centricni pritisak
TRANSCRIPT
Metalne i drvene konstrukcije 1
CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI
Metalne i drvene konstrukcije 2
Primeri primene
Metalne i drvene konstrukcije 3
Oblici poprečnih preseka
Metalne i drvene konstrukcije 4
Specifičnosti pritisnutih elemenata -izvijanje
• Konrola napona u poprečnom preseku nijedovoljan uslov za dimenzionisanje;
• Potrebno je proveriti i stabilnost pritisnutogelementa kao celine (uticaji teorije II reda);
• Do iscrpljenja nosivosti dolazi pre nego štonominalni naponi dostignu dopuštene vrednosti!
• Problem stabilnosti pritisnutih elemenata –izvijanje prvi je razmatrao Ojler (Euler) 1744. godine;
Metalne i drvene konstrukcije 5
Linearno-elastična teorija izvijanja
Osnovne pretpostavke:
• štap je idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija),
• štap je cenrično opterećen konstantnom aksijalnom silompritiska koja deluje na njegovim krajevima,
• štap je zglobno oslonjen na oba kraja,
• poprečni presek je konstantan i jednodelan,
• sprečene su torzione deformacije i
• materijal je homogen, izotropan i linearno elastičan.
Metalne i drvene konstrukcije 6
Postavka problema izvijanja – usloviravnoteže na deformisanom elementu
)(xvNM c ⋅= Moment savijanja usled sile pritiska
Problem bifurkacione stabilnosti
Metalne i drvene konstrukcije 7
Diferencijalna jednačina izvijanja
v deformacija (ugib) elementa,M moment savijanja,Nc sila pritiska,EI krutost elementa (štapa) na savijanje,E modul elastičnosti,I moment inercije za razmatranu osu savijanja,
EIMxvdx
vd /)(2
2
−=′′=
)(xvNM c ⋅=
Diferencijalna jednačina savijanja
0)()( =⋅+′′ xvEINxv c 0)()( 2 =⋅+′′ xvkxv EINk c /=
Metalne i drvene konstrukcije 8
Rešenje diferencijalne jednačine izvijanja
kxBkxAxv cossin)( ⋅+⋅=
0)0( =v 0)( =lv
22
l
EINN Ecr π=≡
Pretpostavljeni oblik rešenja
Granični uslovi
lll
ππ ⋅=⇒=⇒= nknkk 0sin
EINk c /=
Iz uslova o egzistencijinetrivijalnog rešenja!
Kritična (Ojlerova) sila izvijanja
Metalne i drvene konstrukcije 9
Kritičan (Ojlerov) napon izvijanja
A površina poprečnog preseka štapa,
λ vitkost štapa,
i poluprečnik inercije.
22
2
2
λππσ E
AEI
ANcr
cr ===l
i/l=λ
AIi /=
Metalne i drvene konstrukcije 10
Dužina izvijanja
Pomoću dužine izvijanja uzimaju se u obzir drugačiji uslovi oslanjanja;
Metalne i drvene konstrukcije 11
Izvijanje u plastičnoj oblasti
60 za 21 pcr CC λλλσ <<⋅−=
60 za <= λσ ycr f
Korekcije Tetmajerovog rešenja
Metalne i drvene konstrukcije 12
Smanjenje nosivosti realnih štapova
• U realnim uslovime polazne pretpostavke Ojlerove teorije nemogu biti ispunjene!
• Izvijanje realnih štapova nastupa pri silama znatno manjimod kritičnih (teorijskih)!
Metalne i drvene konstrukcije 13
Nesavršenosti realnih štapova
• Sopstveni ili zaostali naponi;• Geometrijske imperfekcije (nesavršenosti);• Nehomogenost osnovnog materijala;• Ekscentričnost opterećenja
Metalne i drvene konstrukcije 14
Krive izvijanja
• Krive izvijanja predstavljaju modifikaciju teorijskih krivihizvijanja (Ojler-Engeser);
• One definišu vezu između relativne vitkosti i koeficijentaizvijanja (bezdimenzionalne veličine);
• One treba da uvedu u proračun nesavršenosti realnihštapova kao što su: geometrijske imperfekcije, sopstveninaponi, varijacije modula elastičnosti i granice razvlačenja, ekscentricitet naprezanja...
