estudio de los números naturales y...

ACT 1. Bloque 1. Tema 1. Estudio de los números naturales y enteros

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Bloque 1. Tema 1.

Estudio de los números naturales y enteros

ÍNDICE

1) Los números naturales 1.1. Concepto de número natural 1.2. Sistema de numeración decimal

1.2.1. Comparación de números naturales

2) Los números enteros. 2.1. Concepto de número entero 2.2. Representación de los números enteros en la recta numérica 2.3. Valor absoluto de un número entero 2.4. Comparación y ordenación de números enteros 2.5. Opuesto de un número entero

3) Suma y resta de números naturales y enteros, Propiedades. 3.1. Suma de números naturales

3.1.1. Propiedades de la suma 3.2. Resta de números naturales 3.3. Suma de números enteros 3.4. Resta de números enteros

4) Multiplicación de números 4.1. Multiplicación de números naturales 4.2. Multiplicación de números enteros

5) Concepto de raíz y potencia 5.1. Potencias 5.2. Raíces cuadradas

6) División de números 6.1. División de números naturales 6.2. División de números enteros

7) Prioridad de operaciones

8) Utilización de la calculadora y el ordenador para la realización de operaciones

9) Resolución de problemas utilizando números naturales y enteros.


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Introducción

¿Te has parado a pensar cuántas veces ves o utilizas los números a lo largo del día?

Si lo piensas, seguro que son muchas más de las que te imaginas: cuando miras la hora en tu reloj, cuando telefoneas a un amigo o un familiar, cuando miras el escaparate de cualquier tienda, cuando recibes una factura… y seguro que muchas más. Los números que más utilizamos son los llamados naturales, los que sirven, por ejemplo, para contar y con ellos podemos realizar diferentes operaciones.

Sin embargo, los números naturales –los que sirven, por ejemplo, para contar- no son suficientes para expresar todas las situaciones que se nos presentan en la vida diaria; por ejemplo, ¿cómo expresaríamos una temperatura muy, muy baja (de menos de cero grados)? Necesitamos un conjunto de números más amplio: los números enteros, que pueden ser positivos o negativos.

En este Unidad primera, realizaremos el estudio de los números (naturales y enteros), así como las propiedades y operaciones básicas con ellos.

Imagen 1. Aplicaciones de los números enteros en la vida diaria

Fuente: Wikipedia (https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo)

Autor: Desconocido.

Licencia: Dominio público

Sabías que…

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el hombre usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos (ver sistema de numeración unario). Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en forma de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado.


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1) Los números naturales

1.1. Concepto de número natural

En nuestra vida diaria estamos rodeados de números por todas partes. ¿Cuántos años tienes? ¿Cuánto cuesta un libro? ¿A qué velocidad va tu coche?...

Estos números los utilizamos para contar (uno, dos, tres,…), y se llaman números naturales. Reciben este nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

También podemos utilizar los números para otras funciones:

• Para identificar: el número del DNI, el número de teléfono, el número de la casa donde vives,…

• Para ordenar: primero (1º), cuarto (4º),…

Existe un número natural algo especial. Veámoslo con un ejemplo: Asómate a la puerta de tu casa. ¿Cuántos “osos azules hay paseando por la calle”? Seguro que ninguno, o de lo contrario, me parece que hay que visitar al oftalmólogo. El número en cuestión es el 0 (cero), y se utiliza cuando no hay nada que contar.

El conjunto de todos los naturales lo simbolizaremos con una “ene” mayúscula, N, y son los que sirven para contar y ordenar: ℕ = {0,1, 2, 3, 4,…},

1.2. El sistema de numeración decimal

El sistema de numeración que utilizamos actualmente es el sistema de numeración decimal, que fue introducido en Europa por los árabes, en el siglo XI, procedente de la India, donde se desarrolló desde el siglo VI a.C. ¿Por qué se llama sistema decimal? Quizá la respuesta esté en nuestras manos, porque tenemos diez dedos y todos hemos usado alguna vez los dedos para contar. Seguramente por eso nuestro sistema utiliza 10 símbolos que son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Cuando tenemos diez unidades, las agrupamos formando un grupo superior llamado decena.

Cuanto tenemos diez decenas, formamos un nuevo grupo llamado centena que, por lo tanto, equivale a cien unidades.

Y así sucesivamente: cada diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. En el siguiente cuadro figuran las clases, órdenes y unidades:

BILLONES MILES DE MILLONES MILLONES

15º 14º 13º 12º 11º 10º 9º 8º 7º

CENTENA

BILLÓN

DECENA BILLÓN

UNIDAD

BILLÓN

CENTENA MILLAR MILLÓN

DECENA MILLAR MILLÓN

UNIDAD MILLAR MILLÓN

CENTENA DE

MILLÓN

DECENA DE

MILLÓN

UNIDAD DE

MILLÓN


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MILLARES UNIDADES ORDEN

6º 5º 4º 3º 2º 1º CLASE

CENTENA MILLAR

DECENA MILLAR

UNIDAD MILLAR

CENTENA DECENA UNIDAD

El número 4.368 está formado por 4 unidades de millar, 3 centenas, 6 decenas y ocho unidades.

Para leer un número se separan en grupos de tres cifras y se van leyendo por clases.

Ejemplo: Para leer el número 49807621, lo dividimos en grupos de tres. Así: 49.807.621 y empezamos a leer por la izquierda. Cuando llegamos a un punto, nombramos su clase.

Sería así: Cuarenta y nueve millones, ochocientos siete mil seiscientos veintiuno.

Ejercicios

Actividad 1. Escribe con números:

a) Dos mil ocho.

b) Seiscientos mil cuatrocientos treinta y dos.

c) Diez mil cinco.

d) Doce millones, trescientos quince mil doscientos uno.

e) Ciento diez millones, doscientos mil nueve.

f) Trescientos cinco mil veintidós

Actividad 2. Escribe cómo se leen los siguientes números:

a) 435.207.756

b) 16.503.203

c) 335.698

d) 200.014

1.2.1. Comparación de números naturales

Si dos números tienen el mismo número de cifras, habrá que ir comparando éstas de izquierda a derecha. El que tiene mayor la primera cifra de la izquierda es el mayor. En caso de que sean iguales, se compara la segunda y así sucesivamente.

Por ejemplo, si tenemos 4.692 y 4.685, vemos que los dos tienen 4 unidades de millar, que los dos tienen 6 centenas, pero el primero tiene 9 decenas y el segundo 8 decenas.


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Por tanto, será mayor 4.692. En primer lugar, si un número tiene más cifras que otro, éste será mayor, además, para expresar matemáticamente que un número es mayor que otro, se emplea el símbolo >.

Veamos algunos ejemplos: a) 2.567 es mayor que 384 se escribe así: 2.567>384 b) 4.685 es menor que 4.692 se escribe así: 4.685<4.692

Para expresar matemáticamente que un número es mayor que otro, se emplea el símbolo >. Y para expresar que un número es menor que otro, se emplea <. De esta forma, podemos decir: 384 < 2.567 4.692 > 4.685

Observa que la punta de la flecha señala siempre al número menor y la abertura del símbolo señala al número mayor.

Ejercicios

Actividad 1. Completa con los signos >, <:

a) 5605 5506

b) 646 664

c) 5010 5001

d) 6304 6403

Actividad 2. Ordena los siguientes números de menor a mayor:

a) 56.505 b) 78.549 c) 45.693 d) 54.956

< < <

2) Los números enteros

El origen de los números enteros... Los números enteros negativos son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad. El nombre de enteros se justifica porque estos números positivos y negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas). No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.2 El cero y los números negativos surgen del manejo de oposición o conceptos como el del vació o el de no ser, que son fundamentales para la construcción de la negatividad. (Gallardo y Abraham)


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8.1. Concepto de número entero

En el apartado anterior hemos definido el concepto de número natural. Pero hay muchas situaciones que no se pueden expresar utilizando sólo los números naturales: - Cuando en invierno decimos que la temperatura en cierto lugar es de 7 grados bajo

cero.

- Si tenemos en el banco 2.000 euros y nos cobran un recibo de 3.000. - Cuando decimos que cierto personaje nació en el año 546 antes de Cristo. - Para expresar el nivel por debajo del mar o los sótanos de un edificio.

Para escribir todas estas expresiones los números naturales no son suficientes. Es necesario una referencia y una forma de contar a ambos lados de ésta. La referencia es el cero y los números que vamos a escribir a ambos lados son los números naturales precedidos del signo más o menos.

A todos estos números, los negativos, el cero y los positivos se les llaman números enteros y se representan por la letra Z.

Los enteros positivos se obtienen colocando el signo + delante de los números naturales.

Los enteros negativos se obtienen colocando el signo – delante de los números naturales. Observa que los números enteros no son naturales (no existen –2 peras). Son números creados para referirse a situaciones en las que se marca un origen (que se considera valor 0) que provoca un antes y un después, un delante y un detrás, un arriba y abajo.

Ejercicio

Ayúdate del esquema del ascensor y completa indicando si sube o baja y el número de plantas:

Planta 4

Planta 3

Planta 2

Planta 1

Planta baja 0

Planta -1

Planta -2

Planta -3

Planta -4


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a) De la planta -1 a la planta -3 el ascensor plantas.

b) De la planta 3 a la planta 0 el ascensor plantas.

c) De la planta -3 a la planta -2 el ascensor plantas.

d) De la planta -2 a la planta 2 el ascensor plantas.

d) De la planta 4 a la planta -2 el ascensor plantas.

Ejercicio

Expresa numéricamente estos hechos:

a) Estar situado a 310 m sobre el nivel del mar:

b) Perder 400 euros:

c) Ocho grados bajo cero:

d) Ganar 300 euros:

e) El año 370 a. C.:

f) Diecisiete grados sobre cero:

g) Bucear a 11 metros de profundidad:

8.2. Representación de los números enteros en la recta numérica

Para representar los números enteros en la recta numérica procedemos así: 1) Trazamos una línea recta y situamos en ella el 0. (El 0 divide a la recta en dos

semirrectas). 2) Dividimos cada una de las semirrectas en partes iguales. 3) Situamos los números enteros: los enteros positivos a la derecha del cero y los

enteros negativos a la izquierda del cero.

Es decir, quedaría de la siguiente forma:

Recta numérica de los números enteros entre -9 y 9, con los números negativos en rojo y los positivos en violeta, se sobrentiende que la recta incluye todos los números reales ilimitadamente en cada sentido.

Ejercicio

Sitúa en la recta numérica los siguientes números enteros: -3, +2, +5, +9, -6, +11, -11.


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8.3. Valor absoluto de un número entero

Observa la recta numérica:

Los números -6 y +6 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 6, aunque con distinto signo. Al número 6 se le llama valor absoluto de +6 y –6.

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de prescindir del signo. El símbolo que se utiliza para representar el valor absoluto es el número escrito entre barras.

|+10|= 10

|-5| = 5

Ejercicio

Actividad 1. Responde a estas preguntas:

a) Si el valor absoluto de un número es 4, ¿qué número puede ser?

b) Si el valor absoluto de un número es 5 y sabes que está a la izquierda del 0, ¿qué número es?

c) ¿Qué número tiene valor absoluto 7 y está situado entre -6 y -8?

8.4. Comparación y ordenación de números enteros

Para comparar dos números enteros, lo más fácil es situarlos en la recta numérica. El mayor de ellos es el que está situado más a la derecha.

De esta forma observamos que:

• Cualquier entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. Por ejemplo, +2 > -4 -5 < +5.

• El 0 es menor que cualquier positivo y mayor que cualquier negativo. Ejemplos: 0 < +3 -5 < 0.

• • Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto (no olvides que el valor absoluto es lo que nos queda si quitamos el signo). Ej.: +7 > +4 +3 < +5.

• Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

Ejemplos: -4 > -7 (porque 4 < 7)

-6 < -3 (porque 3 < 6)


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Ejercicio 1

Ordena de menor a mayor los números:

a) +6, -10, 0, -5, +4, +3

b) +4, -7, +2, -8, -6, +8

Ejercicio 2

Escribe en cada caso los signos > o <, según corresponda:

a) -4 -3

b) -2 +6

c) 0 -8

d) +6 +5

8.5. Opuesto de un número entero

Observa que 4 y –4 se encuentran a la misma distancia de 0. Son simétricos respecto al 0. Tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo. Op(4) = -4 Op(-4) = 4

Aquellos números que se encuentran a la misma distancia del cero se les llaman números opuestos.

En conclusión, podemos decir que el opuesto de un número entero es aquel que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo.

Ejercicio

Escribe los opuestos de los siguientes números:

a) Op(+4) =

b) Op(-6) =

c) Op(-5) =

d) Op(3) =

e) Op(0) =

f) Op(-8) =


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9. Suma y resta de números naturales y enteros. Propiedades

Imagen nº 2: Suma de números enteros

Fuente: Wikipedia. https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero

Autor: Desconocido. Licencia: Dominio público

9.1. Suma de números naturales

Sumar es agrupar varias cantidades en una sola. Esta operación también se llama adición. Seguro que en tu vida has hecho muchísimas sumas: cuando calculas lo que te has gastado el fin de semana, cuando calculas los kilómetros que debes recorrer para llegar a un determinado lugar,…

Vamos a ver cómo se realiza la suma: 257 + 386

c. d. u.

2 5 7 + 3 8 6

————–

Primero colocamos los números en columna de forma que coincidan las unidades con las unidades, las decenas con las decenas…

1 2 5 7

+ 3 8 6 ————–

3

Empieza sumando la columna de las unidades:

7 + 6 = 13

En la práctica decimos

7 + 6 son 13. Escribo el 3 y me llevo 1

1 1 2 5 7

+ 3 8 6 ————–

4 3

Este número( 13 ) es mayor que 10, por lo tanto escribes el 3 debajo de la columna de las unidades y el 1 ( es la

Decimos: 1 + 5 + 8 son 14. Escribo 4 y me llevo 1


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llevada) lo escribes encima de la siguiente columna.

Ahora sumas la siguiente columna, sin olvidarte de la llevada:

1 + 5 + 8 = 14

Este número también tiene llevada. Escribes el 4 debajo de la columna de las decenas y el 1 escríbelo encima de la siguiente columna.

1 1 2 5 7

+ 3 8 6 ————–

6 4 3

Ahora solo queda sumar la última columna:

1 + 2 + 3 = 6

Solo te queda escribir ese número debajo de su columna:

Y el resultado de la suma es 643.

Decimos: 1 + 2 + 3 son 6. Escribo el 6 y hemos terminado.

Los números que sumamos en una suma se llaman sumandos. En el ejemplo anterior había dos sumandos, el 257 y el 386. Al resultado de la operación se le llama suma. Para indicar esta operación utilizamos el signo "+" que se lee "más".

Ejercicio

Realiza las siguientes sumas:

a) 6570 + 167 + 8658 =

b) 563132 + 54006 + 66707 =

c) 4657 + 506 + 568 + 70 =

9.1.1. Propiedades de la suma

a) Propiedad conmutativa:

El orden de los sumandos no altera la suma: a + b = b + a En la práctica da lo mismo sumar 4 + 6 que 6 + 4, puesto que obtenemos el mismo resultado, que es 10.


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b) Propiedad asociativa:

Si tenemos que sumar tres o más sumandos, podemos sumar dos cualquiera de ellos y sustituirlos por el resultado de su suma: (a + b) + c = a + (b + c) Esto nos permite simplificar algunos cálculos. Por ejemplo, si tenemos que sumar 37 + 30 + 20, es mejor sumar 30 + 20 = 50 y después sumarle el 37; es decir: 37 + (30 + 20) = 37 + 50 = 87

También podemos combinar ambas propiedades. Por ejemplo, si tenemos que sumar 20 + 43 + 50, lo más fácil es aplicar la propiedad conmutativa para cambiar el orden, así: 20 + 50 + 43 y luego utilizar la propiedad asociativa para sumar 20 + 50 = 70. Después sumar 70 + 43 = 113.

9.2. Resta de números naturales

Restar es quitar una cantidad a otra. Es la operación inversa a la suma. Esta operación también recibe el nombre de sustracción. Para indicar esta operación se utiliza el signo menos (-).

En tu vida diaria también realizas muchas restas. Por ejemplo, si te compras algo que vale 14 euros y pagas con un billete de 20 euros, has de realizar una resta para saber lo que te deben devolver. Es decir, 20 – 14 = 6 euros.

Los términos de la resta son:

a - b = c

minuendo sustraendo diferencia

En la resta de números naturales, el minuendo debe ser mayor que el sustraendo.

CÓMO COMPROBAR QUE UNA RESTA ESTÁ BIEN HECHA

Operación: Comprobación

97 - 50 = 47 50 + 47 = 97

Vamos a ver cómo se realiza la resta: 958 – 671

c. d. u.

9 5 8

6 7 1

Primero colocamos el minuendo y el sustraendo en columna de forma que coincidan las unidades con las unidades, las decenas con las decenas…

En la práctica:

9 5 8

6 7 1

7

Comenzamos restando las unidades: a 8 unidades le quitamos 1 unidad y nos quedan 7 unidades Continuamos con las decenas: a 5 decenas no le podemos quitar 7 decenas

De 1 a 8 van 7. Colocamos el 7 debajo de las unidades.

8 15 8

6 7 1

8 7

Tomamos una centena y la transformamos en 10 decenas, con lo que tenemos 15 decenas. A 15 decenas le quitamos 7 decenas y nos quedan 8 decenas.

Mentalmente se pone un 1 delante del 5. Del 7 al 15 van 8 y me llevo 1. Colocamos el 8 debajo de las decenas


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8 15 8

6 7 1

2 8 7

Ahora sólo nos quedan 8 centenas (pues hemos quitado antes una) y al restarle 6, nos quedan 2.

9 15 8

6+1 7 1

2 8 7

En vez de quitar una centena al 9, se la sumamos al 6. Por tanto, dejamos las 9 centenas como estaban al principio. Decimos: 6 y 1 que nos llevamos son 7. De 7 a 9 van 2.

Ejercicio

Realiza las siguientes restas:

a) 528 - 324 =

b) 11929 – 8974 =

Ejercicio

Calcula el término de la resta que falta en cada caso:

a) 935670 - = 513265

b) - 543271 = 895023

c) 456799 – 375832 = ______________

9.3. Suma de números enteros

¿Quieres saber cómo se suman los números enteros? Podemos distinguir varios casos:

a. Suma de números enteros con el mismo signo.

b. Suma de números enteros con distinto signo.

a. Suma de números enteros con el mismo signo

Supongamos que estamos en la segunda planta de unos grandes almacenes. Si subimos tres plantas más ¿En qué planta nos encontramos ahora?

La respuesta es en la quinta planta. La operación que hemos realizado es una suma de números enteros: (+2) + (+3) = (+5). También se puede escribir como 2 + 3 = 5

¿Y si nos encontramos en el primer sótano y bajamos dos plantas más? ¿Dónde estamos ahora? De nuevo hay que hacer una suma de números enteros: (-1) + (-2) = (-3) ó -1 -2 = -3. Estamos en el tercer sótano.

Para sumar números enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo de los sumandos.


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Date cuenta que: • La suma de dos números enteros negativos es otro número negativo. • La suma de dos números enteros positivos es otro número entero positivo.

Ejemplo: a.) (+5) + (+7) = +12

b.) (-3) + (-6) = -9 b. Suma de números enteros con distinto signo.

Si nos encontramos en la cuarta planta y bajamos dos plantas. ¿Dónde estamos? (+4) + (-2) = (+2). Si te das cuenta hemos realizado una resta 4 – 2 = 2

Si subimos tres plantas desde el sótano nos encontraríamos en la planta dos. (-1) + (+3) = (+2). También hemos realizado una resta -1 + 3 = 2

Si bajamos tres plantas desde la segunda habríamos llegado al primer sótano. (+2) + (-3) = (-1). Aquí también hay una resta 2 – 3 = -1

Para sumar números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos, y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.

Veamos unos ejemplos:

a.) (-7) + (+12) = +5 Porque el de mayor valor absoluto es positivo (+12)

b.) 11 + (-16) = -5 Porque el de mayor valor absoluto es negativo (-16)

Si lo que tenemos es una suma de varios números enteros de distinto signo, lo que haremos será:

a) Se suman separadamente los números positivos, por un lado y los negativos por el otro.

b) Se suman el número positivo y el número negativo obtenido.

Ejemplo: Vamos a calcular el resultado de esta suma: (+4) + (-2) + (+3) + (+5) + (-6) = (+12) + (-8) = +4

Importante

Para sumar números enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y se pone el signo de los sumandos.

Date cuenta que:

• La suma de dos números enteros negativos es otro número negativo.

• La suma de dos números enteros positivos es otro número entero positivo.

Para sumar números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos, y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.


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9.4. Resta de números enteros

Adrián debe a su hermano Carlos 420 euros. Esto lo expresamos matemáticamente diciendo que Adrián tiene -420 euros.

También debe a su hermano Raúl 60 euros. Escribimos -60 euros. ¿Cuánto debe en total Adrián? Para saberlo, sumamos las dos deudas: -420 + (-60) = -480 euros.

Su hermano Raúl le ha perdonado su parte de la deuda: 60 euros. ¿Cuánto debe ahora Adrián? Para saberlo, del total de la deuda hay que quitar lo que le ha perdonado su hermano: -480 – (-60) = -480 + 60 = -420 euros.

Antes de explicar cómo se restan dos números enteros, recordemos como nombrábamos a los términos que aparecen en una resta con un ejemplo:

En -3 – 5, a -3 se le llama minuendo y a 5 sustraendo.

Pues bien, para restar dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. De esta forma la resta de números enteros se transforma en una suma.

¿Y qué ocurre cuando hay un paréntesis? Para restar un número entero, si este está dentro de un paréntesis, se cambia el signo del número.

Date cuenta que el signo (-) puede tener dos significados: a) Puede indicar que un número es negativo (signo de número). Ejemplo: - 8. b) Puede indicar una resta (signo de operación). Así, en 14 – (- 6) el primer signo

menos, el que está antes del paréntesis –, es de operación (resta), mientras que el segundo -, es de número.

En la primera unidad vimos que el paréntesis nos indica qué operaciones tenemos que realizar primero. Para realizar la operación 7 + (5 – 16), lo hacemos así:

a) Primero hacemos la operación indicada dentro del paréntesis.

b) Si delante del paréntesis tenemos un signo +, no cambiamos el signo del resultado de efectuar las operaciones del paréntesis.

c) Pero si delante del paréntesis hay un signo -, cambiamos de signo el resultado del paréntesis.

Lo mismo ocurre si hay corchete.

Por tanto, la operación anterior quedaría así: 7 + (-11) = 7 – 11 = -4

Vamos a hacer la misma operación, pero con un signo – delante del paréntesis: 7 - (5 – 16) = 7 – (-11) = 7 + 11 = +18

Antes de pasar al siguiente apartado de la Multiplicación, vamos a ver el siguiente vídeo, en concreto es un cortometraje animado ( ¡ un poco de humor!) , que resumen muy bien todo lo aprendido hasta aquí, Los Números Naturales, Los Números Enteros , así como la suma y la resta.


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Vídeo nº 1: Los Números Naturales y Enteros.

Fuente: Youtube https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=m3be-d7Yf8I

Autores: Ángel y José Luis González Fernández

Ejercicios

Calcula las siguientes restas: a) ( - 5 ) – ( + 7 ) = b) ( + 4 ) – ( - 6 ) = c) ( - 3 ) – ( - 7 ) = d) ( +4 ) – ( +2 ) = e) ( +4 ) – ( +6 ) =

Resuelve estas restas: a) 12 - 5 = b) 12 - (-5) = c) -12 - 5 = d) -12 - (-5) =

Realiza estas operaciones:

a) (+6) – (-2) + (-5) – (+4) =

b) (-5) – (-5) – (+7) + (-6) =

c) (-1) – (-10) + (+5) – (+7) =

d) 14 - (12 + 2) =

e) 17 - (-9 - 14) =

f) -14 + (6 - 13) =

g) 2 + (7 – 3) – (8 – 4) =

h) -1 – (2 – 5) + (7 – 4) =


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10. Multiplicación de números

Imagen nº 3. Concepto de la Multiplicación Fuente: Wikipedia. https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n


Doce elementos pueden ser ordenados en tres filas de cuatro, o cuatro columnas de tres. 3 * 4 = 12 = 4 * 3

10.1. Multiplicación de números naturales

Existen numerosas situaciones de la vida cotidiana en las que utilizas la multiplicación.

Por ejemplo, si vamos a pagar 5 barras de pan y cada una cuesta 80 céntimos, podemos sumar 4 veces 80, es decir: 80 + 80 + 80 + 80. Pero lo mejor será multiplicar 4 x 80.

Por tanto, cuando se trata de hacer una suma con el mismo sumando, lo mejor es que lo hagamos con la multiplicación.

El sumando que se repite, en este caso el 80, se llama multiplicando. Las veces que se repite el sumando, en este caso 4, se llama multiplicador. El multiplicando y el multiplicador también se llaman factores. El resultado se llama producto. El signo de esta operación es “x” o “·” y se lee "por".

En la calculadora la tecla que usamos para hacer las multiplicaciones es “x“. En el ordenador la tecla que se usa es “*“.

Vamos a ver cómo se realiza la multiplicación: 326 · 45

c. d. u.

3 2 6

x 4 5

3 2 6

x 5

1 8 3 0

Primero multiplicamos 326 por 5


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3 2 6

x 4 5

1 8 3 0

1 3 0 4

Luego multiplicamos 326 por 4 y colocamos el resultado debajo de las decenas.

3 2 6

x 4 5

1 8 3 0

1 3 0 4

1 4 8 7 0

Por último, sumamos los resultados obtenidos.

10.1.1. Propiedades de la multiplicación

a) Propiedad conmutativa:

El orden de los factores no altera el producto: a · b = b · a Es decir; da lo mismo multiplicar 3 · 4, que 4 · 3, pues el resultado da 12 en ambos casos.

b) Propiedad asociativa:

Para multiplicar dos o más factores se pueden asociar dos de ellos y el resultado no varía: (a · b) · c = a · (b · c)

Si tienes que multiplicar un producto de tres factores, como 5 · 7 · 2, se pueden multiplicar dos cualesquiera de ellos y el resultado multiplicarlo por el tercero. En este caso es muy fácil multiplicar 5 · 2 = 10, y luego, 10 · 7 = 70. La notación matemática sería: (5 · 2) · 7 = 10 · 7 = 70

c) Propiedad distributiva:

Vamos a realizar las siguientes operaciones de dos formas diferentes: 5 x (4 + 3)

1ª) 5 x (4 + 3) = 5 x 7 = 35

2ª) 5 x (4 + 3) = 5 x 4 + 5 x 3 = 20 + 15 = 35

En general: a · (b + c) = a · b + a · c Esta propiedad también se puede aplicar si en vez de una suma tenemos una resta:

a · (b - c) = a · b - a · c

La operación inversa a la distributiva es sacar factor común:

Ejemplos resueltos Sacar factor común:

a) 5 x 4 + 5 x 3 = 5 x (4 + 3)

b) 3 x 7 – 3 x 2 = 3 x (7 – 2)

c) 4 x 7 - 4 x 3 + 5 x 4 = 4 x (7 - 3 + 5)

d) 3·a + 5·a = (3 + 5)·a = 8·a


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4.1.2. Casos particulares de la multiplicación

a) Multiplicación de un número por la unidad seguida de ceros: Para multiplicar cualquier número por la unidad seguida de ceros, se escribe este número y se añaden tantos ceros como lleve la unidad. 34 x 1000 = 34000 10000 x 15 = 150000 En algunos casos el producto de dos números se hace más fácilmente, si uno de los factores se descompone en una suma de dos sumandos uno de los cuales es la unidad seguida de ceros: 15 x 102 = 15 x (100 + 2) = (15 x 100) + (15 x 2) = 1500 + 30 = 1530 Hemos aplicado el producto de la unidad seguida de ceros y la propiedad distributiva. b) Multiplicación de números que terminan en cero: Para multiplicar dos o más números seguidos de ceros se multiplican dichos números, prescindiendo de los ceros, y se añade a ese producto tantos ceros como haya en los dos factores: 400 x 30 = 12000 2700 x 60 = 162000

Ejercicio

Saca factor común:

a) 3·b + 5·b – 2·b =

b) 6x4 + 3x4 + 2x4 =

c) 6·a + 6·b =

d) 2·a + 2·c =

Ejercicio

Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) 2306 x 305 =

b) 7650 x 400 =

c) 3785 x 501 =

Ejercicio

Completa las siguientes expresiones:

a) 425 x 100 = _________

b) 632 x _______ = 6320

c) _______ x 1000 = 35000


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10.2. Multiplicación números enteros

Supuesto 1. El día de hoy a las seis de la mañana había una temperatura de 5 ºC. Cada hora la temperatura aumenta 2 ºC. ¿Qué temperatura habrá a las diez de la mañana?

Entre las seis y las diez han transcurrido cuatro horas y el incremento de temperatura será de 8 ºC. La temperatura que habrá será de 13 ºC.

