自行車

代步與休閒產業雙月刊 No.45 16

流 體 力 學 與 運 動 流體力學是流體物理學的一個學門：也就是研究流體運動的一個門學問（液體和氣體）。它包括空氣

動力學（研究氣體的運動）和流體動力學（研究液體的運動）。流體力學有廣泛的應用，包括計算飛機的

受力與動量，計算石油通過管道的流速，了解太空的星際星雲等等。而流體力學目前也不是只應用在少

數領域上，尤其在現今之運動項目競爭激烈之下，專業選手之成績都相差無幾，使用流體力學之觀念來

幫助減低外在環境之影響，提升成績之實例也已不剩枚舉。目前流體力學提供了一系列的實用原理，這

些原理是根據實際測量流體所推導出的經驗與半經驗法則，用來解決實際問題與解釋現實世界中不了解

之物理現象。

文文文文 / / / / 研發部研發部研發部研發部 邱文彬邱文彬邱文彬邱文彬

壹壹壹壹、、、、流體力學概論流體力學概論流體力學概論流體力學概論

流體力學：研究液體、氣體在平衡尤其是運動

時的宏觀狀態和規律。流體力學中研究得最多的流

體是水和空氣。它的主要基礎是動量守恆定律(也

稱為牛頓第二定律的運動）與能量守恆定律(也稱

為熱力學第一定律)。

牛頓第二定律：在慣性系統中，任何物質系統

在不受外力作用或所受外力之和為零，它的總動量

保持不變。

能量守恆定律：它可以表示為“獨立系統的內

能不變”。 可得：

＝ －

：為在此過為在此過程中系統從環境所吸收的熱量。

W：為在此過程中系統對環境所做的功。

＝ － 為系統的內能增量

但是，牛頓還沒有建立起完整之流體力學的理

論基礎，因他提出的許多力學模型和結論同實際情

形有些許差別。而是由尤拉(Leonhard Euler)，採

用了連續介質的概念，把靜力學中壓力的概念推廣

到運動流體中，給出了流體運動的尤拉描述法。

貳貳貳貳、、、、無黏性流體無黏性流體無黏性流體無黏性流體

而為了完整描述流場中的性質隨時間而變化

的狀況，特別將上述基礎理論發展出來的控制質量

系統(control mass system)(C.M.)又稱封閉系統

與控制體積系統(control volume system)(C.V.)

又稱開放系統兩種不同觀念整合，而發展出一套能

描述涵蓋流場之任何特性變化的方程式。這一套公

式就 是雷諾傳送定理（ Reynolds Transport

Theorem）。

而尤拉提出了理想流體模型，正確地用微分方

程組描述了無黏流體的運動建立了理想流體運動

的基本方程式(Euler's equation)，奠定了流體動

力學的基礎。

Euler's equation：忽略了黏性力的作用，認

為相鄰兩流體隔離體之間的作用力僅為壓力。

假設在三維不定常流動的情況下，如果再考慮

重力加速度 的作用，並選坐標 軸沿 的作用方

向，則尤拉方程組對於速度的三個分量 、v、 具

有下列形式。

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而伯努利從經典力學的能量守恆出發，在1738

年研究供水管道中水的流動，精心地安排了實驗並

加以分析，得到了流體定常運動下的流速、壓力、

道高程(沿重力加速度方向離某一標準水平面的距

離)之間的關係。

伯努利對於密度均勻的無黏流體的定常流，沿

流線表述能量守恆定律而得到的方程。它建立起質

點速度 v、壓力 、密度 和其他量之間的關係。

Bernoulli's equation：

如果可忽略黏性的作用，則尤拉方程式成立。

在定常流(Stead flow)情況下，沿流線(X軸方向)

把尤拉方程式積分就得到伯努利方程。積分的對於

簡單的密度不變的定常一維流，可以積分得到：

尤拉方程式和伯努利方程式的建立，是流體動

力學作為一個分支學科的標誌，從此開始了用微分

方程和實驗測量對流體的運動做系統的定量研究。

從 18 世紀起，勢流理論(potential flow)有

了很大進展，水波、潮汐、渦旋運動、聲學等方面

都闡明了很多規律。勢流定義：在邊界層以外的區

域，此時未受無滑移(no slip)邊界條件的影響，

流場維持均勻流的型態。究竟在什麼條件下會出現

勢流，這是由開爾文(W.湯姆孫)在 1869 年證明了

環流量守恆定理(Thomson’s theorem)後才比較清

楚。

在上述所有的研究中流體的黏性並不起重要

作用，即所考慮的是無黏流體。這種理論無法闡明

黏性的效應。

參參參參、、、、黏黏黏黏性流體性流體性流體性流體

19 世紀，工程師們為了解決許多工程問題，

尤其是要解決帶有黏性影響的問題，因而從 18 世

紀起就開闢了另一條和流體力學有所不同之路，但

更適合工程設計的途徑，即部分地運用流體力學，

部分地採用歸納實驗結果的半經驗公式，形成了水

力學(Hydraulics)，至今它仍與流體動力學

(Hydrodynamics)並行地發展。1822年﹐C.-L.-M.-H.

