらに，「カオスが発生しているか否か」の判定には，

Fourier spectrumや Lyapunov数を調べる必要がある．

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Fig.6(a)δtm 対 n (R = 2000− (n− 1)× 20).

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Fig.6(b) v1(tm)対 n (R = 2000− (n− 1)× 20).

-0.00025

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-5e-005

0

5e-005

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Fig.6(c)v2(tm)対 n (R = 2000− (n− 1)× 20).

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Fig.6(d) i(tm)対 n (R = 2000− (n− 1)× 20).

5 おわりに

技術者教育プログラムの一層の充実を図るために「実

験・理論・simulation・科学技術情報」の相互関連を考慮

して，電気電子工学実験の改定を進めて来た．本報告

では，非線形力学・カオスの学修のための「オペアンプ

による区分線形回路」の実験と回路シミュレーション教

材を紹介した．今回の測定機器の設定では，実験結果

を視覚的に表示でき学生が理解し易いように配慮して

いる．なお，本実験回路の NG-SPICEでの simulation

教材 [6]は既に Internetに公開運用しており，授業時間

内のみならず時間外の学修にも便宜を図っている．こ

こに示した実験・回路 simulation・数値解析の教材は，

個別に教材として活用できるが，むしろ 3つを組合せ

て PBL型の学修での活用を検討している．

さらに「工学（融合複合・新領域）関連分野」では

分野別要件として「（２）専門工学の知識・能力: a)専

門工学（工学（融合複合・新領域）における専門工学

の内容は申請高等教育機関が規定するものとする）の

知識と能力 b)いくつかの工学の基礎的な知識・技術を

駆使して実験を計画・遂行し，データを正確に解析し，

工学的に考察し，かつ説明・説得する能力 c)工学の基

礎的な知識・技術を統合し，創造性を発揮して課題を

探求し，組み立て，解決する能力」を育成するための

沼津高専の技術者プログラム「総合システム工学」が

求められている．どのような「専門工学」を築き上げ

るかの将来像を検討して，次の JABEE審査に向けての

取組が急がれる．

参考文献

[1] 独立行政法人国立高等専門学校機構今後の高専

の在り方検討小委員会:「今後の国立高専の整備に

ついて (中間まとめ)∼新たな飛躍を目指して ∼」平成 18年 6月 29日．

[2] M. P. Kennedy: “Robust of amp realization of Chua

circuit” http://citeseer.ist.psu.edu/cache/

papers/cs/6730/ftp:zSzzSzvdp.ucd.iezSzpubzSz

CHUAzSzRobustCircuit.pdf/kennedy92robust.pdf

[3] 小室元政: “基礎からの力学系分岐解析からカオ

ス遍歴へ” サイエンス社，2001.

[4] J. A. K. Suykens & L. O. Chua: “n-Double scroll hy-

percubes in 1D-CNNs,”Int. J. Bifurcation & Chaos,

7 (1997), 1873-1885.http://www.esat.kuleuven.ac.be

/sista/ members/suykens.html

[5] Micro-Cap8 http://www.toyo.co.jp/micro-cap/

[6] 望月孔二: “NG SPICE for windowsつかいません

か” http://www-ec.denki.numazu-ct.ac.jp/spicewin ng/

index.html