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高考命题评述及学习指导

一、!""# 年全国各省市高考对该部分内容的考查要点和命题趋势

$ 对排列、组合内容的考查，一般都以实际应用题形式出现，这是因为排列、组合的应用性概念强，

充满思辨性和解法多样性，符合高考选择题的特点，易于考查学生的能力%

!% 对二项式定理的考查，以二项式展开式及其通项公式内容为主，考查目标意识和构造意识，考

查展开式的通项公式正、反两方面的应用等%

&% 对统计、概率内容的考查，往往以实际应用题形式出现% 这既是这类问题的特点，又符合高考发

展方向，以课本概念和方法为主，以熟练技能、巩固概念为目标，查找知识缺漏，总结解题规律%

’% 对复数内容的考查，以选择题和解答题为主% 常以考查复数运算为主，估计这一命题趋势还

将继续下去%

二、复习备考过程中该部分内容的复习要点和注意问题

$% 分类计数原理和分步计数原理是本章的基础，它是学习排列、组合、二项式定理和计算事件的

概率的预备知识% 在对应用题的考查中，经常要运用分类计数原理或分步计数原理对问题进行分类或

分步分析求解，如何灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解应用题的关键%

排列、组合问题大致可分两类：

!有附加条件的排列问题% 此类题多数只有一个附加条件，且以学生熟悉的数字问题或排队问题

为主；"有附加条件的组合问题% 此类题常以“至少取 ! 个”或以几何为背景的分类组合问题为主%

!% 二项式定理中，公式一般都能记住，但与其相关的概念如：二项式系数、系数、常数项、项数等，

学生易混，须在平常加以对比分析，对通项公式重点训练%

二项式定理问题大致也可分两类：

!直接运用通项公式求特定项的系数或与系数有关的问题；"需用转化思想化归为二项式问题

来处理的问题%

&% 古典概型是学习概率与统计的起点，而掌握古典概型的前提是能熟练掌握排列组合的基本知

识，熟练掌握五种事件的概率以及抽样方法、总体分布的估计、期望和方差%

掌握随机事件、等可能事件、互斥事件、独立事件、! 次独立重复试验中恰好发生 " 次等五种事件

的概率，会用样本频率分布估计总体分布，会用样本平均数估计总体期望值，会用样本的方差估计总

体方差%

’% 复数的概念是复数理论的基础，在解题活动中它经常是思维的突破口% 围绕复数的代数形式和

三角形式给出的两类运算，体现了复数知识的广泛联系性和普遍渗透性，这两种形式及其运算也为我

—$—

们处理复数问题提供了代数思考方法和三角思考方法；复数概念及其运算的几何意义，为从几何上处

理复数问题或几何问题复数化提供了广阔的空间! 高考对这部分内容的考查比较少! 主要涉及到复数

的代数形式及模的计算问题! 要认真复习下述有关题型：

（"）应用代数运算的方法，特别是 ! 的性质，化简计算复数问题!

（#）注意复习有关复平面内两点间距离公式，复数的几何意义的题目，掌握数形结合的思想!

三、对 #$$% 年本部分高考内容的命题预测

"! 排列、组合及二项式定理在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合

性! 一般仍为 " & # 道小题，且多为选择、填空题，应注意二项式定理在近似计算中的应用! 解排列、组

合问题时，会考查分类讨论、分步讨论! 以几何为背景的排列、组合题需用数形结合的思想，在解非二

项问题时，需用转化思想化归为二项问题求解等，这种命题特点在以后的高考中仍会保持下去!

#! 概率问题综合性强且命题体现逐渐走强，都是以实际问题为背景，对运用数学思想的要求高!

概率命题仍要重点掌握随机事件、等可能事件、互斥事件、独立事件、! 次独立重复试验中恰好发生 "

次等五种事件的概率，会用样本频率分布估计总体分布，会用样本平均数估计总体期望值，会用样本

的方差估计总体方差!

’! 由于复数内容在新的教学大纲中已被列为选学内容，所以复数部分在高考中考查的难度与题

量都呈下降趋势! 试题多以中低档题目出现，难度不大，但涉及面广，对基本问题掌握的熟练程度要求

较高，所以对基本问题不能放松要求!

(! 运用数形结合思想处理复平面问题是高考考查的热点之一，应引起注意!

—#—

第一章! 排列、组合和概率

第一节! 排列与组合

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !一、选择题

"#（’$%·天津）（理）从集合｛"，&，’，⋯，""｝中任选两个元素

作为椭圆方程!&

"& ( #&

$& )" 中的 " 和 $，则能组成落在矩形

区域 % )｛（!，#）* *! * +"" 且 *# * +,｝内的椭圆个数为

-# .’ /# 0& 1# 23 4# ,$&5（’$%·北京）（理）《 财富》全球论坛期间，某高校有 ".

名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班 .人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种

数为

-5 1"&".1

."&1

.2 /5 1"&

".-."&-

.2

151"&

".1."&1

.2

-’’

45 1"&".1

."&1

.2-

’’

（文）五个工程队承建某项工程的 % 个不同的子项目，每

个工程队承建 " 项，其中甲工程队不能承建 " 号子项

目，则不同的承建方案共有

-5 1".1

.

. 种 /5 1".-

.

. 种

45 1.. 种 45 -.

. 种

’&（’$%·江苏）四棱锥的 2 条棱代表 2 种不同的化工产

品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是

危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同

一仓库是安全的，现打算用编号为!、"、#、$的 . 个

仓库存放这 2 种化工产品，那么安全存放的不同方法种

数为

-5 ,3 /5 .2 15 &. 45 $.5（’$%·湖北）（文）把同一排 3 张座位编号为 "，&，’，.，

%，3 的电影票全部分给 . 个人，每人至少分 " 张，至多分

& 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种

数是

-5 "32 /5 ,3 15 0& 45 "..%5（’$%·湖南）（文）设直线的方程是 ’! ( %# ) $，从 "，&，

’，.，% 这五个数中每次取两个不同的数作为 ’、% 的值，

则所得不同直线的条数是

-5 &$ /5 ", 15 "2 45 "33&（’$%·湖南）（理）. 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛

规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作

答，选甲题答对得 "$$ 分，答错得 6 "$$ 分；选乙题答对

得 ,$ 分，答错得 6 ,$ 分& 若 . 位同学的总分为 $，则这 .

位同学不同得分情况的种数是

-5 .2 /5 ’3 15 &. 45 "20#（’$%·福建）从 3 人中选 . 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、

莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人

只游览一个城市，且这 3 人中甲、乙两人不去巴黎游览，

则不同的选择方案共有

-# ’$$ 种 /# &.$ 种 1# ".. 种 4# ,3 种

25（’$%·江西）（文）将 , 个人（ 含甲、乙）平均分成三组，

甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为

-5 0$ /5 ".$ 15 &2$ 45 2.$,#（’$.·全国%）从 % 位男教师和 . 位女教师中选出 ’

位教师，派到 ’ 个班担任班主任（每班 " 位班主任），要

求这 ’ 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方

案共有

-# &"$ 种 /# .&$ 种 1# 3’$ 种 4# 2.$ 种

"$#（’$.·全国&）将 . 名教师分配到 ’ 所中学任教，每

所中学至少 " 名教师，则不同的分配方案共有

-# "& 种 /# &. 种 1# ’3 种 4# .2 种

""#（’$.·全国’）在由数字 "，&，’，.，% 组成的所有没有

重复数字的 % 位数中，大于 &’ ".% 且小于 .’ %&" 的数

共有

-# %3 个 /# %0 个 1# %2 个 4# 3$ 个

"&#（’$.·北京）（理）从长度分别为 "，&，’，.，% 的五条线

段中，任取三条的不同取法共有 $ 种& 在这些取法中，

以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数

为 "，则"$ 等于

-# ""$ /# "

% 1# ’"$ 4# &

%"’#（’$.·北京）（文）从长度分别为 "，&，’，. 的四条线段

中，任取三条的不同取法共有 $ 种& 在这些取法中，以

取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为 "，则

"$ 等于

-# $ /# ". 1# "

& 4# ’.

".#（’$.·江苏）从 . 名男生和 ’ 名女生中选出 . 人参加

某个座谈会，若这 . 人中必须既有男生又有女生，则不

同的选法共有

—’—

!" #$% 种 &" #’% 种 (" )* 种 +" )$ 种

#*"（’%$·湖南）从正方体的八个顶

点中任取三个点为顶点作三角

形，其中直角三角形的个数为

!" *, &" *’(" $- +" $%

#,"（’%$·辽宁）有两排座位，前排

## 个座位，后排 #’ 个座位! 现安排 ’ 人就座，规定前

排中间的 ) 个座位不能坐，并且这 ’ 人不#

左右相邻，那

么不同排法的种数是

!. ’)$ &. )$, (. )*% +. ),)#/"（’%$·福建）某校高二年级共有六个班级，现从外地

转入 $ 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

排 ’ 名，则不同的安排方案种数为

!" !’,(

’$ &" #

’ !’,(

’$ (" !’

,!’$ +" ’!’

,

#-"（’%$·北京春）在 #%% 件产品中有 , 件次品! 现从中

任取 ) 件产品，至少有 # 件次品的不同取法的种数是

!. (#,(

’0$ &. (#

,(’00 (. ()

#%% 1 ()0$ +. !)

#%% 1 !)0$

#0"（’%$·安徽春）直角坐标 "#$ 平面上，平行直线 " 2 %（% 2 %，#，’，⋯，*）与平行直线 $ 2 %（% 2 %，#，’，⋯，*）

组成的图形中，矩形共有

!. ’* 个 &. ), 个 (. #%% 个 +. ’’* 个

’%"（’%)·北京）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 $ 种蔬菜品种

中选出 ) 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄

瓜必须种植，不同的种植方法共有

!. ’$ 种 &. #- 种 (. #’ 种 +. , 种

’#"（’%’·新课程）从正方体的 , 个面中选取 ) 个面，其

中有 ’ 个面不相邻的选法共有

!" - 种 &" #’ 种 (" #, 种 +" ’% 种

’’"（’%’·北京）#’ 名同学分别到三个不同的路口进行车

流量的调查，若每个路口 $ 人，则不同的分配方案共有

!" ($#’(

$-(

$$ 种 &" )($

#’($-(

$$ 种

(" ($#’(

$-!

)) 种 +"

($#’(

$-(

$$

!))

种

’)"（’%’·京、蒙、皖春）从 , 名志愿者中选出 $ 人分别从

事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作! 若其中甲、乙

两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有

!" ’-% 种 &" ’$% 种 (" #-% 种 +" 0, 种

’$"（’%#·新课程）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一

场，得 ) 分；平一场，得 # 分；负一场，得 % 分! 一球队打

完 #* 场，积 )) 分! 若不考虑顺序，该队胜、负、平的可

能情况共有

!. ) 种 &. $ 种 (. * 种 +. , 种

’*"（’%%·京、皖春）从单词“&’()*+,%”中选取 * 个不同的

字母排成一排，含有“’(”（其中“’(”相连且顺序不变）

的不同排列共有

!! #’% 个 &! $-% 个 (! /’% 个 +! -$% 个

’,"（’%#·新课程）如 图，小 圆 圈

表示网络的结点，结点之间的

连线表示它们有网线相联! 连

线标注的数字表示该段网线

单位时间内可以通过的最大信息量! 现从结点 - 向结

点 . 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传

递! 则单位时间内传递的最大信息量是

!" ’, &" ’$ (" ’% +" #0二、填空题

#!（’%*·全国!）（文）从 , 名男生和 $ 名女生中，选出 )名代表，要求至少包含 # 名女生，则不同的选法共有 33 3 种!

’!（’%*·全国"）在由数字 %，#，’，)，$，* 所组成的没有重

复数字的四位数中，不能被 * 整除的数共有 个!)!（’%*·浙江）（理）从集合｛#，/，0，1，2｝与｛%，#，’，)，$，

*，,，/，-，0｝中各任取 ’ 个元素排成一排（字母和数字均

不能重复）! 每排中字母 #、0 和数字 % 至多只出现一个

的不同排法种数是3 3 3 （用数字作答）!（文）从集合｛/，0，1，2｝与｛%，#，’，)，$，*，,，/，-，0｝中

各任取 ’ 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）! 每

排中字母 0 和数字 % 至多出现一个的不同排法种数是

3 3 3 （用数字作答）!$!（’%*·辽宁）用 #、’、)、$、*、,、/、- 组成没有重复数字的

八位数，要求 # 与 ’ 相邻，) 与 $ 相邻，* 与 , 相邻，而 /与 - 不相邻，这样的八位数共有 3 3 3 个!（ 用数字作

答）

*"（’%$·天津）（理）从 #，)，*，/ 中任取 ’ 个数字，从 %，’，

$，,，- 中任取 ’ 个数字，组成没有重复数字的四位数，

其中能被 * 整除的四位数共有3 3 个!（用数字作答）

（文）从 %，#，’，)，$，* 中任取 ) 个数字，组成没有重复数

字的三位数，其中能被 * 整除的三位数共有3 3 3 个!（用数字作答）

,"（’%$·湖北）将标号为 #，’，⋯，#% 的 #% 个球放入标号

为 #，’，⋯，#% 的 #% 个盒子内，每个盒内放一个球，则恰

好有 ) 个球的标号与其所在盒子的标号不#

一致的放入

方法共有3 3 3 3 种!（以数字作答）

/"（’%$·浙江）设坐标平面内有一个

质点从原点出发，沿 " 轴跳动，每次

向正方向或负方向跳 # 个单位，经过 * 次跳动质点落在

点（)，%）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法

共有3 3 3 3 种!（用数字作答）

-"（’%)·新课程）某城市在中心广

场建造一个花圃，花圃分为 , 个

部分（如图），现要栽种 $ 种不同

颜色的花，每部分栽种一种且相

邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 33 3 3 种（用数字作答）!

—$—

!"（’#$·新课程）将 $ 种作物种植在如下图的 % 块试验田

里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，

不同的种植方法共有& & & 种!（以数字作答）

’#"（’#$·上海春）( 名世界网球顶级选手在上海大师赛

上分成两组，每组各 ) 人，分别进行单循环赛，每组决

出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行

淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第 $、) 名，大师

赛共有& & & & 场比赛!’’"（’#’·上海）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅

提供的菜肴中任选 * 荤 * 素共 ) 种不同的品种，现在

餐厅准备了 % 种不同的荤菜，若要保证每位顾客有

*## 种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的

素菜品种 种!（结果用数值表示）

’*"（’#’·广东、河南）圆周上有 *" 个等分点（" + ’），以

其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 !’$"（’##·全国）乒乓球队的 ’# 名队员中有 $ 名主力队

员，派 % 名参加比赛，$ 名主力队员要安排在第一、三、

五位置，其余 , 名队员选 * 名安排在第二、四位置，那

么不同的出场安排共有 种!（用数字作答）

一、选择题

’-（理）.& 由题意 # 取值 ’ / ’#，" 取值 ’ / (- 由两者取值

范围的差异，可分两类：若 $ 从 !、’# 中取值，则有 0’*0

’(

1 ’2 个，若 $ 从 ’ / ( 中取值，则有 0’(0

’, 1 %2 个，所以总

共 %2 3 ’2 1 ,* 个-*-（理）4& ’) 名志愿者只需要 ’* 人去值班- 本题可分三步来

完成- 第一步选出参加的人有 0’*’)种方法；第二步把 ’* 个人

平均分作三组，有0)’*0

)(0

))

4$$

种方法；第三步，把这三组分别对

应早、中、晚 三 班，有 4$$ 种 方 法，所 以 答 案 为 0’*

’) ·

0)’*·0)

(·0))

4$$

·4$$ 1 0

’*’)0

)’*0

)( -

（文）.& 甲工程队比较特殊，可以优先安排，则甲的安排方

法有 0’) 种，其他四个工程队没有特殊要求共有 4)

) 种- 4 选

项只排了甲，未对其他四个工程队进行排列；0 选项既未排

甲也未对另外四个工程队进行排列；5 选项未排甲，只对四

个工程队进行了排列-$- .& 由题意分析，如图，先把标

号为 ’，*，$，) 的化工产品分

别放入!，"，#，$) 个仓库

内共有 4)) 1 *) 种放法；再把

标号为 %，2，,，( 的化工产品

对应按要求安全存放：

, 放入!，( 放入"，% 放入#，2 放入$；或者 2 放入!，

, 放入"，( 放入#，% 放入$两种放法- 综上所述：共有

4)) 6 * 1 )( 种放法- 故选 .-

)-（文）5& 分两步：（’）首先选出两个连排号，当一个选

’，* 号时，另一个人只能选 $，) 号或 )，% 号或 %，2 号- 有

$ 种方法；当一人选 *，$ 号时，另一人选 )，% 号或 %，2号，有 * 种方法；当一人选 $，) 号，另一人选 %，2 号，有

一种方法- 7 共有 2 种方法-（*）把 2 张票按要求分给 )人有 4 )

)种，由乘法计数原理可知 2 6 4 )) 1 ’)) 种-

%-（文）0& 从 ’，*，$，)，% 中每次取两个不同的数的排列有

4*% 种，其中取 ’，* 和 *，) 或 *，’ 和 )，* 表示相同直线，

所以所得不同直线条数为：4*% 8 * 1 ’( 条- 故选 0-

2-（理）.& 当甲、乙、丙、丁中有两人选甲，两人选乙，且得

# 分有 0*)4

**0

**4

** 种，) 人都选甲或都选乙且得 # 分有

0*)0

** 种，故共有 0*

)4**0

**4

** 3 *0

*)0

** 1 $2 种-

,! .& 先定去巴黎的人有 0 ’)种方法，再定去其他三个城市

的人有 4 $% 种方法，故方法总数有 0 ’

) ·4 $% 1 *)# 种，

选 .!(!（文）4& 与甲、乙在同一组的人的选择有 0’

, 种，其他六

人分成两个三人组有0$

20$$

4**

种方法，因此，共有 0’,·

0$20

$$

4**

1 ,# 种，本题可能没考虑均匀分组，没除以 4** 而选 .-

!"【解析】& 本题考查排列组合的应用!（%）全为女班主

任有：4$)，（&）全为男班主任有：4$

%，$ 位班主任中男女

都有为：4$! 8 4$

) 8 4$% 1 %#) 8 *) 8 2# 1 )*# 种，应选 .!

’#"【解析】& 本题考查排列组合的应用! 首先将四名老师

进行分成 $ 组有 0*)，然后将其进行全排列有 4$

$，由分

步计数原理有 0*)4

$$ 1 $2! 故选 0!

’’"【解析】& 本题考查排列组合的应用! 由题可知小于等

于 *$ ’)% 的数有：4)) 3 4$

$ 3 ’，大于等于 )$ %*’ 的数

为：4$$ 3 4)

) 3 ’，则符合条件的数有：4%% 8（4$

$ 3 4)) 3

’）8（4$$ 3 4)

) 3 ’）1 %(，故选 0!’*"【解析】& （理）本题考查排列组合的应用! 由题可知 "

1 0$%，可组成钝角三角形的有：*，$，)；*，)，%，7 # 1 *，

则#" 1 *

’# 1 ’% ，故选 .!

’$"【解析】& （文）本题考查排列组合的应用! 由题可知 "1 0$

)，可组成一个三角形，边长为 *，$，)，7 # 1 ’，则

#" 1 ’

) ! 故选 .!

’)"【解析】& 本题考查排列组合的应用! 用排除法求解：

0), 8 0)

) 1, 6 2 6 % 6 )) 6 $ 6 * 6 ’ 8 ’ 1 $% 8 ’ 1 $)，故选 5!

’%"【解析】& 本题考查考生的综合应用! 易知一条棱 %%&，在

平面 ’%、平面’&%&和平面 (%&上可组成直角三角形 ( 个，

故 ’* 条棱共组成直角三角形有( 6’** 1)( 个，故选 0!

’2"【解析】& 本题考查排列组合的应用! * 人在除去前排

—%—

中间 ! 个座位剩余的 "# 个座位中任取 " 个有 $""#，"

人相邻有 $%%& ·$"

" ’ " ’ "，故满足题中条件得 $""# ’

（$%%&$

"" ’ " ’ "）( !)*，故选 +!

%,-【解析】. 本题是先选后排的问题! 先把 ) 人平均分成

两组/"

)·/""

$""

，再将这两组按顺序排到两个班级中有 $"*

种排法，共有/"

)·/""

$""

·$"* (

%" $"

* ·/") 种安排方法0 故

选 +!%1-【解析】. 本题考查排列组合的应用，从 %## 件产品中

任意取 ! 件有 /!%## 种，其中没有次品的取法有 /!

&)，则

至少有一件次品的取法有 /!%## ’ /!

&)，故选 /!%&-【解析】. 在垂直于 " 轴的 * 条直线中任取 " 条，在垂

直于 # 轴的 * 条直线中任取 " 条，) 条直线相交得出

一个矩形，所以矩形总数为 /"* 2 /"

* ( %3 2 %3 ( ""3 个!故选 4!

"#-【解析】. 本题着重考查对排列组合的基本概念的理

解! 种植方法有 /"!·$!

! ( %1 种0 5 选 +!"%-【解析】. 解法一：从 * 个面中取出 ! 个面的不同取法

共有 /!* 种，取出的 ! 个面可分为两类：一类是 ! 个面

两两相邻，即 ! 个面有公共点，这时，该公共点必为正

方体的顶点，故属于这一类的共有 1 种取法；另一类是

! 个面中有 " 个面不相邻，应用分类计数原理得，属于

这后一类的不同取法种数为. $ ( /!* ’1 (* 23 2)% 2" 2! ’1 (

%"!故选 +!解法二：记正方体的 * 个面为上、下、左、右、前、后，那

么，从中取 ! 个面有两个不相邻者，可分为 ! 类：第一

类：选取的 ! 个面不含前、后面，有 ) 种不同取法；第二

类：选取的 ! 个面不含左、右面，也有 ) 种不同取法；第

三类：选取的 ! 个面不含上、下面，同样有 ) 种不同取

法! 因此，应用分类计数原理得，不同取法数为 $ ( ) 6) 6 ) ( %"! 故选 +!解法三：在正方体的 * 个面中，不相邻的两个面，必然

是相对的 " 个面有，且只有 ! 种情形，即：上下面，左右

面和前后面!对每种情形，取剩下的 ) 个面中的任意 % 个

与其构成 ! 个面，便可得到合乎题意的 ! 个面；反之，任

何合乎题意的 ! 个面，都可按这样的方法取得! 于是，为

了得到合乎题意的! 个面，可分两步进行：第% 步：从* 个

面中选取出不相邻的" 个面，共有! 种取法；第" 步：再从

剩下的 ) 个面中取 % 个面，有 ) 种取法! 应用分步计数原

理得，所求的不同选取方法种数为 $ (! 2) (%"!故选 +!""-【解析】. 本题主要考查组合的问题，是平均分配且有

归属的这一类问题，解题的基本依据是分步计数原

理! 先分配 ) 个人到第一个路口，再分配 ) 个人到第二

个路口，最后分配 ) 个人到第三个路口，即：/)%" ·/)

1 ·

/)) ! 5 选 $!

"!-【解析】. 解法一：翻译 因为甲、乙两名

志愿者都不能从事翻译工作! 因此，翻译工作从余下

的四名志愿者选一人有 $%) 种，再从余下的 3 人中选 !

人从 事 导 游、导 购、保 洁 有 $!3 种! 因 此 $%

)$!3 (

")#! 5 选 +!解法二：完成这项工作分成三类：!不含甲乙两人，有

$)) ( ") 种方法；"含甲乙两人之一，有 /%

"$%!$

!) ( %))

种方法；#含甲乙两人，有 $"!$

") ( ," 种方法! 因此共

有 ") 6 %)) 6 ," ( ")# 种方法! 故选 +!")-【解析】. 本题考查不定方程及穷举法解决问题的能

力，一般地，当数字不大时，常用穷举法来解决! 设该

队胜 " 场，平 # 场，则负（%3 ’ " ’ #）场，由题意得 !" 6 #( !!，5 # ( !! ’ !"$#，5 "%%%，且 " 6 #%%3，（ "，#&!），因此，有以下三种情况：

" ( %%#{ ( #

或" ( %##{ ( !

或" ( &#{ ( *

! 5 选 $!

"3-【解析】. 本题主要考查排列、组合的基本知识和方

法! /!*$

)) ( )1#! 5 选 +!

"*-【解析】. 本题主要考查考生

的阅读能力、理解能力、对考

生的综合数学素质要求较高!本题形式新颖，要求考生必须

仔细阅读，正确理解题意，将实际问题转化为数学问

题! 因为连线标注的数字表示该段网线单位时间内可

通过的最大信息量，5 %& 最大是 !，%’ 最大是 )，()最大是 *，%* 最大为 *! 而传递的路途只有 ) 条! %&—

&+—+,，%’—+’—+,，%(—()—,)，%*—*)—,)!而每条路径允许通过的最大信息量应是一条途径中 !段中的最小值，如 %&—&+—+, 中 %& 能通过的最大

信息量为 !，5 %&—&+—+, 段能通过的最大信息量

也只能为 !!以此类 推 能 传 到 的 最 大 信 息 量 为 ! 6 ) 6 * 6 * (%&! 5 选 4!本题的得分率不高，其主要原因是：考生对题目不理

解，对信息的传递不理解，其实可把信息的传递理解

成：水的流动、人的流动、车的流动等常见的问题，这

样就容易理解问题，就容易解题了!

二、填空题

%!（文）%## . 解法一 . 当 只 有 一 个 女 生 为 代 表 时 共 有

/"*/

%)种选法，当有两个女生为代表时共有 /%

*/") 种选法，

当有三个女生为代表时共有 /!) 种选法! 故至少有一个

女生为代表时共有 /"*/

%) 6 /%

*/") 6 /!

) ( %## 种选法!解法二. 从 %# 人中选 ! 名代表，有 /!

%# 种选法，全部都

是男生有 /!* 种选法，故至少有一名女生有 /!

%# ’ /!* 种

选法，即共有 %## 种选法!"! %&". 用总个数减去个位数为 #，3 的情况即可0 / %

3$!3 ’

—*—

! "# $ % &

’ ( % &’ ( % &

" ) "** $ +* $ ’, ) &-./"!（理）, ’.’0 只含 * 的有 %.

" ·%&- ·!’

’ ) +’, 种，只含 "或 # 的有 %&

.·%&"·%.

-·!’’ ) # &,’ 种，不包含 *，# 或 "

的有 %."%

.-!

’’ ) . #-. 种，故不同排法种数有 +’, 1 . #-.

1 # &,’ ) , ’.’ 种!（文）# ,".0 总的排列数 $ ) %.

’%.&*!

’’ ) + ’,*，字母 # 与

数字 * 一起出现的排列数为 %&"·%&

-·!’’ ) +’,/

2 字母 # 和数字 * 至多出现一个的不同排法种数为

+ ’,* $ +’, ) # ,".!’! #3+0 分三步，第一步把 & 与 .，" 与 ’，# 与 + 分别捆绑，

得 " 个整体，并进行全排列，共 !"" ) + 种；第二步 & 与 .，

" 与 ’，# 与 + 位置互换共 %&.%

&.%

&. ) , 种；第三步把 3 与 ,

插到 ’ 个空中共 !.’ ) &. 种/ 故由分步计数原理知八位

数共有 + ( , ( &. ) #3+ 个/评析0 解排列组合题常用规律有先特殊后一般，相邻采

用捆绑法、不相邻采用插空法等!#4【解析】0 （理）本题考查排列组合的应用! 分两种情况：

!个位数是 * 的有：%&’ ·%.

’ ·!""，"个位数是 # 的有：

%&" · %.

# · !"" $ %&

" · %&’ · !.

.；综 上 满 足 条 件 的 共 计

%&’%

.’!

"" 1 %&

"%.#!

"" $ %&

"%&’!

.

. ) "**/（文）本题考查排列组合的应用! #）* 在个位上时有：

!.#，$）# 在个位上时有：%&

’ · %&’，综上有 !.

# 1 %&’ ·%&

’

) "+/+4【解析】0 本题考查排列组合的应用! 可以这样安排：从

&* 个数中任取 " 个有 %"&*，然后将这 " 个数都不安排在

自己对号的位置上有：%&. ·&·&，由分步计数原理可

得：%"&*·%&

. )&* ( - ( ,

" ( . ( . ) .’* 种!

34【解析】0 本题考查考生的分析判断问题的能力，根据

树状图求解：*

% &—*—&—.—"

’’&

*—&—.—"

.

&—.—"

"—.—’’ "

"—’—"，

，共计 # 种!

,4【解析】0 本题主要考查排列的知

识! 是属于一种较新的题型：圆环

排列的问题! 解决的基本思路是把

圆环排列的问题转化为直线排列

的问题，在解题时注意分类讨论的

思想的应用! 先排 & 区，有 ’ 种方

法，把其余四个区视为一个圆环（ 如图 &），沿着圆环的

一个边界剪开并把圆环拉直，得到如图 . 的五个空格，

在五个空格中放 " 种不同元素，且!相同元素不能相

邻!"两端元素不能相同! 共有 &# 种不同方法! 然后再

把图 . 粘成圆形即可! 下面解决两端元素相同的情况!在这种情况下，我们在六个空格如图 "! 要求!相同元

素不能相邻!"两端元素必须相同，共有 &# 种不同方

法，然后再把图 " 粘成圆环形，把两端的两格粘在一起

看成一个格即可! 综上，共有 ’（&# 1 &#）) &.* 种方法!

图.0

图"-4【解析】0 分别用 &、’、( 代表 " 种作物，先安排第一块

田，有 " 种方法，不妨设放入 &，再安排第二块田有 ’ 或

( . 种 方 法，不 妨 设 放 入 ’! 第 三 块 田 也 有 . 种 方

法& 或 (!

（&）若第三块田放 (： & ’ ( ，则第四、

五块田分别有 . 种方法，共 .·. 种方法!

（.）若第三块田放 &： & ’ & ，第四块田

仍有 ’ 或 ( . 种放法!

（ 5）若第四块田放 (： & ’ & ( ，第五块田

仍有 . 种方法!

（ 55）若第四块田放 ’： & ’ & ’ ，则第五块

田只能放 (，共有 " 种方法!综上，共有 "·.（.·. 1 "）) ’. 种方法!

&*4【解析】0 分两组比赛，每组有 %.’ 场，每组的第一名与

另一组的第二名比赛有 . 场，三、四名比赛，冠亚军比

赛，共有 .%.’ 1 . 1 . ) &+（场）!

&&4【解析】0 在 # 种不同的荤菜中取出 . 种的选择方式

应有 %.# )

# ( ’. ) &*（ 种）! 选择方式至少为 .** 种，设

素菜为 ) 种，2 %.)%

.#$.**，

)（) $ &）. $.*，)（) $ &）$

’*，)$3，2 至少应为 3 种素菜!&.4【解析】0 解法一：选出 . 个点能连为直径，有 * 种情

况，其余 .* $ . 个点与直径组成的三角形为 67(! 用

分步计数原理有 *（.* $ .）即 .*（ * $ &）个 这 样 的

三角形!解法二：以所给的圆的等分点中的两点为端点的弦，

有且仅有 * 条不同的直径! 因此，由圆的上述性质，可

将适合题意的直角三角形分成 * 类，同类的直角三角

形有相同的斜边（即圆的直径）；由于对每条确定的直

径为斜边的直角三角形，其直角顶点可以是等分点中

除该直径端点外的任意一个点，共有 .* $ . 种可能，所

以，同一类的直角三角形共有 .* $ . 个! 应用分类计数

原理，即得符合题意的直角三角形的个数为 $ ) *（.*$ .）) .*（* $ &）!

&"4【解析】0 本题主要考查受限制的排列组合的问题!“元素分析法”、“位置分析法”是解决这类问题的最基

本的 方 法，在 解 题 时，应 先 考 虑 特 殊，再 考 虑 一 般!!"

"%.3!

.

. ) .#.!

—3—

一、选择题

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !"#（’$% 东城高三教学目标检测 &）

如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个

位数字，则这样的三位数一共有

’# ()$ 个 *# (+% 个 ,# (-" 个 .# ()- 个

(#（’$% 石家庄部分学校高三统一考试 ""）

体育老师把 / 个相同的足球放入编号为 "、(、- 的三个

箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不

同的放法有

’# "$ 种 *# "0 种 ,# (+ 种 .# )( 种

-#（’$% 成都高中毕业班第一次诊断性检测 "(）

（理）从 1 -，1 (，1 "，$，"，(，-，) 这 + 个数中任选 -个不同的数组成二次函数 ! 2 "#( 3 $# 3 % 的系数 "，$，

%，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有

’4 &( 条 *4 /0 条 ,4 "(+ 条 .4 ")) 条

)#（’$% 成都高中毕业班第一次诊断性检测 "$）

（文）某单位有 "% 名成员，其中男性 "$ 人，女性 % 人，现

需要从中选出 0 名成员组成考察团外出参观学习，如

果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团

的组成方法种数是

’4 ,-"$ *4 ,)

"$,(% ,4 ,%

"% .4 ’)"$’

(%

%#（’$% 潍坊高三统一考试 /）

某汽车生产厂家准备推出 "$ 款不同的轿车参加车展，

但主办方只能为该厂提供 0 个展位，每个展位摆放一

辆车，并且甲、乙两款车不能摆放在 " 号展位，那么该厂

家参展轿车的不同摆放方案有

’4 ,("$’

)+ 种 *4 ,"

/’%/ 种

,4 ,"+’

%/ 种 .4 ,"

+’%+ 种

0#（’$% 福州高中毕业班综合测试题 ""）

（文）有一楼梯共 "$ 级，若每次只能跨上一级或二级，

要走上第 "$ 级，共有多少种走法

’# "$+ *# &+ ,# +/ .# /"&#（’$) 海淀 % 月高三第二学期期末练习 0）

某公司新招聘进 + 名员工，平均分给下属的甲、乙两个

部门& 其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三

名电脑编程人员也不能同给一个部门& 则不同的分配

方案有

’4 -0 种 *4 -+ 种 ,4 "$+ 种 .4 "") 种

+#（’$) 海淀 ) 月高三第二学期期中练习 0）

0 名运动员站在 0 条跑道上准备参加比赛，其中甲不能

站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或

第六道，则不同排法种数共有

’4 ")) *4 /0 ,4 &( .4 )+

/#（’$) 东城高三综合练习〈二〉%）

（理）某银行储蓄卡的密码是一个 ) 位数码，某人采用

千位、百 位 上 的 数 字 之 积 作 为 十 位 个 位 上 的 数 字

（如 (+"0）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数

字选 $，千 位、百 位 上 都 能 取 $& 这 样 设 计 出 来 的 密

码共有

’# /$ 个 *# // 个 ,# "$$ 个 .# ""( 个

"$#（’$) 西城 % 月抽样测试 &）

设集合 ’ 2｛"，(，-，)，%｝，"、$&’，则方程#(

" 3 !(

$ 2 "

表示焦点位于 ! 轴上的椭圆有

’& % 个 *& "$ 个 ,& ($ 个 .& (% 个

""#（’$) 东北四市高中毕业班联合调研测试题 +）

某运输公司有 & 个车队，每个车队的车多于 ) 辆，现从

这 & 个车队中抽出 "$ 辆车，且每个车队至少抽 " 辆，

则不同的抽法有

’# +) 种 *# "($ 种 ,# 0- 种 .# -$" 种

"(#（’$) 东北三校高三第二次联合考试 +）

已知右图的每个开关都有闭合与

不闭合两种可能，因此 % 个开关共

有 (% 种可能& 在这 (% 种可能中，电

路从 ( 到 ) 接通的情况有

’# -$ 种 *# "$ 种 ,# () 种 .# "0 种

"-#（’$) 石家庄 ) 月高三模拟考试 "$）

有 ’、*、+、,、-、. 六人依次站在正六边形的六个顶点

上传球，从 ’ 开始，每次可随意传给相邻的两人之一，

若在 % 次之内传到 ,，则停止传球；若 % 次之内传不到

,，则传完 % 次也停止传球，那么从开始到停止，可能

出现的不同传法种数是

’# () *# (0 ,# -$ .# -(")#（’$) 成都高中毕业班第 - 次诊断性检测题 %）

以长方体的 + 个顶点中的任意 - 个为顶点的三角形

中，锐角三角形的个数是

’# $ *# 0 ,# + .# ()"%#（’$) 黄冈 ) 月高三质量检测 "(）

(’*+ 内有任意三点不共线的 ( $$( 个点，加上 ’、*、

+ 三个顶点，共 ( $$% 个点，把这 ( $$% 个点连线形成

互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个

数为

’# ) $$% *# ) $$( ,# ) $$& .# ) $$$"0#（’$) 南京高三第三次质量检测 "$）

显示屏上的 & 个小孔排成一排，每个小孔可以显示红、

绿两种颜色，或不显示& 若每次显示其中三个小孔，但

相邻的两个小孔不同时显示，则该显示屏能够显示的

—+—

不同的信号种数为

!" #$ %" &$ ’" (# )" *$*+"（’$( 南京高三第二次质量检测 *$）

某学生要邀请 *$ 位同学中的 & 位参加一项活动，其中

有 , 位同学不能同时参加，则邀请的方法有

!" #( 种 %" -# 种 ’" **, 种 )" *($ 种

*#"（’$( 南通高三第一次调研考试 **）

已知直线 !" . #$ . * / $ 中的 !、# 是取自集合｛0 1，

0 ,，0 *，$，*，,｝中的 , 个不同的元素，并且直线的倾

斜角大于 &$%，那么符合这些条件的直线共有

!" # 条 %" ** 条 ’" *1 条 )" *& 条

*-"（’$( 福州高三质量检查 +）

有 &、’ 两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工

人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作 & 种车

床，现从这三名工人中选 , 人分别去操作以上车床，则

不同的选派方法有

!2 & 种 %2 3 种 ’2 ( 种 )2 1 种

,$"（’$( 泉州高中毕业班高考模拟考试 **）

（文）有 ( 名学生，分别插入 &、’ 两班学习，若每班最

多只能接收 1 名学生，且甲不去 & 班，则不同的分配方

法种数为

!2 + %2 - ’2 ** )2 *,,*"（’$1 海淀 3 月高三第二学期期末练习 &）

将 + 名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安

排 , 名学生( 那么互不相同的分配方案共有

!( ,3, 种 %( **, 种 ’( +$ 种 )( 3& 种

,,"（’$1 东城 3 月高三综合练习三 +）

（理）如右图，在正方形 &’)* 中，

+、,、-、. 是各边中点，/ 是正方形

中心，在 &、+、’、,、)、-、*、.、/ 这

九个点中，以其中三个点为顶点作

三角形，在这些三角形中，互不全

等的三角形共有

!2 & 个 %2 + 个 ’2 # 个 )2 - 个

（文）将 ( 张互不相同的彩色照片与 1 张互不相同的

黑白照片排成一排，任何两张黑白照片都不相邻的不

同排法的种数是

!2 !((!

