課本沒寫的全反射(II)

黃竹安*劉威志

國立臺灣師範大學物理學系

[ (續)科學教育月刊第 382 期第 46 頁之後]

F奎、 Goos-Hanchen Shift

從以上，我們研究了還射波在全反射時的行為，例如偏振的變化，能量的流動。接

著，我們將注意力放到一樣值得注意的反射波。當具有有限寬度的光束在介面被全反射

時，由於反射系數的相位變化，反射光事實上會產生些許橫向的位移，此位移稱為

Goos-Hanche 位移或 Goos-Hanchen 效應。我們想了解這個機制如何發生，以及計算平面

波如何出現 Goos-Hanchen 位移、出現的量。由傅立葉分析的觀念，有限寬度的光束可

以視為多組具有無窮大振幅平面波的疊加(為什麼?) ，如此我們可以將振幅的空間分布經

由傅立葉分析轉換為頻域 (frequency domain) 的分布。

考慮反射條數，

的?α|

rmp(2tan lz)相角的隨 kix 改變。假設振幅 E(x) 的分布和波長 λ相比非常大，則:

再收， 1) = fA(k ')e心切， (27)

k' 為空間變數x 的傳立葉轉換，由於振幅分佈的區域很廣ill» λ， k' ， 轉換後則可以考慮

為非常小的量，因而我們可以對仇進行泰勒展開。

而的，反射波的相角則為:

*為本文通訊作者

d r/J,仇=仇 (kjx ) + -·.~r l:ikix.. . .." dk

ix~

lEi\}kj; -ι(ω/ c)2成 =2個叫 a V L i

- 45 -

(28)

(29)

科學教育月刊 第 383 期 中華民國 104 年 10 月

故反射波可以寫為:

,. ikiT(X一孕的，，)叫Er(x , t) = I A(k 加 U"" dk'

如果我們考慮具有無限大振幅的平面波，就可以將A(的視為 Dirac delta function 0阱') .故

積分可以寫為:

dr!JrEr = E(x一了土)e"'"

一…IX (30)

d¢r\ -;:;T hl =tSL!..J • llL~'f4 ;fi-h~ d¢,(Delta 函數具有挑出 k'= 0 函數值的特性。) ，從 E(x-一一)可以看出，光束移動了_. rr 的

dkix

量。反射波因全反射而產生的相位變他於臨界角時開始出現(如圖 10) 。但並非所有的相

位變化都可以產生 Goos-Hanchen 位移，必須使得相位變化貢獻至丸，且第一階導數存在

時，位移方可存在。而由 (30) 這個微分可以看出，位移在臨界角時有最大值(如圖 9) ,

在金屬介面時則比介質稍小。

位移量(弧度)相位變化

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5ι

。cππ

。入射角

4 3π

2

圖 9 反射靜、數的相位變化

- 46-

課本沒寫的全反射 (II)

位移 (m)

5A

Goos-Hanchen位移

4A

3A

2A

。O

A

IT

Vc 4yτ

3

仇叫J

4s'，品，

入π-2

國 10 0008 Hanchen 1立手多

梁、結論

從以上的討論我們研究推導了全反射複雜而有趣的各個層面，這些現象是非常值得

玩味，並擁有重要物理意義及應用的。由於全反射發生時，還射波的ktz成為複數，因而

在成+丘 = kt2 這個數學式上產生丸 >kt 這種分量大於總量的結果，也使得反射與透射的

條數成為了複數。而在還射條數成為複數的影響下，原本線性偏振的人射波在經過全反

射後，遁射波其中一個場的偏振將從線性偏振轉變為精圓偏振的形式，若是TE 偏振的人

射光則遠射波的磁場會具精圓偏振;若是TM 偏振的人射光則還射波的電場會具有精圓

偏振。我們以波印廷向量來描述的能量流動，我們發現，全反射的能量流動會在介面問

隨時間演進來回轉移，故時間平均上看起來只有往前傳送的效應。這些現象並不直觀，

如果我們沒有經過一些計算，是不容易發現這些結果的。藉由傅立葉分析我們解明了:

