egc 3 - mathématiques

EGC 3 - Mathématiques

V. Guinot - [email protected] - 04 67 14 90 56

17 octobre 2018

Table des matières

1 Vecteurs 41.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Typographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Dénition d'un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Norme, sens, direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Multiplication par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Addition, soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Relation de Chasles et inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Dérivée par rapport au temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.5 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.6 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Applications à la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Principe fondamental de la statique (PFS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Travail d'une force, énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Vitesse et accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.5 Mouvement de rotation, vitesse angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Barycentre du triangle et médianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 Parallélogramme : propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.4 Vecteurs de même norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.5 Lieu géométrique (n°1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.6 Lieu géométrique (n°2) : médiatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.7 Lieu géométrique (n°3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.8 Lieu géométrique (n°4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.9 Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.10 Produit scalaire et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.11 Principe fondamental de la statique (n°1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.12 Principe fondamental de la statique (n°2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.13 Principe fondamental de la statique (n°3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.14 Liquide en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.15 Problème de la chaînette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Dérivation 132.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Dénition de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Dérivées de fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

TABLE DES MATIÈRES 2

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Dérivées : exercices de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Dérivées : utilisation de la dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.3 Optimisation de coût (problème posé en examen) . . . . . . . . . . . . . . 152.2.4 Optimisation d'une zone de stockage (problème posé en examen) . . . . . 16

3 Intégration 173.1 Intégrale par rapport à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.3 Techniques d'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Intégration dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1 Intégration sur un segment de droite dans le plan (x, y) . . . . . . . . . . 193.2.2 Intégration sur une surface dans le plan (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.3 Calculs de longueur, de surface, de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Applications à la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.1 Trajectoire, vitesse, accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2 La fonction (ou distribution) de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.3 Équivalence entre intégrale et somme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.4 Valeur moyenne d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.5 Moments d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.6 Centre de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.7 Travail d'une force, théorème de l'énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . 263.3.8 Probabilités : fonction de distribution et densité de probabilité . . . . . . 27

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.1 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.2 Calculs de surface, de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4.3 Trajectoire (exercice posé en examen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.4 Centre de gravité d'une poutre (exercice posé en examen) . . . . . . . . . 283.4.5 Vitesse, accélération, coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.6 Centre de gravité de surfaces et de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.7 Fonction de distribution, densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Algèbre linéaire 314.1 Retour sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1 Vecteur ligne et vecteur colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.3 Les deux invariants principaux d'une matrice carrée . . . . . . . . . . . . 334.2.4 Inverse d'une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.5 Interprétation géométrique de la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Changement de base (de système de coordonnées) . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4.2 Détermination des valeurs propres d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . 374.4.3 Expression d'une matrice dans la base de ses vecteurs propres . . . . . . . 37

4.5 Application à la physique : tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5.1 Cas simple n°1 : la pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5.2 Cas simple n°2 : la contrainte de traction/compression. . . . . . . . . . . . 384.5.3 Cas simple n°3 : la contrainte de cisaillement pur . . . . . . . . . . . . . . 38

TABLE DES MATIÈRES 3

4.5.4 Cas général : le tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.6.1 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.6.2 Exercice pour classe de 3ème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.6.3 Valeurs propres et vecteur propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.6.4 Matrice particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.6.5 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.6.6 Résolution de systèmes d'équations (algébriques ou diérentielles) . . . . 414.6.7 Mécanique/géotechnique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Calcul numérique 445.1 Recherche de racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.1.2 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.1.3 Méthode du point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Intégration approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.1 Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.2 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Aide-mémoire 46

Chapitre 1

Vecteurs

1.1 Dénitions

1.1.1 Typographie

Dans les textes imprimés, en général les vecteurs formés d'une seule lettre sont écrits encaractères gras. Cette notation provient de l'époque de l'imprimerie (avant le traitement detexte), où il était dicile (et coûteux) d'imprimer des caractères spéciaux et où les éditeursscientiques cherchaient à gagner autant de place que possible par souci de rentabilité.

Lorsque le vecteur est représenté par ses points de départ et d'arrivée (ex. ~AB) , la notationavec èche est conservée. Les points sont des objets géométriques, il sont donc écrits en caractèresromains (et non italiques, comme le sont les variables mathématiques).

1.1.2 Dénition d'un vecteur

Un ensemble de composantes. L'ordre des composantes a une importance. On rencontresouvent les notations suivantes :

u = [ui] (1.1)

où i est le numéro de la composante, et

u =

u1

...ui...um

(1.2)

où m est la taille du vecteur.

1.1.3 Norme, sens, direction

La norme ‖u‖ du vecteur u est dénie par

‖u‖ =

(m∑i=1

u2i

)1/2

(1.3)

elle est donc toujours positive par dénition. Si le vecteur est noté ~AB, sa norme est la distanceentre A et B : ∥∥∥ ~AB

∥∥∥ = AB (1.4)

4

CHAPITRE 1. VECTEURS 5

Direction : celle de la droite qui supporte le vecteur. Sens : deux vecteurs de même directionpeuvent avoir le même sens ou le sens opposé.

Vecteurs colinéaires. u 6= 0 et v 6= 0 sont colinéaires s'il existe un réel k 6= 0 tel que u = kv.Conséquence : si u//v et v//w, alors u//w.

1.2 Opérations sur les vecteurs

1.2.1 Multiplication par un réel

Si u = [ui], alors ku = [kui]

1.2.2 Addition, soustraction

Si u = [ui] et v = [vi] sont deux vecteurs de même taille (même nombre de composantes),alors u + v = [ui + vi] et u− v = [ui − vi].

1.2.3 Relation de Chasles et inégalité triangulaire

Il arrive souvent de trouver dans des copies une confusion entre vecteur et distance. Avecdeux points A et B de l'espace, il est possible de dénir deux quantités : le vecteur ~ABet la

distance AB =

∥∥∥∥ →AB

∥∥∥∥. Ces deux objets mathématiques ne doivent pas être confondus, car ils

présentent des propriétés très diérentes, voir tableau ci-dessous.

Objet vecteur distance

Changement de sens ~BA = − ~AB BA=AB

Relation de Chasles ~AB + ~BC = ~AC Ne s'applique pas

Inégalité triangulaire Ne s'applique pas AB + BC ≥ AC

Table 1.1 Propriétés comparées des vecteurs et des distances.

En posant u = ~AB et v = ~BC , l'inégalité triangulaire s'écrit aussi :

‖u‖+ ‖v‖ ≥ ‖u + v‖ (1.5)

De plus, l'égalité des vecteurs entraîne l'égalité des normes

u = v⇒ ‖u‖ = ‖v‖ (1.6)

mais la réciproque n'est pas vraie dans le cas général.

1.2.4 Dérivée par rapport au temps

On dérive par rapport au temps chaque composante du vecteur

du

dt=

[duidt

](1.7)

1.2.5 Produit scalaire

Dénition géométrique.u.v = ‖u‖ ‖v‖ cosα (1.8)

où α est l'angle entre les deux vecteurs.


Dénition mathématique.

u.v =

m∑i=1

uivi (1.9)

Exercice de cours : démontrer l'égalité entre les deux dénitions pour un espace à 2 dimensions(dans le plan).

Propriétés de base.u.v = v.u (1.10)

u. (av) = au.v = av.u = v. (au) (1.11)

u. (v + w) = u.v + u.w (1.12)

Produit scalaire et norme.‖u‖2 = u.u (1.13)

Vecteurs orthogonaux. Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux si et seulement siu.v = 0.

Vecteurs colinéaires. u//v⇔ |u.v| = ‖u‖ ‖v‖

Dérivée par rapport au temps. ddt (u.v) = u.dvdt + du

dt .v

Produit scalaire et composantes d'un vecteur. Dans une base orthonormée, ui = u.ei

1.2.6 Produit vectoriel

Dénition géométrique. Nécessairement dans un espace à 3 dimensions.u × v = ‖u‖ ‖v‖ sinαn, où α est l'angle orienté entre u et v et n ⊥ u, n ⊥ v, (u,v,n)

formant un trièdre direct.

Dénition mathématique.

u1

u2

u3

× v1

v2

v3

=

u2v3 − u3v2

u3v1 − u1v3

u1v2 − u2v1

Vecteurs colinéaires.

u//v⇒ u× v = 0

Vecteurs orthogonaux.

u ⊥ v⇒ |u× v| = ‖u‖ ‖v‖

Cas particulier. Dans l'espace orthonormé direct, on a ex×ey = ez, ey×ez = ex, ez×ex =ey.


1.3 Applications à la physique

1.3.1 Barycentre

On considère un ensemble de points Mi (i = 1, . . . , n) aectés de coecients de pondérationαi (i = 1, . . . , n). Le barycentre du système (Mi, αi) est le point G tel que

n∑i=1

αi→

GMi =→0 (1.14)

En introduisant un poin de référence O, on obtient :

→OG =

∑ni=1 αi

→OMi∑n

i=1 αi(1.15)

En physique, les Mi (i = 1, . . . , n) sont souvent des points auxquels s'appliquent des forces fi.Dans le cas où ces forces sont des poids, si les αi sont les masses des points, G est le centrede gravité (aussi appelé centre de masse) du systèe de points. Dans le repère cartésien (x, y, z),l'équation (1.15) devient :

xG =

∑ni=1 αixi∑ni=1 αi

(1.16a)

yG =

∑ni=1 αiyi∑ni=1 αi

(1.16b)

zG =

∑ni=1 αizi∑ni=1 αi

(1.16c)

=

1.3.2 Principe fondamental de la statique (PFS)

Système. En physique, on dénit un système comme un objet (ou un ensemble d'objetsque l'on choisit de considérer comme un objet unique) que l'on a choisi d'étudier. Ce systèmeest en général soumis à des forces internes (les eorts exercés par les diérentes parties dusystème les unes sur les autres) et des forces extérieures (exercées par des objets ou des corpsqui n'appartiennent pas au système).

Moment d'une force. Le moment d'une force peut se dénir de deux manières : dénition géométrique : le moment est le produit du bras de levier, de la force et du sens

de rotation (il faut avoir orienté le sens de rotation au préalable) ;

dénition avec le produit vectoriel : m =→

OM ×→F, où

→F est la force, M le point où elle

est appliquée, O est le point par rapport auquel le moment est calculé.On parle toujours de moment d'une force par rapport à un point, car la valeur du produitvectoriel dépend de la position du point O. On peut en théorie calculer le moment d'une forcepar rapport à n'importe quel point de l'espace. Mais il est en général plus intéressant de lecalculer par rapport à un point particulier : l'axe autour duquel le système est susceptible detourner, le centre de gravité, etc.