Las operaciones que hemos realizado son una multiplicación y una suma de números enteros:

(+4) · (+2) = +8 ºC

(+5) + (+8) = +13 ºC

Supuesto 2. Si la temperatura hubiese disminuido dos grados cada hora, la bajada sería de -8 ºC. Luego la temperatura sería de -3 ºC.

Las operaciones a realizar son: (+4) · (-2) = -8 ºC

(+5) + (-8) = -3 ºC

Supuesto 3. También se puede plantear diciendo que son las 10 de la mañana y si desde hace cuatro horas la temperatura ha aumentado 2 ºC por hora significaría que hace cuatro horas había 8 grados menos, luego la operación es: (-4) · (+2) = -8 ºC y la temperatura a la que estábamos era (+5) + (-8) = -3 ºC

Supuesto 4. Si desde hace cuatro horas la temperatura ha bajado 2 ºC por hora significaría que la temperatura era 8 ºC mayor que la que tenemos ahora: (-4) · (-2) = +8 ºC luego había (+5) + (+8) = +13 ºC

Para hallar el producto de dos números enteros hay que multiplicar sus valores absolutos. El signo del resultado es positivo cuando ambos números o factores tienen el mismo signo y negativo cuando tienen signos diferentes. Es lo que llamamos la regla de los signos:

+ · + = +

- · - = +

+ · - = -

- · + = -

Ejemplos:

(+5) · (+3) = +15

(-5) · (-3) = +15

(+5) · (-3) = -15

(-5) · (+3) = -15


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RECUERDA

Regla de los signos en la multiplicación:

+ · + = +

- · - = +

+ · - = -

- · + = -

Ejercicio


a) (-4) · (+2) =

b) (+3) · (+7) =

c) (+3) · (-5) =

d) (-5) · (-12) =

e) 2 · (-3) =

f) 4 · (-5) · 2 =

g) 3 · (-3) · (-7) =

h) (-2) · (-5) · (-9) =

Ejercicio


a) 3 · (-3) + 4 · (-2) + (-4) · (-5) =

b) -2 · [-6 + 5 · (-4 -2)] =

c) 17 – 9 · 2 – (-5) · (-4) =

d) 2 · (6 + 4) – (1 – 8) + (-1) · (6 + 1) – 1 =


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11. Concepto de raíz y potencia

Imagen nº 4. Potencias de 10 Fuente : Wikipedia. https://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_de_diez


11.1. Potencias

Si tenemos que multiplicar el mismo número varias veces, recurrimos a la potenciación.

En la potenciación se parte de dos números: base y exponente. Se trata de hallar otro número llamado potencia. Potencia es el resultado de multiplicar la base por sí misma tantas veces como indica el exponente.

Ejemplo: 53 = 5 · 5 · 5 = 125. Se lee: 5 elevado a 3 igual a 125

Es decir: base exponente = potencia.

Base es el número que debemos multiplicar. Exponente es las veces que lo multiplicamos. Potencia es el resultado de la multiplicación. Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados y las de exponente 3, se llaman cubos. El resultado de una potencia al cuadrado se llama cuadrado perfecto. Por ejemplo, 49 es un cuadrado perfecto porque 72 = 49.


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11.2. Raíces cuadradas

Hemos visto en el apartado anterior, que el cuadrado de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo.

Ejemplo: 82 = 8·8 = 64

Calcular la raíz cuadrada de un número es hacer la operación contraria a su cuadrado, es decir es hallar otro número que al ser multiplicado por sí mismo da como resultado el número primero.

Ejemplo: =8

Llamamos cuadrado perfecto al número cuya raíz cuadrada es un número entero.

Algunos cuadrados perfectos o raíces cuadradas exactas son:

Las partes de que consta una raíz cuadrada son:

1. Radical: es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada. 2. Radicando: Es el número del que se obtiene la raíz cuadrada. 3. Raíz: Es propiamente la raíz cuadrada del radicando; es decir el resultado. 4. Resto: Es lo que sobra del proceso para resolver la raíz cuadrada.


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¿Cómo calcular la Raíz cuadrada?

Pasos a seguir

1) En el radicando señalamos grupos de dos cifras empezando por la derecha.

2) Calculamos mentalmente la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda, sin que sobrepase. La operación de hacer el cuadrado de esa cifra la colocamos en una línea a la derecha.

3) Restamos ese cuadrado del primer grupo de cifras.

4) Si la resta ha sido posible colocamos la cifra arriba, en la raíz.

5) Bajamos del radicando las dos cifras siguientes y las colocamos a la derecha del resto actual.

6) Abajo, a la derecha, en una nueva línea, ponemos el doble de la raíz actual.

7) Para calcular la nueva cifra de la raíz cogemos aparte el número de abajo izquierda, le quitamos la cifra de la derecha y la dividimos por el que hemos puesto a la derecha.

8) La cifra así obtenida la juntamos a las de abajo derecha y multiplicamos todo ello por esa cifra. El producto resultante no debe ser mayor que el número del resto actual, si fuese mayor habría que probar con una cifra una unidad menor que la anterior.

9) Lo colocamos a la izquierda y lo restamos.

10) Si la resta ha sido posible colocamos arriba, en la raíz la cifra por la que habíamos multiplicado.

11) Si el radicando tiene más grupos de dos cifras, se baja el siguiente grupo de cifras y se continúa el proceso de la misma manera hasta el final.

12) Doble de la raíz actual.

Veamos un ejemplo:

El resto de cualquier raíz cuadrada nunca puede ser mayor que el doble de la raíz.


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Para comprobar que hemos hecho bien la raíz cuadrada existe una prueba que consiste en multiplicar la raíz obtenida por sí misma, sumarle el resto y debemos obtener el radicando. Es decir:

(298 x 298) + 420= 89224

Si quisiéramos calcular con mayor precisión y exactitud el resultado podríamos sacar cifras decimales. Para ello pondríamos una coma en la raíz e iríamos añadiendo en el radicando grupos de dos ceros hasta donde quisiéramos precisar.

En el caso de que tuviéramos que calcular la raíz cuadrada con cifras decimales, se sigue el mismo procedimiento que para los números naturales, con alguna pequeña modificación:

- Se señalan grupos de dos cifras contando desde la coma, en la parte entera y en la parte decimal.

- Se obtiene la raíz cuadrada de la parte entera siguiendo los mismos pasos que si fuese un número natural.

- Terminada la parte entera, se pone coma en la raíz. - Se bajan las dos cifras decimales siguientes. En caso de que el radicando no tenga

cifras decimales o tenga solamente una se ponen ceros hasta completar dos cifras.

- Se continúa el mismo proceso que si se tratase de la parte entera. Se da por terminada la operación cuando se hayan bajado todas las cifras decimales del radicando.

Ejercicio

Escribe en forma de potencia:

a) 6·6·6·6·6 =

b) 10·10 =

c) 2·2·2·2·2·2·2 =

d) a·a·a·a =

e) 7·7·7·7 =

f) 4·4·4 =

Ejercicio

Expresa y calcula:

a) 42 =

b) 63 =

c) 54 =

d) 25 =

Ejercicio


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Calcula las siguientes raíces cuadradas:

a) V 1225 =

b) V 1444 =

c) V 2401 =

d) V 3844 =

12. División de números

Imagen nº 5. División Fuente: Wikipedia. https://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)


12.1. División de números naturales

Existen numerosas situaciones de la vida cotidiana en las que utilizas la división. Es una operación que se utiliza para repartir.

Por ejemplo, tenemos que 84 huevos y queremos empaquetarlos por docenas. ¿Cuántas docenas tendremos?

Tenemos que encontrar un número que al multiplicarlo por 12 nos dé 84.

Los términos de la división son:


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El dividendo (28) indica el número de elementos que hay que repartir. El divisor (3) indica el número de grupos que hay que hacer. El cociente (9) indica el número de elementos que debe tener cada grupo. El resto (1) indica los elementos que sobran. Cuando no sobra ninguno, la división se llama exacta, y cuando sobra algo, se llama inexacta o entera (como en este caso).

El símbolo que utilizamos para dividir es “:”

12.1.1. Cociente por defecto y por exceso

¿Qué ocurre si queremos hacer la división 42 : 5?

No hay ningún número natural que multiplicado por 5 dé 42, ya que 5 x 8 = 40 (no llega) 5 x 9 = 45 (se pasa)

Se dice que 8 es el cociente por defecto ya que al multiplicarlo por 5 da 40 y no llega a 42, y 9 es el cociente por exceso ya que al multiplicarlo por 9 da 45 y se pasa de 42.

A veces es mejor calcular el cociente por exceso y otras veces por defecto, según el tipo de situación que tengamos que resolver.

En toda división por defecto se cumple la siguiente propiedad fundamental: dividendo = divisor x cociente + resto.

De esta forma podemos comprobar si hemos realizado una división bien o mal:

74 = 9 · 8 + 2

12.1.2. ¿Cómo se realiza una división?

Vamos a dividir 14503 : 70


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Si queremos dividir por dos cifras deberemos empezar tomando del dividendo dos cifras, si vemos que es menor que el divisor tomaremos 3 cifras.

Por ejemplo: 14503 : 70 =

Como 14 es menor que 70 debemos tomar las tres primeras cifras, es decir 145, dividimos por 70 y esto dará por resultado 2, lo escribimos en el cociente,multiplicamos 2 x 70 = 140, lo escribimos y restamos: 145 -140 = 5.

Ahora bajamos el 0 y repetimos el mismo proceso. Podemos pensar que 370 : 53 son 7, pero al multiplicar 7 · 53 = 371, obtenemos un número mayor que 370, luego, pondremos en el cociente un 6 multiplicamos 2 x 70 = 140, lo escribimos y restamos: 145 -140 = 5, luego bajamos la siguiente cifra que es un 0, se nos forma el número 50 que deberemos dividir por 70 pero como es menor que el colocamos un 0 en el cociente. Finalmente bajamos la última cifra y nos quedará formado 503. Cuantas veces cabe 70 en 503? La respuesta es 7, lo colocamos en el cociente y seguimos como siempre. El cociente nos quedará 207 y el resto 13 (recuerda que siempre debe ser menor que el divisor).

Comprobamos: 207 x 70 + 13 = 14490 + 13 = 14503

Se debe cumplir siempre que el resto debe ser menor que el divisor.

12.1.3. División por la unidad seguida de ceros

Para hallar el cociente de una división de un número terminado en ceros por la unidad seguida de ceros, se pueden tachar del dividiendo tantos ceros como tiene la unidad. Para ello es necesario que el dividendo tenga al menos tantos ceros como el divisor, aunque en próximos temas veremos otra forma de hacerlo.


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5300 : 100 =

53 580 : 10 = 58

Ejemplo resuelto:

Para hacer una excursión de fin de curso se han apuntado 249 personas y vamos a contratas autobuses de 55 plazas. ¿Cuántos autobuses serán necesarios? 2 4 9 : 5 5 = 4 y el resto es 29.

Según la división se llenarían 4 autobuses, quedando aún 29 personas, por lo que nos hará falta un autobús más.

Por tanto la respuesta correcta es: Son necesarios 5 autobuses.

Resuelve los siguientes problemas.

a) Un grifo deja salir 15 litros de agua por minuto, ¿Cuánto tiempo tardará en llenar un depósito de 675 litros?

b) ¿Cuántos años son 5475 días? Se considera que un año tiene 365 días.

c) Queremos guardar 768 latas de refresco en cajas de 24 latas cada una. ¿Cuántas cajas son necesarias?

d) María, Antonio y Ana coleccionan sellos. Su tío tiene 235 para repartir entre los tres. ¿Cuántos puede dar a cada uno? ¿Sobrará algún sello?

Realiza las siguientes divisiones:

a) 49067 : 31 Cociente: _____________

Resto: _____________

b) 34597 : 475 Cociente: _____________

Resto: _____________

Indica el cociente de las siguientes divisiones:

a) 54000 : 1000 =

b) 7100 : 10 =

c) 470 : 10 =

d) 31000 : 100 =


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12.2. División de números enteros

¿Cuánto baja la temperatura cada hora si en cuatro horas ha bajado -8 ºC? La respuesta es -2 ºC.

La operación ha realizar es una división: (-8) : (+4) = -2 ºC

Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos. El cociente tiene signo positivo si los dos números o factores tienen el mismo signo y signo negativo si tienen diferentes signos.

Se sigue la misma regla de los signos que para el producto.

Antes de pasar al siguiente apartado, para saber más sobre números enteros, aquí tenemos unas páginas que te ayudarán.

Página principal del programa descartes:

Definición de los números enteros y la realización de operaciones con ellos:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/enterosdesp/introduccionenteros.htm

Operaciones con números enteros:

http://matematicasies.com/spip.php?rubrique56

http://ponce.inter.edu/cremc/enteros.htm

Ejercicio


a) 6 : (− 2) =

b) (–20) : (+10) =

c) (–30) : (-5) =

d) (1 – 9 + 2) : (–3) =

13. Prioridad de operaciones

Curiosidad

Al realizar operaciones matemáticas, nos encontramos con situaciones en las que según vayamos efectuando las operaciones el resultado cambia.

Por ejemplo, ¿cuál es el resultado de esta operación? 2 + 7 · 5

Algunos dirían que es 45, pero no es así es 37.


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Esto se debe a que el 7 tiene un + a la izquierda y un · a la derecha, por lo que una de las dos operaciones debe realizarse antes que la otra. Para ello hay una prioridad de operaciones para evitar que a cada persona le dé una solución diferente.

LA PRIORIDAD DE OPERACIONES son una serie de reglas que todos debemos seguir para obtener el mismo resultado en las mismas operaciones.

Las operaciones básicas de mayor a menor prioridad son:

1º) Potencias y raíces.

2º) Multiplicaciones y divisiones (se realiza lo que primero nos encontremos de izquierda a derecha y no primero todas las multiplicaciones y luego todas las divisiones)

3º) Sumas y restas.

Por otro lado hay operaciones dónde aparecen paréntesis, corchetes y llaves. En este caso se hay que aplicar la prioridad de operaciones resolviendo

1º Paréntesis ()

2º Corchetes []

3º Llaves {}

Ejercicio resuelto

[15 - (8 - 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 - 4 )] =

Primero resolvemos las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 - (8 - 5 )] · [5 + (6 - 4 )] =

Real izamos las sumas y restas de los paréntesis. = [15 -3 ] · [5 + 2 ] =

Operamos en los corchetes. = 12 · 7

Mult ipl icamos. = 84

Ejercicio

Resuelve las siguientes operaciones:

a) 6 · (- 3) + 5 · (- 2) + (- 4) · (- 5) =

b) -2 · [ -3 + 4 · (-5 -2) ] =

c) 2 – 3 · [(5 – 2) · (3 – 6 ) + 8 ] =

d) 20 – 9 · 2 – (-5) · (-2) =

e) 2 · (3 + 5 ) – (8 – 1) + (-1) · (3 + 1) – 8 =

f) 9 : [ 6 : (-2) ] =


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g) [(+7) · (-20) ] : (+10) =

h) (+4) · (1 – 9 + 2) : (-3) =

i) [35 – (6 – 34) + (8 – 22)] : 7 =

j) 7 · [6 – (- 5)] – 4 · (5 – 3) =

8) Uso de la calculadora y el ordenador para resolver operaciones

Imagen nº 6. Uso de la calculadora y el ordenador. Fuente: Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Calculadora


8.1. Uso de la calculadora

La calculadora científica realiza los cálculos siguiendo la prioridad de operaciones, además contiene teclas de paréntesis, teclas para introducir una fracción...etc. En cambio, las no científicas no respetan el orden de las operaciones, por lo que para su utilización debes utilizar la tecla de memoria.

Para hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con la calculadora disponemos de las teclas:

, , y

Al teclear un número de más de tres cifras, no pongan nunca el punto después de las unidades de millar ya que la calculadora lo entendería como un número decimal.

Para saber el resultado de una operación debes teclear la tecla

Por ejemplo, para realizar la multiplicación 5 x 25 debes pulsar las siguientes teclas:


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Las calculadoras llevan una tecla de memoria M+, la cuál te permite guardar un número que vayas a emplear muchas veces en alguna operación.

Por ejemplo: Tienes una cuenta en el banco con 23.546 € y cada mes te ingresan 458 €. Quieres saber cómo irá aumentando la cuenta a lo largo de 4 meses. Para hacer los cálculos con la calculadora debes realizar los siguientes pasos:

1. Tecleas: Así, el número se queda en la memoria

aunque borres la pantalla.

2. Borrar la pantalla tecla

3. Para saber el dinero que tendrás el primer mes teclear lo siguiente:

4. Cada vez que pulses las teclas irás obteniendo el resultado de los siguientes meses.

Para borrar el número de la memoria pulsa la tecla

Para saber más

El inventor de la calculadora universal fue Gottfried Wilhelm Leibniz, tras un largo proceso (23 años) ideó un dispositivo capaz de realizar múltiples sumas y restas: un contador de pasos, consistente en una rueda dentada cilíndrica con nueve dientes o varillas de longitud variable. Esta rueda dentada, en forma de tambor cilíndrico, impulsaba la maquinaria de los cálculos por medio de otra rueda menor, también dentada, que se desplazaba a lo largo de su eje por medio de un dial que marcaba el número por el que se quería multiplicar o dividir. Así, la máquina repetía la suma o la resta el número establecido de veces, hasta conseguir la multiplicación o la división deseada. Este original dispositivo recibe el nombre de rueda escalada de Leibniz:


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Artículo extraído de http://paginaspersonales.deusto.es/airibar/Ed_digital/INF/Intro/Calc_universal.html

8.2. Utilización del ordenador para resolver diferentes operaciones

También podemos realizar cálculos con el ordenador. En este caso recurriremos a las hojas de cálculo. Aunque estos contenidos los abordaremos en una unidad didáctica más adelante, vamos a intentar explicar aquí los conceptos básicos para que puedas realizar cálculos sencillos.

Existen numerosos programas que manipulan datos con hojas de cálculo. Aquí veremos el más popular y extendido, se trata de la hoja de cálculo Excel.

La principal función de las hojas de cálculo es realizar operaciones matemáticas, de la misma manera que trabaja la más potente calculadora, pero también la de computar complejas interrelaciones y ordenar y presentar en forma de gráfico los resultados obtenidos.

Los principales elementos de trabajo son:

- Fila: Es un conjunto de varias celdas dispuestas en sentido horizontal.

- Título de fila: Está siempre a la izquierda y nombra a las filas mediante números.

- Columna: Es un conjunto de varias celdas dispuestas en sentido vertical.

- Título de columna: Está siempre arriba y nombra a las columnas mediante letras.

- Celda: Es la intersección de una fila y una columna y en ella se introducen los datos, ya se trate de texto, números, fecha u otros tipos. Una celda se nombra mediante el nombre de la columna, seguido del nombre de la fila. Por ejemplo, la celda que es la intersección de la fila 29 con la columna F, se denomina F29.

- Barra de fórmulas: Barra situada en la parte superior de la ventana que muestra el valor constante o fórmula utilizada en la celda activa. Para escribir o modificar valores o fórmulas, seleccione una celda o un gráfico, escriba los datos y, a continuación, presione ENTRAR.


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Selecciona ahora otra celda y escribe en la barra de fórmulas: =( 5 + 2 ) * 3. Verás que ahora el resultado es 21, puesto que primero hace la suma del paréntesis y después multiplica por 3.

Ejemplo resuelto:

Escribe en la barra de fórmulas la operación = 34 + 5 * 2 - 7 * ( 2 + 3 ) para ver cuál es el resultado.

El programa primero calcula el paréntesis ( 2 + 3 ) que da 5.

A continuación las multiplicaciones 5 * 2 que da como resultado 10 y 7 * 5 que da 35.

Nos queda 34 + 10 – 35 que da como resultado 9

Referencias de celda: Una fórmula puede hacer referencia a una celda. Si deseas que una celda contenga el mismo valor que otra, introduce un signo igual seguido de la referencia a la celda. Siempre que se cambie la celda a la que hace referencia la fórmula, cambiará también la celda que contiene la fórmula.

La siguiente fórmula multiplica el valor en la celda B2 por 5. Cada vez que se cambie el valor en la celda B2 se volverá a calcular la fórmula.

= B2 * 5

Es decir, en la celda B2 escribes un valor y en otra celda cualquiera escribes la fórmula = B2 * 5. Obtendrás el resultado de multiplicar el valor de lo que hayas escrito en la celda B2 por 5. Cada vez que cambies el valor de la celda B2 cambiará el resultado de la multiplicación. Mira la figura y practica con otros ejemplos.


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Ejemplo resuelto

También podemos realizar diversas operaciones con números colocados en diferentes celdas. Por ejemplo, en la celda A1 escribimos 34, en la celda A2 escribimos 786 y en la celda A3, escribimos 29. Ahora nos colocamos en la celda A4 y escribimos lo siguiente: = SUMA(A1:A3). Pulsamos Enter y nos realiza la suma.

También se puede hacer así: Nos colocamos en la celda A4, seleccionamos las celdas A1 a A3 y pulsamos sobre el símbolo sumatorio o autosuma.


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Como hemos comentado al principio, la hoja de cálculo realiza múltiples operaciones.

Operadores matemáticos

Sumar (+) = 10 + 5

Restar (-) = 10 - 5

Multiplicar (*) = 10 * 5

Dividir (/) = 10 / 5

Puedes probar a realizar restas, multiplicaciones y divisiones.

Ejemplo resuelto

Vamos a organizar una hoja que nos calcule el cociente y el resto de una división:

Abre una hoja de cálculo nueva. En la celda A1 escribe DIVIDENDO. En la celda B1 vamos a escribir el dividendo de la división, por ejemplo escribe 3478. En la celda A2 escribe DIVISOR. En la celda B2 vamos a escribir el divisor, por ejemplo 56.

En la celda A3 escribe COCIENTE.

En la celda B3 vamos a escribir la fórmula que nos calculará el cociente. Sitúate en la celda B3 y en la barra de fórmulas escribe: =COCIENTE(B1;B2) y pulsa Intro. Obtendrás 62

NOTA: Si esta función no está disponible y devuelve el error #¿NOMBRE?, instala y carga el programa de complementos Herramientas para análisis. Lo puedes hacer así:

1. En el menú Herramientas, elije Complementos.

2. En la lista Complementos disponibles, selecciona el cuadro Herramientas para análisis y, a continuación, haz clic en Aceptar.

3. Si es necesario, sigue las instrucciones del programa de instalación.

En la celda A4 escribe RESTO.

En la celda B4 vamos a escribir la fórmula que calculará el resto. Sitúate en dicha celda B4 y en la barra de fórmulas escribe: = RESIDUO( B1 ; B2 ) y pulsa Intro. Obtendrás 6.

Ahora no tienes más que cambiar el valor de las celdas B1 y B2 para ir calculando las divisiones que desees.


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9. Resolución de problemas utilizando números naturales

George Polya, matemático húngaro, en 1945 estableció cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque a la hora de buscar la solución a dicho problema:

Con estos pasos podemos establecer una estrategia para la resolución de problemas consistente en establecer 3 columnas:

DATOS OPERACIÓN RESPUESTA

Aquí se colocan los datos que se plantean en el problema y

se determina la incógnita

Aquí se realizan todas las operaciones (razón, lógico) y

se determina la respuesta

Aquí se contesta a las preguntas del

problema


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Ejercicios

Un edificio de 30 pisos tiene el ascensor estropeado y para llegar a la azotea es preciso subir andando 540 peldaños (escaleras). Eva sube 30 peldaños por minuto y Sergio 45. ¿Cuánto tardará cada uno en subir a la azotea?

Ejercicios

Los termómetros de 2 lugares distintos marcan -7ºC y 12ºC. ¿Cuántos grados de diferencia hay entre ambos lugares?

Ejercicios

Carlos gana 8 euros por hora peinando caballos. Después de trabajar 8 horas tenía 94 €. ¿Cuánto dinero tenía antes de comenzar a trabajar?


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Soluciones a los ejercicios propuestos

Apartado 1.2. Actividad 1

a) 2.008

b) 600.432

c) 10.005

d) 12.315.201

e) 110.200.009

f) 305.022


a) Cuatrocientos treinta y cinco millones, doscientos siete mil setecientos cincuenta y seis

b) Dieciséis millones, quinientos tres mil doscientos tres

c) Trescientos treinta y cinco mil seiscientos noventa y ocho

d) Doscientos mil catorce

Apartado 1.2.1 Actividad 1

a) 5605 < 5506

b) 646 < 664

c) 5010 > 5001

d) 6304 < 6403

Apartado 1.2.1 Actividad 2

45.693 < 54.956 < 56.505 < 78.549

Apartado 2.1 Actividad 1

a) De la planta -1 a la planta -3 el ascensor baja 2 plantas.

b) De la planta 3 a la planta 0 el ascensor baja 3 plantas.

c) De la planta -3 a la planta -2 el ascensor sube 1 planta.

d) De la planta -2 a la planta 2 el ascensor sube 4 plantas.

e) De la planta 4 a la planta -2 el ascensor baja 6 plantas


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a) Estar situado a 310 m sobre el nivel del mar: ( +310 )

b) Perder 400 euros: ( -400 )

c) Ocho grados bajo cero: ( -8 )

d) Ganar 300 euros: ( +300 )

e) El año 370 a. C.: ( -370 )

f) Diecisiete grados sobre cero: ( +17 )

g) Bucear a 11 metros de profundidad: ( -11 )



a) +4 ó -4

b) -5

c) -7


a) -10, -5, 0, +3, +4, +6

b) -8, -7, -6, +2, +4, +8


a) -4 < -3

b) -2 < +6

c) 0 > -8

d) +6 > +5


a) Op(+4) = -4

b) Op(-6) = +6

c) Op(-5) = +5

d) Op(3) = -3


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e) Op(0) = 0

f) Op(-8) = +8


a) 6570 + 167 + 8658 = 15395

b) 563132 + 54006 + 66707 = 683845

c) 4657 + 506 + 568 + 70 = 5801


a) 528 - 324 = 204

b) 11929 – 8974 = 2955


a) 935670 - 422405 = 513265

b) 1438294 - 543271 = 895023

c) 456799 – 375832 = 80967


a) ( - 5 ) – ( + 7 ) = -12

b) ( + 4 ) – ( - 6 ) = +10

c) ( - 3 ) – ( - 7 ) = +4

d) ( +4 ) – ( +2 ) = +2

e) ( +4 ) – ( +6 ) = -2


a) 12 - 5 = +7

b) 12 - (-5) = +17

c) -12 - 5 = -17

d) -12 - (-5) = -7


a) (+6) – (-2) + (-5) – (+4) = -1

b) (-5) – (-5) – (+7) + (-6) = -13

c) (-1) – (-10) + (+5) – (+7) = +7

d) 14 - (12 + 2) = 0


Página 4 de 7

e) 17 - (-9 - 14) = +40

f) -14 + (6 - 13) = -21

g) 2 + (7 – 3) – (8 – 4) = +2

h) -1 – (2 – 5) + (7 – 4) = +5


a) 3·b + 5·b – 2·b = (3 + 5 – 2)·b,

b) 6 x 4 + 3 x 4 + 2 x 4 = (6 + 3 + 2) x 4

c) 6·a + 6·b = 6·(a + b)

d) 2·a + 2·c = 2·(a + c)


a) 2306 x 305 = 703330

b) 7650 x 400 = 3060000

c) 3785 x 501 = 1896285


a) 425 x 100 = 42500

b) 632 x 10 = 6320

c) 35 x 1000 = 35000


a) (-4) · (+2) = -8

b) (+3) · (+7) = +21

c) (+3) · (-5) = -15

d) (-5) · (-12) = +60

e) 2 · (-3) = -6

f) 4 · (-5) · 2 = -40

g) 3 · (-3) · (-7) = +63

h) (-2) · (-5) · (-9) = -90


a) 3 · (-3) + 4 · (-2) + (-4) · (-5) = +3

b) -2 · [-6 + 5 · (-4 -2)] = +72

c) 17 – 9 · 2 – (-5) · (-4) = -21

d) 2 · (6 + 4) – (1 – 8) + (-1) · (6 + 1) – 1 = +19


Página 5 de 7


a) 6·6·6·6·6 = 6 elevado a 5

b) 10·10 = 10 elevado a 2

c) 2·2·2·2·2·2·2 = 2 elevado a 7

d) a·a·a·a = a elevado a 4

e) 7·7·7·7 = 7 elevado a 4

f) 4·4·4 = 4 elevado a 3


a) 42 = 16

b) 63 = 216

c) 54 = 625

d) 25 = 32


Solución : 35

Solución : 38

Solución : 49

Solución : 62


a) 675 : 15 = 45 minutos

b) 5475 : 365 = 15 años

c) 768 : 24 = 32 latas

d) 235 : 3 ⇒ Cociente: 78; Resto: 1. 78 sellos a cada uno y sobra un sello


a) 49067 : 31

Cociente = 1582

Resto = 25

b) 34597 : 475

Cociente = 72

Resto = 397


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a) 6 : (− 2) = -3

b) (–20) : (+10) = -2

c) (–30) : (-5) = +6

d) (1 – 9 + 2) : (–3) = +2

Apartado 7. Actividad 1

a) 6 · (- 3) + 5 · (- 2) + (- 4) · (- 5) = -8

b) -2 · [ -3 + 4 · (-5 -2) ] = +62

c) 2 – 3 · [(5 – 2) · (3 – 6 ) + 8 ] = +5

d) 20 – 9 · 2 – (-5) · (-2) = -8

e) 2 · (3 + 5 ) – (8 – 1) + (-1) · (3 + 1) – 8 = -3

f) 9 : [ 6 : (-2) ] = -3

g) [(+7) · (-20) ] : (+10) = -14

h) (+4) · (1 – 9 + 2) : (-3) = +24

i) [35 – (6 – 34) + (8 – 22)] : 7 = +7

j) 7 · [6 – (- 5)] – 4 · (5 – 3) = +69


COMPRENDER EL PROBLEMA:

Datos: Edificio: 30 pisos 540 peldaños Eva sube 30 peldaños min. Sergio sube 45 peldaños min.

