¿Es la Matemáticaun lenguaje?’

DANIEL QUESADA

(UniversidadAutónomade Barcelona)

Es sorprendenteelnúmerode personasdedicadasa la cienciaquedanpor presupuestauna respuestaafirmativaa la preguntadel título. Estaacti-tud es,me parece,especialmentepronunciadaentrelos fisicos.Creoqueesfácil comprobarcómoellosse sorprendendequealgoasipuedapreguntar-se seriamente(«esperemosquesí»; «¿quéotra cosapuedeser»).

Sin embargo,diversascosaspuedenestarsepreguntandoal usarla ora-ción interrogativa«¿esla Matemáticaun lenguaje?».Incluso,comovere-mos.puedeestarseapuntandoaunacuestiónprofundaacercade la natu-ralezade la Matemáticay de las capacidadescognitivasrelacionadasconella queestátotalmenteabiertaen laactualidad.Voy aquía abordartodasesasposiblescuestiones(al menostodaslas quese me ocurren)sucesiva-mente.

1. Lenguajey teoría

Para empezarnecesitamosuna cierta noción de lenguaje. No unanociónmuy técnicao precisa.Bastaconreconocerqueun lenguajetiene:

i) un conjuntode itemsbásicosdiscretos,es decir, un vocabulario;u) unasintaxis,esdecir, talesitemstienenun determinadopodercombi-

natorio, no vale cualquiersecuenciade ellos (esterasgo diferencia,porejemplo, un lenguajede un sistemade numeración;si admitimoscual-quier secuenciade unosy ceros,pongamospor caso,no tenemosun len-guaje);

di) determinadassecuenciasdeesositems,entrelas queestánsintácti-camentebien formadastienenun «alcancesemántico»,es decir, se usan

1. Esteartículoes unaversiónrevisaday ligeramenteampliadade unacharladadaen la UniversidadAutónomadeBarcelonaen la primaverade 1989.y partede la «lige-rezaexpositiva»de la versiónhabladasepodrádetectarenla versiónescrita.Agradez-co a Walter Meyersteiny aJosepMontserratTorrensel tema,el impulsoy la oportuni-dadpara abordaraquél.

AniMa de Filosofla. 3Y época, vol. ív (lOO!). nÚm. 5. pógs. 31-41 Editorial Complutense.Madrid

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para hablar sobre objetos,en general distintos a los propios items osecuencias2

A la nociónde lenguajeperteneceesencialmentelade asercióncorrec-ta o incorrecta,verdaderao falsa (posiblesdistincionesentre estos dosparesde nocionesno sonaquípertinentes).Es decir,a un lenguajeperte-necentambiénlos enunciadosfalsos.Sin embargo,cuandohablamosdelaMatemáticanos referimosal conjuntode proposicionesquela constituyen,los teoremasde las teoríasmatemáticas;y éstos,segúncreemos,sontodosellosverdaderos.

Lo quetenemosaquíes el contrasteentreun lenguajey unateoría. Unlenguaje(por ejemplo,un lenguajenatural)consta,entreotrascosas,deunconjunto de enunciados,oracionesquepuedenser verdaderaso falsas.Una teoría,en especialunateoríamatemática,constade un conjuntodeenunciadoso proposicionesexpresadosen unlenguajequesonverdaderos(o esoes lo queesperamos).Lo decisivoen elcontrastees queno «expulsa-mos»de un lenguajeun enunciadoporelhechodequeseafalso,y encam-bio silo «expulsamos»de unateoría en esemismocaso.

Por lo tanto,en el sentidomásinmediatode los términosde la pregun-ta,unateoríamatemáticano constituyeun lenguaje,ni tampocoel conjun-to de talesteorías;en estesentido,la Matemáticano es un lenguaje,y elloes,además,obvio.

2. Lenguaje y vocabulariosespeciales

La respuestaanterior,aun siendoverdaderay clarificadora frente acierto tipo de confusiónelemental,difícilmentepodrásatisfacera los quese hacenla preguntao los quepresuponenunarespuestaverdadera.Lomásprobablees quesientanque la «verdaderacuestión»quedasin tocaren el comentarioanterior.Puesbien,quizáestemosahoraen condicionesde llegar a unanuevay mejor formulación:«¿Esel lenguajematemáticoun lenguajeespecialdiferentedel lenguajenatural?».

La respuestaa estapreguntadebeser,segúncreo:por un lado—el tri-vial o menosinteresante—sí, por el otro másbien parecequeno.