Le PFS. Lorsqu'un système est en équilibre statique, la somme des forces extérieures exercées sur ce système est nulle, la somme des moments des forces extérieures est nulle également. Ceci est vrai quel que

soit le point par rapport auquel on calcule le moment (voir exercices).


1.3.3 Travail d'une force, énergie potentielle

Travail. Une force est exercée en un point M d'un système ou d'un objet. Lorsque le point Mse déplace, la force produit (ou consomme) une quantité d'énergie appelée travail. Ce travail estnégatif lorsque le déplacement a tendance à s'opposer à la force, il est positif si le déplacement alieu globalement dans le sens de la force. Le travail dW produit par un déplacement innitésimal→

dM fait intervenir le produit scalaire avec la force :

dW =→F.→

dM (1.17)

Conséquence directe : si le déplacement est orthogonal à la force, celle-ci ne produit et neconsomme aucune énergie.

Énergie potentielle. Pour certains types de force, il est possible de dénir une énergie po-tentielle Ep. C'est le cas notamment lorsque la force exercée sur un objet ne dépend que de laposition de cet objet (Rmq. ceci exclut par exemple les forces de frottement, qui dépendent dela vitesse et non de la position). Cette énergie potentielle vérie la dénition suivante :

dEp = −→F.→

dM (1.18)

1.3.4 Vitesse et accélération

Dénitions. Le vecteur vitesse u est la dérivée du vecteur position x par rapport au temps.L'accélération a est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

u =dx

dt, a =

du

dt(1.19)

Coordonnées cartésiennes. Le système de coordonnées est repéré par 3 vecteurs unitairesex, ey, ez xes.

x = xex + yey + zez (1.20a)

u =dx

dtex +

dy

dtey +

dz

dtez (1.20b)

u =du

dtex +

dv

dtey +

dw

dtez =

d2x

dt2ex +

d2y

dt2ey +

d2z

dt2ez (1.20c)

Coordonnées cylindriques/polaires. Le vecteur unitaire ez est xe et le vecteur radial erchange avec la position du point

x = rer + zez (1.21a)

u =dr

dter + r

derdt

+dz

dtez =

dr

dter + r

dθ

dter +

dz

dtez (1.21b)

a =d2r

dt2er +

dr

dt

dθ

dteθ +

dr

dt

dθ

dter + r

d2θ

dt2er + r

(dθ

dt

)2

eθ +d2z

dt2ez (1.21c)

1.3.5 Mouvement de rotation, vitesse angulaire

On considère un point M en rotation à une distance constante r autour d'un point O. Pardénition, la trajectoire suivie par M est un cercle. Dans ce cas, le vecteur vitesse v du point M

est orthogonal au vecteur radial→

OM . Il est donc possible de dénir un vecteur vitesse angulaire,noté ω, tel que

v = ω ×→

OM (1.22)


En eet, par construction du produit vectoriel, le vecteur vitesse est nécessairement orthogonal

au vecteur radial. Le vecteur vitesse angulaire est orthogonal à la fois à ω et→

OM, il indiquel'axe autour duquel s'eectue la rotation.

1.4 Exercices

1.4.1 Propriétés de base

Démontrer les propriétés suivantes

1. ‖−u‖ = ‖u‖2. ‖ku‖ = |k| ‖u‖ , k ∈ R3. ‖u‖+ ‖v‖ ≥ ‖u + v‖ (inégalité triangulaire)4. Si I est milieu du segment [AB], alors ~IA + ~IB = ~0

5. quel que soit le vecteur −→u , on a : −→u .−→u = ‖−→u ‖2

6. (u× v) .u = (u× v) .v = 0

7. ddt ‖u‖

2= 2u.dudt

1.4.2 Barycentre du triangle et médianes

Le barycentre G du triangle (ABC) vérie la propriété suivante :

−→GA +

−→GB +

−→GC = 0 (1.23)

On appelle respectivement A', B' et C' les milieux des côtés du triangle qui font face à A, B etC.

1. Démontrer les égalités suivantes : 3−→GA = −2

−−→AA′, 3

−→GB = −2

−−→BB′,3

−→GC = −2

−−→CC′

2. En déduire que les 3 médianes AA', BB' et CC' sont concourantes.

Astuce : dans la question 1, pour démontrer la première égalité, on conseille d'exprimer tous lesvecteurs de l'équation (1) en fonction de

−→GA. Ensuite, on introduit le milieu A' de [BC] dans

l'égalité.

1.4.3 Parallélogramme : propriétés de base

(ABCD) est un parallélogramme. E, F, G et H sont respectivement les milieux de [AB], [BC],[CD] et [DA].

1. Que peut-on dire des vecteurs−→AB et

−→CD ? Des vecteurs

−→BC et

−→DA ?

2. (EFGH) est-il également un parallélogramme ?

1.4.4 Vecteurs de même norme

Deux vecteurs −→u et −→v (non nuls) ont la même norme et ne sont pas colinéaires.

1. Montrer que (−→u +−→v )⊥ (−→u −−→v ).

2. En déduire que les diagonales d'un losange sont orthogonales.


1.4.5 Lieu géométrique (n°1)

Soient A et B deux points du plan. On note 2L la distance entre A et B.

1. Trouver le lieu (l'ensemble) des points M tels que−−→MA.−−→MB = k, où k est une constante

que l'on suppose connue.

2. Ce lieu existe-t-il toujours, ou bien y a-t-il des valeurs de k pour lesquelles il n'existepas ?

3. Le cas particulier k = 0 correspond à une propriété géométrique bien connue du trianglerectangle. Laquelle ?

Astuce : introduire le point I, milieu de [AB, dans l'expression des vecteurs−−→MA et

−−→MB.

1.4.6 Lieu géométrique (n°2) : médiatrice

La médiatrice d'un segment [AB] du plan est dénie comme l'ensemble des points M tels queAM = BM. Montrer que la médiatrice est orthogonale au segment [AB].

Astuce : élever l'égalité au carré, puis introduire le point I, milieu de [AB].


Même géométrie que dans l'exercice 1.4.5.

1. Déterminer l'ensemble des points M tels que AM2 + BM2 = k.

2. Donner la condition qui doit être vériée par la constante k pour que (1) ait une solution.


Mêmes questions que ci-dessus pour les points M vériant AM2 − BM2 = k.

1.4.9 Trajectoire

Un point M(x, y) obéit aux deux équations diérentielles suivantes :

dx

dt= −ωy (1.24)

dy

dt= ωx (1.25)

(x, y) (t = 0) = (x0, y0) (1.26)

Montrer que ce point se déplace sur un cercle. Donner l'expression du rayon du cercle et lescoordonnées de son centre.

Up peu d'aide. Vous pouvez remarquer que, dans l'espace (x, y, z), le vecteur est égal au

produit vectoriel entre un vecteur Ω = (0, 0, ω) et le vecteur position→

OM (x, y, 0). Vous entirerez une information sur l'angle entre les vecteurs vitesse et position, donc une indication surla norme du vecteur position.

1.4.10 Produit scalaire et vectoriel

1. Déterminer l'expression du vecteur u. (u× v).

2. Montrer que ‖u× v‖2 + (u.v)2

= ‖u‖2 ‖v‖2


1.4.11 Principe fondamental de la statique (n°1)

Une planche repose sur deux appuis. On pose un objet de masse m sur cette planche (Figure1.1). Pour simplier le problème, on suppose que la masse de la planche est négligeable. L'objetest de petite taille, on peut le considérer comme ponctuel. On note L la distance entre les deuxappuis et x la distance entre l'objet et l'appui de gauche.

1. Faire le bilan des forces exercées sur le système (planche + objet).

2. Déterminer les expressions des deux forces de réaction exercées par les appuis en fonctionde m, g, L et x.

x

L

Figure 1.1 Objet reposant sur une planche.


On soulève un objet pesant à l'aide d'un levier. On note L1 et L2 les longueurs de part etd'autre du pivot (Figure 1.2), P = mg est le poids de l'objet.

L1

L2

P

F

Figure 1.2 Levier.

1. Donner l'expression de la force F verticale qui doit être exercée sur l'extrémité du levierpour soulever l'objet.

2. Lorsque l'on fait basculer le levier, l'objet s'élève d'une hauteur h. Donner l'expressiondu travail eectué par le poids de l'objet. Donner l'expression du travail eectué par laforce F . Que remarquez-vous ?


Dans l'énoncé du PFS (Section 1.3.2), il est précisé que pour un système en équilibre statique,la somme des forces et celle de leurs moments son nulles.


Montrer que, lorsque les hypothèses du PFS sont vériées, si la somme des moments parrapport à un point M donné est nulle, elle est forcément nulle par rapport à n'importe quelautre point.

1.4.14 Liquide en rotation

On place de l'eau dans un verre, puis on fait tourner celui-ci autour de son axe à la vitesseangulaire ω. Dans le repère tournant lié au verre, l'eau est immobile. En tout point, les moléculesd'eau sont soumises à une accélération

a =

[ω2r−g

](1.27)

où r est la distance à l'axe et g est l'accélération de la pesanteur. Remarque : le terme ω2rprovient de la force centrifuge.

Sachant que la surface libre correspond à une énergie potentielle constante, déterminer laforme prise par la surface libre.

1.4.15 Problème de la chaînette

On considère une corde qui relie deux points A et B dans le plan (x, z). On s'intéresse à laportion de corde située entre x−dx/2 et x+dx/2. Les trois forces qui s'exercent sur ce segmentsont (Figure 1.3) :

La tension Tg , en x− dx2 , qui tire vers la gauche,

La tension Td, en(x+ dx

2

), qui tire vers la droite,

le poids P de la portion de corde, orienté vers le bas.On note θ l'angle entre la corde et l'horizontale et µ la masse linéique. Il est important deremarquer que θ varie avec x.

z

x

Tg

Td

P

q

x - dx/2 x + dx/2

Figure 1.3 Problème de la chaînette. Schéma de dénition.

1. Ecrire l'équation vectorielle satisfaite par le poids et les forces de tension.

2. En tirer deux équations scalaires selon x et z.

3. En combinant ces équations, faire apparaître une équation diérentielle liant les dérivéespremière et seconde de z, altitude d'un point de la corde.