Incógnita: ¿Cuánto tarda Eva y cuánto Sergio?

2. TRAZAR UN PLAN:

Datos que no se utilizan: 30 pisos

Descomponer el problema en otros más pequeños y decidir qué operación se realiza:

Eva: 30 peldaños/ min. Total 540 peldaños, por lo tanto dividiremos todos los peldaños entre los que sube en 1 min (30)

Sergio: 45 peldaños/ min. Total 540 peldaños, por lo tanto dividiremos todos los peldaños entre los que sube en 1 min (45)

De esta manera me dará el tiempo que tarda en subir.

3. PONER EN PRÁCTICA EL PLAN.

Hacer las operaciones

Eva 540 : 30 =18 minutos

Sergio 540 : 45 = 12 minutos

4. COMPROBAR LOS RESULTADOS

Se revisan las operaciones y se comprueba que la solución sea lógica.


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b) Los termómetros de 2 lugares distintos marcan -7ºC y 12ºC. ¿Cuántos grados de diferencia hay entre ambos lugares?


Datos: -7 ºC y 12 ºC

Incógnita: ¿Cuántos grados de diferencia hay?

Operación a realizar: Resta

12 - ( -7) = 12 + 7 = 19

Comprueba el resultado dibujando la recta numérica:

Solución: Hay 19ºC hay de diferencia entre ambos lugares.


COMPRENDER EL PROBLEMA:

Datos: Gana 8€ la hora. Trabaja 8 horas. Tiene 94 €

Incógnita: ¿Cuánto dinero tenía antes de empezar a trabajar?

2. TRAZAR UN PLAN:

Descomponer el problema en otros más pequeños y decidir qué operación se realiza:

Gana 8 € y trabaja 8 horas

¿Cuánto ha ganado?

Tiene 94 €, para saber cuánto tenía tengo que quitar lo que ha ganado.

3. PONER EN PRÁCTICA EL PLAN.

Hacer las operaciones

8 € * 8 horas = 64 € ha ganado

Tiene 94 € - 64 € que ha ganado = 30 € tenía

4. COMPROBAR LOS RESULTADOS

Se revisan las operaciones y se comprueba que la solución sea lógica.

Antes de empezar a trabajar tenía 30 €

ACT 1. Bloque 1. Tema 2. Divisibilidad de los números naturales

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Bloque 1. Tema 2.

Divisibilidad de los números naturales

ÍNDICE

1) Múltiplos de un número natural.

2) Divisores de un número natural. 2.1. Cálculo de los divisores de un número natural. 2.2. Criterios de divisibilidad.

3) Números primos y números compuestos.

4) Descomposición de un número en factores primos.

5) Máximo común divisor de un conjunto de números. 5.1. Método general para calcular el M.C.D. de un conjunto de números.

6) Mínimo común múltiplo de un conjunto de números. 6.1. Método general para calcular el m.c.m. de un conjunto de números.

7) Actividades donde aplicar el máximo común divisor y del mínimo común múltiplo.

8) Para saber más.

9) Enlaces de interesantes.

10) Autoevaluación.

Introducción

Cuando hablamos de divisibilidad de números naturales y por tanto enteros, en el fondo lo que estamos haciendo es medir cuántas veces un número contiene exactamente a otro.

Para desarrollar este apartado debemos empezar definiendo algunos conceptos muy fáciles de entender y básicos para la aritmética.

Para afrontar este tema deberemos conocer el concepto de número Natural y de número Entero.


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1) Múltiplos de un número natural

Los múltiplos de un número dado, son los números que se obtienen al multiplicar el número dado por todos los números naturales salvo el 0.

Puesto que hay infinitos números naturales, un número tendrá infinitos múltiplos.

Por ejemplo para expresar los cuatro primeros múltiplos del número 5 pondremos:

Para saber si un número natural es múltiplo de otro simplemente debes hacer la división y comprobar si es exacta. Ejemplo. ¿Es el número 364 múltiplo de 7?

La respuesta es claramente sí, pues el número 7 multiplicado por el número natural 52 nos dará el número 364. Luego el número 364 contiene 52 veces al número 7.

También podríamos indicar que 364 es múltiplo de 7 de la siguiente forma:

(Observa que encima del número 7 hemos puesto un punto).

Ejercicio

Obtén cinco múltiplos del número 7, que sean menores que 1000.

2) Divisores de un número natural

Cuando dividimos dos números naturales (recuerda que el dividendo debe de ser mayor o igual que el divisor), si el resto de dicha división es cero, diremos que la división es exacta.

Los divisores de un número natural son aquellos números que pueden dividirlo de manera exacta.

Así, el número 7 es divisor de 364 o también podemos decir que el número 364 es divisible entre 7 ya que al dividir 364 entre 7 el resto es 0.

Para saber si un número es divisor de otro, solo tienes que hacer la división y comprobar si el resto es 0.

Ejercicio

¿El número 9 es divisor de 74, o el número 74 es divisible por 9 ?


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2.1. Cálculo de los divisores de un número natural

Para calcular los divisores de un número dado, realizaremos divisiones repetidas de dicho número por los números naturales comenzando por el uno, hasta que el cociente que obtengamos sea menor o igual que el divisor.

Los divisores del número dado serán todos los divisores y los cocientes de las divisiones exactas que hayamos obtenido en el proceso.

Veamos como calcularíamos los divisores por ejemplo del número 18.

Luego los divisores del número 18 serán: 1,2,3,6,9,18

Debes recordar que entre los divisores de cualquier número siempre están el 1 y el mismo número.

Ejercicio

Calcular los divisores del 15

Ejercicio

Observa que “un número tiene infinitos múltiplos pero solo unos cuantos divisores”. ¿Te atreverías a dar una razón?

Ejercicio

¿Cómo mínimo, cuántos divisores tendrá un número?


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2.2. Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son unas reglas que nos permiten averiguar si un número es divisible por otro sin necesidad de efectuar la división. Vamos a ver algunas de estas reglas:

• Un número es divisible por 2 si acaba en cero o en cifra par. Ejemplo: 534 y 430 son divisibles entre dos.

• Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de tres. Ejemplo: el 681 es divisible entre 3 ya que si sumas sus cifras: 6 + 8 + 1 = 15, y el 15 es múltiplo de 3.

• Un número es divisible por 4 si las dos últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 4. Ejemplo: el 824 y el 7200 son divisibles por 4. El 824 por que sus dos últimas cifras, 24, son múltiplo de 4 y el segundo número 7200, por ser sus dos últimas cifras 00.

• Un número es divisible por 5 si acaba en cero o en 5. Ejemplo: el 675 y el 980 son divisibles entre cinco.

• Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez. Ejemplo: el 528 es divisible por 6 porque es divisible por 2 (ya que acaba en cifra par) y también es divisible por 3 (ya que al sumar sus cifras da un número múltiplo de 3, como se ve a continuación 5 + 2 + 8 = 15).

• Un número es divisible por 7 cuando al quitarle la cifra de las unidades y restarle el duplo de esta cifra el número resultante es cero o múltiplo de siete.

Ejemplo. 105 ¿es múltiplo de siete?

Y el número 2 261, es también múltiplo de 7.


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• Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8. Ejemplo: 4 000, 1 048, 1 512, ...

• Esta regla es idéntica a la del 3. Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplo: el 684 es divisible entre 9 ya que si sumas sus cifras: 6 + 8 + 4 = 18 y el 18 es múltiplo de 9.

• Un número es divisible por 10 si acaba en cero.

• Un número es divisible por 11 cuando la diferencia de la suma de las cifras del lugar par y la suma de las cifras del lugar impar es múltiplo de 11. (La resta se hace en el sentido que sea posible). Ejemplo: 96855 es divisible entre 11 ya que si sumamos las cifras de lugar impar 5+8+9=22, y las de lugar par 5+6=11 y luego restamos 22-11=11, que es múltiplo de 11.

Ejercicio

¿Cuáles de los siguientes números son divisibles por 9 y por 3?

657, 872, 8.743, 9.357, 4.518

Ejercicio

Indica el dígito que debe introducirse en el recuadro “ ” para que se cumplan las siguientes condiciones:

a) 4521 sea divisible por 6

b) 2231 sea divisible por 3

c) 5204 sea divisible por 5

d) 6173 sea divisible por 11


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3) Números primos y números compuestos

Los números primos (llamados por los griegos prótos arithmos), son todos los números naturales, mayores que 1, los cuales son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.

Cuando un número no es primo se dice que es compuesto y estará formado por la multiplicación de números primos.

• Para hallar los números primos menores que 100, podemos utilizar la llamada criba de Eratóstenes (matemático griego que vivió en el siglo III a.C).

Se procede así:

1) Se escriben todos los números desde el 2 (primero número primo) hasta el 100.

2) Tachamos de 2 en 2 a partir del 2. De esta forma se suprimen todos los números múltiplos de dos.

3) Tachamos de 3 en 3 a partir del 3. Así se suprimen los números compuestos múltiplos de tres.

4) Y así sucesivamente vamos tachando de 5 en 5, de 7 en 7, y de 11 en 11.

Pero al hacer esto se observa que los múltiplos de 11 ya están tachados, por lo que no hace falta continuar.

Los números que no han sido tachados son primos. Y son los que figuran en esta tabla.

• Si los números fueran muy grandes, para saber si es primo podríamos proceder como hicimos para determinar los divisores de un número.

Se divide el número por la serie de los números primos hasta llegar a una división, cuyo cociente sea igual o menor que el divisor. Si todas las divisiones son inexactas, el número propuesto es primo.


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Veamos si el número 127 es un número primo.

Ejercicio

Averigua cuáles de los siguientes números son primos:

a) 123

b) 101

c) 169

d) 97

e) 143

Ejercicio

¿Cuantos números primos podríamos hay?

4) Descomposición de un número en factores primos

Cualquier número natural compuesto se puede descomponer de forma única en productos de potencias de factores primos. (Teorema fundamental de la aritmética)

El procedimiento de factorización consiste en dividir el número dado y sus cocientes sucesivos, por el menor número primo distinto de 1 que sea divisor, de manera progresiva hasta llegar a un cociente de valor la unidad.

Vamos a descomponer en sus factores primos el número 90.

Es conveniente comenzar el proceso de manera ordenada, partiendo del menor primo que sea divisor. (Aunque podríamos empezar por el que quisiéramos)


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CASO DE UN NÚMERO QUE ACABE EN CEROS: al descomponer en factores un número que acabe en ceros, podemos considerar que la descomposición factorial de 10 = 2 . 5; de 100 = 22 . 52; 1.000 = 23 . 53 y así sucesivamente.

Por ello, al descomponer el número 3.000 en factores primos, podemos escribir directamente: 3.000 = 3. 1000 = 3 . 23 . 53

Si descomponemos el 70.000 sería: 70.000 = 7 . 10000 = 7 . 24 . 54

Ejercicio

Haz la descomposición en factores primos de los siguientes números:

a) 180; b) 250 ; c) 640; d) 5000

5) Máximo común divisor de un conjunto de números

Dado dos o más números naturales, el máximo común divisor, si existe, será el mayor de los divisores comunes que tengan los números dados.

Este es un concepto que vas a comprender muy bien con el siguiente ejemplo:

Los divisores del 24 son: 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2 y 1

Los divisores del 90 son: 90, 45, 30, 18, 15, 10, 9, 6, 5, 3, 2 y 1

Los números señalados en rojo son divisores comunes a 24 y 90 y el mayor de esos divisores es el 6. Luego 6 es el máximo común divisor.

- Dos números se dice que son primos relativos entre sí cuando sin ser ellos números primos, su único divisor común es el 1, es decir, no tienen divisores comunes.

Por ejemplo 20 y 21 son primos relativos entre sí, porque sólo tienen el 1 como único divisor común, lo mismo que 12 y 35.


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5.1. Método general para calcular el M.C.D. de un conjunto de números

Pero el cálculo del m.c.d de la manera indicada nos llevaría mucho tiempo, mejoramos el rendimiento si utilizamos la descomposición factorial.

Así, el M.c.d de varios números dados, si existe, será el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente.

Observa el siguiente ejemplo. Calculemos el máximo común divisor de 12 y de 30:

Para ello seguiremos el siguiente procedimiento:

1º. Realizaremos la descomposición factorial de los números dados:

12 = 22 ·3 30 = 2·3·5

2º. El máximo común divisor es el producto de los factores comunes con el menor exponente:

M.C.D.= 2 · 3 = 6

Ejercicio

¿Dado dos o más números naturales siempre existirá el m.c.d entre ellos?

¿De existir el m. c. d será un número mayor, igual o menor a los números dados?

Ejercicio

Calcula el m.c.d. de los siguientes pares de números:

a) 30 y 24

b) 32 y 240

c) 180 y 210

d) 120 y 320

Ejercicio

Resuelve esta posible situación que le ocurrió a un dependiente de ultramarinos.

Tenía que preparar un envío de 18 paquetes de leche entera y 12 de leche desnatada en cajas, de manera que:

a.) No se mezclen los paquetes de cada tipo de leche.

b.) Que no sobre ningún paquete.

c.) Que cada caja lleve la misma cantidad de paquetes.

d.) Que cada caja lleve el mayor número posible de paquetes.

¿Cuántas cajas harían falta y cuántos paquetes llevará cada caja?


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6) Mínimo común múltiplo de un conjunto de números

El mínimo común múltiplo de un conjunto de números es el múltiplo común más pequeño que comparten.

Este concepto lo vas a comprender muy bien con el siguiente ejemplo:

Los múltiplos del 6 son: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48;...

Los múltiplos del 4 son: 4, 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36;…

Los números marcados en azul son múltiplos comunes a ambos y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el más pequeño de los comunes; es decir el 12

El método que hemos seguido no es el más adecuado para hacer el cálculo del mínimo común múltiplo ya que solo es útil cuando se trata de números muy sencillos. Es más eficiente emplear el proceso de factorización que veremos seguidamente.

Así, dados dos o más números naturales, el mínimo común múltiplo será el obtenido al multiplicar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente de la descomposición factorial de dichos números.

6.1. Método general para calcular el m.c.m. de un conjunto de números

Pero el cálculo del m.c.m de la manera indicada anteriormente, nos llevaría mucho tiempo, mejoramos el rendimiento si utilizamos la descomposición factorial.

Así, el m.c.m de varios números dados, que siempre existe, será el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente de la descomposición factorial de dichos números..

Observa el siguiente ejemplo. Calculemos el máximo común divisor de 12 y de 30:

Para ello seguiremos el siguiente procedimiento:

1º. Realizaremos la descomposición factorial de los números dados:

2º. El mínimo común múltiplo es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente: m.c.m.= 22· 3. 5 = 60


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Ejercicio

Determina el mínimo común múltiplo de 60 y 90

Ejercicios

1) ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de los números 125 y 225?

a) 525

b) 1125

c) 225

2)

a) ¿Por qué nunca nos piden calcular el máximo común múltiplo?

b) ¿Por qué nunca se nos pide calcular el mínimo común divisor?

3) En una urbanización el jardinero arregla el jardín cada 12 días y los cristales del edificio se limpian cada 30. El presidente de la comunidad se reúne con el jardinero y el limpiador cada vez que estos coinciden en la urbanización. Hoy han coincidido y la reunión se ha celebrado, ¿dentro de cuantos días se celebrará la próxima reunión?

4) Dados los números 20 y 30, determina el producto de su mcm x mcd. Factoriza el número resultante y saca una conclusión.

7) Actividades donde aplicar el M.c.d. y el m.c.m.

1) Se quiere aserrar una plancha de madera en cuadrados lo más grandes posible. ¿Cuánto podrá medir el lado de cada cuadrado si la longitud de la plancha es de 120 cm y la anchura de 75 cm?

2) Un barco A sale de un puerto cada 18 días y un barco B sale del mismo puerto cada

27 días. Hoy han coincidido ambos barcos en el puerto. ¿Cuánto tiempo tardarán en volver a coincidir?

3) Una pareja de novios han quedado para verse a las 7 de la tarde en un bar, pero, por equivocación, cada uno va a un local diferente de la misma calle. Ella sale cada 15 minutos para comprobar si llega el novio y él sale cada 10 minutos. ¿A qué hora se encontrarán?

4) Se quiere cercar con estacas un campo rectangular de 756 metros de largo y 234 metros de ancho. Se pretende que todas las estacas estén a la misma distancia entre sí y que haya una estaca en cada esquina. ¿Cuál es el menor número de estacas que hay que poner?


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8) Para saber más.

Cálculo del máximo común divisor por el Algoritmo de Euclides.

Este procedimiento se fundamenta en el principio de divisibilidad por el cual, “si un número divide a la vez al dividendo y al divisor de una división dada, dividirá también al resto de dicha división si no fuese exacta.

El procedimiento consiste en realizar una primera división, sin esta resulta exacta el divisor de la misma será el número buscado, si no, procedemos a dividir el divisor anterior por su resto, hasta conseguir una división exacta. Si no se alcanzase esta significaría que no tienen divisores comunes.

Ejercicio

Determina el máximo común divisor si existe de 420 y 360, utilizando el algoritmo de Euclides.

Para determinar el m.c.d de varios números utilizando el algoritmo de Euclides empezaríamos calculado el m.c.d de dos de ellos, luego calcularíamos el m.c.d del resultado anterior con el siguiente número y así sucesivamente. El último mcd hallado si existe será el número buscado.

Ejercicio

Determina el máximo común divisor si existe de 420, 360, 720 y 450 utilizando el algoritmo de Euclides.

Recuerda que para empezar el algoritmo siempre el dividendo tiene que ser mayor que el divisor.

Ejercicio

Determina el mcd de 380, 420, 170 y 35 utilizando el algoritmo de Euclides.

9) Enlaces de interesantes.

En el siguiente enlace podrás encontrar desarrollado el tema de los múltiplos y divisores, con ejemplos interactivos.

Es recomendable:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/index.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/divisibilidad/mcd_mcm.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Multiplos_divisores/desfacto.htm


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10) Autoevaluación.

Pregunta.1.- Elige el valor que debe tomar la letra “a” para que el número 413a sea divisible por 2.

a) 0, 2 y 5

b) Cualquier dígito impar

c) Cualquier dígito par

Pregunta.2.- Elige el valor que debe tomar la letra “a” para que el número 2a46 sea divisible por 3.

a) 0, 3, 6 y 9

b) 2, 5 y 8

c) 0, 4, 6 y 8

Pregunta.3.- El m.c.d. (60,90) y m.c.m. (60,90)

a) el m.c.d es 180 y el m.c.m 30

b) el m.c.d es 30 y el m.c.m 180

c) el m.c.d es 30 y el m.c.m 120

Pregunta.4.- Cual de las siguientes cuestiones es la correcta.

a) Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. Volverán a estar los dos a la vez en Barcelona dentro de 70 días.

b) Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. Por tanto la longitud del lado de cada cuadrado debe ser de 32 cm.

Pregunta.5.- Di cuáles de los siguientes números es primo:

a) 327

b) 451

c) 771

Pregunta.6.- El mcd de 120 y 320, es:

a) 30

b) 120

c) 40


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Pregunta.7.- El número 151 es un número primo. ¿Cuántos múltiplos tiene?

a) Dos el 1 y el mismo.

b) 151 múltiplos.

c) Una cantidad innumerable de números.

Pregunta.8.- De dos números sabemos que el producto de su m.c.d por su m.c.m es 216. Si uno de los números sabemos que es 36, ¿cúal será el otro número?

a) 6

b) 16

c) 3

Pregunta.9.- Tres cables que miden 115, 80 y 75 m se dividen en el menor número posible de trozos de igual longitud. ¿Cuántos trozos obtendremos y de que longitud?

a) 56 trozos de 6 m

b) 45 trozos de 10 m

c) 54 trozos de 5 m

Pregunta.10.- La factorización del número 750 es:

a) 53.2.5

b) 53.2.3

c) 52.2.5

ACT 1. Bloque 1. Tema 2. Divisibilidad de los números naturales.

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Soluciones a los ejercicios propuestos


7 X 1 = 7

7 x 10 = 70

7 x 20 = 140


El número 9 no es divisor de 74, pues 74 no es múltiplo de 9 y por tanto 74 no tiene una medida exacta de nueves. Es decir:


Claro, los divisores del quince serán los divisores y cocientes de las divisiones exactas.


Dado un número por ejemplo el 20, como mucho podría llegar a tener 20 divisores (que no es el caso) pues el número 21 como divisor ya no podría generar una división entera por ser de cardinal mayor al dividendo.

Por tanto un número solo puede tener unos cuantos divisores.


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Claro, un número siempre tendrá como mínimo dos divisores, el uno y el mismo.


657

9357

4518

Solo tenemos que comprobar si es divisible por 9 pues todo número divisible por 9 lo es también por 3.


a) 4521 0 sea divisible por 6

b) 2231 7 sea divisible por 3

c) 5204 5 sea divisible por 5

d) 6173 2 sea divisible por 11


101 169 97 143


a) 180 = 22.32.5

b) 250 = 2.53

c) 640 = 24.5

d) 5000 = 23.54


Dados dos o más números naturales no tiene porque existir un número que sea divisor común de todos ellos, pues cada uno de los números puede venir generado por números primos distinto.

De existir el m.c.d deberá ser un número igual o más pequeño que el menor de los números, pues de no ser así no podríamos hacer divisiones enteras exactas. Es decir, repartos exactos. Pues con el o los números que fuesen más pequeños aparecerían divisiones decimales.


a) 30 = 2·3·5 y 24 = 23·3

b) 32 = 4·8= 25 y 240 = 24·10= 23· 3·2·5= 24·3·5

c)


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d)


Como no podemos mezclar los tipos de leche, debemos empaquetar en cajas diferentes los 18 cartones de leche entera y los 12 de leche desnatada.

Las cajas deben contener el mismo número de cartones de leche, que supondremos C.

Si Nentera es el número de cajas necesarias para empaquetar los 18 cartones de leche entera, entonces pondríamos: 18 = Nentera. C.

Si Mdesnatada es el número de cajas necesarias para empaquetar los 12 cartones de leche desnatada, entonces pondríamos: 12 = Mdesnatada C

Por tanto podríamos poner:

Nentera. = 18/ C de la misma manera, Mdesnatada =12/C

Como el número de cajas debe ser un número entero y no deben sobrar huecos en ellas, C, debe ser un divisor de 12 y 18.

Divisores del 12: 2, 3, 4, 6,12

Divisores comunes: 2, 3, 6

Divisores del 18: 2, 3, 6, 9, 18

Por tanto el problema se resolvería cogiendo cajas de capacidad 2, 3, ó 6 cartones de leche, pero como nos piden que cada caja lleve el mayor número de cartones la solución sería los embalajes con capacidad para 6 cartones de leche.


Por tanto el m.c.m (60,90)=22·32·52


1125


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a) Pues porqué nunca podríamos saber cual es, ya que múltiplos comunes a varios números hay infinitos y por tanto por un número muy grande que dijeras como múltiplo, siempre se podría encontrar otro múltiplo mayor que el anterior.

b) Porqué sería una tontería, ya que el menor divisor que compartirían una serie de números siempre es la unidad.


El jardinero arreglara el jardín al pasar 12 días, 24 días, 36 días,…

El limpiador hará la limpieza al pasar 30 días, 60 días, 90 días,…

Coincidirán cuando los días transcurridos sean iguales para los dos, ese número tiene la característica de ser múltiplo común de 12 y 30. Además será el menor pues nos piden que calculamos la primera vez que vuelven a coincidir.

El m.c.m.(12,30)=60, es decir cada 60 días.


20 = 22·5 ; 30 = 2·3·5,

mcm(20,30)=60 ;mcd(20,30)=10; mcm(20,30) x mcd(20,30)=600

Factorizamos 600= 23·3·52 = 22·5·2·3·5 = 20·30

Por tanto concluido que el producto del mcm x mcd de DOS NÚMEROS es igual al producto de dichos números.


m.c.d. (120,75) = 15 cm medirá el lado del cuadrado.


a) 425 x 100 = 42500

b) 632 x 10 = 6320

c) 35 x 1000 = 35000


m.c.m. (18,27) = 108. Volverán a coincidir al cabo de 108 días.


m.c.m. (10,15) = 30 minutos. Se encontrarán a las 7 y media.


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m.c.d. (756,234) = 18 m (de separación máxima)

756 : 18 = 42 estacas a lo largo

234 : 18 = 13 estacas a lo ancho

(42 + 13) · 2 = 110 estacas en total



Del caso práctico anterior ya sabemos que el mcd(420,360)= 60

Ahora calcularemos el mcd de 60 y 720.

Ahora calcularemos el mcd de 60 y 450

Por tanto concluimos que el mcd de 420, 360, 720 y 450 es 30


El mcd de 380, 420, 170 y 35 es 5


Cualquier dígito par


Cualquier dígito par


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El m.c.d es 30 y el m.c.m 180






40


Una cantidad innumerable de números.


6


Una cantidad innumerable de números.


53.2.3

ACT 1. Bloque 02. Tema 4. Los números racionales y decimales. Operaciones.

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Bloque 02. Tema 4.

Los números racionales y decimales. Operaciones.

ÍNDICE

1) LAS FRACCIONES.

1.1. Concepto.

1.2. Fracciones equivalentes.

1.3. Fracción propia e impropia.

1.4. Simplificación de fracciones.

1.5. La fracción como un operador.

1.6. Reducción de fracciones a un denominador común.

1.7. Comparación de fracciones.

2) OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES.

2.1. Suma y resta de números racionales.

2.2. Multiplicación de números racionales.

2.2.1. Números inversos.

2.3. División de números racionales.

2.4. Operaciones combinadas. Jerarquía de operaciones.

3) NÚMEROS DECIMALES.

3.1. Relación entre fracciones y decimales.

3.1.1. ¿Cómo se escribe una fracción decimal en forma de número decimal?

3.1.2. ¿Cómo se escribe una fracción ordinaria en forma de número decimal?

3.1.3. Cálculo de fracciones generatrices.

3.2. Ordenación y representación de números decimales.

3.3. Operaciones con decimales.

3.3.1. Suma y resta de números decimales.

3.3.2. Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros.

3.3.3. Multiplicación de números decimales.

3.3.4. División de un número decimal por la unidad seguida de ceros.

3.3.5. División de un número decimal entre un número natural.

3.3.6. División de dos números decimales.

4) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES.


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Introducción

Imagen nº 1 Los números Racionales y decimales. Fuente:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Fracciones_decimales_

porcentajes/Fracciones_4.htm

Autor: Desconocido. Licencia: CC

1) LAS FRACCIONES

La carrera automovilística de las 24 horas de Le Mans es una prueba de resistencia que se disputa anualmente cerca de Le Mans, en Francia. Los participantes, deben dar el mayor número posible de vueltas a un circuito semipermanente de 13,65 km de longitud, durante 24 horas seguidas. Cada equipo está formado por tres pilotos que se relevan cada dos horas, por lo que cada piloto hace de la carrera y descansa los , aunque antes de 1970 sólo se permitían dos pilotos por vehículo.

¿Qué fracción de la carrera realizaba entonces cada piloto?

En esta primera parte del tema trabajaremos con fracciones, como los que aparecen en este texto. Como podrás apreciar, están muy presentes en nuestra vida cotidiana.

1.1) Concepto

Seguramente más de una vez hemos visto en los medios de comunicación, en los comercios, o hablando con algún amigo expresiones de este tipo:

• Un tercio de las patatas “chips” es grasa. • El tren con destino a Madrid trae un retraso de tres cuartos de hora. • Uno de cada 100 nacidos en España es celiaco. • Los gastos, que ascienden a 3450 €, tienen que repartirse entre los 12 vecinos del

inmueble.

Todas estas formas de hablar se representan en matemáticas por un tipo de números que se llaman fraccionarios:


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Fracción es una o varias partes iguales en que dividimos la unidad. Las fracciones representan siempre una cierta parte de "algo". Ese "algo" es la unidad que elegimos.

Una fracción es un par de números naturales a y b en la forma

El número de abajo se llama denominador e indica las partes iguales en que dividimos la unidad.