1( %2 !(

1!11 ’2 !(

(’13 )2 !(

(!13

,1"（’$1 西城 ( 月抽样测试 *$）

甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的

周一至周六的值班工作，每天 * 人值班，每人值班 ,天( 如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，

则可以排出不同的值班表有

!" 1& 种 %" (, 种 ’" 3$ 种 )" +, 种

,("（’$1 东北三校高三第一次联合考试 *,）

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条

棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的

染色方法总数为

!2 ,($ 种 %2 1$$ 种 ’2 1&$ 种 )2 (,$ 种

,3"（’$1 东北三校高三第二次联考 **）

对某种产品的 & 件不同正品和 ( 件不同次品一一进行

测试，到区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第

五次测试被全部发现，则这样的测试方法有

!( ,( 种 %( -& 种 ’( 3+& 种 )( +,$ 种

,&"（’$1 辽宁部分重点中学协作体高考模拟试题 *,）

对于任意正整数 0，定义“0 的双阶乘 0！！”如下：

当 0 是偶数时，0！！ / 0·（0 0 ,）·（0 0 (）·⋯·&·

(·,；

当 0 是奇数时，0！！ / 0·（0 0 ,）·（0 0 (）·⋯·3·

1·*现在有如下四个命题：

!（,$$1！！）·（,$$,！！）/ ,$$1！；

",$$,！！ / ,*$$*·*$$*！；

#,$$,！！的个位数是 $；

$,$$1！！的个位数是 3(其中正确的命题有

!" * 个 %" , 个 ’" 1 个 )" ( 个

,+"（’$1 武汉部分学校高三调研测试〈一〉-）

,$$, 年韩日世界杯足球赛，参赛球队共 1, 支，分成 #个小组，每个小组 ( 支球队进行单循环赛，各组前两名

出线，再按排定的签位进行淘汰赛，决出前 ( 名，则比

赛进行的场数共为

!" #!,( . *, %" #’,

( . *,’" #!,

( . *& )" #’,( . *&

,#"（’$1 山东烟台高三诊断性考试 *$）

两名教师与五名学生排成一排照像，则恰有三名学生

排在两名教师之间的概率为

!" &+ %" 1

+ ’" ,+ )" *

+,-"（’$1 山东淄博高三模考 -）

3 个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子

站中间，从中间到左边和从中间到右边一个比一个

矮，则这样的排法共有

!" & 种 %" # 种 ’" *, 种 )" *& 种

1$"（’$1 南京高三第二次质量调研卷 *,）

某城市举行“市长杯”足球比赛，由全市的 & 支企业职

工业余足球队参加，比赛组委会规定：比赛采取单循

环制进行，每个队胜一场得 1 分 ，平一场得 * 分，负一

场得 $ 分( 在今年即将举行的“ 市长杯”足球比赛中，

参加比赛的市工商银行队的可能的积分值有

!2 *1 种 %2 *( 种 ’2 *3 种 )2 *& 种

1*"（’$1 南京高三第三次质量调研卷 -）

已知 ! /（"，$），其中 "&｛*，,，(，3｝，$&｛,，(，&，#｝，

则满足条件的不共线的向量共有

!" *& 个 %" *1 个 ’" *, 个 )" - 个

—-—

!"#（’$! 南通高三第二次调研考试 %）

从图中的 &" 个点中任取 ! 个点作为一

组，其中可构成三角形的组数是

’( "$) *( "$+ ,( "$$ -( &%.

二、填空题

&#（’$/ 无锡高中毕业班考试试卷 &/）

为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机

染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相

邻! 现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总

共要进行的试验次数为0 0 0 0 !（用数字回答）

"#（’$+ 长春高中毕业班第二次调研测试 &/）

某校邀请了 + 位优秀同学的父母共 ) 人，并请这 ) 位家

长中的 + 位介绍对子女的教育情况，如果这 + 位中至多

有一对是夫妻，那么不同的选择方法的种数是0 0 0 !!#（’$+ 济南 + 月高三统考 &.）

（文）对于正整数 " 和 #，其中 # 1 "，定义 "#！ 2（" 3#）（" 3 "#）（" 3 !#）⋯（" 3 $#），其中 $ 是满足" 4 $#

的最大整数，则&)+！

"$.！2 0 0 0 0 0 0 0 !

+#（’$! 海淀 + 月高三第二学期期中练习 &"）

将 %、&、’、(、)、*、+ 七个不同的电子元件在线路上排

成一排，组成一个电路，如果元件 % 及 & 均不能排在两

端，那么，这七个电子元件组成不同电路的种数是0 00 0 0 （用数字做答）!

/#（’$! 天津高三质量调研试题 &+）

（理）学校组织 ! 名同学去 + 个工厂进行社会实践活

动，其中工厂 % 必须有同学去实践，每个同学去哪个工

厂可自行选择，则不同的分配方案共有0 0 0 0 种（ 用

数字作答）!.#（’$! 天津和平区高三模考试题 &/）

&& 名工人中，有 / 人只会排版，+ 人只会印刷，还有 " 人

既会排版又会印刷，现从这 && 人中选出 + 人排版，+ 人

印刷，有 种不同的选法!5#（’$! 东北四校第二次高考模拟考试 &+）

按 ’*6 血型系统学说，每个人的血型为 ’、*、6、’* 四

种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的

血型是 ’* 型时，子女一定不是 6 型，若某人的血型为

6 型，则父母血型所有可能情况有0 0 0 0 种!)#（’$! 黄冈中学高三 / 月模考 &+）

（理）五名学生进行某种劳动技术比赛，决出了第一名

到第五名的名次! 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答

者对甲说：“ 很遗憾，你和乙都未拿到冠军! ”对乙说：

“你当然不会是最差的! ”从这个回答分析，五人的名次

排列共可能有0 0 0 种不同的情况（用数字作答）!%#（’$! 黄冈中学高三 / 月底适应性考试 &+）

正六边形的中心和顶点共 5 个点，以其中三个点为顶

点的三角形共有0 0 0 0 个!（用数值作答）

&$#（’$! 郑州高中毕业班第一次质量预测题 &!）

某高校的某一专业从 ) 名优秀毕业生中选派 / 名支援中

国西部开发建设，某人必须被选派的种数是0 0 0 !&&#（’$! 江西九所重点中学高三联考 &/）

某电子器件的电路中，在 %、& 之间

有 ’、(、)、* 四个焊点（如图）如果

焊点脱 落，则 有 可 能 导 致 电 路 不

通，今发现 %、& 间电路不通，则焊点脱落的不同情况

有0 0 0 0 种!&"#（’$! 黄冈中学高三 / 月底适应性考试 &.）

一天内的不同时刻，经理把文件交给秘书打字，每次

都将文件放在秘书文件堆最上面，秘书如果有时间，

就将文件堆最上面的那份文件取来打字! 若有五份文

件，且经理按 &，"，!，+，/ 的顺序交来，则秘书打字的可

能顺序是0 0 0 0 !!&，"，!，+，/ "!，"，+，&，/ #/，+，!，"，& $+，/，"，

!，& %!，"，/，+，&

一、选择题

&# ’0 分情况类推，当十位数字是 % 时，百位数字有 ) 种取

法，个位数字有 % 种取法，此时取法种数为 ) 7 %；当

十位数字是 ) 时，百位数字有 5 种取法，个位数字有

) 种取法，此时取法种数为 5 7 )；依次类推，直到当

十位数字是 " 时，百位数字有 & 种取法，个位数字有

" 种取法，此时取法种数为 & 7 "；故，总的个数为 & 7"8" 7! 8! 7+ 8⋯ 8) 7% 2（" 7" 8! 7! 8+ 7+ 8⋯ 8%7%）3（" 8! 8+ 8⋯ 8%）2（&" 8"" 8!" 8⋯ 8%"）3（&

8 " 8 ! 8 + 8 ⋯ 8 %）2 % 7（% 8&）7（" 7% 8&）. 3

% 7（& 8%）" 2"+$!故选’!

"# ’0 用隔板法解! 先在 "、! 号箱中分别放 & 个和 " 个球，

剩下的 . 个球排成一行，插入两个隔板把它们分成

三部分，如图，) 9))) 9))! 从左到右把第一、

二、三部分分别放入 &、"、! 号箱中，即可使每个箱子

放球的个数不少于其编号! 而插入两个隔板的方法

数有 ,"/ 2 &$，故选 ’!

【评析】0 解题时要突破两个难点：!足球是相同

的，故用隔板法；"要使每个箱子放球的个数不少于

其编号可预先在 "、! 号箱中分别放 & 个和 " 个球，

则问题转化为向每个箱子放球的个数都不少于 &!!#（理）-0 当 , 4 $ 时，坐标原点在抛物线内部*-（$）2 .

1 $；当 , 1 $ 时，坐标原点在抛物线内部*-（$）2 . 4 $!: 坐标原点在抛物线内部*,. 1 $! : ,&

!,&+’

"" ·’&

. 2&++，选 -!

—$&—

!"（文）#$ 设男性选 ! 人，女性选 " 人，由已知有!%& ’ "

(

’ )%( ’ *

( +! ’ !"{ ’ *

，选 #+

(" ,$ 考查分步计数原理和排列数公式，在 % 号位汽车选

择的种数为 ,%-，其余位置的排列数为 .(

/，故种数为

,%-·.(

/，选 ,#)"（文）,$ 设走上 $ 级楼梯的走法有 %$ 种# 容易知道 %%

’ %，%* ’ *# 当 $$0 时，我们知道第一步有两种走法，跨

一级或跨二级，所以我们可以把走法分为两类# 第一类

是第一步跨上一级，则剩下的是 $ 1 % 级楼梯的走法为

%$ 1 %种；第二类是第一步跨上二级，则剩下的 $ 1 * 级楼

梯的走 法 为 %$ 1 * 种# 由 分 类 计 数 原 理 有 %$ ’ %$ 1 % 2%$ 1 * # 所以有递推公式 %$ ’ %$ 1 % 2 %$ 1 *（$$0），且 %% ’%，%* ’ *" 于是有 %0 ’ 0，%! ’ (，%( ’ -，%) ’ %0，%3 ’ *%，

%- ’ 0!，%/ ’ ((，%%& ’ -/# 故 走 上 %& 级 楼 梯 共 有 -/种走法#

【评析】$ 本题应用了分类计数原理和迭代的思想，锻

炼了学生的逆向思维# 思路：先把 %$ 看作已知往前推，

得到数列的递推公式 %$ ’ %$ 1 % 2 %$ 1 * # 从而，我们只需

得到 %% ’ %，%* ’ *，即可依次求到 %%& ’ -/#3" .$ 本题考查排列组合的应用# 首先分成两组，然后再选

甲、乙两个部门，分组有：,%* ·,%

0 ·,*0，共 有 ,%

* ·

,%0,

*0·,%

* ’ 0)，故选 .#-" .$ 不同排法种数为：,%

*.(( 1 ,%

*,%*·.!

! ’ %!!+ 故选 .+/"（理）,$ 本题考查有条件的排列组合的应用# 由于千

位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑

千位、百位即可，千位、百位各有 %& 种选择，所以有 %&4 %& ’ %&&，故选 ,#

%&" #$ 本题考查椭圆标准方程的性质# 由于焦点在 " 轴

上，则必有 & 5 %，在 ( 个数中任取两个，大的为 &，

小的为 %，则有 ,*( 种，即 %& 个，故选 ##

%%" .$ 本题等价于从 3 个车队抽出 0 辆车，分 0 种情况：

!0 辆车来自同一车队，,%3 种；"0 辆来自 * 个车

队，,%*,

*3 种；#0 辆来自 0 个车队，,0

3 种，故共有 ,%3

2 ,%*,

*3 2 ,0

3 ’ -! 种+%*" 6$ 五个开关全闭合有 % 种情况能使电路接通；四个开

关闭合有 ( 种情况能使电路接通；三个开关闭合有

- 种情况能使电路接通；两个开关闭合有 * 种情况

能使电路接通；所以共有 % 2 ( 2 - 2 * ’ %) 种情况

能使电路接通#%0" #$ 本题考查分步计数和分类计数原理的应用#0 次传球到

’ 有* 种，! 次传球到 ’ 有 & 种，而每次传球有 * 种选

择#若不考虑到’ 是否停，则( 次传球有*( ’0* 种，减去

第0 次传球到’ 且共传了 ( 次的种数 *·** ’- 种，7综上共计* 20* 1- ’*)（种），故选 ##

%!" ,$ 解法一：直接法：每个顶点对着一个以三条面对角

线组成的锐角三角形，故共 - 个，选 ,#解法二：间接法：在由这 - 个顶点中任意 0 个组成

的三角形中，是直角三角形的有：以每个顶点为直

角顶点能组成 ) 个直角三角形，故共有 ,0- 1 ) 4 -

’ -# 选 ,#%(" .$ 本题考查考生的综合分析能力# 由题中的条件知，

三角形内部一个点，可比原来多出两个三角形（ 如

下图），由分析知：%$ 2 % 1 %$ ’ *（%$ 表示三角形内部

有 $ 个点时组成不重叠的小三角形的个数），可看

出，组成一个首项为 0，公差为 * 的等差数列：%$ ’ 02（$ 1 %）4 *（$&!），则当 $ ’ * &&* 时，%$ ’ 0 2

（$ 1 %）4 * ’ 0 2（* &&* 1 %）4 * ’ ! &&(# 故选 .+

%)" .$ 本题考查排列组合的应用# 本题采用插空方法求

解，将三个亮的灯插入四个不亮的孔中有 ,!( 种情

况，三个亮的灯有 *·*·* 种情况，则有 - 4 ,!( ’

-& 种情况，故选 .#%3" 6$ 本题考查排列组合的综合应用，分两种情况：8）这* 位

同学都不被邀请有 ,)- 种；88）这 * 位中有一位被邀请

有 ,%*,

(- # 综合 8）、88）可得邀请方法有 ,)

- 2 ,%*,

(- ’ ,

*- 2

,%*·,0

- ’- 43* 2* 4- 43 4)

0 4* ’%!&，故选 6#

%-" 6$ 本题考查排列组合的应用和斜率与倾斜角之间的

关系，倾斜角 ! 大于 )&9，即 :;< ! = & 或 :;< ! !5 0

或斜率不存在+ 1 %& = & 或 1 %

& !5 0# 8）当 1 %&

= & 时有 0 4 * 2 * 4 % ’ -# 88）当 1 %& !5 0时有：% 2

* ’ 0# 888）当斜率不存在时，即 ! ’ /&9+& ’ &，%,&有 ( 条# 综上可得 - 2 0 2 ( ’ %) 条，故选 6#

%/" ,$ 本题考查的是排列组合的有关应用问题# 该题可以

由丙是否被选派进行讨论：!丙不被选派，即甲、乙

进行操作车床有 .** 方法，"丙被选派，操作 ( 车

床，剩下的 ) 车床由甲、乙其中之一去，有两种方

法，综上可得有 .** 2 * ’ !，则不同的选派方法有 !

种# 此题也可以直接进行计算选派方法，原因是人

数较少，可以进行列举#*&"（文）.$ 本题考查排列组合的应用# 除甲之外每人有

两种选择有 * 4 * 4 *，其中除去三人同时选 ( 班的一

种情况，则满足条件的有 *0 1 % ’ 3，故选 .#*%" #$ ,*

3 2 ,03 2 ,!

3 2 ,(3 ’ *% 2 0( 2 0( 2 *% ’ %%*#

**"（理）,$ 可取(()*，(()+，((),，(()-，((./，

((.-，((.+，((+- - 个#

—%%—

（文）!" 先排彩照，有 #$$ 种，再在彩照间隙（ 包括两

边），排黑白照，有 #%& 种，’ 有 #$

$·#%& 种

(%) *" +(,·+(

$ - (·+.&·+(

$ / +.$·+.

% 0 $(（种）

($) !" #&& / +$

&·+.(·#$

$ / +%&·#%

% 0 $(1(&) +" +.

,+.$#

$$ 0 &2,

(,) !" !（(11%！！）·（(11(！！）0（(11%·(11.⋯&·%·

.）（(11(·(111·.334⋯,·$·(）0 (11%！正确，

"(11(！！ 0（(·.11.）·（(·.111）·（(·333）

⋯（(·%）·（(·(）·（(·.）0 (.11. ·.11.！，#偶

数包括个位数为 1 的，而 1·! 0 1，’ (11(！！个位

数为 1，$& 与奇数相乘个位数仍为 &，’ !，"，

#，$正确

(2) *" 4 个小组各决出前两名需进行比赛的场数为 4+($ "

., 支球队决出前 4 名需进行 4 场，决出前 $ 名需进

行 $ 场，则共有 4+($ / .( 场比赛"

(4) !" 把两老师及之间学生“ 捆绑”，则这种排法有 #%%#

&&

种，概率 # 0#%

%#&&

#22

0 .2

(3) #" 把 $ 人分成两组，而且位置已确定 +($ 0 ,

%1) +" 共有 & 场比赛，每场比赛可能胜或负或平，故有 +.%

种可能的积分值，&·+.% 0 .&

%.) +" 有（.，(），（.，$），（.，,），（.，4），（(，(），（(，,），（(，

4），（$，,），（&，(），（&，$），（&，,），（&，4）.( 个

%() +" +%.( -（4 / %+%

$）0 ((1 - (1 0 (11二、填空题

.) . $$1" 本题是基本技能题，重点考查排列组合问题中

的分步计数原理，可根据题意用插空法来解" #$$ ·+%

& ·

5%% 0 . $$1（次）"

() ,$" 此题可考虑逆向思维，即先求出有两对夫妻的情

况" 由已知选法总数为 +$4；有两对夫妻的种数为 +(

$，从

而“至多有一对夫妻”的选法种数为 +$4 - +(

$ 0 ,$"

%)（文）.&( " 本题给出一个新的定义，根据定义进行运算，

.4$！

(1,！0（.4 - $）（.4 - 4）（.4 - .(）（.4 - .,）

（(1 - ,）（(1 - .(）（(1 - .4）

0 .$ 6 .1 6 , 6 (.$ 6 4 6 ( 0 .&

( "

$) ($11" 5(&·5&

& 0 ($11&)（理）%2" 从三个同学中挑出一个参观 $ 厂，则有 +.

%，剩

余二个同学参观其他三个厂有 #(% 6 (，三个同学都参观

$ 厂有 . 种，则+.% 6 #(

% 6 ( / . 0 %2,) .4&" 把工人如右图所示分为 % 类：

（.）若 $ 名只会印刷的工人都入选，则可

从其余 2 人中任选 $ 个排版，有 +$2 种；

（(）若这 $ 人中只有 % 人入选，则需从“都

会”的 ( 人 中 选 . 人 印 刷，其 余 , 人 选 $ 人 排 版，有

+%$+

.(+

$, 种；#若这 $ 人中有 ( 人入选，则从“都会”的工

人中选 ( 人去印刷，其余 & 人选 $ 人排版，有 +($+

$&，故

由加法原理，共有：+$2 / +%

$+.(+

$, / +(

$+$& 0 .4&（种）"

2) 3" +.%·+.

% 0 34)（理）&$" 由乙不取一、五，甲不取一，则其共有 +.

% ·+.%

·#%% 0 &$ 种

3) %(" +%2 - % 0 %& - % 0 %(

.1) %&" .·+$2 0 %&

..) .%" 有一个点断，则为 % 或 &，为 ( 种，有两点点断，则

为 +.( 6 ( / ( 0 , 种，% 个点断，则为 +%

$ 种 $ 个点断，为

. 种，共 ( / , / $ / . 0 .% 种

.()!"#%

一、选择题

" " " " " " " " " " " " " " " " " " ".) 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不

同，则称这些函数为“ 同族函数”，那么函数解析式为 ’0 ((，值域为｛.，$｝的“同族函数”共有

#) 2 个 *) 4 个 +) 3 个 !) .1 个

() 有两个同心圆，在外圆周上有不重合的六个点，在内圆

周上有 不 重 合 的 三 个 点，由 这 九 个 点 决 定 的 直 线

最少有

#7 .4 条 *7 (. 条 +7 %% 条 !7 %, 条

%) 设集合 $ 0｛.，(，%，$，&，,｝，映射 )：$-$ 满足 )（.）8)（(）8 )（%），则这样的映射 ) 的个数为

#7 +%,#

%% *7 +%

, +7 ,, !7 +%,·,%

$)（理）从集合｛.，(，%，⋯，.1｝中任意选出三个不同的数，

使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为

#7 % *7 $ +7 , !7 4&) 某学生在楼梯上做上下楼梯的跳动，每次或向上或向

下只跳动一级，上下可任意跳动 2 次以上，现经过 2 次

跳动以后，发现上升了 % 级，则产生这一结果的所有不

同的跳动方法种数有

#) .$ *) (1 +) (. !) $(,) 若 +!

(. 8 +! / ((. （!&!），则满足条件的 ! 的个数有

#7 4 *7 3 +7 .1 !7 ..2) 从 .11 人中选 .1 人，分别担任 (1 种不同的职务中的 .1

种不同的职务，求有多少种不同的选法" 其中所列式子

错误的是

#7 +.1.11+

.1(1#

.1

.1 *7 #.1.11#

.1(1

—(.—

!" !#$#$$%

#$&$ ’" %#$

#$$!#$&$

() 由 $、*、(、!（!,$，*，(）+ 个数字组成没有重复数字的 +位数，若这些 + 位数的各个数字之和为 +,&，则 ! 为

%) , -) . !) / ’) 不存在

/) 某人从 " 地出发去 #、$、%、& 四地各一次，最后返回 "地’ 已知各地之间的路费如下表所示：

" % $ # &" $ ,$ +$ 0$ .$% ,$ $ #0 &0 ,$$ +$ #0 $ #0 &0# 0$ &0 #0 $ #0& .$ ,$ &0 #0 $

走完全程至少要花 ( 元，则 ( 的值是

%" #$$ -" #,$ !" #,0 ’’ #+$#$) 新区新建有 0 个住宅小区（"、%、$、#、&），现要铺设连

通各小区的自来水管道，如果它们两两之间的线路长

如下表：

距

离

（12）

地

名

地 名

" % $ # &

" 0 * ( 0% , 0 &$ 0 +# +&

请问最短的管线长为

%) #, -) #+ !) #0 ’) #*二、填空题

#) 从装有 ) 3 # 个球（ 其中 ) 个白球，# 个黑球）的口袋中

取出 ( 个球（$ 4 (%)，(，)&!），共有 !() 3 # 种取法’ 在

这 !() 3 #种取法中，可以分成两类：一类是取出的 ( 个球

全部为白球，共有 !$# ·!(

) 种取法；另一类是取出的 (个球中有 # 个黑球，( 5 # 个白球，共有 !#

# ·!( 5 #) 种取

法，显然 !$# ·!(

) 3 !## ·!( 5 #

) 6 !() 3 #，即有等式：!(

) 3!( 5 #

) 6 !() 3 #成立’ 试根据上述思想化简下列式子：!(

) 3!#

*·!( 5 #) 3 !&

* ·!( 5 &) 3 ⋯ 3 !*

* ·!( 5 *) 6 7 7 7 7 7 ’

（#%* 4 (%)，*，(，)&!）’

&)（理）如图，把 #，!&，5 8，5 &8， !5 & 8，&这 . 个复数分别填入六个正方形，使得

按虚线折成正方体后，相对面上的两个

复数的模相等，则不同的填法有7 7 7

7 种’（文）从 + 名男生和 , 名女生中，选出 & 名男生 & 名女

生，共 + 人分派 + 种不同的工作，每人安排一种工作，所

有不同安排的方法种数是7 7 7 7 ’

,) 以正方体 "%$#—"#%#$### 的 ( 个顶点中 + 个为顶点，

且 + 个面均为直角三角形的四面体是 7 7 7 （ 只要写

出一个四面体即可）’+) 若含有集合 " 6｛#，&，+，(，#.｝中三个元素的 " 的所有

子集依次记为 %#，%&，%,，⋯，%)（其中 )&!.），又将集

合 %+（ + 6 #，&，,，⋯，)）的元素的和记为 ,+，则 ,# 3 ,& 3,, 3 ⋯ 3 ,) 6 7 7 7 ’

0) 如图甲边长为 , 的正方形中，有 #. 个交点，从中任取 &

个组 成 向 量，则 与-’’"$ 平 行 且 长 度 为 !& & 的 向 量 个

数-（,）6 (’

如图乙边长为 + 的正方形中，有 &0 个交点，从中任取 &

个组成的向量与向量-’’"$平行且长度为 !, &的向量个数

-（+）6 7 7 7 7 7 ’.) 有一密码为 . , # & $ ( 的手提保险箱，现在显示的

号码为 $ ( $ # & * ，要打开箱子，至少需要旋转（ 每

个旋钮上转出一个新数字就为一步，逆转、顺转都可

以） 步 )*) 有一块长方形的窗台，尺寸为 # 米 9 $’ &米，现有足够多

规格相同的白色壁砖和蓝色壁砖（ 规格为 $’ & 米 9 $’ &米），用这些整块壁砖贴满窗台（ 空隙忽略不计），可以

贴成7 7 7 7 7 种不同图案’() 现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏’ 小明背对小亮，让

小亮按下列四个步骤操作：

第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且

各堆牌的张数相同；

第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；

第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；

第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌

放入左边一堆’这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数’ 你认

为中间一堆牌的张数是7 7 7 7 ’

一、选择题

#) !7 由题意知，同族函数的定义域非空，且由 5 #，5 &，#，

& 中的两个（这里 5 #，# 和 5 &，& 中各有一个），或三

个，或全部元素组成，故定义域的个数为 !#&!

#& 3 !,

+

3 # 6 /’评析7 若按分类去逐个的计算，需要注意不重复，不

遗漏’ 不然的话，解题是会出现错误的’

—,#—

!" #$ 如右图所示，此时决定的直线

最少，为 %!& ’ (%

!) * ( + !, 条!

评析 $ 要考虑九点决定的直

线最少，即考虑尽量多的点在

同一直线上!(" -$ 先从集合 " 中任取三个不同的元素作为一个组合，

并按从小到大的顺序赋为 ,，!，( 在映射 # 下的象，

有 %(. 种方法，再依次为 )，/，. 确定象，有 .( 种方

法，故满足题意的映射 # 的个数为 %(.·.( !

评析$ 本题考查映射的概念及排列组合知识!)"（理）-$ 选出的三个数可以是 ,，!，) 或 ,，(，& 或 !，)，0

或 )，.，&，而每组数对应两个等比数列，故共有 0 个等

比数列!评析$ 本题主要考查了等比数列的性质及列举法!

/" %$ 向上 跳 的 次 数 记 作 $，向 下 跳 的 次 数 记 作 %，则

$ ’ % + (，

$ * % + 1{ !所以 $ + /，% + !! 故所有不同的跳动方

法种数有 %!1 + !,，选择 %!

评析$ 解决本题的关键是：!将实际问题转化为数

学模型；"正确地求解数学模型! 本题的常见错误是

求出 $ + /，% + ! 后，按插空法算出 )! 种方法，或按

2!/ + !3 种方法!

." %$ 由 %%!, 4 %% * !

!, +!,！

%！（!, ’ %）！4 !,！（% * !）！（,& ’ %）！

+（!, ’ %）（!3 ’ %）5（% * ,）（% * !）+%%&，又 %$3，故满足条件的 % 共有 ,3 个!

1" #$评析 $ 在做这类问题时，要注意所选的人和担任的职

务有没有顺序，即确定用排列知识还是用组合知识!0" %$ 3 不能在首位，所以没有重复数字的 ) 位数共 ( 6 (

6 ! + ,0 个，由（3 * 1 * 0 * &）·,0 + )(!，得 & + &"故选 %"

评析$ 本题考查了排列组合的有关知识 " 在求四位数

字的个数时要注意数字“3”的位置，不能在首位，可以

用直接法求四位数字的个数，也可用对立事件的方法

来求，即 2)) ’ 2

(( + ,0 个 " 这样的问题要充分考虑特殊

数字的特殊排法 "&" #$ 将两个地区之间的旅费标在这两个

地区间的连线上，路线 "-’-(-)-*-"，或 "-*-)-(-’-"! 共

需路费,(3 元，我们可证明这就是最

省钱的路线!评析$ 信息题、应用题仍是高考

命题的一个热点，本题数据较多，信息量较大，但所

用知识较少，解决本题需运用最优先的思想和分类

比较思想，本题立意考查学生潜在的创新意识水平，

这类问题是高考热点!

,3" #$ "/’：/，’/(：!，’/*：(，(/)：)，所以最短的管

线总长为 / * ! * ( * ) + ,)!评析$ 本题是一道新颖的问题，是既考能力，又考

知识的“活题”! 当中的表格陈述形式，意在考查学

生的读表格、识表格的技能! 这和哪一年的全国高

考试题类似，你知道吗？

二、填空题

," %$% * + $ 根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从

（% * +）个球（% 个白球，+ 个黑球）中取出 $ 个球，可分

为：没有黑球，一个黑球，⋯⋯，+ 个黑球等（+ * ,）类，故

有 %$% * +种取法!

评析 $ 解决此类信息给予题，要善于从题中所给信息

进行归纳、迁移，比较所求与条件的区别与联系进行合

理的发散!!"（理）)0$ 当一个面上的数填好后，它的相对面上的数

随之而定! 因此有 %,.·%,

)·%,! + )0（种）!

（文）)(!$ ) 个人的选法共有 %!)·%!

( + ,0（ 种），再安排

) 种不同的工作，共有 ,0 6 2)) + )(!（种）!

评析 $ 理科考查复数模的概念以及组合、分步计数原

理，文科主要考查“先取后排”的解题策略!(" ","’*$ 侧棱 "," 与上下两个底面

垂直，则 与 底 面 内 的 任 一 直 线 垂

直! 连结 "*，则 ","0"*，同理 ’*0",’!评析$ 正方体是常用的几何模型，

要充分利用它的几何构造特点，本

题中用到了各侧面是正方形，故存在直角三角形，也用

到了侧棱与底面垂直这一性质!)" ,0.$ 含有 " +｛,，!，)，0，,.｝中三个元素的 " 的所有子

集共有 %(/ + ,3 个，其中含有元素 , 的有 %!

) + . 个，同

理，含有 !，)，0，,. 的子集各有 . 个，故 ,, * ,! * ⋯ * ,%

+（, * ! * ) * 0 * ,.）6 . + ,0.!/" 0$ 图乙中一共存在四个边长为 ( 的正方形，而每个正

方形中有 ! 个方向相反的符合条件的向量，故#（)）+ 0!." ,)$ 依题意，从左到右旋转每个号码至少需要旋转的

步数分别为 )、/、,、,、!、,，共有 ) * / * , * , * ! * ,+ ,)（步）"

评析 $ 本题考查了数学建模思想，将实际生活中的问

题转化成数学问题来解决 "1" (!$ 由题意知共需 / 块壁砖，取法可分成 . 类；/ 块全

为白色；) 块白色 , 块蓝色；( 块白色 ! 块蓝色；! 块白

色 ( 块蓝色；, 块白色 ) 块蓝色；/ 块蓝色! 故共有 %3/ *

%,/ * %

!/ * %

(/ * %

)/ * %

// + (! 种不同的图案!

评析$ 本题主要是组合及分类问题!0" /$ 按各放 ! 张，你可以算出正确的答案是 /! 各放 & 张

呢，答案应当是一样的呀！

—),—

第二节! 二项式定理

一、选择题

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !"#（’$%·全国!）在（! & "）（! ’ "）( 的展开式中 !% 的系

数是

)# & "* +# "* ,# & -( .# -(

-#（’$%·江西）（!! ’ /!!）"- 的展开式中，含 ! 的正整数次

幂的项共有

)# * 项 +# / 项 ,# - 项 .# " 项

/"（’$%·山东）如果（/! & "/!! -

）# 的展开式中各项系数之

和为 "-(，则展开式中"!/

的系数是

)" 0 +" & 0 ," -" ." & -"*"（’$%·江苏）设 $ 1 "，-，/，*，则（! ’ -）% 的展开式中 !$

的系数不可能是

)# "$ +# *$ ,# %$ .# ($

%"（’$%·重庆）（理）若（-! & "! ）# 展开式中含

"!-

项的系

数与含"!*

项的系数之比为 & %，则 # 等于

)# * +# 2 ,# ( .# "$（文）若（" ’ -!）# 展开式中含 !/ 的项的系数等于含 ! 的

项的系数的 ( 倍，则 # 等于

)# % +# 0 ,# 3 .# ""2"（’$%·浙江）（理）在（" & !）% ’（" & !）2 ’（" & !）0 ’（"

& !）( 的展开式中，含 !/ 的项的系数是

)# 0* +# "-" ,# & 0* .# & "-"（文）在（" ’ !）% &（" ’ !）2 的展开式中，含 !/ 的项的系

数是

)# & % +# % ,# & "$ .# "$

04（’$/·新课程）567#-8

,-- ’ ,-

/ ’ ,-* ’ ⋯ ’ ,-

#

#（,"- ’ ,"

/ ’ ,"* ’ ⋯ ’ ,"

#）1

)4 / +4 "/ ,4 "

2 .4 2

(4（’$*·全国"）（-!/ & "

!!）0 的展开式中常数项是

)4 "* +4 & "* ,4 *- .4 & *-

34（’$*·浙江）若（!! ’ -/!!

）# 展开式中存在常数项，则 #

的值可以是

)4 ( +4 3 ,4 "$ .4 "-

"$4（’$*·江苏）（-! ’!!）* 的展开式中 !/ 的系数是

)4 2 +4 "- ,4 -* .4 *(""4（’$*·福建）（ 理）若（" & -! ）3 展 开 式 的 第 / 项 为

-((，则 567#-8

（"! ’ "

!-’ ⋯ ’ "

!# ）的值是

)4 - +4 " ,4 "- .4 -

%

"-4（’$*·福建）（文）已知（ ! & %! ）( 展开式中常数项为

" "-$，其 中 实 数 % 是 常 数，则 展 开 式 中 各 项 系 数

的和是

)4 -( +4 /( ,4 " 或 /( .4 " 或 -(

二、填空题

""（’$%·全国"）（理）（-! & "

!!）3 的展开式中，常数项为

! ! ! "（用数字作答）

（文）（! & "! ）( 的展开式中，常数项为! ! ! "（ 用数字

作答）

-4（’$%·辽宁）（ !"- & -! & "

- ）2 的 展 开 式 中 常 数 项 是 !! ! "

/"（’$%·广东）已知（!9:; ! ’ "）% 的展开式中 !- 的系数

与（ ! ’ %* ）* 的 展 开 式 中 !/ 的 系 数 相 等，则 &’( #

1 "*"（’$%·湖南）在（" ’ !）’（" ’ !）- ’ ⋯ ’（" ’ !）2 展开

式中，!- 项的系数是 "（用数字作答）

%"（’$%·湖北）（理）（!- ’ "

! !’ -）% 的展开式中整理后

的常数项为 "

（文）（!/ & -! ）* ’（! ’ "

! ）( 的展开式中整理后的常数

项等于 "24（’$%·上海）（理）在（! & %）"$ 的展开式中，!0 的系数是

"%，则实数 % 1 404（’$%·天津）（理）设 #&!.，则 ,"

# ’ ,-#2 ’ ,/

#2- ’ ⋯ ’

,##2

# & " 1 ! ! ! ! "

（文）二项式（/!! & "

!!）"$的展开式中常数项为! ! ! !

