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香港中學文憑考試

數學 延伸部分

單元一 (微積分與統計) 2017年11月

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內容簡介

考試形式

題目介紹

評卷參考

考生表現

答卷示例

一般建議

考試形式

3

考試時間 : 2小時30分鐘

本單元只考一卷

本卷分為兩部，全部題目均須作答

考生須具有必修部分及初中課程基礎部分與非基礎部分的知識

題目介紹 – 題 4

4

素珊參與一遊戲。 在該遊戲的每次嘗試中，她獲洋娃

娃的概率為 0.6 。 素珊參與該遊戲直至獲洋娃娃為

止。

(a) 求在該遊戲素珊於第 4 次嘗試中獲洋娃娃的

概率。

題目介紹 – 題 4（續）

5

需對幾何分佈有較深入認識

(b) 若在該遊戲素珊未能於 k 次嘗試內獲洋娃

娃，則她在 10 次嘗試內獲洋娃娃的概率大

於 0.95 。 求 k 的最大值。

(c) 在該遊戲的每次嘗試中，素珊均須支付 $15 。

求在該遊戲她獲洋娃娃須支付金額的期望值。

題目介紹 – 題 7

6

需利用求導法得出一階導數

需運用一階導數求切線的斜率

考慮曲線 ， 其中 。

(a) 求 。

(b) C 的一切線通過點 (9, 0) 。 求這切線的斜率。

2:

x

xyC

x

y

d

d

2x

題目介紹 – 題 10

7

某百貨公司對每宗至少 $500 的交易的顧客發出一張

現金券。 下表列出詳細情況：

交易金額 ($ x) 現金券

500 ≤ x < 1000 $50

1000 ≤ x < 2000 $100

x ≥ 2000 $200

題目介紹 – 題 10 （續）

8

該百貨公司有 45% 、 20% 及 10% 的顧客每人每宗

交易分別均獲發一張 $50 、 $100 及 $200 的現金券。

假設每分鐘交易次數依循一平均值為 2 的泊松分佈。

(a) 求某一分鐘內該百貨公司有至多 4 宗交易的概率。

需對泊松分佈有較深入認識

題目介紹 – 題 10（續）

9

需利用概率乘法定律

(b) 求某一分鐘內該百貨公司恰有 3 宗交易且發出

總值 $200 的現金券的概率。

(c) 若某一分鐘內該百貨公司恰有 4 宗交易， 求該

百貨公司在這一分鐘內發出總值 $200 的現金券

的概率。

題目介紹 – 題 10（續）

10

需利用條件概率

(d) 已知某一分鐘內該百貨公司有至多 4 宗交易，

求該百貨公司在這一分鐘內發出總值 $200 的

現金券的概率。

題目介紹 – 題 11

11

設 。 定義 。 為估計 I

的值， 佩玲建議利用梯形法則將區間分成 5 個子區間；

而志偉則建議以 取代 ， 然後計

算其積分。

x

ex

x1.0

)(f

2005.01.01 xx

1

5.0d)(f xxI

xe

1.0

題目介紹 – 題 11（續）

12

需利用梯形法則

需對梯形法則的估計值有較深入認識

需對指數級數有較深入認識

(a) 根據佩玲的建議及志偉的建議，分別求 I 的

估計值。

(b) 判別 (a) 的每一估計值是過高還是過低。 試

解釋你的答案。

題目介紹 – 題 11（續）

13

需解釋答案

(c) 某人宣稱 I 與 0.746 之差小於 0.002 。 你是否

同意？ 試解釋你的答案。

評卷參考 – 題 4

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(a) 1M: 給幾何分佈的概率

1A: 給正確概率

(b) 1M: 給概率的正確數式

1M: 給利用對數

1A: 給正確答案

評卷參考 – 題 4（續）

15

(c) 1M: 給幾何分佈的期望值

1A: 給正確答案

評卷參考 – 題 11

16

(a) 1M: 給利用梯形法則

1A: 給根據佩玲的建議之估計值的正確答案

1M: 給正確被積函數

1M: 給

1A: 給根據志偉的建議之估計值的正確答案

常數 lnd1

xxx

評卷參考 – 題 11（續）

17

(b) 1M: 給利用商法則

1A: 給二階導數的正確答案

1M: 給檢查二階導數的正負值

1A: 給正確結論並顯示理由

1M: 給指數級數

1A: 給正確結論並顯示理由

評卷參考 – 題 11（續）

18

(c) 1M: 給建立 I 與其估計值的不等式

1A: 給正確結論並顯示理由

考生表現

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級別 2016百分率 2017百分率

第5**級 2.9% 3.1%

第5*級或以上 10.9% 13.1%

第5級或以上 27.9% 31.0%

第4級或以上 54.9% 54.5%

第3級或以上 73.2% 72.7%

第2級或以上 87.6% 87.1%

第1級或以上 95.3% 95.1%

考生表現 – 題 4

20

在(a)，整體表現甚佳。大部分考生

能寫出幾何分佈的概率，但少數考

生誤以 (0.6)3(1 − 0.6) 而非

(1 − 0.6)3(0.6) 作答。

考生表現 – 題 4（續）

21

在(b)，整體表現甚差。少於 10%

考生能建立正確的不等式

1 − (1 − 0.6)10 ̶ k

> 0.95 。

在(c)，整體表現良好。只有部分考生

未能正確地求得金額的期望值。

考生表現 – 題 7

22

在(a)，整體表現良好。很多考生能求

得 ，但部分考生未有化簡答案。

在(b)，整體表現平平。很多考生誤以

為 (9, 0) 是切點。

x

y

d

d

考生表現 – 題 10

23

在(a)，整體表現甚佳。超過 85% 考生

能寫出全部五個泊松概率。

在(b)，整體表現甚佳。少數考生未能

利用正確的組合數數。

考生表現 – 題 10（續）

24

在(c)，整體表現良好。部分考生錯誤地

在所求的概率乘了泊松概率。

在(d)，整體表現良好。只有部分考生未

能考慮在一分鐘內發出總值 $200 的現

金券的全部可能情況。

考生表現 – 題 11

25

在(a)，整體表現甚佳。在運用梯形

法則時，大部分考生能利用正確的

子區間求得 I 的估計值。

考生表現 – 題 11（續）

26

在(b)，整體表現平平。很多考生

未能正確地求得 ， 因此

他們未能判別在 (a) 中根據佩玲

的建議之估計值的性質。

2

2

d

)(fd

t

t

考生表現 – 題 11（續）

27

在(c)，整體表現甚差。大部分考生

未有證明 (a) 的一估計值是過高，

而另一估計值是過低，因此他們未

能完成論證。

答卷示例

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http://www.hkeaa.edu.hk/tc/hkdse/hkdse_subj.html?A1&1&4

一般建議

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考生應注意下列各點：

加強理解自然對數的性質

多做涉及組合的數數練習

多做涉及根式的解方程練習

多做求 的練習，其中 a 及 b 均為常數 bta

td

d

30

謝謝!