4. En tirer l'expression de z (x). Remarque : le sinus hyperbolique vérie :[(sinhx)

′]2=

1 + sinh2 x.

Chapitre 2

Dérivation

2.1 Dérivation

2.1.1 Dénition de la dérivée

Interprétation géométrique. La dérivée décrit la rapidité avec laquelle une fonctiond'une variable augmente ou diminue en fonction de cette variable. Elle possède une interprétationgéométrique simple : c'est la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction.Graphiquement, on construit cette tangente de la façon suivante :

1. on prend deux points A et B, proches l'un de l'autre, sur la courbe y = f (x) ;

2. on trace la droite (AB) passant par ces deux points ;

3. on rapproche inniment A de B (on fait tendre A vers B). La tangente à la courbereprésentative de la fonction en A est donnée par la position de (AB) à la limite ,quand A et B sont confondus.

Il sut alors de calculer la pente de (AB) pour avoir la dérivée f ′ (x) de la fonction f (x).

Dénition mathématique. Les points A et B ont pour coordonnées (x, f (x)) et (x+ h, f (x+ h)).La pente de la droite est

a =f (x+ h)− f (x)

h(2.1)

et la dérivée est la valeur limite de cette pente quand h tend vers 0 :

f ′ (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)

h(2.2)

Dérivée à droite, dérivée à gauche. Il arrive parfois que la courbe y = f (x) présente unpoint anguleux. Dans ce cas, il faut distinguer les dérivées dites à gauche et à droite dece point :

f′

g (x) = limh→0−

f (x+ h)− f (x)

h(2.3a)

f′

d (x) = limh→0+

f (x+ h)− f (x)

h(2.3b)

La notation 0− ou 0+ indique que l'on se rapproche de 0 par valeur inférieure ou supérieure.

13

CHAPITRE 2. DÉRIVATION 14

Fonction croissante, décroissante, minimum/maximum. Le signe de la dérivée ren-seigne sur la manière dont la fonction se comporte.

Si f ′ (x) > 0, alors la fonction est croissante au point x. En eet, d'après la dénition dela dérivée, si h > 0, alors f (x+ h) > f (x).

Si f ′ (x) < 0, alors la fonction est décroissante au point x. En eet, d'après la dénitionde la dérivée, si h > 0, alors f (x+ h) < f (x).

Si f (x) = 0, alors la fonction est (localement) constante : si l'on se déplace d'une distanceh innitésimale en x, la valeur de f ne change pas.

Le point (x0, f (x0)) est un minimum si : f ′ (x) < 0 pour x < x0

f ′ (x0) = 0 f ′ (x) > 0 pour x > x0

Le point (x0, f (x0)) est un maximum si : f ′ (x) > 0 pour x < x0

f ′ (x0) = 0 f ′ (x) < 0 pour x > x0

Un minimum et un maximum sont des points où la dérivée s'annule. Mais la dérivée nulle nesut pas à assurer que l'on soit sur un maximum ou un minimum (cas du point d'inexion).

2.1.2 Dérivées de fonctions usuelles

f (x) f ′ (x)

Cste 0

x 1

xn nxn−1

1x − 1

x2

lnx 1x

ex = expx ex = expx

cosx − sinx

sinx cosx

tanx 1cos2 x

coshx = 12 (ex + e−x) sinhx = 1

2 (ex − e−x)

sinhx coshx

tanhx 1cosh2 x

Table 2.1 Dérivées des fonctions usuelles.

2.1.3 Propriétés générales

f, g, u, v sont des fonctions dérivables.


Fonction Dérivée

u+ v u′ + v′

uv u′v + uv′

uv

u′v−uv′v2

un nun−1u′

1u − u′

u2

f (g) f ′ (g)× g′√u u′

2√u

f−1 1f ′(f−1)

Table 2.2 Formules générales de dérivation. f−1 est ici la fonction inverse de f (ou fonctionréciproque) : f−1 (x) = y ⇔ f (y) = x.

2.2 Exercices

2.2.1 Dérivées : exercices de base

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1. f (x) = cos (ax+ b)

2. f (x) =(cos2 x+ sin2 x

)n3. f (x) = cosn (x)

4. f (x) = exp (ax+ b)

5. f (x) = (exp (ax))b

6. f (x) = ln(ax2 + bx+ c

)7. f (x) = |x|

2.2.2 Dérivées : utilisation de la dénition

1. En utilisant la dénition de la dérivée, retrouver les expressions des dérivées des fonctionssinus et cosinus.

2. Même question pour l'exponentielle (on notera que, lorsque h tend vers 0, exph ≈ 1−h).

3. Démontrer la formule de dérivée de la fonction inverse :(f−1

)′= 1

f ′(f−1) .

4. En utilisant cette formule, donner les expressions des dérivées des fonctions arc sinus, arccosinus et arc tangente.

2.2.3 Optimisation de coût (problème posé en examen)

On vous demande de concevoir une boîte de conserve cylindrique pouvant contenir un volumeV connu. L'objectif est d'utiliser le moins de métal possible, donc de minimiser la surface S detôle qui va être utilisée pour confectionner la boîte.

1. Donner les expressions de S et V en fonction de la hauteur h et du rayon r de la boîte.

2. En tirer les expressions de h et r pour lesquelles S est minimale.


2.2.4 Optimisation d'une zone de stockage (problème posé en examen)

Vous êtes en charge de la logistique d'un chantier. Pour délimiter la zone de stockage desengins et du matériel, on vous a fourni un linéaire de grilles métalliques, de longueur totale L.En accord avec votre supérieur, vous êtes autorisé(e) à utiliser ce linéaire pour délimiter unezone rectangulaire (longueur a, largeur b). Votre supérieur n'a pas xé de limite à la surface quevous deviez occuper. Le plus avantageux pour vous est de maximiser la surface au sol de la zonede stockage, sachant que le périmètre est xé.

1. Donner la relation qui existe entre a, b et L.

2. En déduire, en fonction de L, quelles sont les dimensions a et b que vous devrez donnerà la zone de stockage pour maximiser sa surface.

Chapitre 3

Intégration

3.1 Intégrale par rapport à une variable

3.1.1 Dénition

Dénition géométrique. Voir la séance de cours. On ne parle que de l'intégrale de Riemann.

Relation de Chasles. Les intégrales se comportent un peu comme des vecteurs. Les bornesa et b représentent les deux points qui dénissent le vecteur. On peut ainsi découper l'aire sousla courbe sur [a, c] en deux parties : une partie [a, b] à laquelle on ajoute la partie [b, c] :∫ b

a

f (x) dx+

∫ c

b

f (x) dx =

∫ c

a

f (x) dx (3.1)

En particulier, en posant c = a, on obtient :∫ b

a

f (x) dx = −∫ a

b

f (x) dx (3.2)

Dénition mathématique avec la primitive. Soit une fonction f intégrable (dont l'inté-grale existe et peut être calculée). On dénit la fonction I (a, x), qui est l'intégrale de f entre aet x :

I (a, x) =

∫ x

a

f (ξ) dξ (3.3)

On cherche l'expression de la dérivée de I par rapport à x :

dIdx = lim

dx→0

I(a,x+dx)−I(a,x)dx

= limdx→0

∫ x+dxa

f(ξ)dξ−∫ xaf(ξ)dξ

dx

= limdx→0

∫ x+dxx

f(ξ)dξ

dx

= limdx→0

f(x)dxdx

= f (x)

(3.4)

La fonction f est dérivée de la fonction I. Donc la fonction I est une primitive F de f . Onsait qu'il existe une innité de primitives F , dénies à une constante additive près. Toutefois,la dénition (3.3) impose que I soit nulle en x = a. On a donc :

I (a, x) = F (x)− F (a) (3.5)

17

CHAPITRE 3. INTÉGRATION 18

3.1.2 Propriétés générales

∫ b

a

kf (x) dx = k

∫ b

a

f (x) dx (3.6)

f (b) = f (a) +

∫ b

a

f ′ (x) dx (3.7)∫ b

a

(f (x) + g (x)) dx =

∫ b

a

f (x) dx+

∫ b

a

g (x) dx (3.8)

3.1.3 Techniques d'intégration

Intégration par parties. ∫ b

a

u′vdx = [uv]ba −

∫ b

a

uv′dx (3.9)

Exemple : ∫ b

a

x cosx dx = [x sinx]ba −

∫ b

a

sinxdx = [x sinx− cosx]ba (3.10)

Changement de variable. On pose X = X (x), alors dX = X ′ (x) dx et∫ X(b)

X(a)

f (x (X))

X ′ (x)dX (3.11)

Exemple : on veut calculer ln (ab) en fonction de ln a et ln b. Par dénition, ln est la primitivede 1/x qui s'annule en x = 1. Donc :

ln (ab) =

∫ ab

1

dx

x(3.12)

On voudrait exprimer l'intégrale en fonction de

ln (a) =

∫ a

1

dx

x(3.13)

On constate que la seule diérence entre les équations (3.12) et (3.13) est la borne supérieurede l'intégrale. On utilise d'abord la loi de Chasles

ln (ab) =

∫ a

1

dx

x+

∫ ab

a

dx

x= ln a+

∫ ab

a

dx

x(3.14)

On remarque que la dernière intégrale pourrait s'exprimer comme un logarithme si sa borneinférieure était 1. On dénit donc une nouvelle variable X = x

a . Alors x = aX et dx = adX. Six varie de a à ab, X varie de 1 à b. La dernière intégrale devient∫ ab

a

dx

x=

∫ b

1

dX

X= ln b (3.15)

et l'on retrouve bien la propriété ln (ab) = ln a+ ln b.


3.2 Intégration dans l'espace

3.2.1 Intégration sur un segment de droite dans le plan (x, y)

Soit la fonction f (x, y) = cosx. On souhaite calculer l'intégrale de f sur un domaine Ω formépar un segment de droite. Dans ce cas, dΩ correspond à une longueur innitésimale le long dusegment. Le calcul de l'intégrale de f est examiné pour trois domaines Ω diérents (Figure 3.1).

x

y

y1

y2

x2

x1

AB

C D

Figure 3.1 Intégration le long d'un segment de droite dans le plan (x, y).