（用数字作答）"

(4（’$%·福建）（-!! & "! ）2 展开式中的常数项是! ! !

! （用数字作答）"

—%"—

!!（’"#·北京）（ " $ %

!"）& 的展开式中的常数项是 ’ ’

’ !（用数字作答）

%"!（’"#·北京）（ 理）已知 # 次多项式 $#（ "）( %""# )

%%"# $ % ) ⋯ ) %# $ %" ) %# ! 如果在一种算法中，计算 "&

"（&( *，+，,，⋯，#）的值需要 & $ % 次乘法，计算 $+（"" ）的

值共需要 ! 次运算（& 次乘法，+ 次加法），那么计算

$#（""）的值共需要’ ’ ’ 次运算!下面给出一种减少运算次数的算法：

$"（"）( %"，$& ) %（"）( "$&（"）) %& ) %（& ( "，%，*，⋯，#$ %），利用该算法，计算 $+（"" ）的值共需要 & 次运算，

计算 $#（""）的值共需要’ ’ ’ 次运算!（文）已知 # 次多项式 $#（"）( %""

# ) %%"# $ % ) ⋯ ) %# $ %

" ) %# !如果在一种算法中，计算 ""

&（ & ( *，+，,，⋯，#）的值需

要 & $ % 次乘法，计算 $+（"" ）的值共需要 ! 次运算（&次乘法，+ 次加法），那么计算 $%"（"" ）的值共需要’ ’’ 次运算!下面 给 出 一 种 减 少 运 算 次 数 的 算 法：$"（ "）( %"，

$& ) %（"）( "$&（"）) %& ) %（& ( "，%，*，⋯，# $ %），利用运

算法，计算 $+（""）的值共需要 & 次运算，计算 $%"（"" ）

的值共需要’ ’ ’ 次运算!%%-（’",·天津）若（% $ *"）* "", ( %" ) %%" ) %*"

* ) ⋯ )%* "","

* "",（"&!），则（%" ) %% ）)（%" ) %* ）)（%" ) %+ ）

) ⋯ )（%" ) %* "",）( ’ ’ ’ ’ !（用数字作答）

%*-（’",·湖北）已知（"+* ) " $ %

+ ）# 的展开式中各项系数

的和是 %*.! 则展开式中 "# 的系数是’ ’ ’ ’ !（ 以数

字作答）

%+-（’",·湖南）（理）若（"+ ) %

!" "）# 的展开式中的常数

项为 .,，则 # ( ’ ’ ’ ’ !

%,-（’",·湖南）（文）（"* ) %" ）! 的展开式中的常数项为

’ ’ ’ ’ !（用数字作答）

%#-（’",·全国!）（" $ %

!"）. 展开式中 "# 的系数为’ ’ ’ !

%&-（’",·重庆）若在（% ) %"）# 的展开式中 "+ 的系数为

$ ."，则 % ( !%/-（’",·全国"）已知 % 为实数，（ " ) %）%" 展开式中 "/

的系数是 $ %#，则 % ( ’ ’ ’ ’ !

%.-（’",·安徽春）若（" ) %" $ *）# 的展开式中常数项为

$ *"，则自然数 # ( !%!-（’",·上海春）如图，在由二项

式系数所构成的杨辉三角形中，

第’ ’ ’ ’ 行中从左至右第 %,与第 %# 个数的比为 *0 +!

*"-（’"+·新课程）（"* $ %*"）! 展开式中 "! 的系数是’ ’

’ ’ !

*%-（’"+ 安徽春）（"* ) %,"*

) %）& 的展开式中常数项为’

’ ’ ’ !（用数字作答）

**-（’"*·河南、江苏）（"* ) %）（" $ *）/ 的展开式中 "+ 项

的系数是 !*+-（’"*·上海）在二项式（% ) +"）# 和（*" ) #）# 的展开

式中，各项系数之和分别记为 %#、’#，# 是正整数，则

123#-4

%# $ *’#

+%# $ ,’#( !

*,-（’"*·上海春）若在#!" $ %( )"

#

的展开式中，第 , 项

是常数项，则 # ( !

*#-（’"%·上海）在代数式（,"* $ *" $ #）（% ) %"*

）# 的展

开式中，常数项为 !*&-（’""·全国）在二项式（ " $ %）%% 的展开式中，系数最

小的项的系数为 !（结果用数值表示）

*/-（’""·上海春）若（!" ) %）# 的展开式中的第四项是

%"%*（% 为大于 " 的常数），则 " ( !三、解答题

%-（’"+·上海）已知数列｛%#｝（# 为正整数）是首项为 %%，

公比为 ( 的等比数列!（%）求 和：%%5

"* $ %*5

%* ) %+5

**，%%5

"+ $ %*5

%+ ) %+5

*+

$ %,5++；

（*）由（%）的结果归纳概括出关于正整数 # 的一个结

论，并加以证明；

（+）设 (,%，)# 是等比数列｛%#｝的前 # 项和，求：

)%5"# $ )*5

%# ) )+5

*# $ ),5

+# ) ⋯ )（ $ %）#)# ) %5

## !

*-（’"*·上海）规定 5*" ( "（" $ %）⋯（" $ * ) %）

*！，其中 "

&!，* 是正整数，且 5"" ( %，这是组合数 5*

#（#、* 是正

整数，且 *%#）的一种推广!（%）（理）求 5#

$%#的值；

（文）求 5+$%#的值；

—&%—

（!）（理，文 "）组合数的两个性质：

!#!" $ #" % !

" ；& & "#!" ’ #! % (

" $ #!" ’ ( #

是否都能推广到 #!$（ $&!，! 是正整数）的情形？

若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，

则说明理由；

（文）设 $ ) *# 当 $ 为何值时，#"

$

（#($）!取得最小值？

（"）（理科做）已知组合数 #!" 是正整数，证明：当 $&"，

! 是正整数时，#!$&"#

一、选择题

(+ ,& 由 $·#-. $- ’（ % (）#/

.$/ $ (-$/，0 $/ 的系数为 (-+

!+ ,& （!$ ’"!$）(!的展开式的通项为：%& ’ ( $ #&

(!（!$）(! % & ·

（"!$）& $ #&

(!·$"1 % &1 ，0 & $ 1’，’&#，2 *%&%(!，0 & $ *，

1，(!，故选 ,+ 学生做题时容易因 & 范围不清楚漏掉 & $*，(!，而选 #、3+

"+ #& 令 $ $ ( 即得二项展开式各项系数的和 (* ’ (( ’ (!

’ ⋯ ’ (" $（" % (）" $ !"，由题意知 !" $ (!.，解得 " $ 4，

故（ "$ % ("$! !

）" $（ "$ % ("$! !

）4，故 通 项 为 #&4"

4 % &

（ % (）& $4 % /" &，令 4 % /

" & $ % "，解得 & $ 1，故($"

的系数为

#14"

4 % 1（ % (）1 $ !(+-+ #& （$ ’ !）/ $ #*

/·$/ ’ #(/·!·$- ’ #!

/ ·!! ·$" ’ #"/ ·

!"·$! ’ #-/·!-·$ ’ #/

/ ·!/ $ $/ ’ (*$- ’ -*$" ’ .*$! ’.*$ ’ "!，比较系数知：$’（’ $ (，!，"，-，/）的系数不可能

为 /*，故选 #+

/#（ 理）,& 展开式通项为 %& ’ ( $ #&"（!$）" % &（ % (

$ ）& $

（ % (）&!" % &#&" · $" % !& # 选 项 5 中 若 " $ -，则 %& ’ ( $

（ % (）&·!- % &#&-$

- % !&，

当 - % !& $ % ! 时，& $ "，当 - % !& $ % - 时，& $ -，则 %- $（ % (）" ·!- %" #"

-$% ! $ % .$ % !，%/ $（ % (）-!*#-

-$% - $

$ % -，此时系数比不是 % /#

选项 , 中若 " $ 1，则 %& ’ ( $（ % (）&!1 % &#&1$

1 % !&，

当 1 % !& $ % ! 时，& $ -，当 1 % !& $ % - 时，& $ /，

则 %/ $（ % (）-!!#-1$

% ! $ 1*$ % !，

%1 $（ % (）/!(#/1$

% - $ % (!$ % -，此时系数比为 % /，所以

, 正确，同理可以验证 #、3 选项不正确#（文）5& 含 $" 的项为 #"

"（!$）"，& 含 $ 的项为 #("·!$#

由题意得 !" ·#"" $ . 6 ! 6 #(

"，即"（" % (）（" % !）

1 $ !"#

解得 " $ / 或 " $ % !（舍）#1+（理）3& 解法一& 直接计算，$" 的系数 $ % #"

/ % #"1 % #"

4

% #". $ #

"" ’ #"

- %（#"" ’ #"

- ’ #"/ ’ #"

1 ’ #"4 ’ #"

. ）$ / % #-7

$ % (!(；

解 法 二 & 由 等 比 数 列 求 和 公 式 得 原 式 $（( % $）/ %（( % $）7

( %（( % $），故 $" 系数为 #-

/ % #-7，选 3+

（文）#& $" 项系数为 #"/ % #

"1 $ % (*，选 #+

48【解析】& 本题主要考查组合数的性质及极限的基本运

算，求一个式子的极限的基本方法是先将所求的式子

化简即先进行代数运算再进行极限运算#2 #!

! $ #"" $ (，#!

" ’ #! % (" $ #!

" ’ (，

0 #!! ’ #

!" ’ #

!- ’⋯ ’ #!

" $ #"" ’ #

!" ’ #

!- ’ ⋯ ’ #!

" $ #"- ’ #

!-

’⋯ ’#!" $#

"" ’(，#

(! ’ #

(" ’ #

(- ’ #

(/ ’⋯ ’#(

" $#!" ’( %(，

9:;"-<

#!! ’ #

!" ’ ⋯ ’ #!

"

"（#(! ’ #

(" ’ ⋯ ’ #(

"）$ 9:;

"-<

#"" ’ (

"（#!" ’ ( % (）

$ 9:;"-<

（" ’ (）"（" % (）"·!·(

"［（" ’ (）"! % (］

$ (" # 0 选 ,#

.8【 解析】& 本题考查二项式定理的有关性质# 展开式中

的第 & ’ ( 项为 %& ’ ( $ #&4（!$"）4 % &·（ % (

!$）& $ #&

4 ·!4 % &

·$!( % "& % &! ·（ % (）&，由题可知：!( % "& % &

! $ * 得 & $

1# 展开式中常数项为#14·!4 %1·（ % (）1 $ (-，故选 5#

78【解析】& 本题考查二项式定理，展开式中的第 & ’ ( 项

为 %& ’ ( $ #&"（!$）" % &·（

!"!$

）& $ #&" ·! & ·$

"! % &

! ·$ % &" $

#&"·! &·$

"! % /

1 &，由题可知："! % /

1 & $ *+" $ /" &，2 "

&"，0 & 为 " 的倍数+" 为 / 的倍数，故选 ##(*8【解析】& 本题考查二项式定理# 展开式中的第 & ’ (

项为：%& ’ ( $ #&-（!$）- % &·（!$）& $#&

-·!- % &·$- % & ’&! ，由题

知：- % & ’ &! $"+& $!#则 %" $#

!-·!- %!·$"，即 $" 的系数

为：#!-·!! $- 6"! 6- $!-，故选 ##

((8【解析】& （理）本题考查二项式定理和极限的求法#（(

% !$）7 的第 " 项为 %! ’ ( $ #!7 ·（ % !$）! $ !..+$ $ "

!

—4(—

+ !! " #

$ + %&’"1(

（!! ) !

!#) ⋯ ) !

!" ）

" %&’"1(

#$［! *（ #

$ ）"］

! * #$

" %&’"1(

#［! *（ #$ ）"］" #，故选 +#

!#,【解析】- （ 文）本题考查二项式定理的应 用#（ ! *$! ）. 展 开 式 中 的 第 % ) ! 项 为 &% ) ! " /%

. · !. * % ·

（ * $! ）% " /%

.（ * $）%·!. * #%+当 % " 0 时表示常数项，

即 /0.（ * $）0 " ! !#1+$0 " !2，则 $ " 3 #+展开式中

各项系数和为：!）当 $ " * # 时，令 ! " ! 可得（! ** #! ）. " $.；"）当 $ " # 时，令 ! " ! 可得（! * #

! ）. "

!# 综上，故选 /#二、填空题

!#（理）24#- （#! * !

!!）5 的展开式中第 % ) ! 项为 &% ) ! "

/%5（#%）5 * %（ * !

!!）% " /%

5#5 * %（ * !）% !5 * $%

# ，当 5 * $%# " 1

时，即 % " 2 时，为常数项，其值为 /25#

$（ * !）2 " 24##

（文）41 - （ ! * !! ）. 的展开式中第 % ) ! 项为 &% ) ! "

/%.!

. * %（ * !! ）% " /%

.（ * !）% !. * #%，所以当 . * #% " 1，即 %

" 0 时，为常数项，其值为 /0.（ * !）0 " 41#

#6 * !21 - 由 &% ) ! " /%2（ * #!）% !

2 * #%# ，令 2 * #% " 1，则 % " $，

所以常数项为 /$2（ * #）$ " * !216

$6 3!## - /$789:

#! "/!0·（

70 ）*!，; 89:#! " !

# ，则 89: ! " 3!## 6

0, $7 由题意得 !#项的分数为：/## ) /#

$ ) /#0 ) /#

7 ) /#2 " $76

76（理） !2$ ## - （

!# ) !

! !) #）7 " !!# ) !

!( )!

!1

，

展开后的常数项为：/ 7!1（

!

!#）7 " 2$

# !# 6

（文）$.- 展开式整理后的常数项为各式常数项之和6即 / $

0·（ * #）$ ) / 0. " $.6

2#（理）* !# - （! * $）!1 的展开式中，/4

!1 !4（ * $）$ " !7，解

得 $ " * !# #

46（理）4" * !2 - （! ) 2）" " /1

" ) /!"2 ) /#

"2# ) /$

"2$ ) ⋯ )

/""2

" " /1" ) 2（/!

" ) /#"2 ) /$

"2# ) ⋯ ) /"

"2" * !）6

所以 /!" ) /#

"2 ) /$"2

# ) ⋯ ) /""2

" * ! " 4" * !2 6

（文）#!1- 由通项公式 &% ) ! " /%!1（ !

!$ ）" * %（ * ! * !

# ）% "

/%!1（ * !）% !

#1 * 7%2 ，令

#1 * 7%2 " 1 即 % " 0，所以常数项为 &7

" /0!1（ * !）2 " #!16

.# #01 - 通 项 &% ) ! " /%2（# !!）2 * %（ * !

! ）% "（ * !）%/ %2

（#）2 * % !2 * $%# ，由 2 * $% " 1 得 % " #，故常数项为 &% ) ! "

（ * !）#/#2（#）0 " #01#

56 !7- 设（! * !

!!）2 展开式的常数项为第 % ) ! 项，则 &% ) !

" /%2!

2 * %（ * !

!!）% "（ * !）%/%

2!2 * % * !

# %，

令 2 * % * !# % " 1，得 % " 0，; 常数项为 &7 " /0

2 " !76

!16（理）"（" ) $）

# - #"

（!）< ’$（!1）" $1!$1 ) $!!

#1 ) $#!1 ) $$，则 !(

1 需 ( * ! 次

乘法，而 )$（!1）共需 2 次乘法 $ 次加法，- ; $1!$1 有 $

次乘法 $!!#1 有 # 次乘法，$#!1 有 ! 次乘法，即 $(!

" * (共

有（" * (）次 乘 法 而，)"（ !1 ）" $1!"1 ) $!!

" * ! ) ⋯ )$(!

" * ( ) ⋯ ) $" 共有运算 " ) " * ! ) ⋯ ) " * ( ) ⋯ ) !

) " " "（" ) !）# ) " " "（" ) $）

# #

（#）< ’$（!1）" !1)#（!1）) $$ " !1［!1)!（!1）) $#］) $$

" !#1)!（!1）) $#!1 ) $$ " !#1［!1)1（!）) $!］) $#!1 ) $$

" !$1)1（!）) $!!#1 ) $#! ) $$

" $1!$1 ) $!!

#1 ) $#! ) $$ #

同理 )"（!1）" $1!" ) $!!

" * ! ) ⋯ ) $" * !! ) $" #< ’$（!1）需 2 次运算，; 可推得 )"（!1）需 #" 次运算#

- （文）27- #1- （解题过程同理）

!!,【解析】- 本题考查函数的性质# 令 *（!）"（! * #!）# 110

" $1 ) $!! ) $#!# ) ⋯ ) $# 110 !

# 110（ !&!），由（! *#!）# 110展开式中，$1 " *（1）" !，其中 *（ !）的项数为

# 117项+ *（!）"（ * !）# 110 " $1 ) $! ) $# ) ⋯ ) $# 110

+（$1 ) $! ）)（ $1 ) $# ）)（ $1 ) $$ ）) ⋯ )（ $1 )$# 110 ）"（ $1 ) $! ) $# ) ⋯ ) $# 110 ）) # 11$$1 " ! )# 11$ " # 110#

!#,【解析】- 本题考查二项式定理的应用# 由题可知，#"

"!#.+" " 4，则展开式中第 % ) ! 项为 &% ) ! " /%4 ·

（!$# ）4 * %·! * !

$ % " /%4·!

$#（4 * %）* !

$ %+ $#（4 * %）* !

$ % " 7

得 % " $，则 !7 系数为/$4 " $7#

!$,【解析】- （理）本题考查二项式定理的应用# 展开式中

的第 % ) ! 项 为：&% ) ! " /%"（ !$ ）" * % ·（

!

!! !）% " /%

" ·

!$" * $% * $# %，由 $" * $% * $

# % " 1 时，" " $# %，又 /%

" " .0，

由以上两式可解得 " " 5，% " 2#!0,【解析】- （文）本题考查二项式定理的应用# 展开式中

的第 % ) ! 项为 &% ) ! " /%5·（!#）5 * %·! * % " /%

5·!!. * $%+

—.!—

!" # $! % &+! % ’，则常数项为 (’) %

) * " * +$ * , % "-"

!./【解析】0 本题考查二项式定理" 则（# # !

!#）" 的第 ! 1

! 项为 $! 1 ! % (!" · #" # ! · # # !

,（ # !）! % (!"（ # !）! ·

#" # $, !，当 " # $

, ! % . 时，得 ! % ,，则 #. 系数为

(,"（ # !）, % + * "

, % ,""

!’/【解析】0 （! 1 %#）. % (&. 1 (!

.%# 1 (,.（%#）, 1 ($

.（%#）$

1 (-.（%#）- 1 (.

.（%#）. "($

.%$#$ % # "&#$+($

.%$ % # "&+!&%$ % # "&+%$ % # "

+% % # ,，故填 # ,"!+/【解析】0 本题考查二项式定理，展开式中的第 ! 1 !

项为 $! 1 ! % (!!&·#!& # !·%!，易知：! % $ 时，得 #+ 的系数

为：($!&%

$，故 ($!&%

$ % # !.+%$ % # !" +% % # !

, "

!"/【解析】0 本小题主要考查把“ 三项式”的问题通过转

化变型以后，用二项式定理的知识解决" 考查了变型

与转化的数学思想" 最后在解方程 (&,& % ,& 时，考查了

估值计算"

（# 1 !# # ,）& %［（# # !）,

# ］& %（# # !）,&

#& " 上述式子展

开后 常 数 项 只 有 一 项：(&,&（ # !）& " 则 (&

,&（ # !）& %# ,&，即 (&

,& % ,&，得 & % $"!)/【解析】0 本题考查杨辉三角与二项展开式的系数之

间的关系，由题可设第 & 行的第 !- 个与第 !. 个数的

比为 ,2 $，就等于二项展开式的第 !- 项和第 !. 项的

系数 比 + (!$& 2 (!-

& % , 2 $，即&！

（& # !$）！·!$！2

&！（& # !-）！·!-！

% ,2 $+ !-& # !$ % ,

$ ，解之得，& % $-"

,&/【解析】0 （#, # !,#）) 的展开式中，$! 1 ! % (!

) ·（ #, ）) # !

·（ # !,# ）! %（ # !

, ）!(!)#

!" # ,! # # ! %（ # !, ）! ·

(!)#

!" # $!，由题意得 !" # $! % )，3 ! % $，因此 #) 的系数

为（ # !, ）$·($

) % # !" ·

)·"·+$·,·! % # ,!

, "

,!/【解析】0 解 法 一：（ #, 1 !-#,

1 !）’ %（ #, 1 !-#,

）’ 1

(!’（#, 1 !

-#,）. 1 (,

’（#, 1 !-#,

）- 1 ($’（#, 1 !

-#,）$ 1 (-

’（#,

1 !-#,

）, 1 (.’（#, 1 !

-#,）1 !，

常数项为 ($’（#,）$（

!-#,

）$ 1 (,’(

,-（#,）,（

!-#,

）, 1 (-’(

!,#

,

·!-#,

1 ! % ,$!!’ "

解法二：（#, 1 !-#,

1 !）’ %（,#, 1 !）!,

,!,#!,，由于（,#, 1 !）!,

展开 式 中 含 #!, 的 项 为：$’ 1 ! % (’!,（,#, ）!, # ’ ·!’ %

,’(’!,#

!, " 所以，原式常数项为(’

!,

,’ % ,$!!’ "

,,/【解析】0 本题主要考查二项式定理的应用和基本计

算技能" 解答时，先将二项式（# # ,）+ 展开，再应用两

个多项式相乘的运算法则，可得原式展开式中各项的

系数表达式" 然后，进行组合数的计算和四则运算可

求得系数值" 所求系数为 %$ % (!+（ # ,）’ 1 ($

+（ # ,）- %

!’ *（+ * - 1 + * ’ * .! * , * $）% !’ *（," 1 $.）% ! &&""

【说明】0 作为代数填空题，这是一道典型的计算题，

对公式应用和数值计算都有一定要求，而且难度的把

握适中，在贴近基础知识的前提下，不过于单薄，也不

至于复杂纷繁，有较高的区分度",$/【解析】0 本题主要考查二项式定理，多项式的系数和

等基本知识，以及极限的基本运算技能" 由二项式定

理，得：%& % -&，’& % +

& "

3 456&-7

%& # ,’&

$%& # -’&% 456

&-7

-& # ,·+&

$·-& # -·+& % 456&-7

（-+ ）& # ,

$·（-+ ）& # -

% !, "

,-/【解析】0 8 $- % ($&（

.!#）& # $（ # !

# ）$ % ($&（ # !）$#

& # !".

为常数项，3 & # !". % &，即 & % !""

,./【解析】0 # .(&.!

.（!#,

）& 1 -#,·(!.!

-（!#,

）! % # . 1 ,&

% !.",’/【解析】0 解法一：因为在（ # # !）!! 的展开式中，各项

的二项式系数与系数相等或互为相反数，又展开式中

二项式系数最大的项有两项，分别为第六项 (.!! #

’ ·

（ # !）.，第七项 (’!!#

.（ # !）’，所以得系数最小的项的

系数为 # (.!! % # -’,"

解法二：展开式中第 ! 1 ! 项为 (!!! #

!! # !（ # !）!，要使项

的系数最小，则 ! 为奇数，且使 (!!! 为最大，由此得 ! %

.，所以项的最小系数为 (.!!（ # !）. % # -’,"

,+/【解析】0 8 $- % ($.（!#）,%$ % !&%$# % !&%,，

3 # % !% "

三、解答题

!/【 分析】0 本题主要考查等比数列的知识和运算，考查

二项式定理的应用及分析能力、运算能力和归纳能力"【解析】0 （!）%!(

&, # %,(

!, 1 %$(

,, % %! # ,%!( 1 %!(

, %%!（! # (）,，%!(

&$ # %,(

!$ 1 %$(

,$ # %-(

$$ % %! # $%!( 1

$%!(, # %!(

$ % %!（! # (）$ "

—)!—

（!）归纳概括的结论为：若数列｛!" ｝是首项为 !"，公比

为 # 的等比数列，则 !"#$" % !!#

"" & !’#

!" % !(#

’" & ⋯ &

（ % "）"!" & "#"" ) !"（" % #）"，" 为正整数$

证明：!"#$" % !!#

"" & !’#

!" % !(#

’" & ⋯ &（ % "）"!" & " #

"" )

!"#$" % !"##

"" & !"#

!#!" % !"#

’#’" & ⋯ &（ % "）"!"#

"#"" )

!"［ #$" % ##"

" & #!#!" % #’#’

" & ⋯ &（ % " ）"#"#"" ］

) !"（" % #）" $

（’）因为 %" )!" % !"#

"

" % # ，所以 * %"#$" % %!#

"" & %’#

!" %

%(#’" & ⋯ &（ % "）"%" & " #

"" )

!" % !"#" % # #$

" %!" % !"#

!

" % # #"" &

!" % !"#’

" % # #!" & ⋯ &（ % "）" !" % !"#

" & "

" % # #"" )

!"

" % #［#$" % #"

"

& #!" % #’

" & ⋯ &（ % "）"#""］%

!"#" % #［#$

" % ##"" & #!#!

" %

#’#’" & ⋯ &（ % "）"#"#"

"］)!"## % "（" % #）" $

【说明】* 本题设计新颖，从等比数列与二项式定理两

个方面综合考查了考生综合运用所学数学知识分析问

题和解决问题的能力，体现了学科内的综合，这一特点

也是今后高考命题的趋势$!+【分析】* 本题主要考查组合数公式的应用，组合数的

性质，同时还考查了运用基本不等式求函数最值的知

识，在解题时应紧扣定义，第（"）问不难求解，题目的设

计者一方面是希望这个简单问题能让考生得到基本分

数，提高解题信心，另一方面又从不同角度考查了考生

对组合数公式的理解，对组合数的计算能力$ 第（!）问

要特别注意 " 的取值范围$（文）要从函数的角度加以理解：要求它的最小值，应先

将它的表达式化简$ 在解第（’）问时要注意应用分类讨

论的数学思想，使问题简化$

【解析】* （"）（ 理）#,%", )（ % ",）（ % "-）⋯（ % ".）

,！)

% #,". ) % "" -!/$

（文）#’%", )

（ % ",）（ % "-）（ % "0）’！

) % -/$$

（!）（理，文 ’）性质!不能推广$ 例如当 & !) !时，#"!! 有

定义，但 #!! % "!! 无意义；性质"能推广，它的推广形式是

#’& & #’ % "

& ) #’& & "，&&!，’ 是正整数，事实上，当 ’ ) "

时，有 #"& & #$

& ) & & " ) #"& & "，当 ’$! 时，#’

& & #’ % "& )

&（& % "）⋯（& % ’ & "）’！

& &（& % "）⋯（& % ’ & !）（’ % "）！

)

&（& % "）⋯（& % ’ & !）（’ % "）！

（& % ’ & "

’ & " ） )

&（& % "）⋯（& % ’ & !）（& & "）’！

) #’& & " $

#’&

（#"&）! )

&（& % "）（& % !）

-&!) "-（& & !

& % ’）$ 1 & 2 $，& &

!& $ !! !，当且仅当 & !) !时，等号成立，3 当 & !) !时，

#’&

（#"&）!取得最小值$

（’）当 &$’ 时，组合数 #’&&"$ * 当 $%& 4 ’ 时，#’

& )$&"$ 当 & 4 $ 时，1 % & & ’ % " 2 $，

3 #’& ) &（& % "）⋯（& % ’ & "）

’！

)（ % "）’（ % & & ’ % "）⋯（ % & & "）（ % &）’！

)（ % "）’#’% & & ’ % "&"$

【说明】* 本题对考生的理解能力、运算能力、推理能

力、分析能力要求较高，题目新颖，设计巧妙且有梯度、

具有较高的区分度，这种设计能真正考查到考生思维

的条理性、深刻性以及数学能力$在解本题时应注意以下几点：

（"）紧扣题中定义，离开题目的规定，凭空理解 #,%", 是

没有意义的$（!）本题对考生的运算技能要求较高，考生在备考时应

充分注意这一点，较高的运算技能是取得好成绩的

保证$

一、选择题

* * * * * * * * * * * * * * * * * * *"+（’$, 海淀高三第一学期期末练习 /）

（文）在（&! % "

’!&

）" 的展开式中，只有第 , 项的二项式

系数最大，则展开式中常数项是

5$ % 0 6$ 0 #$ % !/ 7$ !/

!+（’$, 石家庄部分学校高三统一考试 !）

在（& & (）" 展开式中第 ( 项与第 / 项的系数相等，则展

开式里系数最大的项是

5+ 第 , 项 6+ 第 - 项

#+ 第 ,、- 项 7+ 第 -、0 项

’+（’$, 成都部分高中毕业班质量检测 ,）

—$!—

（!!" # $）! 的展开式中有且仅有 % 个有理项，则最小自

然数 ! 等于

&’ $$ (’ $" )’ $! *’ $++’（’,% 武汉部分重点中学高三统一考试 -）

若（$ . !" # ""）% / #, # #$" # #""" # ⋯ # #$, "

$,，则 #$ ##" # ⋯ # #$,等于

&’ $ (’ . $ )’ " *’ . "%’（’,% 福州高中毕业班综合测试卷 %）

在（$ # "）! #（$ # "）+ # ⋯ #（$ # "）" ,,% 的展开式中，"!

的系数等于

&’ )+" ,,% (’ )+

" ,,- )’ )!" ,,% *’ )!

" ,,-

-’（’,+ 天津和平区高中质量检测 0）

（理）设 $ #（$ # "）" #（$ # ""）" #（$ # !"）" # ⋯ #（$

# !"）" / #, # #$" # #"""，则 123

!-4

#",

#$的值为

&’ $ (’ " )’ $" *’ ,

（文）若 #$（" . $）+ # #"（ " . $）! # #!（ " . $）" # #+（ " .$）# #% / "+，则 #" # #! # #+ 等于

&’ $+ (’ $" )’ $, *’ 05’（’,+ 重庆高三联合诊断性考试〈第二次〉5）

在（#" # $）5 的展开式中，"! 项的系数是 "" 项系数与 "%

项系数的等比中项，则 # 值为

&’ !$,% (’ "%6 )’ %

! *’ "%!

0’（’,+ 东北三校高三第二次联合考试 %）

（理）设复数 $ / $ # 2$ . 2 #（$ . 2）"，则（$ # $）5 展开式的第

五项是

&’ . "$ (’ !% )’ . "$2 *’ . !%2（文）若（$ # %"）- / #, # #$" # #""

" # ⋯ # #-"- 且 #$ # #"

# #! # ⋯ # #- / -!，则实数 % 的值为

&’ $ (’ . $ )’ . ! *’ $ 或 . !6’（’,+ 黄冈中学高三 + 月份模考 6）

（理）若 )!! # $"! / )! # -

"! （!&!.），且（! . "）! / #, # #$" ##""

" # ⋯ # #!"!，则 #, . #$ # #" . ⋯ #（ . $）!#! /

&7 "%- (7 $!- )7 $", *7 $-（文）设（! . "）! / #, # #$" # #""

" # ⋯ # #!"!，若 ! / +，

则 #, . #$ # #" # ⋯ #（ . $）!#! /&7 "%- (7 $!- )7 $", *7 $-

$,’（’,+ 合肥高三第三次教学质量检测 -）

若（!#" . # . $! ）! 展开式中含有常数项，则正整数 ! 的

最小值是

&’ % (’ - )’ 5 *’ 0$$’（’,+ 江苏四市高三教学情况调查 -）

设二项式（! !!" # $

" ）! 的展开式的各项系数的和为

&，所有二项式系数的和为 ’( 若有 & # ’ / "5"，则 !等于

&7 + (7 % )7 - *7 0$"’（’,+ 苏州高三教学调研测试 $$）

令 #! 为 )!（ "）/（$ # "）! # $ 的展开式中含 "! 项的系

数，则数列｛#!｝的前 ! 项和为

&’ !（! # $）" (’（! # $）（! # "）

"

)’ !（! # !）" *’ ! # $

$!’（’,! 辽宁部分重点中学高三年级联合测试 $$）

将二项式（!" #$

" +!"

）! 的展开式按 " 的降幂排列，若前

三项系数成等差数列，则该展开式中 " 的幂指数是整

数的项共有

&’ $ 项 (7 ! 项 )7 % 项 *( 5 项

$+’（’,! 黄冈中学高三 % 月模考 -）

在（$ # "）% #（$ # "）- #（$ # "）5 的展开式中，含 "+ 项

的系数是等差数列 #! / !! . % 的

&’ 第 " 项 (’ 第 $$ 项

)’ 第 ", 项 *’ 第 "+ 项

$%’（’,! 湖北八校第二次联考 %）

设 )（"）/ $ # " #（$ # "）" # ⋯ #（$ # "）! 的展开式中

" 项的系数为 *!，则 123!14

*!

!" # !

&’ $0 (’ $

+ )’ $" *’ $

$-’（’,! 郑州高中毕业班第二次质量预测 5）

在（$ # "）! 的展开式中，奇数项之和为 +，偶数项之和

为 ,，则（$ . ""）! 等于

&’ , (’ +,)’ +" . ," *’ +" # ,"

$5’（’,! 合肥高三第二次抽样考试 $,）

在（" # $）（"" # $）⋯（!" # $）（!&!.）的展开式中一

次项系数为

&’ )"! (’ )"

! # $

)’ )! . $! *’ $

" )!! # $

$0’（’,! 南通高三第二次调研考试 $"）

定义2!

- / .#- / #. # #. # $ # #. # " # ⋯ # #!，其中 .，!&!，且

.%!( 若 )（"）/2",,!

- / ,（ . $）-)-

",,!（! . "）- /2",,!

. / ,#."

",,! . .，则

2",,!

- / $#- 的值为

&7 " (7 , )7 . $ *7 . "$6’（’,! 南昌高三第一次调研测试卷 5）

（理）已知（"" .!"" ）6（"&"）展开式的第 5 项为"$+ ，则

—$"—

!"#!1$

（" % "& % ⋯ % "!）的值为

’( )* +( ,

* -( . )* /( . ,

*

二、填空题

,0（’12 辽宁高三年级五校联考试卷 ,3）

已知2!

# 4 $%# 4 %$ % %$ % , % ⋯ % %!（ 其中 $，!&!，1%$ 5

!），若 &（"）42!

# 4 1（ . ,）#-#

!（) . "）# 42!

# 4 1%#"

! . #，则2!

# 4 ,%# 4

6 6 6 6 ’&0（’12 郑州高中毕业班第一次质量预测题 ,)）

若（, . "）2 4 %1 % %," % %&"& % %)"

) % %*"* % %2"

2，则 %1 .%, % %& . %) % %* . %2 4 6 6 6 6 ’

)0（’12 济南高三调研卷 ,2）

$ 为大于 , 且小于 ,1 的正整数，若（ ") . ,"&

）$ 的展开

式中有不含 " 的项，满足这样条件的 $ 有6 6 个’*0（’12 广东部分重点中学高三综合测试 ,&）

设二项式（) )!" %

," ）! 的展开式的各项系数的和为 (，

所有二项式系数的和为 )，若 ( % ) 4 , 123，则 ! 等于66 6 ’

20（’1* 长春高中毕业班第二次调研测试 ,)）

（"& % ,）（" . &）7 4 %1 % %,（" . ,）% %&（" . ,）& % %)（" .,）) % ⋯ % %,,（" . ,）,,，则 %, % %& % %) % ⋯ % %,, 的值为

6 6 6 6 ’30（’1* 武汉高三 * 月调研考试 ,*）

（, % " % "& % ") % "* ）（" . ,）,1 展开式中 "2 项系数是66 6 6 ’

80（’1* 济南 * 月高三统一考试 ,)）

已知数列｛%! ｝的通项公式为 %! 4 &! . , % ,，则 %,-1! %

%&-,! % %)-

&! % ⋯ % %! % ,-

!! 4 6 6 6 6 ’

90（’1* 南通高三第一次调研考试 ,2）

若（, % " % ,")

）,1 4 !*1

# 4 1%#"

,1 . #，则 %,1 4 ’

70（’1* 南昌高三第二次调研测试卷 ,*）

若（)!" .

