equilibrium - sigmapress.co.kr110 제3장 평형 a편 2차원 평형 3.2 계의 분리 및...
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평형Equilibrium
3.1 서론
A편 2차원평형
3.2 계의분리및자유물체도
3.3 평형조건
B편 3차원평형
3.4 평형조건
3.5 이장에대한복습
3이 장의 구성
3.1 서론
정역학에서 주로 다루는 것은 공학적 구조물의 평형상태를 유지하기 위한 힘의
상태에 대한 필요충분조건을 제시하는 것이다. 따라서 평형에 관한 이 장은 정역
학에서 가장 중요한 부분을 구성하며, 이 장에서 다루는 과정들은 정역학 및 동역
학적 문제를 해결하는 데 있어서 기초를 이룬다. 평형원리를 적용할 때는, 2장에
서 다루었던 힘, 모멘트, 우력(couple) 그리고 합력의 개념을 계속해서 사용할 것
이다.
물체가 평형상태에 있을 때, 물체에 작용하는 모든 힘의 합력은 0이다. 따라서
합력 R과 합우력(resultant couple) M은 모두 0이고, 다음과 같은 평형방정식을
가진다.
(3.1)
이러한 조건은 평형을 이루기 위한 필요충분조건이다.
모든 물리적 물체들은 3차원이지만, 힘이 단일평면에 작용하거나 단일평면으로
투영될 수 있는 경우는 2차원으로 다루어질 수 있다. 이러한 단순화가 가능하지
않은 경우, 그 문제는 3차원으로 다루어져야 한다. 여기서는 2장에서 사용된 순서
에 따르며, 이후 A편에서는 2차원 힘계를 받는 물체의 평형에 대해서, B편에서는
3차원 힘계를 받는 물체의 평형에 대해서 다루기로 한다.
110제3장평형
A편 2차원 평형
3.2 계의 분리 및 자유물체도
식 (3.1)을 적용하기 전에, 해석하고자 하는 특정 물체 또는 역학계를 명확히 정의
해야 하며, 그 물체에 작용하는 모든 힘을 명백하고도 완전하게 나타내어야 한다.
해석대상 문제에서 물체에 작용하는 힘을 빠뜨리거나, 작용하지 않는 힘을 포함시
키는 것은 잘못된 결과를 가져온다.
역학계는 모든 다른 물체로부터 개념적으로 분리될 수 있는 하나의 물체 또는
군(group)으로 정의된다. 임의의 한 계(system)는 단일 물체일 수도 있고 또는 연
결된 물체들의 조합이 될 수도 있다. 이때 물체는 강체이거나 비강체일 수 있다.
그 시스템은 액체나 가스 같은 동일한 유체 질량이거나 또는 유체와 고체의 조합
일 수도 있다. 정역학에서는 평형상태에 있는 유체에 작용하는 힘도 연구하지만,
주로 정지상태에 있는 강체에 작용하는 힘을 연구한다.
일단 특정물체 또는 물체의 조합을 해석대상으로 결정하면, 이러한 물체 또는
물체의 조합은 모든 주위의 물체로부터 분리된(isolated) 단일물체로 취급한다. 이
러한 분리는 분리된 시스템을 단일물체로 고려하여 도식적으로 나타낸 자유물체
도(free body diagram)를 통해 이루어진다. 자유물체도는 제거될 다른 물체와의
역학적 접촉에 의해 작용하는 모든 힘을 표현한다. 만약 중력이나 자기력 같은 체
력(body force)이 무시할 수 없을 정도로 큰 경우에는 이 힘들도 반드시 자유물체
도에 나타내어야 한다. 이러한 자유물체도가 정확히 그려진 후에야 평형방정식을
도출할 수 있다. 이러한 자유물체도의 중요성 때문에 다시 다음과 같이 강조할 수
있다.
자유물체도는 역학적 문제 해결에서 가장 중요한 단 하나의 단계이다.
