ekscentricno zatezanje i pritisak

7/24/2019 Ekscentricno Zatezanje i Pritisak

1/12

261

U prethodnim poglavljima knjige analizirano je stanje napona i deformacija elemenatamaina i konstrukcija pod dejstvom osnovnih oblika optereenja, koji su izazivali samoaksijalno naprezanje, savijanje ili uvijanje. Meutim, elementi konstrukcija ili maina estosu izloeni kombinaciji dva ili vie osnovnih oblika optereenja izazivajui takozvanosloeno naprezanje. Nerijetke su kombinacije istovremenog aksijalnog naprezanja isavijanja, savijanja i uvijanja i slino.

Kod sloenog naprezanja ukupna deformacija se dobija jednostavno superpozicijomdeformacija od pojedinanih osnovnih oblika optereenja. U sluaju malih deformacija ilinearno elastinog tijela princip superpozicije vrijedi i za napone. Tako da se ukupan

napon u sluaju sloenog naprezanja dobija algebarskim zbirom napona od pojedinanihoptereenja.

U ovoj Glavi analiziran je samo sluaj sloenog naprezanja koje je rezultat djelovanjaekscentrine aksijalne sile. Pokazano je da se dejstvo ekscentrine aksijalne sile moeanalizirati kao kombinacija aksijalnog naprezanja i istog savijanja. U ovoj Glavidefinisano je i jezgro presjeka, pojam koji igra vanu ulogu u primjeni konstruktivnihmaterijala koji imaju visoku vrstou na pritisak, a nisku ili nikakvu na zatezanje.

Ekscentrino zatezanje i pritisak


2/12

262

U sluaju dejstva ekscentrine sile na elemente konstrukcije u obliku tapa ili grede mogueje da doe do gubitka stabilnosti ovih elemenata, to je vezano za pojam izvijanja.Problem izvijanja kao i drugi oblici sloenog naprezanja, nisu predmet ove Glave.

9.1 Naponi u sluaju ekscentrinog zatezanja i pritiska

U Glavi 4 ove knjige analiziran je sluaj aksijalnog naprezanja koje je bilo rezultat sile ijise pravac podudara s (geometrijskom sredinjom) osom grede ili tapa (centrina aksijalnasila). U praksi je est sluaj da na dijelove maina ili konstrukcija djeluje ekscentrinaaksijalna sila. Na slici 9.1 dato je nekoliko primjera s dejstvom ekscentrine aksijalne sile.

SilaFna slici 9.1a paralelna je osi dijela A-B kuita prese, alipravac sile ne prolazi krozgeometrijsko sredite T presjeka a-ai udaljen je od geometrijskog sredita za duinu e, kojase naziva ekscentrinost sile. Ovo je primjer ekscentrinog zatezanja. Primjer noseeg stubadatog na slici 9.1b est je sluaj u gra evinskoj praksi. Sila Fna slici 9.1b je ekscentrinasila pritiska za dio stuba A-B. Pravac sila F na slici 1c podudara se s geometrijskom

sredinjom osom dijela elementa A-B i C-D i proizvest e samo aksijalne napone u

takama poprenog presjeka ovih dijelova. Meutim, silaFje ekscentrina sila u odnosu nageometrijsku sredinju osu elementa B-C, tako da je ovaj dio izloen ekscentrinomzatezanju. Proraun napona pri dejstvu ekscentrine aksijalne sile pokazan je na slijedeem

primjeru.

Primjer 9.1.

Slika 9.1. Primjeri ekscentrinog zatezanja i pritiska

(b)

F

B

A

(c)

F

F

Presjek a-a

B

A

D

C

(a)

Presjek a-a

x

yA

B

e

F


3/12

263

Kuite prese, dato na slici 1a, napravljeno je od sivog liva i optereeno je radnom silom F=75 kN. Ose x i y, prikazane na presjeku a-a rama prese, su glavne centralne ose inercije.Aksijalni moment inercije poprenog presjeka a-a za osu y je Iy = 27010

-6m

4, a

povrina poprenog presjeka je A = 0,036 m2. Potrebno je odrediti raspored napona napresjeku a-a rama prese.