)

!"）! 的展开式的各项系数之和为 . )&，那么展

开式的常数项为6 6 6 6 ’,10（’1* 南昌高三第一次调研测试卷 ,)）

（文）若（)" . ,）!（!&!.）展开式中各项系数之和为

,&9，则展开式中 "& 的系数为 ’,,0（’1* 泉州高中毕业班高考模拟 ,3）

（理）已知 * 4 , . ( 及 +-+! 4 !-+ . ,

! . ,（ + 4 1，,，&，⋯，!），

则-1!(

1*! % &-,!(*

! . , % )-&!(

&*! . & % ⋯ %（! % ,）·

-!!(

!*1的化简结果可用 !、( 表示为 ’

（文）若（" % )

!"）! 的展开式的第 8 项是常数项，则自

然数 ! 的值为 ’,&0（’1) 东北三校高三第一次联合考试 ,*）

若（"& % ,"&

）! 的展开式中，只有第四项的系数最大，那

么这个展开式中的常数项是 ’,)0（’1) 太原高三模拟考试 ,2）

若（" %,）! 4 "! %⋯ % %") % ,"& % -" %,（!&!.），且%: , 4): ,，那么 ! 4 6 6 6 6 ’

,*0（’1) 山东淄博高三模拟考试 ,)）

（" . ,）（") % )·"& ·& % )·"·&& % &) ）) 的展开式中

含 "2 的项的系数为6 6 6 6 ’（用数字作答）

,20（’1) 合肥高三第二次抽样考试 ,2）

若（& . "）,1 4 %1 % %," % %&"& % ⋯ % %,1 "

,1，则 !;<&%1 %!;<&%9 . !;<&*2 4 6 6 6 6 ’

,30（’1) 连云港高三第二次调研考试 ,*）

若 -&! % 3&1 4 -! % &

&1 （!&!.），（& . "）! 4 %1 % %," % %&"& %

⋯ % %!"!，则 %1 . %, % %& . ⋯ %（ . ,）!%! 4 6 6 6 6 ’

三、解答题

（’12 大连育明高中毕业班模拟考试 &&）

（理）由坐标原点 . 向曲线 / 4 ") . )%"& % ,"（%,1）引切

线，切于 . 以外的点 0,（",，/,），再由 0, 引此曲线的切线，

切于 0, 以外的点 0&（ "&，/& ），如此进行下去，得到点列

｛0!（"!，/!）｝’ 求：

（,）"! 与 "! . ,（!$&）的关系式；

（&）数列｛"!｝的通项公式；

（)）当 !-$ 时，0! 的极限位置坐标’

一、选择题

,0（文）+6 = 只有第五项二项式系数最大，故!& % , 4 2，

即 ! 4 9’ > 展开式中常数项为第七项为 -39 ·（

,& ）& 4

8，故选 +’&0 +6 依题意有 -)

! 4 -8!，从而 ! 4 8 % ) 4 ,1，展开的 ,, 项

中，中间项第 3 项最大，选 +’【评析】6 解题的关键在于熟悉二项式系数的性质：

在（" % /）! 展开式中，第 1 项的二项式系数为 -1 . ,! ，

且中间项的二项式系数最大’ 另外还要注意组合数

—&&—

性质 !!" " !" # !

" 的运用，本题中展开式的系数等于

展开式的二项式系数#

$% &’ (（$!) * +）" "（+ * $

!)）"，设 $% * + " !%")

%$ 为有理项，

则% " $&，且 ,%%%"，"&!# - 要求 " 的最小值，只要

求出 % 的最大值即可# 又( 只有 . 个有理项，- & ",，+，)，$，/# - %012 " +)，从而 "034 " +)# 故选 &#

【评析】’ 本题以二项展开式中的有理项为突破口，

先用展开式的通项公式求出 $% * + " !%")

%$ ，找到 % 与

" 的关系后，因为求的是 " 的最小值，故而利用最值

代替的思想去求 % 的最大值，使得问题转化为简单

易求的常见问题#/% 5’ 令 ’ " + 得 (, * (+ * () * ⋯ * (+, " # +，令 ’ " , 得 (,

" +，- (+ * () * ⋯ * (+, " # )#【评析】’ 解这类题要注意技巧的运用#

.% &’ 原式 "（+ * ’）$［+ #（+ * ’）) ,,$］+ #（+ * ’）

" #（+ * ’）$ *（+ * ’）) ,,6

’ ，即求（+ * ’）) ,,6 中 ’/ 的

系数，为 !/) ,,6 #

【评析】’ 解题思路：对于含因式数列应用等比数列

求和公式，将因式处理成最简形式，再处理 ’$ 的系

数；也可以分别对每一项处理 ’$ 的系数，再应用组

合数公式 !" # +! * !"

! " !"! * +，求得最简结果#

6%（理）7’ 考查极限的求法# 由题可知，当 ’ " , 时，(, " "* +，(+ " ) 8 + * ) 8 ) * ) 8 $ * ⋯ * ) 8 " " )（+ * ) * ⋯

* "）" ) 8 + * ") 8 " " "（" * +）+ 930

"-:

(),

(+" 930

"-:

（" * +）)

"（" * +）

" 930"-:

" * +" " +# 故选 7#

（文）7’ 本题考查函数的综合应用# 令 )（ ’）" (+（ ’ #+）/ * ()（’ # +）$ * ($（’ # +）) * (/（’ # +）* (. " ’/+(+

" +，)（+）" (. " +，)（)）" (+ * () * ($ * (/ * (. " )/+()

* ($ * (/ " )/ #（(+ * (.）" +6 # ) " +/# 故选 7#

;% &’ 本题考查二项式定理# 第 & * + 项为：!&; ·（(’）; # & "

!&; · (; # & · ’; # &，’$ 项 系 数 为 !/

;($，’) 的 系 数 为

!.;(

)，’. 系数为 !);(

.，由条件知（!/;(

$ ）) " !);(

. ·

!.;(

)，解之得 ( " ).< # 故选 &#

=%（理）&’ 先化简 * " # 3，(（+ * *）; 的展开式第五项为

!/; *

/ " !/;·（ # 3）/ " $.# 故选 &#

（文）5’ 令 ’ " ,，故（+ * ,）6 " (,，- (, " +；令 ’ " +，故

（+ *!）6 " (, * (+ * () *⋯ * (6，且因 (+ * () * ($ *⋯ * (6"6$，即（+ *!）6 " + * 6$，解得 ! " + 或 # $，故选 5# 注：

（文）题中得出（+ * !）6 " 6/ 后，因指数为偶数，故可知

答案不止 + 个，直接选 5#<%（理）7’ " " /，在展开式中令 ’ " # + 得 (, # (+ * () #

($ * (/ " // #

（文）7’ 在展开式中令 ’ " # + 得 (, # (+ * () # ($ * (/

" // #

+,% !’ 本题考查二项式定理#（$() # ( # +$ ）" 的展开式中的

第 % * + 项为 !%"·（$()）" # %·（ # ( # +

$ ）% " !%" ·$" # %

·（ # +）%·()（" # %）# %$ ，满足题中条件为：)（" # %）#

%$ " ,+" " ;

6 %，则 " 的最小值为 % " 6 时，即 " " ;，

故选 !#++% 7’ 本题考查二项式定理及其有关的综合应用，考生应

该注意的是：各项系数的和与二项式系数的和为两

个不同的概念# 若（$ $!’ * +

’ ）" " (, * (+’ * ()’) *

⋯ * ("’"，有 + " (, * (+ * () * ⋯ * ("，, " !,

" * !+"

* ⋯ * !"" " )

"，令’ " +得 + " /"，又 , * + " );)+)"

* /" " );)+（)" * +;）（)" # +6）" ,+)" " +6 或 )"

" # +;（舍去），- " " /，故选 7#+)% !’ 本题考查二项式定理以及数列的性质# 含 ’" 的项

为 !"" * +·’"，则其系数为 !"

" * ++(" " " * +，则 ," "(+ * ("

) ·" " ) *（" * +）) ·" " +

) "（" * $），故选 !#

+$% &’ !," * !

)"（

+) ）) " )!+

"（+) ）++" " =，

+) ’ # +

/（= # ’）

&"+’ " ,，/，=+/% !’ ’/ 的系数：!+

. * !)6 * !$

; " ..，由 (" " $" # . " ..，得

" " ),

+.% !’ 由等比数列得 )（ ’）"（+ * ’）#（+ * ’）" * +

’ 则系数

取决于 #（+ * ’）" * +

’ ，由二项式定理知（+ * ’）" * + 的

’ 的平方项系数为 !)" * + ’

)$" " !)" * +，则 930

"-:

$"

") * ""

930"-:

（" * +）8 "（") * "）8 )

" +)

+6% !’ （+ # ’) ）" "（+ * ’）"（+ # ’）" "（ - * .）（ - # .）

" -) # .)

+;% &’ 一次项系数为 +"（+ * ) * ⋯ * "）" "（" * +）) " !)

" * +

+=% 5’ 2),,$

/ " ,(/ ’

),,$ # / "2),,$

& " ,（ # +）&!&

),,$（$ # ’）& " #（ # + * $

# ’）),,$，取 ’ " +，2),,$

/ " ,(3 " #（ # + * $ # +）),,$ " # +，

- 2),,$

& " +(& "2

),,$

/ " ,(/ # (, " # + # + " # )

+<%（理）5’ ’ " # +$ ，- 930

"-:（’ *’) *⋯*’"）"

# +$

+ * +$

" # +/

二、填空题

+%（ # +）" # +’ 二项式定理逆用，据所设 )（’）"［+ *（’ #$）］" "（’ # )）"，易得答案 %

—$)—

!" #!$ 令 ! % & ’ 得 "( & "’ ) "! & "# ) "* & "+ %［’ &（ & ’）］+ % #!#

#" ’$ $% ) ’ %（ & ’）%,%&!

#& & +%，要使二项式展开式不含 !

项，须 #& &+% %(，- & % +# %，当 % %# 时，& %+，当 % %. 时，

& %’(，⋯$ / ’ 0 & 0 ’(，且 &&!.，- 满足条件的 &只有一个，即 & % +#

【评析】$ 本 题 中 由 二 项 式 的 通 项 的 展 开 式 $% ) ’ %（ & ’）%·,%

&!#& & +%，展开式不含 ! 项，须使 #& & +% % (，

- & % +# %，再对所得的不定方程进行讨论得 & % +#

*" +$ 考查二项式定理# 当 ! % ’ 时，得各项系数和 ’ % *(；

同时二 项 式 系 数 和 为 ) % !( # 由 已 知 易 得 *( ) !( %’ (+.，即（!(）! ) !( & ’ (+. % (，得 !( % #! 或 & ##，从而

得 ( % +#+" !$ 令 ! % ’，得 ! 1（ & ’）% "( $ !，令 ! % !，得（!! ) ’）

·( % "( ) "’ ) ⋯ ) "’’"，联立!"知 "’ ) "! ) ⋯ ) "’’

% !#." & ’!2$ 本题考查二项式定理及综合应用# 由题可观察

出 !+ 的系数为（’ & !）’( 展开式的第 ! 项起到第 . 项，

关于 ! 五 项 系 数 的 和：& ,3’( ) ,4

’( & ,2’( ) ,.

’( & ,+’(

% & ’!2#2" !( ) #( $ 本题是二项式定理的应用，"’,

(( ) "!,

’( ) ⋯ )

"( ) ’,(( %（!( ) ’）,(

( )（!’ ) ’）,’( )（!! ) ’）,!

( ) ⋯ )（!( ) ’）,(

( %（!(,(( ) !

’,’( ) !!,!

( ) ⋯ ) !(,((）)（,(

( ),’

( ) ,!( ) ⋯ ) ,(

(）% #( ) !( #4" !’($ 本题考查二项式定理的应用，由题易知 "’(为展开

式中的常数项# 由（’ ) ! ) ’!#

）’( %［’ )（ ! ) ’!#

）］’( %

,(’( ) ,’

’(（! ) ’!#

）’ ) ⋯ ) ,*’(（! ) ’

!#）) * ) ⋯ ) ,’(

’(（! )

’!#

）’(（(%*%’(，*&"）展开式中的第 * ) ’ 项为 ,*’(（!

) ’!#

）) * % ,*’(（,(

’(!* ) ,’

* !* & ’（

’!#

）’ ) ⋯ ) ,&* ·!* & & ·

! & #& ) ⋯ ) ,**!

& #*）（其中 (%&%*，&&#）上式中的常

数项必满足 * & *& % (，即 * % *&，则 & % ( 或 & % ’ 或 &% ! 为常数项，5）& % ( 时为 ,’(

’(，55）& % ’ 时，* % *，常数

项为 ,*’(·,’

*，555）当 & % ! 时，* % 4，常数项为 ,4’( ·,!

4，

综上，展开式中的常数项为 ,(’( ) ,*

’(,’* ) ,4

’(,!4 % !’(#

3" 3($ 本题考查二项式定理的有关运算# 由题知令 ! % ’可得，各项系数和（’ & #）( % & #!，得（ & !）( %（ & !）+，

得 ( % +，展开式中的第 % ) ’ 项为：,%+（

#!!）+ & %·（ & #

!!）%

% ,%+·!

+# & %

# ·（ & #）% ·! & %! % ,%

+（ & #）% ·!+# & %

# & %! ，令

+# & %

# & %! % ( 可得 % % !，则常数项为：,!

+（ & #）! %

* 1 +! 1（ & #）! % 3(#

’("（文）& ’43$ 由题意，得$ !( % ’!4，( % 2，- !! 项的系

数为 ,+2（#!）!·（ & ’）+ % & ’43#

’’"（ 理）’ ) (’ $ 考 查 二 项 分 布# 由 *,*(’

*+( & * % (,* & ’( & ’

’*+( & * % (’ ·［ ,* & ’( & ’ ’* & ’ · +（( & ’）&（* & ’）］，,! % ’ ·

,’(’+

( & ’ ) !,!(’

!+( & ! ) ⋯ ) (,((’

(+( % (’（ ’ ) +）( & ’ %(’，- 原式 % (’ ) ,(

(’(+( ) ,’

(’’ ·+( & ’ ) ⋯ ) ,(

(’(+( %

’ ) (’#（文）3$ 考查二项式定理# 展开式中的第 % ) ’ 项为：

,%(·!( & %·（

#

!!）% % ,%

( ·# % ·!( & % & %! ，由题知，% % .+

( & . & .! % (+( % 3#

’!" !($ 利用 ,#( 6 ,!

(，,#( 6 ,*

(，- ( % .，常数项应为第四

项，- ,#. % !(

’#" ’’$ 因为,#

(

,!(% #7 ’，得 ( % ’’

’*" !(’.$ （! & ’）（! ) !）3 $ ’ 1 ,+3 1 !

+ & ,*3 1 !

* % !(’.’+" ’!$ "( % !

’(，"4 % ,!’(·!! % *+ 1 !!，

- 89:!"( ) 89:!"4 & 89:!*+ % ’!’." 4’$ 由 ,!( ) .

!( % ,( ) !!( 有 !( ) . ) ( ) ! % !(+( % *，取 !

% & ’，"( & "’ ) "! & ⋯ )（ & ’）("( %（! ) ’）( % #(，(% * 时，为 #* % 4’

三、解答题

（理）（’）/ -. % #!! & ."! ) /，- * % #!!’ & ."!’ ) /，

--’!’

% #!!’ & ."!’ ) /，

- -’ % #!#’ & ."!

!’ ) /!’ % !#’ & #"!

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同理 0( & ’（!( & ’，-( & ’），0(（!(，-(），

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!( & !( & ’% #!!( & ."!( ) /#

- 整理得（!!( ) !( & ’）（!( & !( & ’）) #"（!( & ’ & !(）% ("- !!( ) !( & ’ & #" % (（($!）"

（!）/ !（!( & "）% &（!( & ’ & "），-!( & "!( & ’ & " % & ’

! ，

-｛!( & "｝是首项 !’ & " % ’! "，公比 + % & ’

! 的等比数列，

- !( & " % ’! "（ & ’

! ）( & ’，

- !( % " ) ’! "（ & ’

! ）( & ’ % "［’ )（ & ’）( & ’·’!( ］"

（#）/ 85;(-<

!( % "，- 0( 的极限横坐标位置为 "#

- -( % "# & #"# ) "/ % "/ & !"#"- 0( 的极限位置坐标（"，"/ & !"#）#

—*!—

一、选择题

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !"# 设 !"（" $ %，&，’，⋯）是（& (!#）" 的展开式中含 # 项的

系数，则&%

!%) &&

!&) ⋯ ) &

"*

!"*的值是

+, "- ., "/ 0, "* 1, "2%#（文）使得多项式 *"#’ ) "3*#& ) 4’#% ) "%# ) " 能被 4 整

除的最小自然数为

+# " .# % 0# & 1# ’

&#（理）已知（%# (!%% ）2 的展开式的第 / 项为%"’ ，则 567

#-8（#

) #% ) #& ) ⋯ ) #"）的值是

+, "’ ., &

’ 0, ( "’ 1, ( &

’’#（文）已知 #$ 9 3，且 # ) $ $ "，而（# ) $）2 按 # 的降幂排

列的展开式中，第二项不大于第三项，则 # 的取值范

围是

+,（ ( 8，"4 ） .,［ ’

4 ，) 8 ）

0,（"，) 8） 1,（ ( 8，( ’4 ）

4#（文）若在二项式（ # ) "）"3 的展开式中任取一项，则该

项的系数为奇数的概率是

+, ’"3 ., ’

"" 0, 4"" 1, -

""-# 已知 %0%

" $ "0% ( "" ( "，设 " 为满足 0"

" ) %0%" ) ⋯ ) "0"

" 9 ’43的最大自然数，则 " 等于

+& ’ .& 4 0& - 1& /

/# 已知 !’,3，且 #%! $ "#’（# : 3），则（#! ) %#’）- 展开式中

的常数项是

+& "% .& -3 0& &3 1& -’

*#（理）若（&-#! 4 ( %!#）" 的展开式中有且仅有 & 个有理

项，则正整数 " 的值为

+# ’ 或 - .# 4 或 / 0# - 或 * 1# / 或 2二、填空题

"#（文）设 ("（ #）$（" ) %#）（" ) %%#）⋯（" ) %"#）（ "&!.）的展开式中 # 项的系数为 !"，则 !" $ ! ! ! ! &

%# 关于二项式（# ( "）% 334有下列命题：!该二项展开式中

非常数项的系数和是 "；"该二项展开式中第六项为

0-% 334#

" 222；#该二项展开式中系数最大的项是第 " 33%项；$当 # $ % 33- 时，（# ( "）% 334除以 % 33- 的余数是 %334& 其中正确命题的序号是 ! ! ! ! ! &（ 注：把你认

为正确的命题序号都填上）

&# 若（!# )%&!#

）"（"&!.）的展开式中的常数项为 *3，则 "

$ ! ! ! ! &’#（# ( $）" 展开式中，第 ’ 项与第 "3 项的系数相等，则展

开式的中间一项是第! ! ! 项&4#（" ( # ) #% ）&（" ( %#% ）’ $ !3 ) !"# ) !%#

% ) ⋯ ) !"’ #"’，

则 !" ) !& ) !4 ) ⋯ ) !"" ) !"&的值为! ! ! &-# 在（# ( "）4（# ) "）’ 的展开式中，#& 的系数是;;;;;;;;

;;;;;&

/# 已知 "0" ( &" ) +&

" $ ’0&" ) "，求（

&!# )

%# ）" 展开式中不含 #

的项是! ! ! ! ! &

*# 对于二项式（"# ) #& ）"（"&!.）四个同学作出了四种

判断：

!存在 "&!.，展开式中有常数项；! "对任意 "&!.，展开式中没有常数项；! #对任意 "&!.，展开式

中没有 # 的一次项；! $存在 "&!.，展开式中有 # 的

一次项 #上述判断中正确的是 #

2#（理）若（%# (!%% ）2 展开式的第 / 项为 ’%，则 567"-8

（# ) #%

) #& ) ⋯ ) #"）$ #三、解答题

"# 函数 (（#）$ !# )!( )# 2

，（! 为实数并且是常数）

（"）已知 (（#）的展开式中 #& 的系数为2’ ，求常数 !；

（%）是否存在 ! 的值，使 # 在定义域中取任意值时，(（#）

$%/ 恒成立？若存在，求出 ! 的值，如不存在，说明

理由&

%# 设数列｛!"｝是等比数列，!" $ 0&)%) ) &·+"

) ( %，公比是（# )"’#%

）’ 的展开式中的第二项（按 # 的降幂排列）&

（"）用 "、# 表示通项 !" 与前 " 项和 *"；

（%）若 +" $ 0""*" ) 0%

"*% ) ⋯ ) 0""*"，用 "、# 表示 +" &

—4%—

一、选择题

!" #$ 展开式的通项 !" %! & ’"#(

# ) "（ )!$）"，故含 $ 项中 " &

*，故 %# & ’*#(

# )*（#$*，#&!.），+ (&

%&& (&

’*&·(& )* &

(*

’*&& * ,(*

&（& )!）&!-（ !

& )! ) !& ），+ (*

%*% ((

%(% ⋯ % (

!-

%!-

& !-（! ) !* % !

* ) !( % ⋯ % !

!. ) !!-）&!-（! ) !

!-）

&!.’评析 $ 求数列的和得先考虑数列的通项，本题的突破

口在于求出展开式中含 $ 项的系数’*"（文）’$ / -!$0 % !1-$( % 20$* % !*$ % ! &（($ % !）0，

+ 上式能被 2 整除的最小自然数为 $ & (’ 故选 ’’评析$ 关于二项式定理的考查在历年的高考题中是最

稳定的题型’ 高考命题方针是“ 稳中求新”，每年总有

-1( 的题型是稳定的，估计 *113 年也不例外’ 对二项式

定理的考查通常以选择题或填空题出现，也有时与应

用题结合在一起，利用二项式求某些数、式的近似值’对于二项式定理及其性质要认真掌握好’

("（理）’$ 由 !. & ’34·（*$）(·（ )!** ）3 & *!

0 ，+ 567#-8

（$ %

$* % $( % ⋯ % $#）&) !

(

! )（ ) !( ）

& ) !0 ’

评析 $ 本题考查二项展开式及极限的求法，先利用二

项展开式求出 $ 的值，再由无穷递缩等比数列求和公式

求出极限’0"（文）’$ ’!

4$-)%’*

4$.)*+$.)（$ ) 0)）%1，/ $ % ) & !，

$) 9 1，+ $3（$ ) 0)）$1，且 $（! ) $）9 1，+ $ : !’评析 $ 本题主要考查二项展开式及不等式的解法，注

意利用 $ % ) & ! 和 $) 9 1 简化不等式从而求解’2"（文）#$ !" % ! & ’"

!1 $!1 ) "，展开式中共有 !! 项，其中系数

’"!1中有 ’1

!1，’*!1，’!1

!1，’-!1为奇数，故所求概率为

0!! ’

评析$ 本题需要逐一考查 ’"!1 是奇数还是偶数，为减少

运算量，可运用公式 ’*# & ’# ) *

# ，即仅考查前 3 个即可’3" ;$ ’!

# % *’*# % ⋯ % #’#

# & #’1# ) ! % #’!

# ) ! % ⋯ % #’# ) !# ) ! &

#·*# ) ! 9 021’ 代入选项检验可得选 ;’

评析$ 利用所给公式 &’# ) !# ) ! & #’& ) !

# ) ! 将 ’!# % ⋯ % #’#

# 化

为 #’1# ) ! % #’!

# ) ! % ⋯ % #’# ) !# ) !，再运用二项式系数的性

质，便 水 到 渠 成’ 本 题 主 要 考 查 学 生 应 用 新 知 识

的能力’

." #$ / %+, 1 且 $*% & !$+

（ $ : 1），+ *% % + & 1，又

’"3$

%（3 ) "）·* " ·$+" & ’"3$

3% ) %" % +" ·* "，令 3% ) %" % +"& 1，又 + & ) *%，+ " & *，+ ’*

3·** & 31’评析$ 先由幂函数找出 %，+ 的关系式 *% % + & 1，再由

二项式的通项公式找出 $ 的指数函数 3% ) %" % +" & 1，

要使其 为 常 数 项，必 使 其 为 1，得 " & *，从 而 求 出

常数项’

-"（理）’$ 易得 !" % ! & ’"#（ ) *）" ·(# ) " ·$

2#3 ) "

( " 当 # & 3

时，" 取 1，(，3，则2#3 ) "

( 均为整数；当 # & - 时，" 取 *，

2，-，则2#3 ) "

( 均为整数 " 故 # & 3 或 # & -"

评析$ 本题考查二项展开式通项的计算以及有理项的

概念 " 如果由2#3 ) "

( 有三个不同的整数值去求 # 的值

就比较困难，因此我们采用了将选项代入试验的方法 "二、填空题

!"（文）*# %! )*$ 由已知得 %# &* %** %*( %⋯ %*# &*# %! )*’

评析$ 多项式（! % +!$）（! % +*$）⋯（! % +#$）的展开式

中 $ 项的系数相当于上面 # 个括号中一个含 $ 的项，另

（# ) !）个括号取常数项，这 # 项相乘即得展开式的一

项，所以 $ 的系数为 +! % +* % ⋯ % +# ’*" !"$ （ $ ) !）* 112 & %* 112 $

* 112 % %* 110 $* 110 % ⋯ % %!$ %

%1，令 $ & 1 得 %1 & ) !，令 $ & ! 得 %* 112 % %* 110 % ⋯ % %1

& 1，+ %* 112 % %* 110 % ⋯ % %! & !，即!正确’（$ ) !）* 112

的二项 展 开 式 中 第 六 项 为 !3 & ’2* 112 $

* 111 ·（ ) !）2，

+ #错误’ !! 11* & ’! 11!* 112 $

! 110 ·（ ) !）! 11! 9 1，+ !! 11* 系

数 不 是 最 大，$ 错 误’（ * 113 ) ! ）* 112 & ’1* 112 ·

（* 113）* 112 % ’!* 112（* 113）* 110 ·（ ) !）% ⋯ % ’* 110

* 112 ·

* 113·（ ) !）* 110 %（ ) !）* 112，+（* 113 ) !）* 112 除以

* 113的余数是 * 112，"正确’评析 $ 本题主要考查二项展开式的通项及整除、系数

和等问题，注意采用特殊值法’

(" 2$ / !" % ! & ’"#（!$）# ) "·（

*(!$

）" & ’"#*

" $#* ) 2

3 "，

+ #* ) 2"

3 & 1，+ # & 2"( ’ / ’"

#*" & -1，+ # & 2，" & (’

0" .$ 由已知得（ ) !）(’(# &（ ) !）4’4

#，解得 # & !*，展开式

中共 !( 项，故中间一项是第 . 项’评析$ 本题考查二项式定理及展开式的通项公式 !" % !

&（ ) !）"’"#·$# ) " )"，这里第 !1 项的系数为（ ) !）4’4

#，

而第 !1 项的二项式系数为 ’4# ’

—3*—

!" # $%& 记 !（"）’（$ # " ( ")）%（$ # )")）*，

则 !（$）’ #+ ( #$ ( #) ( ⋯ ( #$* ’ $，

!（ # $）’ #+ # #$ ( #) # ⋯ ( #$* ’ ),，

- #$ ( #% ( #! ( ⋯ ( #$$ ( #$% ’ !（$）# !（ # $）) ’ $ # ),

)’ # $%$

评析 & 此题考查了二项展开式，所求的是奇数项二项

式系数的和，!（$）与 !（ # $）的差的一半即为所求，同样

也可求出 #+ ( #) ( #* ( ⋯ ( #$* ’!（$）( !（ # $）

) $

." # * & （" # $）!（" ( $）* ’ #（$ # ")）*（$ # "），其展

开式中 "% 的系数是 #［/$*（ # $）］（ # $）’ # *"

评析& 所给解法又快又准，其巧妙之处有二：一是把

原式 化 为“ $ 打 头 ”，其 展 开 公 式 简 捷；二 是 化 为

（$ # ")）*，求 "% 的 系 数 简 便$ 这 两 点 把 计 算 量 化

为最小$

," 0& 由已知得 %/%% ( 1%

% ’ */%% ( $，则

%. %（% # $）（% # )）(

%（% # $）（% # )）’ *.（% ( $）%（% # $），而 %$%，- 等号

两边同除以%（% # $）整理得 %) ’ $.，- % ’ *，2 &’ ( $ ’

/’*)

’ "* # *’% ，由

* # *’% ’ + 得 ’ ’ $，- 不含 " 的项是第 ) 项，

&) ’ 0$

0"!"& &’ ( $ ’ /’%（

$" ）% # ’（ "% ）

’ ’ /’% "

*’ # % " & 若展开式中

有常数项，则 *’ # % ’ +，即存在 %，’ 使方程有解；

若展开式中有 " 的一次项，则 *’ # % ’$，即存在 %，

’ 使方程有解 "

3"（理）)& &, ’ /.3)

%"（ #!)) ）. ’ *)+" ’ )% "

" ( ") (⋯ ( "% ’

)% #（ )

% ）% ($

$ # )%

+456%-7

（" ( ") (⋯ ( "%）’)"

评析 & 本题主要考查两个知识点：二项展开式的通项

与无穷等比数列各项和公式，在解题中应注意 &, ’&. ( $，其中 ’ ’ .，在应用无穷等比数列各项和公式时，要

切实记住公比 ( 的取值范围 + 8 9 ( 9 8 $" 事实上 456%-7

"%

’+，& & & # $ 8 " 8 $，

$，& & & " ’ $，

不存在，" : $ 或 "%{

# $"三、解答题

$"（$）&’ ( $ ’ /’3

#( )"

3 # ’

（!"）’ ’ /’3#

3 # ’·"%’) # 3，由

%’) # 3 ’

%，解得 ’ ’ 0$ 2 /03#

3 # 0 ’ 3* ，- # ’ $

* $

（)）2 !（ "）’ #" (!( )" 3

，- "&（ +，( 7 ），要 使

#" (!( )" 3

$),，只需#" (!"$%

$% $

$;当 # : + 时，设 )（ "）’ #" (!"，)*（ "）’ # #" # ) (

$) " # $

) ’ +，" ’（)#）)% $

" （+，（)#）)% ） （)#）

)% （（)#）

)% ，( 7 ）

)*（"） # + ()（"） 3 极小值 4

- )（"）65< ’#

（)#）)%( （)#）!

)% ’ %

%!*

#$%$%

$% ，- #$ *

3 ；

);当 # ’ + 时，不成立；

%;当 # 8 + 时，不成立$ 故当 #$ *3 时，!（"）$),$

)"（$）2 #$ ’ /%+)+ ( %·1$

+ # )，-)+ ( %$%+，

+ # )$${ ，即

+%%，

+$%{ $

- + ’ %，- #$ ’ $，由（ " ( $*")

）* 知 &) ’ /$* · "* # $ ·

（$*")

）’ "，- 公比 ( ’ "，于是 #% ’ "% # $，当 " ’ $ 时，,% ’

%，当 ",$ 时，,% ’$ # "%

$ # " $

（)）当 " ’ $ 时，,% ’ %，-% ’ /$% ( )/

)% ( %/

%% ( ⋯ ( %/%

%，

又 -% ’ %/%% (（% # $）/% # $

% ( ⋯ ( /$% ( +·/+

%，

- )-% ’ %（/+% ( /$

% ( ⋯ ( /%% ），即 -% ’ %·)% # $（ %&

!.）$ 当 ",$ 时，,% ’$ # "%

$ # " ，

-% ’$ # "$ # "/

$% (

$ # ")

$ # " /)% (

$ # "%

$ # " /%% ( ⋯ ( $ # "%

$ # " /%%

’ $$ # "［（/$

% ( /)% ( /%

% ( ⋯ ( /%% ）#（ "/$

% ( ")/)% ( "%/%

%

( ⋯ ( "%/%%）］’ $

$ # "［)% # $ #（$ ( "/$% ( ")/)

% ( ⋯ (

"%/%% # $）］’ $

$ # "［)% #（$ ( "）%］，

- -% ’%·)% # $ & （" ’ $），

)% #（$ ( "）%

$ # " & （",$）{ $

评析& 本题涉及数列、排列、组合、二项式定理等相关

知识点，其中（)）问又要用到倒置相加法及运用二项展

开式，解此类问题不能忽视字母讨论问题$

—,)—

第三节! 概率

一、选择题

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !"#（’$%·广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（ 它们的

六个面分别标有点数 "、&、’、(、%、)），骰子朝上的面的

点数分别为 !、"，则 *+,&!" - " 的概率为

.# ") /# %

’) 0# ""& 1# "

&&#（’$%·山东）"$ 张奖券中只有 ’ 张有奖，% 个人购买，

每人 " 张，至少有 " 人中奖的概率是

.# ’"$ /# "

"& 0# "& 1# """&

’#（’$%·江西）（理）将 "，&，⋯，2 这 2 个数平均分成三

组，则每组的三个数都成等差数列的概率为

.# "%) /# "

3$ 0# "’’) 1# "

(&$(4（’$%·天津）（ 理）某人射击一次击中目标的概率为

$# )，经过 ’ 次射击，此人至少有两次击中目标的概率为

.4 5""&% /4 %(

"&% 04 ’)"&% 14 &3

"&%（文）某人射击一次击中目标的概率为 $# )，经过 ’ 次射

击，此人恰有两次击中目标的概率为

.4 5""&% /4 %(

"&% 04 ’)"&% 14 &3

"&%%4（’$%·辽宁）设袋中有 5$ 个红球，&$ 个白球，若从袋中

任取 "$ 个球，则其中恰有 ) 个红球的概率为

.#0(

5$·0)"$

0"$"$$

/#0)

5$·0("$

0"$"$$

0#0(

5$·0)&$

0"$"$$

1#0)

5$·0(&$

0"$"$$

)#（’$%·湖北）（理）以平行六面体 $%&’—$(%(&(’(的任

意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角

形，则这两个三角形不共面的概率 ) 为

.# ’)3’5% /# ’3)’5% 0# "2&’5% 1# "5’5%34（’$(·全国!）（理）从数字 "，&，’，(，% 中，随机抽取 ’

个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和

等于 2 的概率为

.4 "’"&% /4 ")

"&% 04 "5"&% 14 "2

"&%54（’$(·全国!）（ 文）从 "，&，⋯，2 这九个数中，随机抽

取 ’ 个不同的数，则这 ’ 个数的和为偶数的概率是

.4 &2 /4 (

2 04 ""&" 14 "$

&"24（’$(·江苏）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上

分别标有点数 "，&，’，(，%，) 的正方体玩具）先后抛掷 ’次，至少出现一次 ) 点向上的概率是

.4 %&") /4 &%

&") 04 ’"&") 14 2"

&")"$4（’$(·辽宁）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这

个问题的概率是 *"，乙解决这个问题的概率是 *&，那

么恰好有 " 人解决这个问题的概率是

.# *"*& /# *"（" 6 *&）7 *&（" 6 *"）

0# " 6 *"*& 1# " 6（" 6 *"）（" 6 *&）

""4（’$(·广东）一台 8 型号自动机床在一小时内不需要

工人照看的概率为 $4 5$$ $，有四台这种型号的自动机

床各自独立工作，则在一小时内至多有 & 台机床需要

工人照看的概率是

.4 $4 "%’ ) /4 $4 "5$ 5 04 $4 %)’ & 14 $4 23& 5"&4（’$(·重庆）（理）某校高三年级举行一次演讲赛共有

"$ 位同学参赛，其中一班有 ’ 位，二班有 & 位，其它班

有 % 位# 若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一

班有 ’ 位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而

二班的 & 位同学没有被排在一起的概率为

.# ""$ /# "

&$ 0# "($ 1# "

"&$"’4（’$(·重庆）（文）已知盒中装有 ’ 只螺口与 3 只卡口

灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放

着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任

取一只并不放回，则他直到第 ’ 次才取得卡口灯泡的

概率为

.# &"($ /# "3($ 0# ’"$ 1# 3

"&$"(4（’$(·北京春）期中考试以后，班长算出了全班 ($ 个

人数学成绩的平均分为 +，如果把 + 当成一个同学的

分数，与原来的 ($ 个分数一起，算出这 (" 个分数的平

均值为 ,，那么 + 9 , 为

.# ($(" /# " 0# ("($ 1# &

二、填空题

"4（’$%·上海）某班有 %$ 名学生，其中 "% 人选修 $ 课

程，另外 ’% 人选修 % 课程，从班级中任选两名学生，他

们是选修不同课程的学生的概率是 4（ 结果用

分数表示）

&#（’$%·重庆）（理）某轻轨列车有 ( 节车厢，现有 ) 位乘

客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，

则这 ) 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 $，"，&，’ 的

—5&—

概率为 !（文）若 "# 把钥匙中只有 $ 把能打开某锁，则从中任取

$ 把能将该锁打开的概率为 !%&（’#’·天津）（ 文）在三 角

形的每条边上各取三个分

点（ 如图），以这 ( 个分点

为顶点可画出若干个三角

形，若 从 中 任 意 抽 取 一 个

三角 形，则 其 三 个 顶 点 分

别落在原三角形的三条不

同边上的概率为) ) ) ) !（用数字作答）

*&（’#*·广东）某班委会由 * 名男生与 % 名女生组成，现

从中选出 $ 人担任正副班长，其中至少有 " 名女生当选

的概率是 （用分数作答）!’&（’#*·上海）若在二项式（ " + "）"# 的展开式中任取一

项，则该项的系数为奇数的概率是 ) ) ) ) !（ 结果用

分数表示）

,&（’#*·辽宁）口袋内装有 "# 个相同的球，其中 ’ 个球

标有数字 #，’ 个球标有数字 "，若从袋中摸出 ’ 个球，

那么摸出的 ’ 个球所标数字之和小于 $ 或大于 % 的概

率是) ) ) ) !（以数值作答）

-&（’#*·福建）某射手射击 " 次，击中目标的概率是 #! (，

他连续射击 * 次，且各次射击是否击中目标相互之间

没有影响! 有下列结论：!他第 % 次击中目标的概率是

#! (；"他恰好击中目标 % 次的概率是#! (% . #! "；#他

至少击中目标 " 次的概率是" / #! "* ! 其中正确结论的

序号是) ) ) ) !（写出所有正确结论的序号）

0&（’#*·上海春）一次二期课改经验交流会打算交流试

点学校的论文 ’ 篇和非试点学校的论文 % 篇! 若任意排

列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校

的概率是) ) ) ) !（结果用分数表示）

(&（’#*·安徽春）在 ’ 名学生（% 名男生，$ 名女生）中安

排 $ 名 学 生 值 日，其 中 至 少 有 " 名 女 生 的 概 率

是 !"#&（’#%·上海）某国际科研合作项目成员由 "" 个美国

人、* 个法国人和 ’ 个中国人组成! 现从中随机选出两

位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概

率是 !（结果用分数表示）

""&（’#$·上海）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿

事件! 竞赛委员会决定将裁判由原来的 ( 名增至 "*名，但只任取其中 - 名裁判的评分作为有效分! 若 "*名裁判中有 $ 人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评

分的概率是 !（结果用数值表示）

"$&（’#$·上海春）六位身高全不相同的同学拍照留念，

摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同

学高的概率是 !"%&（’#"·上海春）在大小相同的 , 个球中，$ 个是红球，*

个是白球，若从中任意选取 % 个，则所选的 % 个球至少

有一个红球的概率是 !（结果用分数表示）

"*&（’##·上海）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 % 面，在

每种颜色的 % 面旗帜上分别标上号码 "、$ 和 %! 现任

取出 % 面，它 们 的 颜 色 与 号 码 均 不 相 同 的 概 率

是 !"’&（’##·天津、江西）从含有 ’## 个个体的总体中一次

性地抽取 $’ 个个体，假定其中每个个体被抽到的概率

相等，那 么 总 体 中 的 每 个 个 体 被 抽 取 的 概 率 等

于 !