자유물체도를 그리기 전에, 먼저 작용하는 힘의 기본 특성을 인식해야 한다. 이
러한 힘의 기본적인 특성은 2.2절에서 힘의 벡터적 성질에 중점을 두어 자세히 설명
하였다. 이때 힘은 직접적인 접촉이나 혹은 원격 작용으로도 가해질 수 있으며, 또
한 힘은 고려 중인 물체에 대해 내적 또는 외적으로 작용할 수 있다. 또한 힘이 작
용하는 경우에는 반드시 반작용의 힘이 수반되며, 이러한 가해진 힘 및 반작용은
집중력이거나 분포력일 수도 있다. 힘 전달의 원리(principle of transmissibility)
는 강체에 대한 외부효과가 고려되는 경우에 한해서 힘을 미끄럼벡터로서 취급할
수 있음을 보여준다.
우리는 이러한 힘의 특성들을 바탕으로 분리된 역학적 시스템의 개념적 모델을
3.2계의분리및자유물체도111
개발하는 데 사용할 것이다. 이러한 개발된 모델들은 우리에게 적절한 평형방정식
을 세울 수 있도록 하여, 그 방정식들이 해석될 수 있도록 한다.
힘의 작용에 관한 모델링
그림 3.1은 2차원 해석을 위한 역학계에서의 힘의 작용에 대한 일반적인 형태를
보여준다. 각각의 예는 제거된 물체에 의해, 분리된 물체 위에 가해진 힘을 나타낸
다. 뉴턴의 제3법칙에 의해 모든 작용에 대하여 크기는 같고 방향은 반대인 반작
용의 존재를 주의 깊게 관찰해야 한다. 주어진 물체에 다른 부재를 접촉하거나 지
지하는 경우에 가해지는 힘은, 부재를 제거하였을 경우에 발생되는 물체의 움직임
을 방해하는 방향으로 항상 작용한다.
2차원 해석에서 힘의 작용에 관한 모델링
접촉의 유형과 힘의 원점 분리될 물체에의 작용
1. 유연한 케이블, 벨트, 체인 또는 로프
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
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M
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θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
2. 매끄러운 표면
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
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AA
W = mg
F = kx
Gm
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F = kxF
x
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M
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θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
3. 거친 표면
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
4. 롤러 지지
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
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θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
5. 자유로이 미끄러지는 안내홈(guide)
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
그림 3.1
112제3장평형
그림 3.1의 예 1에서는 유연한 케이블, 벨트, 로프 또는 체인이 부착된 물체에
대한 힘의 작용을 나타내었다. 로프나 케이블은 유연성 때문에 굽힘, 전단 및 압축
에 대한 저항이 없으므로, 오직 부착점에서 케이블의 접선방향으로의 인장력만 작
용한다. 케이블에 의해 부착된 물체에 가해지는 힘은 항상 물체로부터 멀어지는
2차원 해석에서 힘의 작용에 관한 모델링
접촉의 유형과 힘의 원점 분리될 물체에의 작용
6. 핀 결합
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
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M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
7. 박혀 있거나 고정된 지지
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
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θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
8. 중력
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
9. 스프링의 작용
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
Ry
Rx
Ry
Rx
R
AM
F
V
AA
W = mg
F = kx
Gm
Fx
F = kxF
x
F
xk
θ
M
θ
θ
θ
θ
T
T
N
N
N
N
F
R
N N
2 Rx Ry
M
FV
M
m
W mgG
k
RN
F
10. 비틀림 스프링의 작용
M = kT θ
kT
M
θ Mθ
kT
M = kT θ
kT
M
θ Mθ
kT
그림 3.1(계속)
3.2계의분리및자유물체도113
방향으로만 작용한다. 케이블의 무게에 비해 장력 T가 비교적 클 경우 케이블이
직선을 이룬다고 고려할 수 있다. 그러나 케이블의 무게가 장력에 비해 무시할 수
없을 정도로 큰 경우에는 케이블의 처짐은 중요하다. 이때 케이블의 장력은 길이
에 따라 그 크기와 방향이 변하게 된다.
예 2에서와 같이 표면이 매끄러운 두 물체가 접촉할 경우, 한 물체가 다른 물체
에 가해지는 힘은 접촉면에 대해 수직한 방향의 압축력으로 작용한다. 실제로 표
면이 완전하게 매끄럽지 않은 경우라도 실용적인 목적을 위해 많은 경우에 있어
이러한 가정을 하는 것은 타당하다.