Rjeenje:

Da bi se zakljuilo o vrsti naprezanja koje vlada u presjeku a-a rama prese odredit e seaksijalna i transverzalna sila kao i moment sprega sila (moment savijanja) koji djeluju u

ovom presjeku. Za sistem e se uzeti dio prese prikazan na slici 9.2a, a tri nepoznate

vrijednosti unutranjih sila koje djeluju u presjeku a-a odredit e se iz statikih jednainaravnotee. Iz tri statike jednaine ravnotee, prema kojima su sume projekcija svih sila na

x i z ose jednake nuli i suma momenata svih sila za osu y jednaka nuli, slijedi da je

aksijalna sila Fz=F, transverzalna silaFx= 0 i momet savijanja, odnosno moment sprega

sila, M = Fe. Iz prethodnih rezultata moe se zakljuiti da je dejstvo ekscentrine sile upresjeku a-a statiki ekvivalentno dejstvu aksijalne (centrine) sile zatezanja ili pritiskaovisno o smjeru ekscentrine sile i spregu sila momenta jednakog momentu ekscentrinesile u odnosu na glavnu centralnu osu inercije y. Odsustvo transverzalne sile u poprenom

presjeku znai istovremeno i odsustvo tangencijalnih napona u ovom presjeku. Obzirom dasu tangencijalni naponi na presjeku jednaki nuli, ravan presjeka je ravan glavnih normalnih

napona, to jest, normalni napon u ravni presjeka je glavni normalni napon.

Normalni naponi u poprenom presjeku dobit e se superpozicijom aksijalnih normalnih

napona koji su rezultat dejstva aksijalne sile Fz i normalnih napona koji su rezultatmomenta savijanja Mu presjeku a-a. Obzirom da je transverzalna sila u presjeku jednaka

nuli, rije je o istom savijanju. Na slikama 9.2b i 9.2c dat je raspored napona koji surezultat pojedinanog dejstva aksijalne centrine sile i momenta savijanja u presjeku a-arama prese.

Slika 9.2. Analiza sila i napona na presjeku a-a rama prese

=

x=15mm

27,09MPa

14,58

x

z

(d)

+

x

yI

yM

z ''

x

(c)

z

A

F

zA

'

(b)

z

x

xF

(a)

F

z

zF

M

e


4/12

264

Ukupan normalni napon u poprenom presjeku dobija se algebarskim zbirom(superpozicijom) normalnih napona usljed aksijalne sile i momenta savijanja:

xI

M

A

F

y

yA

z . (a)

Treba voditi rauna da je prema konvenciji moment savijanja Myu jednaini (a) pozitivanako proizvodi napone zatezanja u odnosu na donja vlakna elementa, koja se definiu uodnosu na pozitivnu orijentaciju x ose.

Prema ovoj konvenciji spreg sila na slici 9.2a pravi negativan moment savijanja, to jest My

= Fe. Aksijalna sila je prema konvenciji o znaku pozitivna ako je zateua, tako daje FA = Fz = F. Uvrtavanjem inteziteta sile i geometrijskih karakteris tika presjeka ujednainu (a) dobija se raspored normalnih napona na presjeku a-a:

xx

z 89,13808,210270

5,01075

036,0

1075

6

33

MPa. (b)

Iz jednaine (b) se vidi da se normalni napon z mijenja linearno s koordinatom x i da nezavisi od y koordinate taaka presjeka. Vrijednost normalnog napona u takama nalijevom rubu presjeka a-a,ije koordinate su x= 0,09 m (slika 9.1a), slijedi iz jednaine(b) i jednak je z= 14,58 MPa. Koordinate taaka na desnom rubu presjeka a-a su x=

0,21 m i iz jednaine (b) dobija se normalni napon u ovim takama, z= 27,09 MPa.Raspored normalnog napona prikazan je na slici 9.2d. Poloaj neutralne linije

(geometrijskog mjesta taaka u kojima je normalni naponz

jednak nuli) slijedi

izjednaavanjem jednaine (b) s nulom:

089,13808,2 xz

,

odakle se dobija jednaina neutralne linije, x= 0,015 m (slika 9.2d).

U zadatku je reeno da je kuite prese napravljeno od sivog liva, materijala za koji jepoznato da ima veu vrtou na pritisak nego na zatezanje. Iz prethodnih rezultata se vidi

da je najvei normalni napon zatezanja po apsolutnoj vrijednosti manji od normalnognapona pritiska to je pozitivna osobina konstrukcije obzirom na manju nosivost sivog liva

pri zatezanju.

U prethodnom primjeru pravac ekscentrine sile sjekao je jednu od glavnih centralnih osainercije (x osu) poprenog presjeka elementa . Na slici 9.3a dat je generalan sluajekscentrinog zatezanja kada pravac sile ne sijee ni jednu od glavnih centralnih osainercije presjeka cilindrinog elementa.