El número de arriba se llama numerador e indica las partes que cogemos.

La figura se ha dividido en 6 partes de las que 2 están coloreadas y 4 no.

La fracción de figura sombreada es

La fracción de figura no sombreada es

Por ejemplo:

• Si tenemos 10 caramelos y los repartimos entre cinco niños, cada niño toca a dos caramelos, la fracción asociada es

• Si vamos a una fiesta y la tarta se parte en nueve trozos, y yo me como 2, la fracción asociada es

• Por último, si tenemos diez carameros y cero niños, ¡no tenemos a quién dar caramelos!, por lo que no tiene sentido repartir nada, es decir, no tienen sentido fracciones como .

¡Ojo! No podemos dividir por cero, luego el número b no puede ser cero.

Veamos ahora cómo se leen las fracciones. Cuando el denominador es mayor de 11, se le añade la terminación avo.

Primero se lee el numerador como cualquier número.

Después se lee el denominador de esta manera: - Si es el 1 se lee enteros. - Si es el 2 se lee medios. - Si es el 3 se lee tercios. - Si es el 4 se lee cuartos. - Si es el 5 se lee quintos - Si es el 6 se lee sextos - Si es el 7 se lee séptimos - Si es el 8 se lee octavos - Si es el 9 se lee novenos - Si es el 10 se lee décimos


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- Si es más de 10 se lee el número terminado en avos. Ejemplo onceavos, doceavos, treceavos, ...

- Si es una potencia de 10 se lee el número terminado en ésimos. Ejemplo centésimos, milésimos, diezmilésimos,...

Ejercicio 1

Escribe las siguientes fracciones. Señala el numerador y el denominador de cada una.

Fracción Numerador Denominador

a) Dos tercios

b) Tres cuartos

c) Cinco séptimos

d) Ocho novenos

e) Un sexto

Ejercicio 2

Escribe y representa las siguientes fracciones:

Fracción

a) Tres séptimos

b) Siete octavos

c) Un cuarto

d) Seis sextos

e) Doce quinceavos


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1.2) Fracciones equivalentes

Si se reparten 6€ entre tres personas ¿Cuánto recibe cada una? ¿Y si se reparten 12€ entre seis personas?

Puedes comprobar que en ambos casos el resultado es el mismo, es decir 2 euros.

Dos fracciones son equivalentes cuando escritas de distintas maneras tienen el mismo resultado.

Veámoslo con un gráfico:

Imagen nº 2: Fracciones equivalentes

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n

Autor: Desconocido Licencia: Dominio público

Para comprobar que dos fracciones son equivalentes, basta con multiplicar en cruz y observar que el resultado obtenido es el mismo.

Para multiplicar en cruz se opera de la siguiente manera: numerador de la primera fracción por denominador de la segunda fracción y denominador de la primera fracción por numerador de la segunda.

si se cumple que 3.8=4.6

En general, ,si a.d=b.c

Para obtener fracciones equivalentes a una dada basta con multiplicar o dividir el numerador y del denominador por el mismo número. Si obtenemos fracciones equivalentes mediante multiplicaciones, se denominan fracciones amplificadas:


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Imagen nº 3: Obtención de fracciones amplificadas. Autor: M. Pilar Alcaide Ciudad

Si obtenemos fracciones equivalentes mediante divisiones, se denominan fracciones simplificadas:

Imagen nº 4: Obtención de fracciones simplificadas Autor: M. Pilar Alcaide Ciudad

Si tenemos dos fracciones equivalentes y a una de ellas le falta un término, es fácil calcularlo:

Por tanto la fracción que es equivalente a y que tiene por numerador 8 es .

Veamos qué sucede cuando las fracciones tienen un signo negativo en el numerador o en el denominador.

Ejemplo: ¿Será equivalente a ? Para responder, multiplicamos en cruz:

-3.(-5) = 3.5; 15 = 15; luego sí son equivalentes.

En general, cualquier fracción de la forma es equivalente a la fracción , pero

resulta más cómodo tener el signo negativo (-) en el numerador.


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Veamos ahora qué sucede cuando las fracciones tienen un signo negativo en el numerador y en el denominador.

Ejemplo: ¿Será equivalente a ? Para responder, multiplicamos en cruz:

-4.7 = -7.4; -28 = -28; luego sí son equivalentes.

En general, cualquier fracción de la forma es equivalente a la fracción , pero

resulta más cómodo tener el numerador y el denominador positivos, que ambos

negativos.

NÚMEROS RACIONALES: veamos el siguiente ejemplo:

Las fracciones son fracciones distintas, pero equivalentes, ya que 1.4=2.2,

2.6=3.4, 3.8=6.4 gráficamente esta equivalencia se representa así:

Imagen nº 5: Fracciones equivalentes

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n


Como vemos, estos números significan lo mismo, por lo que son EL MISMO NÚMERO RACIONAL. En general, decimos que un número racional es una fracción y todas las

que son equivalentes a ella. El conjunto de los números racionales se representa con la letra Q.

Ejercicio 3

Simplifica las siguientes fracciones:


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1.3) Fracción propia e impropia

Fracción propia es la que el numerador es menor que el denominador. El valor de esta fracción es menor que la unidad.

Ejemplos: a) < 1 b) < 1 c) < 1

Fracción impropia es la que el numerador es igual o mayor que el denominador. Si el numerador y el denominador son iguales, la fracción vale una unidad.

Ejemplos: a) b)

Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción vale más que la unidad.

Ejemplos: a) > 1 b) > 1 c) > 1

En resumen:

numerador < denominador Fracción < 1

Fracción propia numerador = denominador Fracción = 1

Fracción impropia numerador > denominador Fracción > 1 Fracción impropia

1.4) Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente cuyos términos sean números más pequeños.

Para simplificar se divide el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número que sea divisor de ambos.

Cuando una fracción no se puede simplificar más se dice que es irreducible y sus términos son primos entre sí.

Para simplificar una fracción y obtener su fracción irreducible, se calcula el máximo común divisor (m.c.d.) del numerador y del denominador y se dividen ambos por dicho m.c.d. Recuerda que en el bloque anterior se estudió cómo calcular el máximo común divisor.

Ejemplo: Vamos a simplificar la fracción hasta calcular su fracción irreducible:

Solución: Calculamos el máximo común divisor del numerador y del denominador; m.c.d. (24,36) = 12; y dividimos el numerador y el denominador por el m.c.d.:

24:12= 2 36:12= 3 → La fracción irreducible es

Ejercicio 4

Simplificar las siguientes fracciones:


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1.5) La fracción como un operador

Ejemplo 1 En una localidad se sabe que son jóvenes y son adultos. Veamos lo que significa esto.

Si no sabemos cuántas personas hay en la localidad, no podremos averiguar nada más. Quiere decir que podemos dividir a la localidad en 7 grupos iguales, de los cuales 2 serán jóvenes y 5 personas mayores. También lo podemos decir de otra forma: por cada 7 personas que hay, 2 son jóvenes y 5 adultos.

Si nos dicen que en esa localidad hay 2.275 habitantes, sí podremos calcular cuántos serían jóvenes. Hemos dicho que significa dividir la población en 7 partes iguales y tomar 2. Por lo tanto, las operaciones que debemos hacer son: 2275 : 7 = 325; 325 · 2 = 650, que serán los jóvenes

También podemos hacer las operaciones en orden contrario y el resultado será el mismo: 2275 · 2 = 4550; 4550 : 7 = 650

La forma de expresarlo es: de 2275 = 650, o bien: (2275) = 650

A veces se nos puede plantear el problema en sentido contrario.

Ejemplo 2

Una persona recibe los de un premio. Si ha recibido 3500 euros, ¿cuánto era el premio total?

Veámoslo con un gráfico:

Solución: El premio se ha dividido en 5 partes, de las cuales esa persona ha recibido 2 partes. Por tanto, habrá que dividir la cantidad entre 2 y multiplicar el resultado por 5:

3500 : 2 = 1750; 1750 · 5 = 8750 euros era el importe del premio.

Aunque en la práctica lo que se suele hacer es:

1º multiplicar la cantidad por 5: 3500 · 5 = 17500

2º dividir el resultado entre 2: 17500 : 2 = 8750


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1.6) Reducción de fracciones a un denominador común

Para expresar varias fracciones con el mismo denominador vamos a utilizar el método del mínimo común múltiplo (m.c.m.). Para ello seguiremos estos pasos:

1) Se halla el m.c.m. de los denominadores.

2) Se coloca el m.c.m. como denominador común a todas ellas.

3) Para hallar el numerador de cada fracción se divide el m.c.m. por el denominador que tenía la fracción y el cociente obtenido se multiplca por el numerador.

Ejemplo: Vamos a reducir a común denominador las fracciones

Solución: Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores: m.c.m. (3,6,4) = 12; que será el nuevo denominador de todas ellas, y calculamos los numeradores:

Ejercicio 5

Reducir las siguientes fracciones a común denominador

1.7) Comparación de fracciones

Vamos a distinguir dos tipos de fracciones:

1. De igual denominador. En este caso es mayor la fracción que tiene mayor numerador.


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2. De distinto denominador. En este caso se reducen las fracciones a común denominador y aplicamos el criterio anterior, tal como se muestra en el ejemplo siguiente:

Ejemplo resuelto: y ; como m.c.m. (5,7) = 35, tenemos y ; de donde

se deduce que > al ser mayor el numerador, y por lo tanto: >

Ejercicio 6

Escribe el signo > o <, donde corresponda.

2) Operaciones con números racionales

Observad la utilización de los números racionales en el siguiente texto:

Uno de los matemáticos que más fama dieron a Alejandría fue Diofanto, quien vivió en la época de Pappo (siglo IV). Diofanto se consagró al álgebra, y ha legado a la posteridad el término ecuaciones diofánticas, que se refieren a las de soluciones enteras. Un epigrama griego nos narra de forma concisa su vida:

Fue muchacho 1/6 de su vida, su barba creció luego 1/12 más, se casó 1/7 después, tuvo un hijo cinco años más tarde, que vivió la mitad de la edad de su padre, el cual murió cuatro años después de su hijo.

2.1) Operaciones con números racionales

Vamos a partir del siguiente ejemplo: Supongamos que tenemos un préstamo concedido. Hace cuatro meses anticipamos de la cantidad inicialmente prestada, y hace un mes anticipamos . ¿Qué fracción de dinero hemos anticipado?

La respuesta es . La operación a realizar es una suma:

Si te fijas hemos sumado los numeradores (2 y 1) y hemos dejado sin cambiar los denominadores (5).

¿Qué fracción de dinero nos queda por pagar?

Si hemos pagado 3 de 5, nos queda por pagar 2 de 5.

La operación realizada es una resta. Nuestra cantidad inicial es . Como hemos pagado una parte, nos queda por pagar:

De nuevo los numeradores se restan y los denominadores quedan como están.


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¿Qué fracción obtendríamos si primero anticipáramos y luego ?

De nuevo hay que sumar ambas fracciones: + . Observa que los denominadores son distintos: 5 y 3.

Para sumar o restar números racionales, estos han de tener el mismo denominador. Por tanto, hay que transformar estas fracciones en otras equivalentes cuyo denominador sea el mismo.

Realizamos los cálculos necesarios, tal y como hemos visto anteriormente:

m.c.m.( 3 ,5)= 15, luego y

El préstamo lo hemos fraccionado en 15 partes, de las cuales hemos pagado 11.

Ejemplos Suma y resta de fracciones con distinto denominador

Caso particular 1. Si en una suma o resta de fracciones aparece un número entero, lo escribiremos en forma de fracción, poniéndole por denominador la unidad.

Ejemplo:

Caso particular 2. ¿Cómo realizarías una suma o resta de fracciones si aparece un signo negativo en el denominador de algunas de las fracciones?

Teniendo en cuenta que: ; y que esto ocurre en general para cualquier

fracción , y como el signo negativo en el denominador nos puede complicar

mucho a la hora de poner el mismo denominador. Por tanto conviene sustituir esa

fracción por otra equivalente, pero con el signo negativo en el numerador.

Ejemplo: Para realizar la siguiente suma, actuaremos como sigue:

, y a continuación se calcula como sabemos.


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2.2) Multiplicación de números racionales

Gasto al mes de mi sueldo. La mitad de estos gastos corresponde al pago de la hipoteca. ¿Qué fracción de mi sueldo corresponde al pago de la hipoteca? Tendremos que calcular la mitad de un tercio (fracción como operador):

Como vemos en la imagen,

Para multiplicar números racionales se halla un nuevo número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.

En general: , numerador es el producto de los numeradores; denominador es el producto de los denominadores.

Ejemplos:

a) b) c)

Caso particular. Para multiplicar un número entero por un número racional, multiplicaremos el entero por el numerador del número racional y dejaremos el denominador como está.

En realidad escribimos el número entero en forma de fracción, con denominador 1 y realizamos la multiplicación:

Ejemplo resuelto:

a)

b)

c)


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A veces es conveniente simplificar antes de realizar la multiplicación.

Ejercicio Resuelto:

Si queremos realizar la siguiente multiplicación , será conveniente descomponer en factores los números que aparecen en el numerador y denominador:

24= 2.2.2.3 ; 45= 3.3.5; 81= 3.3.3.3; 16= 2.2.2.2;

Ahora podemos tachar los factores que están repetidos en el numerador y el denominador y el resultado sería el siguiente:

Ejercicio 7


2.2.1) Números inversos

Dada una fracción , decimos que la fracción es su fracción inversa porque al multiplicarlas se obtiene la unidad:

Por ello, para escribir el inverso de una fracción se cambia el numerador por el denominador y viceversa.

Ejemplos

El inverso de es ;

El inverso de 5 es


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2.3) División de números racionales

Al dividir dos números racionales obtendremos otro número racional cuyo numerador será la multiplicación del numerador de la primera por el denominador de la segunda y cuyo denominador será la multiplicación del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Observa que es como si se multiplicara en cruz.

En general:

Numerador : producto del numerador de la 1ª fracción por denominador de la 2ª.

Denominador: producto del denominador de la 1ª fracción por numerador de la 2ª

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

En alguna ocasión puede darse el caso que nos encontremos divisiones expresadas de esta forma:

Si colocamos la división de otra forma, tendremos:

Pero para evitar tener que recolocar estas expresiones, vamos a ver cómo se resuelven.

Cuando tengamos expresiones de este tipo , el resultado será otra fracción, cuyo numerador será el producto de los términos extremos (3.5) y cuyo numerador será el producto de los términos del medio (4.2); es decir:

Ejercicio 8



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2.4) Operaciones combinadas. Jerarquía de operaciones.

Para realizar operaciones combinadas hay que seguir la misma jerarquía que se ha usado con los números naturales y enteros.

El procedimiento sería el siguiente: - Primero resolvemos los paréntesis, - después las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha - y por último las sumas y restas en el orden en que estén escritas. La fracción que

resulte se simplificará siempre que sea posible. Ejemplos:

a) Primero hacemos las multiplicaciones y divisiones. Luego la suma.

b) Primero hacemos las divisiones,luego la resta.

c) Primero los paréntesis segundo la resta

d) Primero el paréntesis y la división. Por último la resta.

e) Primero el paréntesis, después la multiplicación y por último la resta.

Ejercicio 9

Realiza las siguientes operaciones.

9.1

9.2

9.3

9.4


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3) Números decimales

Un decimal es un número fraccionario y se indica por medio de dígitos después de un punto llamado punto decimal, este punto nos sirve para escribir valores más pequeños de la unidad, como son las décimas, las centésimas, milésimas.... etc.

Décimas, centésimas y milésimas son órdenes decimales. En un número decimal representamos las unidades decimales situándolas a la derecha de las unidades y separadas por una coma. En los números decimales distinguimos dos partes: entera y decimal.

Imagen nº 6. Partes de los números decimales. Autor: Ana José García Tejas

Las fracciones que tienen por denominador la unidad seguida de ceros se llaman fracciones decimales.

Si el denominador es diez, la fracción se lee nombrando el numerador seguido de la palabra décimos o décimas.

Ejemplo: se lee: tres décimos.

Si el denominador es cien, la fracción se lee nombrando el numerador seguido de la palabra centésimos o centésimas.

Ejemplo: se lee: siete centésimas.

3.1) Relación entre fracciones y decimales

Hay una correspondencia entre los números decimales y los racionales, y es que a cada número decimal podemos hacerle corresponder una fracción decimal.

Imagen Nº 7. Correspondencia de número decimal a fracción.

Autor: Ana José García Tejas


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3.1.1) ¿Cómo se escribe una fracción decimal en forma de número decimal?

Se escribe sólo el numerador y se separan con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como ceros tenga el denominador. Ejemplos: ; ;

La coma se puede colocar abajo o arriba; es decir, la podrás ver así 5,6 y así 5’6.

Para leer un número decimal se dice primero la parte entera, seguida de la palabra “unidades” o “enteros” y después se lee la parte decimal acabando con el nombre del lugar que corresponde a la última cifra decimal.

Imagen nº8: Lectura de decimales. Autor: Ana José García Tejas

Si quieres escribir cualquier número decimal, por ejemplo 58 milésimas, tienes que colocar el 8 en el lugar de las milésimas. Por lo tanto el 5 estará en el lugar de las centésimas. Deberás colocar 0 en el lugar de las décimas y otro 0 en el de las unidades. Es decir, quedará así: 0,058.

Si añadimos ceros a la derecha de un número decimal su valor no varía.

Por tanto, 3,45 = 3,450 = 3,45000

Ejercicio 10

Escribe cómo se leen estos números:

a) 3,82 = _______ unidades _______________________ centésimas

b) 5,1 = _______ unidades, __________ décimas

c) 4,356 = _______ unidades, _________________________________ milésimas

d) 0,03 = _______ centésimas


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3.1.2) ¿Cómo se escribe una fracción ordinaria en forma de número decimal?

Para escribir una fracción en forma decimal se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo para convertir en forma de número decimal tenemos que dividir el numerador entre el denominador:

Imagen nº 9: Ejemplo de pasar una fracción a número decimal. Autor: Ana José García Tejas

Puede ocurrir que al escribir una fracción en forma decimal no se obtenga nunca resto cero en la división, es decir, no se obtenga un decimal exacto. Esto por ejemplo ocurre al calcular el número decimal que corresponde a la fracción .

Imagen nº10: División inexacta. Autor: Ana José García Tejas

El cociente es 2,7272.... es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales que se repiten indefinidamente. A este número se le llama decimal periódico. Y al conjunto de cifras que se repiten se le llama periodo.

Este número se puede expresar así ó en lugar de una línea un arco en la cifra que se repite de forma indefinida.

Cuando en un número decimal el período empieza justo detrás de la coma, se dice que el decimal es periódico puro. Si entre la coma y el periodo hay varias cifras decimales, el decimal se llama periódico mixto. A las cifras que hay antes del periodo se llama anteperiodo.


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Imagen nº11: Número decimal periódico mixto Autor: Ana José García Tejas

Ejercicio 11

Escribe estas fracciones en forma de número decimal.

a) = ____________

b) = ____________

c) = ____________

d) = ____________

e) = ____________

3.1.3) Cálculo de fracciones generatrices

Un número decimal se puede escribir en forma de fracción. A dicha fracción se le llama fracción generatriz.

La fracción generatriz de un decimal exacto es una fracción que tiene por numerador el número sin coma, y por denominador se pone la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número decimal. Ejemplos:

La fracción generatriz de un decimal periódico puro es una fracción que tiene por numerador al propio número, escrito sin los signos coma y periodo, menos el número formado por las cifras anteriores a la coma o parte entera del número decimal. Por denominador tiene tantos nueves como cifras hay en el periodo.

Ejemplos:


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Curiosidad

Los decimales periódicos mixtos lógicamente también se pueden escribir en forma de fracción, ésta tendrá como numerador el propio número escrito sin los signos coma y periodo, menos el número entero con las cifras no periódicas. Por denominador tiene tantos ceros como números periódicos seguida de tantos 0 como parte decimal no periódica.

Ejemplo:

Ejercicio 12

Escribe las fracciones generatrices de estos números decimales:

a) 5,1 = Numerador ______; Denominador ______

b) 0,002 = Numerador ______; Denominador ______

c) 0,555 = Numerador ______; Denominador ______

d) 2,353535 = Numerador ______; Denominador ______

3.2) Ordenación y representación de números decimales

Sabemos que los números son infinitos y que entre dos números hay infinidad de números, pero ¿cuál es mayor?

Para ordenar se compara cifra por cifra, es decir:

1. La parte entera.

2. Si tienen la misma parte entera, nos fijamos en las décimas.

3. Si tienen las décimas iguales, nos fijamos en las centésimas...etc.

Un número decimal es mayor que otro, si al representarlo en la recta numérica queda más a la derecha.

Ejemplo:

Imagen nº12 Representación números decimales. Autor: Ana José García


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3.3) Operaciones con decimales

Las operaciones con números decimales son similares a las operaciones con números naturales con la particularidad de la coma decimal. En los siguientes apartados aprenderás a colocar la coma decimal en los resultados de las distintas operaciones. Curiosidad La idea del uso de la coma o el punto para los números decimales se atribuye a matemáticos como Giovani Magini o John Napier, a finales del SXVI. En 1968, Leibnitz, propuso usar el punto como signo de multiplicación, la coma quedó para separar la parte decimal del número. Pero en Inglaterra, se siguió utilizando el símbolo x para la multiplicación y el punto para separar los decimales. En el mundo digital, el punto ha ganado a la coma para separar los decimales.

3.3.1) Suma y resta de números decimales

Para sumar o restar dos números decimales hacemos lo siguiente:

1) Colocamos los números uno debajo del otro alineados por la coma.

2) Si no tienen el mismo número de cifras decimales, completamos con ceros aquel que tiene menos para igualarlo al otro término.

3) Se realiza la suma y la resta y colocamos la como alineada con los términos que operamos.

Ejemplo: Vamos a sumar 37,265 + 17,3

Ponemos los términos en vertical, alineados por la coma, y completamos con ceros las partes decimales correspondientes.

Imagen nº 13 Suma decimal.

Autor: Ana José García

Ejemplo: Vamos a restar 31,57 - 15,292

Imagen nº 14. Resta decimal.



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Ejercicio 13

Complete realizando las operaciones que se indican:

a) 57,28 + 35,2 + 4,257 = __________

b) 15,75 – 3,251 = __________

c) 9,35 + 35,1 – 3,2 = __________

3.3.2) Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros

Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma hacia la derecha tantas posiciones como ceros tiene el número. Si no hay suficientes lugares o posiciones, se añaden ceros a la derecha del número.

Ejemplos:

0,32 x 10 = 3,2; 3,68 x 100 = 368; 2,6 x 1000 = 2600

Ejercicio 14

Resuelve las siguientes multiplicaciones:

a) 15,56 x 10000 = ____________

b) 13,89 x 100 = ____________

c) 0,567 x 10 = ____________

d) 52,57 x 1000 = ____________

e) 32,2 x 10 = ____________

3.3.3) Multiplicación de números decimales

Para multiplicar dos números decimales hacemos lo siguiente:

1) Colocamos los números decimales uno debajo del otro alineados a la derecha.

2) Multiplicamos como si fueran números naturales.

3) En el resultado ponemos la coma empezando a contar por la derecha, tantas cifras como la suma de decimales de los dos factores.


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Ejemplo: Vamos a multiplicar 325,5 x 5,34

Imagen nº 15. Multiplicación decimales.


Ejercicio 15

Hemos comprado 32,5 l de leche a 0,92 € el litro. ¿Cuánto hemos pagado?

_____ - _____ = __________

Ejercicio 16

Realiza:

a) 15,3 · 12,71 = __________

b) 7,67 · 6,832 = __________

c) 6 · 9,876 = __________

3.3.4) División de un número decimal por la unidad seguida de ceros

Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tiene la unidad. Si no hay suficientes cifras para desplazar la coma, añadimos ceros.

Ejemplos:

36 : 10 = 3,6; 27 : 1000 = 0,027; 4,5 : 1000 = 0,0045

Ejercicio 17


a) 36,38 : 10 = ____________

b) 1205 : 1000 = ____________

c) 72,81 : 10 = ____________

d) 1398, 3 : 100 = ____________

e) 45,6587 : 1000 = ____________


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3.3.5) División de un número decimal entre un número natural

Para dividir un número decimal entre un número natural se divide la parte entera y cuando se llega a la parte decimal se pone la coma en el cociente y se sigue dividiendo.

Ejemplo:

Imagen nº 16. División de número decimal entre número entero. Autor: Ana José García

Ejercicio 18


a) 61,7 : 15 = ________

b) 43,9 : 32 = ________

c) 57, 5 : 35 = ________

d) 2,4 : 7 = ________

3.3.6) División de dos números decimales

Para dividir dos números decimales lo primero es quitar los decimales del divisor, por lo que en el dividendo se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como cifras decimales tiene el divisor. Si el dividendo tiene menos cifras decimales que el divisor, se añaden ceros a la derecha.

Vamos a ver a continuación varios ejemplos del arreglo previo que hay que realizar en la división de dos números decimales:


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En este otro caso no tenemos bastantes cifras en el dividendo, por lo que deberemos añadir algún cero:

A continuación se realizarían las divisiones como ya sabemos.

Pero vamos a comenzar la primera de las divisiones por tratarse de un ejemplo singular.

Recuerda que aquí también se mantiene la priorización de operaciones que hemos visto en apartados anteriores. Por tanto, en caso de que en una operación haya paréntesis, multiplicaciones, divisiones, sumas y restas, se empiezan resolviendo los paréntesis, a continuación las multiplicaciones y divisiones y finalmente las sumas y restas.

Ejercicio 19


a) 34,9 : 2,3 = __________

b) 1,26 : 5,1 = __________

c) El tío de Andrés quiere repartir 14,52 euros entre sus tres sobrinos. ¿Cuánto dará a cada uno? __________

d) Hemos comprado varios litros de leche pagando por la compra 20,4 euros. Si cada litro cuesta 0,85 €, ¿cuántos litros hemos comprado? __________


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3.3.6) Resolución de problemas utilizando números racionales y decimales

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES.

Estrategias para la resolución de problemas matemáticos

PASO 1

Comprender el problema ¿Entiendo todo lo que dice el problema? ¿Puedo plantearlo con mis propias palabras? ¿Distingo cuáles son los datos? ¿Los datos que me proporcionan son suficientes para resolver el problema? ¿Sé a qué quiero llegar? ¿Este problema es similar a otros que haya resuelto antes?

PASO 2

Hacer un plan para resolver el problema. Representación gráfica

PASO 3

En este paso corresponde traducir la representación gráfica del problema en expresiones matemáticas y realizar las operaciones que sugiere.

PASO 4

Comprobar el resultado.

¿Es esta la solución correcta?

¿Puedo demostrar que esta es la solución correcta?

¿Hay alguna solución más sencilla?

¿Puedo emplear este mismo procedimiento en algún otro problema?

Ejercicio 20.

Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad, ¿cuánto le queda?

Ejercicio 21.

Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?

Ejercicio 22.

Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?


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Ejercicio 23.

De un depósito con agua se sacan 184.5 l y después 128.75 l, finalmente se sacan 84.5 l. Al final quedan en el depósito 160 l. ¿Qué cantidad de agua había el depósito?

Ejercicio 24.

Eva sigue un régimen de adelgazamiento y no puede pasar en cada comida de 600 calorías.

Ayer almorzó: 125 g de pan, 140 g de espárragos, 45 g de queso y una manzana de 130 g.

Si 1 g de pan da 3.3 calorías, 1 g de espárragos 0.32, 1 g de queso 1.2 y 1 g de manzana 0.52.

¿Respetó Eva su régimen?

EJERCICIOS PARA PRACTICAR

Ejercicio 25

En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular:

A. El número de votos obtenidos por cada partido.

B. El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.

Ejercicio 26

Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?


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Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Escribe las siguientes fracciones. Señala el numerador y el denominador de cada una.

Fracción Numerador Denominador

a) Dos tercios

2 3

b) Tres cuartos

3 4

c) Cinco séptimos

5 7

d) Ocho novenos

8 9

e) Un sexto

1 6

Ejercicio 2

Escribe y representa las siguientes fracciones:

Fracción

a) Tres séptimos

b) Siete octavos

c) Un cuarto

d) Seis sextos

e) Doce quinceavos

Ejercicio 3

Simplifica las siguientes fracciones:


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Ejercicio 4

Simplificar las siguientes fracciones:

Ejercicio 5

Reducir las siguientes fracciones a común denominador

Ejercicio 6

Escribe el signo > o <, donde corresponda.


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Ejercicio 7


Nota: hemos dividido por 16 directamente. Esto es lo mismo que dividir por 2 cuatro veces.

Ejercicio 8



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Ejercicio 9

Realiza las siguientes operaciones.