Comencemospor el lado delst Es obvio queen Matemáticasse utili-zanunaseriede términosespeciales:raíz cuadrada, logaritmo, polinomio,transformación lineaL función trigonométrica, vector, nómero real, integraLecuación diferenciaL espaciode Hilbert, curva de Gaus& seriede Fourrier. E

2. Lo anterioresun ejemplode«lenguajeexternamenteconcebido»o «lenguaje-E»en la terminologiade CHOMSKY: cf Knowledgeof Language.pp. 17-20.y «Cambiosdeperspectiva sobre el conocimiento ye1 aso del lenguaje>’, p. 18. Contrariamente a Chomskycreo queésta(cuandose la concibledebidamente)es la nocióncorrectade lenguaje.Paraunadefensade estaopinión y unaconvencentecríticade la nociónchornskyanade lenguajeremito aGARCÍA-CARPINTERO: Mente y Lenguaje.

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igualmenteobvio es queunaseriedeténninosquela Matemáticacompar-teconel lenguajenaturaltienenun significadoquetienemuypocoo nadaquever con sus homónimosen éste: radio, parabola, c¿ngruencia,función,límite, grupo, campo, anillo, retículo, matriz.

Pasemosahora a ver las razonesdel no. A veces,sobre todo en loslibros malosde filosofía (o hastaen pasajesmalosde libros aceptablesobuenos),se hablacomo si el lenguajedelas teoríasmatemáticasfueraunlenguajeformal dela lógica.Estoquerríadecirqueun lenguajematemáti-coes,porun lado,un lenguajeno interpretado(cuyospredicadossons¡m-plementeletrasde predicadoa las quehayqueproporcionarunainterpre-tación)y por otro un lenguajeconunasintaxiscomola de un lenguajedela lógica,especialmenteel lenguajede primer orden.

Estoes. naturalmente,falso. Bastaabrirun libro de Matemáticasparacerciorarsedeello. Esoslibros estánescritosen inglés, francés,alemán,etc.En todocasoun lenguajeinterpretadoyconla sintaxisdeun lenguajenatu-ral, aunqueabundenciertosgiros queen el hablacomúnno son (tan) fre-cuentes.

Valorandopueslaspeculiaridadesdelvocabularioy teniendoen cuen-ta lo queacabamosde reconocer,no parecequeestemosllegandoa unaconclusiónespecialmenteexcitante.Parecequeel lenguajematemáticotie-ne un statussimilar al lenguajegastronómico.En efecto,tambiénen esteúl-timo es abundantela«terminologíatécnica»:reogado, sofrito, estofado,pae-lla. budín,pastaquebrada,mayonesa,bechamel,salsaholandesa,alioli, cremapastelera.Además,tambiénencontramostérminosutilizadosenun sentidodistinto a sus homónimosdel lenguajecomún:guarnición, timbal, chateau-briancí Por último, puedeañadirseque, análogamenteal casodel vocabu-lario gastronómico,en la Matemáticatampocoes clarala fronteraentreellenguajeespecializadoy el común,comolo ponende manifiestotérminoscomo:nómero,suma,recta, curva, paralela, triángulo, pirámide, círculo, ángu-lo, permutación.Y hasta:finito e infinito.

Vista estasituación,parecequedeberíamosserremisosen darunares-puestaafirmativa a la pregunta(«¿esel lenguajematemáticoun lenguajeespecialdiferente del lenguajenatural?»),pues ya hemosvisto que lanoción de lenguajeabarcaalgo másqueun vocabulario.

3. Replanteamiento de la cuestión

Resumamoslas conclusionesaquehemosllegadohastaaquí.La Maté-máticano es unlenguaje,en elsentidode quelaprimeraesun conjuntodeteoríasy unateoríase contrapone,en un sentidoclaro,aun lenguaje.Unateoríase formulaen un lenguajey no perteneceal conceptodeteoríael quelos enunciadoso proposicionesquela componenseanalgunosverdaderosy otros falsos,cuandosí esalgoconstitutivode lanociónde lenguajeel quepodamoshacerasercionesverdaderasy asercionesfalsas.