예 3과 같이 두 물체의 접촉면이 거친 경우, 접촉력은 반드시 표면의 접선방향
에 대하여 수직하지 않다. 이 경우 접촉력은 접선성분(tangential component) 혹
은 마찰성분(frictional component) F와 수직성분(normal component) N으로 분해
될 수 있다.
예 4는 접선방향의 마찰력을 효율적으로 제거할 수 있는 역학적인 지지의 여러
형태를 도시한 것이며, 이때의 순수한 반작용력은 지지면에 대하여 수직이다.
예 5는 지지하고 있는 물체에 대한 매끄러운 안내홈(guide)의 작용을 보여준다.
이때 안내홈과 평형한 방향의 어떤 저항력도 존재하지 않는다.
예 6은 핀 결합의 작용을 설명한 것이다. 이러한 결합은 핀의 축에 대하여 수직
으로 작용하는 어떠한 방향의 힘도 지지할 수 있다. 일반적으로 이 작용은 두 직각
방향 성분으로 표현한다. 실제 문제에서 이 직각좌표 성분들의 정확한 방향은 요
소가 하중을 어떻게 받고 있는지에 달려 있다. 처음에 힘의 방향을 알 수 없을 때
는 임의로 방향을 가정하고 평형방정식을 도출한다. 이때 평형방정식의 계산 결과
값의 부호가 양(+)이면 가정한 힘의 방향이 적절하다는 것을 가리키고, 음(－)이면
처음 정해 놓은 방향과 반대 방향임을 나타낸다.
결합부가 핀에 대해 자유롭게 회전할 수 있는 경우에는 그 결합부는 힘 R만 지
지한다. 만일 그 결합부가 핀에 대해 자유롭게 회전하지 못한다면 힘 R뿐만 아니
라 저항 우력 M도 지지한다. 그림에서 우력 M의 방향은 임의로 표시한 것이나,
실제 문제에서는 요소가 어떻게 하중을 받고 있는지에 따라 결정된다.
예 7은 지지물에 박혀 있거나 혹은 고정되어 있는 가는 봉이나 보의 단면 전체
에 작용하는, 다소 복잡한 하중들의 합력을 보여준다. 마찬가지로 반력 F, V 그리
고 굽힘우력 M의 방향은 주어진 문제에서 하중이 어떻게 작용하는지에 따라 결정
된다.
가장 공통적인 힘들 중 하나로 예 8에서 보인 중력이 있다. 이 힘은 물체의 모든
질량요소에 영향을 주며, 따라서 그 요소 전체에 분포하여 작용한다. 모든 요소의
중력합은 그 물체의 무게인 W＝mg이다. 이 힘은 질량중심 G를 통과하여 작용하
며 지구에 부착된 모든 구조물에 있어서는 지구의 중심 방향을 향한다. 질량중심
© Friedrich Stark/Alamy
ⓒFriedrichStark/Alamy
제3장 첫 시작하는 사진 속 장치와 함께 고려되는
다른 형태의 카-리프트 장치
114제3장평형
G의 위치는 특히 대칭인 경우와 같이 보통 물체의 기하학적 형상으로부터 쉽게 구
해질 수 있으나, 그 위치를 쉽게 구할 수 없는 경우에는 계산이나 실험에 의해 결
정해야 한다.
유사한 것으로는 자기력이나 자기력의 원격작용을 들 수 있다. 원격으로 작용
하는 이런 힘들은, 이 힘들과 크기와 방향이 같은 힘을 직접 접촉으로 강체의 외부
에 가하는 것과 동일한 효과를 낸다.
예 9에서는 선형 탄성 스프링과 경화 혹은 연화 특성을 갖는 비선형 스프링의 작
용을 설명한다. 인장이나 압축을 받을 때 선형 스프링이 가하는 힘은 F＝kx로 구
자유물체도의 작성
물체 또는 시스템(계)을 분리시키는 자유물체도를 작성하기 위한 모든 절차는 다
음과 같은 단계를 거쳐 구성된다.
단계 1. 분리하고자 하는 시스템을 결정한다. 선택된 시스템은 보통 하나 또는 그
이상의 미지수를 가져야만 한다.