9.1

9.2

9.3

9.4

Ejercicio 10

Escribe cómo se leen estos números:

a) 3,82 = Tres unidades ochenta y dos centésimas

b) 5,1 = Cinco unidades, una décima

c) 4,356 = Cuatro unidades, trescientas cincuenta y seis milésimas

d) 0,03 = Tres centésimas

Ejercicio 11

Escribe estas fracciones en forma de número decimal.

a) = 0.53

b) = 0.4

c) = 0.26

d) = 7.45

e) = 1.6


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Ejercicio 12

Escribe las fracciones generatrices de estos números decimales:

a) 5,1 = Numerador 51; Denominador 10

b) 0,002 = Numerador 2; Denominador 1000

c) 0,555 = Numerador 5: Denominador 9

d) 2,353535 = Numerador 233; Denominador 99

Ejercicio 13

Complete realizando las operaciones que se indican:

a) 57,28 + 35,2 + 4,257 = 96,957

b) 15,75 – 3,251 = 12,499

c) 9,35 + 35,1 – 3,2 = 41,25

Ejercicio 14

Resuelve las siguientes multiplicaciones:

a) 15,56 x 10000 = 155600

b) 13,89 x 100 = 1389

c) 0,567 x 10 = 5,67

d) 52,57 x 1000 = 52570

e) 32,2 x 10 = 322

Ejercicio 15

Hemos comprado 32,5 l de leche a 0,92 € el litro. ¿Cuánto hemos pagado?

32,5 – 0,92 = 30,55

Ejercicio 16

Realiza:

a) 15,3 · 12,71 = 194,463

b) 7,67 · 6,832 = 52,40144

c) 6 · 9,876 = 59,256


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Ejercicio 17


a) 36,38 : 10 = 3,638

b) 1205 : 1000 = 1,205

c) 72,81 : 10 = 7,281

d) 1398, 3 : 100 = 13,983

e) 45,6587 : 1000 = 0,0456587

Ejercicio 18


a) 61,7 : 15 = 4,11

b) 43,9 : 32 = 1,37

c) 57, 5 : 35 = 1,64

d) 2,4 : 7 = 0,34

Ejercicio 19


a) 34,9 : 2,3 = 15,17

b) 1,26 : 5,1 = 0,24

c) El tío de Andrés quiere repartir 14,52 euros entre sus tres sobrinos. ¿Cuánto dará a cada uno? 4,84€

d) Hemos comprado varios litros de leche pagando por la compra 20,4 euros. Si cada litro cuesta 0,85 €, ¿cuántos litros hemos comprado? 24 litros

Ejercicio 20.

Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad, ¿cuánto le queda?


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Ejercicio 21.

Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?

Ejercicio 22.

Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?

Ejercicio 23.

De un depósito con agua se sacan 184.5 l y después 128.75 l, finalmente se sacan 84.5 l. Al final quedan en el depósito 160 l. ¿Qué cantidad de agua había el depósito?


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Ejercicio 24.

Eva sigue un régimen de adelgazamiento y no puede pasar en cada comida de 600 calorías.

Ayer almorzó: 125 g de pan, 140 g de espárragos, 45 g de queso y una manzana de 130 g.

Si 1 g de pan da 3.3 calorías, 1 g de espárragos 0.32, 1 g de queso 1.2 y 1 g de manzana 0.52.

¿Respetó Eva su régimen?

1 125 · 3.3 + 140 · 0.32 + 45 · 1.2 + 130 · 0.52 = = 412.5 + 44.8 + 54 + 67.6 = 578.9 calorías 2 578.9 < 600 Por tanto, sí respetó el régimen.

Ejercicio 25

En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular:

A. El número de votos obtenidos por cada partido.

B. El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.

La recta está dividida en 8 partes iguales para saber la cantidad que representa cada parte tenemos en cuenta que las 5 primeras partes (la de los votos) suman 15 400 por


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tanto una parte será 15 400 dividido entre 5 que es igual a 3080. Y las otras tres partes (la de las abstenciones) se obtendrán multiplicando 3 por 3080.

Ejercicio 26

Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?

ACT 1. Bloque 02. Tema 6. Proporcionalidad numérica.

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Bloque 02. Tema 6.

Proporcionalidad numérica.

ÍNDICE

1) Proporcionalidad numérica.

1.1. Magnitudes y proporciones.

1.1.1. Proporción aritmética.

1.1.2. Proporción geométrica.

a) Cuarto proporcional.

b) Media proporcional.

c) Tercero proporcional.

1.2. Magnitudes directamente proporcionales. Proporcionalidad directa.

1.3. Magnitudes inversamente proporcionales. Proporcionalidad inversa.

2) Comparación de dos o más magnitudes en proporción geométrica.

2.1. Regla de tres simple directa.

2.2. Regla de tres simple inversa.

2.3. Reglas de tres compuestas directas, inversas y mixtas.

3) Repartos.

3.1. Repartos directamente proporcionales.

3.2. Repartos inversamente proporcionales.

3.3. Repartos sobre dos o más características. Repartos compuestos.

4) Ratios. Porcentajes y descuentos.

4.1. Porcentajes y descuentos.

5) Para saber más.

• Enlaces de interés.

AUTOEVALUACIÓN


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1.1) Magnitudes y Proporciones

Una magnitud es cualquier propiedad de un ente que se pueda expresar numéricamente, por tanto medirse, es decir, compararse con un patrón.

Son magnitudes: La longitud del lado un cuadrado o la capacidad de una botella de agua o la temperatura a la que esta está.

• Razón.

Se entiende por razón la relación de comparación de dos cantidades. Esta comparación la podemos hacer de dos maneras:

1. Hallando en cuanto excede una cantidad a la otra, es decir restándose.

2. Hallando cuántas veces contiene una cantidad a la otra, es decir, dividiéndose. De aquí que haya dos clases de razones, razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.

- Razón ARITMÉTICA. Es la diferencia indicada de dos cantidades que se comparan.

Así la razón aritmética entre 60 y 12 será 48. Pues 60-12=48

- Razón GEOMÉTRICA. Es el cociente entre dos cantidades de magnitudes comparables entre sí.

El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.

Al valor de la razón se le denomina constate de proporcionalidad y nos referiremos a él como k.

Las razones geométricas las expresamos en forma de fracciones, pero al contrario que las fracciones, estas están formadas por dos cantidades independientes, el antecedente y el consecuente que no tienen por qué ser números enteros.


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1.1.1) Proporción aritmética

Una proporción es la igualdad de dos razones.

Cuando la proporción está formada por razones aritméticas hablamos de EQUIDIFERENCIAS o proporción aritmética.

Se escribe de la forma a-b=c-d. Leyéndose: a es a b como c es a d.

o En una equidiferencia se cumple que la suma de los términos medios es igual a la suma de los términos extremos. a+d = c+b.

Si nos dicen que la razón aritmética entre dos equidiferencias es 13, podríamos expresar infinitas equidiferencias que tuviesen dicha razón, una de ellas podría ser:

23-10 = 15-2 = k = 13

Cuando una equidiferencia tiene los números intermedios iguales se le denomina continúa. El número intermedio se dice que es media aritmética de los números extremos.

La siguiente proporción aritmética 17-9 = 9-1 es continua, por tanto el número 9 es la media aritmética de 17 y 1, luego:

Como la constante de proporcionalidad aritmética es 8 ocurrirá que nueve es equidistante:

Ejercicio 1

¿Cuál es la razón aritmética de los números?

b) 5,6 y 3,5


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1.1.2) Proporción geométrica

Cuando igualamos dos razones geométricas, hablamos de proporciones geométricas.

• En toda proporción geométrica, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos. Es decir:

Si nos preguntásemos si las razones 15/20 y 3/4 forman una proporción geométrica comprobaríamos que se verifique la igualdad siguiente, por tanto:

Como se cumple la igualdad, podemos decir que de dichas razones forman una proporción geométrica.

¿Pero cómo podemos caracterizar a una proporción para diferenciarla del resto?

Pues bien, cada proporción se caracterizará por su constante de proporcionalidad, que no es más que el valor que toma el cociente de la razón. Le denominaremos K.

Así, la constante de razón del ejemplo anterior será K=3/4=0,75

• En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.


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Esta propiedad será fundamental para hablar de los repartos directa e inversamente proporcionales.

Si la aplicamos al ejemplo anterior tendríamos:

Ejercicio 2

Indica si las siguientes razones representan una proporción.

V / F

1.1.2.a) Cuarto proporcional

Es uno cualquiera de los términos (conocido o desconocido) de una proporción geométrica.

Un ejemplo tipo seria el siguiente:

• Determina el cuarto proporcional desconocido, de las siguientes proporciones geométricas.

Veremos más adelante, que determinar el cuarto o la cuarta proporcional es una forma de plantear y resolver la regla de tres simple.


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Ejercicio 3

Determina la cuarta proporcional de una proporción aritmética, donde sabemos que 50 es a 40 como 25 es a X.

Ejercicio 4

Determina la cuarta proporcional de una proporción geométrica, donde sabemos que 4 es a 7 como 8 es a X.

1.1.2.b) Media proporcional

Cuando una proporción tiene los números medios iguales, se le denomina proporción continua. El número medio representa la media geométrica o media proporcional de los números extremos.

Por lo que podemos decir que: 42 = 2.8 = 16.

Como la constante de proporcionalidad es K=2, podríamos poner:

Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Ejercicio 5

Determina una proporción continua que tenga como media proporcional 6


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Ejercicio 6

Determinar la media de la proporción aritmética que tiene como extremos 81 y 4

Ejercicio 7

Determina la media proporcional de la proporción geométrica de extremos 81 y 4

1.1.2.c) Tercero proporcional

En una proporción continua, como los términos medios son iguales, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual.

Ejercicio 8

Hallar la tercera proporcional de 8 y 2.


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1.2) Magnitudes directamente proporcionales. Proporcionalidad directa

Dos variables (x, y) relacionadas en un mismo fenómeno, son directamente proporcionales, cuando

- al aumentar de valor una aumenta de valor la otra

- O si la primera disminuye, disminuye la segunda.

Cuando ocurre esa relación se verificará que: es decir, el cociente (división)

entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante.

Veamos la siguiente propuesta:

Indica si las magnitudes siguientes son directamente proporcionales

• La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro

Respuesta: Sí, porque a mayor longitud de sus lados mayor perímetro. (Si una variable aumenta la otra aumenta en la misma razón)

• El número de trabajadores y los días que se demoran en hacer un trabajo, si todos trabajan de igual manera:

Respuesta: No, porque a mayor cantidad de trabajadores menos cantidad de días. (Si una variable aumenta, la otra disminuye en la misma razón)

En el caso de las magnitudes relacionadas mediante una proporcionalidad directa, dicha relación se puede representar como: y= k.X, a la que denominamos función lineal. Donde: x se le denomina variable independiente.

y se le denomina variable dependiente.

K constante de proporcionalidad.

Por ejemplo si tenemos la siguiente función: y = 3 x. la constante de proporcionalidad sería 3.

Nos indica que por cada unidad que aumentemos la variable x, se aumenta en tres unidades la variable y.

¿Cómo se calcula la constante de proporcionalidad conociendo relaciones entre dos magnitudes?


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Analicemos el siguiente ejemplo: Juan ha utilizado 20 huevos para hacer 4 tortillas iguales.

a) ¿Cuántos huevos necesita para hacer 6 tortillas?

b) ¿Y para hacer 2?

Como las tortillas tienen todas la misma cantidad de huevos, podríamos rellenar la siguiente tabla:

Si llevamos sobre un sistema de ejes cartesianos[1] las parejas de valores (x,y) del ejemplo anterior, vemos que estos puntos no se sitúan aleatoriamente en la representación, sino que configuran una línea recta que pasa por el origen del sistema de referencia, punto (0,0).

Así pues, el gráfico que corresponde a una relación de proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen de un sistema de coordenadas cartesianas.

Además si nos fijamos en la tabla, podemos darnos cuenta que el cociente (división) entre las dos magnitudes (y / x) es constante y representa la constante de proporcionalidad de la relación. En este caso el valor de la constante de proporcionalidad es 5.

[1] Ejes cartesianos. Cada una de las rectas reales graduadas que se cortan perpendicularmente dividiendo al plano en cuatro cuadrantes.


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Ejercicio 8

Indica en qué casos las magnitudes que aparecen son directamente proporcionales: Contesta Si o No.

Si / No

a) La velocidad de un vehículo y la distancia que recorre en dos horas.

b) El coste de un lápiz y la cantidad de lápices que se pueden comprar con 10 euros.

c) La distancia recorrida y el tiempo que se tarda en recorrerla.

d) El número de litros de agua que contiene un depósito y su peso.

e) La edad de una persona y su estatura.

1.3) Magnitudes inversamente proporcionales. Proporcionalidad inversa

Dos variables (x, y) relacionadas en un mismo fenómeno, son inversamente proporcionales, cuando

- al aumentar de valor una de ellas disminuye el valor de la otra

- O si la primera disminuye, aumenta la segunda.

Cuando ocurre lo anterior se verifica que ( x • y = k ) , es decir el producto entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante.

Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma: y = k / x, donde:

x se le denomina variable independiente.

y se le denomina variable dependiente.

K constante de proporcionalidad inversa.

Analicemos el siguiente ejemplo:

Indica si la relación entre las variables dadas son o no inversamente proporcionales.

a) El número de albañiles y el tiempo empleado en hacer una construcción edificio.

Respuesta: Son inversamente proporcionales, ya que con el doble, triple... número de albañiles se tardará la mitad, tercera parte de tiempo en construir el mismo edificio.


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b) La velocidad de un automóvil y el trayecto recorrido en el mismo tiempo.

Respuesta: Son inversamente proporcionales ya que a tiempo constante, con el doble o el triple... de la velocidad, el automóvil recorrerá el doble, triple... de espacio.

c) La velocidad de un automóvil y el tiempo empleado en recorrer el mismo trayecto.

Respuesta: Son inversamente proporcionales, ya que, a espacio constante, con el doble, triple... velocidad, el auto tardará la mitad, tercera parte... de tiempo en recorrerlo.

� Gráfico de proporcionalidad inversa.

La tabla siguiente representa a los diferentes valores de las variables en una relación inversa.

Si representamos sobre un sistema de coordenadas cartesianos dichos valores los puntos representativos forman una curva, llamada hipérbola.

Esta gráfica es indicativa de que entre las variables hay una relación de proporcionalidad inversa.


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Ejercicio 9

Indica en cuáles de las siguientes situaciones, las magnitudes que aparecen son inversamente proporcionales:

Si / No

a) El tiempo que trabaja una persona y el salario que recibe.

b) Número de trabajadores en una obra y tiempo que tardan en terminarla.

c) Velocidad de un vehículo y tiempo empleado en recorrer una distancia.

d) Precio de un artículo e importe del IVA.

e) Longitud de una circunferencia y de su diámetro.

f) Número de vacas en un establo y tiempo para el que tienen alimento.

2) Comparación de dos o más magnitudes en proporción geométrica

2.1. Regla de tres simple directa

Tenemos dos magnitudes representadas por las variables A y B, que sabemos por las medidas que expresan sus cantidades que están relacionadas de manera directamente proporcional (a más de A, más de B).

Bajo este supuesto, si conociésemos tres cantidades de las magnitudes A y B, podríamos determinar una cuarta cantidad relacionada con las anteriores.


Sabemos que 4 libros cuestan 8 €, nos gustaría saber cuánto nos costarían 15 libros del mismo tipo.

Tenemos dos magnitudes representada por las variables: A → número de libros.

B → coste de los libros.

De esas variables conocemos tres cantidades: A1=4, B1=8, A2=15.

Deseamos conocer una cuarta cantidad relacionada con las anteriores B2=X

Podríamos hacer el siguiente planteamiento:

Datos o Supuesto: 4 libros → 8 €

Pregunta: 15 libros → X €


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Esta forma de plantear el problema se le llama regla de tres simple directa y vamos a ver que hay tres formas de enfrentar su solución:

• Método de reducción a la unidad.

Si 4 libros cuestan 8 euros, un libro constará cuatro veces menos, es decir, un libro costará 8/4 = 2 €, por tanto 15 libros costarán 15 veces más que un libro solo, es decir, 2.15=30€, que sería la respuesta buscada.

• Método de las proporciones. Como a más libros adquiridos pagaremos más, las dos magnitudes representadas por las variables A y B son directamente proporcionales.

La constante de razón (k) de las cantidades homogéneas (de la misma variable) son iguales, luego podremos igualar las razones, quedándonos:

• Método comparativo.

Comparamos la relación que hay entre las cantidades de la magnitud conocida y la magnitud donde se encuentre la incógnita.

Si la relación es de proporcionalidad directa entonces igualaremos los cocientes, si fuese inversa lo que igualaríamos serían los productos de las cantidades relacionadas.

Resolvamos juntos el siguiente supuesto:

Un automóvil a velocidad constante recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

Las dos magnitudes en juego, distancia y tiempo para una misma velocidad, con dos medidas cada una, son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros y a más horas recorrerá más kilómetros.


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Luego podremos hacer el siguiente planteamiento:

Como tenemos una relación directamente proporcional podemos igualar las constantes de razón de las magnitudes relacionadas o lo que es lo mismo, el cociente de las cantidades de esas magnitudes y poner:

Ejercicio 10

En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?

Ejercicio 11

Un automóvil gasta 5 litros de carburante cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

2.2) Regla de tres simple inversa

Tenemos dos magnitudes representadas por las variables A y B, que sabemos por las medidas que expresan sus cantidades que están relacionadas de manera inversamente proporcional (a más de una, menos de la otra).

Bajo este supuesto, si conociésemos tres cantidades de las magnitudes A y B, podríamos determinar una cuarta cantidad relacionada con las anteriores.

Analicemos juntos el siguiente ejemplo:

Cuatro grifos iguales, llenan un depósito en 14 horas ¿Cuánto tardarían en rellenar el mismo depósito si tuviésemos siete grifos en vez de cuatro?

Tenemos dos magnitudes representada por las variables: A → número de grifos.

B → horas abiertos.

De esas variables conocemos tres cantidades: A1=4, B1=14, A2=7.

Deseamos conocer una cuarta cantidad relacionada con las anteriores B2=X. (Que es la pregunta del enunciado.)


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Podríamos hacer el siguiente planteamiento:

Datos o Supuesto: 4 grifos → 14 horas abiertos.

Pregunta: 7 grifos → X horas abiertos

Esta forma de plantear el problema se le llama regala de tres simple, porque solo hay dos magnitudes relacionadas e, inversa, puesto que si la cantidad de una de las magnitudes crece, la lógica y la intuición nos dice que la cantidad de la otra magnitud decrecerá.

Como en el caso anterior hay tres formas de enfrentar su solución, veámoslas a través del siguiente ejemplo:

• Método de reducción a la unidad. Si cuatro grifos tardan en llenar el depósito 14 horas, un grifo solo tardará en hacerlo cuatro veces más, es decir 4.14 = 56 horas, de la misma forma que 7 grifos lo harían en un tiempo de siete veces menos, es decir, 56/7=8 horas. Eso es, 7 grifos tardarían en llenar el depósito 8 horas, menos tiempo que tardaban los cuatro grifos iniciales.

• Método de las proporciones. Como a más grifos abiertos tardaremos menos en llenar el depósito, las dos magnitudes representadas por las variables A y B son inversamente proporcionales.

La constante de razón (k) de las cantidades homogéneas (de la misma variable) ahora no son iguales, sino que una es la inversa de la otra, luego para igualar las razones deberemos invertir el antecedente y el consecuente de cualquiera de las razones.

Luego igualando las razones a las que representan dichas constantes tendríamos:

• Método comparativo. Comparamos la relación que hay entre las cantidades de la magnitud conocida y la magnitud donde se encuentre la incógnita.

Si la relación es de proporcionalidad inversa entonces igualaremos los productos de las cantidades relacionadas (de la misma variable), estableciendo una igualdad entre el supuesto y la pregunta.


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Resolvamos juntos el siguiente ejemplo:

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

El número de obreros y el tiempo que tardan en hacer la construcción, son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

Datos o Supuesto: 3 obreros → 12 horas.

Pregunta: 6 obreros → X horas.

Si tres obreros tardan 12 horas, un obrero solo tardará tres veces más, es decir, 3.(12)= 36 h. Pero si en vez de un obrero trabajasen 6, evidentemente tardaría seis veces menos en hacer la obra, por tanto:

X=36.h/6= 6 h.

Es decir, 6 obreros realizarían el muro en 6 horas, frente a las 12 h que tardaría 3 obreros.

Ejercicio 12

Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?

Ejercicio 13

Si 4 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?


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2.3) Regla de tres compuesta directa, inversa y mixta

La reglas de tres compuestas se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las cantidades de las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

La relación entre las magnitudes puestas en juego podrá ser todas directas, todas inversas o mixtas, es decir, unas directas y otras inversas.

Para no alargar el tema, utilizaremos el método comparativo. Siempre compararemos las magnitudes puestas en juego con la magnitud en la que se encuentra la cantidad buscada (incógnita), determinando de esta forma si la relación es directa o inversa. Esta magnitud la consideraremos que es el consecuente del problema, siendo el resto de magnitudes el antecedente del mismo.

• Regla de tres compuesta y directa.

Señalamos con una “ D “ (directa) la relación que existe entre los antecedentes (A,B,C) y el consecuente (D).

Por ser la relación directa entre las magnitudes participantes, plantearemos la siguiente igualdad entre las razones de los antecedentes y de los consecuentes.

despejando adecuadamente la variable resulta:


Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

Como el dato buscado está sobre la variable C “coste del vertido”, esta actuará como consecuente del planteamiento del problema y el resto de variables se compararán con ella para determinar la relación existente.

A se relaciona con C de manera directamente proporcional (más grifos más coste).

B se relaciona con C de manera directamente proporcional (más horas vertiendo más coste).


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Por tanto multiplicando las razones de los antecedentes e igualándolas a la razón del consecuente no quedaría:

• Regla de tres compuesta inversa.

Señalamos con una “I“ (inversa) la relación que existe entre los antecedentes (A, B, C) y el consecuente (D).

Lo que significa que la cantidad buscada en una relación en la que todas sus magnitudes están relacionadas de manera inversamente proporcional será igual al producto de los antecedentes partido por el producto de los consecuentes.


5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

Como el dato buscado está sobre la variable C “duración de la obra”, esta actuará como consecuente del planteamiento del problema. El resto de variables se compararán con ella para determinar la relación existente.

A se relaciona con C de manera inversamente proporcional (más obreros menos duración).

B se relaciona con C de manera inversamente proporcional (más horas diarias menos duración).


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Hacemos el siguiente planteamiento:

Como la relación es inversamente proporcional invertiremos las razones de los antecedentes y los igualaremos a la razón del consecuente sin invertir, para seguidamente despejar el valor buscado.

• Regla de tres compuesta mixta.

Aparece cuando en un problema nos encontramos variables que respecto al consecuente actúan de modo directamente proporcional, mientras que otras actúan de manera inversamente proporcional.

Supongamos el siguiente planteamiento donde las magnitudes guardan con el consecuente la relación indicada:

Multiplicaremos las razones de los antecedentes invirtiendo las mismas cuando la relación sea inversa. El resultado lo igualaremos a la razón del consecuente.


Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que falta?


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Como el dato buscado está sobre la variable D “duración de la obra”, esta actuará como consecuente del planteamiento del problema. El resto de variables se compararán con ella para determinar la relación existente.

A se relaciona con D de manera inversamente proporcional (más obreros, menos duración).

B se relaciona con D de manera inversamente proporcional (más horas diarias, menos duración).

C se relaciona con D de manera directamente proporcional (más construcción, más duración).

Hacemos el siguiente planteamiento:

Igualando las razones de los antecedentes con la razón del consecuente, invirtiendo aquellas razones que están en proporción inversa resulta:

Luego 10 obreros trabajando 8 horas diarias realizarán un muto de 50 m en 9 días.

Ejercicio 14

En un mapa de escala 1:200.000 la distancia entre dos puntos es de 15 cm. ¿Cuál es la distancia en la realidad?

Ejercicio 15

En una fábrica 6 máquinas iguales producen en 2 horas 600 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 9 de estas máquinas en 3 horas?


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3) Repartos

En las reglas de tres simples o compuestas estudiadas anteriormente, comparábamos las cantidades de dos o más magnitudes para hallar un valor o una cantidad de alguna de las magnitudes puestas en juego.

Ahora el problema, aunque se sustenta en el concepto visto anteriormente de proporción va a consistir en encontrar diferentes razones que tengan la misma constante de razón, en lo que se va a llamar repartos, que podrán ser directamente proporcionales, inversamente proporcionales o mixtos.

3.1) Repartos directamente proporcionales

Consiste en repartir una cantidad dada entre varios partes de tal manera, que cada elemento del reparto reciba una cierta cantidad del total, la cual será directamente proporcional a alguna característica que se tome como referencia entre las partes.

Sea N una cantidad a repartir por ejemplo en n partes, de manera directamente proporcional a una característica de esas partes (edad, altura, peso etc..) representadas por los números a1, a2, a3....an.

Cada una de las partes recibirá del total N, las cantidades: c1, c2, c3…cn.

El reparto se va a caracterizar porque las constantes de razón entre la cantidad recibida (ci) y la característica que da lugar al reparto (ai) son iguales, es decir:

Luego podemos igualar esas razones.

Pero como vimos al comienzo del tema, en una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. Por tanto:

Conociendo esta igualdad calcular cualquier valor del reparto es fácil, pudiéndose utilizar cualquiera de las relaciones expuestas.

Donde: A=a1+a2+a3+...+an y N=C1+C2+C3+...+Cn


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Analicemos este ejemplo:

Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad, proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Ejercicio 16

Compramos un lote de libros por 162 euros. Víctor se quedó con 7 libros, Belén con 5 y Jaime con 6. ¿Cuánto debe pagar cada uno?

La cantidad que debe pagar cada uno son proporcionales al número de libros que se quedó.

aVíctor =7; aBelén =5; aJaime =6. por tanto A=7+5+6=18 y la cantidad total pagada N=162=Cvictor+CBelén+CJaime €.

Cvictor = (162.7)/18 = 63

CBelén = (162.5)/18 = 45

CJaime = (162.6)/18 = 54


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3.2) Repartos inversamente proporcionales

Consiste en repartir una cantidad dada entre varios partes de tal manera, que cada elemento del reparto reciba una cierta cantidad del total, la cual será inversamente proporcional a alguna característica que se tome como referencia para realizar el reparto entre las partes.

Realizar un reparto inversamente proporcional es lo mismo que realizar un reparto directamente proporcional al valor inverso de la característica de reparto. Sea N una cantidad a repartir por ejemplo en n partes de manera inversamente proporcional a una característica de esas partes (edad, altura, peso etc..), representadas por los números a1, a2, a3....an. Cada una de las partes recibirá del total N, las cantidades: c1, c2, c3…cn, las cuales serán de valor inverso a la característica de reparto (más característica, menor trozo de N). El reparto se va a caracterizar en este caso, porque las constantes de razón entre la cantidad recibida (Ci) y la inversa de la característica que da lugar al reparto (ai) son iguales, es decir:

Luego podremos igualar esas razones.

Pero como vimos al comienzo del tema, en una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. Por tanto:

Donde:

Conociendo esta igualdad calcular cualquier valor del reparto es fácil, pudiéndose utilizar cualquiera de las relaciones expuestas.


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Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

Como hemos dicho el reparto inversamente proporcional lo resolvemos como un reparto directamente proporcional a los inversos de las características del reparto. Por tanto.

Ejercicio 17

Una persona decide repartir la cantidad de 4.400 euros entre 3 niños. El reparto ha de efectuarse en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 4, 8 y 12 años. ¿Cuánto corresponderá a cada uno?


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3.3) Repartos sobre dos o más características. Repartos compuestos

Este tipo de reparto se realiza proporcional mente a varios grupos de índices o características que afectan a los elementos del reparto.

Los repartos proporcionales compuestos pueden ser:

- DIRECTOS: Si el reparto se realiza en partes directamente proporcionales a los índices.

- INVERSOS: Si el reparto se realiza en partes inversamente proporcionales a los índices.

- MIXTOS: Si el reparto se realiza en partes directamente proporcionales a algunos índices e inversamente proporcionales a otros.

Para efectuar un reparto compuesto se siguen los siguientes pasos:

1º) Se convierte las relaciones que haya inversamente proporcionales a directas invirtiendo los índices del reparto.

2º) Se multiplican los índices correspondientes de cada grupo, obteniéndose de esta manera un único índice de reparto.

3º) Se efectúa el reparto de manera directamente al índice resultante.

Veamos cada uno de los casos con un ejemplo.

• Repartos compuestos directos

Una institución educativa va a repartir 15.000 € entre los tres mejores estudiantes seleccionados de una ciudad. La distribución del premio se hará en proporción directa a la nota media y a las asignaturas cursadas.

José tiene una nota media de 9,75 y 22 materias acreditadas, Patricia tiene una nota media de 9,86 y 19 materias acreditadas y Ricardo tiene promedio de 9,03 y 31 materias acreditadas, ¿cuánto le corresponde a cada uno?

Hay un reparto directamente proporcional a dos características o índices: Nota media y Asignaturas cursadas.