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Tampocopareceser el lenguajede la Matemáticaun lenguajeespecialquepocotienequever conel lenguajenatural.Segúnparece,«el»lenguajede las teoríasmatemáticasno existe independientementede las lenguasnaturales(essintácticamenteinglés, francés,alemán,español...).Porlo vis-to hastaaquí,únicamenteesclaroquetieneun componenteterminológicoespecializado,aunqueincluso en este respectola fronteraconel lenguajecomúnes completamentenítida.En definitiva, si no decimosquela gas-tronomíaes un lenguajeporel merohechode quetengaunaterminologíaespecializaday técnica,parecequetampocodebiéramosdecirquela Mate’mática es un lenguaje.Y estoa pesarde quetal componenteterminológicoseamuchomayoren la Matemáticaqueen lagastronomía.No soncuestio-nesde cantidadlas queaquíse ventilan.

Lasconclusionessonhastaaquí,aunquecorrectas,másbienpocointe-resantes,tantodesdeun punto de vista científico como filosófico.

¿Esestotodo?Cuandoestamosanteunacuestiónquepersonasinteli-gentessuscitano conclusionesquepersonasinteligentessostieneny nosparecequelacuestiónes pocointeresanteo que,en todocaso,su respuestaes bastanteobvia y ademáscontrariaa la que tales personastienen porcorrecta,lo metodológicamenteadecuadoes considerarcuidadosamenteantecuál de las dos situacionessiguientesnos encontramos:

i) la preguntay/o su errónearespuestausualse basanen malentendi-dos;

u) la pregunta,aunqueseguramenteno bien formulada,apuntaa unacuestiónimportantey profundacuyasoluciónes ciertamentecomplicada.

Puesbien,en el presentecasohay,a mi parecer,partede las doscosas.Creo que,entrelos quesehacenlasanteriorespreguntas(y aúnmásentrelos quedanpor supuestaunarespuestaafirmativa)haygeneralmenteunbuennúmerode malentendidosy confusiones.Perotambiéncreoquetraséstoslateunagenuinacuestiónde interésfilosófico-científico. El próximopasoes indagarcuál puedaser ésta.

Comohe dicho, ala nocióndelenguajepertenecen(comomínimo)trescomponentes:vocabulario,sintaxisy semántica.Hemosvisto quelos dosprimerosno nosllevanaunarespuestaafirmativadela preguntaoriginalo de la reformulaciónrealizadaposteriormente.Es hora de prestaraten-ción al componentesemántico.

El nuevoenfoquede la cuestiónprovienede reflexionarsobreciertocarácteTdistintivo —en aparienciacuandomenos—de las proposicionesmatemáticas.Esteestribaen quelas proposicionesmatemáticassonnece-sarias es decir,si verdaderas,necesariamenteverdaderas.Al menosestoesloquela mayoríade los filósofosy matemáticoshanpensadosobreellas.

Que son necesariamenteverdaderasquiere decir queno podríanserfalsas(lo último, claroestá,es sólounaparáfrasis).Pero.¿dedóndelesvie-ne a las proposicionesmatemáticassu carácternecesario?¿porqué no

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podríanser falsas?Puesbien,bienpudieraserquela cuestiónrealmenteinteresanteque late tras formulacionesquizás ingenuaso inadecuadassurjadeun intentodecontestarestaspreguntasdeunamaneradetermina-da: las proposicionesmatemáticas«tratande»signos,y por tantoson,porsu «materia». lingúísticas3.

Esta idea es muy sorprendente.¿No es obvio que las proposicionesmatemáticastratande entidadesabstractas,idealessi se quiere,extralin-gúisticas?Entidadescomonúmeros,figurasgeométricas,«áreasenel lími-te» o estructurasde diversostipos. ¿En quésentido,pues,cabríasostenerque tratande signos’?

Aquí quisiera reformular estosinterrogantesdandouna forma másampliaa la pregunta.La interesantecuestiónquenosocuparáen lo sucesi-yo es:

¿1-layalgún sentidoprecisoen queestemosjustificadosen afirmar quelas proposicionesmatemáticasson«verdadeslinguisticas»o, cuandomenos,verdadesconceptuales?

4. El programa finitista

El intento históricomásserio dejustificar unarespuestaafirmativa aestapreguntaes el programafinitista de Hilbert. Portanto,deberéhablarahorade esteprograma.Me limitaré en adelanteexclusivamentea la Arit-mética,y ello por variasrazones.Enprimer lugar,porquees allí dondeelprogramaexperimentóun mayordesarrollo.Pero,en segundolugar, tam-bién porqueel programamismo implicaba que la resoluciónde la cues-tión en la Aritmética era crucial parala resoluciónen otrasáreasde laMatemática.En el análisisse deberíaprocederbasándoseen las construc-cionesaritméticasy en unapartede la teoría deconjuntos.y la extensióndel programaa la geometríadeberíaproceder,supongo.por la vía de lageometríaanalítica(ignoro cómo los proponentesdel programapensa-banaplicarlo al álgebra).