1. Le segment de droite est parallèle à l'axe des x. Il relie un point A (x1, y1) à un pointB (x2, y1) (la coordonnée y est la même pour les deux points puisque le segment estparallèle à x). L'élément de domaine dΩ correspond donc à un élément de longueur dx :∫ B

Af (x, y) dΩ =

∫ x2

x1cosxdx = sinx2 − sinx1 (3.16)

2. Le segment est parallèle à l'axe des y. Il relie le point A (x1, y1) à un point C (x1, y2)(la coordonnée x est la même pour les deux points puisque le segment est parallèle à y).L'élément de domaine dΩ correspond donc à un élément de longueur dy :∫ C

Af (x, y) dΩ =

∫ y2y1

cosx1dy = [(cosx1) y]y2y1

= (y2 − y1) cosx1 (3.17)

3. Le segment suit une direction oblique. Il connecte en ligne droite le point A (x1, y1) àun point D (x2, y2). Dans ce cas, y et x varient, mais ils ne varient pas indépendammentl'un de l'autre. En eet, A et D étant connectés par une ligne droite, les variations de xet y sont liées. Pour simplier l'écriture, on désigne par a et b la pente et l'ordonnée àl'origine du segment :

y = ax+ b (3.18)

(il n'est pas important à ce stade de connaître les expressions de a et b). La longueur dΩd'une portion innitésimale du segment [AD] est liée à la variation innitésimale dx par :

dΩ =(1 + a2

)1/2dx (3.19)

Donc ∫ D

Af (x, y) dΩ =

∫ x2

x1f (x, ax+ b) dΩ

=∫ x2

x1f (x, ax+ b)

(1 + a2

)1/2dx

=(1 + a2

)1/2 ∫ x2

x1f (x, ax+ b) dx

=(1 + a2

)1/2 ∫ x2

x1cosxdx

=(1 + a2

)1/2(sinx2 − sinx1)

(3.20)


Remarque 1. Le résultat dépend de la forme et de la taille du domaine. Si l'on compare parexemple les équations (3.16) et (3.17), on s'aperçoit les formules des intégrales ne sont pas dutout les mêmes. Ce résultat était prévisible, car le vecteur v ne dépend que de la coordonnée xet pas de y.

Remarque 2. La remarque ci-dessus permet de comprendre pourquoi il est toujours essentield'indiquer la variable d'intégration à l'intérieur d'une intégrale. C'est cette variable qui indiquepar rapport à quoi on cherche la primitive de la fonction à intégrer. Dans l'équation (3.16), onintègre par rapport à x (d'où la présence de dx dans l'intégrale). Dans l'équation (3.17), onintègre par rapport à y, x = x1 est donc à considérer comme une constante dans cette opérationd'intégration, ainsi que cosx1 et sinx1.

3.2.2 Intégration sur une surface dans le plan (x, y)

Dans cet exemple, on intègre f (x, y) = cos y sur la surface triangulaire de la Figure 3.2.

x

y

y1

y2

x2

x1

AB

C

W

Figure 3.2 Intégration le long d'un segment de droite dans le plan (x, y).

Pour calculer l'intégrale de v sur Ω, il est nécessaire de décomposer le domaine en élémentsinnitésimaux dΩ. Il existe plusieurs façons de le faire, certaines sont plus pratiques que d'autres.

1. On découpe le domaine en se déplaçant le long de l'axe des x, comme dans l'intégraleclassique (Figure 3.3).

x

y

y1

y2

x2

x1

AB

C

W

x x+dx

y

y+dy

x

y

y1

y2

x2

x1

AB

C

W

x x+dx

Figure 3.3 Décomposition du domaine en balayant l'axe x.

L'intégrale de f est donnée par

F =

∫ x2

x1

∫ ax+b

y1

cos ydy dx (3.21)


Dans cette approche, on eectue une double décomposition. Dans un premier temps,le domaine triangulaire est décomposé en bandes verticales de largeur dx (Figure 3.3,gauche), d'où l'intégrale par rapport à x. Mais ce découpage n'est pas susant, car cos yn'est pas constant à l'intérieur de ces bandes (puisque y varie entre y1 et ax+ b). Il fautdonc eectuer un deuxième découpage de la bande verticale, en petits éléments de hauteurdy (Figure 3.3, droite). C'est pourquoi on trouve une deuxième intégrale (par rapportà y) à l'intérieur de l'intégrale par rapport à x. On obtient ainsi de petits rectanglesde hauteur dy. Chacun de ces rectangles innitésimaux est susamment petit pour quef puisse être considérée comme constante. Pour déterminer l'expression de F , il sutd'eectuer les deux intégrations l'une après l'autre :

F =∫ x2

x1

(∫ ax+b

y1cos ydy

)dx

=∫ x2

x1

([sin y]

ax+by1

)dx

=∫ x2

x1[sin (ax+ b)− sin y1] dx

=[− 1a cos (ax+ b)− x sin y1

]x2

x1

= 1a [cos (ax1 + b)− cos (ax2 + b)] + (x1 − x2) sin y1

= 1a (cos y1 − cos y2) + (x1 − x2) sin y1

(3.22)

2. On découpe le domaine en se déplaçant le long de l'axe des y (Figure 3.4). Ce découpageest plus avantageux que le précédent, car à l'intérieur d'une bande horizontale de hauteurdy, la fonction cos y est constante.

y

y1

y2

x2

x1

AB

C

Wy

y+dy

x

L(y)

Figure 3.4 Décomposition du domaine en balayant l'axe y.

L'intégrale s'écrit

F =

∫ y2

y1

cos y L (y) dy (3.23)

où L (y) est la longueur de la bande horizontale à l'altitude y. Cette longueur s'obtientfacilement en inversant l'équation de droite

L (y) = x2 − x (y) = x2 −y − ba

= x2 +b

a− y

a(3.24)

DoncF =

∫ y2y1

(x2 + b

a −ya

)cos y dy

=∫ y2y1

(x2 + b

a

)cos y dy − 1

a

∫ y2y1y cos y dy

=(x2 + b

a

)(sin y2 − sin y1)− 1

a

∫ y2y1y cos y dy

= y2a (sin y2 − sin y1)− 1

a [y sin y]y2y1

+ 1a

∫ y2y1

sin ydy

= y2a (sin y2 − sin y1) + y1 sin y1−y2 sin y2

a + cos y1−cos y2a

= 1a (cos y1 − cos y2) + y1−y2

a sin y1

= 1a (cos y1 − cos y2) + (x1 − x2) sin y1

(3.25)


ce qui est bien identique au résultat obtenu par la méthode n°1. Remarque : on a utiliséune intégration par parties pour

∫y sin y dy.

3.2.3 Calculs de longueur, de surface, de volumes

Longueur d'une courbe dans le plan (x, y). Si la fonction f (x) est continue et que sadérivée par rapport à x existe en tout point, la longueur de sa courbe représentative sur lesegment [a, b] est donnée par :

L =

∫ b

a

(1 + f

′2 (x))1/2

dx (3.26)

Longueur d'une courbe paramétrée. La courbe peut aussi être dénie sous la forme d'unefonction paramétrée :

x = x (t) (3.27a)

y = y (t) (3.27b)

z = z (t) (3.27c)

Pour t = t1, on se trouve au point A. Pour t = t2, on se trouve au point B. La longueur de lacourbe entre les points A et B est :

L =

∫ t2

t1

(x′2 (t) + y

′2 (t) + z′2 (t)

)1/2

dt (3.28)

Surface sous une courbe dans le plan (x, y). La courbe est donnée par deux fonctionsparamétrées x (t) et y (t). Si la courbe est fermée, il existe deux valeurs consécutives t1 et t2 duparamètre pour lesquelles on se trouve au même point. La surface à l'intérieur de la courbe peutse calculer de deux façons (Figure 3.5) :

A1 =

∫ t2

t1

y (t) dx (t) =

∫ t2

t1

y (t)x′(t) dt (3.29a)

A2 =

∫ t2

t1

x (t) dy (t) =

∫ t2

t1

x (t) y′(t) dt (3.29b)

Ces deux intégrales sont égales au signe près (il sut de faire une intégration par parties pourle démontrer). Elles peuvent être positives ou négatives, selon le sens dans lequel on parcourt lacourbe fermée.

Attention : Les valeurs t1 et t2 doivent bien être consécutives. En eet, si l'on repasseplusieurs fois par le même point de la courbe lors de l'intégration, la surface sera calculéeplusieurs fois.


x

y

x

y

dx

dy

Figure 3.5 Surface à l'intérieur d'une courbe paramétrée fermée. Gauche : intégration parrapport à x. Droite : intégration par rapport à y.

Volume. Le volume peut être vu comme l'intégrale d'une surface (Figure 3.6). Pour calculerun volume V d'excavation ou de fondations, il sut de connaître

la manière dont la surface en plan A (z) évolue avec l'altitude z, les altitudes z1 et z2 entre lesquelles est située l'excavation.

V =

∫ z2

z1

A (z) dz (3.30)

x

z

dz

y

A(z)

z2

z1

Figure 3.6 Calcul d'un volume par intégration de la section.

3.3 Applications à la physique

3.3.1 Trajectoire, vitesse, accélération

Le vecteur position x, la vitesse u et l'accélération a d'un objet sont reliées par :

u =dx

dt, a =

du

dt, (3.31)

On a donc, par intégration :

u (t) = u0 =

∫ t

0

a (t) dt, x (t) = x0 =

∫ t

0

u (t) dt (3.32)

où u0 et x0 sont la vitesse et la position à la date t = 0.


3.3.2 La fonction (ou distribution) de Dirac

Fonction créneau. On considère la fonction constante par morceaux suivante :

C (ε, x) =

1ε si x ∈

[− ε

2 ,ε2

]0 sinon

(3.33)

Cette fonction est aussi appelée fonction créneau, de largeur ε. Son intégrale sur ]−∞,+∞[ estégale à 1, quelle que soit la valeur de ε.

Fonction de Dirac. La fonction δ de Dirac est un cas limite de la fonction créneau, quand εtend vers 0 :

δ (x) = limε→0

C (ε, x) ∀x ∈ R (3.34)

La fonction est nulle partout, sauf au point x = 0, où elle est innie. L'intégrale de la fonctionδ de Dirac vaut 1. Cette fonction permet de représenter facilement des forces ou des massesconcentrées en un point.

Fonction de Heaviside (fonction échelon). La fonction H de Heaviside est l'intégrale dela fonction de Dirac :

H (x) =

∫ x

−∞δ (ξ) dξ =

0 si x < 01 si x ≥ 0

(3.35)

La fonction de Dirac est donc la dérivée de la fonction de Heaviside.

