el mÈtode de newton-raphson… i simpson: una...
TRANSCRIPT
EL MÈTODE DE NEWTON-RAPHSON… I SIMPSON: UNA APLICACIÓ D’EINES DE PROGRAMACIÓ PER
ANALITZAR TEXTOS MATEMÀTICS HISTÒRICS
Mònica Blanco
Grup de Recerca en Història de
la Ciència i de la Tècnica
XIII JORNADA SOBRE LA HISTÒRIA DE LA CIÈNCIA I L’ENSENYAMENT
20 i 21 de novembre de 2015. Institut d‟Estudis Catalans, Barcelona
•
CONTINGUTS - Introducció - Activitat proposada - Algunes reflexions finals
3
Introducció
El mètode de Newton, o de Newton-Raphson
Mètode numèric per trobar, de forma aproximada, les arrels reals d‟una funció d‟una variable 𝑓 𝑥 , partint d‟un valor inicial 𝑥0:
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
Isaac Newton (1643-1727) i Joseph Raphson (1668-1715) a finals del segle XVII elaboraren sengles mètodes per trobar de forma aproximada les arrels reals d‟equacions polinòmiques.
Els mètodes elaborats per Newton i Raphson no són idèntics, i difereixen del mètode tal com l‟utilitzem actualment.
Thomas Simpson (1710-1761) publicà el mètode en la seva forma actual el 1740.
OBJECTIUS
Presentar una proposta d‟activitat per analitzar a l‟aula el desenvolupament històric de l‟anomenat “mètode de Newton-Raphson” a partir de les fonts originals.
Explorar l‟aplicació d'eines de programació informàtica per analitzar i comparar els mètodes de Newton, Raphson i Simpson, amb el suport de programari escaient, com, per exemple, algun software orientat a la resolució de problemes matemàtics: Maple
Contrastar aspectes com el grau d‟exactitud dels resultats obtinguts, la capacitat iterativa i l‟àmbit d‟aplicació del mètode emprat, a partir de la implementació de rutines que executin els tres mètodes.
Discutir i reflexionar sobre la relació entre àlgebra i càlcul, en un moment en què el càlcul no estava encara completament consolidat.
7
Activitat proposada
Guió de l‟activitat
1. Lectura i anàlisi dels textos referents als tres mètodes.
2. Implementar en Maple els tres mètodes per trobar les solucions reals de 𝑥3 − 2𝑥 − 5 = 0.
3. Discussió i comparació dels tres mètodes: • Capacitat iterativa.
• Àmbit d‟aplicació.
• Expressions diferencials.
• Elecció del punt inicial.
4. Valoració de l‟activitat per part dels estudiants.
Context: assignatura d‟Història de les Matemàtiques del Grau del Matemàtiques (2-3 hores).
1. El mètode de Newton
1671 (
pub. 1736)
>
> > >
Resultat de Newton:
y = 2.09455148 &c
4 iteracions, 8 decimals, 8
decimals exactes
2. El mètode de Raphson
Teorema de Raphson >
>
>
>
>
>
>
>
Resultat de Raphson:
a = 2.0945514815427104141
4 iteracions, 19 decimals, 12
decimals exactes
3. El mètode de Simpson
Primer inspecciona on es troba la solució de l'equació: >
>
>
>
>
Mètode nou per determinar la solució numèrica de l'equació (en x): >
>
>
>
>
>
>
>
20
MÈTODE Iteratiu General Expressions
diferencials Punt inicial
Newton X X X X
Raphson X X X
Simpson
4. Comparació dels tres mètodes
21
Algunes reflexions finals
… amb reinterpretacions matemàtiques.
… amb qui fou el primer que…?
Programació i història de les matemàtiques.
Activitat implementable en assignatures de l‟àrea de matemàtiques, de nivell avançat, d‟altres àmbits.
Moltes gràcies!
23
REFERÈNCIES Bicanic, N. and Johnson, K. H. (1978). Who was „-Raphson‟? International Journal for Numerical Methods in Engineering, 14 (1), 148-152.
Cajori, F. (1911). Historical note on the Newton-Raphson method of approximation. American Mathematical Monthly, 18, 29-32.
Goldstine, H. H. (1977). A History of Numerical Analysis from the 16th through the 19th Century. New York: Springer.
Katz, V. J. and Michalowicz, K. D., eds. (2005). Historical Modules for the Teaching and Learning of Mathematics. Washington: The Mathematical Association of America .
Kollerstrom, N. (1992). Thomas Simpson and „Newton‟s method of approximation‟: an enduring myth. British Journal for the History of Science, 25, 347-354.
Stedall, J. (2011). From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections: filling a gap in the history of algebra. Zurich: European Mathematical Society.
Thomas, D. J. and Smith, J. M. (1990). Joseph Raphson, F. R. S. Notes and Records of the Royal Society of London, 44 (2), 151-167.