El programade Hilbert tieneunamotivación epistemológicaquenos esmuy familiar en la historiade la filosofía. Es un programamotivadopordudas«cartesianas»,es decir,dudasradicales,excesivas,porcuantobus-cancerteza,garantíadeverdad,absolutaseguridadepistémica.Lasparado-jasdela teoríade conjuntos,descubiertasenlos últimosañosdel sigloXIXy principios del XX eran para Hilbert indicio de lo que puedeocurrircuandométodos(sobretodométodosde prueba)quesonadecuadospara

3. Deboestasugerenciaa Manuel García-Carpintero.Tambiénhede agradecerleun buen númerode aclaracionesy sugerenciassobre lo que se trataen el restodelartículo. En particular,me he apoyadoen la exposicióndelprogramafinitista hilber-tiano queél haceen escritosinéditos.

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dominiosfinitos se utilizan tambiénen dominios infinitos o transfinitos,en casos,pues,paralos queno fueronpensados.

Estasituaciónes análogaa laquenosexplicaKant con respectoa lasideasde la razón, las cuales,extrapoladasa partir de los ámbitosen queproducenjuicios razonablesdanlugara antinomias.(Estano es,en abso-luto, la únicaanalogíaquepuedehacerseentrelasideasdeHilbert y las deKant).

Puesbien,el programade Hilbert se proponíademostrarla correcciónde los enunciadosmatemáticos(en primer lugarlos aritméticos,mostran-do quelo quepuedeprobarseen matemáticases verdadero,y ello apoyán-doseen la diferenciaciónentre:

a) Enunciadosconcontenidosemántico(convalorveritativo),a saber,enunciadosfinitistas demostradosmediantemétodosconsideradossegu-ros, los métodosfinitistas;

b) Enunciadosidealessincontenidosemánticoperoquecumplenunaútil función instrumentalenla pruebade los enunciadosconcontenidoenla matemáticatal como se la practicausualmente.

De estemodo,el programade Hilbert teníacaracterísticasde un pro-grama instrumentalista,es decir,el tipo de programade interpretaciónfilo-sófica de los enunciadosde las teoríascientíficas segúnel cual éstos nosonrealmenteenunciadosdelos quequepainquirir porsuverdado false-dad, sino queson «herramientasde cálculo»,esto es, sirvencomoútilesparaderivarverdaderosenunciadosconcontenidosemántico(enunciadosobservacionales,en el casode las teoríasfísicas).Ahorabien,el programaera moderadoen ese sentido,porquese admitequehayverdaderosenun-ciados—los del tipo a)— que formanpartede las teoríasmatemáticas.

En elcasodel programade Hilbert, los enunciadosidealessonprecisa-mentelos enunciadosquedealgúnmodo contienenreferenciasa lo trans-finito. Estoscarecenpuesde valor veritativo,no son ni verdaderosni fal-sos;nos servimosde ellos—por ejemplo,los enunciadosdela Aritméticade Peano(ADP en adelante)—esencialmentepor comodidad.

Parademostrarqueestosenunciadossoninocuos,queno puedencon-ducimos acontradicciones,es precisodemostrarla correccióndel modoen que se derivanutilizando los métodosde pruebaseguros,los métodosfinitistas.

El programadeHilbert erahastacierto puntoun programaabiertoquedejabasinprecisarcuáleseranexactamentelos enunciadosfinitistasy losmétodosdepruebafinitistas. Porun lado,es claroquelos primeros inclu-yen ecuacionesentrelos valoresde determinadasfunciones:

4 + 7 = 11 8 x 52200

Hilbert describiólos enunciadosfinitistasdemodo quese incluíanlosqueexpresanproposicionesdecidiblesacercade configuracionesfinitas.

¿Esla Matemáticaun lenguaje? 37

Perono estabaclaroquéfuncioneseranadmisibles.Piénsesequelos con-ceptosde decidibilidady de funciónrecursivasólo fueron precisadosconposterioridada la formulación del programa,y ello precisamentecomoresultadodel trabajomotivadoengranparteporsurealización.Es porellopor lo queeraun programaabiertoen cierta medida.