反射波的相位差使反射的光束產生了移動，形成此 0008 Hanchen 位移的原因，並且知

道， 0008 Hanchen 位移在臨界角時具有最大值。當可見光人射金屬時，如果是夠厚的金

屬，則都會有全反射的發生，但如果金屬是鍍在介質上的一層薄膜，則只有TM偏振能

夠直接產生金屬介面的全反射，並產生表面電荷集體震盪的現象，稱為表面電漿子，若

要以 TE 偏振來產生相同的現象，則需要使用人造物質。而在這個現象之後，開歐了表

面電漿子現象研究領域的大門。

- 47 -

科學教育月刊 第 383 期 中華民國 104 年 10 月

捌、附錄

一、複數表示向量簡介

我們需要先了解一些基本的數學。根據 Taylor 展開式，任何的函數都可以寫成在某

一點 G逐項微分的級數展開式，如果取。 =0

(x)=j(O)+且比+旦旦x2 =立(0) X3 +....=于txn (3l)

2! 3! 位 n!

因此，指數函數 eX 在 x=O 的展開式為

勻，­

令、d

nx們一川

∞寸-訂

一一

+x+x+x+一-

xe

此對於任何數值均收斂。

那麼，對於 smx 、 cosx 的情形又可以得出

5x一到

+3x一引

x=xnp3 (33 )

2 .A ..6x x xcosx = I 一一一+一一一一一+..

2! 4! 6!(34)

再利用 Taylor 展開式的合成函數性質，將ix代人口中的x ' 並整理含i 與不合 i 的

工頁，即可得到著名的Euler 公式

IXe'~ = COSX+IS Jn X (35)

(3月式在數學上有很大的好處，可以用這條式子來簡化很多計算，當我們需要COS 的

時候，取實部就可，若需要sin 的時候，則取虛部。寫成方程式，以Re表示取實部'1m

表示取虛部，則:

x =Re[eix ] sin x =叫什 (36)

或者也可以表示成

川-..

e'" +e ". - ..e' -eSJn X =

2 2i(37)COSX =

在許多的物理教科書裡面，經常會需要用到正弦與餘弦的函數，我們為了方便計算

波的各種性質，常常會引人複數的數學形式來計算。例如可以將 Eo cos(缸一ω)=

EORe[ei(kx-叫)J '更廣義些則為 Eo叫k'r 一ω)=EORe[e恥叫)J 複數出現在指數 e 內通常會

造成相位上的變忙，或者振幅上的衰減，如果複數是出現在振幅上，則可以將它整理成

極式，並寫成相位的變他，複數也很常用於簡諧運動，或者 LC電路的震盪。

- 48 -

課本沒寫的全反射 (II)

二、電磁學的邊界條件

ts D 似 =qe/lc ' tsB.dA=O ' tpE.dl=O ' ~pH.dl=Je/lc

Maxwell 四條方程式的積分形式如上所列 'S 表示封閉區面 ， p 表示封閉路徑。考慮我

們文章中所使用的介面，當我們對面積分的式子取 S 為一個扁平的盒子時，可以得出

D~-Dt = σf'Bf=BJ

σf為表面電荷密度。而對於線積分的方程式，我們考慮 P 為一個狹長的方形線圈，可以

得出

Ell = Ell ' Hil- Hll = K r x n2 .1 11 ..1..1 2 -.I.... f

其中 Kf為表面電流密度，品為介面的法向量。

三、 TE 與 TM 兩種偏振

雖然電磁波具有電場與磁場兩種場，所以空間中的電磁波共有六個分量(丸，島，Ez ，

Hx ,Hy ,Hz) ， 但是藉由分成兩類，我們實際上只需要考慮三個分量即可，為什麼?因為

電場、磁場、傳遞方向三者在三維空間中互相重宜，對於線性偏振的電磁波，我們可以

分為兩類來討論 ， TE (Transverse electric) 偏振是指電場振動方向垂直於人射平面的一種

偏振方式，有些文獻稱為垂直偏振或者s-偏振，另一種偏振形式則為TM (Transverse

Magnetic) ，則是磁場振動方向垂直於人射平面，也稱為平行偏振、p一偏振。如此我們可

以只考慮電場或磁場其中一種場即可，另一種場可以另外求出。例如使用

E 一主主主-CtJE

Z

H 一些主一

ωμ

的 Or

X

I 0,

圖 11 TE 偏振的示意圈，其中紅色箭頭表示波的傳遞方向，黑點表示電

主易 E 指向畫面外

- 49 -

科學教育月刊 第 383 期 中拳氏圈 104 年 10 月

首先我們選擇電磁波的 TE偏振方式來檢視電磁波在不同介質的介面如何折射與反

射，定義 z=o為此介面，電場振動方向為 Y' 並在往後的內容中遵循此一習慣。

電場可以寫成 Eeik .r-甜的形式，我們將人射波、反射波、透射渡分別表示為﹒

Ei = EOei(k"x+k"z一叫)