- Calculamos el índice compuesto que le corresponde a cada elemento del reparto multiplicando para ello los factores directos de las diferentes características de reparto.


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- Procedemos a realizar el reparto directo a los índices compuestos hallados, así.

• Repartos Compuestos indirectos

Se repartió un premio de 8.750 € entre tres tele operadores de una empresa en proporción inversa a los clientes perdidos y a los errores cometidos. Juan perdió 12 clientes y tuvo cuatro errores, Ana perdió nueve clientes y tuvo 2 errores y Carmen perdió dos clientes y tuvo 10 errores ¿Cuánto le correspondió a cada uno?

- Hay un reparto inversamente proporcional a dos características o índices: Clientes perdidos y errores cometidos.

- Calculamos el índice que le corresponde a cada elemento del reparto invertido el factor de reparto original, para proceder seguidamente a multiplicarlos para obtener así el índice de reparto compuesto para los diferentes miembros del reparto.

Reducimos las fracciones a común denominador y utilizamos el denominador de las mismas para determinar el índice compuesto.

mcm (48,18,20)= 720.

- Procedemos a realizar el reparto directo a los índices compuestos hallados, así:


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• Compuestos mixtos

La junta de Castilla la Mancha va a gratificar a cuatro docentes con 12000 € de manera directamente proporcional a los años de servicios e inversamente proporcional al número de días de baja que han tenido en esos años.

El profesor A, tiene 25 años de servicio y 20 días de baja. El profesor B tiene 32 años de servicios y 120 días de baja. El profesor C tiene 34 años de servicio y 365 días de baja.

¿Cuál será la cantidad que recibirá cada uno?

- Hay un reparto mixto. Atendiendo a una característica el reparto es directamente proporcional (años de servicio), pero atendiendo a los días de baja el reparto es inversamente proporcional.

- Procederemos calculando el índice del reparto compuesto tras haber invertido el factor que representaría al reparto inversamente proporcional.

- Procedemos a realizar el reparto directo a los índices compuestos hallados, así:


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Ejercicio 18

Se reparten 1200 puntos entre tres niños de manera proporcional a su edades de 10,12,16 años e inversamente proporcional al número de amonestaciones impuestas en el campeonato que ha sido 2,1,2 y al número de faltas a los entrenamientos que fueron respectivamente de 12, 14,8.

¿Determinar los puntos que le corresponde a cada uno de los niños?


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4) Ratios. Porcentajes y descuentos

Si acudimos al diccionario se define Ratio como una voz femenina que significa Relación cuantificada entre dos magnitudes que refleja su proporción, es decir, la Razón de dos magnitudes relacionadas.

Esta palabra es muy utilizada en el mundo económico queriendo expresar con ella una Relación cuantitativa entre dos fenómenos que refleja una situación concreta de rentabilidad, de nivel de inversiones, etc. Los ratios son indicadores que permiten comparaciones interempresariales.

Supongamos que tenemos un bote de pintura, y denominamos “a” a la cantidad de colorante que contiene y por “b” la cantidad de pintura total.

Podríamos entonces decir que la ratio (proporción) colorante, pintura para sacar nuestro color favorito será:

Ratio (color/pintura)=a/b

Pero podría interesarnos saber cuántas partes de colorante debemos echar por una parte de pintura.

A la expresión obtenida le vamos a llamar: tanto por uno (tantas parte de colorante por una de pintura). Lo expresamos con el símbolo 1/1.

Pero si ahora tuviésemos un bote con 100 partes de pintura la porción de colorante sería:

Es decir, multiplicaríamos el tanto por uno correspondiente (a/b) por 100.

Esta ratio es muy usado como referencia, hablándose de una proporción en tanto por ciento. Tantas partes de colorante por cien partes de pintura. Lo expresamos con el símbolo %.

De la misma manera podríamos expresar la proporción en tantos por mil, en tantos por diez mil (puntos básicos) en partes por millón, etc, indicando cada proporción con un sufijo determinado, ‰, 0/000, ppm.


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4.1) Porcentajes y descuentos

Es frecuente el uso en el entorno cotidiano de proporciones expresadas como porcentajes, que reciben nombres particulares según el contexto, pero cuyo fundamento matemático, su operatividad es la misma.

Cuando nos piden el porcentaje de cierta cantidad, nos están pidiendo que determinemos la cuarta proporcional de la igualdad entre dos razones.

Si nos dicen: ¿Cuánto será el 23% de 1750 €?

Podríamos establecer la siguiente igualdad de razones, donde X va a representar al término desconocido:

• Podemos encontrarnos que los porcentajes hallados tengamos que sumarlos al principal, por ejemplo cuando añadimos el I.V.A al precio de un artículo, en este caso el procedimiento seguido sería:


El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

Un procedimiento largo nos llevaría a realizar las siguientes operaciones:

El porcentaje del IVA (impuesto sobre el valor añadido) será una cantidad a añadir al precio, calculemos dicha cantidad.

Luego pagaremos= 1200 € + 192 € =1392 €

Por el procedimiento corto utilizando la expresión deducida más arriaba, tendríamos:

Pagaremos = 1200 € .(1+0,06)=1200.(1,06) = 1272 €

• Podemos encontrarnos que a los porcentajes hallados tengamos que restarlos del principal, por ejemplo cuando nos hacen un descuento.

En estos casos podemos aplicar el siguiente procedimiento que nos facilita el cálculo.


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Veamos el siguiente ejemplo:

Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7,5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

Método largo

Método corto

Ejercicio 19

El 60% de los empleados de una empresa llegan al trabajo en autobús. Si el número total de empleados es 1.200, ¿cuántos llegan en autobús?

Ejercicio 20

En una votación participan 300 personas. ¿Qué tanto por ciento de los votos obtuvo un candidato que fue votado por 60 personas?

Ejercicio 21

Lourdes tiene un depósito bancario de 4000 € que le da un 4% anual. ¿Qué interés le produce su capital al final de año? ¿Y en 5 años?

5) Para saber más

Cuando realizamos una operación bancaria suelen intervenir las siguientes cantidades:

- Capital: Cantidad de dinero que se deposita o se solicita al banco. Se representa por c.

- Tipo de interés o rédito: Dinero que paga el banco (o cobra) por cada 100 euros. Se representa por r.

- Interés: Cantidad de dinero que paga el banco (o cobra) por el capital que hemos depositado (o solicitado). Se representa por i.

- Tiempo: Número de días, meses o años que permanece el capital en el banco. Se representa por t.


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El importe del interés i que produce una cantidad de dinero viene dado por la fórmula:

En la anterior fórmula, si el tiempo viene expresado en meses, el denominador se multiplica por 12 y pasa a ser 1200. Si el tiempo viene expresado en días, el denominador se multiplica por 365 y pasa a ser 36500.

ENLACES DE INTERÉS

Para saber más: Puedes acceder a esta página donde se trata este apartado:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Proporcionalidad_lbc/magdirectprop.htm

Para saber más:

Puedes acceder a esta página donde se trata este apartado:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/proporcionalidad_numerica/proporcionalidad1.htm

Para saber más:


http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Proporcionalidad_lbc/repdirectprop.htm

Para saber más:


http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Porcentajes_e_indices/porcentaje.htm

Para saber más:

Puedes acceder a estas páginas donde se trata este apartado:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Porcentajes_e_indices/porcentaje.htm#2

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1171


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AUTOEVALUACIÓN

22) Selecciona de las siguientes expresiones la que representa una proporción correcta.

23) Selecciona la respuesta correcta entre las soluciones que se proponen sobre la cuarta proporcional:

24) Indica si es Verdadera o Falsa la siguiente proposición:

La razón de las alturas de dos árboles es igual a la de las sombras que proyectan.

Si la sombra de un ciprés es 30 metros y la de un pino de 4 m de altura, su sombra de 2 m., ¿será la altura del ciprés de 60 metros?

25) Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera.

Un ganadero tiene 300 ovejas y tiene pienso para poderlas alimentar durante 90 días. Compra 150 ovejas más. ¿Dispondrá de pienso para alimentarlas a todas durante 70 días?

Tres amigos aportan 18 euros cada uno para la compra de un regalo a otro. Si se añaden seis amigos más para hacerle el mismo regalo, ¿tendrán que pagar 5 euros cada uno?

Un grifo echa 20 litros de agua por minuto y tarda en llenar un depósito una hora y 30 minutos. Si disponemos de un grifo que echa 30 litros de agua por minuto, ¿tardará en llenar el mismo depósito una hora?


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26) Selecciona la respuesta correcta entre las siguientes proposiciones.

La capacidad del pantano de Buendía es de 1600 hm3. Si nos dicen que está al 12% de su capacidad, ¿tendrá 200 hm3 embalsados?

La factura de dos meses de luz de una familia es de 150 euros, a falta de añadir el 16% de IVA. ¿Será el importe total de la factura de 185 euros?

Cañamares un pueblo de la sierra conquense ha aumentado en verano el número de habitantes en un 150%. Si en verano tiene 750 habitantes, ¿será su población fija de 500 habitantes?

27) Si como antaño, una persona depositara 2400 euros en un banco con un interés anual del 6%, cuánto dinero tendría al cabo de un año sumando el rendimiento al capital principal.

Tendría un rendimiento de 144 €

Tendría un rendimiento de 144 € que sumado al principal da un capital de 2544€

Volvería a tener 2400 €, pues habría que tener en consideración las comisiones bancarias que son altas

28) Por el trabajo realizado con una cosechadora se han cobrado 4480 euros. En la cosechadora han trabajado tres operarios de la siguiente forma: el operario A ha trabajado 14 horas; el operario B, 18 horas, y el operario C, 24 horas. Si hicieron un reparto directamente proporcional a las horas trabajadas, el resultado hubiese sido:

El operario A recibió 1440 €; el operario B, 1120 €, y el operario C, 1920 €



29) Dos camareros de un bar se reparten un bote con 126 euros de propinas, de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado. Luis ha faltado 3 días y Pedro, 5 días. ¿Qué cantidad es la que recibirá cada uno?

Decidieron que Luis debía recibir 68 euros, y Pedro 58

La respuesta correcta sería que Luis debiera recibir 79 euros, y Pedro 47

O quizás sería mejor que Luis recibiera 78,75 € y Pedro 47,75 €


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30) Indica cuál de las siguientes propuestas es verdadera:

Tres máquinas en 6 horas revelan 750 fotografías. Si ahora disponemos de 7 máquinas trabajando 9 horas, ¿podremos revelar 2800 fotografías?

Tres grifos iguales llenan un depósito de 10 m3 en 5 horas. Se estropea un grifo y debemos llenar un depósito de 8 m3. ¿Podremos hacerlo en 6 horas?

Con 12 kg de pienso, 9 conejos comen durante 6 días. Si ahora sólo tenemos 8 kg de pienso para 4 conejos, ¿los podremos alimentar durante 10 días?

31) Las siguientes gráficas muestran la relación entre pares de magnitudes. ¿Cuáles corresponden a una relación directamente proporcional?


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Ejercicio 1

¿Cuál es la razón aritmética de los números?

b) 5,6 y 3,5

Ejercicio 2

Indica si las siguientes razones representan una proporción.

V / F

F

V

V

F

Ejercicio 3

Determina la cuarta proporcional de una proporción aritmética, donde sabemos que 50 es a 40 como 25 es a X.

Como la proporción es aritmética estableceremos la siguiente igualdad de razones.

50-40 = 25- x

Por tanto 10 = 25-x, luego x = 25-10 =15.

Por tanto el cuarto número de la proporción aritmética dada será el 15.

Así podremos decir que 50 es a 40 como 25 es a 15.


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Ejercicio 4

Determina la cuarta proporcional de una proporción geométrica, donde sabemos que 4 es a 7 como 8 es a X.

Como sabemos que se trata de una proporción geométrica estableceremos la siguiente igualdad de razones que nos permitirá mediante la adecuada manipulación algebraica, conocer el cuarto término de la proporción.

Ejercicio 5

Determina una proporción continua que tenga como media proporcional 6

Si la proporción es continua, el término medio será 6, por tanto los números extremos buscados deberán cumplir: 62 = 36 = x.y

Si hacemos la descomposición factorial de 36= 22.32 Una solución buscada podría ser x= 2 e y=16.

Así la proporción continua podría ser:

Ejercicio 6

Determinar la media de la proporción aritmética que tiene como extremos 81 y 4

Como nos piden el valor medio de la proporción significa que esta es continua y como es aritmética, estableceremos la siguiente igualdad:

Luego la proporción aritmética sería de 81 es a 42,5 como 43,5 es a 4

Ejercicio 7

Determina la media proporcional de la proporción geométrica de extremos 81 y 4


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Ejercicio 8

Indica en qué casos las magnitudes que aparecen son directamente proporcionales: Contesta Si o No.

Si / No

a) La velocidad de un vehículo y la distancia que recorre en dos horas. Si

b) El coste de un lápiz y la cantidad de lápices que se pueden comprar con 10 euros.

No

c) La distancia recorrida y el tiempo que se tarda en recorrerla. Si

d) El número de litros de agua que contiene un depósito y su peso. Si

e) La edad de una persona y su estatura. No

Ejercicio 9

Indica en cuáles de las siguientes situaciones, las magnitudes que aparecen son inversamente proporcionales:

Si / No

a) El tiempo que trabaja una persona y el salario que recibe. No

b) Número de trabajadores en una obra y tiempo que tardan en terminarla. Si

c) Velocidad de un vehículo y tiempo empleado en recorrer una distancia. Si

d) Precio de un artículo e importe del IVA. No

e) Longitud de una circunferencia y de su diámetro. No

f) Número de vacas en un establo y tiempo para el que tienen alimento. Si


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Ejercicio 10

En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?

Ejercicio 11

Un automóvil gasta 5 litros de carburante cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

Ejercicio 12

Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?

Hay dos magnitudes (litros y tiempo) que son inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.

Por ser inversamente proporcionales, las constantes de razón de las cantidades de cada magnitud, son inversas, luego para establecer una igualdad entre ellas, deberemos invertir cualquiera de las razones establecidas.


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Ejercicio 13

Si 4 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

Ejercicio 14

En un mapa de escala 1:200.000 la distancia entre dos puntos es de 15 cm. ¿Cuál es la distancia en la realidad?

1º) Hay que establecer la equivalencia de la escala:

1 cm en el mapa equivalen a 200.000 cm en la realidad; es decir a 2 km.

2º) Y ahora planteamos la regla de tres:

Ejercicio 15

En una fábrica 6 máquinas iguales producen en 2 horas 600 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 9 de estas máquinas en 3 horas?

El planteamiento es: si aumentamos el número de máquinas, la cantidad de piezas producidas en un cierto tiempo, aumentará, por ello la relación es Directa, a su vez, tenemos las mismas máquinas trabajando más tiempo, se producirán más piezas, luego la relación también es directa.


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Ahora establecemos la igualdad de las proporciones. En uno de los miembros la magnitud donde está la incógnita, y en el otro el producto de las razones. Al ser las dos directas, se escriben las razones sin invertir:

Luego producirán 1350 piezas.

Ejercicio 16

Compramos un lote de libros por 162 euros. Víctor se quedó con 7 libros, Belén con 5 y Jaime con 6. ¿Cuánto debe pagar cada uno?

La cantidad que debe pagar cada uno son proporcionales al número de libros que se quedó.

aVíctor =7; aBelén =5; aJaime =6. por tanto A=7+5+6=18 y la cantidad total pagada N=162=Cvictor+CBelén+CJaime €.

Cvictor = (162.7)/18 = 63

CBelén = (162.5)/18 = 45

CJaime = (162.6)/18 = 54

Ejercicio 17

Una persona decide repartir la cantidad de 4.400 euros entre 3 niños. El reparto ha de efectuarse en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 4, 8 y 12 años. ¿Cuánto corresponderá a cada uno?

Los números inversos a las edades son: 1/4; 1/8; y 1/12. Reduciendo estas fracciones a común denominador, resulta:

6/24; 3/24 y 2/24

Ahora de lo que se trata es de hacer el reparto directamente proporcional a los numeradores. Cuya suma es 6+3+2=11

Con lo cual el reparto quedará:

C4=(4.400.6)/11= 2400 €

C8=(4.400.3)/11= 1200 €

C12=(4.400.2)/11= 800 €


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Ejercicio 18

Se reparten 1200 puntos entre tres niños de manera proporcional a su edades de 10,12,16 años e inversamente proporcional al número de amonestaciones impuestas en el campeonato que ha sido 2,1,2 y al número de faltas a los entrenamientos que fueron respectivamente de 12, 14,8.

¿Determinar los puntos que le corresponde a cada uno de los niños?

• Hay un reparto mixto. Atendiendo a una característica el reparto es directamente proporcional (edad), pero atendiendo a las amonestaciones y a los días que han faltado a los entrenamientos el reparto es inversamente proporcional.

• Procederemos calculando el índice del reparto compuesto tras haber invertido los factores que representarían al reparto inversamente proporcional.

• Procedemos a realizar el reparto directo a los índices compuestos hallados, así:

Puntos totales repartidos: 1.200 Puntos


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Ejercicio 19

El 60% de los empleados de una empresa llegan al trabajo en autobús. Si el número total de empleados es 1.200, ¿cuántos llegan en autobús?

Planteamos la siguiente regla de tres:

Ejercicio 20

En una votación participan 300 personas. ¿Qué tanto por ciento de los votos obtuvo un candidato que fue votado por 60 personas?

Planteamiento de la regla de tres:

Ejercicio 21

Lourdes tiene un depósito bancario de 4000 € que le da un 4% anual. ¿Qué interés le produce su capital al final de año? ¿Y en 5 años?

Que el tipo de interés sea del 4% significa que de cada 100 € que Lourdes tiene en el depósito bancario, la entidad le da 4 € al año. Por los 4000 € le dará el 4%, esto es:

En cinco años le producirá 5 veces esa cantidad, es decir: 5. 160 € =800 €

22) Selecciona de las siguientes expresiones la que representa una proporción correcta.

X


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23) Selecciona la respuesta correcta entre las soluciones que se proponen sobre la cuarta proporcional:

X

24) Indica si es Verdadera o Falsa la siguiente proposición:

La razón de las alturas de dos árboles es igual a la de las sombras que proyectan.

Si la sombra de un ciprés es 30 metros y la de un pino de 4 m de altura, su sombra de 2 m., ¿será la altura del ciprés de 60 metros?

La respuesta es falsa, los cipreses no son tan altos, en este caso su altura es de 15 m.

25) Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera.

V / F

Un ganadero tiene 300 ovejas y tiene pienso para poderlas alimentar durante 90 días. Compra 150 ovejas más. ¿Dispondrá de pienso para alimentarlas a todas durante 70 días?

Tres amigos aportan 18 euros cada uno para la compra de un regalo a otro. Si se añaden seis amigos más para hacerle el mismo regalo, ¿tendrán que pagar 5 euros cada uno?

Un grifo echa 20 litros de agua por minuto y tarda en llenar un depósito una hora y 30 minutos. Si disponemos de un grifo que echa 30 litros de agua por minuto, ¿tardará en llenar el mismo depósito una hora?

V

26) Selecciona la respuesta correcta entre las siguientes proposiciones.

La capacidad del pantano de Buendía es de 1600 hm3. Si nos dicen que está al 12% de su capacidad, ¿tendrá 200 hm3 embalsados?

La factura de dos meses de luz de una familia es de 150 euros, a falta de añadir el 16% de IVA. ¿Será el importe total de la factura de 185 euros?

Cañamares un pueblo de la sierra conquense ha aumentado en verano el número de habitantes en un 150%. Si en verano tiene 750 habitantes, ¿será su población fija de 500 habitantes?

X


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27) Si como antaño, una persona depositara 2400 euros en un banco con un interés anual del 6%, cuánto dinero tendría al cabo de un año sumando el rendimiento al capital principal.

Tendría un rendimiento de 144 €

Tendría un rendimiento de 144 € que sumado al principal da un capital de 2544€ X

Volvería a tener 2400 €, pues habría que tener en consideración las comisiones bancarias que son altas

28) Por el trabajo realizado con una cosechadora se han cobrado 4480 euros. En la cosechadora han trabajado tres operarios de la siguiente forma: el operario A ha trabajado 14 horas; el operario B, 18 horas, y el operario C, 24 horas. Si hicieron un reparto directamente proporcional a las horas trabajadas, el resultado hubiese sido:


El operario A recibió 1120 €; el operario B, 1440 €, y el operario C, 1920 € X


29) Dos camareros de un bar se reparten un bote con 126 euros de propinas, de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado. Luis ha faltado 3 días y Pedro, 5 días. ¿Qué cantidad es la que recibirá cada uno?

Decidieron que Luis debía recibir 68 euros, y Pedro 58 X

La respuesta correcta sería que Luis debiera recibir 79 euros, y Pedro 47

O quizás sería mejor que Luis recibiera 78,75 € y Pedro 47,75 €

30) Indica cuál de las siguientes propuestas es verdadera:

Tres máquinas en 6 horas revelan 750 fotografías. Si ahora disponemos de 7 máquinas trabajando 9 horas, ¿podremos revelar 2800 fotografías?

Tres grifos iguales llenan un depósito de 10 m3 en 5 horas. Se estropea un grifo y debemos llenar un depósito de 8 m3. ¿Podremos hacerlo en 6 horas?

X

Con 12 kg de pienso, 9 conejos comen durante 6 días. Si ahora sólo tenemos 8 kg de pienso para 4 conejos, ¿los podremos alimentar durante 10 días?


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31) Las siguientes gráficas muestran la relación entre pares de magnitudes. ¿Cuáles corresponden a una relación directamente proporcional?

X

ACT1. Bloque 3. Tema 7. Álgebra

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Bloque 3. Tema 7. Álgebra

Toledo: puerta de entrada del álgebra en Europa

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN.

1) EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

1.1. Valor numérico de una expresión algebraica.

2) MONOMIOS.

2.1. Operaciones con monomios.

3) POLINOMIOS.

3.1. Operaciones con polinomios.

3.2. Productos notables.

3.3. División por Ruffini. Teorema del resto. Teorema del factor.

a) Teorema del resto. b) Teorema del factor.

3.4. Factorización de un polinomio.

4) ECUACIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO.

4.1. Igualdades: Identidades y ecuaciones.

4.2. Procedimiento para la resolución de ecuaciones.

4.3. Ecuaciones con valor absoluto.

4.4. Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado.

5) AUTOEVALUACIÓN.

INTRODUCCIÓN

Dos matemáticos se encuentran en la base del desarrollo del álgebra, Diofanto de Alejandría y Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi.

Del primero se conoce que debió vivir sobre el siglo III, conocido por su Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de números.


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Su epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega rezaba así:

“Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.”

El mundo árabe medieval, conoció la Aritmética poco después de que el célebre AlJwarizmi redactara, hacia el año 830, su Kitab al-Mujtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala.

Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi, (780-850) es considerado el padre del Algebrá. Llamado a Bagdad por el califa abasida Al Mamun, continuador de la Academia de Ciencias creada por su padre, llamada la Casa de la Sabiduría, en ella se tradujeron al árabe obras científicas y filosóficas griegas e hindúes. En este ambiente científico y multicultural se educó y trabajó Al-Khwarizmi. Todo este florecimiento traería importantes consecuencias en el desarrollo de la ciencia en Europa, principalmente a través de España, donde muchas obras serán traducidas al latín en la escuela de traductores de Toledo.

Al-Khwarizmi fue un recopilador del conocimiento de los griegos e hindúes, principalmente de matemáticas, pero también de astronomía (incluyendo el calendario judío), astrología, geografía e historia. Su trabajo más conocido y usado fueron sus Tablas Astronómicas, basadas en conocimientos de los hindúes. Incluyen algoritmos para calcular fechas y las primeras tablas conocidas de las funciones trigonométricas seno y cotangente.

De su aritmética, posiblemente denominada originalmente "Kitab al-Jam'a wal-Tafreeq bil Hisab al-Hindi", sólo conservamos la versión latina, Algoritmi de Numero Indorum, del siglo XII. En esta obra describe con detalle el sistema hindú de numeración posicional en base 10 y la manera de hacer cálculos con él. Fue esencial para la introducción de este sistema de numeración en el mundo árabe y posteriormente en Europa. El que nos haya llegado a través de los árabes hace que le llamemos habitualmente sistema de numeración árabe, cuando deberíamos llamarlo indo-arábigo.

Su tratado de álgebra es una introducción compacta al cálculo, usando reglas para completar y reducir ecuaciones. Quizás éste es el libro árabe más antiguo conocido y parte de su título "Kitab al-jabr wa'l-muqabala" da origen a la palabra álgebra. Esta obra representa para el Álgebra lo mismo que Los Elementos de Euclides para la Geometría.

El trabajo de Al'Khwarizmi permitió preservar y difundir el conocimiento de los griegos (con la notable excepción del trabajo de Diofanto) e hindúes, pilares de nuestra civilización.

Caso práctico

Al final del tema deberás ser capaz de contestar a la siguiente pregunta:

¿Cuánto tiempo vivió Diofanto según la información dada por su epitafio?


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1) EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Cuando hacemos operaciones entre números y letras, decimos que se trata de expresiones algebraicas.

El lenguaje algebraico sirve para traducir a simbología matemática, enunciados con operaciones entre cantidades que no conocemos.

Las cantidades desconocidas se les llaman incógnitas o variables.

Ejemplos de expresiones algebraicas serían: • El cuadrado de la suma de dos números. (x+y)2 • Si un litro de gasolina cuesta 1,05 € ¿Cuánto costarán x litros? C=1,05.x

Luego una incógnita o variable no es más que un número desconocido en el momento de realizar la operación aritmética en la que participa.

Ejercicio 1

Expresa las siguientes oraciones del lenguaje común al lenguaje algebraico.

Utiliza alguna de las siguientes expresiones:

x, x +1, x +2 x.(x −1) = 30 y2 x3 + 3x2 f-g (x+1)/x (2x/3)-5=12

x+7 x2 + 7 x 2x+5 x/2 1500-x [(3x/5)+(x+1)/2]=3

Lenguaje Semántico Lenguaje Algebraico

Un número cualquiera

Un número cualquiera aumentado en siete.

La diferencia de dos números cualesquiera.

El doble de un número excedido en cinco.

La división de un número entero entre su precedente.

La mitad de un número.

El cuadrado de un número.

Las dos terceras partes de un número disminuido en cinco es igual a 12.

Tres números naturales consecutivos.

El cuadrado de un número aumentado en siete.

Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a 3.


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El producto de un número positivo con su antecesor equivale a 30.

El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número.

Lo que excede 1500 del valor de X

1.2) VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras (variables) por números y efectuar las operaciones indicadas.

Veamos un ejemplo:

La expresión v.t sirve para calcular el espacio recorrido por un móvil en función de su velocidad y del tiempo que este está en movimiento (llamamos v a la velocidad y t al tiempo).

1) Si la velocidad es 60 km/h y está 2 h en movimiento, ¿cuántos km recorrerá?

2) Si ahora la velocidad fuese 75 km/h y el tiempo 4 horas y media (4,5 h), ¿cuál sería el espacio recorrido?

Valoración caso 1.- espacio recorrido= v.t = 60 km/h . 2 h =120 km

Valoración caso 2.- espacio recorrido= v.t =75 km/h .4,5 h=337,5 km

Ejercicio 2

Determina el valor numérico de la expresión: x4.y2.z3; siendo x = 4, y = 3, z =1/2.

Ejercicio 3

Cuál es el valor numérico de la expresión algebraica:

Siendo el valor de las variables: x=2; y=1/4


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2) MONOMIOS

Una expresión algebraica en la que sólo aparece la operación de multiplicar es un monomio.

Podríamos preguntarnos cuál es la distancia que separa las torres eléctricas de la imagen.

La respuesta la encontraríamos en el siguiente monomio:

Distancia = X

Tengamos ahora en consideración el cuadrado de esta otra figura donde sabemos que su lado tiene una longitud de X unidades.

Si quisiéramos saber cuál es su área.

La respuesta la encontraríamos en el siguiente monomio:

Área cuadrado = Lado * Lado = X.X= X2

Si trazamos en el cuadrado su diagonal se nos habrán formado dos triángulos, el área de cada uno de ellos será por tanto la mitad del área del cuadrado.

Y si construyésemos un cubo con esos cuadrados, el volumen del mismo vendría determinado por el siguiente monomio:

Así pues, un monomio sirve para expresar diferentes magnitudes como, distancias, superficies, volúmenes. Tendremos que estudiar qué es lo que les hace característicos, pero antes veamos otros monomios donde aparecen dos variables.


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Supongamos ahora que tenemos un rectángulo que tiene Y unidades de ancho y X unidades de alto.

El área de dicho rectángulo sería el monomio:

Área rectángulo = Base. Altura= Y. X

En el siguiente paralelepípedo de dimensiones respectivas X, Y y Z, que como se aprecia en la figura representan las dimensiones de su ancho, largo y alto.

El volumen de dicho cuerpo lo podríamos calcular con el siguiente monomio:

Volumen = Base . Altura= Largo. Ancho. Alto = X.Y.Z

En los monomios denominamos a las partes que los componen del siguiente modo:

• Se llama grado de un monomio, al exponente al que está elevada su variable.