Aún más,ni siquieraeraen principio clarolo queun finitista habíadeentenderporfunción. Todos los conceptosde la Aritmética y. por exten-sion, de la Matemática,debíanser revisados.

Lasdificultadeseranrealmenteextraordinariaspuesentrelos enuncia-dos con contenido semántico(los que tienen valor veritativo) debenincluirse,si es queha dehaberunapartedela Aritméticaquetengatal con-tenidoconun mínimo deinterés,generalizacionesuniversalesdeenuncia-dos decidiblescomolos anteriores.Consideremosun ejemplo:

(1) Vx Vy (x+y=y+x)

La dificultad que este enunciadoplanteabaa un finitista es que nopodíainterpretarsecomolo hacemoshabitualmente,es decir,suponiendoquehacereferenciaa la totalidad(infinita, claroestá)delos númerosnatu-rales.

Con laventajaquenosda la miradaretrospectiva,,podemosindicardelmodo siguiente—siquieraseavagamente—elcamino(o, al menos,unodeellos) que se proponíarecorrerel finitista pararealizarese dificil progra-ma.

El puntode partidaera ontológicamenteel siguiente:los enunciadosfinitistas, en último término,«hablande»signosy configuracionesfinitas designos, tomadoséstoscomo tipos, no comoejemplares.La materiade laAritmética, segúnesto,seríansignos.Ciertassecuenciasfinitas de signos-tipo~ podíansertomadoscomola secuenciade los númerosnaturales.Porejemplo,la secuencia:

La seguridadepistemológicade los métodosfinitistasprovendríapreci-samentede que sus objetosson «representablesa la intuición»,dicho enterminologíakantiana,es decir, representacionesindividuales.

Unafunción en el sentidotinitísticamenteaceptablede A en B, es decirdel tipo de objetoA en el tipo de objetofi es un procedimientoparacons-truir un objetodetipo B apartirde un objetocualquieradetipo A. Funcio-nesaceptablesfinitísticamenteseríanla identidad, las funcionesconstantesy la composición(funcionescompuestas).

4. Hilbert hablaavecescomosi hubieraqueconsiderarlos signoscomoejemplaresy no comotipos.peroestoes descabellado(1 ¡noseríaen ningún casoun númerodis-tinto de ¡ ¡ Y

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Parael casodel tipo de objetosN, el de los númeroso, lo queera lomismo,secuenciasfinitas designos,laconstruccióncentralseríala llama-da recursiónprimitiva5.

Podríadarseentoncessentidofinitista (esdecir, sin suponerla totali-dadinfinita delos númerosni ningunaotra totalidadinfinita) a afirmacio-nescomo(1)o, másen general,a enunciadosquerespondanal esquema:

Vx(p(x) -.

En efecto,unaproposiciónde esetipo es verdaderasi, dadoun objetoadel tipo N cualquieraparael quepodamosprobar9(0), podemosconstruirunaprueba‘Y(a) de por los métodosde construcciónadmitidos.

No es ésteel lugarparaentraren mayoresdetallessobreel contenidomatemáticodelprogramafinitista. Debemospreocuparnosmásbiende sudestino6.

Con algunasmatizacionespuededecirsequeelprogramadeHilbert, talcomoéstese concebíaoriginalmente,fue refutadoporel teorema(o losteo-remas)de incompletudde GÉidel.Lasmatizacionessonimportantes,pero,en todocaso,lo cierto es queel interésen el programade Hilbert decayóespectacularmentedespuésde 1930 (cuandoGódelprobó susteoremas).

Sin embargo,comohe dicho,el programade Hilbert fue el intentomásserio dejustificar unarespuestaa la pregunta:¿sonlingúísticaso concep-tuales las verdadesmatemáticas?Y aúnquisieraaquíhaceruna afirma-ción másfuerte:tal programaha sido el intentomásseriodeindicar el ca-mino por el quela Matemática,supuestoreino de verdadeseternasacer-cadeentidadesu objetosideales—comolos números—,podríareconocer-se como fruto de la interacciónde un sujeto con capacidadescognitivascomo las del ser humanoen suentorno.

Porello, aunqueel programaoriginal de Hilbertesté refutado(vamosasuponerque lo está)alguna versión del programadebeseguiren vigor sihemosde comprenderlas Matemáticasdesdeun puntodevista naturalis-ta.A esterespectoes convenienterecordarlas penetrantespalabrasde Ber-trandRussell:«La doctrinafinitista, si es quehade serrefutada,sólo pue-de serlopor unadoctrinadel conocimientocompleta>0.