단계 2. 그런 다음, 완벽한 외부경계를 표현할 수 있는 도표를 작성함으로써 선택
된 시스템을 분리시킨다. 이 경계는 접촉하거나 끌어당기는(제거되었다고 생각되
는) 모든 다른 물체로부터 그 시스템의 분리를 뜻한다. 이 단계는 종종 모든 단계
중에서 가장 결정적인 단계이다. 우리는 항상 다음 단계로 진행하기 전에 물체가
완전히 분리되어 있는지를 명확히 해야 한다.
단계 3. 분리된 시스템에 대하여 접촉하거나 끌어당기는 물체를 제거함으로써 작
용하는 모든 힘은 분리된 물체의 도표상의 적절한 위치에 표시되어야 한다. 전체
경계를 따라 체계적으로 접촉하는 모든 힘을 확인하라. 또한 무게를 무시할 수 없
는 경우에는 체력으로 포함시킨다. 알려진 모든 힘은 적당한 크기, 방향 및 부호를
가지는 벡터화살표로 나타내라. 미지의 힘에 대해서는 임의의 크기와 방향을 가지
는 벡터화살표로 표시한다. 만일 벡터의 방향을 모를 때는 임의로 가정해도 된다.
이때 올바른 방향을 가정했다면 평형방정식을 통한 계산결과가 양(+)의 값을 나타
낼 것이고, 잘못된 방향을 가정했다면 음(－)의 값을 나타낼 것이다. 모든 계산을
행할 때 미지의 힘을 일관성 있게 표시할 필요가 있으며, 이 경우 평형방정식을 통
해 구한 해는 정확한 방향을 나타낼 것이다.
단계 4. 좌표축의 선택을 도표 위에 직접 표시하라. 편의상 적절한 치수와 함께 나
타내도 된다. 그러나 자유물체도는 외력의 작용에 대하여 주의를 기울이게 하는
것을 목적으로 하고 있으므로, 관계없는 과도한 정보로 도표를 산만하게 해서는
안 된다. 힘을 나타내는 화살표는 다른 화살표와 혼동되지 않도록 명확히 구별되
어야 한다. 이를 위해 색연필을 사용할 수도 있다.
KEY CONCEPTS
3.2계의분리및자유물체도115
해지며, 여기서 k는 스프링의 강성(stiffness), x는 중립 혹은 변형되지 않은 위치로
부터 측정된 스프링의 변위이다.
예제 10에서는 비틀림(또는 태엽장치) 스프링의 작용에 대한 예를 보여준다. 보
이는 것은 인장 스프링에 대한 예제 9에서와 같이 선형적인 것이다. 그리고 물론
비선형 비틀림 스프링도 존재한다.
그림 3.1에 나타낸 도식적 표현들은 그 자체로는 자유물체도가 아니며, 단지 자
유물체도의 작성 시 요구되는 요소에 불과하다. 학생들은 이들 아홉 가지 조건을
연구하고, 연습문제에서 그 요소들을 확인하는 훈련을 통해 올바른 자유물체도를
작성할 수 있어야 한다.
앞 글상자의 네 단계가 완전히 끝났을 때, 정역학 및 동역학에서 지배방정식을
적용하는 데 사용할 올바른 자유물체도가 그려질 수 있다. 계산에 있어서 얼핏 보
아 힘을 자유물체도에서 함부로 빼버리지 않도록 주의한다. 모든 작용-반작용력
효과의 신뢰성 있는 평가가 만들어질 수 있는 것은 모든 외력에 대한 완벽한 분리
와 체계적 표시를 통해서만 가능하다. 종종 언뜻 보기에는 결과에 영향을 미치지
않은 것 같은 힘들이 실제는 영향을 미치는 경우가 많다. 그러므로 가장 안전한 과
정은 명확히 무시할 수 없는 크기를 가지는 모든 힘들을 자유물체도에 반드시 나
타내는 것이다.
자유물체도의 예
그림 3.2에는 기구와 구조물(mechanism and structure)의 네 가지 예와 함께 각
각에 대한 정확한 자유물체도를 나타내었다. 이때 자유물체도를 명확히 나타내기
위해 차원과 크기는 생략하였다. 각각의 경우에 있어 전체 시스템을 단일물체로
취급하였으며, 따라서 내력은 표시되지 않았다. 그림 3.1에서 설명한 여러 가지 형
태를 갖는 접촉력의 특성은 접촉력의 작용에 따라 네 가지 예로 나타내었다.