Er = rEOei(k"x+九Z-叫}

E,=tEoe;(k"x+k"z-叫)

(38)

而在邊界上，以邊界條件解出k 的分量，須符合向量的畢氏定理如下:

ki~ +ki; = k}

k;x +k~ = k; (39)

k/~ + k l; = k,2其中 r =Er / E; 和 1= E, /E; 分別是反射和透射波對人射波的比，稱為反射像數和透射

系數。我們在下標加註 TE 以標示清楚偏振的種類

L-L 2k,rTF = ",= "1= tTl': = 一 _·-u一 (40)

山 kiz + k1z山

kiz + k,

我們將 Snell 定律中的三角函數進一步改寫為 k 分量的組合。我們知道 ， kix =ki sin 冉、

九 = k,sin ()I 、 k; = 川的，以及 kl = n1ko ' 將這些關你代回 Snell 定律的關條式，可得-

nLL=n.主ι ，院三五1, niko ' n,ko I.' 'A I

亦即 Snell 定律其實是說明 k水平分量經過不同介質依然不變的結果。磁場 H可以用下

列的方程式求得:

叫一仰

H

並列出結果:

H;= 主!L ei(k"x+k，，=-叫\kixz + kizx)ωμ，

ffr= 竺立ei(k"x+k"叫吋krxz + krzx)ωμr

IEH, = 'LO e-ik"zei(k"x叫)(ktxz+k1zx)ω的

(41 )

其中我們假設兩邊的磁導條數 μ 都是一樣的。

我們用相似的方法來處理 TM偏振，設定磁場只在 y方向振動。

Hz=Hoet(kuX+kgZ) , Hr=rHoet(KJ+knZ) , Hr=tHoet(kuX+kcz)(42)

- 50-

11/ Ei

ki

Hi 。z

z

。r

、\Er

krHr

! Et

X

課本沒寫的全反射 (II)

(), kt

並且用下式求出E

圖 12 TM偏振示意圖

E 一主主主-WE

E;= 主立 e仇X+kzZ)(KJ+kuZ)ωq

E, = 竺立ei(k，.x+k"z) (krzx +九z)WEr

(43)

Er =笠立d(KJ+knz)(krzX+ 九z)WE,

注意透射波 z 的方向必須變號。 r 、 t 在下方列出，以下標標註 TM以和 (40)作為對照

“ -Ftfkrz-nfk倌 ， 2n;ktz

TM-nfktz+nfk但 w-E芳可;ktz(44)

以上我們完成了將以往由θ及三角函數組合的表示式改為由傳播常數表示的電磁波方程

式。

參考文獻

E. Hecht, Optics, 4/e(Addison-Wesley, San Francisco, 2011).D. 1. Griffiths, Introduction to electrodynamics, 4/e(Addison-Wesley,San Francisco, 2012).D. K. Che嗯， Field and Wave Electromagnetics, 2/e(Addison-Wesley,San Francisco, 1989.)E. Kretschmann, Opt. Comm. Vo l. 6, pp.185-187 (1 972).S. A. Maier, Plasmonics: Fundamentals and Applications(Springer, Berlin, 2007).F. de Fomel , Evanescent Waves From Newtonian Optics to Atomic Optics(Springer,Berlin, 20 II)1. W. Goodman , IntroductionωFourier Optics, 3/e(Mc Graw-Hill ,San Francisco, 2004).

