1

香港中學文憑考試

數學 延伸部分

單元一 (微積分與統計) 2016年11月

內容簡介

考試形式

題目介紹

評卷參考

考生表現

答卷示例

一般建議

考試形式

3

考試時間 : 2小時30分鐘

本單元只考一卷

本卷分為兩部，全部題目均須作答

考生須具有必修部分及初中課程基礎部分與非基礎部分的知識

題目介紹 – 題 4

4

需對置信區間有較深入認識

現有許多包種子， 每包均有 100 粒種子。 設 p 為某包種子內種子發芽的總體比例。 (a) 隨機抽取一包種子， 內有 64 粒種子發芽。 求 p 的近似 95% 置信區間。 (b) 已知這些種子包的種子發芽比例依循一平均值為 p 及標準差為 0.05 的正態分佈。 求最小樣本 容量使得 p 的 90% 置信區間的寬度小於 0.04 。

題目介紹 – 題 6

5

需對指數函數的積分法有較深入認識

需運用積分法求平面圖形的面積

設 。 (a) 求 。 (b) 曲線 C 的方程為 。 求 (i) C 的兩 x 截距， (ii) C 與 x 軸圍成的區域的面積之真確值。

9)3(103)(f2 xx

x

xx d)(f

)(f xy

題目介紹 – 題 9

6

X 及 Y 為兩所學生人數相同的學校。 假設每所學校學生每天的閱讀時間（以分鐘為單位）均為正態分佈。 在學校 X ， 0.6% 的學生每天閱讀少於 40 分鐘， 而 1.5% 閱讀多於 70 分鐘。 在學校 Y ， 1.5% 的學生每天閱讀少於 48 分鐘， 而 1.7% 閱讀多於 72 分鐘。 (a) 哪一所學校有較少學生每天閱讀多於 60 分鐘？ 試解釋你的答案。

題目介紹 – 題 9（續）

7

需運用正態分佈和二項分佈

需對正態分佈有較深入認識

(b) 在較少學生每天閱讀多於 60 分鐘的學校中， 求第 4 位隨機選出的學生是第 2 位每天閱讀 多於 60 分鐘的概率。 (c) 每天閱讀 T 分鐘或以上的學生可獲獎項。 為使每所學校均不多於 10% 的學生獲獎， T 的最小值應為多少？ 答案以整數分鐘表示。

題目介紹 – 題 11

8

其中 為自該預測開始起計所經過的月數。 設 P1 百萬元為在偉健模擬下該工廠在未來一年的總盈利額。

投資顧問偉健預測某工廠在未來一年的總盈利額。 他用下式模擬該工廠的盈利額的變率（以每月百萬元為單位）： )958ln()(A

2 ttt ，

)120( tt

題目介紹 – 題 11（續）

9

(a) (i) 利用梯形法則將區間分成 4 個子區間， 估計 P1 。 (ii) 求 。

2

2

d

)(Ad

t

t

需利用梯形法則

需計算對數函數的導數，並利用

鏈式法則及商法則求二階導數

題目介紹 – 題 11（續）

10

(b) 廠長潔儀用下式模擬該工廠在未來一年的盈利額 的變率（以每月百萬元為單位）： 其中 為自該預測開始起計所經過的 月數。 設 P2 百萬元為在潔儀模擬下該工廠在 未來一年的總盈利額。

3

8)(B

t

tt

)120( tt

，

題目介紹 – 題 11（續）

11

需運用代換積分法求定積分

需對梯形法則的估計值有較深入認識

需解釋答案

(b) (i) 求 P2 。 (ii) 偉健宣稱 P1 與 P2 之差不超過 2 。 你是否同意？ 試解釋你的答案。

評卷參考 – 題 4

12

(a) 1A: 給 p 的估計值

1M: 給計算置信區間的正確數式

1A: 給正確運用正態分佈表

1A: 給正確答案

(b) 1M: 給置信區間的寬度

1A: 給正確的不等式

1A: 給正確答案

評卷參考 – 題 11

13

(a)(i) 1M: 給利用梯形法則 1A: 給正確答案

(ii) 1A: 給一階導數的正確答案

1A: 給二階導數的正確答案

評卷參考 – 題 11 (續)