예 1에서 트러스(truss)는 강체 골격을 이루는 구조요소들로 구성되어 있다. 따
라서 지지대로부터 전체 트러스를 분리하여 단일강체로 취급할 수 있다. 자유물체
도는 외력 P뿐만 아니라 A와 B점에서 트러스에 대한 반작용을 포함해야 한다. B
점에서 로커(rocker)는 수직력만을 지지할 수 있고, 이 힘은 구조물의 B지점으로
전달된다(그림 3.1의 예 4). A점에서의 핀연결(그림 3.1의 예 6)은 트러스에 수평
과 수직 성분의 힘을 지지할 수 있다. 만약 트러스의 자중이 외력 P 및 A와 B점에
서의 반작용에 비해 무시할 수 없는 경우에는, 각 부재들의 무게는 자유물체도상
에 외력으로 표시되어야 한다.
이와 같이 비교적 간단한 예에서, 수직성분 Ay는 B점에서 트러스가 시계방향으
로 회전하는 것을 방지하기 위하여 아랫방향으로 작용해야 하는 것을 쉽게 알 수
있다. 또한 수평성분 Ax는 P의 수평방향성분의 영향으로 인해 트러스가 오른쪽으
116제3장평형
로 움직이지 못하도록 왼쪽 방향으로 작용해야 한다. 따라서 이러한 단순트러스
에 대한 자유물체도를 구성할 때는, 지점 A에 의해 트러스에 가해지는 힘에 대한
각 성분의 정확한 부호를 쉽게 인식할 수 있기 때문에 도표 위에 정확한 물리적 의
미를 나타낼 수 있다. 그러나 올바른 부호를 직접적인 관찰에 의해 쉽게 알아낼 수
없을 때에는, 그것들을 임의로 지정하고 이러한 지정의 옳고 그름은 계산값의 대
수적인 부호에 의해 결정하도록 한다.
예 2에서 외팔보는 벽에 고정되어 3개의 외력을 받고 있다. 보의 부분은 A점에
자유물체도의 예
역학적 시스템 분리된 물체의 자유물체도
1. 평면 트러스
A B
P
Ax
F3 F2 F1
Ay By
BxBy
P
y
x
y
x
y
x
y
x
A m
F3 F2 F1
FM
M
B
AP P
N
V
P
W = mg
W = mg
W = mg
A
m
P
A Bm
M
Bx
By
P
Ay
A B
P
Ax
F3 F2 F1
Ay By
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P
y
x
y
x
y
x
y
x
A m
F3 F2 F1
FM
M
B
AP P
N
V
P
W = mg
W = mg
W = mg
A
m
P
A Bm
M
Bx
By
P
Ay
2. 외팔보
A B
P
Ax
F3 F2 F1
Ay By
BxBy
P
y
x
y
x
y
x
y
x
A m
F3 F2 F1
FM
M
B
AP P
N
V
P
W = mg
W = mg
W = mg
A
m
P
A Bm
M
Bx
By
P
Ay
A B
P
Ax
F3 F2 F1
Ay By
BxBy
P
y
x
y
x
y
x
y
x
A m
F3 F2 F1
FM
M
B
AP P
N
V
P
W = mg
W = mg
W = mg
A
m
P
A Bm
M
Bx
By
P
Ay
3. 보
A B
P
Ax
F3 F2 F1
Ay By
BxBy
P
y
x
y
x
y
x
y
x
A m
F3 F2 F1
FM
M
B
AP P
N
V
P
W = mg
W = mg
W = mg
A
m
P
A Bm
M
Bx
By
P
Ay
A B
P
Ax
F3 F2 F1
Ay By
BxBy
P
y
x
y
x
y
x
y
x
A m
F3 F2 F1
FM
M
B
AP P
N
V
P
W = mg
W = mg
W = mg
A
m
P
A Bm
M
Bx
By
P
Ay
4. 1개의 단위로 해석하는 연결된 강체계
A B
P
Ax
F3 F2 F1
Ay By
BxBy
P
y
x
y
x
y
x
y
x
A m
F3 F2 F1
FM
M
B
AP P
N
V
P
W = mg
W = mg
W = mg
A
m
P
A Bm
M
Bx
By
P
Ay
A B
P
Ax
F3 F2 F1
Ay By
BxBy
P
y
x
y
x
y
x
y
x
A m
F3 F2 F1
FM
M
B
AP P
N
V
P
W = mg
W = mg
W = mg
A
m
P
A Bm
M
Bx
By
P
Ay그림 3.2
3.2계의분리및자유물체도117
서 분리시키고자 할 때, 벽에 의해 보에 작용하는 반력들이 반드시 포함되어야 한
다. 이들 반력은 그림에 보이는 것처럼 보의 단면에 작용한다(그림 3.1의 예 7). 아
랫방향으로 작용하는 힘을 막기 위한 수직력 V가 표시되고, 또 오른쪽으로 작용하
는 힘에 대해 균형을 유지하기 위한 인장력 F가 포함되어야 한다. 또한 A점에 대
한 보의 회전을 막기 위한 반시계방향의 우력 M도 필요하다. 보의 무게 mg는 질
량중심을 지나도록 표시한다(그림 3.1의 예 8).