三、解答题

"!（’#’·全国$）（ 理）( 粒种子分种在 % 个坑内，每坑 %粒，每粒种子发芽的概率为 #! ’! 若一个坑内至少有 " 粒

种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都

没发芽，则这个坑需要补种! 假定每个坑至多补种一次，

每补种 " 个坑需 "# 元，用 ! 表示补种费用，写出 ! 的分

布列并求 ! 的数学期望!（精确到 #! #"）

（文）( 粒种子分种在甲、乙、丙 % 个坑内，每坑 % 粒，每

粒种子发芽的概率为 #! ’! 若一个坑内至少有 " 粒种子

发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发

芽，则这个坑需要补种!（"）求甲坑不需要补种的概率；

（$）求 % 个坑中恰有 " 个坑不需要补种的概率；

（%）求有坑需要补种的概率!（精确到 #! ##"）

$!（’#’·全国%）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相

互之间没有影响! 已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾

的概率为 #! #’，甲、丙都需要照顾的概率为#! "，乙、丙都

需要照顾的概率为#! "$’!（"）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率

分别为多少？

（$）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率!

—($—

!"（’#$·湖北）（文）某会议室用 $ 盏灯照明，每盏灯各使

用灯泡一只，且型号相同! 假定每盏灯能否正常照明只

与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 % 年以上的概

率为 "%，寿命为 & 年以上的概率为 "& ! 从使用之日起每

满 % 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平

时不换!（%）在第一次灯泡更换工作中，求不需更换灯泡的概率

和更换 & 只灯泡的概率；

（&）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来

说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

（!）当 "% ’ #! (，"& ’ #" ! 时，求在第二次灯泡更换工作

中，至少需要更换 ) 只灯泡的概率（ 结果保留两个

有效数字）"

)"（’#$·重庆）（文）加工某种零件需经过三道工序" 设第

一、二、三道工序的合格率分别为*%#、

(* 、

+( ，且各道工

序互不影响"（%）求该种零件的合格率；

（&）从该种零件中任取 ! 件，求恰好取到一件合格品的

概率和至少取到一件合格品的概率"

$"（’#$·江苏）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率

分别是&! 和

!) ，假设两人射击是否击中目标，相互之间

没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间没有影响"（%）求甲射击 ) 次，至少 % 次未击中目标的概率；

（&）求两人各射击 ) 次，甲恰好击中目标 & 次且乙恰好

击中目标 ! 次的概率；

（!）假设某人连续 & 次未击中###

目标，则停止射击，问乙恰

好射击 $ 次后，被中止射击的概率是多少？

,!（’#$·山东）（理）袋中装有黑球和白球共 + 个，从中任

取 & 个球都是白球的概率为%+ ! 现有甲、乙两人从袋中

轮流摸取 % 球，甲先取，乙后取，然后甲再取⋯⋯取后不

放回，直到两人中有一人取到白球时即终止! 每个球在

每一次被取出的机会是等可能的，用 ! 表示取球终止时

所需要的取球次数!（%）求袋中原有白球的个数；

（&）求随机变量 ! 的概率分布；

（!）求甲取到白球的概率!（文）袋中装有黑球和白球共 + 个，从中任取 & 个球都是

白球的概率为%+ ! 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 % 球，

甲先取，乙后取，然后甲再取⋯⋯取后不放回，直到两人

中有一人取到白球时即终止! 每个球在每一次被取出的

机会是等可能的!（%）求袋中原有白球的个数；

（&）求取球 & 次终止的概率；

（!）求甲取到白球的概率!

+!（’#$·北京）（文）甲、乙两人各进行 ! 次射击，甲每次

击中目 标 的 概 率 为%& ，乙 每 次 击 中 目 标 的 概 率 为

&! ! 求：

（%）甲恰好击中目标 & 次的概率；

（&）乙至少击中目标 & 次的概率；

（!）乙恰好比甲多击中目标 & 次的概率!

—#!—

!!（’"#·浙江）（ 文）从 " 中有放回地摸球，每次摸出一

个，共摸 # 次!求：!恰好有 $ 次摸到红球的概率；

"第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率!（%）若 "、# 两个袋子中的球数之比为 &’ %，将 "、# 中的

球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是%# ，求 $

的值!

(!（’"#·湖南）（文）某单位组织 ) 个部门的职工旅游，规

定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 $ 个景区中任选

一个，假设各部门选择每个景区是等可能的!（&）求 $ 个景区都有部门选择的概率；

（%）求恰有 % 个景区有部门选择的概率!

&"*（’"#·福建）（文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概

率分别为&% 与

%# !

（&）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次

的概率；

（%）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中

至少一次命中的概率!

&&*（’")·全国#）从 &" 位同学（其中 + 女，) 男）中随机

选出 $ 位参加测验! 每位女同学能通过测验的概率均

为)# ，每位男同学能通过测验的概率均为

$# ! 试求：

（&）选出的 $ 位同学中，至少有一位男同学的概率；

（%）&" 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且

通过测验的概率!

&%*（’")·全国$）已知 ! 支球队有 $ 支弱队，以抽签方

式将这 ! 支球队分为 "、# 两组，每组 ) 支! 求：

（&）"、# 两组中有一组恰有两支弱队的概率；

（%）" 组中至少有两支弱队的概率!

&$*（’")·全国%）某同学参加科普知识竞赛，需回答 $个问题! 竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别

得 &"" 分、&"" 分、%"" 分，答错得零分! 假设这名同学

答对第一、二、三个问题的概率分别为 "! !、"! ,、"! +，

且各题答对与否相互之间没有影响!（&）求这名同学得 $"" 分的概率；

（%）求这名同学至少得 $"" 分的概率!

&)*（’")·浙江）某地区有 # 个工厂，由于用电紧缺，规定

每个工厂在一周内必须选择某一天停电（ 选哪一天是

等可能的）! 假定工厂之间的选择互不影响!（&）求 # 个工厂均选择星期日停电的概率；

（%）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率!

—&$—

!"#（’$%·湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一

种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加

工的零件不是一等品的概率为!% ，乙机床加工的零件

是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为

!!&，甲、丙 两 台 机 床 加 工 的 零 件 都 是 一 等 品 的 概

率为&’ !

（!）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等

品的概率；

（&）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少

有一个一等品的概率!

!(#（’$%·重庆）设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概

率分别为 $! )、$! ( 和 $! "!（!）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标

的概率及恰有两人命中目标的概率；

（&）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的

概率!

!)#（’$%·天津）从 % 名男生和 & 名女生中任选 * 人参加

演讲比赛!（!）求所选 * 人都是男生的概率；

（&）求所选 * 人中恰有 ! 名女生的概率；

（*）求所选 * 人中至少有 ! 名女生的概率!

!+#（’$*·新课程）有三种产品，合格率分别是 $! ’$，$! ’"和 $! ’"，各抽取一件进行检验!

（!）求恰有一件不合格的概率；

（&）求至少有两件不合格的概率!（精确到 $! $$!）

!’#（’$&·新课程）某单位 ( 个员工借助互联网开展工

作，每个员工上网的概率都是$! "（相互独立）!（!）求至少 * 人同时上网的概率；

（&）至少几人同时上网的概率小于 $! *？

&$#（’$$·天津、江西）甲、乙二人参加普法知识竞答，共

有 !$ 个不同的题目，其中选择题 ( 个，判断题 % 个，

甲、乙二人依次各抽一题!（!）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

（&）甲、乙 二 人 中 至 少 有 一 个 抽 到 选 择 题 的 概 率

是多少？

&!#（’$%·湖北）（文）为防止某突发事件发生，有甲、乙、

丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用

甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率

（记为 "）和所需费用如下表：

预防措施 甲 乙 丙 丁

" $! ’ $! + $! ) $! (费用（万元） ’$ ($ *$ !$

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种

预防措施，在总费用不超过 !&$ 万元的前提下，请确定

一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大!

—&*—

!!"（’#$·新课程）如图，用 !、"、# 三类不同的元件连接

成两个系统 %$、%! $ 当元件 !、"、# 都正常工作时，系

统 %$ 正常工作；当元件 ! 正常工作且元件 "、# 至少

有一个正常工作时，系统 %! 正常工作$ 已知元件 !、"、

# 正常工作的概率依次为 #$ &#、#$ ’#、#$ ’#$ 分别求系

统 %$、%! 正常工作的概率 %$、%! $

( ( （%$）’’ ’’ ’’ ’’! " #

( ( （%!）’’ ’’55!’’ ’’55’’55’’ ’’55

"

#

一、选择题

$) *( + ,-.!&’ / $，0 ’ / !&$ 符合条件的 &、’ 只有 $，!；!，

1；2，3 三对) 而点数有 *$3 ·*$

3 / 23 种，0 ,-.!& ’ / $ 的概

率为2

3 4 3 / $$! )

!) 5( 至少有一人中奖的对立事件是 6 人都不中奖，那么

6 人购买 $# 张奖券共有 76$# 种购买方法，6 人都不中奖

的购买方法共有 768 种，并且每人购买哪一张奖券都是

等可能的，故 6 人都不中奖的概率 % /76

$#

768/ $$! ，故其对

立事件至少有一人中奖的概率为 $ 9 $$! / $$

$! )

2)（理）7( ’ 个数平均分成三组的方法有：*2

’*23*

22

722

种，其

中每组三个数成等差数列的分法有：!（$，!，2），（1，6，

3），（8，&，’）"（$，!，2），（1，3，&）（6，8，’）#（$，2，

6），（!，1，3）（8，&，’）$（$，1，8）（!，6，&），（2，3，’）

%（$，6，’），（!，2，1），（3，8，&），共 6 组，0 概率 为

6722

*2’*

23*

22/ $63 )

1)（理）7( 经分析可知为独立重复试验模型)% / %2（!）: %2（2）/ *!

2 4（#) 3）! 4 #) 1 : *22 4 #) 32 /

61$!6 : !8

$!6 / &$$!6)

（文）;( 经分析可知利用独立重复试验模型) ( / %2（!）

/ *!2 4（#) 3）! 4 #) 1 / 61

$!6 )

6) 5( 从袋中任取 $# 个共 *$#$## 种方法，其中恰有 3 个红球

的情况 有 *3&# *

1!#，由 等 可 能 事 件 的 概 率 公 式 得 %

/*3

&#*1!#

*$#$##

)

3)（理）78"【解析】( （理）本题考查等可能事件发生的概率$ 能组

成满足题中条件的：&）无重复数字有 $，2，6；!，2，1，共

有 722 : 72

2 / $!，’）有重复数字，!，!，6；2，2，2；1，1，$

共有72

2

7!!: $ :

722

7!!/ 8，综上共有 $! : 8 / $’，无条件要求

有 6 4 6 4 6 / $!6，则满足条件的概率为$’$!6，故选 5)

&"【解析】( （文）本题考查概率的求法$ 满足题中条件的

为两个奇数一个偶数或三个偶数，则满足题中条件的

数为（ <）取两个奇数一个偶数：*!6·*$

1，（ <<）取三个偶数

有：*21 ) 总计为 *!

6*$1 : *2

1 / 11) 从 $，!，⋯，’ 中抽 2 个不

同的数有 *2’，则满足题中条件的概率为

11*2

’/ $$!$，故选 *$

’"【解析】( 本题考查 ) 次独立重复实验发生 * 次的概率

为 **)%

*（$ 9 %）) 9 * $ 由题知出现一次 3 点的概率为$3 ，

不出现 3 点的概率为63 ，则三次都不出现 3 点的概率

为*22（$ 9 $

3 ）2 /（ 63 ）2 / $!6!$3+至少出现一次 3 点向上

的概率为 $ 9 $!6!$3 / ’$!$3，故选 5$

$#"【解析】( 本题考查概率的应用$ 甲解决问题乙未解决

的概率为 +$（$ 9 +! ），甲未解决问题乙解决问题的概

率为（$ 9 +$）+!，则恰有一人解决问题的概率为 +$（$9 +!）:（$ 9 +$）+!，故选 ;$

$$"【解析】( 先求至少有 2 台机床需要工人照看的概率，

*21 4 #$ !

2 4 #$ & : *11 4 #$ !

1 / 1 4 #$ ##& 4 #$ & : #$ ##$ 3/ #$ #!8 !，所以至多有 ! 台机床需要工人照看的概率

是$ 9 #$ #!8 ! / #$ ’8! &，故选 5$【说明】( 此题考查了独立重复试验概率问题$ 注意此

题中#$ &## #是不需要工人照看的概率，容易误认为是

需要工人照看的概率$ 需要考生认真审题，看清楚已

知条件$$!"【解析】( （理）此题可转化为 $# 名同学站成一排，其

中有三人排在一起，另二人不排一起的排列数：

4))) 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( $ 7337

227

!8，概率为

7337

227

!8

7$#$#

/ 3！ 4 2！ 4 8 4 3$# 4 ’ 4 & 4 8 4 3！

/ 2 4 ! 4 3$# 4 ’ 4 & / 23

8!# / $!#，故

—22—

选 !!【说明】" 求概率三种情形：等可能事件概率，相互独

立事件同时发生的概率，独立重复试验概率! 本题属

于第一种，但对排列、组合要求比较高!

#$%【解析】" （文）解法一：第一次取是螺口的概率是$#&；

第二次取是螺口的概率是’( ；第三次取是卡口的概率

是)* ；+ 概率为

$#& , ’

( , )* - )

#’&，故选 .!

解法 二：前 ’ 位 排 螺 口，第 $ 位 排 卡 口 的 排 列 数 为

/’$/

#)/

))，概率为

/’$/

#)/

))

/#&#&

- $ ,’ ,) ,)！#& ,( ,* ,)！

- )#’&0 故选 .0

【说明】" 此题两种解法很有代表性，若此题经变形

为：求 $ 只螺口，) 只卡口，任取 $ 只，恰有 # 只卡口的

概率0 解法应为1’

$1#)

1$#&

- )2& - $ , )

#’&，因为考题求的是

恰好在第三次取出卡口，讲究顺序0 平时学习中注意

一解多变，一题多问0#2%【解析】" 本题考查学生的综合能力，若 "#，"’，⋯，"#

的平均数为 $，即"# 3 "’ 3 ⋯ 3 "#

# - $，则 "#，"’，⋯，

"#，$，这（ # 3 # ） 个 数 的 平 均 数 为 % -"# 3 "’ 3 ⋯ 3 "# 3$

# 3 # - #$ 3$# 3 # -（# 3 #）$

# 3 # -$，则 $4 %

- #4 # - #，故选 !!

二、填空题

#! $) " （直接法）& -

1##51

#$5

1’5&

- #5 , $55& , 2(

’

- $) !

（间接法）& - # 61’

#5 3 1’$5

1’5&

- $) !

’!（理）25#’*" 7 位乘客乘坐 2 节车厢共有 27 种方法! 7 位

乘客进入各节车厢的人数恰为 &、#、’、$ 的方法共有

1&71

#71

’51

$$/

22 种且它们是等可能的，由等可能事件的概

率公式知其概率为1&

71#71

’51

$$/

22

27 - 25#’*!

（文）#)25 " 记事件 ’ 为“ 取两把钥匙能打开锁”，即这两

种钥匙中至少有 # 把能打开则事件 ’ 为“取两把钥匙都

不能打开锁”，+ &（’）- # 6 &（’）- # 61’

*

1’#&- #)25 !

$0（文）#$ " 要构成三角形，则三点必不共线0 根据点的位

置分两类0 一类是两点在一边上，共 1#$1

’$1

#’1

#$ - 52 个；

另一类三点在不同边上，共 1#$1

#$1

#$ - ’) 个，共计 52 3 ’)

- *#0 则所求概率为’)*# - #

$ 0

2%【解析】" 至少有 # 名女生的选出情况有：1#21

#$/

’’ 3 /’

$

- #’ , ’ 3 $ , ’ - $&，总的选出情况有 /’) - ) , 7 - 2’!

+ 概率为$&2’ - 5

) ，故填5) !

5%【 解析】" 本题考查二项式定理和有关概率的求法! 易

知（" 3 #）#& - 1&#&"

#& 3 1##&"

( 3 1’#& "

* 3 1$#& "

) 3 12#& "

7 3 15#&

"5 3 17#&"

2 3 1)#&"

$ 3 1*#& "

’ 3 1(#& "

# 3 1#&#& ! 又 1&

#& - 1#&#& - #，

1##& - 1(

#& - #&，1’#& - 1*

#& - 25，1$#& - 1)

#& - #’&，12#& - 17

#& -’#&，15

#& - ’5’，奇数有 2 个，共有 ## 项! 则展开式中系

数为奇数的概率为2## !

7%【解析】" 本题考查概率的应用! 由题意可知：摸出的 5

个球 所 标 数 字 之 和 为 ’ 或 $ 的 概 率 为：1’

5·1$5

15#&

3

1$5·1’

5

15#&

- 5&7$，则摸出的 5 个球所标数字之和小于 ’ 或

大于 $ 的概率是 # 6 5&7$ - #$

7$ !

)%【解析】" 本题考查 # 次独立重复事件发生 ( 次的概率

为 1(#&

(（# 6 &）# 6 (，!正确! "错误，应为 1$2 ·&! ($ ,

&! ##，#正确!*%【 解析】" 本题考查排列组合和概率的应用! 将试点学

校的论文，安排前、后有 1’5/

’’ 种，中间 7 个可任意排有

/77 种，完成这件事有 1’

5/’’ ·/7

7 种，若不考虑前后顺序

有 /** 种，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概

率是1’

5/’’/

77

/**

- 5#2 !

(%【解析】" 此题是应用题，主要考查了概率的定义和分类计

数原理!至少有# 名女生的情况分成两类：有 # 名女生；有 ’

名女生!所以 &（’）-1#$·1#

’ 31’’

1’5

- )#& -&!)!

#&%【解析】" 本题主要考查等可能事件的概率计算；事件

发生的情况种数除以总体事件种数即等可能事件概

率，判断 是 分 类 计 算 还 是 分 步 计 算 是 此 类 问 题 的

关键!1#

21### 3 1#

21#5 3 1#

51###

1’2 3 5 3 ##

- ##(#(&!

##%【解析】" 本题主要考查等可能事件的概率计算! 有效

分应该是由没有受贿裁判的评分! 因此，) 名裁判应从

#’ 人中选即 1)#’，则有效分中没有受贿裁判的评分的

概率是1)

#’

1)#2- $#$ !

#’%【解析】" 本题主要考查等可能事件的概率运算! 因为

后排每人均比前排人高，因此应将 7 人中最高的 $ 个人

放在后排，其余 $ 人站前排，故所有排法有 /$$ ·/$

$ - $7

种! 故后排每人均比前排同学高的概率为/$

$·/$$

/77

- #’& !

#$%【解析】" 本题主要考查概率的基本运算，对于至多或

—2$—

至少问题可考虑对立事件的概率计算!解法一：任选 ! 个球共有 "!

# 种选法；至少有一个红球

有（"!# $ "!

%）种选法，故所选的 ! 个球中至少有一个红

球的概率是"!

# $ "!%

"!#

& ’#() & %

* !

解法二：至少一个红球有两种可能，即一白二红或者

二白一红，+ " &"’

("(% , "(

("’%

"!#

& ’#() & %

* !

’%-【解析】. 解法一：在所有的 / 面旗帜中任取 ! 面有 "!/

种取法，使 ! 面旗帜的颜色与号码均不相同的取法，第

一面有 / 种取法，第二面有 % 种取法，第三面有 ’ 种取

法，由 乘 法 原 理 和 这 三 面 旗 帜 的 无 序 性，得 共 有

/ 0 % 0 ’!！

种取法! 从而三面旗帜的颜色与号码均不相

同的概率为/ 0 % 0 ’

!！1 "!

/ &’’% !

解法二：在所有/ 面旗帜中任取 ! 面共有 "!/ 种取法，若使

! 面旗帜的颜色与号码均不相同，则应取红、黄、蓝旗帜各一

面，首先取红色旗帜，有 "’! 种取法，再取黄色旗帜有 "’

( 种

取法，最后取蓝色旗帜只有 ’ 种取法，所以共有 "’! 0 "

’( 0’

&# 种取法，故所求概率为#"!/& ’’% !

’*-【解析】. 本题主要考查等可能事件的概率计算! " &(**)) & )! )*!

三、解答题

’!（理）因为单个坑内的! 粒种子都不发芽的概率为（’ $)!*）!

& ’2 ，所以单个坑不需要补种的概率为’ $ ’

2 & 32 !

! 个坑都不需要补种的概率为 ")! 0（

’2 ）) 0（ 3

2 ）! &)!#3)；

恰有 ’ 个坑需要补种的概率为 "’! 0

’2 0（ 3

2 ）( &)!(23；

恰有 ( 个坑需要补种的概率为 "(! 0（

’2 ）( 0 3

2 &)!)%’；

! 个坑都需要补种的概率为 "!! 0（

’2 ）! 0（ 3

2 ）) &)!))(!

补种费用 ! 的分布列为

! ) ’) () !)" )! #3) )! (23 )! )%’ )! ))(

! 的数学期望为

#! & ) 0 )! #3) , ’) 0 )! (23 , () 0 )! )%’ , !) 0 )! ))( &!! 3*!

（文）（’）因为甲坑内的 ! 粒种子都不发芽的概率为（’

$ )! *）! & ’2 ，所以甲坑不需要补种的概率为

’ $ ’2 & 3

2 & )! 23*!

（(）! 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为

"’! 0

32 0（ ’

2 ）( & )! )%’!

（!）解 法 一 . 因 为 ! 个 坑 都 不 需 要 补 种 的 概 率 为

（32 ）!，所以有坑需要补种的概率为

’ $（ 32 ）! & )! !!)!

解法二. ! 个坑中恰有 ’ 个坑需要补种的概率为

"’! 0

’2 0（ 3

2 ）( & )! (23，

恰有 ( 个坑需要补种的概率为

"(! 0（

’2 ）( 0 3

2 & )! )%’，

! 个坑都需要补种的概率为

"!! 0（

’2 ）! 0（ 3

2 ）) & )! ))(!

所以有坑需要补种的概率为

)! (23 , )! )%’ , )! ))( & )! !!)!(! 记“机器甲需要照顾”为事件 $，“机器乙需要照顾”为事

件 %，“机器丙需要照顾”为事件 &，由题意，各台机器是

否需要照顾相互之间没有影响，因此，$、%、& 是相互独

立事件!（’）由已知得"（$·%）& "（$）·"（%）& )! )*!. . . . "（$·&）& "（$）·"（&）& )! ’!. . . . "（%·&）& "（%）·"（&）& )! ’(*!解得. . "（$）& )! (，"（%）& )! (*，"（&）& )! *!所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为 )! (、)! (*、

)!*!（(）记 $ 的对立事件为 $，% 的对立事件为 %，& 的对立事件

为 &，

则. "（$）& )! 2，"（%）& )! 3*，"（&）& )! *，

于是 "（$ , % , &）& ’ $ "（$·%·&）& ’ $ "（$）·

"（%）·"（&）& )! 3!所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为)!3!

!!（文）（’）在第一次更换灯泡工作中，不需更换灯泡的概

率为 "*’，需要更换 ( 只灯泡的概率为 "(

*"!’（’ $ "’）(；

（(）对该盏灯来说，在第 ’、( 次都更换了灯泡的概率为

（’ $ "’）(；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯

泡的概率为 "’（’ $ "(），故所求的概率为

. . " &（’ $ "’）( , "’（’ $ "(）；

（!）至少换 % 只灯泡包括换 * 只和换 % 只两种情况! 换 *只的概率为 "*（其中 " 为（(）中所求，下同）；换 % 只的

概率为

"’*"

%（’ $ "），故至少换 % 只灯泡的概率为

. . "! & "* , "’

*"%（’ $ "）!

又当 "’ & )! 2，"( & )! ! 时，" & )! (( , )! 2 0 )! 3 & )! #!+ "! & )! #

* , * 0 )! #% 0 )! % & )! !%!即满 ( 年至少需要更换 % 只灯泡的概率为 )! !%!

—*!—

!!（文）（"）" # $"% & ’

$ & (’ # (

"%；

（)）解法一* 该种零件的合格品率为("%，由独立重复试

验的概率公式得：

恰好取到一件合格品的概率为

+",·

("%·（

,"%）) # %- "’$!

至少取到一件合格品的概率为

" .（ ,"%）, # %! $(,!

解法二 * 恰 好 取 到 一 件 合 格 品 的 概 率 为 +", ·

("% ·

（,"%）) # %! "’$，

至少取到一件合格品的概率为

+",·

("%·（

,"%）) / +)

,（("%）)·

,"% / +,

,（("%）, # %! $(,!

0!（"）记“甲连续射击 ! 次至少有 " 次未击中目标”为事

件 #"，由题意，射 击 ! 次，相 当 于 作 ! 次 独 立 重 复 试

验，故

"（#"）# " . "（6#"）# " .（ ), ）! # 10

’" !

2 甲连续射击 ! 次至少有 " 次未击中目标的概率为10’" !

（)）记“甲射击 ! 次，恰有 ) 次击中目标”为事件 #)，“ 乙

射击 ! 次，恰有 , 次击中目标”为事件 $)，则

"（#)）# +)! &（

), ）) &（" . )

, ）! . ) # ’)( !

"（$)）# +,! &（

,! ）, &（" . ,

! ）! . , # )(1! !

由于甲、乙射击相互独立，故 "（#)$)）# "（#)）"（$) ）#’)( & )(

1! # "’ !

2 两人各射击 ! 次，甲恰有 ) 次击中目标且乙恰有 , 次

击中目标的概率为"’ !

（,）记“乙恰好射击 0 次后被中止射击”为事件 #,，“ 乙

第 % 次射击未击中”为事件 &%（ % # "，)，,，!，0），则 #, #

&0&!&,（&)&"），且 "（&!）# "! ! 由于各事件相互独立，

故 "（#,）# "（&0）"（&)）"（&,）"（&)&"）

# "! & "

! & ,! &（" . "

! & "! ）# !0

"%)!!

2 乙恰好射击 0 次后被中止射击的概率为!0"%)!!

1!（理）（"）设袋中原有 ’ 个白球，由题意知：

"( #

+)’

+)(#

’（’ . "）)

( & 1)

# ’（’ . "）( & 1 ，

所以 ’（’ . "）# 1，解得 ’ # ,（ 舍去 ’ # . )），即袋中原

有 , 个白球!（)）由题意，! 的可能取值为 "，)，,，!，0，

"（! # "）# ,( ；"（! # )）# ! & ,

( & 1 # )( ；

"（! # ,）# ! & , & ,( & 1 & 0 # 1

,0；"（! # !）# ! & , & ) & ,( & 1 & 0 & ! # ,

,0；

"（! # 0）# ! & , & ) & " & ,( & 1 & 0 & ! & , # "

,0 !

所以，取球次数 ! 的分布列为：

! " ) , ! 0

" ,(

)(

1,0

,,0

",0

（,）因为甲先取，所以甲只有可能在第 " 次、第 , 次和第

0 次取球，记“甲取到白球”的事件为 #，

则 "（#）# "（“! # "”，或“! # ,”，或“! # 0”）!因为事件“! # "”、“! # ,”、“! # 0”两两互斥，所以

"（#）# "（! # "）/ "（! # ,）/ "（! # 0）# ,( / 1

,0 / ",0

# )),0 !

（文）（"）设袋中原有 ’ 个白球，由题意知：

"( #

+)’

+)(#

’（’ . "）)

( & 1)

# ’（’ . "）( & 1 ，

所以 ’（’ . "）# 1，解得 ’ # ,（ 舍去 ’ # . )），即袋中原

有 , 个白球!（)）记“取球 ) 次终止”的事件为 #!

则 "（#）# ! & ,( & 1 # )

( !

（,）记“甲取到白球”的事件为 $!“第 % 次取出的球是白球”的事件为 #%，% # "，)，,，!，0!

因为甲先取，所以甲只有可能在第 " 次，第 , 次和第 0次取球!2 "（$）# "（#" / #, / #0），

因为事件 #"、#,、#0 两两互斥!2 "（$）# "（#"）/ "（#,）/ "（#0）

# ,( / ! & , & ,

( & 1 & 0 / ! & , & ) & " & ,( & 1 & 0 & ! & ,

# ,( / 1

,0 / ",0 # ))

,0 !

(!（文）（"）甲恰好击中目标 ) 次的概率为 +),（

") ）, # ,

’ !

（)）乙至少击中目标 ) 次的概率为 +),（

), ）) ·

", /

+,,（

), ）, # )%

)( !

（,）设乙恰好比甲多击中目标 ) 次为事件 #，乙恰好击

中目标 ) 次且甲恰好击中目标 % 次为事件 $"，乙恰好击

—1,—

中目标 ! 次且甲恰好击中目标 " 次为事件 !#，则 " $ !"

% !#，!"、!# 为互斥事件#$（"）$ $（!"）% $（!#）

$ &#!（

#! ）#·

"! ·&’

!（"# ）! % &!

!（#! ）!·&"

!（"# ）!

$ ""( % "

) $ "* #

所以，乙恰好比甲多击中目标 # 次的概率为"* #

(#（文）!&!+ ,（

"! ）

!

,（ #! ）

#

$ "’ , "#- , .

) $ .’#.!#

"（ "! ）

!

$ "#- #

（#）设袋子 " 中有 % 个球，则袋子 ! 中有 #% 个球#

由

"! % % #%$

!% $ #+ ，得 $ $ "!

!’ #

)#（文）（"）! 个景区都有部门选择可能出现的结果数为

&#.·!！（从 . 个部门中任选 # 个作为 " 组，另外 # 个部门各

作为 " 组，共 ! 组，共有 &#. $ * 种分法，每组选择不同的景

区，共有 !！种选法），记“! 个景区都有部门选择”为事件

""，那么事件 "" 的概率为 $（""）$&#.·!！

!.$ .

) #

（#）解法一/ 分别记“ 恰有 # 个景区有部门选择”和“.个部门都选择同一个景区”为事件 "# 和 "!，则事件 "!

的概率为

$（"!）$ !!. $ "

#-，事件 "# 的概率为 $（"# ）$ " 0 $（"" ）

0 $（"!）$ " 0 .) 0 "

#- $ ".#- #

解法二/ 恰有 # 个景区有部门选择可能的结果数为

!（&".·#！% &#

.）#（ 先从 ! 个景区任意选定 # 个，共有&#!

$ ! 种选法，再让 . 个部门来选择这 # 个景区，分两种情

况：第一种情况，从 . 个部门中任取 " 个作为 " 组，另外

! 个部门作为 " 组，共 # 组，每组选择 # 个不同的景区，

共有 &".·#！种不同的选法# 第二种情况，从 . 个部门中

任选 # 个部门到 " 个景区，别外 # 个部门在另 " 个景

区，共有 &#. 种不同选法）#

所以 $（"#）$!（&"

.·#！ %&#.）

!.$ ".#- #

"’#（文）（"）依题意，记“ 甲投一次命中”为事件 "，“ 乙投

一次命中”为事件 !，则

$（"）$ "# ，$（!）$ #

+ ，$（6"）$ "# ，$（6!）$ !

+ #

1“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为 "·6!%6"·!，

2 $（"·6! %6"·!）$ $（"·6!）% $（6"·!）$ "# , !

+

% "# , #

+ $ "# #

2 甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概

率为"# #

（#）1 事件“ 甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命

中”的概率为

6$ $ "# , "

# , !+ , !

+ $ )"’’，

2 甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的

概率 $ $ " 06$ $ " 0 )"’’ $ )"

"’’#

""3【分析】/ 解答第（"）问既可以直接求解，也可以用其

对立事件求解# 解答第（#）问由于女同学甲和男同学

乙同时被选中，只要再从其余 ( 位中任选一位#【解析】/ （"）随机选出的 ! 位同学中，至少有一位男

同学的概率为" 0&!

*

&!"’$ +

* ；

（#）甲、乙被选中且能通过测验的概率为

&"(

&!"’, .

+ , !+ $ .

"#+#

【说明】/ 本题主要考查组合、概率等基本概念，独立

事件和互斥事件的概率以及运用概率知识解决实际

问题的能力#"#3【分析】/ 解答第（"）问对 "、! 两组中有一组恰有两

支弱队，即可以是 " 组，也可以是 ! 组，两种情况彼此

互斥# 解答第（#）问可直接求解，也可以用概率的意义

直接说明#

【解析】/ （"）解法一：三支弱队在同一组的概率为&"

+

&.(

%&"

+

&.($ "

- # 故有一组恰有两支弱队的概率为" 0 "- $ *

- #

解法二：有一组恰有两支弱队的概率&#!&

#+

&.(

%&#!&

#+

&.(

$ *- #

（#）解 法 一：" 组 中 至 少 有 两 支 弱 队 的 概 率&#

+&#!

&.(

%

&"+&

!!

&.(

$ "# #

解法二："、! 两组有一组至少有两支弱队的概率为 "，

由于对 " 组和 ! 组来说，至少有两支弱队的概率是相

同的，所以 " 组中至少有两支弱队的概率为"# #

【说明】/ 此题与高中数学新教材第二册（ 下 !）4".* 第

"’ 题是类似的# 体现了高考命题来源于课本而深于课

本的命题思想# 因此，在复习的过程中应加强课本习

题的练习#"!3【分析】/ 这名同学得 !’’ 分的情况有：对第一、三题，

错第二题；或者对第二、三题，错第一题#【解析】/ 记“ 这名同学答对第 & 个问题”为事件 "&（ &$ "，#，!），则$（""）$ ’# (，$（"#）$ ’# -，$（"!）$ ’# *#

—-!—

（!）这名同学得 "## 分的概率

!! $ !（"! "%

—

""）& !（"!

—

"%""）$ !（"!）!（"%

—

）!（"" ）&

!（"!

—

）!（"% ）!（"" ）$ ## ’ ( ## " ( ## ) & ## % ( ## * (## ) $ ## %%’#

（%）这名同学至少得 "## 分的概率

!% $ !! & !（"!"%"" ）$ ## %%’ & !（"! ）!（"% ）!（"" ）$## %%’ & ## ’ ( ## * ( ## ) $ ## +),#

【说明】- 本题主要考查相互独立事件同时发生的概

率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概

率知识解决实际问题的能力#!,.【分析】- 由于工厂之间的选择互不影响# 因此，第（!）

问为相互独立事件同时发生的概率问题# 第（%）问用

对立事件来求较易#【解析】- （!）设 + 个工厂均选择星期日停电的事件为

"，则 !（"）$ !*+ $ !

!) ’#*#

（%）设 + 个工厂选择的停电时间各不相同的事件为 $，

则!（$）$/+

*

*+ $ * ( ) ( + ( , ( "*+ $ ")#

% ,#!# 因为至少有两

个工厂选择同一天停电的事件是$—

，所以!（$—

）$ ! 0

!（$）$ ! 0 ")#% ,#! $ % #,!

% ,#!#

【说明】- 本题考查排列组合、对立事件、相互独立事

件等基本知识，同时考查学生的逻辑思维能力和分析

问题与解决问题的能力#!+.【分析】- 由于甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同

一种零件，因此可直接代入公式 !（"$）$ !（"）!（$）

进行计算# 理解清这一点是解决本题的关键# 对于本

题第（%）问的解答可通过对立事件求解#【解析】- （!）设 "、$、% 分别为甲、乙、丙三台机床各自加

工的零件是一等品的事件#

由题设条件有

!（"·$—

）$ !,

!（$·%—

）$ !!%

!（"·%）$

%

1

，

即

!（"）·（! 0 !（$））$ !, - !