5/12

265

Neka su x i y glavne centralne ose inercije poprenog presjeka povrine A, anapadna taka sile O(xo,yo). Postupak odreivanje napona u poprenom presjeku ABCDelementa usljed ekscentrine sile u principu je isti kao u prethodnom primjeru. Za razlikuod prethodnog primjera, na slici 9.3a se vidi da u ovom sluaju ekscentrina sila pravimoment savijanja oko x i y ose. Da bi se problem ponovo sveo na osnovne oblike

naprezanja treba redukovati ekscentrinu silu u geometrijsko sredite T presjeka. Radijednostavnosti, prvo je sila redukovana u taku O(slika 9.3b), gdje se kao rezultatredukcije dobija silaFs napadnom takom u O i spreg sila koji pravi moment oko xose,

Mx= Fyo. Redukcijom sile Fs napadnom takom O u geometrijsko sredite T presjeka,dobija se aksijalna silaFs napadnom takom u geometrijskom sreditu T i spreg sila koji

pravi moment okoyose,My= Fxo. Na slici 9.3c dat je rezultat redukcije ekscentrine sileFu geometrijsko sredite T presjeka. Na slici se vidi da je ekscentrinoj sili Fs napadnomtakom O(xo,yo) statiki ekvivalentan sistem od jedne aksijalne sile s napadnom takom ugeometrijskom sreditu presjeka i dva sprega sila iji momen ti su jednaki momentimaekscentrine sile za glavne centralne ose inercije presjeka. Ovaj statiki ekvivalentan sisteme dovoljno daleko od napadne take sile biti ekvivalentan i po pitanju napona ideformacija sili F s napadnom takom O (Sen Venanov princip). Ovaj ekvivalentan sistemse moe jednostavno razloiti na tri osnovna oblika naprezanja: (1) aksijalno naprezanjeusljed sile F (slika 9.4a), (2) isto savijanje oko ose x s momentom savijanja Mx = Fyo(slika 9.4b), i (3) isto savijanje oko oseys momentom savijanja My= Fxo(slika 9.4c).

Slika 9.3. Analiza problema ekscentrinog zatezanja. Redukcija

ekscentrine sile na geometrijsko sredite.

(a)

xo

yo

F

x

yz

TO

A B

CD

(b)

xox

y

TO

O

Mx

A B

CD

F

(c)

x

y

T

O

O

Mx

A B

CD

My

F


6/12

266

Aksijalna silaFi momenti spregova sila Mx= Mxi My= Myu presjeku ABCD dobijajuse jednostavno iz statikih jednaina ravnotee dijela bloka iznad ovog presjeka (slike 9.4a,9.4b i 9.4c). Usljed dejstva aksijalne centrine sile F = Fu presjeku ABCD e se javitiuniforman normalni napon zatezanja z (slika 9.4d). Rezultat dejstva momenta savijanja

Mx je normalni napon z (slika 9.4e), koji se linearno mijenja s koordinatom y. Rezultat

dejstva momenta savijanja My je normalni napon z (slika 9.4f), koji se linearnomijenja s koordinatomx. Ukupan normalni napon moe se dobiti superpozicijom normalnihnapona usljed pojedinanih djelovanja aksijalne (centrine) sile i spregova sila:

Slika 9.4. Analiza napona na presjeku pravougaonog bloka izloenog

ekscentrinom zatezanju

x

y

T

Mx

x

y

T

MyF

x

y

T

B

CD

B

CD

Mx MyB

CD

(a) (b) (c)

A AA

A

Fz

''

yI

M

x

x

z

'''

xI

M

y

y

z

''''

x

y

T

Mx

x

y

T

My

x

y

T

B

CD CD

B

CD

(d)(e)

(f)

A A AB

'F

F


7/12

267

xI

My

I

M

A

F

y

y

x

x

z

''' . (9.1)

Uvrtavanjem u jednainu (9.1) vrijednosti aksijalne sile i momenata savijanja Mx i My

i imajui u vidu definiciju poluprenika inercije ravnog presjeka ( AIixx

/2

), jednaina

(9.1) se moe pisati u sljedeem obliku:

x

i

xy

i

y

A

Fx

I

Fxy

I

Fy

A

F

y

o

x

o

y

o

x

o

z 221 . (9.2)

U sluaju da je u ovom primjeru umjesto zateue ekscentrine sile bila ekscentrina silapritiska dobila bi se ista jednaina za normalni napon oblika (9.2), ali sa znakom minusispred intenziteta sileF.