- 51 -

撲克牌排列之規律探究

蘇亭云 1* 蘇柏奇 2

l 國立臺北教育大學 數學暨資訊教育學系

2 苗票縣立興華高級中學

隨手可得的撲克牌是許多魔術表演的道具，除了提供日常消遣娛樂外，近幾年，更

發展了許多以撲克牌為教具的數學教案，成為老師課堂上的好幫手。本文將藉由撲克牌

的排列，進行一段規律的探究之旅。

壹、規律探討:

同一花色的撲克牌有 13 張，通常將 A 、 J 、 Q 、 K 分別視為 l 、 11 、 12 、 13 點，將這

些牌依點數排序即為:

A 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 J 、 Q 、 K 。

這個排列恰好將 13 張牌排完，且每張牌的點數都比前一張多 l 點。

若我們改變排列的規則，要求每張牌的點數都比前一張牌多 2 點，則可以得到-

A 、 3 、 5 、 7 、 9 、 J 、 K (1)

此時，尚有 6 張牌未排列，依點數大小為:

2 、 4 、 6 、 8 、 10 、 Q (2)

恰好也符合每張牌比前一張多2 點的要求，考慮(1)中的K 和 (2)中的 2 這兩張牌，若

我們規定 rA 比 K 多 l 點 J '則 2 比 K 多 2 點，因此我們將這(1)、 (2)兩段合併得﹒

A 、 3 、 5 、 7 、 9 、 J 、 K 、 2 、 4 、 6 、 8 、 10 、 Q

恰好將 13 張牌排完，且符合每張牌比前一張多2 點的要求。

依照 A 比 K 多 l 點且每張牌都比前一張多3 點的要求，我們可得A 、 4 、 7 、 10 、 K 因為

3 比 K 多 3 點，得到

A 、 4 、 7 、 10 、 K 、 3 、 6 、 9 、 Q

因為 2 比 Q 多 3 點，得到

A 、 4 、 7 、 10 、 K 、 3 、 6 、 9 、 Q 、 2 、 5 、 8 、 J

恰好也將 13 張牌排完。

這是巧合嗎?相差其它點數也可以恰好將13 張牌排完嗎?我們求得所有情形並列

表 l 如下:

*為本文通訊作者

- 52 -

撥兒牌排列之規律探究

表 l

相差 排列順序

點數I 司﹒J 甸d、 4 ! 5、 6 勻7 i 8 ! 9 10 ! 11 ! 12 ! 13

A I 2 5 6 司7 ! 8 ! 9 10 J QIK

2 A 3 5 7 91JIK12!4 6 8 10 Q

3 A 4 7 10 K I 3 6 ! 9 I Q 8 J

4 A I 5 I 9 K ! 4 i 8 Qi3!7IJ!2 6 10

5 A!6|J o3 8 K J、5 i 10 j 2 71Q 4 9

6 A I 7 I K 6 I Q J、5 i J 哼4 I 10 3 I 9 2 8

A I 8 i 2 句3 I 10 I 4 I J冒 J、' K|77 9 Q 6

8 A 9 4 Q 7 2 i 10 5 K 8 3 J 6

9 A 10 6 2 J Q 8 4 K 9 5

10 A J 8 5 2 I Q I 9 I 6 3 Kilo 7 4

11 A Q 10 8 6!4;2ik i J i9!7 5 i 3

12 AIK Q J 10 I 9 I 8 7 6 3 i 2

透過上衰，驗證了不論相差幾點，都可以將 13 張牌排完。事實上，表中還隱藏一些

規律!若忽略 A' 對角線所分割的兩個區域，存在相當的對稱性(如表 2)' 例如:點數

3 的這張牌出現在相差 l 點的第 3 張和相差 2 點的第 2 張;點數 4 的這張牌出現在相差 l

點的第 4 張和相差 3 點的第 2 張;點數 5 的這張牌出現在相差 l 點的第 5 張和相差 4 點

的第 2 張...。

表 2

相差 排列順序

點數l 勻& 甸d‘ 甸4 ! 5、 6 句7 I 8 ! 9 I 10 I 11 i 1必句2 I 1司~‘

A 指勻， 司d‘ 4 I 5、 6 句7 i 8 i 9 i 10 I J i Q ! K

2 A 司d‘ 5、 句7 I 9 ! J冒圖 k 句<. 句4 I 6 ! 8 ! 10 I 0、

7i lojk j3)6i9!Q j2|5ls3 A 4 J

4 A 5 9!KI4!8iQi3j7!J 2 I 6 I 10

5 A 6 J j3lsi kj5i l0)2j7 Q 4 9

6 A I 7 K I 6 ! Q 4 9 2 8

7 A I 8 .2(9!3 10)4 J 5 ! Q 6 K 7

8 A 9i4jQ !7 5 K I 8 ! 3 i J 6

9 A j10)6!2i J 7 I 3 Q 8|4j kj915

10 A ! J冒。8 ! 5、“呵2 ; 0、 9 ! 6 句d‘ KilO 句， 旬4

11 A I Q ! 10 j 8 i 6 “4 吋2 I K I J i 9 旬7 I 5 叫d‘

12 A KIO、 J I 10υ 9 i 8。 句7 I 6 I 5、，筍A 句J‘令<.

- 53 -

科學教育月刊 第 383 期 中華民國 104 年 LO 月

在此對稱性下，排列順序中的第 x 張牌與第 15- x 張牌存在巧妙的規律 (x=2-13) ,

例如:衰 3 中，第 2 張牌由上而下依序為 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 ' 9 、 10 、 J 、 Q 、 K' 而第 13

張牌為 K 、 Q 、 J 、 10 ， 9 、 8 、 7 、 6 、 5 、 4 、 3 、 2; 再如:第 3 張牌由上而下依序為 3 、小 7 、

9 、 J 、 K 、 2 、 4 、 6 、 8 、 10 、 Q' 而第 12 張牌為 Q 、 10 ， 8 、 6 、 4 、 2 、、 K 、 J 、 9 、 7 、小 3 。

若進一步調整各列順序如表 4' 則此 12 個排列兩兩一組(同組之兩個排列相差點數

的和為 13) ，排列的順序恰好顛倒，例如:相差 2 點的排列為: r A 、 3 、 5 、 7 、 9 、 J 、 K 、 2 、

4 、 6 、 8 、 10 、 QJ' 而相差 11 點的排列為: r A 、 Q 、 10 、 8 、 6 、 4 、 2 、 K 、 J 、 9 、 7 、 5 、 3 J 。

透過這個觀察，未實際排列即可推算相差任意點數之排列的最後第 2 張牌為何!例如:

相差 4 個點數的排列之最後 l 張牌為何?該牌即為相差 9 個點數的第 2 張牌，故為 10 。

表 3 表 4

個整 排列順序

點數 I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 10 II 12 t 13

A 2 3 4 5 6 7 s 9 I 10 J I Q K

2 A 3 5 7 9 J I K 2 4 6 8 I 10 Q

3 A 4 7 I 10 K I 3 6 91Q 2 5 B 1

4 A 5 91K 4 8 1 Q 3 7 J 2 6 110

5 A 6 J 3 8 I K 5 I 10 2 7 I Q 4 9

6 A 7 I K I 6 J 4 I 10 3 9 2 8

7 A s 2 9 3 I 10 4 J 5 I Q 61K 7

B A 9 4 1 Q 7 2 I 10 5 I K 8 3 J 6

9 A 10 I 6 2 J 7 3 Q I 8 4 I K 9 5

10 A J s 5 2 I Q 9 6 3 KilO 7 4

II A Q I 10 s 6 I 4 21K 9 7 5 3

12 A KIQ J 10 I 9 B 7 6 5 4 3 2

相盡量 排列傾序

點數2 3 4 5 I 6 7 8 I 9 10υ II 12 I 13

A I 2 3 4 5 I 6 7 8 I 9 10 I J QIK

12 A I K Q I J 10 I 9 s 7 I 6 5 I 4 3 2

2 AI3 5 7 I 9 J I K 2 I 4 6 I 8 101 Q

II AIQ 10 I 8 6 I 4 2 I K j 9 I 7 5 3

3 A I 4 ?J 10 I K , 3 I 6 I 9 Q I 2 5 s 1

10 A I J s 52 QI9 6!31K 10 I 7 4

8 I Q I 34 AIS , 9I K I4 7 J I 2 6 I 10

9 A ! 10 6 I 2 I J 7 3 I Q 8 4 K 9 I 5

5 AI6 J 3 8 K 5 10 2 I 7 ! Q I 4 9

8 A194 , Q72 10 5 K 8 3 J 6

6 AI 7 1 K I 6 1QIS J 4 I 10 3 I 9 2 B

7 A I 8 2 9 I 3 10 I 4 J I 5 1 Q 6 I K 7

N=7

排列順序

D1 旬'" I ~‘‘，φ， 旬4 I 5、“6 I 7

i 2 3 4 5 6 7

2 7 -呵，呵4 I 6

3、 4 7 3 6 2 5

4 5 2 6 3 7 4

5 ? 7 5 3

6 l 7 6 5 4 司3、 2

N=可

排列順序D

l aa-1.'s- ，包 且句 句4 ! 5、 I 6

1 I 2 3 4 5 6

2 l 3 5 l

3 l 4

4 1 ! 5 3 l

5 6 5 4 3 2

貳、一般化:

不論相差多少點數， 13 張撲克牌都可以排完，這結果適用於其它情形嗎?不論幾張

牌、相差幾點數都能將牌排完嗎?

考慮一般的情形，假設有 N 張牌(點數為 1 至 N) ，每張牌比前一張牌多 D 點。列

出 N=6~9 的排列情形如下:

表 5 I ~T~ I 表 6

- 54-

撲克牌排列之規律探究

表 7N=8

排列順序

D1 ! 2弓，‘M‘ 4 j >E、 6 勻( : 0。

2 3 6 7 8

2 3 5

3 1 I 4 I 7 2 I 5 8 3、 6

4 1 ! 5 ! 1

5 6 ! 3 8|5 2 7 4

6 1 ! 7 5

7 1 I 8 7i6j5 4 I 3 2

表 8 N=9

排列順序

Dl;2)3j4!5)6!7!8(9

3 4 5 8 9

2 1 ! 3司 I 5、，句7 I 9 句~句4 I 6 I 8

3、 1 I 4 7l1 1l!

4 1 ! 5 I 9 4 8 3!7 2 ! 6

5 1 I 6 7 7 3、 9 5

6 1 叮I I q叮A I .ι.

7 1 ! 8 6 I 4 司2 I 9 勻， 5 i 3

8 1 I 9 i 8。勻I j Uζ 5 4

整理可否排列的情形如下，猜測 N 、 D 是否互質是關鍵，兩者互質時才能完成排列。

表 9

DN

可完成排列 無法完成排列

6 1 、 5 2 、 3 、 6

7 1--6 ---------8 1 、 3 、 5 、 7 2 、 4 、 6

9 1 、 2 、 4 、 5 、 7 、 8 3 、 6

13 1-12 ------備註 N 、 D 互質 N 、 D 不互質

參、 N 、 D 不互質:

從具體的例子開始，觀察 N=6 、 D=2 的排列，如圖 lO'D=2 時，自 l 開始，兩

個數一組(其中的第 1 個數被列人排序) , 6 個數恰被分成 3 組，下一組的第一個數即為

1 '故排序中止，此時只排了 3 個數，末將所有的數排完。

表 10

點數 2 3 4 5 6

排序 V V V

累積 2 3 4 5 6

- 55 -

科學教育月刊 第 383 期 中華民圈 104 年 10 月

觀察 N=8 、 D=6 的排列，如圓 II ' 24 個數恰被分成 4 組，下一組的第一個數即為

I '故只排了 4 個數，無法完成排序。

表 11

點數 1 2 3 4 5 6 7 s 1 2 3 4 5 6 7 s 1 2 3 4 5 6 7 s

排序 V V V V

累積 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

因此，當 (N， D) =d 時，假設 N=ds 、 D =dt (s ， t 互質) ，如圖 I '個數恰被分為

S 組。排序中止時，只排了 s 個數，而 ，故排列並未完成。

I t組，共M個|

/人\fKE\|

....l

已巨

\「川一百/

心二主

\γ/

I s組，共必個|

圓 l

肆、 N 、 D 互質:

為何當 N 、 D 互質時，即可完成排列?我們計算排列中止前，排了幾個數!如閏 2'