!（$）·（! 0 !（%））$ !!% - "

!（"）·!（%）$ %1 - - -

#

，由!、#得 !（$）$

! 0 1’ !（%），代入"得 %*［!（%）］% 0 +!!（%）& %% $

## 解得!（%）$ %" 或

!!1（ 舍去），将 !（%）$ %

" 分别代

入#、"可得 !（"）$ !" ，!（$）$ !

, # 即甲、乙、丙三台机

床各自加工的零件是一等品的概率分别是!" ，

!, ，

%" #

（%）记 & 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，

至少有一个一等品的事件，则 !（&）$ ! 0 !（&—

）$ ! 0

（! 0 !（"））（! 0 !（$））（! 0 !（%））$ ! 0 %" ·

", ·

!" $ +

) # 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，

至少有一个一等品的概率为+) #

【说明】- 本题主要考查独立事件以及对立事件的概

率计算问题，同时侧重考查用方程的思想来解决概

率问题#!).【分析】- 解答本题的思路是：第（!）问求至少有一人

命中目标的概率，用其对立事件易求；求恰有两人命

中目标的概率，应分三种互斥事件考虑# 第（%）问为独

立重复试验问题#【解析】- （!）设 "’ 表示“ 第 ’ 个人命中目标”，’ $ !，

%，"# 这里，"!，"%，"" 独立，且!（"!）$ ## *，!（"% ）$## )，!（""）$ ## +，从而至少有一人命中目标的概率为

! 0 !（"!·"%·""）$ ! 0 !（"!）!（"%）!（""）$ ! 0 ## "(## , ( ## + $ ## 1,# 恰有两人命中目标的概率为 !（"!

·"%·"" & "!·"% ·"" & "! ·"% ·"" ）$ !（"! ·"% ·

""）& !（"! ·"% ·"" ）& !（"! ·"% ·"" ）$ !（"! ）·

!（"%）!（ "" ） & !（ "! ）!（ "% ）!（ "" ） &!（"!）!（"%）!（""）$ ## * ( ## ) ( ## + & ## * ( ## , (## + & ## " ( ## ) ( ## + $ ## ,,#2 至少有一人命中目标的概率为 ## 1,，恰有两人命中

目标的概率为 ## ,,#（%）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次

重复独立试验，又已知在每次试验中事件“命中目标”

发生的概率为 ## *，故所求概率为 !"（%）$ 3%"（## *）%

·（## "）$ ## ,,!# 2 他恰好命中两次的概率为 ## ,,!#【说明】- 本题主要通过射击问题来说明相互独立事件、

互斥事件、对立事件以独立重复试验的区别与应用#!*.【分析】- 对于这样的问题要利用排列或组合的有关

知识，准确计算出基本事件总数 (，以及有利事件数

)，然后代入公式 !（"）$ )( ，即可顺利求解#

【解析】- （!）所选 " 人都是男生的概率为3"

,

3")$ !

+ #

（%）所选 " 人中恰有 ! 名女生的概率为3!

%3%,

3")

$ "+ #

（"）所选"人中至少有!名女生的概率为3!%3

%, &3

%%3

!,

3")

$ ,+ #

【说明】- 本题考查等可能事件的概率计算及分析和

解决实际问题的能力#!’.【分析】- 本题是一道概率的常规计算题，第一问显然

—’"—

是独立事件的概率计算问题，第二问对于至少或至多

的问题，大多考虑正难则反的计算方式，一般属于对

立事件的应用!【解析】! 设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事

件分别为 "、# 和 $!（"）%（"）# $! %$，%（#）# %（$）# $! %&! %（"—）# $! "$，

%（#—）#%（$—）#$! $&! 因为事件 "、#、$ 相互独立，恰有

一件不合格的概率为 %（"·#·$—）’ %（"·#—·$）’%（"—·#·$）# %（"）·%（#）·%（$—）’ %（"）·%（#—）

·%（$）’ %（"—）·%（#）·%（$）# ( ) $! %$ ) $! %& )$! $& ’ $! "$ ) $! %& ) $! %& # $! "*+!

（(）解法一：至少有两件不合格的概率为 %（"·#— ·

$—）’ %（"—·#·$—）’ %（"—·#— ·$）’ %（"—·#—·$—）#$! %$ ) $! $&( ’ ( ) $! "$ ) $! $& ) $! %& ’ $! "$ ) $! $&(

# $! $"(!解法二：三件产品都合格的概率为 %（"·#·$）#%（"）·%（#）·%（$）# $! %$ ) $! %&( # $! ,"(! 由（"）知，

恰有一件不合格的概率为 $! "*+，所以至少有两件不

合格的概率为 " - %（"·#·$）- $! "*+ # " -（$! ,"(’ $! "*+）# $! $"(!

【说明】! 课本上有类似题目，本题主要考查考生的逻

辑思维能力和运算能力! 同时对事件之间关系认识要

弄清楚，是一道中档的题目!"%.【分析】! 本小题主要考查相互独立事件同时发生或

互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概

率知识解决实际问题的能力!【解析】! （"）至少 / 人同时上网的概率等于 " 减去至

多 ( 人同时上网的概率，即

" -0$+（$!&）+ -0"

+（$!&）+ -0(+（$!&）+ #" -" ’+ ’"&+1 # ("

/( !

（(）至 少 1 人 同 时 上 网 的 概 率 为 ! 01+（$! &）+ ’

0&+（$! &）+ ’ 0+

+（$! &）+ # ""/( 2 $! /!

至少& 人同时上网的概率为!（0&+ ’0

++）（$!&）+ # *

+1 3$!/!

因此，至少 & 人同时上网的概率小于 $! /!【说明】! 本题有一定难度，关键点在于对 + 人中“ 至

少 / 人同时上网”这句话的认识! 甲是否上网与乙是

否在网上无关，首先它是一个独立事件，本题对考生

的运算能力提出了较高的要求，是一道中档偏难的题

目，有一定区分度!($.【解析】! （"）甲从选择题中抽到一题的可能结果有

0"+ 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有 0"

1

个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果

有 0"+0

"1 个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有 0"

"$ 0"%

个，所以甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为0"

+0"1

0""$0

"%

# 1"&，所求概率为

1"&；

（(）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为0"

10"/

0""$0

"%，故

甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为 " -0"

10"/

0""$0

"%# "/"&，所求概率为

"/"& 4

或0"

+0"&

0""$0

"%’0"

+0"1

0""$0

"%’0"

10"+

0""$0

"%# "

/ ’ 1"& ’ 1

"& # "/"&，所求概

率为"/"& 4

【说明】对于第二问，至多或至少的题目一般采用对立

事件计算较简单!(".【分析】! 主要考查用概率知识解决实际问题的能力!

【解析】! （文）方案一：单独采用一种预防措施的费用

均不超过 "($ 万元! 由表可知，采用甲措施，可使此突

发事件不发生的概率最大，其概率为 $! %!方案二：联合采用两种预防措施，费用不超过 "($ 万

元! 由表可知，联合甲、丙两种预防措施可使此突发事

件不发生的概率最大，其概率为 " -（" - $! %）（" -$! *）# $! %*!方案三：联合采用三种预防措施，费用不超过 "($ 万

元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事

件不发生的概率为" -（" - $! ,）（" - $! *）（" - $! +）#" - $! $(1 # $! %*+! 综合上述三种预防方案可知，在总费

用不超过"($ 万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防

措施可使此突发事件不发生的概率最大!【说明】! 应用主要考查概率! 解决这样的问题，要注意互

斥事件、对立事件、独立事件等之间的区别!((.【分析】! 本题是一道常见的关于电子元件组成的概率问

题，系统的稳定性要求考生对电路图有一定认识，同时也

考查了独立事件与对立事件的概率计算!【解析】! 分别记元件 "、#、$ 正常工作为事件 "、#、$，由

已知条件 %（"）#$!,$，%（#）#$!%$，%（$）#$!%$!!因为事件 "、#、$ 是相互独立的，所以，系统 5" 正常工

作的概率

%" #%（"·#·$）#%（"）·%（#）·%（$）#$! ,$ )$! %$ )$!%$ #$!+1,! 故系统 5" 正常工作的概率为 $!+1,!"系统 5( 正常工作的概率 %( # %（"）·［" - %（6#·6$）］

#%（"）·［" -%（6#）·%（6$）］，

6 %（6#）#" -%（#）#" -$!%$ #$!"$，%（6$）#" - %（$）#"-$!%$ #$!"$，

7 %( #$!,$ )［" -$!"$ )$!"$］#$!,$ )$!%% #$!*%(!故系统 5( 正常工作的概率为 $!*%(!

【说明】本题出自课本，是一道常规的概率计算问题! 它考

查了考生的逻辑思维能力、运算能力和利用概率知识解

决实际问题的能力!

—%/—

一、选择题

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !"#（’$% 东城高三教学目标检测 &）

箱子里有 % 个黑球，’ 个白球，每次随机取出一个球，若取

出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，

那么在第 ’ 次取球之后停止的概率为

(#)*

%·)"’

)’%

+#（ %, ）* - ’

,

)# *% - "

’ .# )"’ -（

%, ）* - ’

,/#（’$% 大连育明高三模拟考试 0）

一个口袋中，装有大小相等的 % 个黑球 & 个白球和 ’ 个黄

球，从中摸出 * 个球，那么摸出的 * 个球颜色不超过 / 种的

概率是

(# &0," +# /’

," )# ’*&% .# //

&%*#（’$% 辽宁高三五校联考试卷 %）

如图所示的电路，有 !，"，# 三个开关，

每个开关开或关的概率都是"/ ，且是

相互独立的，则灯泡甲亮的概率为

(# "1 +# "

’

)# "/ .# "

"&’#（’$% 郑州高中毕业班第一次质量预测 0）

用 "、/、*、’ 这四个数字组成比/ $$$ 大，且无重复数字的四

位数的概率是

(# "’ +# "

/ )# *’ .# "

*%#（’$% 镇江高三统测试卷 1）

两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们

说：“我们要从面试的人中招聘 * 人，你们俩同时被招聘进

来的概率是"0$”$ 根据这位负责人的话可以推断出参加面

试的人数为

($/" +$*% )$’/ .$0$&#（’$% 无锡高中毕业班考试试卷 &）

从数字 "，/，*，’，% 这五个数中，随机抽取 / 个不同的数，则

这 / 个数的和为偶数的概率是

($ "% +$ /

% )$ *% .$ ’

%0#（’$% 福州高中毕业班综合测试卷 ""）

（理）有 * 个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有 "$节车厢，那么至少有两人在车厢内相遇的概率为

(# /,"$$ +# 0

/% )# /,"’’ .# 0

"11#（’$’ 东北三校高三第一次联合考试 "/）

假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 " 2 %，且各

引擎是否有故障是独立的，如有至少 %$&的引擎能正常运

行，飞机就可成功飞行$ 若使 ’ 引擎飞机比 / 引擎飞机更为

安全，则 % 的取值范围是

(3（ "* ，" ） +3（$，

/* ）

)3（ /* ，"） .3（$，

"’ ）

,#（’$’ 济南 ’ 月高三统一考试 ""）

甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人

中的一人，第二次由拿球者再传给其他三人中的一人，这

样共传了 ’ 次，则第 ’ 次仍传回到甲的概率是

(# 0/0 +# %

/0 )# 01 .# /"

&’"$#（’$’ 青岛高三教学第二次统一质量检测 %）

在 % 张卡片上分别写着数字 "、/、*、’、%，然后把它们混合，

再任意排成一行，则得到的五位数能被 % 或 / 整除的

概率是

(# $$1 +# $$& )# $$’ .# $$/""#（’$’ 江苏四市高三教学情况调查 "$）

一个正方体，它的表面涂满了红色，在它的每个面上切两

刀，可得 /0 个小立方块，从中任取 / 个，其中恰有 " 个一

面涂有红色，" 个两面涂有红色的概率为

(3 "&""0 +3 */""0 )3 1*, .3 "&*,

"/#（’$’ 常州高三教学情况调查 &）

在一段线路中并联着 * 个自动控制

的常开开关，只要其中有 " 个开关

能够闭合，线路就能正常工作$ 若在

某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 $$ 0，则在这段

时间内线路正常工作的概率是

(# $$$/0 +# $$,0*)# $$*’* .# $$&%0

"*#（’$’ 南昌高三第二次调研测试卷 ""）

如图，是一个正方体纸盒的展开图，

若把"，/，*，’，%，& 分别填入小正方形

后，按虚线折成正方体，则所得正方

体相对面上两个数的和都相等的概

率是

—$’—

!" #$ %" #

#& ’" #$( )" #

#*(#+"（’(+ 泉州高中毕业班高考模拟考试 ##）

（理）某集团军在最近的一次海陆空联合军事演习中，红

军对蓝军的飞机进行两次独立的射击，第一次射击的命

中率为 (!$，第二次射击的命中率为 (! ,，飞机击中一次而

被击落的概率为 (! -，若击中二次则飞机必然被击落，则

射击两次而击落飞机的概率是

!. # %. (. *,+ ’. (. &+ ). (. /0+#&"（’(0 海淀 + 月高三第二学期期中练习 0）

（新课程）连续掷两次骰子，以先后得到的点数 "、# 为点

$（"，#）的坐标，那么点 $ 在圆 %* 1 &* 2 #- 外部的概

率应为

!. #0 %. *

0 ’. ###/ ). #0#/#$"（’(0 辽宁部分重点中学高三联合测试 ,〈乙〉）

某中学举行的电脑知识竞赛，满

分 #(( 分，/( 分以上为优良! 现将

高一两个班参赛学生的成绩进行

整理后分成五组，绘制频率分布

直方图（如图）" 已知图中从左到

右的第一、第三、第四、第五小组频率分别为 (! 0(，(! #&，

(!#(，(!(&! 第二小组的频数为 +(，则参赛的人数和成绩优

良的概率分别为

!. #((，(. #& %. #((，(. 0(’. /(，(. #& ). /(，(. 0(

#-"（’(0 武汉部分学校高三调研测试〈一〉-）

（新课程）任意确定四个日期，其中至少有两个是星期天

的概率为

!" *+#*+(# %" ##(&*+(# ’" #

* )" +-

#/"（’(0 湖北八校第二次联考 #(）

（新课程）一个盒子里装有相同大小的红球 0* 个，白球 +

个，从中任取两个，则概率为’#

0*’#+ 1 ’

*+

’*0$

的事件是

!. 没有白球

%. 至少有一个是红球

’. 至少有一个是白球

)! 至多有一个是白球

#,"（’(0 江苏四市高三教学调查测试 #(）

从装有 + 粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随

意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻

璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率

!" 小 %" 大

’" 相等 )" 大小不能确定

*("（’(& 济南高三调研试卷 #*）

一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器

猫以每前进 0 步，然后再后退 * 步的规律移动；如果将此

机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以 # 步的距离

为 # 个单位长，令$（#）表示第 # 秒时机器猫所在的位置

的坐标，且 $（(）2(，那么下列结论中错误的是

!" $（0）20 %" $（&）2#’" $（#(#）2*# )" $（#(0）3$（#(+）

二、填空题

#"（’(& 南通高三九校联考试卷 #$）

一项“过关游戏”规则规定：在第 # 关要抛掷一颗骰子 #次，如果这 # 次抛掷所出现的点数之和大于 #*，则算过关，

那么，连过前两关的概率是4444444!*"（’(+ 东北三校高三第二次联考 #&）

一个口袋中装有大小相同的 * 个白球和 0 个黑球，从中摸

出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜

色不同的概率为5 5 5 5 !0"（’(0 西城 + 月抽样测试 ##）

（新课程）六一儿童节这天，据气象部门考察统计，’ 地下

雨的概率为 (!#，( 地下雨的概率为 (! (&，) 地不下雨的概

率为 (!/，则某报社分派三名记者分赴三地至少有一人遇

到雨天的概率为 !+"（’(0 武汉部分学校高三调研测试〈二〉#&）

（新课程）有红、黄、蓝、绿+ 种颜色的纸牌各, 张，每一种颜

色的纸牌都顺次编号#，*，0，+，&，$，-，/，,! 现将0$ 张纸牌混

合后从中任意抽取 + 张，则 + 张牌的颜色相同的概率是55 5 5 !+ 张牌的颜色相同且数字相连的概率是5 5 5 5 !

&"（’(0 郑州高中毕业班第二次质量预测 #$）

一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为#* ，乙生解出它

的概率为#0 ，丙生解出它的概率为

#+ ，由甲、乙、丙三人独

立解答此题只有一人解出的概率为5 5 5 5 !$"（’(0 徐州高三联合质量检测 #&）

一个箱子内有 , 张票，其号数分别为 #，*，0，⋯，,，从中任取

两张，其号数至少有一个是奇数的概率为5 5 5 5 5 5 !-"（’(0 南通高三第二次调研考试 #$）

某招呼站，每天均有 0 辆开往省城南京的分为上、中、下等

级的客车! 某天袁先生准备在该招呼站乘车前往南京办

事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序! 为了尽可

能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二

辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆! 那么他乘上上

等车的概率为 !三、解答题

#"（’(& 海淀高三第一学期期末练习 #$）

在一次历史与地理两科的联合测试中，备有 $ 道历史题，+道地理题，共 #( 道题以供选择，要求学生从中任意抽取 &道题目作答，答对 + 道或 & 道可被评为良好! 学生甲答对每

道历史题的概率为 (!,，答对每道地理题的概率为 (!/!（#）求学生甲恰好抽到 0 道历史题、* 道地理题的概率；

（*）若学生甲恰好抽到 0 道历史题、* 道地理题，则他能被

—#+—

评为良好的概率是多少？（精确到 !!!"）

#$（’!% 东城高三教学目标检测 "&）

某电路中有红灯、绿灯各一只，当开关闭合后，便有红灯和

绿灯闪动，并且每次有且仅有一只灯亮，设第一次出现红

灯和绿灯的概率相等，从第二次起，前次出现红灯然后接

着出现红灯的概率是"’ ，前次出现绿灯然后接着出现红灯

的概率是’% ! 求：

（"）第二次出现红灯的概率；

（#）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率!

’$（’!% 宣武区高三质量检测 "&）

（理）某车间有 % 名工人独立工作，已知每个工人在 " 小时

内需要电力的概率均为 !!#! 求：

（"）在同一时刻有 ’ 个工人需要电力的概率；

（#）在同一时刻至少有 ( 个工人需要电力的概率；

（’）在同一时刻至多有 ’ 个工人需要电力的概率!（文）某车间有 % 名工人独立工作，据统计每个工人在 " 小

时内平均有 "# 分钟需要电力!（"）求每名工人在 " 小时内需要电力的概率；

（#）求在同一时刻有 ’ 个工人需要电力的概率；

（’）如果最多只能供应 ’ 个工人需要的电力，求超过负荷

的概率!

($（’!% 重庆部分重点中学高三模考 ")）

（文）某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为

(% ，乙当选的概率为

’% ，丙当选的概率为

*"! !

（"）求恰有一人当选的概率；

（#）求至多两人当选的概率!

%$（’!% 成都部分学校高中毕业班质量检测 ")）

（文）已知某射手的射击水平为：击中 "! 环的概率为"# ，击

中 + 环的概率为"’ ，击中 ) 环的概率为

"& ，该射手共射

三枪!（"）求第一枪中 "! 环，第二枪中 + 环，第三枪中 ) 环的

概率；

（#）求三枪分别为 "! 环，+ 环，) 环的概率；

（’）求三枪总环数为 #* 环的概率!

&$（’!% 成都高中毕业班第一次诊断性检测题 "+）

袋中有 ( 个白球，& 个红球，在抽取这些球的时候谁也无法

看到球的颜色! 现先由甲取出’ 个球，并且取出的球将不再

放回原袋中，再由乙取出 ( 个球，若规定取得白球多者获

胜，试求甲获胜的概率!

*$（’!% 济南高三调研试卷 ")）

从原点出发的某质点 "，按向量 ! ,（!，"）移动的概率为

#’ ，按向量 " ,（!，#）移动的概率为

"’ ，设可达到点（!，#）

的概率为 $#，

（"）求 $"和 $#的值；

（#）求证：$# -# ,"’ $# -

#’ $# -"；

（’）求 $#的表达式!

—#(—

!"（’#$ 潍坊高三统一考试 %!）

某厂生产的一批电子元件，按每盒 %# 件进行包装，每盒产

品均需检验合格后方可出厂! 质检办法规定：从每盒的 %#件电子元件中任意抽取 & 件进行检验，若次品数不超过 %件，就认为该盒产品合格；否则就认为该盒产品不合格! 已

知某盒电子元件中有 ’ 件次品!（%）求该盒电子元件被检验不合格的概率；

（’）若对该盒电子元件分别进行四次检验，且每次检验是

相互独立的，则四次检验中至少有 ’ 次检验确定该盒

产品合格的概率为多少？

("（’#$ 镇江高三统测试卷 %)）

有一批种子，每粒发芽的概率为’& ，播下 $ 粒种子! 计算：

（%）其中恰好有 * 粒发芽的概率；

（’）其中至少有 * 粒发芽的概率!（以上各问结果均用最简分数作答）

%#"（’#$ 无锡高中毕业班考试试卷 %)）

某学校从 $ 名男生和 ’ 名女生中任意派 & 人参加市教育

局组织的演讲比赛!（%）求该学校所派 & 名选手都是男生的概率；

（’）求男生、女生都有选手参加比赛的概率；

（&）如果参加演讲比赛的每位选手获奖的概率均为%& ，则

该学校恰好有 ’ 名选手获奖的概率是多少？

%%"（’#$ 福州高中毕业班综合测试卷 %(）

（文）某城市的发电厂有五台发电机组，每台发电机组在

一个季度里停机维修率为 #" ’$，如果有至少两台发电机

组停机维修，将造成该城市缺电，计算

（%）该城市在一个季度里停电的概率；

（’）该城市在一个季度里缺电的概率 "

%’"（’#* 天津高三质量调查 %!）

（文）有九张卡片分别写着数字 %，’，&，*，$，+，)，!，(，甲、乙

二人依次从中各抽取一张卡片（不放回）!（%）求甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字

卡片的概率；

（’）求甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率!

%&"（’#* 天津和平区高中质量检测 %!）

某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为

次品的概率为 #! %，将次品错误地鉴定为正品的概率为

#!’，如果这位检验员要鉴定 * 件产品，这 * 件产品中 & 件

是正品，% 件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各 ’ 件

的概率!

%*"（’#* 重庆高三联合诊断性考试〈第二次〉’#）

设事件" 发生的概率为#，若在" 发生的条件下发生$ 的

概率为 #%，则由 " 产生 $ 的概率为 #·#%! 根据这一事实

解答下题!, , 一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第 #、%、’、⋯、

%##，共%#% 站，一枚棋子开始在第# 站（即 ## -%），由棋手

—&*—

每掷一次硬币，棋子向前跳动一次! 若硬币出现正面则棋

子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站! 直到棋子跳

到第 !! 站（获胜）或第 "## 站（失败）时，游戏结束! 已知

硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第 " 站时的概

率为 #"!（"）求 #"，#$，#%；

（$）设 $" &#" ’#" ’"（"%"%"##），求证：数列｛$"｝是等比

数列；

（%）求玩该游戏获胜的概率!

"()（’#* 东北三校高三第二次联考 "+）

（文）高三（"）班，高三（$）班每班已选出 % 名学生组成代

表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：!按“单打、双打、

单打”顺序进行三盘比赛；"代表队中每名队员至少参加

一盘比赛，不得参加两盘单打比赛! 已知每盘比赛双方胜

出的概率均为"$ !

（"）根据比赛规则，高三（"）班代表队共可排出多少种不

同的出场阵容？

（$）高三（"）班代表队三盘比赛中 两 胜 一 负 的 概 率

是多少？

",)（’#* 长春高中毕业班第二次调研测试 "-）

（文）有一批食品出厂前，要进行 * 项指标抽检，如果至少

有 $ 项指标不合格，那么这批食品就不能出厂! 已知每项

指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率

都为"* !

（"）求这批食品不能出厂的概率；

（$）求直至 * 项指标全部检验完毕，才能确定该批食品是

否出厂的概率？（用分数作答）

"+)（’#* 石家庄 * 月高三模考 $#）

有如图的城镇，其街道成东西方

向和南北方向的方格形，且在每

"## . 处相交! 今有某人从 % 出

发，以每分钟 "## . 的速度行

走!假设从 % 出发走向 & 的概率

和走向 ’ 的概率相等，当来到交点处时，并不返回去，而

是按剩下的任何一个方向前进，且其概率也相同! 如：从 &

向北前进到 ( 时，往 ’、)、* 前进的概率分别为"% ；从 (

向西前进到 ’ 时，往 %、+ 前进的概率分别为"$ ；又从 &

向东前进到 , 时，再往 ) 前进!（"）求从 % 出发，经过 $ 分钟后到达 ( 的概率；

（$）求从 % 出发，经过 % 分钟后到达 ) 的概率；

（%）求从 % 出发，经过 * 分钟后到达 + 的概率!

"-)（’#* 成都高中毕业班第三次诊断性检测题 "+）

甲、乙两支足球队 !# 分钟踢成平局，加时赛 %# 分钟后仍

成平局。现决定每队各派( 名队员，每人射一个点球来决

定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为 #!(!（"）若不考虑乙队，求甲队仅有 % 名队员点球命中，且其

中恰有两名队员连续命中的概率；

（$）求甲、乙两队各射完 ( 个点球后，再次出现平局

的概率!

"!)（’#* 长沙高考调研卷 "-）

（文）某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意

地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的

概率：

（"）第 % 次拨号才接通电话；

（$）拨号不超过 % 次而接通电话!

—**—

!"#（’"$ 湖北八校第二次联考 !"）

（文）甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道

题的概率是%$ ，甲、丙两人都做错的概率是

&&!，乙、丙两人

都做对的概率是&$ !

（&）求乙、丙两人各自做对这道题的概率!（!）求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率!

!&#（’"$ 湖北黄冈中学高三 ’ 月底适应性考试 &(）

甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为 "! (，乙投篮命

中率为 "!)，两人是否投中相互之间没有影响，求：

（&）两人各投一次，只有一人命中的概率；

（!）每人投篮两次，甲投中一球且乙投中两球的概率!

!!#（’"$ 黄冈 $ 月高三质量检测 &*）

（文）甲、乙两人进行围棋比赛，已知在一局棋中甲胜的概

率为!% ，甲负的概率为

&% ，没有和棋! 若进行三局二胜制

比赛，先胜二局者为胜，则甲获胜的概率是多少？若进行

五局三胜制比赛，先胜三局者为胜，则甲获胜的概率

是多少？

!%#（’"$ 武汉高三 $ 月调研考试 &*）

（文）如图用 "、#、$&、$! 四类不同元件连接成两个系统

%、&，在时间 ’ 内，元件 "、# 断电的概率分别为"!$，"!’，

元件 $&，$! 断电的概率分别为"!%，"! !，且各元件断电是

互相独立的!（&）求在时间 ’ 内，系统 % 断电的概率 (（$）；

（!）求在时间 ’ 内，系统 & 断电的概率 (!

!$#（’"$ 青岛高三教学二次统一质量检测 !"）

（文）某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是&! ，构造

数列｛)*｝，使

)* +&，当第 * 次出现正面时

,&，当第 *{ 次出现反面时，记 +* + )& - )! - ⋯ - )*

（*&!.）!（&）求 +) +! 时的概率；

（!）求 +!," 且 +) +! 时的概率!

!’#（’"$ 合肥高三第三次教学质量检测 &*）

某班组织学生参加数学团体竞赛，每三人为一组! 某组有

甲、乙、丙三位同学，他们的解题正确率分别为：&% ，

!’ ，

&! ，比赛中各自解题是独立的，组内若有任一同学解题正

确，本组即可通过预赛参加复赛，求该组能参加复赛

的概率!

!.#（’"$ 合肥高三第二次教学质量检测 &*）

某生产车间的每台机器在 ) 小时内需要维修的概率都为

"!&，机器的维修由技术人员负责，每个技术人员照看一定

数目的机器!若 ) 小时内，这一定数目的机器中，一台以上

需要维修的概率不得超过 "! ".! 那么，一个技术人员最多

能照看多少台机器？

—’$—

!"#（’$% 南京高三第三次质量检测 &’）

某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统

计，甲、乙、丙三人 &$$ ( 跑（互不影响）的成绩在&) *内

（称为合格）的概率分别是!+ ，

)% ，

&) ! 如果对这 ) 名短跑

运动员的 &$$ ( 跑的成绩进行一次检测! 问：

（&）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是

多少？

（!）出现几人合格的概率最大？

!’#（’$% 南通高三第一次调研考试 &’）

对 + 副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再

任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只!（&）求下列事件的概率：

!,：甲正好取得两只配对手套；

"-：乙正好取得两只配对手套；

（!）, 与 - 是否独立？并证明你的结论!

!.#（’$% 苏州高三教学调研测试 &’）

甲、乙、丙 ) 人一起参加公务员选拔考试，根据 ) 人的初试

情况，预计他们被录用的概率依次为$!"、$!’、$!’! 求：

（&）甲、乙 ! 人中恰有 & 人被录用的概率；

（!）) 人中至少有 ! 人被录用的概率!

)$#（’$% 广州普通高中毕业班综合测试〈一〉&"）

某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票 / 张，

排球票 % 张；第二小组有足球票 % 张，排球票 / 张! 甲从第

一小组的 &$ 张票中任抽 & 张，乙从第二小组的 &$ 张票中

任抽 & 张!（&）两人都抽到足球票的概率是多少？

（!）两人中至少有 & 人抽到足球票的概率是多少？

)&#（’$% 南昌高三第二次调研测试卷 &.）

（文）某田径运动员在训练中，练习跨栏项目，其跨栏成功

概率为&) ，共跨栏 / 次!

（&）求这个运动员在第三次跨栏中，首次跨栏成功的

概率；

（!）求这个运动员在跨栏练习过程中，恰好成功 ) 次的

概率!

)!#（’$% 福州高三质量检查 &.）

冰箱中放有甲、乙两种饮料各 + 瓶，每次饮用时从中任意

取 & 瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率

相等!（&）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下 ) 瓶的概率；

（!）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少

多 % 瓶的概率!

))#（’$% 泉州高中毕业班高考模拟考试 &.）

（文）中国三名女子篮球运动员将参加 0-, 选秀，甲入选

的概率是&) ，乙入选的概率是

%" ，丙入选的概率是

"&$ 1

（&）求至少有一名运动员入选的概率；

—/%—

（!）恰有两名运动员入选的概率"

#$%（’&# 东城 ’ 月高三综合练习三 (’）

（新课程）今有强弱不同的十支球队，若把他们均分为两

组进行比赛，分别计算：

（!）两个最强的队被分在不同组内的概率；

（"）两个最强的队恰在同一组内的概率!

#’%（’&# 天津高三质量调研试题 ()）

如右图，用 "、#、$、% 四类不同的元

件连接成系统 &，当元件 " 正常工

作且元件 #、$ 都正常工作，或当元件 " 正常工作且元件

% 正常工作时，系统 & 正常工作! 已知元件 "、#、$、% 正常

工作的概率依次为!# ，

#$ ，

#$ ，

$’ !

（(）求元件 " 不正常工作的概率；

（!）求元件 "、#、$ 都正常工作的概率；

（#）求系统 & 正常工作的概率!

#*%（’&# 天津和平区高三模拟试题 (+）

在袋里装 #& 个小球，其中彩球有：’ 个红色、’ 个蓝色、(&个黄色，其余为白色! 求：

（(）如果已经从中取定了 ’ 个黄球和 # 个蓝球，并将它们

编上不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相

邻的排法有多少种？

（!）如果从袋里取出 # 个相同颜色彩球（无白色）的概率

是(#$&*，且 ’$!，计算红球有几个？

（#）根据（!）的结论，计算从袋中任取 # 个小球至少有一

个是红球的概率？

#)%（’&# 辽宁部分重点中学协作体高考模拟试题 (+）

分别用 $ 个相同的电子元件组成两个系统 &( 和 &!（如图

所示），如果各个元件能否正常工作是相互独立的，每个

电子元件正常工作的概率都是 (（& , ( ,(）!（(）分别求出两个系统正常工作的“可靠度”（元件或系统

能正常工作的概率通常称为“可靠度”）；

（!）请你判断哪个系统更可靠？并说明理由；

（#）&! 系统的可靠度能否是 &( 系统可靠度的! 倍？说明

理由!

#+%（’&# 辽宁部分重点中学高三联合测试 (+）

甲、乙两人进行射击打靶比赛，其中甲中靶的概率为&!+，

乙中靶的概率为 &!-!（(）如果甲、乙各打一枪，求两人都不中靶的概率；

（!）设中靶者得 ! 分，不中靶者得 & 分，现甲、乙两人各打

两枪，求甲、乙两人得分相同的概率!

#-%（’&# 东北四校第二次高考模拟考试 !&）

有外形相同的球分装在三个不同的盒子中，每个盒子 (&个球，其中第一个盒子中) 个球标有字母 "，# 个球标有字

母 #；第二个盒子中有红球和白球各 ’ 个；第三个盒子中

有红球 + 个，白球 ! 个，试验按如下规则进行：先在第一个

盒子中任取一球，若取得标有字母 " 的球，则在第二个盒

子中任取一球；若第一次取得标有字母 # 的球，则在第三

个盒子中任取一球，如果第二次取出的是红球，则称试验

成功，求试验成功的概率!—)$—

!"#（’"$ 沈阳二中高三验收考试试题 %&）

一个口袋中装有大小相同的 $ 个白球和 ! 个黑球!（%）从中摸出两个球，求两球恰好颜色相同的概率；

（’）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色

恰好相同的概率!

!%#（’"$ 太原高三模拟试题 %(）

现有甲、乙、丙三人独立参加入学考试，合格的概率分别为

’$ 、

%’ 、

’) !

（%）求三人中至少有 % 人合格的概率；

（’）求三人中恰有 ’ 人合格的概率!

!’#（’"$ 黄冈 ! 月高三质量检测 %(）

（新课程）现有 ) 张彩票，其中有 ’ 张是奖票，有 ) 个人按

照已确定的顺序，每人从中抽取 % 张，试问这 ) 个人各人

中奖的概率是多少？

!$#（’"$ 黄冈中学高三 ) 月底适应性考试 %(）

（新课程）有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地

锯成了 %""" 个小正方体，将这些小正方体混合后，放入一

个口袋!（%）从口袋中任取一个正方体，恰有两个面涂有红色的概

率是多少？

（’）从口袋中任取两个正方体，其中至少有一个表面上有

红色的概率是多少？

!!#（’"$ 湖北八校第二次联考 %&）

（新课程）在一次口试中，要从 ’" 道题中随机抽出 * 道题

进行回答，全部答对或答对 ) 道就获得优秀，答对其中的

! 道题就获得及格! 某考生会回答 ’" 道题中的 ( 道题，

试求：

（%）他获得优秀的概率是多少？

（’）他获得及格与及格以上的概率有多大？

!)#（’"$ 安徽江南片重点中学高三素质测试 %(）

) 位同学各写一张贺卡放在一起，然后每人抽取其中一张

贺卡

（%）恰好有 $ 人抽到自己贺卡的概率是多少？

（’）至多有 ’ 人抽到自己贺卡的概率是多少？

!*#（’"$ 合肥高三第一次抽样考试 %+）

在未来 $ 天中，某气象台预报每天天气的准确率为"!(，则

在未来 $ 天中，

（%）至少有 ’ 天预报准确的概率是多少？

（’）至少有一个连续 ’ 天预报都准确的概率是多少？

—(!—

!"#（’$% 合肥高三第二次抽样考试 &’）

为了支持三峡工程建设，我市某镇决定接收一批三峡移

民，其中有 % 户互为亲戚关系，将这 % 户移民随意安置到

( 个村民组!（&）求这 % 户恰好安置到同一村民组的概率；

（)）求这 % 户中恰好有 ) 户安置到同一村民组的概率!

!’#（’$% 安徽三市高三联合统一检测试卷 &’）

&) 道选择题，每题有 ! 个答案，其中只有一个答案是正确

的，任意勾选，问选对几题的概率最大？

!*#（’$% 南京高三第二次质量调研卷 &"）

某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有 ) 个交通岗!假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立

的，并且概率都是 $!+! 计算：

（&）) 次都遇到红灯的概率；

（)）至少遇到 & 次红灯的概率!

($#（’$% 南京高三第三次质量调研卷 &*）

甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是&) ，

甲、乙、丙三人都做对的概率是&)!，甲、乙、丙三人全做错

的概率是&! !

（&）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；

（)）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率!