예 2에서 보인 자유물체도에서는 힘의 수직성분 V(전단력)와 수평성분 F(인장
력)로 나뉘는 등가힘-우력계(equivalent force-couple system)를 사용하여, 보의
절단면에 실제로 작용하는 다소 복잡한 힘계를 표현하였다. 보에서 우력 M은 굽
힘모멘트이다. 이제 자유물체도는 완성되었으며, 보는 6개의 힘과 1개의 우력에
의해 평형상태를 유지하고 있음을 보여준다.
예 3에서 무게 W＝mg는 미리 위치를 알고있는 것으로 가정된 보의 질량중심에
작용하는 것으로 나타내었다(그림 3.1의 예 8). 모서리 A에서 보에 작용하는 힘은
보의 매끄러운 면에 수직응로 작용한다(그림 3.1의 예 2). 이 힘의 작용을 명확히
이해하기 위하여, 약간 둥글게 보이는 접촉점 A를 확대하여 매끄럽다고 가정한 보
의 직선 표면 위로 둥근 면에 작용하는 힘을 고려해보자. 만약 모서리에서의 접촉
면이 매끄럽지 못하다면, 접선방향의 마찰력이 생길 것이다. 힘 P와 우력 M 외에
도 보에는 B점에 핀연결이 있으며, 이는 x와 y방향 힘의 성분을 보에 발생시킨다.
이때 이들 성분의 양(+)의 부호는 임의로 정해진다.
예 4에 나타낸 바와 같이 분리된 전체 기구에 대한 자유물체도는 주어진 하중 P
및 mg를 안다는 가정하에 3개의 미지량을 포함한다. 질량 m에 의해 끌리는 케이
블을 고정하기 위한 여러 가지 다양한 내부 구성 중 어느 한 가지도 전체 기계 장
치의 외부반력에는 영향을 주지 않도록 구성할 수 있으며, 이러한 사실은 자유물
체도에 의해 명백히 나타내어져 있다. 이와 같은 가상의 예는 강체 조립체 구성 부
재 간에 작용하는 내부의 힘이 외부반력에는 영향을 주지 않는 것을 보여준다.
자유물체도는 다음 절에서 설명하는 평형방정식을 도출하기 위해 사용된다. 이
들 평형방정식을 풀었을 때 계산된 몇 개 힘의 크기는 0이 될 수도 있는데, 이는
가정된 힘이 존재하지 않음을 뜻하게 된다. 그림 3.2에서 보인 예 1의 경우, 트러
스의 특정한 형상과 작용력 P가 특정한 크기, 방향으로 작용하는 경우에 있어서
반작용 Ax, Ay 혹은 By 중 어느 값은 0이 될 수도 있다. 보통 간단한 조사만으로 0
이 되는 반력을 찾기는 쉽지 않으며, 평형방정식을 풂으로써 찾을 수 있다.
유사한 설명이, 계산된 힘의 크기가 음의 부호를 가지는 경우에도 적용된다. 이
런 경우 실제 작용하는 힘의 방향은 가정된 방향과 반대임을 나타낸다. 예 3에서
가정한 Bx, By의 방향 및 예 4에서 가정한 By의 방향을 자유물체도에서 나타내었
다. 그리고 가정한 방향이 적절한지는 실제 문제에서 계산을 통해 구해진 힘의 대
118제3장평형
수적 부호가 양(+)인지 음(－)인지에 따라 판별된다.