納維考慮了怎樣才能合理地在基本運動方程式中

結合黏性的作用，建立了黏性流體的基本運動方程

式﹔1845 年，斯托克斯.G.G.又以更合理的基礎導

出了這個方程式，並將其所涉及的宏觀力學基本概

念論證得令人信服。這組方程式就是沿用至今的納

維－斯托克斯方程(Navier-Stoke equation)(簡

稱 N－S方程)。上面說到的尤拉方程式正是 N-S 方

程在黏度為零時的例子( )。

在很多情形下，流線型物體的邊界層的厚度可

以不計(或者是把它理解成固體壁的加厚)，邊界層

以外的黏性力(黏度小、變形率也小)也可以不計，

那就相當於在 N-S 方程式中置 = =0，使 N-S 方程

就變成了尤拉方程式。式中 是黏度(或稱黏性係

數)， 是第二黏度。N-S 方程式同尤拉方程式的

上述關係(包括邊界條件)，說明了在流體力學中不

同形式的基本運動方程之間的邏輯上的和諧一致。

從 1845 年 N-S 方程式建立起，準確滿足這方

程的有實際意義的解還不多。1970 年以來，電子

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計算機和數值計算方法都有很大發展。用數值方法

求解 N-S 方程式的論文很多，前途很有希望，但

仍很艱巨。困難至少有三方面﹕1.固體壁附近的黏

性起顯著作用的有旋流動( )和附著條件

過於複雜，尤其是在實際情況下，固體壁的幾何形

狀都很複雜，這就要求計算機有很大的儲存量和很

高 的運算速 度﹔ 2.其 次是由於 震波 (shock

wave)(圖一)打到邊界層上或由於物體表面形狀和

邊界條件的綜合作用，會引起分離(separation)

現象，這也是很難算準的﹔3.另外更大的困難是對

紊流(turbulent)基本機理的理解還不足。

圖一、shock wave

所以依靠實驗室的觀測和對實際流動的觀測

研究，用邊界層理論近似地配合尤拉方程式求解以

獲得定量結果，至今仍是多數實際問題的求解方

法。

肆肆肆肆、、、、邊界層邊界層邊界層邊界層

L.普朗特學派從 1904 年到 1921 年逐步將 N-S

方程式作了簡化，從推理、數學論證和實驗測量等

各個角度，建立了邊界層理論，並能實際計算簡單

情形下邊界層內流動狀態和流體同固體間的黏性

力﹔提出了許多新概念，並廣泛地應用到飛機和汽

輪機的設計中去。

邊界層：指黏性小的流體對固體表面作相對運

動時，靠近固體表面、沿垂直固體表面的方向的流

速和溫度變化很大、變形率大、黏性起顯著作用的

很薄的一層流體( )。

邊界層理論的主要思路和內容，可以從飛機機

翼剖面附近的流速分布這一實例來說明(圖二)。當

機翼遠前方的流速為 U時，沿機翼剖面表面上 B點

作一條法線 ，從 A 點到 C 點這一段流速一直是

增加的，用無黏流體勢流理論可以計算出邊界層以

外流速和壓力的分布。C點的流速最大，從 C點到

翼剖面上的 B 點流速逐漸降低。在 B 點流速降為

零。這是由於黏性作用使位於 B 點的流體附著在

機翼的表面上，而 這一小段距離就是 B 點處的

邊界層。

邊界層

圖二、機翼剖面

邊界層方程 L.普朗特 1904 年的奠基性工作

是利用了在高雷諾數的情況下，邊界層很薄這一特

點，簡化了納維－斯托克斯方程式(簡稱 N-S 方程)

