Elektronické voľby

Marián Novotný

Obsah

• Niečo na úvod• Typy volieb• Volebný model• Bezpečnostné požiadavky na e-voľby• Kryptografické mechanizmy• Schémy volieb

– Skrytý volič– Skrytá voľba– Skrytý volič a skrytá voľba

Niečo na úvod

• Voľby tvoria základ demokratickej spoločnosti• Negatívne voľby v starovekom Grécku, 6. stor. PK

– voľba najnepopulárnejšieho politika– „víťaz“ vzišiel z politikov, ktorí získali nad 6000 hlasov, ktoré boli

napísane na kus porcelánu (grécky ostraka), musel odísť do exilu

• V Benátkach v 13. stor. volili radu tak, že kandidátom voliči zdvihnutým palcom dali hlas, tie sa sčítali...

• V 19. storočí v Austrálii boli prvýkrát volebné lístky vytlačené vopred a voľba sa uskutočnila tajne

• estónsko, švajčiarsko – elektronické voľby

Typy volieb

• áno/nie voľby. Napr. Má mať týždeň najviac štyri pracovné dni?

• 1 z L . Volič má L možností, z ktorých si vyberie jednu voľbu.

• K z L. Volič vyberie K z L “prvkov” • K z L usporiadane. Volič vyberie usporiadanú K-

ticu z L “prvkov”.• 1-L-K. Volič vyberie jednu z L množín a z tejto

množiny vyberie K prvkov.• “Write in”. Volič formuluje vlastnú odpoveď,

takže voľba je reťazec určitej max. dĺžky.

vs.

Volebný model

Oznámenieparametre voliebzoznam voličov

Registráciaidentifikácia voliča

Vykonanie voľbyvoličom

Verifikácia

Spočítanie výsledkov

Bezpečnostné požiadavky na voľby

• Eligibility (oprávnenosť) Len registrovaný voliči môžu voliť. Voľba musí byť jedinečná.

• Privacy (tajnosť) Nie je možné vytvoriť spojenie medzi jednotlivou voľbou a voličom

• Overiteľnosť Možnosť overiť, či hlas bol zaznamenaný a započítaný do výsledku volieb– individuálna Samotný volič vie overiť svoj hlas– univerzálna Ktokoľvek môže overiť, či hlasy

boli správne spočítané

Bezpečnostné požiadavky na voľby(2)

• Nespochybniteľnosť(dispute-freenes) Schéma by mala poskytovať mechanizmy na vyriešenie nezrovnalostí v každej fáze.

• Správnosť (accuracy) Hlasy musia byť správne zaznamenané a započítané

• Spravodlivosť Nikto by nemal byť schopný vypočítať čiastočné výsledky, pokiaľ prebiehajú voľby

Bezpečnostné požiadavky na voľby(3)

• Robustnosť Schéma je maximálne robustná, ak je potrebná spolupráca všetkých autorít na volebný podvod resp. chybu

• Receipt-freenes Volič nie je schopný poskytnúť dôkaz o svojej voľbe niekomu inému

• Incoercibility Útočník by nemal byť schopný prinútiť voliča k určitej voľbe

• Škálovateľnosť • Praktickosť Schéma by mala byť realizovateľná.

Bit commitment

• Alica chce poslať Bobovi bit b • pošle bit commitment E(b,k) s kľúčom k• Bob to nevie prečítať pokiaľ Alica nepošle

kľúč k• Alica nevie otvoriť b ako 0 a 1• Pri trapdoor vie otvoriť ako 0, alebo 1• Ak dokáže Bob ukázať tretej strane, že

Alica poslala 0, alebo 1 hovoríme o chameleónskom bit commitmente

Popierateľné šifrovanie(Deniable encryption)

• Odosielateľ môže vytvoriť inú správu m’, ktorá je konzistentná so zašifrovanou správou m

• Môže tvrdiť útočníkovi, že poslal správu m’, ku ktorému pozná vhodný kľúč

• Užitočné pri Receipt-freenes protokoloch

Homomorfné šifrovanie

• máme pravdepodobnostný šifr. systém Er

• P je priestor otvorených textov, ktorý tvorí grupu vzhľadom na +

• C je priestor šifrovaných textov, ktorý tvorí grupu vzhľadom na *

• Pre c1=Er1(m1), c2=Er2(m2) existuje r, že

c1*c2=Er(m1+m2)