• Si el monomio estuviese formado por dos o más variables, el grado de dicho monomio sería la suma de los exponentes de las variables.

• Se llama coeficiente de un monomio, al número real que multiplica a la variable o las variables, en el supuesto que hubiese más de una.

Cuando el coeficiente tiene como valor uno, no se suele poner.

• Se llaman variables a los valores numéricos no conocidos.

• Se llama valor numérico de un monomio, al número que obtenemos al sustituir la variable por números, realizando las operaciones indicadas

Cuando dos o más monomios tienen el mismo grado y están formados por las mismas variables, se dice que son monomios semejantes y, representan magnitudes físicas equivalentes. En los ejemplos vistos representaban una longitud, una superficie y un volumen.

Si los monomios no tienen el mismo grado o no están formados por la misma variable, los monomios se dirán que no son semejantes y por tanto no representan a magnitudes físicas equivalentes, no pudiéndolos agrupar en un solo monomio.


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Ejercicio 4

Completa la tabla.

Monomio Coeficiente Variable Grado

3.axy2 3 a,x,y

-5.z3

-4 x 1

x 3.y3 x,y

5 Cualquiera

2.1) OPERACIONES CON MONOMIOS

Sólo pueden sumarse y restarse, los monomios semejantes.

Procedimiento:

Para sumar/restar dos monomios semejantes, se suma/resta los coeficientes y, se deja la misma variable.

Veamos un ejemplo:

Calcula estas sumas de monomios semejantes:

a) 5x3+8x3-2x3=(5+8-2).x3=11.x3

Para multiplicar dos monomios no es necesario que estos sean semejantes.

Procedimiento.:

El producto de monomios, será otro monomio que tendrá como coeficiente el producto de los coeficientes y como exponente de la misma variable, la suma de los exponentes, pues será el producto de potencias de la misma base.

Veamos un ejemplo:

Multiplica los siguientes monomios: (-3x2) . (7x3) = (-3x2) . (7x3) =(-3.7).(x2.x3)=-21.x5


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• No es necesario que sean semejantes. • El grado del monomio dividendo debe ser mayor o igual al grado del monomio

divisor, para no generar fracciones algebraicas.

Procedimiento:

Al dividir dos monomios obtenemos otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y cuya parte literal es la misma letra elevada a la resta de los exponentes. (Recordar cociente de potencias de la misma base).

Veamos un ejemplo:

Vamos a dividir el monomio 6x5 entre el monomio 3x2

Ejercicio 5

Indica cuales de los siguientes monomios son semejantes.

Ejercicio 6

Realiza las siguientes operaciones con monomios:

a) 2x3-7x3+x3 =

b)

c)

Son semejantes: • b,h • a,d,g • c,f,e

Son semejantes: • b,h • a,d,g • c,f

Son semejantes: • b,h,f • a,d,g • c,f


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3) POLINOMIOS

Supongamos que deseamos conocer el área (dividida en tres zonas) de una solución habitacional como la de la figura.

Si calculamos el área de la figura tendremos:

La expresión anterior representa a un polinomio, por lo que podremos definir un polinomio como la suma o resta de monomios no semejantes.

Al referirnos a un polinomio solemos utilizar la siguiente nomenclatura:

• Término: Cada uno de los monomios que integra el polinomio.

• Variable: La letra sobre la que construimos el polinomio.

• Grado: El mayor de los exponentes de los monomios que integran el polinomio.

• Termino Independiente: El monomio que no lleva letra o que la variables está elevada a cero.

• Polinomio Reducido: Polinomio obtenido después de agrupar los monomios semejantes.

• Polinomio Ordenado: Polinomio en el que se han ordenado sus monomios que lo forman, atendiendo a su grado. La ordenación podrá ser de forma creciente o decreciente. Para operar con polinomios es conveniente que estos estén ordenados.

• Polinomio Completo: Cuando el polinomio tiene todos los términos intermedios desde el de mayor grado hasta el término independiente.

• Valor numérico de un polinomio.: Es el valor que adquiere el polinomio, al sustituir en el la variable por un número y realizar las operaciones indicadas.

• Raíz de un polinomio: Es el valor de la variable que hace que el valor numérico del polinomio sea cero. Un polinomio podrá llegar tener tantas raíces reales como indica su grado.

Los polinomios suelen denominarse por una letra mayúscula, colocando entre paréntesis la variable sobre la que se construye.

Así nos referimos a P(x) = 3x4+2x3+1.

Sabiendo que x es la variable del polinomio, si existiesen más letras las consideraríamos como coeficientes.


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Repasemos con el siguiente ejemplo la nomenclatura dada sobre polinomios.

Partamos del siguiente polinomio: 5x3+6x2-4x3-12x4-6x+9x-3x4+9-5=

• Términos: El polinomio original está formado por 9 términos.

• Variable: El polinomio sólo tiene una variable que la hemos denominado con la letra X.

• Polinomio Reducido: Si sumamos los monomios semejantes el polinomio quedaría como: x3+6x2-15x4+3x+4= donde ha pasado de tener 9 términos a quedarse con 6.

• Grado: El polinomio es de grado 4. El mayor de los exponentes de los monomios que integran.

• Termino Independiente: El 4 es el término que no depende de x, pues sería el coeficiente del monomio de grado cero. 4.x0 y si recordamos cualquier potencia elevada al exponente cero, tiene como valor uno.

• Polinomio Ordenado: -15x4+x3+6x2+3x+4=

• Polinomio Completo: Nuestro polinomiio es completo pues tiene todos los monomios desde el grado 4 hasta el grado cero.

• Valor numérico de un polinomio.: Llamemos a nuestro polinomio P. Por tanto P(x)=-15x4+x3+6x2+3x+4 Nos interesa saber cuánto vale el polinomio cuando la variable x tome el valor de dos.

P(x=2)=-15(2)4+(2)3+6(2)2+3(2)+4=-15(16)+(8)+6(4)+3(2)+4=-240+8+24+6+4=-198

• Raíz de un polinomio: Como el polinomio es de grado cuatro y sus coeficientes son números reales, el polinomio podría llegar a tener hasta cuatro raíces que fuesen números reales. Las que faltasen sería raíces de números complejos.

Ejercicio 7

Dada la siguiente expresión algebraica que representa a un polinomio, contesta a las siguientes preguntas:

8x2-5x3+4x-6x2+2x-5

• Cuantos términos tiene.

• Cuál es la variable sobre el que se construye:

• Grado:

• Cuál es el Termino Independiente:

• Expresa el Polinomio Reducido:

• Nombra y escribe el Polinomio Ordenado:

• ¿Es un Polinomio Completo?

• Valor numérico del Polinomio cuando x=-1.

• ¿Hasta cuantas raíces reales podría tener el polinomio?


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3.1) OPERACIONES CON POLINOMIOS

Consistirá en multiplicar los coeficientes del polinomio por el número dado.

Siendo P(x)= 2x3- 5x2 + 2x- 3. Calcular el polinomio -2 P(x).

-2.P(x)=(-2.2).x3 - (-2.5).x2 +(-2.2).x - (-2.).3= -4.x3 + 10.x2 -4.x + 6

La suma de dos o más polinomios será otro polinomio constituido al sumar entre sí los monomios semejantes de los polinomios que se suman.

Calcular la suma de los polinomios: P(x) + Q(x). P(x)= 2x3- 5x2 + 2x- 3. Q(x)= 7x2 -5x3 -2x - 4

Lo primero que haremos es observar si los polinomios están ordenados, si no lo estuviesen los ordenaríamos. Seguidamente colocamos en columna los monomios semejantes y procedemos a sumar sus coeficientes.

La resta de dos polinomios será otro polinomio, obtenido al sumarle al minuendo el opuesto del sustraendo.

Calcula W(y)-R(y) siendo

W(y)= 5y3- 6y2 + 2y- 3.

R(y)= 8y3 –l0y2 + l0y –4.

Primero comprobaremos que los polinomios estén ordenados, si no fuese así los ordenaríamos y reduciríamos si fuese el caso.

La operación que vamos a realizar podemos expresarla como: W(y)-R(y)=W(y)+(-1).R(y). Colocaremos los monomios semejantes en la misma columna para proceder a su suma.


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Procedimiento:

Se procede multiplicando el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Luego nos encontramos ante multiplicaciones parciales de monomios.

Vamos a calcular el producto del monomio (-3x2 ) por le polinomio P(x)=(2x2 + 5x -6)

Podemos hacer la multiplicación en línea:

(-3x2 ) . P(x)= (-3x2 ). (2x2 )+(-3x2 )( 5x) - (-3x2 ).(6)=-6x4-15x3+18x2

El resultado será otro polinomio, obtenido al multiplicar todos los términos de uno de los polinomios, por todos los términos del otro y reducir los términos semejantes.

Calcula el siguiente producto de polinomios: (2x2-3x-5).(5x-9) =

Particular importancia tienen una serie de multiplicaciones que agruparemos bajo el epígrafe de productos Notables.

Se divide cada término del polinomio entre el monomio, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Veamos un ejemplo:

Veamos otro ejemplo:


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Para poder realizar la división entre dos Polinomios, el grado del polinomio divisor, debe de ser menor o igual (≤) que el grado del polinomio dividendo. Si no fuese así, estaríamos ante una fracción algebraica.

Procedimiento.:

• Se ordenan los polinomios dividendo y divisor según potencias decrecientes.

• Se divide el primer término del polinomio dividendo, por el primer término del divisor y el resultado es el primer término del cociente.

• Se multiplica el término del cociente por todo el divisor y el resultado cambiado de signo se le suma al dividendo, obteniéndose una división parcial.

• Se continúa el proceso hasta obtener un dividendo parcial de grado inferior al divisor, que será el resto.

Veamos un ejemplo. Procedamos a dividir el polinomio P(x) por el polinomio Q(x)

P(x) = 3x3 +10x2 +11x +5.

Q(x)= 3x2 +7x +2.

Si la división está correctamente realizada, deberá verificarse que:

Dividendo = divisor * Cociente + Resto. ⇒ D=d.C+R

Por lo que el polinomio Dividendo P(x) podemos expresarlo como:

Cuando el residuo o resto de la división es cero, diremos que la división es exacta.

Ejercicio 8

Siendo:

Q(x) = (3x3 – 2x2 – 4x – 8)

P(x) = (x – 2)


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Sin realizar la división Q(x)/P(x) contesta estas preguntas: a) ¿De qué grado es el polinomio dividendo? b) ¿De qué grado es el polinomio divisor? c) ¿De qué grado será el polinomio cociente?

Ejercicio 9 Siendo: Q(x) = (3x3 – 2x2 – 4x – 8)

P(x) = (x – 2) Realiza la siguiente división Q(x)/ P(x) e indica si la división es exacta o inexacta.

3.2) PRODUCTOS NOTABLES

Son un grupo de identidades algebraicas que aparecen muy frecuentemente en el cálculo. El cuadrado de una suma. (a+b)2 = a2 + 2a.b + b2

(El cuadrado de primer término, más el doble producto de primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término).

A esta expresión se le denomina cuadrado perfecto.

Demostración.

La expresión (a + b)2 es equivalente a (a + b).(a + b), entonces al realizar el producto de los binomios, se obtiene:

(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

Ejemplo. Desarrolla (x + 7)2.

Al aplicar la regla general:

• El cuadrado del primer término: (x)2 = x2

• El doble producto del primer término por el segundo: 2(x)(7) = 14x

• El cuadrado del segundo término: (7)2 = 49

Se suman los términos resultantes y se obtiene: (x + 7)2 = x2 + 14x + 49

Otro ejemplo. Desarrolla (-2x -3y)2=

Al aplicar la regla general: • El cuadrado del primer término: (-2x)2 =4x2 • El doble producto del primer término por el segundo: 2(-2x)( -3y) = 12xy • El cuadrado del segundo término: (-3y)2 = 9y2

Se suman los términos resultantes y se obtiene: (x + 7)2 = 4x2+ 12xy + 9y2


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• El cuadrado de una diferencia. (a-b)2 = a2 - 2 a.b + b2

(El cuadrado de primer término, menos el doble producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término).

Demostración.

La expresión (a - b)2 es equivalente a (a- b).(a - b), entonces al realizar el producto de los binomios, se obtiene:

(a - b)2 = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab +b2

Ejemplo. ¿Cuál es el resultado de desarrollar (4x4 − 9y3)2?

Se aplica la fórmula anterior y se obtiene:

(4x4 − 9y3)2 = (4x4)2 − 2(4x4)(9y3) + (9y3)2= 16x8 − 72x4y3 + 81y6

• Suma por Diferencia. Binomios conjugados. (a + b).(a-b) = a2 – b2

(El cuadrado de primer término menos el cuadrado del segundo término).

Demostración.

Al realizar el producto a (a+b).(a - b), los dobles productos se anulan quedando los cuadrados de los términos.

(a+b).(a - b) = a2 - ab +ab - b2 = a2 - b2

Ejemplo. Resuelve (− 2x3 + 7) (− 2x3 − 7).

Ambos términos se elevan al cuadrado:

El cuadrado del término que no cambia de signo: (− 2x3)2 = 4x6

El cuadrado del término que cambia de signo: (7)2 = 49

Finalmente, se realiza la diferencia y el resultado es: 4x6− 49

• Trinomio de una suma .(a + b + c)2 = a2 +b2 + c2+ 2a.b + 2ac+2bc

(El cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término más el cuadrado del tercer término. Más el doble producto del primer término por el segundo y tercer término. Mas el doble producto del segundo término por el tercero).

Demostración.

La expresión (a + b + c)2 es equivalente al producto (a + b + c) (a + b + c), entonces:

(a + b + c)2 = (a + b + c).(a + b + c) = a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2

Al simplificar los términos semejantes: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Ejemplo. Desarrolla (x + 2y + 3z)2.

Se aplica la fórmula y se obtiene como resultado:

(x + 2y + 3z)2 = (x)2 + (2y)2 + (3z)2 + 2(x) (2y) + 2(x) (3z) + 2(2y) (3z)

= x2 + 4y2 + 9z2 + 4xy + 6xz + 12yz


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• El cubo de un binomio. Su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se llama cubo perfecto y se forma con la suma de los cubos de los términos primero y segundo, más los triples productos del cuadrado del primero por el segundo, más el producto del primero por el cuadrado de segundo.

Demostración: La expresión (a + b)3 es equivalente al producto (a + b)2(a + b), entonces: (a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b)= a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ejemplo. Desarrolla el siguiente binomio (x − 4)3:

El binomio se expresa de la siguiente manera: (x − 4)3 = (x + (− 4))3, se obtiene cada uno de los términos del cubo perfecto:

– El cubo del primer término: (x)3 = x3

– El cubo del segundo término: (− 4)3 = − 64

– El triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(x)2(− 4) = − 12x2

– El triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(x)(−4)2 = 3(x)(16) = 48x

Finalmente, el desarrollo es: (x − 4)3 = x3 − 12x2 + 48x – 64

• Producto de dos binomios que tienen un término común. Su resultado es un trinomio cuyo desarrollo lo forma el cuadrado del término común, más el producto del término común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los no comunes.

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Demostración: Se realiza el producto de los binomios: (x + a) (x + b) = x2+ ax + bx + ab Se agrupan los términos semejantes y se obtiene la fórmula:

(x + a) (x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab

Ejemplo. Desarrolla (x − 6) (x + 4).

Calculamos los diferentes términos:

• El cuadrado del término común: (x)2 = x2

• La suma de los términos no comunes, multiplicada por el término común: (− 6 + 4).(x) = − 2x

• El producto de los términos no comunes: (− 6)(4) = − 24

• Se suman los términos anteriores y se obtiene como resultado: (x − 6).(x + 4) = x2 − 2x – 24

Ejercicio 10

Deduce la identidad matemática de la siguiente expresión algebraica:

Ejercicio 11

Desarrolla (-2m-3n)3


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3.3) DIVISIÓN POR RUFFINI. TEOREMA DEL RESTO. TEOREMA DEL FACTOR.

La regla de Ruffini permite hallar el cociente y el resto que se obtendría en la división de un polinomio P(x), por un binomio de primer grado (x-a) sin necesidad de efectuar la división de manera convencional.

Como veremos más adelante, la utilizaremos para determinar las raíces enteras que pueda tener un polinomio de grado mayor que dos.

Procedimiento

1) Se deben colocar todos los coeficientes del polinomio dividendo, ordenados de mayor a menor grado y, si falta algún término (polinomio no completo) será porque el coeficiente de dicho monomio es cero.

2) Se escribe el primer coeficiente debajo de la línea horizontal, a la izquierda se coloca el coeficiente independiente del binomio divisor cambiado de signo.

3) Se multiplica el término de la izquierda por el primer coeficiente del polinomio dividendo y el resultado se le suma al segundo coeficiente del polinomio dividendo.

4) Se repite el proceso hasta llegar al final.

Dado el polinomio P(x)=2x4 -3x3 + 5x2 – 6x+10, realizar la división por Ruffini por el binomio (x-2)

Donde el polinomio cociente es y el resto 26. Por tanto podremos decir que:

P(x)=2x4 -3x3 + 5x2 – 6x+10 =

Que es una forma de descomponer el polinomio P(x).

Ejercicio 12

Realiza utilizando la regla de Ruffini la división del polinomio 2x3+3x-2 por el binomio (x-3):


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3.3.a) TEOREMA DEL RESTO

En la división por el método de Ruffini, el resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio (binomio) de la forma (x-a), representa el valor numérico que tomaría dicho polinomio para el valor: x = a.

P(x=a) = Resto de la división de Ruffini.

En el ejemplo anterior vimos que al dividir el polinomio P(x)=2.X4 -3.X3 + 5.X2 – 6.X +10 por el binomio (X – 2).

El cociente resulto ser el polinomio de un grado inferior al polinomio dividendo. C(x) = 2.X3 + X2 + 7.X + 8 y el Resto: 26.

Luego P(x=2) = 26

Calcular por el teorema del resto, el valor numérico del polinomio P(x)=x4-3x2+2 cuando el valor de la variable sea x = 3.

Vamos a comprobamos la solución por sustitución directa del valor en el polinomio:

P(x=3) = 34– 3.32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Ejercicio 13

Aplicando el teorema del factor, determina cual es el valor del polinomio:

P(x)=3x3-7x2+3x-7, cuando x=-2.

3.3.B) TEOREMA DEL FACTOR

Si al dividir un polinomio P(x) por un binomio (x-a) el resto de dicha división fuera cero (división exacta) diremos que el valor de “a” en una raíz de dicho polinomio. P(x=a)= 0

• Cuando el polinomio tiene coeficientes reales, ocurre que las raíces enteras de dicho polinomio (si existen) son números que a su vez son divisores del término independiente del polinomio en cuestión.

• Si x=n/m es una raíz fraccionaria de un polinomio de coeficientes reales, se cumplirá que n es un divisor del término independiente mientras que m será un divisor del término de mayor grado.

• Con cada raíz podemos formar un binomio de la forma (x-raíz) que diremos que es un divisor del polinomio dado y le denominaremos factor del polinomio.

• Un polinomio de coeficientes enteros cuyo término de mayor grado sea 1, no tendrá raíces fraccionarias.

Veamos un ejemplo.

Determinar las raíces del polinomio P(x) = x2 − 5x + 6. Recordamos que la raíz de un polinomio es el número que toma la variable (x=a) que hace que el valor numérico del polinomio sea cero. P(x=a)=0


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• Como el coeficiente del término de mayor grado es 1, el polinomio no tendrá raíces fraccionarias.

• Primero vamos a determinar las raíces del polinomio, como hemos dicho en el teorema del factor, estas si existen serán divisores del término independiente.

Los divisores del seis son: 1,-1, 2, -2, 3 y -3 La búsqueda de la raíz la hacemos tanteando hasta encontrar algún valor entre los dados que haga P(x)=0. Para este fin vamos a utilizar la regla de Ruffini de manera recursiva. Utilizando la regla de Ruffini obtenemos las siguientes tablas


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Por tanto las raíces del polinomio son x1 =2 y x2 = 3, con ellas podremos formar dos binomios: (x-2) y (x-3) , y con los binomios podemos factorizar el polinomio, el cual quedaría como:

P(x)= (x-2) * (x -3)

Observación: hay polinomios que no pueden descomponerse debido a que no tiene raíces Reales. En estos casos se dice que el polinomio es irreducible.

Ejercicio 14

Comprueba utilizando el teorema del factor si el binomio (x-3) es un factor del polinomio Q(x)=x3-3x2-4x+12

3.4) FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO

Al igual que un número compuesto podemos descomponerlo en los factores primos que lo generan. Un polinomio puede expresarse como el producto de los binomios de sus raíces, que le llamaremos factores. A la identidad matemática resultante se le denomina factorización del polinomio.

Dado un polinomio P(x), dicho polinomio podrá expresarse como el producto del coeficiente del término de mayor grado del polinomio, por todos los binomios (x-raíz) que tenga.

Veamos este ejemplo:

Factorizar el polinomio P(x) = x2 − 5x + 6.

Sabemos que el polinomio no tendrá raíces fraccionarias pues el coeficiente del término de mayor grado es 1 y además sabemos que por ser de segundo grado puede tener dos raíces, que si fuesen números enteros serían los divisores del término independiente del polinomio, es decir, de 6. Divisores de 6={±1,±2,±3,±6} P(x=1) = 1-5+6=2≠0. Luego x= 1 no es raíz. P(x=-1) = 1+5+6=12 ≠0. Luego x= -1 no es raíz. P(x=2) = 4-10+6=0. Luego x=2 es una raíz del polinomio. P(x=-2) = 4+10+6=20 ≠0. Luego x= -2 no es raíz. P(x=3) = 9-15+6=0. Luego x=3 es una raíz del polinomio. Por tanto el polinomio factorizado quedaría como: P(x) = x2 − 5x + 6= (x-2).(x-3)

Ejercicio 15

Factoriza el polinomio P(x)= x3-4x2+x+6 compuesto de raíces enteras.

4) ECUACIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO

Un matemático a destacar en el estudio de las expresiones algebraicas de primer grado es Evariste Galois (1811-1832).

Las llamaremos expresiones polinómicas de primer grado porque su exponente es uno y como ocurría con los polinomios nos dedicaremos a estudiar el valor de sus raíces, aunque ahora las llamaremos soluciones.


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4.1) IGUALDADES: IDENTIDADES Y ECUACIONES

Una igualdad es una expresión algebraica en la que aparece el símbolo de igualdad. ⇒ = Las igualdades pueden ser: identidades y ecuaciones.

• Una identidad es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es cierta para cualquier valor de las variables que intervienen. Las identidades sirven para transformar expresiones algebraicas en otras más cómodas de manejar, en los procesos de desarrollo matemático.

• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo es cierta para algunos valores de las incógnitas. Los valores que hacen que la igualdad se verifique o que sea cierta, se denominan solución de la ecuación. Una ecuación podrá tener o no tener solución. Cuando tiene solución estas dependen del grado de la ecuación. Así las ecuaciones de primer grado sólo podrán tener una solución, las de segundo grado podrán tener dos, así sucesivamente.

En ecuaciones hablamos de términos de la ecuación, queriendo hacer referencia a cada uno de los lados de la igualdad.


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A su vez, cada término estará compuesto por igual o diferente número de miembros.

En las ecuaciones, las letras o variables, representan a los valores de magnitudes desconocidas. El grado de la ecuación si recordamos, será el que le dote el monomio de mayor grado, que tenga como miembro dicha ecuación. Las ecuaciones que vamos a ver serán ecuaciones de primer grado con una sola variable.

Ejercicio 16

Indica si la igualdad siguiente es identidad o ecuación.

2(x+4) + 3x = 5x + 8 es una ________________.

Ejercicio 17


2(x+5) - 3x = x + 10 es una ________________.


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4.2) PROCEDIMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Una ecuación se comporta como una balanza en la que mediante pasos intermedios realizados a través de identidades, que generan ecuaciones equivalentes a la de partida, conseguimos dejar la variable aislada en uno de los términos, que en nuestro símil será un platillo de la balanza.

Las transformaciones que podemos hacer en una ecuación para obtener otras ecuaciones equivalentes son:

Veamos un ejemplo gráficamente: ¿Cuánto pesa X?

Claramente la solución es x = 4.


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Veamos otro ejemplo:

Qué solución tiene la ecuación: 20x-14-11x=8-6x+2

Las estrategias que seguiremos para resolver las ecuaciones serán las siguientes:

• Empezaremos quitando los denominadores de las ecuaciones si los hubiese, multiplicando para ello todos los términos de la ecuación por el m.c.m de los denominadores o por un múltiplo de este.

• Pondremos cada término o el numerador de la fracción entre paréntesis antes de multiplicarlo por cualquier número.

• Simplificamos las fracciones resultantes.

• Resolveremos los paréntesis con estrategias de dentro a fuera.

• Agruparemos monomios semejantes en cada término.

• Agruparemos las variables en un término y los datos en el otro término.

• Despejamos el coeficiente que multiplique a la variable y trasponemos términos si fuese necesario.

Veamos algunos ejemplos:

a) Resolver la ecuación: 2x-3=6+x

→ Agrupamos las variables en un término. 2.x-x-3= 6+x-x ⇒ x-3=6

→ Agrupamos monomios semejantes. x-3+3=6+3 ⇒x=9

→ Despejamos la variable. X=9


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b) Resuelve la siguiente ecuación:

c) Cuando nos encontramos fracciones quitamos denominadores, como en los ejemplos siguientes:


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Ejercicio 18

Resuelve la siguiente ecuación:

4.3) ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

En estas ecuaciones la variable se encuentra afecta por el operador absoluto, lo que significa que:

Si recordamos el operador valor absoluto cuyo símbolo es “||“ nos da el cardinal del número, sin tener en cuenta el signo. Por ello el valor absoluto de un número positivo será el mismo número y el valor absoluto de un número negativos será el mismo número escrito en forma positiva.

Por ello para resolver una ecuación con valor absoluto se tiene que si |x|=b , puede ocurrir dos casos:

Caso 1: que x sea positivo de valor b, luego |x|=x=b

Caso 2: que x sea negativo x=-b, luego |x|=(-1).x=(-1).(-b)=b


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Por tanto al resolver una ecuación con valor absoluto deberemos resolver los dos casos planteados.

Veamos unos ejemplos.

a) Resuelve la ecuación |6-3x|=9

Caso 1: que (6-3x) sea positivo, en cuyo caso resolvemos la ecuación. (6-3x)=9

Caso 2: que (6-3x) sea negativo, en cuyo caso resolvemos la ecuación. (-1).(6-3x)=9.

Luego x=-1 y x=5, hacen que |6-3x|=9

b) Resuelve |3x-1|=2x+5

Caso 1: que (3x-1) sea positivo, en cuyo caso resolvemos la ecuación, (3x-1)=2x+5

Caso 2: que (3x-1) sea negativo, en cuyo caso resolvemos la ecuación, (-1).(3x-1)=2x+5.

Luego x=6 y x=-4/5 son soluciones de la ecuación.

Ejercicio 19

Resuelva la ecuación:


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4.4) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

La resolución de problemas mediante métodos algebraicos conlleva traducir a lenguaje algebraico la situación que se nos plantea. Para ello es muy útil seguir los siguientes pasos:

1º) Identificar DATOS e INCÓGNITAS. 2º) Asignar una letra (x, y, z…) a cada una de las incógnitas que tengamos. 3º) Si hubiese más de una incógnita, buscar la relación que exista entre ellas. 4º) Establecer la relación que hay entre las incógnitas y los datos. 5º) Resolver la ecuación resultante. 6º) Analizar la lógica del resultado obtenido.

Vamos a ver algún ejemplo.

María tiene 20 años menos que su madre. Dentro de 5 años, María tendrá la mitad de años que su madre. ¿Qué edad tienen cada una actualmente?

1) Identificar DATOS e INCÓGNITAS.

Incógnitas:

La edad de madre e hija actualmente.

Los datos:

Los años que tiene María menos que su madre o lo años que su madre tiene más que María.

La relación de años entre madre e hija en el futuro cuando hayan transcurrido cinco años. Que nos dice que la edad de la hija será la mitad que la de la madre.

2) Asignar una letra (x, y, z…) a cada una de las incógnitas que tengamos.

Vamos a llamar x a la edad de María e y a la edad de su madre.

3) Si hubiese más de una incógnita, buscar la relación que exista entre ellas.

Como nos aparecen dos incógnitas y nosotros tenemos que poner una ecuación con una sola incógnita debemos buscar la relación que hay entre la incógnitas x e y.

La relación la encontramos sabiendo que las edades de madre e hija se diferencian en 20 años. Por tanto la relación buscada podría ser: x=y-20

4) Establecer la relación que hay entre las incógnitas y los datos.

Para este propósito una tabla como la siguiente nos puede ayudar.


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5) Resolver la ecuación resultante.

La primera columna ya la hemos utilizado para establecer la relación entre x e y. Luego ahora tendremos que utilizar la relación entre los números de la segunda columna.