(&#（’$% 连云港高三第二次调研考试 )$）

猎人射击距离 &$$ 米远处的目标，命中的概率为 $!+!（&）如果猎人射击距离 &$$ 米远处的某目标三次，求至少

有一次命中的概率；

（)）如果猎人射击距离 &$$ 米远处的动物，假如第一次未

命中，则进行第二次射击，但由于枪声惊动动物使动

物逃跑，从而使第二次射击时动物离猎人的距离变为

&($ 米，假如第二次仍未命中，则必须进行第三次射

击，而第三次射击时动物离猎人的距离为 )$$ 米! 假设

击中的概率与距离成反比，且猎人最多射击三次，求

命中动物的概率!

一、选择题

&# ,- 由题意知，第四次取球后停止即是当且仅当前三次取的

球是黑球，第四次取的是白球的情况. 此事件发生的概

率为（(* ）% / !

* ，故选 ,!

)# 0- 从 &( 个球中摸出 % 个球的方法为 1%&(种，% 个球中颜色

超过 ) 种的概率为1&

+1&(1

&!

1%&(

2 )!*&，故颜色不超过 ) 种的

概率为& 3 )!*& 2 +"

*& !

【评析】- 颜色不超过 ) 种包括两种情况，即 & 种颜色

和 ) 种颜色，运算起来比较麻烦，故从反面考虑，只需

考虑颜色超过 ) 种，即各色球各取一个的概率，再用 &减去这概率即可!

%# 0- 理解事件之间关系，灯亮应为事件 "# $，且 "、#、$之间彼此独立，故选 0#

!# 1- 用 &、)、%、! 这四个数字组成无重复数字的四位数共

有 0!! 2 )! 个，其中大于 ) $$$ 的数有 1&

%0%% 2 &’ 个!

所以所求的概率是 % 2 &’)! 2 %

! ! 故选 1!

(# 0- 设参加面试的人数为 & 人，则两人同时被招聘进来

—*!—

的概率 ! !"#" $ %

"&"

! #’(，解得 " ! %#，故选 )#

*+ ,- 本题是基础题，重点考查概率的运算#"%

& . #"%

/! 0#(

! %/ #

’+（理）,- 该事件的对立事件为三人处于不同的车厢，此

事件的概率是)&

#(

#( 1 #( 1 #( ! #2%/，所以本题结果为# $ #2

%/

! ’%/ #

【评析】- 思路：本题所处理事件情况复杂，利用互为对

立事件的概率之和为 #，转嫁成求其对立事件的概率，

再用组合、排列数公式求得结果#2+ "- 本题考查概率的应用# 设双引擎不安全飞行的事件

为 $，则 !（$）!（# $ %）%，四引擎不安全飞行的事件

为 &，则 !（&）!（# $ %）0 . "#0（# $ %）&%，由 !（$）3

!（ & ） + !（$）!（&）

! （# $ %）%

（# $ %）0 . "#0（# $ %）&%

!

#（# $ %）% . 0%（# $ %）

! ## . %% $ &%%

3 #，( 4 # . %% $

&%% 4 #+ %& 4 % 4 #，故选 "#

5+ )- 本题用树状图进行解决# 如图可知，第三次传球不能传

给甲#

能传给甲的有 * 次，故满足条件的有 %’ $ * ! %# 次，

四次传球的次数有 &0，则满足条件的概率为%#&0 !

’%’，故选 )#

#(+ ,- 本题考查概率的应用，能被 % 或 / 整除的数，从 %、

0、/ 三个数中任取一个放在个位有 "#& 种，剩下进

行全排有 )00，则能被 % 或 / 整除的数有 "#

& 1 )00 个

+能被 % 或被 / 整除的概率为"#

&·)00

)//

! &/ ，选 ,#

##+ "- 本题考查概率的有关计算，由分析可知：仅一个面

为红色正方体有 * 个，仅两个面有红色正方体有

#% 个，从 %’ 个小正方体中任取两个有 "%%’ 种，其中

一个面为红色小正方体，另一个有两个面为红色的

正方 体 有 "#* ·"#

#%，则 符 合 题 中 条 件 的 概 率 为：

"#*"

##%

"%%’

! * 1 #%%’ 1 %*

%

! 2&5，此题还可以应用不放回抽取

进行求解，有两种可能：6）第一次抽取仅一个面为

红色小正方体的概率为*%’，第二次抽取仅二个面

为红色小正方体概率为#%%*，则完成这件事的概率

为：*%’ 1 #%

%* ! 0&5；66）第一次抽取仅二个面为红色

小正方体的概率为#%%’，第二次抽取仅一个面为红

色小正方体的概率为*%*，则完成这件事的概率为

#%%’ 1 *

%* ! 0&5；6），66）两事件是互斥的，则发生的概

率为：0&5 . 0

&5 ! 2&5，选 "#

#%+ ,- 本题考查概率的应用# 在这段时间内线路不能正常

工作的概率为：（# $ (# ’）（# $ (# ’）（# $ (# ’）!(# && ! (# (%’，则 能 工 作 的 概 率 为 # $ (# (%’ !(# 5’&，故选 ,# 但此题还可以转化为：至少有一个

开关闭合的概率，可分三种情况：6）只有一个闭合；

66）只有两个闭合，666）三个全部闭合，然后求其概率

即为所求##&+ ,- 本题考查排列组合和概率的应用# 由

题易知 #，*；%，/；&，0 分别填充到 ’、(、

! 中，有 )&& ·)%

% ·)%% ·)%

% 种，不考虑

其它条件共有 )** 种，则概率为

)&&·)%

%·)%%·)%

%

)**

!

##/，故选 ,#

#0+（理）7- 本题考查概率的基础知识以及分类讨论的数

学思想# 第一次射击就将其击落的概率：(# * 1 (# ’；第

二次射击将其击落分两种情况：!第一次命中但未击

落的概率：(#* 1(# & 1(# 5；"第一次未命中的概率：(# 01 (# 5 1 (# ’，8 射击两次而击落飞机的概率 (# * 1 (# ’. (# * 1 (# & 1 (# 5 . (# 0 1 (# 5 1 (# ’ ! (# 2&0#

#/+（新课程）7- 以（)，"）为坐标的点共有 * 1 * ! &* 个，

而在圆外的点满足 )% . "% 3 #’，共有 %* 个

8 ! ! %*&* ! #&

#2

#*+（乙）)- 0(# $ (# &( $ (# #/ $ (# #( $ (# (/ ! #((，

(# #( . (# (/ ! (# #/#’+（新课程）)#2+（新课程）"#5+ ,- "#

0 . "&0 3 "%

0 . "00

%(+ 7- 先列出数列 !（"）的前 " 项，即 (，#，%，&，%，#，%，&，

0，⋯可推得 !（/"）! "，!（/" . #）! " . #，!（/" .%）! " . %，!（/" . &）! " . &，!（/" . 0）! " . %（"&!），

8 !（&）! &，!（/）! #，!（#(#）! !（%( 1 / . #）! %(

—(/—

! " # $"! 所以 %、&、’ 均正确，

"（"()）# "（$( * + ! )）# $)，"（"(,）# "（$( * + !,）# $( ! $ # $$，则 "（"()）- "（"(,）! 故选 .!

【评析】/ 本题考查学生的逻辑推理能力，分析问

题解决问题能力!二、填空题

"0 $+)1 / 设过第一关为事件 #，当抛掷一次出现的点数为

$，)，,，+，1 点中之一时，通过第一关，所以 "（#）# +1 !

设过第二关为事件 $，记两次骰子出现的点数为（%，&），

共有 )1 种情况，第二关不能过有如下 1 种情况（"，"），

（"，$），（"，)），（$，"），（$，$），（)，"）! "（$）# " 2 "（$）

# " 2 1)1 # +

1 ! 所以连过前两关的概率为

"（#）"（$）# $+)1 !

$0 "$$+ / !先摸出白球/ "白 # ’"

$，再摸出黑球，"白黑 # ’"$ ·

’")；"先摸出黑球，"黑 # ’"

)，再摸出白球，"黑白 # ’") ·

’"$，故 " #

’"$·’"

)

’"+·’"

+!’"

)·’"$

’"+·’"

+# "$$+ !

)0（ 新 课 程）(! 333 / " # " 2 (! " * (! (+ *（" 2 (! 4）

# (! 333

,0（新课程）43)+，

4"31)+/ "" #

, * %,3

%,)1

# 43)+，"$ #

, * 1 * %,,

%,)1

# 4"31)+

+0 ""$, / " # "

$ ·$) ·

), ! "

$ ·") ·

), ! "

$ ·$) ·

",

# ""$,

10 +1 / 至少有一个奇数，抽法有 ’"

+’", ! ’$

+ # )(，" # )(’$

3#

)()1 # +

1

50 "$ / 假如第一辆是上等车，则袁先生不能乘上上等车，

反之，他一定能乘上上等车，6 " # "$ !

三、解答题

"0（"）学生甲恰好抽到 ) 道历史题、$ 道地理题的概率为：

’)1’

$,

’+"(

# "($" 7

（$）若学生甲被评为良好，则他可能答对 + 道，记作事

件 #；或答对 ) 道历史题、" 道地理题，记作事件 $；或答

对 $ 道历史题、$ 道地理题，记作事件 ’!8 "（#）# (! 3) * (! 4$，"（$）# (! 3)’"

$(! 4 * (! $，

"（’）# ’$)(! 3

$ * (! " * (! 4$，

6 甲被评为良好的概率为

"（#）! "（$）! "（’）# (! 3$ * (! 4 *（(! 3 * (! 4 ! (! ,* (! 3 ! (! ) * (! 4）# (! 4++)17(! 41!

$0 由于第一次出现红灯和绿灯的概率相等，由等可能事

件的概率知，第一次出现红灯和绿灯的概率均为"$ ，由

对立事件的概率可知，从第二次起，前次出现红灯然后

接着出现红灯的概率是") ，则接着出现绿灯的概率是

$) ；前次出现绿灯然后接着出现红灯的概率是

)+ ，则接

着出现绿灯的概率是$+ !

（"）"$ * )

+ ! "$ * "

) # 5"+；

（$）"$ * $

+ * )+ ! "

$ * )+ * $

) ! "$ * $

) * $+ # ),

5+ !

)0（理）设在同一时刻有 ( 个工人需要电力为事件 #(（ ( #(，"，$，)，,，+）! 因为每位工人独立工作，所以每位工人

需要电力也相互独立!（"）) 人同时需要电力的概率为：

"（#)）# ’)+(! $

) *（" 2 (! $）$ # (! (+" $；

（$）显然事件 #( 两两互斥，故至少 , 人同时需要电力的

概率为："（#,）! "（#+）# ’,+(! $

, *（" 2 (! $）! ’++(! $

+

# (! ((1 , ! (! ((( )$ # (! ((1 5$!（)）8 "（#( ）! "（#" ）! "（#$ ）! "（#) ）! "（#, ）!"（#+）# "，6 至少有 ) 个工人同时需要电力的概率为：

"（#(）! "（ #" ）! "（ #$ ）! "（ #) ）# " 2［"（ #, ）!"（#+）］# " 2 (! ((1 5$ # (! 33) $4!

（文）（"）每名工人在 " 小时内需要电力的概率为 "" #"$1( # "

+ ；

（$）因为每位工人独立工作，所以他们需要电力也相互

独立，故有 ) 人在同一时刻需要电力的概率为：

"$ # ’)+（

"+ ）)（" 2 "

+ ）$ # (! (+" $；

（)）由于最多只能供应 ) 个人同时使用电力，因此当有

, 人或 + 人同时使用电力时即超负荷，其概率为：

") # ’,+（

"+ ）,（" 2 "

+ ）! ’++（

"+ ）+ # ,

1$+ ! ") "$+

# (! ((1 , ! (! ((( )$ # (! ((1 5$,0（文）设甲、乙、丙当选的事件分别为 #、$ 和 ’!

（"）"（#）# ,+ ，"（$）# )

+ ，"（’）# 5"( ! 因为事件 #、$、’

相互独立，恰有 " 名同学当选的概率为 "（#·6$·6’）!"（6#·$·6’）! "（6#·6$·’）# "（#）·"（6$）·"（6’）!

"（6#）·"（$）·"（6’）! "（6#）·"（6$）·"（’）# ,+ * $

+

* )"( ! "

+ * )+ * )

"( ! "+ * $

+ * 5"( # ,5

$+(!

（$）至多有两人当选的概率为 " 2 "（#·$·’）# " 2—"+—

!（"）·!（#）·!（$）! " # $% & ’

% & (") ! *’

"+%%

%,（文）设射手射中") 环、- 环、* 环的事件分别为 "、#、$，

（"）!（"#$）! !（"）·!（#）·!（$）! "’. %

（+）因为 *、-、") 的排列有 . 种，即 . 种不同的排列为 .

种互斥事件，因此 !" ! /’’·

"’. ! "

. %

（’）由于"+ 0 "

’ 0 ". !"，故三枪的环数只能是 -、-、- 或

")、-、*，这是两种互斥事件，因此 !+ !（"’ ）’ 0 "

. ! ""%$ %

【评析】1 本题从不同的角度考查了相互独立事件、互

斥事件的概率计算，注意应用“正难则反”的解题方法，

若一个事件的正面情形较多时，通常考虑它的对立事

件发生的概率来解决问题%., 甲获胜包含以下三个事件：

（"）甲取 ’ 个白球必胜，其概率为 !" !2’

$

2’")! "’)；

（+）甲取出 + 个白球获胜是在乙取 " 个白球 ’ 个红球

或 $ 个 红 球 的 情 况 下 发 生 的，其 概 率 为 !+ !2+

$2".（2"

+2’% 0 2$

%）

2’")2

$(

! ’"$；

（’）甲取 " 个白球获胜是在乙取 $ 个红球的情况下发

生的，其概率为 !’ !2"

$2+.2

$$

2’")2

$(

! "() %

由于这 ’ 个事件互斥，所以甲获胜的概率为

! ! !" 0 !+ 0 !’ !"’) 0 ’

"$ 0 "() ! ""

$+ %

(,（"）!" !+’ ，!+ !（

+’ ）+ 0 "

’ ! (- %

（+）到达点（)，& 0 +）有两种情况：从点（)，&）按向量 !!（)，+）移动；从点（)，& 0 "）按向量 " !（)，"）移动，概

率分 别 为 !& &"’ 与 !& 0 " & +

’ ，所 以 !& 0 + ! "’ !&

0 +’ !& 0 " %

（’）由（+）得 !& 0 + # !& 0 " ! # "’（!& 0 " # !& ），故数列

｛!& 0 " # !&｝是以 !+ # !" !"- 为首项，# "

’ 为公比的等

比数列，故 !& 0 " # !& !"- ·（ # "

’ ）& # " !（ # "’ ）& 0 "，

于是 !& # !" !（!& # !& # "）0 ⋯ 0（!+ # !"）

! ""+·［" #（ # "

’ ）& # "］%

3 !& !’$ 0 "

$ ·（ # "’ ）& %

【评析】1 由质点 ’ 按向量 " !（)，"）移动得 !" 的概

率，质点 ’ 按向量 " !（)，"）移动或按向量 ! !（)，+）移

动两种情况都可以得到 !+，所以独立事件的概率求得

!+ % 同样要到达点（)，& 0 +）有两种情况：从点（)，&）按

向量 ! !（)，+）移动；从点（)，& 0 "）按向量 " !（)，"）移

动，所以可得 !& 0 + ! "’ !& 0

+’ ·!& 0 " % 第三问，先由等

比数列得出 !& 0 " # !& !"- ·（ # "

’ ）& # " !（ # "’ ）& 0 "，

再由 !& # !" !（!& # !& # " ）0 ⋯ 0（!+ # !" ）! ""+ ·［"

#（ # "’ ）& # "］

从而求得 !& !’$ 0 "

$ ·（ # "’ ）& %

*,（"）从该盒的 ") 件电子元件中任抽 ’ 件，共有 2’") 种抽

法，其中 + 件次品全被检出的抽法有 2++2

"* 种，则该盒电

子元件被检验不合格的概率为2+

+2"*

2’")

! ""% %

（+）每次检验认为合格的概率为 " # ""% ! "$

"%，

则进行四次检验，至少有 + 次被检验为合格的概率为

" # !$（)）# !$（"）! " #（ ""%）$ # 2"

$ &"$"% &（" # "$

"%）’

! " #（ ""%）$ # $ & "$

"% &（ ""%）’

! " # "%) .+% # %.

%) .+% ! ". *%.". *(% %

答：至少有+ 次检验确定该盒产品为合格的概率为". *%.". *(%%

-,（"）其中恰好有 $ 粒发芽的概率

!" ! 2$%（

+’ ）$（" # +

’ ）! *)+$’%

（+）其中至少有 $ 粒发芽的概率

!+ ! 2$%（

+’ ）$（" # +

’ ）0 2%%（

+’ ）% ! ""++$’%

"),（"）等可能事件，’ 名选手均为男生的概率 !" !2’%

2’(! +( ；

（+）男生、女生都有选手参加比赛的概率 !+ !" #!" !%( ；

（’）该学校恰好有 + 名选手获奖的概率

!’ ! 2+’·（

"’ ）+·（

+’ ）! +

- %

"",（文）（"）该城市停电，即五台机组全部停机维修，就是

在五次独立重复试验中，“ 维修”事件发生五次，其概

率为 !%（%）! 2%%（), +%）%), (%) !（ "

$ ）% ! "" )+$,

（+）该城市缺电，即五台机组至少两台停机维修，就是在五

次独立重复试验中“维修”事件至少发生 + 次，即发生 + 次、

’ 次或$ 次，其概率为 !%（+）0!%（’）0!%（$）,!%（+）! 2+

%（), +%）+（), (%）’7), +.$，

!%（’）! 2’%（), +%）’（), (%）+7), )**，

—+%—

!!（"）# $"!（%& ’!）"（%& (!）)7%& %)!，

故该城市在一个季度内缺电的概率为

%& ’*" + %& %,, + %& %)! # %& -*(&)’&（文）（)）甲、乙二人依次从九张卡片中各抽取一张的

结果有 $).·$)

, 种" 甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽

到写有偶数数字卡片的结果有 $)! ·$)

" 种" 设甲抽到

写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概

率为 !)，则，!) #$)

!·$)"

$).·$)

,# ’%(’ # !

), "

（’）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的事件包

含下面三个事件：“甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽

到写有偶数数字卡片”有 $)! ·$)

" 种；“ 甲抽到写有偶

数数字卡片，且乙抽到写有奇数数字卡片”有 $)" ·$)

!

种；“甲、乙二人均抽到写有奇数数字卡片”有 $)! ·$)

"

种" 设甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的事件

为 !’，则，!’ #$)

!·$)" + $

)"·$)

! + $)!·$)

"

$).$

),

# *%(’ # !

* "

)-& 将 - 件正品，) 件次品鉴定为 ’ 件正品，’ 件次品有两

种可能：（)）将原 ) 件次品仍鉴定为次品，原 - 件正品

中 ) 件错误的鉴定为次品，这时概率为：%" , / $)- / %" )

/ %" .’ # %" )."""（’）将原 ) 件次品错误鉴定为正品，再将 - 件正品中

的 ’ 件错误的鉴定为次品，这时的概率为：%" ’ / $’- /

%" )’ / %" . # %" %%!"，于是所求的概率为 ! # %" )."" +%" %%!" # %" )..,"

)"&（)）0 !% # )，1 !) #)’ ，!’ #

)’ / )

’ + )’ # -

" ，!- #

)’ / )

’ + -" / )

’ # !, "

（’）棋子跳到第 # 站，必是从第 # 2 ) 站或第 # 2 ’ 站

跳来的（’%#%)%%），所以 !# #)’ !# 2 ) +

)’ !# 2 ’，1 !#

2 !# 2 ) # 2 !# 2 ) + )’ !# 2 ) + )

’ !# 2 ’，# 2 )’（!# 2 ) 2

!# 2 ’），1 $# # 2 )’ $# 2 )（’%#%)%%），且 $) # !) 2 !%

# 2 )’ " 故｛$#｝是公比为 2 )

’ ，首项为 2 )’ 的等比数

列（)%#%)%%）"（-）由（’）知，$) + $’ + ⋯ + $.. #（!) 2 !% ）+（!’ 2

!)）+ ⋯ +（!.. 2 !., ）#（ 2 )’ ）+（ 2 )

’ ）’ + ⋯ +

（ 2 )’ ）..+!.. 2 !% # 2

) +（ )’ ）..

- +!.. # ’-（) 2

)’)%%）" 故获胜的概率为 !.. #

’-（) 2 )

’)%%）"

)!&（文）（)）3’- / ’ # )’（种）"

（’）设 % #｛) 班第 ) 盘胜｝，& #｛) 班第 ’ 盘胜｝，’ #

｛) 班第 - 盘胜｝，1 !（%&6’）+ !（6%&’）+ !（%6&’）#), + )

, + ), # -

,)*&（文）考查相互独立事件概率的计算，运用知识解决问

题的能力，（)）若 " 次抽检中至少出现 ’ 项不合格，则

这批食品不能出厂，故所求概率为 ) 2 $%"（

)" ）%（

-" ）"

2 $)"（

)" ）)（

-" ）- # *(

’!*" 答：这批食品不能出厂的概

率为*(’!*"

（’）由题意知前 - 次抽检中恰有 ) 项不合格，所求概

率为，$)-（

)" ）)（

-" ）’ # ’(

*" " 答：直至 " 项指标全部检

验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率为’(*" "

)(&（)）0 从 % 经过 ’ 分钟后到达 (，有且只有两种走法：

%-)-( 或 %-&-(，1 从 % 出发经过 ’ 分钟到达 (

的概率为)’ / )

’ + )’ / )

’ # )’ "

（’）0 从 % 经过 - 分钟后到达 * 有三种走法：%-)-(-* 或 %-&-(-* 或 %-&-’-*" 1 从 % 出发经

过 - 分钟后到达 * 的概率为)’ / )

’ / )- + )

’ / )’ /

)- + )

’ / )’ / ) # !

)’ "

（-）0 从 % 经过 " 分钟后到达 + 的走法只有三种" %-&-(-,-+ 或 %-)-(-,-+ 或 %-&-(-)-

+" 1 从 % 经过 " 分钟到达 + 的概率为：)’ / )

’ / )’

/ )- + )

’ / )’ / )

- / )- + )

’ / )’ / )

- / )- # (

(’ "

),&（)）甲队中 - 名队员射中，并恰有两名队员连续射中

的情形有 3’- 种" 其概率为 !) # 3

’-·（%" !）-（) 2 %" !）’

# -)* "

（’）若再次出现平局，有如下几种可能情况：%4 % 或)4 )或 ’4 ’ 或⋯或 !4 ! 共 * 种可能" 其概率为，!’ #［$%

! /%" !% /（) 2 %" !）! ］’ +［$)

! / %" !) /（) 2 %" !）" ］’ + ⋯

+［$!! / %" !

! /（) 2 %" !）%］’ # *-’!*"

).&（文）设 %) #｛第 - 次拨号接通电话｝，- # )，’，-"

（)）第 - 次才接通电话可表示为：%)

—

%’

—

%- 于是所求概

率为!（%)

—

%’

—

%-）# .)% / ,

. / ), # )

)%；

（’）拨号不超过 - 次而接通电话可表示为：%) + %)

—

%’

+ %)

—

%’

—

%- 于是所求概率为 !（%) + %)

—

%’ + %)

—

%’

—

%- ）#

!（%)）+ !（%)

—

%’）+ !（%)

—

%’

—

%- ）# ))% + .

)% / ). + .

)% /

—-!—

!" # $

! % &$’ !

(’)（文）（$）记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件依次

为 "、#、$，则由已知条件得：%（"）% &* ，%（"·$）%

［$ + %（ "）］［$ + %（$）］% $*［$ + %（$）］% $

$(，

%（#$）% %（#）%（$）% $* ! 解得：%（#）% &

! ，%（$）%

(& ! , 乙、丙 两 人 各 自 做 对 这 道 题 的 概 率 分 别 为

&! ，

(& !

（(）甲、乙、丙三人中恰好有两人做对这道题的概率

为，%（" $# - # "$ - " #$）% %（"）%（#）［$ + %（$）］

- %（#）%（$）［$ + %（"）］- %（"）%（$）［$ + %（#）］%&* ·

&! ·

$& - &

! ·(& ·

$* - &

* ·(& ·

.! % $.

&(；

甲、乙、丙三人都做对这道题的概率为%（"）%（#）%（$）%&* ·

&! ·

(& % &

$/；, 甲、乙、丙三人中至少有两人做对

这道题的概率为，%（" #$ - # $" - " $#）- %（"）·

%（#）%（$）% ($&( !

另解：甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率

为，$ + %（"·#·$）+ %（"·#·$ - #·"·$ - $·"

·#）% ($&( !

($)（$）记“ 甲投篮一次命中”为事件 "，“ 乙投篮一次命

中”为事件 #，, %（"）% ’! 0，%（#）% ’! !，两人各投一

次只有一人命中为事件 "·6# -6"·#，, %（"·6# -6"·#）% %（"·6#）- %（6"·#），% %（"）·%（6#）- %（6"）

·%（#），% ’! 0·（$ + ’! !）-（$ + ’! 0）·’! ! % ’! &!!（(）甲投篮两次相当于进行两次独立重复试验，甲投

中一球的概率为 1$(’! 0

$ ·（$ + ’! 0）$ % ’! *(，乙投篮

两次相当于进行两次独立重复试验，乙投中二球的概

率为 1((·’! !( % ’! /*，, 甲投中 $ 球且乙投中两球的

概率为 ’! *( # ’! /* % ’! (/!!!(()（文）在三局二胜制中：%（ 甲获胜）% %（ 连胜二局）-

%（甲胜第三局后才能获胜）%（ (& ）( - 1$

(·$& ·（

(& ）(

% *" - !

(0 % (’(0 ! 在五局三胜制中：%（ 甲获胜）% %（ 甲

连胜三局）- %（甲先输一局第四局胜）- %（ 甲先输二

局第五局胜）%（ (& ）& - 1$

( ·$& ·（

(& ）( - 1(

*（$& ）(

·（(& ）& % !

(0 - !(0 - $/

!$ % /*!$ !

(&)（文）（$）先求在 & 时间内，系统 ’ 断电概率 %（$），则

%（$）% %（$$ - $( ）% %（$$ ）- %（$( ）+ %（$$ ）·

%（$(）% ’! & - ’! ( + ’! & # ’! ( % ’! **!（(）将系统 ( 中由 #、$$、$( 组成的系统断电概率记为

%（)），则 %（)）% %（#）·%（$）% ’! . # ’! ** % ’! ((!而系统 ( 断电概率 % % %（" - )）% %（"）- %（)）+%（"）·%（)），, % % ’! * - ’! (( + ’! * # ’! (( % ’! .&(!或 %（ " - # ·（ $$ - $( ）） % $ + %（ 6" ）·

%（#·（$$ - $(））————————————

% ’! .&(!(*)（文）（$）*! % ( 需 ! 次中有 . 次正面 & 次反面，设其概

率为 %$，则 %$ % 1.!（

$( ）.（

$( ）& % ! # 0 # /

& # ( （$( ）!

% 0&( !

（(）*(,’ 即前两次同时出现正面或出现反面，当同时

出现正面时 *( % (，要 *! % ( 需后六次 & 次正面 & 次反

面，设其概率为 %(，则 %( %$( # $

( # 1&/（

$( ）&（

$( ）&

%（ $( ）! # / # . # *

& # ( % ./*，当 同 时 出 现 反 面 时 *( %

+ (，要 *! % ( 需后六次 . 次正面 $ 次反面，设其概率

为 %&，则 %& %$( # $

( # 1./（

$( ）.（

$( ）%（ $

( ）! # / %

&$(!，, 当 *(,’ 且 *! % ( 时 的 概 率 % % .

/* - &$(!

% $&$(!!

(.) 解法一：设 "、#、$ 分别表示甲、乙、丙三位同学解题正

确! 则6"，6#，6$ 分别表示甲、乙、丙三位同学解题不正

确! 由于解题是相互独立的，因此，6"，6#，6$ 是相互独立

事件! " - # - $ 表示：至少有一人解题正确；6"·6#·6$表示：无人解题正确，即 " - # - $ 与 6"·6#·6$ 是对立

事件! 即" - # - $—————————

%6"·6#·6$! , %（" - # - $）% $ +

%（" - # - $—————————

）% $ + %（6"·6#·6$）% $ + %（6"）·%（6#）·

%（6$），2 %（"）% $& ，%（#）% (

. ，%（$）% $( ，, %（" -

# - $）% $ +（$ + $& ）·（$ + (

. ）·（$ + $( ）% *

. ! 即

该组能参加复赛的概率为*. !

解法二：至少有一个人解题正确，"·6#6$ -6"#6$ -6"6#$- "#6$ - "6#$ -6"#$ - "#$，%（"6#6$ -6"#6$ -6"6#$ - "6#$-6"#$ - "#$），% %（"6#6$）- %（6"#6$）- %（6"6#$）-

%（"#6$）- %（"6#$）- %（6"#$）- %（"#$）% *. !

(/) 设每个技术人员照看 + 台机器! 由题意 $ + ’! "+ +

1$+·’! $·’! "+ + $%’! ’/，即

" - +$’ ·’! "+ + $$’! "*! 经验

算 + % $，(，&，* 时，上式成立；+ % . 时，上式不成立!, 每个技术人员最多能照看 * 台机器!

(0) 分别记甲、乙、丙三人 $’’ 3 跑合格为事件 "，#，$! 显

—*.—

然，!、"、# 相互独立$ %（!）! "# ，%（"）! $

% ，%（#）!

&$ ，%（6!）! & ’ "

# ! $# ，%（6"）! & ’ $

% ! &% ，%（6#）! &

’ &$ ! "

$ $ 设恰有 & 人合格的概率为 %&（ & ! (，&，"，

$）$（&）三人都合格的概率为，%$ ! %（!·"·#）!

%（!）·%（"）·%（#）! "# ) $

% ) &$ ! &

&(；三人都不

合格的概率为，%( ! %（6!·6"·6#）! %（6!）·%（6"）·

%（6#）! $# ) &

% ) "$ ! &

&( $

答：三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是&&( $

（"）因为 !·"·6#，!·6"·#，6!·"·# 两两互斥，所

以恰有两人合格的概率为，%" ! %（!·"·6# * !·6"·

# *6!·"·#）! %（!·"·6#）* %（!·6"·#）* %（6!·

"·#）! "# ) $

% ) "$ * "

# ) &% ) &

$ * $# ) $

% ) &$

! "$+(；恰有一人合格的概率为，%& ! & ’ &

&( ’ &&( ’ "$

+(

! "#+( $ 由（&）（"）知，%(，%&，%"，%$ 中，%& 最大$

答：出现恰有 & 人合格的概率最大$

",-（&）!%（!）!.&#·"·/"

,

/%&(

! &0 ，"%（"）!

.&#·"·/"

,

/%&(

! &0 $

（"）%（!"）!."#·"·.&

"·"/%

&(! &+$，%（!）%（"）! &

,&，

1 %（!）%（"）,%（!"），故 ! 与 " 是不独立的$"0- 记“甲被录用”为事件 !，“乙被录用”为事件 "，“ 丙被

录用”为事件 #$（&）甲、乙两人中恰有 & 人被录用包

括 !·6"、6!·" 两种情况，这两种情况所对应的事件为

互斥事件$2 %（!·6" *6!·"）! %（!）%（6"）* %（6!）%（"）! ($ 3)（& ’ ($ ,）*（& ’ ($ 3）) ($ , ! ($ &% * ($ "% ! ($ $,$

（"）“$ 人中至少有 " 人被录用”分为“$ 人中恰有 " 人

被录用”和“$ 人都被录用”两种情况，这两种情况所

对应的事件为互斥事件$“$ 人中恰有 " 人被录用”的

概率为：

%（!·"·6# * !·6"·# * 6!·"·#）! %（!）%（"）

%（6#）* %（!）%（6"）%（#）* %（6!）·%（"）%（#）! ($ 3) ($ , )（& ’ ($ ,）* ($ 3 )（& ’ ($ ,）) ($ , *（& ’ ($ 3）

) ($ , ) ($ , ! ($ &&" * ($ &&" * ($ &0" ! ($ %&+$“$ 人都被录用”的概率为：

%（!·"·#）! %（!）%（"）%（#）! ($ %%,$ 2 $ 人至少

有 " 人被录用的概率 % ! ($ %&+ * ($ %%, ! ($ ,+%$$(- 记“ 甲从第一小组的 &( 张票中任抽 & 张，抽到足球

票”为事件 !，“乙从第二小组的 &( 张票中任抽 & 张，

抽到足球票”为事件 "，则“甲从第一小组的 &( 张票中

任抽 & 张，抽到排球票”为事件 6!，“ 乙从第二小组的

&( 张票中任抽 & 张，抽到排球票”为事件6"，于是%（!）

! +&( ! $

# ，%（6!）! "# ；%（"）! %

&( ! "# ，%（6"）! $

# $

由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到

足球票没有影响，因此 ! 与 " 是相互独立事件$（&）

甲、乙两人都抽到足球票就是事件 !·" 发生，根据相

互独立事件的概率乘法公式，得到 %（!·"）! %（!）

·%（"）! $# ·

"# ! +

"# $ 答：两人都抽到足球票的概率

是+"# $

（"）甲、乙两人均未抽到足球票（ 事件 6!·6" 发生）的

概率为：%（6!·6"）! %（6!）·%（6"）! "# ·

$# ! +

"# $

2 两人中至少有 & 人抽到足球票的概率为：% ! & ’

%（6!·6"）! & ’ +"# ! &0

"# $ 答：两人中至少有 & 人抽到足

球票的概率是&0"# $

$&-（文）（&）% !（& ’ &$ ）（& ’ &

$ ）) &$ ! %

"3 $

（"）% ! .$+（

&$ ）$（& ’ &

$ ）$ ! &+(3"0$"-（&）由题意知，甲种已饮用 # 瓶，乙种已饮用 " 瓶$ 记

“饮用一 次，饮 用 的 是 甲 种 饮 料”为 事 件 !，则 % !

%（!）! &" $ 题（&）即求 3 次独立重复试验中事件 ! 发

生 # 次的概率为：%3（#）! .#3%

#（& ’ %）" ! ."3（

&" ）3

! "&&",$

（"）有且仅有 $ 种情形满足要求：甲被饮用 # 瓶，乙被

饮用 & 瓶；甲被饮用 # 瓶，乙没有被饮用；甲被饮用 %瓶，乙没 有 被 饮 用$ 所 求 概 率 为：%+（#）* %#（#）*

%%（%）! .#+%

#（& ’ %）* .##%

# * .%%%

% ! $&+ $ 答：甲饮料饮

用完毕而乙饮料还剩$ 瓶的概率为"&&",，甲饮料被饮用瓶数

比乙饮料被饮用瓶数至少多% 瓶的概率为$&+ $

$$-（文）（&）至少有一名运动员入选的概率：% ! & ’（& ’&$ ）（& ’ %

3 ）（& ’ 3&(）! & ’ $

$# ! $"$# $

（"）恰有两名运动员入选“ 甲、乙入选，丙不入选”、

“乙、丙入选，甲不入选”、“甲、丙入选，乙不入选”三种

情况，则所求概率：% ! &$ ) %

3 )（& ’ 3&(）*（& ’ &

$ ）

) %3 ) 3

&( * &$ )（& ’ %

3 ）) 3&( ! &" * #+ * "&

"&( ! ,0"&($

—##—

答：至少有一名运动员入选的概率是!"!#，恰好两名运

动员入选的概率是$%"&’!

!()（新课程）（!）&’ 支球队均分为两组有&" *#

&’ 种分法，

而两支最强队必分开的分法有&" *&

"*($ 种，记“ 两最强

队分开”的事件为 "，则 #（"）+

&" *&

"*($

&" *#

&’

+ #%

（"）记“两强队分在同组”为事件 $，则 $ 所包含的基

本事件数为 *""*

!$ 种，于是 #（$）+

*""*

!$

&" *#

&’

+ (%

!#)（&）元件 " 正常工作的概率 #（"）+ "! ，不正常工作的

概率 #（"—）+ & , #（"）+ &!

（"）元件 "、$、% 都正常工作的概率

#（"·$·%）+ #（"）#（$）#（%）+ "! ·

!( ·

!( + !

$（!）系统 & 正常工作分为 "、$、% 都正常工作和 "、’

正常工作但 $、% 不都正常工作两种情况! 前者概率为

!$ ，后者的概率 #（"·$—·%·’）- #（"·$·%—·’）

- #（"·$—·%—·’）+ "! ·

&( ·

!( ·

(# - "

! ·!( ·

&( ·

(# - "

! ·&( ·

&( ·

(# + .

!’

所以系统 & 正常工作的概率是!$ - .

!’ + .!&"’

!/)（&）将 # 个黄球排成一排只有 0## 种排法，将 ! 个蓝球

放在 # 个黄球所形成的 / 个空上，有 0!/ 种放法

1 所求的排法为 0##0

!/ + # 2 ( 2 ! 2 " 2 / 2 # 2 ( +

&((’’（种）

（"）取 ! 个球的种数为 *!!’ + (’/’，设“! 个球全为红

色”为事件 "，“! 个球全为蓝色”为事件 $，“! 个球全

为黄色”为事件 %!

#（$）+*!