3.3.3 Équivalence entre intégrale et somme discrète

Équivalence mathématique. La fonction de Dirac permet de faire apparaître une équiva-lence entre l'intégrale et la somme discrète. En eet, par dénition de la fonction de Dirac :∫ +∞

−∞δ (x) dx = 1 (3.36)

Donc (voir exercice de la section 3.4.1)∫ +∞

−∞δ (x) f (x) dx = f (0) (3.37)

et en faisant un changement de variable :∫ +∞

−∞δ (ξ − x) f (ξ) dξ = f (x) (3.38)

La valeur de f en un point donné peut donc s'interpréter comme l'intégrale de la fonction fmultipliée par la fonction de Dirac centrée sur ce point. On peut alors introduire plusieursdistributions de Dirac centrées sur des points xi diérents :

f (xi) =

∫ +∞

−∞δ (ξ − xi) f (ξ) dξ (3.39)

et les sommer : ∑i f (xi) =

∑i

∫ +∞−∞ δ (ξ − xi) f (ξ) dξ

=∫ +∞−∞

∑i δ (ξ − xi) f (ξ) dξ

=∫ +∞−∞ f (ξ)

∑i δ (ξ − xi) dξ

(3.40)


Application concrète : masse et masse linéique. On considère une poutre horizontale.La poutre s'étend de x = a à x = b. On note m la masse de la poutre et µ sa masse linéique,c'est-à-dire sa masse par unité de longueur. Par dénition, on a

m =

∫ b

a

µ (x) dx (3.41)

Attention : µ (x) n'est pas forcément constante, si par exemple la poutre n'est pas de section oude composition homogène.

Supposons maintenant que l'on charge la poutre en y posant, en x = x0, une masse sup-plémentaire M . Cette masse est concentrée en un point (par exemple si le contact est un pieureposant par sa pointe sur la poutre). Dans ce cas, on ajoute la masse M en x = x0 à la masselinéique précédente. La nouvelle distribution de masse linéique est :

= µ (x) +Mδ (x− x0) (3.42)

et la nouvelle masse est :

m′ =∫ baµ′(x) dx

=∫ ba

[µ (x) +Mδ (x− x0)] dx

= m+∫ baMδ (x− x0) dx

= m+M

(3.43)

3.3.4 Valeur moyenne d'une fonction

Moyenne classique . Soit f une fonction dénie sur un intervalle [a, b]. La valeur moyennede f sur [a, b] est notée f . Par dénition, f est la fonction constante dont l'intégrale sur [a, b]est égale à celle de f :∫ b

a

f dx =

∫ b

a

f (x) dx⇐⇒ f =1

b− a

∫ b

a

f (x) dx (3.44)

Moyenne pondérée. On peut choisir de donner des poids (c'est-à-dire des importances)diérents aux diérentes valeurs de f pour calculer la moyenne. On parle alors de moyennepondérée. On dénit une loi de pondération w (x). La dénition précédente se généralise alors :∫ b

a

w (x) f dx =

∫ b

a

w (x) f (x) dx⇐⇒ f =

∫ baw (x) f (x) dx∫ baw (x) dx

(3.45)

On remarque que l'équation (3.44) est un cas particulier de (3.45) (il sut de prendre w uniformesur [a, b]).

Moyenne discrète. La moyenne discrète s'obtient en utilisant la distribution de Dirac pourconvertir la fonction f continue en une fonction discrète :

w (x) =

n∑ii=1

wiδ (x− xi) (3.46)

Alors

f =

∫ ba

∑ni=1 wiδ (x− xi) f (x) dx∫ b

a

∑ni=1 wiδ (x− xi) dx

=

∑ni=1

∫ bawiδ (x− xi) f (x) dx∑n

i=1

∫ bawiδ (x− xi) dx

=

∑ni=1 wifi∑ni=1 wi

(3.47)


3.3.5 Moments d'une fonction

Le moment d'ordre m de la fonction f sur l'intervalle [a, b] est :

f (m) =

∫ baxmf (x) dx∫ baf (x) dx

(3.48)

3.3.6 Centre de gravité

Le centre de gravité d'une distribution de masse est le barycentre de la densité (ou massevolumique). On rappelle que, dans le cas d'un système de points, les coordonnées du barycentresont données par les équations (1.16a, 1.16b, 1.16c). En transformant la somme discrète enintégrales, on obtient :

xG =

∫Ωxρ (x, y, z) dΩ∫ b

Ωρ (x, y, z) dΩ

(3.49a)

yG =

∫Ωyρ (x, y, z) dΩ∫ b

Ωρ (x, y, z) dΩ

(3.49b)

zG =

∫Ωzρ (x, y, z) dΩ∫ b

Ωρ (x, y, z) dΩ

(3.49c)

Si le système est discret (un ensemble de points), en faisant intervenir la fonction de Dirac, onretrouve bien la formule classique :

xG =

∑imixi∑imi

(3.50a)

yG =

∑imiyi∑imi

(3.50b)

zG =

∑imizi∑imi

(3.50c)

3.3.7 Travail d'une force, théorème de l'énergie cinétique

Pour un objet à masse constante, on a

f = mdu

dt(3.51)

où f est la résultante des forces extérieures appliquées sur l'objet, m est la masse de l'objet, uest sa vitesse. On suppose que la force f dérive d'un potentiel. On fait le produit scalaire avecle vecteur déplacement dx

f .dx = mdu

dt.dx (3.52)

or, dx = u dt, donc

f .dx = mdu

dt.u dt (3.53)

donc

f .dx = md

dt

u.u

2dt = m

d

dt

‖u‖2

2dt = md

‖u‖2

2(3.54)

Or, f .dx = −dEp, et m ‖u‖2 /2 = Ec. On a donc

−dEp = dEc =⇒ Ep + Ec = Cste (3.55)

Si la résultante des forces ne dépend pas d'un potentiel, il faut ajouter à l'égalité ci-dessusle travail des forces ne dérivant pas du potentiel.


3.3.8 Probabilités : fonction de distribution et densité de probabilité

Fonction de distribution d'une variable aléatoire. On considère une variable aléatoireX. La variable est dite aléatoire car on ne sait pas avec certitude quelle valeur elle va prendre.Exemples : les points achés par un dé que l'on lance ; une pièce que l'on lance va-t-elle tomberdu côté pile ou du côté face ? Lorsque l'on lance le dé, on eectue une réalisation de la variablealéatoire points achés par le dé .

Une variable aléatoire X peut être décrite par sa fonction de distribution F . Celle-ci carac-térise la manière dont X se comporte dans l'ensemble :

F (x) = Prob (X ≤ x) (3.56)

où Prob (X ≤ x) est la probabilité que X (au cours d'une prise de mesure, ou d'une réalisation)ne dépasse pas x. Comme F est une probabilité de non-dépassement, elle varie de façon croissantede 0 à 1.

Densité de probabilité. La densité de probabilité est la dérivée de la fonction de distribu-tion :

f (x) = F ′ (x) (3.57)

On appelle support de f l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f n'est pas nulle.Propriété importante : ∫

Rf (x) dx = 1 (3.58)

Valeur moyenne. La valeur moyenne de X est la position du centre de gravité de la densitéde probabilité :

X =

∫R xf (x) dx∫R f (x) dx

=

∫Rxf (x) dx (3.59)

3.4 Exercices

3.4.1 Intégrales

Calcul d'intégrale. Donner l'expression des intégrales suivantes∫ b

a

x sinxdx (3.60)

∫ b

a

lnxdx (3.61)

Montrer que, pour a < 0 < b, on a

∫ b

a

δ (x) f (x) dx =

0 si a ≤ b < 0f (0) si a < 0 < b

0 si 0 > a ≥ b < 0(3.62)

3.4.2 Calculs de surface, de volumes

Périmètre et aire du cercle.

1. Donner l'équation paramétrique du cercle de rayon r et de centre (x0, y0).

2. En déduire l'expression de son périmètre et de son aire.

3. Même questions si le cercle est donné par son équation cartésienne.


Volume de la pyramide. Démontrer la formule du volume de la pyramide

V =1

3Bh (3.63)

où B est la surface de base et h la hauteur.

3.4.3 Trajectoire (exercice posé en examen)

Un objet se déplace dans le plan (x, y). On note respectivement u et v ses vitesses dans lesdirections x et y. Elles obéissent aux équations suivantes :

u = kt (3.64a)

v = 2kx (3.64b)

A la date t0, l'objet se trouve en (x0, y0).

1. Écrire les équations auxquelles obéissent x et y.

2. En déduire x (t) et y (t) en fonction de k, t0, x0, y0.

3.4.4 Centre de gravité d'une poutre (exercice posé en examen)

Une poutre de longueur L est fabriquée dans un matériau non homogène. Sa masse linéique(masse par unité de longueur) est variable avec la distance :

µ = µ0 + ax (3.65)

où µ0 est la masse linéique à l'extrémité gauche de la poutre (en x = 0) et a est un coecient(constant) de variation de µ avec l'abscisse. L'abscisse x = L correspond à l'extrémité droite dela poutre.

1. Représenter graphiquement la masse linéique en fonction de x.

2. Donner l'expression de la masse totale de la poutre. Vous utiliserez au choix une méthodegraphique ou analytique.

3. Même question pour la position du centre de gravité de la poutre.

4. Vérication : dans les deux cas particuliers suivants, la masse et la position du centre degravité ont des expressions bien connues. Vérier que vous retrouvez bien ces expressionsavec les formules des questions 2 et 3.

(a) Cas 1 : µ0 = 0,

(b) Cas 2 : a = 0

5. Question subsidiaire : il existe une condition sur a et µ0 pour que la fonction µ (x) soitphysiquement admissible. Laquelle ?

3.4.5 Vitesse, accélération, coût

Vous roulez en voiture. Vous partez à la date t = 0 d'une vitesse initiale v0 et vous accélérezrégulièrement, de telle sorte que votre vitesse v (en km/h) évolue de la manière suivante :

v (t) = v0 + at (3.66)

où l'accélération a, constante, est supposée connue. La consommation C (en L/km) en essencedu véhicule obéit à une loi de la forme :

C (v) = C0 + bv (3.67)

où b et C0 sont également des constantes connues.


1. Donner la formule de la distance L (T ) parcourue à la date T .

2. Donner la formule du volume E (T ) d'essence consommé entre t = 0 et t = T . Attention :la consommation est en L/km, pas en L/h.

3. Quelle doit être l'accélération a pour que, à la date T , on ait atteint la vitesse v (T ) = 2v0 ?

4. Dans ce cas, donner les expressions de L (T ) et E (T ) uniquement en fonction de v0, C0, b, T(éliminer a des expressions).