14

(b)(i) 1M: 給正確的代換

1M: 給 P2 的正確數式

1A: 給正確的定積分

1M: 給

1A: 給正確答案

常數1

d1

r

uuu

rr

評卷參考 – 題 11 (續)

15

(b)(ii) 1M: 給檢查二階導數的正負值

1A: 給對二階導數正負值的正確結論

並顯示理由

1M: 給運用 P1 的估計值以建立 P1 與

P2 之差的不等式

1A: 給正確結論並顯示理由

考生表現

16

級別 2015百分率 2016百分率

第5**級 2.6% 2.9%

第5*級或以上 12.1% 10.9%

第5級或以上 30.8% 27.9%

第4級或以上 54.7% 54.9%

第3級或以上 73.5% 73.2%

第2級或以上 87.4% 87.6%

第1級或以上 95.1% 95.3%

考生表現 – 題 4

17

在(a)，整體表現甚佳。超過 60% 的考生

能得出總體比例 p 的近似 95% 置信區間，

但部分考生誤以 n = 64 而非 n = 100 計

算近似置信區間

。

nn

)36.0)(64.0(96.1

100

64,

)36.0)(64.0(96.1

100

64

考生表現 – 題 4（續）

18

在(b)，整體表現良好。部分考生混

淆了總體平均值的置信區間與總體

比例的近似置信區間。

考生表現 – 題 6

19

在(a)，整體表現平平。 部分考生誤以

而非

作為不定積分 的答案。 xxd3

常數)3( 3ln x 常數3ln

3

x

考生表現 – 題 6（續）

20

在(b)(i)，整體表現甚佳。超過 70% 的

考生能得出 C 的兩 x 截距，但少數

考生未能寫出以 為變項的二次方程。 x3

考生表現 – 題 6（續）

21

在(b)(ii)，整體表現平平。雖然很多考生

能利用 (a) 及 (b)(i) 的結果得出所求區域

的面積，但他們未能以面積之真確值作

為答案。

考生表現 – 題 9

22

在(a)，整體表現良好。很多考生能以平

均值和標準差建立相應的方程，但部分

考生未能以真確值或四位小數表示數值

答案。

在(b)，整體表現良好。很多考生能利用

(a) 的結果。

考生表現 – 題 9（續）

23

在(c)，整體表現平平。大約半數考生未

能使用不等式處理問題。 另外，很多

考生誤以 1.28 而非 1.29 建立不等式。

考生表現 – 題 11

24

在(a)(i)，整體表現甚佳。超過 60% 的考生

能 利用梯形法則得出正確答案，但少數考生

在應用梯形法則時未能使用正確的子區間。

在(a)(ii)，整體表現良好。很多考生能應用商

法則得出 ，但部分考生未能化簡 。 t

t

d

)(dA2

2

d

)(Ad

t

t

考生表現 – 題 11（續）

25

在(b)(i)，整體表現甚佳。大部分考生

能建立並選用適當的代換來求定積分

。

12

0d

3

8t

t

t

考生表現 – 題 11（續）

26

在(b)(ii)，整體表現甚差。很多考生只

能指出 ，卻未能提供證明。

他們在利用不等式表示 P1 及其過高估

算值時出現困難，因而未能完成論證。

0d

)(Ad2

2

t

t

答卷示例

27

http://www.hkeaa.edu.hk/tc/hkdse/hkdse_subj.html?A1&1&4

一般建議

28

考生應注意下列各點：

在運算時加倍留心，以避免粗心大意的錯誤

加強理解總體平均值的置信區間與總體比例

的近似置信區間的不同處

多做涉及根式的解方程練習

一般建議（續）

29

多做求 的練習，其中 a 及 b 均為常數

多做求 的練習，其中 a 及 b 均為常數

在處理自然對數時寫出「ln」而不是「In」

加倍留意所求的最終答案的準確度，因此必

須為中間步驟的數值保持足夠的準確度

bta

td

d

xabx

d

謝謝!