• Zbog složenosti problema uvedena je familija evropskihkrivih izvijanja (A0, A, B, C i D) koje su definisaneteorijsko-eksperimentalnim putem;
• Sve nesavršenosti se uvode u proračun preko ekvivalentnegeometrijske imperfekcije - wo
Metalne i drvene konstrukcije 15
Relativna vitkost štapa
crpl NN /=λ Relativna vitkost štapa
ypl fAN ⋅= Plastična otpornost poprečnog preska
)(λ
22
icr
EINl⋅= π Ojlerova kritična sila izvijanja
12
2
1/ λ
λ
ππλ =
⋅⋅=
⋅
⋅=
y
i
i
y
fEAIEI
fA l
l
Metalne i drvene konstrukcije 16
Vitkost na granici razvlačenja - λ1
• Vitkost štapa na granici razvlačenja je vitkost pri kojoj jeOjlerov kritičan napon jednak naponu na granicirazvlačenja!
• Za određenu vrstu čelika λ1 ima konstantnu vrednost!
yycr f
EfE⋅=⇒== πλ
λπσ 12
1
2
t ≤ 40 mm t > 40mm Vrsta čelika yf [kN/cm2] 1λ yf [kN/cm2] 1λ
S235 23,5 92,9 21,6 98,0 S355 35,5 75,9 32,4 80,0
Metalne i drvene konstrukcije 17
Proračun stabilnosti pritisnutih štapovajednodelnog poprečnog preseka prema
JUS U.E7.081-1986
Νc aksijalna sila pritiskaΑ površina poprečnog preseka,σi,dop dopušten napon izvijanja,χ bezdimenzionalni koeficijent izvijanja,σdop dopušten normalni napon,fy napon na granici razvlačenja,ν koeficijent sigurnosti.
dopic
AN
,σσ ≤= νχσχσ /, ydopdopi f⋅=⋅=
Metalne i drvene konstrukcije 18
Bezdimenzionalni koeficijent izvijanja - χ
2,0 za
4
2
2,0 za1
22⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−+
≤
=λ
λββ
λ
χ 2)2,0(1 λλαβ +−⋅+=
Kriva izvijanja Ao A B C D α 0,125 0,206 0,339 0,489 0,756
Koeficijent geometrijske imperfekcije - α
Metalne i drvene konstrukcije 19
Maksimalne vitkosti pritisnutih štapova
λmax= 250 za spregove i sekundarne elemente;λmax= 200 za glavne noseće elemente;λmax= 150 za oslonačke štapove (stubove) i glavnenoseće elemente kod konstrukcija opterećenih nazamor materijala;
Metalne i drvene konstrukcije 20
Merodavna vrednost bezdimenzionalnogkoeficijenta izvijana
Potrebno je proveriti izvijanje oko obe glavne ose inercije!
U opštem slučaju mogu da se razlikuju sledeći parametri:
• poluprečnik inercije (iy , iz),
• dužine izvijanja (liy , liz) i
• relevantna kriva izvijanja (Ao, A, B, C i D).
{ }zy χχχ ,min=
Metalne i drvene konstrukcije 21
Evropske krive izvijanja
Metalne i drvene konstrukcije 22
Izbor odgovarajućekrive izvijanja
Tip poprečnog preseka 1)
Izvijanje upravno na
osu
Kriva 2) 3) izvijanja
y-y z-z A
Konstrukcioni šavovi
Debeli šavovi (puni provar)
y-y z-z
y-y z-z
B
C
h/b > 1,2 t < 40 mm h/b ≤ 1,2
t ≤ 40 mm
t > 40 mm
y-y z-z y-y z-z y-y z-z
A(A0) B(A) B(A) C(B)
D
t ≤ 40 mm
t > 40 mm
y-y z-z
y-y z-z
B C
C D
y-y z-z C
1) Preseci koji nisu zastupljeni u ovoj tabeli klasifikuju se prema t.2.4 i 2.5. U slučaju nedoumice za preseke sa t < 40 mm primeniti krivu izvijanja C.
2) Krive izvijanja date u zagradama primenjuju se za čelike sa fy > 430 MPa i t < 40 mm. 3) Na bazi eksperimentalno i numerički verifikovanih podataka za pojedine tipove poprečnih preseka
mogu se alternativno primeniti za druge krive izvijanja.
Zavisi od:
• Oblika poprečnog preseka;
• Odnosa visina/širina;
• Ose oko koje se razmatraizvijanje;
• Debljine lima;