後得到的。

如果雷諾數 >10 時，用 N-S 方程式求黏性

力，直到 1984 年還是重要而困難的題目。用邊界

層方程求解這個問題卻較省力，而且在應用上也是

可行的，只是邊界層頭部和邊界層分離點附近的局

部流動用邊界層理論來計算仍不佳。

因為邊界層理論的前提是它很薄，流線同物

體表面的曲線走向很接近。若邊界層發生分離

(separation)，在分離點附近和它的下游，失去了

薄的特點，應用邊界層理論就不夠完整了。

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而分離(separation)是指沿著物體表面的一

條流線到一定位置時就離開物體，如圖三邊界層分

離示意圖中的 S點。

圖三

S 點叫分離點。分離的出現就伴隨著較寬的尾

流，尾流中產生許多渦旋。在沒有發生分離時，黏

性效應只涉及到物體附近很薄的邊界層以內。對於

雷諾數不夠大，邊界層不夠薄的情形，只有靠考慮

黏性的方程式組(而不是尤拉方程式組)才能確定

分離點的位置。邊層分離和紊流邊界層的理論計算

都是困難而有待深入研究的重要課題，遇到這種情

形，實驗是取得定量結果的主要手段。

伍伍伍伍、、、、運動之流體力學運動之流體力學運動之流體力學運動之流體力學

流體力學不僅應用於科學實驗中，在日常生活

裏，也可見到蹤影。茲舉幾個例子來說明。

我們看到 F1 賽車的前後都裝有像機翼一樣的

條板，它的作用為何？事實上，這就是流體力學柏

努利定理的運用。它的方法是將像機翼一樣的條板

倒置，讓通過條板下方的氣流速度快於上方氣流，

從而產生向下的壓力，把四個車輪緊緊的壓在地

上，以增加抓地力，讓車子在疾駛及轉彎時不致打

滑，所以我們稱這塊條板為「壓力板」(圖四)。

圖四

棒球比賽時，投手常常會投出變化球，球在空

中行進時，為何會改變路徑？這也是流體力學柏努

利定理的運用。

當球被擲出快速的前進時，空氣也以相對速度

繞球而過。如果球不旋轉，則經過上下球面的空氣

流速也是相等的，球就會呈直線前進(理論上為直

球，但實際上因空氣流動之不穩定與球體微小不對

稱，造成球會亂跑，連投補都無法預測落點，其實

應為蝴蝶球 butterfly or kunckleball)。但當球

向前旋轉時，由於空氣的黏性作用，使得緊貼著球

面的空氣也跟著急速旋轉(邊界層效應)。這時繞過

上下球面的氣流速度不再是對稱的。流過上半球面

的氣流，會因兩者的方向不同而抵消了一部份，也

就是速度變慢了，以下墜球(sinker)為例圖五，投

手在拋出此種球路時的最後瞬間會有一個扣手腕

的動作，依據柏努利定理，而經過下半球面的氣流

卻因方向相同而增加速度，於是壓力降低了，結

果，這顆球在運動過程中，受到了一個向下的推的

力量。這樣一來，球的軌道便會在快速前進時，也

往下偏移。

圖五、sinker

而上飄的直球：此現象的成因，可以從直球

的拋球動作中找出端倪。不同於上述的下墜球，

直球在出手時並沒有扣手腕的動作，因此球被拋

出時，球自旋方向與伸卡相反，此時球將受到一

與下墜球反向的自旋，雖然受限於球體自重使得此

種自旋無法像下墜球般明顯；然如果在相對速度充

壓力

運動方向

流速小

流速大

氣流方向

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足，使得球路因升力大於球重，不至於因重力而產

生自然下墜（俗稱的小便球）的前提下，基於白努

利定律會使球在本壘板前因向上的自旋而讓人感

到球在上飄，且速度愈強時上飄現象愈明顯。

圖六

上圖為各種球路的自旋方向，因自旋方向可能

不為單純上、下、左與右，與出手角度關係，雖是

相同球路，但橫向與縱向移動角度與距離，卻是大

大的不同。

參考資料參考資料參考資料參考資料：：：：

1.維基百科

2.http://hammerbchen.blogspot.com/2009/01/fluid-

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3.http://203.68.243.199/cpedia/Content.asp?ID=44

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4.中國大百科智慧

5.王懷柱，揭開飛行的奧秘，台北市，全華科技

圖書

6.http://sas.cna.edu.tw/ccna/article/dmme04.doc

(教授 李濟國)

< < < < < < < < < < < < 輕 鬆 一 下輕 鬆 一 下輕 鬆 一 下輕 鬆 一 下 > > > > > > > > > > > >

諸葛亮草船借箭時，曹操傻傻的被騙走了

十萬支箭，很多人要問：曹軍當初為什麼

不放火箭？讓諸葛亮白撿了這個便宜。

以下是各方人士對此事件的看法：

經濟學專家：大批量使用火箭成本過高，

硫磺煙硝在當時是“ 高科技產品 ”，很

貴的。

環保專家：使用火箭不利於回收再利用，

射出去就燒壞了，拿回來也只剩半截了，

典型的“ 一次性 ”產品。

現代軍事專家：火光會暴露火力點，容易

招來敵力打擊。

空氣動力學專家：使用火箭會增加箭頭體

積，增加箭的重量，加大空氣阻力，大大

降低有效射程。

氣象專家：當時是大霧天，再加之江邊風

大浪大，空氣濕度過高，影響火箭的使用。

CS 玩家：弓箭手怕影響射擊精度。

暗黑破壞神 2 玩家：曹軍用的弓上面沒有

火屬性。

帝國時代玩家：曹軍文明還沒有進化，還

差 2 個科技才能用火箭。

作者的鄰居：是放火箭燒著了東吳的船，

萬一撞過來，火燒赤壁不就提前了？

羅貫中：燒死了諸葛亮誰負責？我後面的

書還怎麼寫？