U cilju dalje analize problema treba odrediti jednainu neutralne linije, koja predstavljageometrijsko mjesto taaka u kojima je normalni napon jednak nuli. Izjednaavanjemnapona zu jednaini (9.2) s nulom slijedi jednaina neutralne linije:

0122

xi

xy

i

y

y

o

x

o, (9.3)

koja je grafiki prikazana na slici 9.5. Neutralna linija dijeli povrinu poprenog presjeka nadva dijela. U jednom dijelu presjeka su materijalne take izloene naponima zatezanja, a udrugom normalnim naponima pritiska. Za sluaj dat na slici 9.3, rafirani dio presjeka naslici 9.5 izloen je pritisku.

Slika 9.5. Neutralna linija na ravnom presjeku

C

A B

D

x

y

xn

yn


8/12

268

Iz jednaine (9.3) se vidi da poloaj neutralne linije ne zavisi od intenziteta sile, ve odnapadne take sile (xo,yo) i geometrijskih karakteristika ravnog presjeka (glavnihcentralnih poluprenika inercije). Iz jednaine (9.3) mogu se dobiti i vrijednosti odsjeakaneutralne linije na x i yosi:

o

y

n

x

ix

2

io

x

ny

iy

2

, (9.4)

odakle se moe zakljuiti da su odsjeci neutralne linije uvijek suprotnog znaka odkoordinata napadne take sile, to znai da neutralna linija uvijek prolazi sa suprotne stranegeometrijskog sredita u odnosu na napadnu taku sile. to je napadna taka sile bliageometrijskom sreditu (manje vrijednostixo i yo) to su odsjeci neutralne linije na osamavei, to jest neutralna linija je dalje od geometrijskog sredita.

Interesantan je sluaj kada je neutralna linije tangenta na konturu presjeka elementa. Uovom sluaju na cijelom presjeku vladaju normalni naponi istog znaka naponi zatezanjaili pritiska, zavisno da li se radi o ekscentrinoj sili zatezanja ili pritiska. Ovaj sluaj je

posebno interesantan za tehniku praksu i bie analiziran u sljedeem poglavlju.

Radi jednostavnosti, u prethodnom primjeru je u analizi napona pretpostavljen pravougaoni

popreni presjek elementa. Meutim, izloena teorija vrijedi za proizvoljan oblikpoprenog presjeka pod uslovom da su ose x i y glavne centralne ose inercije.

Primjer 9.2.

Za element optereen kao na slici 9.6 potrebno je nai raspored normalnih napona napresjeku ABCD ako je F= 64 kN. U istom presjeku odrediti i jednainu neutralne linije.

(a) (b)

Slika 9.6 Primjer ekscentrinog pritiska

CAD

B

F

300 mm

15075

CA

B

D

F

My

x

y

Mx T


9/12

269

Rjeenje:Redukcijom sile Fna geometrijsko sredite T ravnog presjeka u kojem djeluje sila (slika9.6b) dobit e se statiki ekvivalentan sistem od aksijalne sile pritiska F= 64 kN, momentasavijanja oko xose Mx= 64(0,075+0,075) = 9,6 kNm, i momenta savijanja oko y ose

My= 640,15 = 9,6 kNm. Geometrijske karakteristike poprenog presjeka potrebne zaproraun napona su povrina A= 0,30,15 = 0,045 m2, aksijalni moment inercije povrine uodnosu na xosu,Ix = (0,30,15

3)/12 = 8,4410

-5m

4 i aksijalni moment inercije povrine u

odnosu na y osu, Iy = (0,150,33)/12 = 3,3710-4 m4. Ovi aksijalni momenti inercije suujedno i glavni centralni momenti inercije za dati presjek.

Ukupan normalni napon u presjeku se dobija superpozicijom normalnih napona

uzrokovanih aksijalnom silom i momentima savijanja okox, odnosno y ose:

xyxI

My

I

M

A

F

y

y

x

xA

z 4

3

5

3

2

3

1037,3

106,9

1044,8

106,9

105,4

1064

,

odnosno,

xyz

49,2874,11342,1 MPa. (a)

Uvrtavanjem koordinata karakteristinih taaka presjeka ABCD u jednainu (a) dobijajuse normalni naponi u ovim takama:

A(0,15 m, 0,075 m),

MPa22,14)15,0(49,28)075,0(74,11342,1 z

,

B(0,15 m, 0,075 m), MPa68,5 z

,

C(0,15 m, 0,075 m), MPa4,11z

,

D(0,15 m, 0,075 m), MPa84,2z

.