* = +

Slepé podpisy

• Alica chce získať od Boba podpis správy m, nechce mu však obsah tejto správy prezradiť

• Napr. RSA, Bob má verejný kľúč (n,e) a súkromný d– Alica gen. r a pošle Bobovi m’=mre (mod n)– Bob podpíše m’ t.j. s’=m’d (mod n)– Alica upraví s’ t.j.

s=s’/r=m’d/r=mdred/r=mdr/r=md (mod n)

Tajné zdielanie

• Aditívna schéma s=s1+...+sn

• Treshold (l,N) – napr. Shamir(t+1,N)– Zvolíme náhodne polynóm f stupňa t– f(x)=ao+a1x+…atxt

– s=f(0)=ao

– sj =f(j) pre j=1,...,N– Rekonštrukcia pomocou Lagrangeovej

interpolácie

Zero knowledge proofs

•Dokazovateľ chce demonštrovať platnosť určitého tvrdenia verifikovateľovi bez vyzradenia informácií o tvrdení •interaktívne commitment, výzva, odpoveď•neinteraktívne výzva je vypočítaná z commitmentu

Anonymné kanály

• Dešifrovacie Mixnets– Potrebujeme anonymne poslať mi, gen. ri

– zašifrujeme l krát t.j. EK(mi||ri)=EK1(EK2(…(EKL(mi||ri)…))

– každý server dešifruje správy, lexikograficky ich usporiada a pošle ďalej

• Re-encryption Mixnets• Odosielateľ zašifruje správu s verejným kľúčom príjemcu• Každý Mixnet server “prešifruje” správy a urobí náhodnú

permutáciu správ• funguje to pre homomorfné šifry c1=Er1(m1), c2=Er2(0) ,

tak c1*c2=Er(m1+0) =Er(m1)

• napr. ElGamal šifrovací algoritmus s verejným kľúčom y a súkr.x; y=gx

– máme zašifr. správu m ako (a,b)=(gr,yrm)– prešifrovanie urobíme tak, že vygenerujeme s– (ags,bys)=(gr+s,yr+sm)

Anonymné kanály(2)

Schémy volieb

• Skrytý volič– volič anonymne pošle voľbu

• Skrytá voľba– volič pošle zašifrovanú voľbu

• Skrytý volič a skrytá voľba– volič anonymne pošle zašifrovanú voľbu

• schémy založené na tokene• schémy založené na homomorfnom šifrovaní• schémy založené na tokene a homomorfnom šifrovaní

Skrytý volič

Skrytá voľba

Skrytá voľba skrytého voliča pomocou slepého podpisu

Skrytá voľba skrytého voliča

Príklad protokolu: FOO schéma• Administrátor, Počítací server, anonymný kanál • Registrácia

– Volič vytvorí bit commitment E(v,k)– Administrátorovi pošle sebou podpísaný “schovaný” E(v,k) kvôli slepému podpisu

a taktiež svoje ID– Administrátor podpíše “schovaný” E(v,k), ak je volič oprávnený voliť

• Voľba– Volič získa administrátorom podpísaný E(v,k) t.j. sign(A, E(v,k)– pošle ho cez anonymný kanál počítaciemu serveru, ak je podpis OK, pridá ho do

zoznamu (i, E(v,k), sign(A, E(v,k)))• Spočítanie výsledkov

– Otvorenie• ak uplynie termín volieb, počítací server zverejní zoznam poslaných commitmentov• volič skontroluje, či jeho E(v,k) v zozname, zistí index i• anonymne pošle (i,k)

– Samotné počítanie• počítací server otvorí jednotlivé bit commitmenty a zverejní ich aj s výsledkami

Literatúra

• Zuzana Rjaskova. Electronic voting schemes. Master's thesis, Comenius University, 2002.

• R. Sampigethaya and R. Poovendran, "A Framework and Taxonomy for Comparison of Electronic Voting Schemes," Elsevier Computers & Security, Vol. 25, No. 2, pp. 137-153, March 2006.

ďakujem za pozornosť