Voy aquía hablarúnicamentededosdelascuestionesimplicadasen la

5. Paraestanoción consúltese,por ejemplo, el capítulo 7 de Booi.os y JEFFREY:~7omputabilityand Lote.

6. Paraunaexposiciónelementaldel programapuedeconsultarseel capítulo4 dcKÓRNER: Introducción a lafilosofla de la matemática. Unaexposicióncríticade los pro-blemasfundamentalesdel programamuy iluminadoraes la deTAIT, W. en«Finitism».Sobrelas realizacionesdel programay su estadoactualcÉ SIEG. W.: «I-Iilbcn ProgramSix¡y Years Laten> y SIMPsoN, 5.: «Partial RealizationsofRilberísProgram».Una impor-tantey recientedefensadel programaes la deDETLEF5EN enHilberis Program.

7. Introduccióna la segundaedición (1937)de Principlesof Mathemaíics,p. VII.

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posibilidadde reformular de manerafructíferael programafinitista. Enesta seccióntrataré brevementedel problemade «rodear»el escollo deGódely enla siguienteabordaréla cuestiónde si los númerossonobjetoso de si son representacionesindividuales.

Respectoa la primera cuestión,supongamosqueconcretamosasí elprogramafinitista:

— SeaADP (la Aritmética de Peanoen primerorden)el sistemaidealmínimo parala formalizaciónde las pruebasde la Aritmética.

— SeaARP (la Aritmética recursivo-primitiva)la teoría queformalizael razonamientofinitista. ARP actúa como metateoríacon respectoaADP.

¿Refutaentoncesel teoremade Gódelelprogramafinitista?El segundoteoremade Gódelestablece,aplicadoal presentecaso,queun cierto enun-ciado queafirmala consistenciade ADP no es demostrableenADP. Conciertos supuestosadicionalesestablecequeningúnenunciadoqueafirmela consistenciade ADP es demostrableen ADP.

En estasegundaversiónmásfuerteel teoremarefutael programafmi-tista. En efecto,el programafinitista —en laversiónenunciada—pretendedemostrarla consistenciade ADP en ARP. ComocualquierteoremadeARP (metateoría)es expresable(y demostrable)medianteun teoremadeADP (teoría),si hubieraun teoremadeARP queexpresarala consistenciade ADP habríaunoen ADP quedemostraríaesaconsistencia,contraelteoremade Gódel (en la versión fuerte).

Una posible escapatoriaconsisteen tratar de razonarpor qué no seaplicaríanal presentecasolas condicionesquehacenpasarde la versiónmásdébil a la másfuertedel teorema8.Otrasalidaposibleseríaencontrarrazonesparapensarqueel sistemaidealmínimo es «menospotente»queADP, unaAritmética reducidapor consideracionesde complejidadcom-putacional;el problemaseriaentoncesdeterminarquélimitacionesdeestetipo podríanestaraquíjustificadas.

5. Reformulación de programas: la complejidad de una respuesta

Pasemosahoraala segundacuestión.Comohemosdicho,Hilbert con-cibió los númeroscomorepresentacionesindividuales,concretamente,sig-nos-tipo.Segúnesto, no cualquiersecuenciaespecíficade signos puederepresentarla secuenciade los números;concretamente,las secuenciasdeletrasdel alfabetono valdrían,pues,por ejemplo,«abc»y «cab»son sig-nosdistintos(tambiénconsideradoscomotipos, quees lo pertinente)pero

8. Estaes la via quese proponeen DETLEF5EN(1986).

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el númerocorrespondientehabríade ser el mismo9.De modoquedebe-mos restringirnosa secuenciasconstruidascon un único elemento,porejemplo«¡ ». Pero¿cómojustificar esta restricción?O, másexplícitamente,¿cómoentendernuestracomprensióndel conceptode número,o de losnúmerosparticulares,en relacióncon ella?

W. Tait ha ofrecido —en el importantearticulo mencionadoanterior-mente—una alternativaque puedellevar a consideracionessobre losnúmerosami parecermuchomásiluminadoras.Segúnsudiagnóstico,lasdificultadesprovendríanprecisamentede la concepciónde los númeroscomorepresentacionesindividualesen el programafinitista original. Estediagnósticosecomprenderámejorconla exposicióndel análisisalternati-vo queproponeTait.