5. Quelle est l'option la plus économique ? accélérer régulièrement de v0 à 2v0 comme dansla question 3, ou bien rouler toujours à la même vitesse moyenne 3

2v0 ?

3.4.6 Centre de gravité de surfaces et de volumes

Centre de gravité d'une surface plane. Une surface plane triangulaire est formée d'unmatériau homogène (par exemple, une plaque de tôle d'épaisseur uniforme). Donner la positionde son centre de gravité en fonction des coordonnées des trois sommets.

Centre de gravité d'une pyramide. Une pyramide est formée d'un matériau de massevolumique homogène. Donner l'altitude de son centre de gravité.

3.4.7 Fonction de distribution, densité de probabilité

Distribution uniforme. Une loi de probabilité uniforme est une loi pour laquelle f est égaleà une valeur constante sur son support :

f (x) =

0 si x < ac si x ∈ [a, b]0 si x > b

(3.68)

1. Montrer qu'il existe une condition nécessaire liant a, b, c.

2. Donner l'expression de la fonction de distribution.

3. Vers quelle fonction de distribution la loi uniforme tend-elle lorsque a et b se rapprochentinniment l'un de l'autre ?

4. Est-il possible pour une loi uniforme d'avoir un support inni ?

Lancer de dés.

1. On lance un dé à 6 faces.

(a) Représenter graphiquement la fonction de distribution des points donnés par le dé.Donner l'expression de cette fonction de distribution, en utilisant une fonction déjàvue dans ce chapitre.

(b) En tirer l'expression de la densité de probabilité et la représenter graphiquement.

2. On lance deux dés à 6 faces.

(a) Représenter graphiquement la fonction de distribution de la somme des points donnéspar les deux dés. Donner l'expression de cette fonction de distribution, en utilisantune fonction déjà vue dans ce chapitre.

(b) En tirer l'expression de la densité de probabilité et la représenter graphiquement.


Transformation non-linéaire de variable aléatoire. La pluie P qui tombe sur un bassinversant est considérée comme une variable aléatoire. Sa fonction de distribution est notée P (x).Lorsque la pluie tombe sur un bassin versant, elle se transforme en débit selon une loi

Q = f (P ) (3.69)

La pluie étant une variable aléatoire, le débit en est une également.

1. Démontrer que l'on a :Q (x) = P

(f−1 (x)

)(3.70)

2. En tirer l'expression de la densité de probabilité Q′ (x) pour les débits.

3. Application : on suppose que la pluie est une variable aléatoire uniforme comprise entre0 et Pmax. La transformation pluie-débit est de la forme Q = aP b.

(a) Représenter graphiquement les fonctions de distribution P et Q dans trois cas : b < 1,b = 1 et b > 1.

(b) Pour ces trois cas, représenter graphiquement la densité de probabilité du débit Q.

(c) Donner l'expression de la densité de probabilité Q′.

(d) En déduire l'expression de la valeur moyenne du débit Q. Situer cette valeur moyennesur les graphiques du (b).

Chapitre 4

Algèbre linéaire

4.1 Retour sur les vecteurs

4.1.1 Vecteur ligne et vecteur colonne

Un vecteur de taille m est un ensemble constitué de m valeurs réelles.

u =

u1

...uk...um

(vecteur colonne) (4.1a)

v = [v1 . . . vk . . . vm] (vecteur ligne) (4.1b)

Les uk (k = 1, . . . ,m) sont les composantes de u.

4.1.2 Opérations

Addition. On ne peut additionner que des vecteurs de même taille. Ces vecteurs peuvent êtredes vecteurs lignes ou colonnes. Les composantes s'additionnent deux à deux.

u =

u1

...um

, v =

v1

...vm

=⇒ u + v =

u1 + v1

...um + vm

(4.2)

Multiplication par un scalaire. Cette opération s'applique à des vecteurs lignes ou co-lonnes. On multiplie chacune des composantes par le scalaire en question.

u =

u1

...um

=⇒ au = a

u1

...um

=

au1

...aum

(4.3)

Produit scalaire. Le produit scalaire s'applique uniquement à des vecteurs colonnes de mêmetaille.

31

CHAPITRE 4. ALGÈBRE LINÉAIRE 32

u =

u1

...um

, v =

v1

...vm

=⇒ u.v = u1v1 + · · ·+ umvm (4.4)

Un produit similaire peut se dénir également entre des vecteurs lignes, mais on l'appelle alors produit contracté .

Vecteur nul. Il peut être ligne ou colonne. C'est le vecteur dont toutes les composantes sontnulles.

Vecteurs colinéaires. Deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires s'il existe un réel a nonnul tel que u = av. Cette dénition implique que les vecteurs soient de même taille.

4.2 Matrices

4.2.1 Dénitions

Matrice. Une matrice M de taille m × n est un arrangement de nombres réels sur m ligneset n colonnes :

M =

M11 · · · M1j · · · M1n

......

...Mi1 · · · Mij · · · Min

......

...Mm1 · · · Mmj · · · Mmn

(4.5)

L'élément Mij est situé par dénition sur la ligne i et la colonne j.Une matrice est dite carrée si m = n.

Transposée. La matrice transposée s'obtient en intervertissant les lignes et les colonnes :(MT

)ij

= Mji (4.6)

Exemple :

M =

[a c eb d f

]⇐⇒MT =

a bc de f

(4.7)

Matrice symétrique, antisymétrique. Une matrice carrée M est dite symétrique si MT =M. Elle est antisymétrique si MT = −M.

Matrice diagonale. Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les élémentssitués en-dehors de la diagonale sont nuls.

D =

D11 0. . .

0 Dmm

, i 6= j =⇒ Dij = 0 (4.8)


Matrice identité. La matrice identité, notée en général I ou Id, est la matrice diagonale quicomporte des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs :

Iij = δij =

1 si i = j0 si i 6= j

(4.9)

(δij est appelé le symbole de Kronecker).

4.2.2 Opérations

Addition. Les composantes sont additionnées deux à deux. On ne peut additionner que desmatrices de mêmes dimensions.

(A + B)ij = Aij + Bij (4.10)

Multiplication par un scalaire.

(aM)ij = aMij ∀a ∈ R (4.11)

Produit matriciel. Pour A de taille m× n et B de taille n× p, on a :

(AB)ij =

n∑k=1

AikBkj (4.12)

On ne peut multiplier une matrice de taille m × n que par une matrice de taille n × p.Autrement dit, le nombre de lignes de la 2ème matrice doit être égal au nombre decolonnes de la première.

Le produit de deux matrices n'est pas commutatif : en général AB 6= BA. Cas particulier : le produit matrice-vecteur

(Au)i =

n∑k=1

Aikuk (4.13)

Le produit scalaire de deux vecteurs colonnes peut s'interpréter comme un produit ma-triciel :

u.v = uvT (4.14)

car un vecteur colonne est une matrice m× 1.

Propriétés de base.

A. (bB + cC) = bAB + cAC, (b, c) ∈ R2 (4.15)

(AB) C = A (BC) (4.16)

(AB)T

= BTAT (4.17)

4.2.3 Les deux invariants principaux d'une matrice carrée

Trace. La trace d'une matrice est la somme de ses éléments diagonaux :

trA =

m∑i=1

Aii (4.18)


Déterminant. Le déterminant se calcule par récurrence.

|A| =m∑i=1

(−1)j−1

A1j |A1j | =m∑i=1

(−1)i−1

Ai1 |Ai1| (4.19)

où |Aij | est la matrice (m− 1)× (m− 1) obtenue en enlevant de A tous les éléments de la lignei et de la colonne j. On l'appelle également la comatrice.

Lorsque l'on permute entre elles deux colonnes ou deux lignes d'une matrice, le déterminantest multiplié par −1.

Les propriétés principales.|kM| = km |M| (4.20)

tr (kM) = k trM (4.21)∣∣MT∣∣ = |M| (4.22)

tr(MT

)= trM (4.23)

|AB| = |A| |B| (4.24)

tr (A + B) = trA + trB (4.25)

4.2.4 Inverse d'une matrice carrée

L'inverse d'une matrice carrée M est noté M−1. S'il existe (ce qui n'est pas toujours le cas),il vérie

M−1M = MM−1 = I (4.26)

Pourqu'une matrice soit inversible, il faut que son déterminant soit non nul.

Propriétés de base.IM = MI = M ∀M (4.27)

(AB)−1

= B−1A−1 (4.28)

4.2.5 Interprétation géométrique de la matrice

La matrice en tant qu'opérateur. Une matrice peut être vue comme un outil de transfor-mation des vecteurs. Si on pose v = Mu, M est la matrice qui transforme le vecteur u en v. Mest aussi appelée un opérateur :

uM7−→ v = Mu (4.29)

La notion d'opérateur possède un intérêt pratique. Supposons que les matricesA et B exprimentdeux transformations connues et que l'on souhaite calculer le résultat de la transformation quiconsiste à (i)multiplier le vecteur u par la matrice A, puis (ii)multiplier le résultat obtenu parla matrice B. Il existe deux possibilités :

1. Appliquer A à u dans un premier temps, ce qui donne le vecteur v, puis appliquer B àv, ce qui donne le résultat nal w :

uA7−→ v

B7−→ w (4.30)

pour chaque nouveau vecteur u que l'on souhaite transformer, deux multiplicationsmatrice-vecteur successives sont nécessaires.


2. On peut aussi remarquer que v = Au et w = Bv, donc que

w = B (Au) = (BA) u (4.31)

et que la matrice qui exprime la transformation A suivie de B est la matrice BA. Ilsut de calculer le produit BA une fois pour toutes. Pour tout nouveau vecteur u, uneseule multiplication matrice-vecteur sera nécessaire.

La deuxième approche permet de gagner beaucoup de temps en calcul scientique.

La matrice transforme les systèmes de coordonnées. Exemple : dans le plan (x, y),les deux vecteurs unitaires sont ex = [1, 0]

T et ey = [0, 1]T . La matrice M s'écrit dans le cas

général M =

[M11 M12

M21 M22

].

Si l'on applique l'opérateurM aux deux vecteurs unitaires ex et ey, on obtient deux vecteurstransformés e

′

x et e′

y :

e′

x = Mex =

[M11 M12

M21 M22

] [10

]=

[M11

M21

](4.32a)

e′

y = Mey =

[M11 M12

M21 M22

] [01

]=

[M12

M22

](4.32b)

La première colonne de M est donc le vecteur transformé e′

x , obtenu en appliquant M à ex. Ladeuxième colonne de M est le vecteur transformé e

′

y , obtenu en appliquant M à ey.