N 個數排列時，因兩數互質，必須 ND 個數才能恰被分完，恰排了 N 個數。

ID組，共ND 個|

/人\LE\|

........l

l~ι」

巴三

\「…-E/

L上主

立三」

\vIN組，共ND 個|

國 2

- 56-

樣克牌排列之規律探究

這就說明排列成功嗎?這 N 個數會不會重複?若有重複，則有數字不在排列中，必

須 N 個數都不一樣，排列才成功。該如何驗證呢?觀察 N=7 、 D=3 的排列(如圖 3)' 此

排列可分為三段，此三段之數除以 3 所得餘數分別為 l 、 O 、 2 。

|第 1 段: 1 、 4 、 71 |第 2 段 :3 、 61 |第 3 段 :2 、 5[

點數 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7

序 V V V V V V V

累積 2 3 4 5 6 7 B 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2日 21

圓 3

N=9 、 D=4 的排列如圖 4' 各段之數除以 4 所得餘數分別為 l 、 O 、 3 、 2 。

|第 1 段: 1 、 5 、 91 |第 2 段 :4 、 81 |第 3 段 :3 、 71 |第 4 段 :2 、 61

點數 11 2 314 516 718 91 1 21 3 41 5 6 I 7 819 11 2 314 516 718 91 1 2 I 3 415 61 7 819

北介序 V V V V V V V V V

累積 1 I 2 314 5 16 7 18 9110 11 12113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

圖 4

由此看來，一個成功的排列可分為 D 段(同一段的數不會重複) ，各段的數除以 D

之餘數分別為 0 至 D-1 '故不同段的數不會重複。如何驗證這個觀察?

利用反證法來驗證。如園 5 '假設排列中有兩數重複，第 s +1 個數與第 t+l 個數都是

k (s<t， 1<k<N)' 因 D 個數一名且，此兩個 l 之間有 (t-s)D 一 1 個數;因 N 個數一組，兩

個 k 之間有 Na一 l 個數( a 為正整數) ，故得 (t-s)D=Na' 即 (t-s)D是 N 的倍數。

因 N 、 D 互質，故是 N 的倍數。... ... (1)

然而 l 三 s < t 三 N' 故 O<t-s<N......(2) 。

因(1)、 (2)式矛盾，故可得當 N 、 D 互質時，排列7N 個不會重複數，故排列成功。

- 57 -

科學教育月刊 第 383 期 中華民國 104 年 10 月

E 古巴三日-日----------- ~日

~

(2個 1 之間有(凶)0-1個數|

圖 5

伍、最後一個數:

在表 2........4 中，初步觀察到各個排列問存在規律。若在排列最後補上1c如表 12 、 13) ,

則規律更明顯了。大膽猜測 :N 個數排列時 ， D=。與 D=N-a的排列顛倒。若上述猜

測是正確的，則 D= α 排列的最後一個數(在下圖裡是倒數第二個)是 D=N一α 排列的

第二個數，即為 I+N-a 。例如 :7 個數排列時 ， D=2 的最後一個數為 1+7-2=6 ; D=5

的最後一個數為1+7-5=3 。

D

1

6

2

5

3

4

表 12

=7

表 13

N=8

排列順亭

Dl 而L i J司‘心A﹒ J、5 ! 6 司7 i 8 i X

l 尚b“I 崎d‘ n斗守A 、5 6 句I 只8 ! 1

7 1 i 8 呵7 i 6 i 5、'\ ! II守A 丹d、 們個2 i 1

1 i 4 呵I 司2 i 5、 8 i 3句‘ 6 i 1

5 1 ! 6 叫J‘ 8 ! 5、'司L 旬7 ! 4 i 1

上述推論是否正確?如圖 6 '若 N 數排列時，若 D= α 的最後一個數為 A' 則

A+(。一 I) =N ' 故得 A=I+(N-a) ， 即為 D=N-a的第二個數。

- 58 -

樸克牌排列之規律探究

+(a-1)~\\祖

同 月 E山1 I I a I 1 I... ... ... ...1 a I X

+(a-1)國 6

D=a 排列的倒數第二個數為何?該數與 D=N-a 排列的第三個數有無關聯?能

驗證兩個排列順序顛倒嗎?就留給讀者推敲 7! 註

註 D=a 排列的倒數第二個數與 D=N-a 排列的第三個數相等，事實上， D=α 排

列的倒數第 t 個數與 D=N-a 排列的第 t+ 1 個數相等。若將圖 6 中的排列 J ， 2 , 3 ，...， a 改

為 a，。一 J ,..., 3 , 2 , J 即可驗證上述說明。

- 59-