SegúnTait. lanociónbásicade la Aritméticaes la desecuenciafinita o. loquevienea serlomismo,la de iteración de la operaciónde añadirun obje-to a unaseriede objetosa partir de «ceroobjetos»(una situaciónen queno hayningúnobjeto).Haciendojugaraestanociónel papelfundamentaladecuado,la reconstruccióndelprocesocognitivo quelleva ala formacióndel conceptode númerosería a grandesrasgosla siguiente.A partir de lapresentaciónde objetosfísicos en el entorno,el sujeto empiezaa «ver»unosdeterminadosobjetoscomounasecuencia,es decir,comienzaa discer-nir secuencias(nótesequeloselementosde las secuenciassonobjetosfísi-coscualesquiera,dentro delos quepuedenserobjeto deexperiencia«coti-diana»).Hacerestoes captarlaforma de esassecuenciaso, dicho de otromodo,adquirir la nocióndesecuencia(finita), es decir, de iteraciónfinitade unaoperaciónde añadirsiempre«lo mismo»(enun sentidodiferentealde identidad,es decir,unaunidad)10.Me atreveréa sugerir,pormi parte,queen la «aprehensión»de esaforma, o en la adquisiciónde esanoción,tienenmuchoque ver las palabras de númeroo sistemaestructuradodedenominaciones(de los números).

En todo caso,lo que resultade todo estoes quecadanúmeroindivi-dual, al igual que la noción generalde número,no es una representaciónindividual”, sino un conceptodeconceptos:el (conceptode) 3, porejemplo,

9. La relaciónentrenúmerosy signos,cuandodisponemosdelconceptode núme-ro, resultaulteriormenteiluminada porel métodode aritmetizaciónde la sintaxispro-puestoporprimeravezporGódelquereducela teoríadelos signosala de los númerosy ademáslo hacede un modo finitistamenteaceptable,a saber,porrazonamientopri-mitivo recursivo.

10. Tait llamaaestanociónlafor,naNúmero,utilizandoterminologíaplatónica.Enrealidad,su alternativa,tal comoél la concibe,estáimpregnadade platonismo.Creoqueeseplatonismo no es inevitable.Uno podríaadoptarunaposturamás«aristotéli-ca,,,viendo la captaciónde la noción de secuenciacomola «aprehensión»de un tipodeentidad,algouniformepresenteenla realidadcon la queel sujetointeraccionacau-salmente.El aire «cognitivista»de mi exposiciónseapartatambiénde lasideasde Tait.

II. Dichoen la terminologiakantiana(perocorrigiendotambiéna Kant al respec-

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es «lo queocupael lugardea (aquíun objetoconcretoo quizásun signo)enunaestructuraquees comola estructuraE (aquíunaestructura,quizásde signos)».

Ahora bien, si los números,en lugar de ser objetos individualessonconceptosde «segundoorden»(conceptosdeconceptos).las afirmacionessobrelos númerosseránafirmacionessobretalesconceptos;en cierto sen-tido,pues,afirmacionesde «tercerorden».Estopodría abrir la inesperadaposibilidadde establecerun puenteentreel programafinitista de filosofíade la Matemáticay el programalogicista, tradicionalmentepresentadoscomoprogramasrivalese incompatibles.En efecto,investigacionesactua-les quepretendenrevivir el programalogicista, renunciandoa la idea fre-geanade quelos númerossonobjetos’2,analizanla«formalógica» delosenunciadossobrenúmerosen términos de un lenguaje lógico de tercerorden’>.Así, segúnH. Hodes,un enunciadocomo(2) tendríala forma lógi-ca (3):

(2) 4 es un númeropar

(3) (ParX)Q4x)Xx)

Podríamosleerasí (3): «Tienenlapropiedad(de orden3) de serpar laspropiedades(deorden1) quetienenlapropiedad(de orden2) dequeexac-tamentecuatroobjetoslas tienen(esdecir,exactamentecuatroobjetostie-

to): un númerono esun objdode la intuición; el contrasteentrela posicióndeHilberty la propuestadeTait es queno se captaprimero una intuición, sino un conceptodelentendimiento: la noción de secuenciao de iteración de una operaciónde añadir.Dadaslasconexionesentreel programahilbertianoy las ideaskantianasno es desca-belladodescribirla situaciónenla terminologíakantianay puedeservir paracompren-dereí contrastede posicionesa los quela conoceny la encuentranútil.