고려하고자 하는 역학계의 분리는 수학적인 모델의 수식화 과정에서 매우 결정
적인 단계이다. 올바른 자유물체도를 구성하기 위한 가장 중요한 관점은 자유물체
도에 포함되어야 할 부분과 배제되어야 할 부분에 대한 명확한 결정을 내리는 데
있다. 이러한 결정은 자유물체도의 경계가 분리된 물체 혹은 물체계의 완전한 횡
선(traverse), 즉 경계 위의 임의의 한 점에서 출발하여 다시 같은 점으로 돌아오는
폐경계를 나타낼 때만이 명확해진다. 이때 폐경계 내에서의 물체는 분리된 자유물
체이다. 그리고 접촉하는 물체를 제거함으로써 작용하는 모든 접촉력과 경계에 전
달되는 모든 힘들은 자유물체도에 고려되어야 한다.
다음에 나오는 자유물체도에 대한 연습문제들은 자유물체도를 작성하기 위한
훈련을 위해 주어졌다. 이러한 훈련은 다음 절에서 힘의 평형원리를 적용할 때 자
유물체도를 직접 사용하기 위해 도움이 될 것이다.
Purestock/Inmagine.com
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보이는 것처럼 복잡한 풀리시스템일지라도 체계
적 평형 해석으로 쉽게 취급된다.
3/A 5개의 다음 각 예제들에서 분리된 물체는 왼쪽 표에, 분리된
물체의 미완성 자유물체도(FBD)는 오른쪽에 보여진다. 각
경우에 있어서 완전한 자유물체도를 완성하기 위해 필요한
힘들은 무엇이든지 보충하라. 물체의 무게는 다른 언급이 없
으면 무시한다. 크기와 수치값들은 단순화를 위해 없앤다.
자유물체도에 대한 연습문제
물체 미완성 FBD
1. A에서 핀 지지로 질량 m을 지지
하는 벨 크랭크 m
A
O
A
B
A
OO
A
B
T
A
mgT
Pull P P
FO
m mg
mg
B
B
ALoad L
B
AL
m
A
O
A
B
A
OO
A
B
T
A
mgT
Pull P P
FO
m mg
mg
B
B
ALoad L
B
AL
2. O에서 토크를 샤프트에 작용시
키는 조절 레버
m
A
O
A
B
A
OO
A
B
T
A
mgT
Pull P P
FO
m mg
mg
B
B
ALoad L
B
AL
m
A
O
A
B
A
OO
A
B
T
A
mgT
Pull P P
FO
m mg
mg
B
B
ALoad L
B
AL
3. 붐 OA(질량 m에 비해 작으므로
무시함), O에서 힌지로 지지되
고 B에서 감아 올리는 케이블에
의해 지지된 붐
m
A
O
A
B
A
OO
A
B
T
A
mgT
Pull P P
FO
m mg
mg
B
B
ALoad L
B
AL
m
A
O
A
B
A
OO
A
B
T
A
mgT
Pull P P
FO
m mg
mg
B
B
ALoad L
B
AL
4. 매끄러운 수직벽에 기대고 거친
수평면 위에서 지지되는 질량 m인 균일한 나무 상자
m
A
O
A
B
A
OO
A
B
T
A
mgT
Pull P P
FO
m mg
mg
B
B
ALoad L
B
AL
m
A
O
A
B
A
OO
A
B
T
A
mgT
Pull P P
FO
m mg
mg
B
B
ALoad L
B
AL
5. A에서는 핀 연결로 지지되고 B에서는 매끄러운 홈 내의 고정
핀에 의해 지지되어 하중을 받
는 브래킷
m
A
O
A
B
A
OO
A
B
T
A
mgT
Pull P P
FO
m mg
mg
B
B
ALoad L
B
AL
m
A
O
A
B
A
OO
A
B
T
A
mgT
Pull P P
FO
m mg
mg
B
B
ALoad L
B
AL
그림 3/A
자유물체도에대한연습문제119