#

*!!’+ &’(’/’3 3 #（%）+

*!&’

(’/’ + &"’(’/’

4 "、$、% 为互斥事件 3 1 #（" - $ - %）+ #（"）-

#（$）- #（%），即&!(’/ + #（"）- &’

(’/’ - &"’(’/’+#（"）+ ’

+取 ! 个红球的个数%"，又4 ($"，故 ( + "!（!）记“! 个球中至少有一个是红球”为事件 ’，则 ’

为“! 个球中没有红球”#（’）+ & , #（’）+ & ,*!

"$

*!!’+

"$&(#或 #（’）+

*&"·*"

"$ - *""·*&

"$

*!!’

+ "$&(#

!.)（&）系统 && 的“可靠度”#& + & ,（& , )"）" + ")" , )(

系统 &" 的“可靠度”#" +［& ,（& , )）" ］" + ()" , ()!

- )(

（"）4 #" , #& + ")"（& , )）" 5 ’，1 #" 5 #& ! 所以系统

&" 更可靠!（!）若 #" + "#&，由（&）得 ()" , ()! - )( + ()" , ")(，

解得 ) + (! ，这与 ’ 6 ) 6 & 矛盾，所以这种情况不可能

!$)（&）设“甲不中靶为事件 "”“乙不中靶为事件 $”

1 两人都不中靶的概率 # + #（"·$）+［& , #（"）］［&, #（$）］+ ’! " 2 ’! & + ’! ’"!

（"）得分相等，分三种情况“ 甲、乙两人两枪都不中

靶”，“甲乙两人都只有一枪中靶”，“甲、乙两人两枪都

中靶”1 甲、乙两人两枪都中靶的概率 #& + ’! $ 2 ’! $2 ’! % 2 ’! % + ’! #&$(；甲、乙都只有一枪中靶的概率

#" + *&"’! $ 2 ’! " 2 *&

"’! % 2 ’! & + ’! ’#./；甲、乙两人两

枪都不 中 靶 的 概 率 #! + ’! " 2 ’! " 2 ’! & 2 ’! & +’! ’’’(；1 两 人 得 分 相 等 的 概 率 # + #& - #" - #!

+ ’! #./(!!%) 设事件 " +｛从第一个盒子中取得一个标有字母 " 的球｝，

事件$ +｛从第一个盒子中取得一个标有字母 $ 的球｝，

则 "，$ 互斥，且 #（"）+ .&’，#（$）+ !

&’；

事件 % +｛从第二号盒子中取一个红球｝，

事件 ’ +｛从第三号盒子中取一个红球｝，

则 %、’ 互斥，且 #（%）+ &" ，#（’）+ $

&’ + (# !

显然，事件 "·% 与事件 $·’ 互斥，且事件 " 与 % 是

相互独立的，$ 与 ’ 也是相互独立的! 所以试验成功

的概率为 # + #（"·% - $·’）+ #（"·%）- #（$·

’）+ #（"）·#（%）- #（$）·#（’）+ #%&’’

(’)（&）从 . 个球中任意摸出 " 个球共有 *". + "& 种情况，

其中两个都是白球的情况有 *"! + ! 种，两个都是黑球

的情况有 *"( + / 种! 所以摸出两个球颜色相同的情况

共有 *"! - *

"( + % 种，其概率为

*"! - *

"(

*".

+ !. !

（"）从已知的 . 个球中任意摸出一个，摸到白球的概

率为!. ，摸到黑球的概率为

(. ! 连续两次摸到白球的

概率为!. 2 !

. + %(%，连续两次摸到黑球的概率为

(.

2 (. + &/

(% ! 所以两次摸到的球颜色相同的概率为!.

2 !. - (

. 2 (. + "#

(% !

(&)（&）记三人合格分别为事件 "&、""、"!，

则 #（"&）+ "! ，#（""）+ &

" ，#（"!）+ "# !

—/#—

! 三人中至少有一人合格的概率为 " # !（""—

·"$—

·

"%—

）& " #（" # $% ）·（" # "

$ ）·（" # $’ ）& (

") #

（$）三人中恰有两人合格的概率为

!（""·"$·"%——— * "" ·"$

———·"% * ""

———·"$ ·"% ）& $

% +

"$ +（" # $

’ ）* $% +（" # "

$ ）+ $’ *（" # $

% ）+ "$

+ $’ & $

’ #

,$-（新课程）第一个人抽到奖票的概率为$’ ，为求第二个

人抽到奖票的概率，需对前 $ 个抽票者的整体情况进

行研究# 在前 $ 个人抽票的所有 .$’ 种情况中，第二个

人抽到奖票的情况有 ."$ ·."

, 种，设有 "，$，%，&，’ ’张彩票，&，’ 为奖票，在 .$

’ 种情况中，只有 (&（( & "，

$，%，&，’）型或 )’（) & "，$，%，&）型可令第二个人抽

到奖票，因此，第 $ 个人抽到奖票的概率是 !$ &."

$.",

.$’

& $’ ；同理，可求得第三个人抽到奖票的概率是 !% &

."$.

",.

"%

.%’

& $’ ；第 四 个 人 抽 到 奖 票 的 概 率 是 !, &

."$.

",.

"%.

"$

.,’

& $’ ；第五个人抽 到 奖 票 的 概 率 是 !’ &

."$.

",.

"%.

"$.

""

.’’

& $’ ；所以各人抽到奖票的概率相等，均

为$’ #

,%-（新课程）（"）从口袋中任取一个正方体，恰有两个面

涂有红色的概率是"$/"

0

"))) & "$"$’

（$）从口袋中任取两个正方体，两个正方体表面上都

没有颜色的概率为/$

’"$

/$")))

，其中至少有一个表面上有红

色的概率为 " #/$

’"$

/$")))

& )# 1%0

,,-（新课程）从 $) 道题中任取 2 道题的结果数，即是从

$) 个元素中任取 2 个元素的组合数 /2$) # 由于是随机

抽取，故这些结果出现的可能性都相等#（"）记“他答对 ’ 道题”为事件 ""，由分析过程知，在这

/2$)种结果中，他答对 ’ 题的结果有 /2

0 * /’0/

""$ & 1))

种，故事件 "" 的概率为 !（""）& 1))/2

$)& %’"(%0

（$）记“他至少答对 , 道题”为事件 "$，由分析知他答

对 , 道题的可能结果为 /20 * /’

0/""$ * /,

0/$"$ & ’%$) 种，

故事件 "$ 的概率为 !（"$）& ’%$)/2

$)& 1$"

,’-（"）/%

’

.’’& ""$ 3 （$）" #

/%’

.’’# ".’

’& ")("$)

,2-（"）至少有 $ 天预报准确的概率即为恰有 $ 天和恰有

% 天预报准确的概率#/$

%·)4 0$·)4 $ * /%%·)4 0% & )4 0(24

! 至少有 $ 天预报准确的概率为 )# 0(2#（$）至少有一个连续 $ 天预报准确，即为恰有一个连

续 $ 天预报准确或 % 天预报准确# $·)# 0$ ·)# $ *)# 0% & )# 120! 至少有一个连续 $ 天预报准确的概率为 )# 120#

,1-（"）% 户任意分配到 ’ 个村民组，共有 ’% 种不同分法；

% 户都在同一村民组共有 ’ 种方法；

% 户同在同一村民组的概率为’’% & )# ),#

! % 户分在同一村民组的概率为 )# ),#（$）恰有 $ 户分在同一村民组的结果有 /$

%.$’ 种，

!/$

%.$’

’% & )# ,0；

! 恰有 $ 户分在同一村民组的概率为 )# ,0#

,0- 很显然，每道题勾对的概率为", ，勾错的概率为

%, ，问

题可归结为 "$ 次重复试验，那么勾对 *（"%*%"$）题

的概率为 /*"$（

", ）*（

%, ）"$ # *，记为 +*，要使 +* 最大，则

应满足+*$+* #"

+*$+*{

*"

即

/*"$（

", ）*（

%, ）"$ # *$/* # "

"$ （", ）* # "（

%, ）"% # *

/*"$（

", ）*（

%, ）"$ # *$/* * "

"$ （", ）* * "（

%, ）"" #{ *

整理得/*"$$%/* #"

"$

%/*"$$/* *"{

"$

*,*%"%,*${ (

即(, %*%

"%, ，又 *&!.，

! * & %，即勾对 % 题的概率最大#,(-（"）记“他第一次遇到红灯”为事件 "，记“ 他第二次遇

到红灯”为事件 $# 由题知，" 与 $ 是相互独立的，因

此，“他两次都遇到红灯”就是事件 "·$ 发生# 根据相

互独立事件的概率乘法公式，得 !（"·$）& !（"）·

!（$）& )# 2 + )# 2 & )# %2#

（$）解法一："—

&“他第一次没有遇到红灯”，$—

&“ 他第

二次没有遇到红灯”，! "—

·$ &“他第一次没有遇到红

灯，第二次遇到红灯”，"·$—

&“他第一次遇到红灯，第

二次没有遇到红灯”，并且 "—

·$ 与 "·$—

是互斥的，因

此，他恰有一次遇到红灯的概率是 !（"—

·$ * "·$—

）&

!（"—

·$）* !（"·$—

）&（" # )# 2）+ )# 2 * )# 2 +（" #)# 2）& )# ,0#! 他至少遇到 " 次红灯的概率是

—1’—

! ! !（ "· #）" !（ "—

· # " "· #—

）! #$ $% " #$ &’! #$ ’&$

解法二："—

!“ 他第一次没有遇到红灯”，#—

!“ 他第二

次没有遇到红灯”$ ( "—

·#—

!“ 他两次没有遇 到 红

灯”$ !（"—

·#—

）! !（ "—

）·!（#—

）!（) * #$ %）+（) *#$ %）! #$ )%$ ( 他至少遇到 ) 次红灯的概率是 ! ! ) *

!（"—

·#—

）! ) * #$ )% ! #$ ’&$,#-（)）分别记甲、乙、丙三人各自全做对这道题分别为事

件"、#、%$ 则 !（"）! ). $ 根据题意得

). ·!（#）·!（%）! )

.&，

（) * ). ）（) * !（#））（) * !（%））! )

&{ $

解得 !（#）!

)$ ，!（%）! )

& 或 !（#）! )& ，!（%）! )

$ $

答：乙、丙两人各自全做对这道题的概率分别为)$ 和

)& 或

)& 和

)$ $

（.）记“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件

&，则!（&）! !（"）·!（#—）·!（%—）" !（"—）·!（#）·

!（%—）" !（"—）·!（#—）·!（%）! ). +（) * )

$ ）+（) *

)& ）"（) * )

. ）+ )$ +（) * )

& ）"（) * ). ）+（) *

)$ ）+ )

& ! ). + .

$ + $& " )

. + )$ + $

& " ). + .

$ +

)& ! )

& " )’ " )

). ! )).& $ 答：甲、乙、丙三人中恰有一人

做对这道题的概率为)).& $

,)-（)）记事件“ 猎人射击距离 )## 米远处的静止目标 $次，至少有一次命中”为 " 事件，!（"）! ) * !（"—）!) * #$ & + #$ & + #$ & ! #$ /$%

（.）记事件“第 ’ 次击中动物”为事件 #’（ ’ ! )，.，$），

记事件“最多射击 $ 次而击中动物”为事件 #$ 由条件

!（#)）! #$ %，!（#.）! #$ % + .$ ! #$ &，!（#$ ）! #$ % +

). ! #$ $，0 # ! #) " #—) ·#. " #)

— #.—

·#$，又 #)、#)—

·

#.、#)—

·#.—

·#$ 是互斥事件，且 #)、#.、#$ 是相互独立

事件，( !（#）! !（#) ）" !（#)—

）·!（#. ）" !（#)—

）·

!（#.—

）·!（#$）! #$ ’$.

一、选择题

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1)- 一个学生通过某种英语听力测试的概率是). ，他连续

测试 ( 次，要保证他至少有一次通过的概率大于 #$ /，

那么他测试的次数 ( 的最小值为

23 $ 43 & 53 , 63 %.- 线路图（如图）中元件的损坏可能性均为 #$ ,，且是相互

独立的，则此线路有效的概率为

2- ). 1 1 4- $

’

5- ,’ 1 1 6- /

)%$- 我方每门高射炮独立地击中敌机的概率均为 #$ %，如果

以 //)的把握击中来犯的一架敌机，则至少需要同时

发射 ( 门高射炮$ 则 ( 值是

2- $ 4- & 5- , 6- %&- 某个游戏中，一个珠子如图所示的通道由上至下滑下，

从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜$ 如果

你在该游戏中，猜得珠子从出口 $ 出来，那么你取胜的

概率为

23 ,)% 43 ,

$. 53 )% 63 以上都不对

,- 设两个独立事件 "、# 都不发生的概率为)/ ，" 发生 #

不发生的概率与 # 发生 " 不发生的概率相等，那么

!（"）为

23 )/ 43 .

$ 53 ))’ 63 )

$%-（文）袋中有 , 个球（$ 个新球，. 个旧球），现每次取一

—’,—

个，无放回地抽取两次，则第二次取新球的概率为

!" #$ %" #

& ’" (& )" #

*+

,"（ 理）如图，!（! - *）

( 个不同

的数随机排成一个三角阵，

设 "# 是从上往下数第 # 行

中最大的数，则 "* ."( . ⋯

."! 的概率为

!/ (!（! - *）

%/ (! - *

’/ (!

（! - *）！)/ (!

!（! - *）

0" 在一次试验中随机事件 $ 发生的概率为 %（%,*），设

在 # 次独立重复试验中随机事件 $ 发生 # 次的概率为

%#，那么 %* - %( - ⋯ - %! 等于

!/ %（* 1 %!）* 1 % %/ !%

’/ !%! )/ *2" 甲射手击中靶心的概率为 +& $ ，乙射手击中靶心的概

率为 +& 3 ，甲、乙两人各射一次，那么 +& , 等于

!& 甲、乙都击中靶心的概率

%& 甲、乙都不击中靶心的概率

’& 甲、乙不都击中靶心的概率

)& 甲、乙至少有一人击中靶心的概率

二、填空题

*" 某超市为扩大销售，决定调查进入该超市顾客的人数&经观察，在一段时间内，进入超市为 ! 个人的概率为

%（!）满足关系：%（!）4 ( )*(

!

%（+）（*%!%$）

+（!$3{）

，那么

在某一时刻，一个顾客也没有的概率 %（+）的值是5 55 5 5 &

(" 一条生产流程线上仅有 *+ 个岗位，由 $*，$(，⋯，$*+ 这

*+ 个人顶岗，则 $*，$(，$# 在一起，$&，$$ 不在一起，$3，

$, 分别在两端的概率是5 5 5 5 5 &#"（文）将 , 面颜色各不相同的彩旗排成一列，则黄色旗

不排在两端的概率为5 5 5 5 5 5 5 ；

红色旗与蓝色旗相邻的概率为5 5 5 5 5 5 5 &（ 用数

字作答）

&"（文）将标有号码 *，(，#，⋯，*+ 的大小均匀的十个球放

在一个口袋中，任意摸取 # 个球，则它们的号码从小到

大排列成等差数列的概率是 （ 结果用分数表

示）"

三、解答题

*"（文）将 *$ 名新生（ 其中有 # 名优秀生）随机分配到 #个班级中，其中一班 & 名，二班 $ 名，三班 3 名&

（*）求 # 名优秀生分配到同一班级中的概率；

（(）求每一个班级分配到 * 名优秀生的概率&

(" 一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正

常工作，就能进行通讯& 每套设备由 # 个部件组成，只要

其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作& 如

果在某一时间段内，每个部件不出故障的概率为 ’，计

算在这一时间段内，

（*）恰有一套设备能正常工作的概率；

（(）能进行通讯的概率&

#" 已知正四面体 $—()*，有一只小虫自顶点 $ 沿每一条

棱以等可能的概率爬到另外三个顶点 (、)、*& 然后又

从 (、)、* 中的一个顶点沿每一条棱以等可能的概率爬

到其他三个顶点，依次进行下去& 记 %! 为第 ! 次到顶点

$ 的概率（小虫刚开始在 $ 点，此时算作第 * 次到 $，即

记为 %* 4 *）&（*）求 %! 的通项公式；

（(）求第 ( ++$ 次爬行到顶点 $ 的概率&

&" 将某班的 & 个自然小组的同学安排在某街道的 3 个社

区进行社会实践，每组可以等可能的去每个社区，每个

社区可以容纳多组同学，试求下列各事件的概率：

（*）事件 $：指定的 & 个社区各有 * 组同学；

（(）事件 (：恰有 & 个社区各有 * 组同学；

（#）事件 )：指定的某个社区有 ( 组同学&

—2$—

!" 甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷 # 次，记下国徽面

（记为正面）朝上的次数为 !；乙用一枚硬币掷 $ 次，记

下国徽面（记为正面）朝上的次数为 "#（%）填写下列两表：

正面向上次数 ! # $ % &概率 $（!）

正面向上次数 " $ % &概率 $（"）

（$）若规定 ! ’ " 时，甲胜# 求甲获胜的概率#

(" 经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人

数及相应的概率如下：

排队人数 & ) ! ( ) %& %% ) %!

概* * 率 &# % &# %! &# $!

排队人数 %( ) $& $% ) $! $! 人以上

概* * 率 &# $! &# $ &# &!

（%）每天不超过 $& 人排队结算的概率是多少？

（$）一周 + 天中，若有 # 天以上（ 含 # 天）出现超过 %!人排队结算的概率大于 &# +!，商场就需要增加结算

窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？

+"（文）高三（%）班 !& 名学生在元旦联欢时，仅买了甲、乙

两种瓶装饮料供饮用，在联欢会上，甲饮料喝掉了 #(瓶，乙饮料喝掉了 #, 瓶# 假设每个人至多喝 % 瓶甲饮料

和 % 瓶乙饮料，并且有 ! 名学生两种饮料都没有喝，随

机选取该班的 % 名学生，计算下列事件的概率：

（%）他没有喝甲饮料；

（$）他喝了 % 瓶乙饮料但是没有喝甲饮料#

-" 某学校成立了数学、英语、音乐 # 个

课外兴趣小组，# 个小组分别有 #,，

#$，## 个成员，一些成员参加了不

止 % 个小组，具体情况如右图所示#随机选取一个成员#

（%）他属于至少 $ 个小组的概率是

多少？

（$）他属于不超过 $ 个小组的概率是多少？

," 有 ! 个指定的席位，坐在这 ! 个席位上的 ! 个人都不知

道各自指定的席位的号码，当这 ! 个人随意在这 ! 个席

位上就坐时#（%）! 个人都坐到各自的指定的席位上的概率是多少？

（$）! 个人中恰有三个人坐到各自的指定席位上的概率

是多少？

%&"（理）将一枚骰子任意抛掷 !&& 次，问一点出现（ 标有

一点的面向上）多少次的概率最大？

（文）若一个箱内装有分别标有号码 %，$，⋯，!& 的 !&个小 球，从 中 任 意 取 出 两 个 球 把 其 上 的 号 码 相

加，计算：

（%）其和能被 # 整除的概率；

（$）其和不能被 # 整除的概率#

—&(—

!!" 幸运 #$ 知识竞猜电视节目为每位选手准备 # 道试题，

每题给出“%&’”“()”两个选项，其中只有一个是正确

的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位

选手仅凭猜测独立答题!（!）求甲至少获得 * 个商标的概率；

（$）是否有 ++" 的把握断定甲、乙两位选手中至少有

一位获得 ! 个或 ! 个以上的商标？

!$"（文）$,,- 年全国普通高等学校招生中，某校有 # 名体

育考生到华中师大考点参加体育专业达标测试，并指

派 ! 名指导教师带队!（!）若他们乘公共汽车前往，汽车内恰好有前后两排

各 * 个空座位，求指导教师不坐在后排的概率；

（$）若每名考生测试达标的概率都是$*（ 相互独立），

测试后有 # 人达标，经计算 # 人中恰有 # 人同时达

标的概率是.,$-*，求 # 的值!

!*" 已知盒中有 !, 件产品，其中 . 件正品，$ 件次品，连续

抽取三次，每次抽取一件!（理）放回抽取时，

（!）求抽到 * 件次品的概率；

（$）求抽到次品数的分布列及数学期望!（文）不放回抽取时，

（!）求恰好抽到 ! 件次品的概率；

（$）求抽到次品的概率!

一、选择题

!" /0 ! 1 ( )!$

$

2 ,! +，3 $$-!

评析0 “至少有一次”的反面情况是“ 一次也没有”，

注意运用“正难则反”的解题策略!$" /0 解法 一 0 %（ 线 路 有 效）4 %（ & 5 ’）·%（(）4

［%（&）5 %（’）1 %（&·’）］·%（(）4（ !$ 5 !

$ 1

!$ 6 !

$ ）6 !$ 4 *

. ，故选 /!

解法二0 % 4 )$ 4 * 6 !

$ 6 $ 6 $ 4 *. ，故选 /!

评析0 解法一叫做“ 加乘法”，它的一般步骤是：第

一步，表示出事件；第二步，用加法或乘法或逆算或

二项概型求出事件的概率! 解法二叫做“ 古典法”，

当识别题型为古典概型时，则应用等可能事件的概

率公式%（&）4 789:（&）789:（ *）4 )

$ 来计算!

*" ;0 本题是二项概型 ’（$，,! <），逆算：! 1 ,! -$ 2 ,! ++*,! -$ = ,! ,!，因为 ,! -# 4 ,! ,!, $- 2 ,! ,!，所以 $$<，故选 ;!评析0 这是一道概率应用题，要注意识别题型和逆

向思维；要注意近似计算!-" >0 珠子从出口! 出来有 ?,

# 种方法，从出口 $ 出来有 ?!# 种

方法，从出口* 出来有 ?$# 种方法，从出口 - 出来有 ?*

# 种

方法，从出口# 出来有 ?-# 种方法，从出口 < 出来有 ?#

# 种

方法，故取胜的概率为?$#

?,# 5?

!# 5?

$# 5?

*# 5?

-# 5?

##4 #!< !

评析0 本题的关键是了解从出口 + 出来的方法数可

理解为：从 & 到出口 + 共需 # 步，其中包含斜向左下

方 < 1 + 步，斜向右下方 + 1 ! 步，故共有 ?+ 1 !# 种不同

的方法，再利用等可能事件的概率公式求值!#" /0 设 %（&）4 ,，%（’）4 -，则 %（&’）4（! 1 ,）（! 1 -）

4 !+ ，%（& ’）4 ,（! 1 -），%（&’）4（! 1 ,）-!

3 联 立（! 1 ,）（! 1 -）4 !

+,（! 1 -）4（! 1 ,）

{ -解 得 , 4 $

*

或, 4 -*（舍）!

<"（文）>0 设 & 为“第二次取到新球”，则

%（&）4 *# 6 $

- 5 $# 6 *

- 4 *# !

评析0 解答本题要注意“无放回抽取”与“有放回抽取”

的区别!“无放回抽取”时样本总数发生变化；“ 有放回

抽取”时样本总数不变!—!<—

!"（理）#$ 设所求的概率为 !"，则 #% & #’ & ⋯ & #" ( % 的

概率为 !" ( %，而最大数在第 " 行的概率为"

"（" ) %）’

*

’" ) %，于是 !" * ’

" ) % !" ( %，又 !% * %，故 得 递 推 关 系

!% * %，" * %，

!" *’

" ) %!" ( %，"$’{ $由 于 !% * %，!’ * ’

+ !%，!+ *

’, !’，⋯，!" * ’

" ) % !" ( %，以 上 各 式 相 乘 得 !"

* ’"

（" ) %）！$

评析$ 直接求其概率不易，应运用数列的思想，即列出

其递推关系式进行求解$-" .$ !% * !%，!% ) !’ ) ⋯ ) !" * ! ) !’ ) ⋯ ) !"

* !（% ( !"）% ( ! $

/" #$ 先验 .，得 ! * 0$ + ，逆想：0$ ! * % ( 0$ + * % ( 0$ 12 0" 3，故选 #$

评析$ 所给解法是解选择题特有的快法———先验

.，然后逆向思维$二、填空题

%" +’3+ $ 由题知：!（0）) %

’ !（0）) %’’ !（0）) ⋯ ) %

’1 !（0）

* %，4 !（0）* +’3+ $

’" %3+0$

.’’·（.,

,·.++·.’

1）

.%0%0

* %3+0$

评析$ 等可能事件 & 的概率的计算，关键是分清基本

事件与事件 & 中包含的结果数 ’$

+"（文）1! $ ’

! $ 记黄色旗不在两端为事件 &，则

!（&）*.%

1·.33

.!!

* 1! $

记红色旗与蓝色旗相邻为事件 (，则

!（(）*.’

’·.33

.!!

* ’! $

评析$ 该题考查概率的计算，利用排列数、组合数公式

求某事件发生时的概率$

,"（文）%3 $ 本题考查了等差数列的概念和概率计算 " 总

的可能性是 #+%0 * %’0 种，从小到大排成等差数列的可

能性为 ’0 种（ 其中公差为 % 的 - 种，公差为 ’ 的 3 种，

公差为 + 的 , 种，公 差 为 , 的 ’ 种），故 所 求 概 率 为

’0%’0 * %

3 "

评析$ 等可能性事件的概率公式 !（&）* ’" 中，求 ’ 是

关键 " 本题按公差的可能取值进行分类，当然也可按

等差中项的可能取值进行分类 "三、解答题

%"（文）（%）! *#%

%’#1%% ) #’

%’#,%0 ) #+

%’#,/

#,%1#

1%%

* +,,11$

（’）! *#+

%’#,/.

++

#,%1#

1%%

* ’,/% $

评析$ 新高考将“ 考应用”转向现代数学的应用，考概

率统计是其中的一个重点$ 本题是“古典概型”，要熟练

掌握古典概型公式 !（&）* ’" * 5678（&）

5678（ )）$

’" 记“第一套通讯设备能正常工作”为事件 &，“ 第二套通

讯设备能正常工 作”为 事 件 ($ 由 题 意 知!（&）* *+，

!（(）* *+，!（6&）* % ( *+，!（6(）* % ( *+ $（%）恰有一套设备能正常工作的概率为

!（&·6( )6&·(）* !（&·6(）) !（6&·(）

* *+（% ( *+）)（% ( *+）*+ * ’*+ ( ’*3 $（’）解法一$ 两套设备都能正常工作的概率即为

!（&·(）* !（&）·!（(）* *3 $能进行通讯的概率即至少有一套设备能正常工作的概

率为

!（&·6( )6&·(）) !（&·(）* ’*+ ( ’*3 ) *3 * ’*+ ( *3 $解法二$ 两套设备都不能正常工作的概率为

!（6&·6(）* !（6&）·!（6(）*（% ( *+）’ $能进行通讯的概率即至少有一套设备能正常工作的概

率为

% ( !（6&·6(）* % ( !（6&）·!（6(）* % (（% ( *+ ）’ * ’*+

( *3 $答：恰有一套设备能正常工作的概率为 ’*+ ( ’*3，能进

行通讯的概率为 ’*+ ( *3 $评析$ 概率知识的复习应当紧扣课本与历年高考试

题，抓住基本概念、基本公式的学习和理解，不需要过

多地做难题、偏题、怪题$+"（%）由于第 " 次到顶点 & 是从 (、+、, 三个顶点爬行而

来，从其中任何一个顶点到达 & 的概率都是%+ ，而第

" ( %次在顶点 & 与小虫在顶点 (、+、, 是对立事件，因

此，第 " 次到达顶点 & 的概率为 !" *%+（% ( !" ( % ），即

!" (%, * ( %

+ !" ( % (( )%, $ 9 !% * %，4｛!" (

%, ｝是以

!% (%, * +

, 为首项，公比为 ( %+ 的等比数列，4 !" *

+, · (( )%

+" ( %

) %, （ " $ ’，" & ! ）$ 故 !"

*%，" * %；

+,（ ( %

+ ）" ( % ) %, ，"$’{ $

（’）第 ’ 001 次 爬 行 到 顶 点 & 的 概 率 !’ 001 * +, ·

—’3—

!( )"#

$ %%& ! "

’ "( 7

"( !

() 由于每组同学可以等可能的去 * 个社区中的任一社

区，每组都有 * 种等可能的方法，根据分步计数原理，(个小组的同学安排在某街道的 * 个社区进行社会实践

共有 *( 种方法!（"）指定的 ( 个社区各有 " 组同学，有 +(

( 种方法，所以

"（#）,+(

(

*( , "&( !

（$）恰有 ( 个社区各有 " 组同学，可分两步完成，!从 *个社区中选出 ( 个有 -(

* 种方法，"( 个小组每组去 "个社区有 +(

( 种方法，于是有

"（$）,-(

*·+((

*( , &". !

（#）从 ( 组同学中选 $ 组去指定的某个社区，共有 -$(

种选法，余下 $ 组每组都可去 & 个社区中的任 " 个，有

&$ 种方法，

/ "（%）,-$

(·&$

*( , $&$"*!

&)（"）

正面向上次数 & # $ " %

概率 "（&）".

#.

#.

".

正面向上次数 ’ $ " %

概率 "（’）"(

"$

"(

（$）甲获胜，则 & 0 ’! 当 & , # 时，’ , $，"，%，其概率为

". 1 "

( ’ "$ ’( )"

( , ". ；当 & , $ 时，’ , "，%，其概率

为#. 1 "

$ ’( )"( , 2

#$；当 & , " 时，’ , %，其概率为#.

1 "( , #

#$；所以甲获胜的概率为". ’ 2

#$ ’ ##$ , "

$ !

*)（"）每天不超过 $% 人排队结算的概率为

" , %! " ’ %! "& ’ %! $& ’ %! $& , %! 3&，即不超过 $% 人排

队结算的概率是 %! 3&!（$）每天超过 "& 人排队结算的概率为

%! $& ’ %! $ ’ %! %& , "$ ，

一周 3 天中，没有出现超过 "& 人排队结算的概率为

-%3（

"$ ）3；

一周 3 天中，有一天出现超过 "& 人排队结算的概率为

-"3（

"$ ）（

"$ ）*；

一周 3 天中，有两天出现超过 "& 人排队结算的概率为

-$3（

"$ ）$（

"$ ）&；

所以有# 天或# 天以上出现超过"& 人排队结算的概率为

" !［-%3（

"$ ）3 ’ -"

3（"$ ）（

"$ ）* ’ -$

3（"$ ）$（

"$ ）& ］,

22"$. 0 %! 3&，

所以，该商场需要增加结算窗口!评析4 此题是图表信息题，通过图表提供的数据，结合

概率知识求解! 对于第（"）问选出满足条件的，利用概

率的加法求解，注意关键词“ 不超过”，即小于或等于!对于第（$）问考查了独立重复试验，做独立重复试验问

题的步骤为：!确定在 " 次试验中某事件发生的概率

"!"在 ’ 次独立重复试验中这个事件恰好发生 ( 次的

概率为 "’（(）, -(’"

(（" ! "）’ ! ( !3)（文）（"）用 # 表示事件“ 他喝了 " 瓶甲饮料”，则 # 就

表示“他没有喝甲饮料”! 因此，选取的人没喝甲饮料的

概率

"（#）, " ! "（#）, " ! #*&% , %! $.!

（$）用 $ 表示事件“他喝了 " 瓶乙饮料但是没有喝甲饮

料”，% 表示事件“他两种饮料都没有喝”，

则 $ 和 % 互斥，并且 $ ’ % , #!由 "（#）, "（$ ’ %）, "（$）’ "（%），

得 "（$）, "（#）! "（%）, %! $. ! &&% , %! ".!

.)（"）从图中可以看出，三个课外兴趣小组总人数为 *%!用 # 表示事件“选取的成员只属于一个小组”，则 # 就

表示“选取的成员属于至少两个小组”，于是 "（#）,

" ! "（#）, " ! * ’ . ’ "%*% , #

& !

因此，随机选取的一个成员属于至少两个小组的概率

是#& !

（$）用 $ 表示事件“选取的成员属于 # 个小组”，则 $ 就

表示“选取的成员属于不超过 $ 个小组”，于是，

"（$ ）, " ! "（$）, " ! .*% , "#

"&)

所以随机选取的一个成员属于不超过 $ 个小组的概率

是"#"& !

评析 4 本题将集合的图示与概率交汇于一题，似乎有

点新意! 这种看图、识图、用图也是很符合我们这个“ 读

图时代”的!2)（"）记“& 个人随意坐，& 个人都坐到各自的指定席位

上”为事件 #，事件 # 发生的概率 "（#）, "+&

&, ""$%!

（$）三个人到各自的指定席位上就坐，而其余两人都不

坐到各自的席位的情况有 -#& 1 " 1 " 种，记“& 个人中恰

—#*—

有三个人坐到各自的指定席位上”为事件 !，事件 ! 发

生的概率 "（!）!"#

$ % & % &’$

$! &&( #

评析 ) 高考对概率内容的考查，往往以实际应用题为

主，这既是这类问题的热点，也符合高考发展方向，要

以课本概念和方法为主，熟练技能，巩固概念#&*+（理）设 "$ 为在 $** 次抛掷中 & 点恰出现 $ 次的概率，则

由独 立 重 复 试 验 概 率 公 式 得 "$ ! "$$** · ( )&

,

$

·

& -( )&,

$** - $

，令"$ .&

"$/ &+

"$ .&$**（

&, ）$ .&·（& - &

, ）$** - $ -&

"$$**·( )&

,

$

· & -( )&,

$** - $

/&+ $** - $$（$ .&）

/ &+$ 0 1(+ $# 即当 &%$%1( 时，"$ . & /

"$，"$ 递增；当 1#% $%$** 时，"$ . & 0 "$，"$ 递减，且

"$ . &

"$0 &# 故 "1#最大，即 & 点出现 1# 次的概率最大#

（文）因为基本事件总数 % ! "($*，从 & 到 $* 中能被 # 整

除的数有 #，,，2 等 &, 个数，被 # 除余 & 的数有 &3 个，

被 # 除余 ( 的数有 &3 个，按题意：

（&）"& !"(

&, . "&&3·"&

&3

"($*

! 4*2& (($#

（(）"( ! & - "& !1&,& (($#

评析) 概率是新教材中新增的内容，求解概率问题会

涉及到许多数学思想，在学习中要注意灵活运用，这

将有助于提高数学素质和思维能力，增强分析问题、

解决问题的能力#

&&+（&）甲至少获得 # 个商标的概率为"#

$ . "4$ . "

$$

($ ! &( #

（(）甲、乙两位选手中至少有一位获得 & 个或 & 个以

上商标的概率为 & - "$$&($ ·"$

$&($ ! & - &

& *(4 ! & *(#& *(4

/ *# 22# 故有 22&的把握作如此断定#评析) 高考对概率内容的考查，往往以实际应用题为主，

这既是这类问题的热点，也符合高考发展方向，要以课本

概念和方法为主，熟练掌握基本技能，巩固概念#&(+（文）（&）5 , 人坐法的可能结果有 ’,

, 种，指导教师不

坐在后排的可能结果有 ’&#’

$$ 种，

6 指导教师不坐在后排的概率 " !’&

#’$$

’,,

! &( #

（(）记 $ 人同时达标的事件为 ’，每个人达标的概率为

" ! (# ，则 $ 人同时达标的概率是

"（’）! "$$（

(# ）$（

&# ）$ - $ ! 1*

(4#，可得 $ ! # 或 4#

评析) 本题考查了等可能事件、% 次独立重复试验中

恰好发生 ( 次的事件的概率的计算，以及分析问题解

决问题的能力# 古典概率是学习概率与统计的起点，

而掌握古典概率的前提是熟练地掌握排列、组合的基

本知识#&#+（理）（&）抽到的次品数 ! 7 !（# ，*# (），所以抽到 #

件次品的概率是

"（! ! #） ! "## % *# (

# % *# 1* ! *# **1#（(）抽到的次品数 ! 的可取值 ( ! *，&，(，##

由 ! 7 !（#，*+ (），得

"（! ! (） ! "(# % *# (

( % *# 1# - (（ ( ! *，&，(，#），

所以抽到的次品数 ! 的分布列是

! * & ( #" *# $&( *# #14 *# *2, *# **1

数学期望 )! ! # % *# ( ! *# ,#评析) 识破本题的随机变量服从于二项分布，问题便

快速解出#（文）（&）记 ’( !｛第 ( 次抽到次品，其他两次没有抽

到次品｝，( ! &，(，##所以恰好抽到 & 件次品的概率为

" ! "（’&）. "（’(）. "（’# ）! (&* % 1

2 % 31 . 1

&* %

(2 % 3

1 . 1&* % 3

2 % (1 ! 3

&$ #

（(）抽到次品的事件是三次都抽到正品的事件的对立事

件，所以抽到次品的概率为 "* !& - 1&* % 3

2 % ,1 ! 1

&$ #

评析) 求概率的难点有二：第一，要弄清所求概率的

事件是什么，并用已知或可求概率的事件表示出来；

第二，区分概率类型：是用古典法，还是加乘法，还是

逆算# 本题之（&）是用互斥事件的加法，而（(）是逆

算# 本题还有一个难点：要注意“不放回”抽样！

—4,—