12. En un artículoya clásico,«WhatNumbersC7oulclNot Be». Benacerrafargumentóconvincentementecontrala ideade que los númerosson objetos.Fregese vio llevado(tal vez a su pesar,segúnindicios) a sostenerestaideaen partepordificultadesen eldesarrollode su programalogicista de fundamentaciónde la Aritmética: cf lasseccio-nescrucialesal respectodeFundamentosde/a aritmética. (62-68). En un articulodegraninterés.«Logicismand fhe Ontological Co,nmittnentsof Aridzmehc’>. H. ¡-todesexaminacríticamente los vericuetosde la trayectoria intelectual de Eregeen esosdecisivosmomentosy exploralasposibilidadesde un logicismo renovadoqueevitaralas tram-pasen quecayóErege.Es a las ideaspresentadasen estearticuloalasquesobretodomerefieroenel texto. Comoahí insinúo,creoquebien pudierasucederqueel futurodela filosofía de la Matemáticaestéen unaconciliación del tipo de logicismo renovadopropuestopor Hodescon un finitismo modificado en el sentido apuntadoanterior-nientc.

13. Enestesentido,pues.habríaquematizar(aunqueno cambiar)lasconclusionesde la sección2. El lenguajesobrenúmeroses el lenguajenatural,perola «formalógi-ca» deesapartedel lenguajenatural—porcontrasteconotraspanesmassimples—ladaríaun lenguajede tercerorden.

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nenesaspropiedadesde orden 1». (Se obtieneuna lecturamás«concep-tualista».substituyendo«propiedad»por «concepto»).

No es ésteel lugarde entraren el significadoo en la justificación deestasafirmaciones,ni de concretaren la posible( e intelectualmenteexci-tante) conexiónentreel programafinitista y el programalogicista. Másdirectamentepertinentees mencionartambiénquela nuevatesislogicistapropuestapor Hodeses que los enunciadosmatemáticosverdaderossonverdadeslógicas de un lenguajede orden superior.Si estopudieradefender-se,seríaentoncesposibledarla siguienterespuestaafirmativaa la pregun-taquese planteóal final dela sección3: «Si. lasverdadesmatemáticassonyerdadesenvirtud del significado(verdadesconceptualesenun ciertosen-tido), puestoquesonverdadeslógicas»’4.

Dela perspectivaactual resultaportantoqueel intentode darunares-puestafundamentadaa la mencionadapregunta—la interesantepreguntacon la quefinalmentesustituimosla preguntaoriginal queda nombreaeste artículo— implica una complejísimatareaen la que se combinaninvestigacionesmatemáticas,conceptualesy empíricas.

El turno de la investigaciónempíricallega cuandose ha llegadoa unabasemáso menosfirme comoresultadode la investigaciónconceptual.Siéstaestablecequeen la basedel conceptode númeroestáel de secuenciafinita, es la psicologíacognitiva laqueha de investigaren primer lugar elmodo en quese forma la nociónde secuenciafinita a partirde la experien-cia de secuenciasfinitas de objetos físicos (¿utilizandoquizás modelosconexionistas?)completandoasíempíricamentelo queconHodespodría-mos llamar la «microestructuradc nuestroaccesoa los números».

En definitiva, la resolucióndel importanteproblemade comprendercómoseresconnuestrascapacidadescognitivasenel entornoen queestánsituadosllegan a «levantarel edificio de la Matemática»implica la si-guiente«división del trabajo».La tareafilosófico-matemática(de «funda-mentación»de la Matemática)es indicar las nocionesquesirvenparare-construir finitisticamente la Matemáticay probarlos resultadosmate-máticospertinentes,suministrandoasíla «materia»(a saber,dichasnocio-nes)para la investigacióncognitiva. El trabajo filosófico másgenerales,como hemosvisto, asistir al procesocon clarificacionesconceptualesyenlazarla reconstrucciónfinitista conun programasemánticoyepistemo-lógico másgeneral.

Claroque,si se ha entendidoel espíritunaturalistadentrodel quepro-pongoesatarea,se habráinferido quela semánticay laepistemologíaquepropugnoestátambiénen clavenaturalistay quese apartan,tambiénres-pectode la Matemática,de la empresade buscarla certezacartesiana.Peroasí es,y asíes comodebeser.

14. Naturalmente,estarespuestalleva tambiénimplícita unadeterminadaposiciónsobrela naturalezade las yerdadeslógicas.

¿Esla Matemáticaun lenguaje? 43

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