Un vecteur u de composantes u1 et u2 vérie u = u1ex + u2ey. En appliquant l'opérateurM à ce vecteur, on obtient :

u′ = Mu = M (u1ex + u2ey) = u1Mex + u2Mey = u1e′

x + u2e′

y (4.33)

Autrement dit, les composantes du vecteur sont restées les mêmes (u1 et u2), mais le systèmede coordonnées a changé.

La matrice M est aussi appelée matrice de passage du système de coordonnées (ex, ey) vers

le système(e′

x, e′

y

). Queand il est clair que cette matrice est utilisée pour changer de base, elle

est notée P plutôt que M.

4.3 Changement de base (de système de coordonnées)

Pour les vecteurs. On note P la matrice de passage. Celle-ci transforme la base (e1, . . . , em)

en une nouvelle base(e′

1, . . . , e′

m

). On a donc e

′

i = Pei ∀i = 1, . . . ,m. Dans la base de départ,

le vecteur u a pour composantes u = [u1, . . . , um]T . Dans la base d'arrivée, les composantes


sont transformées, on donne donc un nom diérent au vecteur : u′

=[u′

1, . . . , u′

m

]T. Toutefois,

physiquement, u et u' représentent bien le même vecteur :

u = u1e1 + · · ·+ umem = u′

1e′

1 + · · ·+ u′

me′

m (4.34)

On peut aussi utiliser une écriture plus condensée :

u =

m∑i=1

u′

ie′

i (4.35)

On peut aussi remarquer que le membre de droite est en fait un produit matrice-vecteur :

m∑i=1

u′

ie′

i =

e11′ · · · e′

1j · · · e′

1m...

...e′

i1 · · · e′

ij · · · e′

im...

...e′

m1 · · · e′

mj e′

mm

u′

1...u′

i...u′

m

= Pu′ (4.36)

L'équation (4.35) devientu = Pu′ (4.37a)

u′ = P−1u (4.37b)

Pour les matrices. Supposons une matriceA connue dans le système de coordonnées (ex, ey).

On souhaite déterminer l'expression de cette matrice dans le système de coordonnées(e′

x, e′

y

).

Dans le système de coordonnées d'origine, A transforme u en v :

v = Au (4.38)

Dans le système de coordonnées d'arrivée, A′ transforme u′ (expression de u dans la base(e′

i

))

en v′ (expression de v dans(e′

i

)) :

v′ = A′u′ (4.39)

Or, d'après (4.37a), on a u = Pu′ et v = Pv′. Donc :

v = Au =⇒ Pv′ = APu′ (4.40)

En multipliant cette équation par l'inverse de P, on obtient

v′ = P−1APu′ (4.41)

et en comparant cette égalité avec (4.39), on trouve :

A′ = P−1AP (4.42)

4.4 Valeurs propres, vecteurs propres

4.4.1 Dénitions

Valeur propre, vecteur propre. λ est une valeur propre de la matrice A s'il existe unvecteur k 6= 0 tel que

Ak = λk (4.43)

k est le vecteur propre associé à la valeur propre λ. Un vecteur propre est déni à une constantemultiplicative près. En eet, d'après (4.43), si k est un vecteur propre de A, ak est aussi unvecteur propre pour tout a ∈ R.


Valeur propre multiple. La valeur propre est dite multiple si, pour un même λ, il existeplusieurs vecteurs propres non colinéaires vériant (4.43).

4.4.2 Détermination des valeurs propres d'une matrice

Si λ vérie (4.43) alors

(A− λI) k = 0, k 6= 0 =⇒ |A− λI| = 0 (4.44)

Il sut donc de chercher les valeurs de λ qui annulent le polynôme caractéristique P (λ) =|A− λI|.

4.4.3 Expression d'une matrice dans la base de ses vecteurs propres

Si une matrice m ×m possède m vecteurs propres indépendants, on dit qu'ils forment unebase : tout vecteur peut être exprimé comme une combinaison de ces vecteurs propres. D'après(4.43), l'expression de A dans la base de ses vecteurs propres est la matrice diagonale suivante

Λ =

λ1

. . . 0λi

0. . .

λm

= diag (λi) (4.45)

La matrice de passage de la base des vecteurs propres est obtenue en rangeant côte à côtetous les vecteurs propres de la matrice :

K = [k1· · ·ki · · ·km] (4.46)

et on a alorsΛ = K−1AK (4.47)

4.5 Application à la physique : tenseur des contraintes

4.5.1 Cas simple n°1 : la pression.

La force de pression est une des plus simples pour comprendre la notion de contrainte. Dansles liquides et les gaz (uides), la pression provient de l'agitation des molécules (mouvementBrownien). Les molécules de uide situées au voisinage immédiat d'une surface imperméableentrent en contact avec celle-ci et rebondissent dessus. Le rebond engendre une force de la partdu uide sur la surface. Cette force est exercée dans la direction normale à la surface. Pour unesurface innitésimale dΓ, la force de pression innitésimale dfp est donnée par (Figure 4.1) :

dfp = −pn dΓ (4.48)

où n est le vecteur normal unitaire à la surface, orienté de la surface vers le uide et p est lapression.


n

dfp

Figure 4.1 Force de pression sur une surface. Le uide est à droite de la surface (partie grisée).

4.5.2 Cas simple n°2 : la contrainte de traction/compression.

On tire sur les deux extrémités d'une barre de fer. La force de traction a tendance à éloignerles atomes les uns des autres ; si elle devient trop importante, la barre casse. La résistanced'une barre, poutre, etc. à la traction est déterminée par la contrainte de traction maximalequ'elle peut supporter. On peut à l'inverse choisir de comprimer la barre. Il apparaît alors unecontrainte de compression.

On examine les eorts s'exerçant sur une section de la barre. On note n le vecteur normalunitaire à la section. Il est dirigé vers l'extérieur du matériau. Il est possible de représenter unecontrainte de traction (T sur la gure) ou de compression (C sur la gure) en utilisant une seuleformule :

df = σndΓ =⇒ f = σΓn (4.49)

Pour une force de traction, σ > 0 (force dans le même sens que le vecteur normal unitaire) ;pour une force de compression, σ < 0 (force dans le sens opposé).

n

T

C

Figure 4.2 Contraite de compression et de traction.

4.5.3 Cas simple n°3 : la contrainte de cisaillement pur

Dans le cas d'une contrainte de cisaillement pur, la force est tangente à la surface dΓ. Pourobtenir une telle force à partir du vecteur normal n, il faut appliquer à celui-ci une rotation quil place dans le plan tangent. Ceci n'est pas possible en le multipliant uniquement par un scalaireσ. En revanche, c'est un résultat facile à obtenir si la contrainte est une matrice. On parle alorsde tenseur des contraintes.

Exemple en deux dimensions : il est facile de varier que le tenseur des contraintes suivant

σ =

[0 σσ 0

](4.50)


transforme le vecteur [1, 0]T en [0, 1]

T et le vecteur [0, 1]T en [1, 0]

T . Les axes x et y (dont cesvecteurs snt les vecteurs unitaires) sont les plans de cisaillement.

4.5.4 Cas général : le tenseur des contraintes

En deux dimensions d'espace. Le tenseur des contraintes prend la forme

σ =

[σxx σxyσyx σyy

](4.51)

On démontre qu'il est symétrique, autrement dit σxy = σyx. Une autre manière d'exprimer cettepropriété est de dire que les deux vecteurs propres de σ sont orthogonaux.

En trois dimensions d'espace. Le tenseur des contraintes prend la forme

σ =

σxx σxy σxzσyx σyy σyzσzx σzy σzz

(4.52)

On démontre qu'il est symétrique, autrement dit σxy = σyx. Une autre manière d'exprimer cettepropriété est de dire que les deux vecteurs propres de σ sont orthogonaux.

Contrainte de traction/compression pure. Si la contrainte s'exerce selon la direction x,le tenseur est :

σ =

σ 0 00 0 00 0 0

(4.53)

Contrainte de cisaillement. Pour un cisaillement s'exerçant parallèlement à y sur le plande cisaillement x = Cste, on a :

σ =

0 σ 0σ 0 00 0 0

(4.54)

4.6 Exercices

4.6.1 Inversion de matrice

Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles. Si c'est le cas, trouver l'expression deleur inverse. [

0 1c2 0

],

[0 1

c2 − u2 2u

],

[1 1

u− c u+ c

](4.55)

4.6.2 Exercice pour classe de 3ème

On vous déclare la chose suivante : J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âgeque vous avez. Quand vous aurez mon âge, nous aurons ensemble 105 ans. Quel est votre âgeet celui de votre interlocuteur(trice) ?

1. Poser le problème sous la forme Ax = b, où A est une matrice et b et x sont des vecteurs.

2. Inverser la matrice A et en déduire la réponse à la question.


4.6.3 Valeurs propres et vecteur propres

Pour chacune des matrices de l'exercice 2.6.1, déterminer : les valeurs propres les vecteurs propres la matrice diagonale Λ associée à la matrice.

4.6.4 Matrice particulière

On considère la matrice suivante

M =

[a 00 b

](4.56)

où a et b sont deux constantes réelles positives.

1. Donner l'expression M′ de la matrice M dans le système de coordonnées (la base)(e′

1, e′

2

)qui fait un angle θ avec le système de coordonnées (la base) (e1, e2).

2. La matrice M′ possède une propriété particulière ; laquelle ?

3. Comparer M à M′ lorsque a = b.

4. Expliquer pourquoi on aurait pu prévoir le résultat de la question 3 sans avoir besoin dechercher l'expression de M′.

5. Donner les expressions des valeurs et vecteurs propres de M′.

4.6.5 Transformations du plan

Déterminer la nature de la transformation à partir de la matrice. A quelle transfor-mation du plan correspond chacune des matrices suivantes :[

53 − 4

343 − 5

3

],

[53 − 4

343 − 5

3

](4.57)

(un conseil : rechercher les valeurs propres et les vecteurs propres de A).Même question pour [

cosθ sinθ−sinθ cosθ

](4.58)

Déterminer la matrice à partir de la description de la transformation. Déterminerla matrice de chacune des transformations suivantes :

1. projection orthogonale sur l'axe x,

2. projection sur l'axe x parallèlement à une direction faisant un angle θ avec l'axe x (schémade gauche sur la gure),

3. rotation d'angle θ,

4. symétrie par rapport à l'axe y,

5. projection sur l'axe x, suivie d'une rotation d'angle θ,

6. rotation d'angle θ, suivie d'une projection sur l'axe x,

7. projection sur l'axe x suivie d'une symétrie par rapport à y,

8. projection, sur la droite faisant un angle α avec l'axe x, parallèlement à une directionfaisant l'angle β avec cette droite (schéma de droite sur la gure).