Jednaina neutralne linije slijedi iz jednaine (a) iz uslova z = 0,

42,174,11349,28 yx ,

odakle za x= 0 slijedi odsjeak neutralne linije na y osi, yn= 1,42/113,74 = 0,0125 m,odnosno zay= 0 dobija se odsjeak neutralne linije na xosi,xn= 1,42/28,49 = 0,0498 m.Raspored normalnog napona z na presjeku dat je na slici 9.7a. Na slici 9.7b dat je i

alternativni nain prikaza normalnog napona u ravni, prema kojem u svim takama kojelee na pravcu paralelnom neutralnoj liniji djeluje normalni napon jednake veliine.


10/12

270

Vano je pomenuti da se ovaj primjer mogao rijeiti direktnim koritenjem jednaine (9.2)kojom je dat izraz za normalni napon u sluaju ekscentrine sile zatezanja. Obzirom da je uovom primjeru rije o sili pritiska to u jednaini (9.2) treba uvrstiti sljedee podatke:F=6410

3N, koordinate napadne takexo = 0.15 m i yo = 0.15 m, poluprenike inercije

2552m1056,187045,0/1044,8/

AIi

xxi

2442m10889,74045,0/1037,3/

AIi

yy,

odakle se direktno dobija jednaina (a).U primjeru (9.1) aksijalna sila i moment savijanja u poprenom presjeku su odreeni izstatikih jednaina ravnotee. U ovom primjeru statike jednaine ravnotee nisu

postavljane, ve su aksijalna sila i momenti savijanja Mx i Myu presjeku ABCD odreenidirektno na osnovu principa (koji slijedi na osnovu statikih jednaina ravnotee) da suaksijalna (centrina) sila, odnosno moment sprega sila za osu, u poprenom presjeku

jednaki sumi svih spoljanjih aksijalnih sila, odnosno momenata svih spoljanjih sila, kojidjeluju na sistem s jedne ili druge strane presjeka sistema.

Koristei ovaj princip mogu se takoe odrediti aksijalna sila i momenti savijanja u presjekuABCD i bez redukcije sile u teite presjeka, to je pokazano na sljedeim primjerima.

x

y

T

11,4 MPa

2,84 MPa

5,68 MPa

14,2 MPa

neutralna linija

C

A

B

D

(a)

Slika 9.7. Raspored normalnih napona i poloaj neutralne linije

C

A B

D

x

y

14,2 MPa

11,4 MPa

49,8 mm

12,5

(b)


11/12

271

Primjer 9.3.

Za stub optereen kao na slici 9.8 potrebno je izraunati normalne napone u takama A i B.

Rjeenje:

Da bi se odredili normalni naponi u poprenompresjeku (odnosno ravni glavnih normalnihnapona) u kojem lee take A i B potrebno je prvo odrediti aksijalnu silu i momentesavijanja u presjeku. Na slici 9.8b data je aksijalna sila i momenti savijanja (spregovi sila)

koji su prema konvenciji o znaku pozitivni. Aksijalna sila u poprenom presjeku jednaka jesumi svih aksijalnih sila s jedne ili druge strane presjeka, FA = 1000000 = 00 kN.Moment savijanja oko xose, odnosno moment sprega silaMx, jednak je sumi momenata

svih spoljanjih sila s jedne ili druge strane presjeka, Mx = 1002,5+2001,5002,5 =0 kNm. Analogno se dobija i moment savijanja oko y ose,My=10012002+4001 =100 kNm.

Da bi se izraunali naponi potrebno je poznavati i geometrijske karakteristike poprenogpresjeka. Povrina presjeka je A= 43+2(21) = 16 m2. Aksijalni momenti inercije mogu seodrediti koritenjem tajnerove teoreme,

Slika 9.8. Stub optereen silama

(a)

400 kN

200 kN

1

1

1

2 m

1

3 m

B

A

100 kN

(b)

AF

x

T

Mx

My

y

B

A


12/12

272

4233

m3,2512212

122

12

34

x

I ,

4233

m3,17135,112

132

12

25

yI .

Normalni napon u poprenom presjeku se dobija superpozicijom napona usljed dejstvaaksijalne sile i momenata savijanja Mx i My,

xyxI

M

yI

M

A

F

y

y

x

xA

z3,17

10100

3,25

10450

16

10700 333

,

odakle je ukupni napon

kPa78,58,178,43 xyz

. (a)

Uvrtavanjem u jednainu (a) koordinata taaka A(1,2,5) m, i B(2, ,5) m, dobijaju senormalni naponi u ovim takama,

kPa48,6178,55,28,178,43 Az

,

kPa9,58278,55,18,178,43 Bz .

ekscentricno zatezanje i pritisak

Documents