4.6.6 Résolution de systèmes d'équations (algébriques ou diéren-tielles)

Gestion de projet. Un marché a été acquis par une entreprise pour la réalisation d'uneétude. Celle-ci a été vendue 50kE sous l'hypothèse qu'elle serait réalisée par un ingénieur et untechnicien. L'étude ne peut être eectuée si le technicien intervient à moins de 50% de son temps(il faut donc au minimum un demi-technicien ). Le délai nécessaire à la réalisation de l'étudeest de 6 mois.

1. Cas de gure 1 : le client demande à l'entreprise d'accélérer le rendu de l'étude et deraccourcir le délai à 4 mois, sans modication du montant. Il faudra donc aecter da-vantage d'ingénieurs et/ou de techniciens au projet. L'entreprise sait que chaque tech-nicien supplémentaire travaillant sur le projet fera gagner 1 mois de délai mais coûtera2kE supplémentaires à l'entreprise en termes de coûts d'encadrement. Chaque ingénieursupplémentaire intervenant sur le projet fera gagner 0,5 mois de délai et coûtera 5kEsupplémentaire à cause des coûts de coordination de projet. Quel est le nombre optimald'ingénieurs et de techniciens à faire intervenir sur le projet (un nombre non entier signieque les personnels n'interviennent pas à 100% sur l'aaire mais consacrent une partie deleur temps à d'autres projets) ? Cette solution est-elle réaliste ? Quel est le délai minimalque l'entreprise peut espérer respecter ?

2. Cas de gure 2 : on s'aperçoit que l'étude a été sous-vendue de 10kE, c'est-à-dire que soncoût réel a été sous-estimé dans le devis. L'entreprise doit donc réaecter ses ressourceshumaines pour gagner 10kE, tout en conservant son personnel occupé pendant les 6 moisde l'étude. Quelle est la solution envisageable pour ce cas de gure ?

Chimie : chaîne de liation. Un contaminant (radioélément, pesticide ou autre contami-nant) est sujet à la chaîne de dégradation suivante

P1 −→ P2 −→ R (4.59)

où P1 est le produit mère, P2 est le produit ls et R est le résidu. On fait l'hypothèse que laréaction obéit à une cinétique linéaire

dc1dt

= −k1c1 (4.60a)

dc2dt

= k1c1 − k2c2 (4.60b)

où c1 et c2 sont les concentrations de P1 et P2. On cherche à déterminer c1 et c2 en fonction dutemps et de leurs valeurs à t = 0.

1. Ecrire les deux équations ci-dessous sous forme vectorielle, en donnant l'expression de lamatrice A :

dc

dt= Ac, c =

[c1c2

](4.61)


2. Déterminer les valeurs et vecteurs propres de A.

3. On pose w = K−1c, où K est la matrice des vecteurs propres de A. Montrer que w obéità l'équation suivante :

dw

dt= Λw (4.62)

Λ étant la matrice diagonale formée par les valeurs propres de A.

4. En déduire l'expression de w à toute date t > 0, en supposant que la condition initialew (t = 0) est connue.

5. En tirer l'expression de c (t) en fonction des concentrations initiales à t = 0.

6. La formule que vous avez obtenue n'est pas dénie pour k1 = k2. Analysez le comporte-ment de la solution pour la limite k1 − k2 → 0.

Résoudre une équation diérentielle du second ordre en utilisant uniquement deséquations du 1er ordre. On cherche à résoudre l'équation diérentielle suivante :

d2U

dt2= −k2U (4.63)

où k est une constante réelle. On suppose que les conditions initiales U (t = 0) et dUdt (t = 0) sont

connues.On souhaite simplier ce problème en ne conservant que des équations du 1er ordre, qui sont

faciles à résoudre.

1. On introduit la variable auxiliaire V = dU/dt. A quel système d'équations d'ordre 1 lesdeux inconnues U et V obéissent-elles ?

2. écrire ce système sous la forme vectorielle

dx

dt= Ax, x =

[UV

](4.64)

en précisant l'expression de A.

3. En suivant les étapes 3 à 5 de l'exercice précédent, déterminer l'expression de U (t) enfonction de U (t = 0) et dU

dt |t=0.

4.6.7 Mécanique/géotechnique

Poutre chargée. On considère une poutre verticale que l'on charge. Elle subit une contraintede compression selon l'axe y :

σ =

[0 00 −c

](4.65)

Donner l'expression du tenseur des contraintes pour une surface de vecteur normal n = [nx, ny]T

quelconque.

1. Montrer que, pour une oritenation quelconque de la surface, il apparaît une contraintede cisaillement.

2. Pour quelle orientation de la surface ce cisaillement est-il maximal ?

3. Certains matériaux sont moins résistants au cisaillement qu'à la compression ou à latraction (c'es le cas du béton et de nombreux matériaux granulaires). Dans le cas d'unepoutre en béton chargée en compression, selon quelle(s) direction(s) va-t-elle se romprelorsque la contrainte dépasse sa résistance ?

Astuce : pour faciliter la compréhension, on peut remarquer que le vecteur normal unitaires'écrit aussi n = [cos θ, sin θ]

T , où θ est l'angle du vecteur avec l'axe des x.


Cercle de Mohr. On positionne les axes du plan (x, y) de telle façon que le tenseur descontraintes soit diagonal dans cette base :

σ =

[σ1 00 σ2

](4.66)

On se place maintenant dans le repère (x′, y′) faisant un angle θ avec le repère (x, y).

1. Donner l'expression du tenseur des contraintes dans ce repère (on l'appellera σ′).

2. Proposer une construction graphique pour les composantes de σ′.

Chapitre 5

Calcul numérique

5.1 Recherche de racine

5.1.1 Objectif

On cherche à résoudre une équation du type

f (x) = 0 (5.1)

où f est une fonction connue. La valeur de x qui satisfait l'équation (5.1) est appelée une racine.Si l'expression de f est très compliquée, il n'est pas toujours possible de déterminer la racine defaçon exacte. On doit alors avoir recours à une méthode approchée, itérative.

5.1.2 Méthode de Newton

La méthode de Newton consiste à linéariser localement la fonction, c'est-à-dire à fairecomme si elle se comportait à peu près comme une équation de droite.

1. Fournir une première estimation x0 de la racine. Dans le cas général, x0 ne satisfait pasl'équation (5.1).

2. Calculer f (x0) et f ′ (x0). On fait comme si f se comportait comme une droite : on écritl'équation de sa droite tangente

y (x) = f (x0) + (x− x0) f ′ (x0) (5.2)

3. Déterminer la valeur x1 pour laquelle y s'annule :

y (x1) = 0⇐⇒ x1 = x0 −f (x0)

f ′ (x0)(5.3)

On peut espérer que, si l'équation de droite est une bonne approximation de f (x), x1

sera une bonne approximation de la racine.

Les étapes 2 et 3 doivent être répétées tant que f n'a pas atteint une valeur susamment faible,que l'on appelle tolérance . La formule générale de la méthode itérative est

xm+1 = xm −f (xm)

f ′ (xm)(5.4)

44

CHAPITRE 5. CALCUL NUMÉRIQUE 45

5.1.3 Méthode du point xe

La méthode du point xe est adaptée pour résoudre des équations du type

f (x) = x (5.5)

Elle consiste à prendrexm+1 = f (xm) (5.6)

Attention : la méthode ne converge vers la racine que si f est dite contractante, c'est-à-direqu'elle vérie

|f (x)− f (y)| < |x− y| (5.7)

C'est le cas notamment si |f ′ (x)| < 1.

5.2 Intégration approchée

5.2.1 Méthode des rectangles

∫ b

a

f (x) dx ≈n∑i=1

(xi+1 − xi) f (xi) (5.8)

avec x1 = a et xn = b. On peut aussi utiliser∫ b

a

f (x) dx ≈n∑i=1

(xi+1 − xi) f (xi+1) (5.9)

5.2.2 Méthode des trapèzes

Elle consiste à utiliser la moyenne des deux précédentes∫ b

a

f (x) dx ≈n∑i=1

(xi+1 − xi)f (xi) + f (xi+1)

2(5.10)

Chapitre 6

Aide-mémoire

Divers

(a+ b) c = ac+ bc (6.1)

(ab) c = (bc) a = abc = acb = cba = ...(etc.) (6.2)

(−1) (a+ b) = −a− b (6.3)

(−1) (ab) = −ab (6.4)

1

xn= x−n (6.5)

x0 = 1 (6.6)

xa+b = xaxb (6.7)

(xa)b

= xa+b =(xb)a

(6.8)

Identités remarquables

(a+ b)2

= a2 + 2ab+ b2 (6.9)

(a− b)2= (a+ b)

2= a2 − 2ab+ b2 (6.10)

a2 − b2 = (a+ b) (a− b) (6.11)

a2 + b2 =(a+ b)

2+ (a− b)2

2(6.12)

(a+ b)3

= a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (6.13)

(a− b)3= a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 (6.14)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2

)(6.15)

a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2

)(6.16)

46

CHAPITRE 6. AIDE-MÉMOIRE 47

Trigonométrie

tan2 θ =1

cos2 θ− 1⇔ 1 + tan2 θ =

1

cos2 θ(6.17)

cos (a+ b) = cos a cos b− sin a sin b (6.18)

sin (a+ b) = cos a sin b+ cos b sin a (6.19)

cos (2θ) = cos2 θ − sin2 θ = 2 cos2−1 = 1− 2 sin2 θ (6.20)

sin (2θ) = 2 cos θ sin θ (6.21)

cos2 θ =1 + cos (2θ)

2, sin2 θ =

1− cos (2θ)

2(6.22)

Exponentielle et logarithme

exp (a+ b) = ea+b = exp a exp b = eaeb (6.23)

exp (xa) = a expx (6.24)

exp (−a) =1

exp a(6.25)

ln (ab) = ln a+ ln b (6.26)

ln (xa) = a lnx (6.27)

ln

(1

x

)= − lnx (6.28)

egc 3 - mathématiques

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