Luego:

Luego la edad de María es de 15 años y la de su madre veinte años más, es decir, 35 años.

6) Analizar la lógica del resultado obtenido.

El resultado no contradice la lógica, la edad de la madre debe ser mayor que la edad de la hija.

Ahora nos quedaría comprobar se cumple las dos premisas de la columna:

¿es 35 igual a 15 más veinte? Pues sí.

¿es 15 más 5 la mitad de 35 más 5? Pues la respuesta es si. Por tanto damos como bueno el resultado obtenido.

Ejercicio 20

Un automóvil con velocidad constante de 21 m/s parte 5 segundos después que un automóvil, cuya velocidad es de 18 m/s, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que el segundo alcance al primero?

En este tipo de problemas que representa al movimiento rectilíneo uniforme se utilizan las siguientes relaciones entre los conceptos, velocidad, espacio y tiempo:

Es también muy aconsejable la realización de un esquema que nos sirva de orientación y sobre el que se expliciten los datos y las incógnitas.


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5) AUTOEVALUACIÓN

Ejercicio 21

¿Cómo expresaría algebraicamente el siguiente enunciado?:

La suma de tres números enteros pares consecutivos.

Ejercicio 22

Indica cual es el grado del siguiente monomio: -25 ⇒ -52

Ejercicio 23

El producto de los siguientes monomios (4 a x4 y3) · (x2 y) · (3 a b2 y3) es:

Ejercicio 24

¿Cuál de las siguientes expresiones representa a un polinomio?

Ejercicio 25

Dados los polinomios indicados, el valor de la siguiente ecuación polinómica R(x)+Q(x)-2.P(x)= será:

P(x)=x4+2x2+1

Q(x)=2x4+2x3+2

R(x)=-2x3+4x2

6n+3=

n+(n+1)+(n+2)=

2n+(n+1)+(n+2)=

El monomio es de grado 2

El monomio no tiene grado

El monomio es de grado cero

12 ab2x6y3

12 a2 b2 x4 y7

12 (a b)2 x6 y7

Las dos respuestas anteriores son correctas.

S(x)= 2x3+x2+4

S(x)= 0

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta


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Ejercicio 26

Cuando dividimos el polinomio P(x)=x7 +x5 +2x+1 entre el polinomio Q(x)=x4+3x2+5. Podemos afirmar que el grado de los polinomios: Dividendo, divisor, Cociente y Resto, será:

Ejercicio 27

¿Cuál de los siguientes valores {3,1,0,-3} son raíces del polinomio Q(m) = m4 -18.m2 + 81?

Ejercicio 28

¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación de primer grado?

Ejercicio 29

Se reparte un lote de juguetes por igual entre 15 niños presentes, pero llega un niño más y hay que dar a cada uno un juguete menos, sobrando 11 juguetes.

¿Cuántos juguetes corresponden a cada niño y cuántos había en total?

Ejercicio 30

Si a un número se le suma su doble y su triple resulta 90. ¿Cuál es el número?

D=7; d=4; C=3; R=3

D=7; d=4; C=4; R=2

D=7; d=4; C=3; R=2

Son raíces los valores {3,1,0,}

Son raíces los valores {3,-3}

Son raíces los valores {3,1,0,-3}

La solución es x=0

La solución es x=31


Había 75 juguetes en total y se repartieron 6


Las dos respuestas anteriores son erróneas

El número sería 25

El número sería el 14

Las dos respuestas anteriores son incorrectas


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Ejercicio 1

Lenguaje Semántico Lenguaje Algebraico

Un número cualquiera x

Un número cualquiera aumentado en siete. x+7

La diferencia de dos números cualesquiera. f-g

El doble de un número excedido en cinco. 2x+5

La división de un número entero entre su precedente. (x+1)/x

La mitad de un número. x/2

El cuadrado de un número. y2

Las dos terceras partes de un número disminuido en cinco es igual a 12. (2x/3)-5=12

Tres números naturales consecutivos. x, x +1, x +2

El cuadrado de un número aumentado en siete. x2 + 7

Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a 3. [(3x/5)+(x+1)/2]=3

El producto de un número positivo con su antecesor equivale a 30. x.(x −1) = 30

El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número. x3 + 3x2

Lo que excede 1500 del valor de X 1500-x

Ejercicio 2

Determina el valor numérico de la expresión: x4.y2.z3; siendo x = 4, y = 3, z =1/2.

Se sustituyen los respectivos valores de x, y, z y se efectúan las operaciones indicadas para obtener el valor numérico de la expresión:


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Ejercicio 3

Cuál es el valor numérico de la expresión algebraica:

Siendo el valor de las variables: x=2; y=1/4

Se sustituyen los respectivos valores de x, y, z se efectúan las operaciones indicadas para obtener el valor numérico de la expresión:

Convertimos las fracciones en otras equivalentes con el mismo denominador, podemos elegir como tal al mcm(3,5,24)=120.

Por tanto, el valor numérico de la expresión es igual a: 781/120

Ejercicio 4

Completa la tabla.

Monomio Coeficiente Variable Grado

3.axy2 3 a,x,y 4

-5.z3 -5 z 3

-4x -4 x 1

x 3.y3 1 x,y 6

5 5 Cualquiera 0

Ejercicio 5

Indica cuales de los siguientes monomios son semejantes.


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Ejercicio 6

Realiza las siguientes operaciones con monomios:

a) 2x3-7x3+x3 = 2x3-7x3+x3= 2x3-7x3+x3 = -4x3

b)

c)

Ejercicio 7

Dada la siguiente expresión algebraica que representa a un polinomio, contesta a las siguientes preguntas:

8x2-5x3+4x-6x2+2x-5

• Cuantos términos tiene.


• Grado:


• Expresa el Polinomio Reducido:


• ¿Es un Polinomio Completo?


• ¿Hasta cuantas raíces reales podría tener el polinomio?

• Cuantos términos tiene. Tiene seis monomios, luego seis términos.


El polinomio solo tiene una variable, que le hemos denominado x

Son semejantes: • b,h • a,d,g • c,f,e

X

Son semejantes: • b,h • a,d,g • c,f

Son semejantes: • b,h,f • a,d,g • c,f


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• Grado: El grado del polinomio es 3, por ser este el grado del mayor de los monomios que lo forman.


El término independiente es el 5, aquél monomio que no está explicita la variable, por estar esta elevada al exponente cero, (x0)

• Expresa el Polinomio Reducido: Al agrupar los monomios semejantes la expresión algebraica quedaría como: 2x2-5x3+6x-5


Podemos ponerle el nombre de Q y entonces diríamos: Q(x)=-5x3+2x2+6x-5 =

• ¿Es un Polinomio Completo? Si porque tiene todos los grados desde el mayor 3 hasta el menor 0


Sustituyendo la variable y realizando las operaciones indicadas obtendríamos que: Q(x=-1)=-5x3+2x2+6x-5 = =-5(-1)3+2(-1)2+6(-1)-5 =-14

• Hasta cuantas raíces reales podría tener el polinomio.

Como el polinomio es de grado 3 podría llegar a tener hasta tres raíces reales.

Ejercicio 8

Siendo:

Q(x) = (3x3 – 2x2 – 4x – 8)

P(x) = (x – 2)

Sin realizar la división Q(x)/P(x) contesta estas preguntas:

a) ¿De qué grado es el polinomio dividendo?

b) ¿De qué grado es el polinomio divisor?

c) ¿De qué grado será el polinomio cociente?

a) ¿De qué grado es el polinomio dividendo? El grado de Q(x) es 3.

b) ¿De qué grado es el polinomio divisor? El grado de P(x) es 1.

c) ¿De qué grado será el polinomio cociente? El polinomio cociente será de grado 2 (3-1).


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Ejercicio 9

Siendo:

Q(x) = (3x3 – 2x2 – 4x – 8)

P(x) = (x – 2)

Realiza la siguiente división Q(x)/ P(x) e indica si la división es exacta o inexacta.

Como el resto de la división es cero, la división es exacta.

Ejercicio 10

Deduce la identidad matemática de la siguiente expresión algebraica:

Nos encontramos ante un cuadrado perfecto, luego al aplicar la regla general calcularemos:

• El cuadrado del primer término:

• El doble producto del primer término por el segundo:

• El cuadrado del segundo término: (3)2 = 9 Se suman los términos resultantes y se obtiene:

Ejercicio 11

Desarrolla (-2m-3n)3

Debes calcular:

– El cubo del primer término:

– El cubo del segundo término:

– El triple del cuadrado del primero por el segundo:

– El triple del primero por el cuadrado del segundo:

Finalmente, el desarrollo es:


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Ejercicio 12

Realiza utilizando la regla de Ruffini la división del polinomio 2x3+3x-2 por el binomio (x-3):

Colocamos los coeficientes del polinomio completo. Si falta alguno de los término es porque su coeficiente es cero.

Luego podríamos decir que:

2x3+3x-2 = (x-3). (2x2+6x+21)+61

Ejercicio 13

Aplicando el teorema del factor, determina cual es el valor del polinomio:

P(x)=3x3-7x2+3x-7, cuando x=-2.

Realizando la división por la regla de Ruffini, el valor de P(x=-2) será el resto de la división de P(x) por el binomio [x-(-2)]

Luego P(x=-2)=-65

Ejercicio 14

Comprueba utilizando el teorema del factor si el binomio (x-3) es un factor del polinomio Q(x)=x3-3x2-4x+12

Si el binomio (x-3) es un factor del polinomio Q(x), significa que x=3 será una raíz del polinomio, por tanto el resto de la división por la regla de Ruffini será cero.

Como el resto es cero, significa que x=3 es raíz del polinomio y por tanto (x-3) será un factor de dicho polinomio.


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Ejercicio 15

Factoriza el polinomio P(x)= x3-4x2+x+6 compuesto de raíces enteras.

Factorizar un polinomio consiste en descomponerlo como producto de sus factores, es decir, (x-raiz).

• como el coeficiente de mayor grado es uno, el polinomio no tendrá raíces fraccionarias.

• los números candidatos a raíces serán los divisores del término independiente.

Divisores del número 6={±1,±2,±3,±6}

Si utilizamos la regla de Ruffini tanteando dichos números buscando las divisiones de resto cero nos quedaría:

Ejercicio 16


2(x+4) + 3x = 5x + 8 es una ___identidad____.

Le damos a x un valor cualquiera; por ejemplo x = 1 y lo sustituimos en la igualdad: 2(1+4) +3·1 = 5·1 +8

2·5 + 3 = 5 + 8 13 = 13. Se cumple.

Probamos con otro valor; por ejemplo x = 2 y repitiendo el procedimiento debemos llegar a que 18 = 18, que también es verdad. Así pues debemos sospechar que estamos ante una identidad. Si operamos en el miembro de la izquierda vemos que nos sale:

2(x+4) + 3x = 2x + 8 + 3x = 5x + 8, que es el miembro de la izquierda. Por tanto, la igualdad es cierta sea cual sea el valor de x. Por tanto, la igualdad es una identidad.


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Ejercicio 17


2(x+5) - 3x = x + 10 es una ___ecuación____.

Actuamos igual. Le damos un valor a una de las incógnitas, por ejemplo, x = 1

2(1+5) - 3·1 = 1+ 10

2·6 - 3 = 11

9 = 11

que en absoluto es verdad. Por tanto, como hemos encontrado un valor de x que no cumple la igualdad, estamos ante una ecuación.

Ejercicio 18

Resolver la siguiente ecuación:

• Multiplicamos todos los miembros de la ecuación por un múltiplo de los denominadores, 2 y 3. El m.c.m(2,3) podría ser uno adecuado.

No olvidar poner entre paréntesis los denominadores de cada término antes de proceder a la multiplicación.

Simplificamos las fracciones eliminando de esa manera los denominadores.

• Desarrollamos paréntesis.

• Agrupamos la variable en uno de los términos y los datos en el otro miembro de la ecuación.

9x+42−42=8x+48−42 9x+42−42=8x+48−42

9x+42=8x+48 9x+42=8x+48

9x=8x+48−42 9x=8x+48−42

Agrupamos monomios semejantes obteniendo la solución. x=6


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Ejercicio 19

Resuelva la ecuación:

Tendremos que resolver dos situaciones:

x+3=2x 3=2x-x

x+3=-2x x+2x=-3 3x=-3

Solución x= 3 Solución x= -1

Ejercicio 20

Un automóvil con velocidad constante de 21 m/s parte 5 segundos después que un automóvil, cuya velocidad es de 18 m/s, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que el segundo alcance al primero?

En este tipo de problemas que representa al movimiento rectilíneo uniforme se utilizan las siguientes relaciones entre los conceptos, velocidad, espacio y tiempo:

Es también muy aconsejable la realización de un esquema que nos sirva de orientación y sobre el que se expliciten los datos y las incógnitas.

¿Qué tiene en común las dos situaciones? Pues el punto de salida y el punto de alcance, es decir, la distancia recorrida por cada coche es la misma.

V1.t1=V2.t2

Pero el tiempo que tarda en llegar al punto de alcance el coche uno es cinco segundos más que el coche dos, luego: t1=t2+5

Resultando la siguiente ecuación: V1.(t2+5)=V2.t2

Sustituyendo los valores de las variables conocidas resulta: 18.( t2+5)= 21.t2

18.5+18.t2=21.t2 ⇒ 90=21.t2-18.t2 ⇒ 90=3.t2 ⇒ Por

tanto

Que será el tiempo que tardará el segundo coche en dar alcance al primero.


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Ejercicio 21

¿Cómo expresaría algebraicamente el siguiente enunciado?:

La suma de tres números enteros pares consecutivos.

Ejercicio 22

Indica cual es el grado del siguiente monomio: -25 ⇒ -52

Ejercicio 23

El producto de los siguientes monomios (4 a x4 y3) · (x2 y) · (3 a b2 y3) es:

Ejercicio 24

¿Cuál de las siguientes expresiones representa a un polinomio?

Ejercicio 25 Dados los polinomios indicados, el valor de la siguiente ecuación polinómica R(x)+Q(x)-2.P(x)= será:

P(x)=x4+2x2+1 Q(x)=2x4+2x3+2 R(x)=-2x3+4x2

X 6n+3=

n+(n+1)+(n+2)=

2n+(n+1)+(n+2)=

El monomio es de grado 2

El monomio no tiene grado

X El monomio es de grado cero

12 ab2x6y3

X 12 a2 b2 x4 y7

12 (a b)2 x6 y7

X

Las dos respuestas anteriores son correctas.

S(x)= 2x3+x2+4

X S(x)= 0

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta


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Ejercicio 26

Cuando dividimos el polinomio P(x)=x7 +x5 +2x+1 entre el polinomio Q(x)=x4+3x2+5. Podemos afirmar que el grado de los polinomios: Dividendo, divisor, Cociente y Resto, será:

Ejercicio 27

¿Cuál de los siguientes valores {3,1,0,-3} son raíces del polinomio Q(m) = m4 -18.m2 + 81?

Ejercicio 28

¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación de primer grado?

Ejercicio 29

Se reparte un lote de juguetes por igual entre 15 niños presentes, pero llega un niño más y hay que dar a cada uno un juguete menos, sobrando 11 juguetes.

¿Cuántos juguetes corresponden a cada niño y cuántos había en total?

Ejercicio 30

Si a un número se le suma su doble y su triple resulta 90. ¿Cuál es el número?

D=7; d=4; C=3; R=3

D=7; d=4; C=4; R=2

X D=7; d=4; C=3; R=2

Son raíces los valores {3,1,0,}

X Son raíces los valores {3,-3}

Son raíces los valores {3,1,0,-3}

La solución es x=0


X La solución es x=35


X Había 75 juguetes en total y se repartieron 5

Las dos respuestas anteriores son erróneas

El número sería 25

El número sería el 14

X Las dos respuestas anteriores son incorrectas

ACT1. Bloque 3. Tema 8. Estudio de la Biodiversidad.

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Bloque 3. Tema 8.

Estudio de la Biodiversidad

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN.

1) CONCEPTO DE SER VIVO.

2) CLASIFICACIÓN DE LOS SERES VIVOS.

2.1. Concepto de especie. Nomenclatura binomial.

3) LOS REINOS.

3.1. Moneras.

3.2. Protoctistas.

3.3. Hongos.

3.4. Vegetal.

3.5. Animal.

3.5.1. Características principales de los invertebrados y los vertebrados. a) Invertebrados. b) Vertebrados.

4) LAS FUNCIONES VITALES DE LOS SERES VIVOS.

4.1. Función de relación.

4.2. Función de reproducción.

4.2.1. Características principales de musgos, helechos, gimnospermas y angiospermas.

a) Musgos.

b) Helechos.

c) Gimnospermas.

d) Angiospermas.

4.3. Función de nutrición.

4.3.1. Nutrición autótrofa.

4.3.2. Nutrición heterótrofa.

5) AUTOEVALUACIÓN.


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INTRODUCCIÓN

¡Hemos encontrado Vida en el Universo! Es en un pequeño planeta de color azul, cercano a una estrella llamada Sol. Está plagado de seres vivos. Son de todo tipo de colores, formas y tamaños. Pueblan el planeta desde las montañas más altas a las profundidades de los mares, desde los desiertos hasta los glaciares; están en el aire y bajo el suelo, entre las rocas y dentro de otros seres vivos.

Imagen nº 1. El arrecife de coral es habitado por gran variedad de seres vivos.

https://es.wikipedia.org/wiki/Ser_vivo

Fuente: Wikipedia Autor: Desconocido. Licencia: Dominio público

Imagen nº 2. "La vida colonizando un pico rocoso"

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Ser_vivo



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¿Cuántas especies pueblan La Tierra? Nadie lo sabe con certeza. La diversidad de seres vivos es tan grande que nuestra mente no puede concebirla. Durante siglos los naturalistas han intentado clasificar las especies conocidas siguiendo diversos criterios. Se necesita un sistema de clasificación que sirva para dar nombre a todos los seres vivos y que, a la vez, valga para agruparlos de forma lógica.

La Taxonomía nos da las pautas para conseguir estos objetivos, clasificando los seres vivos en especies, que se agrupan en géneros, familias, órdenes...

La actual sistemática de clasificación agrupa a todos los seres vivos en cinco grandes Reinos. Estos seres vivos se ordenan, teniendo en cuenta las relaciones evolutivas existentes entre ellos.

La biodiversidad (abreviación de diversidad biológica) refleja el número, la variedad y la variabilidad de los organismos vivos, y también cómo éstos

cambian de un lugar a otro y con el paso del tiempo.

En este tema, analizaremos todos estos conceptos, pero antes de comenzar, vamos a realizar la siguiente actividad inicial-

Importante

Con esta actividad inicial, pretendemos conocer lo que sabemos sobre el sistema para clasificar los seres vivos y los tipos de seres vivos que conocemos, antes de comenzar su estudio en profundidad.

¿Son de la misma especie una ballena y un cachalote?

¿Qué es un pangolín?

¿Y el muérdago?

¿A qué grupo pertenece un paramecio?


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1) CONCEPTO DE SER VIVO

Es muy importante saber diferenciar entre ser vivo y no vivo o un ser inerte. Vamos a intentar dejar claro la diferencia. Primero veamos la siguiente imagen y luego explicaremos los dos casos.

Imagen nº 3. Diferencia entre ser vivo y ser inerte. Autor: Intef. Licencia:CC

Fuente: http://procomun.educalab.es/es/ode/view/1473777715627


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Seres Vivos

Un ser vivo debe cumplir unas condiciones que son las siguientes:

- Deben de estar formados por células, por lo menos por una.

- Deben realizar las llamadas funciones vitales, que son: nacer, crecer, alimentarse, respirar, reproducirse y ser capaces de adaptarse al medio en el que viven (también llamado relacionarse).

Cualquiera que cumpla estas 7 condiciones podemos decir que es un ser vivo. También se les puede llamar seres bióticos.

Precisamente se dice que un ser vive o está vivo cuando realiza las funciones vitales.

Ejemplos de seres vivos son las plantas, los animales, las bacterias, los hongos, etc.

Seres Inertes

Los seres no vivos también llamados Inertes son los que no cumple alguna de las 7 condiciones anteriores. Son seres abióticos o lo que es lo mismo, sin vida. Por ejemplo una piedra no puede reproducirse ni alimentarse, es decir carece de vida.

Ejemplos de seres no vivos son las rocas, la madera, el plástico, el agua, los metales, las frutas, el papel, el fuego, etc.

Ejercicio 1

¿Dónde hay mayor diversidad?

Ejercicio 2

¿Qué es la biodiversidad?

Ejercicio 3

¿Dónde hay mayor diversidad de seres vivos?

En el patio del instituto

En el salón de tu casa

En los Pirineos

En un campo arado

Un tipo de clasificación de los seres vivos

Los distintos seres vivos que hay en una zona

El nombre de un parque zoológico

Las diferencias que hay entre dos seres vivos de distinta especie

En una pescadería

En un terrario de cien mil hormigas

En una tienda de animales

En tu clase


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2) CLASIFICACIÓN DE LOS SERES VIVOS

En La Tierra se conocen 1.700.000 especies distintas y se piensa que puede haber más de 3.000.000 todavía sin descubrir. Esta gran variedad de individuos se conoce como biodiversidad y los científicos, para poder estudiarlos, necesitan ordenarlos en grupos, es decir, clasificarlos.

Imagen nº 4. Clasificación de los seres vivos. Autor: Intef. Licencia: CC

Fuente : http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1ESO/clasica/contenidos2.htm

Se denomina Taxonomía a la ciencia que estudia la clasificación de los seres vivos Las primeras clasificaciones se hicieron siguiendo criterios artificiales, como puede ser por el lugar donde vive el individuo, o por el tipo de comida que ingería. Esto provocó grandes errores de clasificación, como incluir en un mismo grupo a un pájaro y a una abeja por el simple hecho de volar.

En la actualidad se utilizan criterios basados en el parentesco evolutivo entre las especies. La clasificación que sigue el criterio evolutivo se llama clasificación natural, y está basada en el concepto de especie.

Ejercicio 4

Un criterio de clasificación natural sería:

Ejercicio 5

Las clasificaciones actuales se basan

El lugar donde viven (hábitat)

La existencia de una estructura corporal con la misma organización, como la mano y el ala de un ave

La capacidad de volar

La forma de buscar alimento

En criterios artificiales

En lo que dicen los investigadores

En criterios naturales

En lo que dicen los libros


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Ejercicio 6

La taxonomía es la ciencia que

Ejercicio 7

Un criterio de clasificación artificial de los seres vivos sería:

2.1) CONCEPTO DE ESPECIE. NOMENCLATURA BINOMIAL.

LA ESPECIE

Al referirnos a un ratón, una rosa, un pino o un salmón, sabemos que estamos hablando de individuos distintos, que pertenecen a especies distintas. Piensa ahora en dos tipos de perros, un mastín, o un caniche. ¿Nos estamos refiriendo a especies distintas? ¿Son de la misma especie?

Los individuos que pertenecen a una misma especie pueden reproducirse entre sí. Además, su descendencia es fértil, es decir, puede engendrar una nueva generación.

Si un mastín y un caniche se cruzan entre sí pueden tener descendencia fértil. Pese a su diferencia de aspecto, son de la misma especie.

¿Sabes que ocurre cuando un burro se cruza con una yegua? Al cruzarse estos animales originan un híbrido que se conoce con el nombre de mulo. El mulo no es fértil, no podrá tener descendencia. El burro y la yegua son de distinta especie.

¿Y CÓMO LO LLAMAMOS? ¿Sabes qué es el diente de león? ¿Y la achicoria amarga? ¿O el amargón? Los tres nombres corresponden a la misma planta. Aquí hemos recogido tres nombres, pero quizá en tu población tenga otro distinto. ¿Qué nombre le ponemos?

Nombra a los seres vivos

Ordena los seres vivos

Clasifica los seres vivos

Ordena los animales

El parentesco evolutivo

Una característica común, como la presencia de pelo

La existencia de una estructura corporal similar, como un brazo y una pata delantera de un caballo

La forma de buscar comida


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NOMENCLATURA BINOMIAL

Hace ya tiempo, en el siglo XVIII, un médico sueco, Karl Von Linné, más conocido como Linneo, se planteó este mismo problema.

Imagen nº 5. Karl Von Linné

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Carlos_Linneo.


Las plantas y los animales que conocía recibían distintos nombres en distintas regiones de su país. Cuando quería hablar de alguna especie con otros científicos no sabía cómo referirse a ella. Por ello, ideó un sistema que en la actualidad se denomina nomenclatura binomial.

Consiste en asignar a las distintas especies un nombre formado por dos palabras. El primer nombre se empieza a escribir con mayúscula y nos informa del género al que pertenece el individuo que se nombra. El segundo nombre se escribe con minúscula y nos informa de alguna característica del propio individuo. Estos dos nombres se resaltan del resto de las palabras porque tienen una estructura latina, a la vez que se suelen escribir en letra cursiva, o subrayados.

Por ejemplo, el gorrión lo nombraríamos como Passer domesticus, el pulpo, como Octopus vulgaris, o el pino canario, como Pinus canarensis.

Como hemos dicho la Taxonomía es la ciencia que tiene como objetivo clasificar a los seres vivos, atendiendo a las características que presentan, desde las más generales, a las más específicas.

Cada nivel o escalón de clasificación recibe el nombre de taxón o categoría taxonómica.

De este modo, las Especies se agrupan en el taxón denominado Género, los Géneros en Familias, las Familias en Órdenes, los Órdenes en Clases, las Clases en Tipos (en vegetales se llama División) y los Tipos en Reinos.


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Ejercicio 8

El mulo, ¿a qué especie pertenece?

Ejercicio 9

La yegua y el caballo

Ejercicio 10

Especie es:

A ninguna, es un híbrido entre dos especies

A la especie a la que pertenezca la madre

Al caballo, porque es más grande que el burro

A la especie a la que pertenecen todos los mulos, Mulus domesticus

Pertenecen a la misma especie porque su descendencia es el mulo

No pertenecen a la misma especie porque su descendencia, el mulo, no es fértil

Pertenecen a la misma especie porque su descendencia es fértil

No pertenecen a la misma especie porque su descendencia no es fértil

El conjunto de seres vivos que se reproducen entre sí

El conjunto de seres vivos con características comunes

El conjunto de seres vivos que se reproducen entre sí y cuya descendencia es fértil

El conjunto de animales que se reproducen entre sí


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3) LOS REINOS.

Todas las formas de vida conocidas se reúnen en grandes grupos, a los que llamamos Reinos. Todos los individuos del mismo Reino tienen las características básicas iguales. La clasificación más utilizada agrupa los seres vivos en cinco Reinos:

REINOS CARACTERÍSTICAS IMÁGENES

Moneras Sin núcleo celular definido (Procariotas).

Unicelulares

Protactistas Con núcleo definido (Eucariotas).

Unicelulares o pluricelulares

Hongos (Fungi)

Eucariotas, pluricelulares, heterótrofos

Vegetales Eucariotas, pluricelulares que forman

tejidos, autótrofos

Animales Eucariotas, pluricelulares que

forman tejidos, heterótrofos

Imagen nº 6. "Los cinco Reinos". Autor: Desconocido. Licencia: Dominio público

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Reino_(biolog%C3%ADa)


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Robert Whittaker, reconoce el reino adicional de los hongos (Fungi) en 1959. El resultado fue el sistema de los 5 reinos, propuesto en 1969, que se convirtió en un estándar muy popular y que, con algunas modificaciones, aún hoy se utiliza en muchas obras o constituye la base para nuevos sistemas propuestos. Se basa principalmente en las diferencias en materia de nutrición.

Aunque, la taxonomía más reciente (Sistema del Catálogo de la Vida 2015), presenta la siguiente clasificación en dos superreinos y siete reinos:

I) Prokaryota 1.- Archaea 2.- Bacteria

II) Eukaryota

3.- Protozoa 4.- Chromista 5.- Fungi 6.- Plantae 7.- Animalia

Sin embargo, nosotros estudiaremos los cinco reinos, en los siguientes apartados, que como hemos comentado anteriormente, es la clasificación más utilizada.

3.1) REINO MONERAS

En este reino se incluyen organismos muy pequeños, que sólo pueden ser observados con microscopios muy potentes. Todos los individuos de este Reino se caracterizan por ser:

• Procariotas: en el interior de la célula no existen compartimentos y no se aprecia núcleo. ( Estructura de las células procariotas:

Las células procariotas tienen una estructura muy sencilla. Desde el exterior hacia el interior encontramos:

o Una pared celular rígida y dura. Su función es proteger a la célula. Sobre esta pared actúan los antibióticos que son medicamentos que destruyen a las bacterias.

o Una membrana plasmática, que actúa como paso fronterizo entre el exterior y el interior celular.

o El citoplasma, que se encuentra en el interior y es donde se realizan todas las funciones celulares.

o El ADN, que contiene la información genética de la bacteria y que se encuentra libre por el citoplasma.

o Los ribosomas, que son pequeñas fábricas de proteínas.


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• Unicelulares: son individuos compuestos de una sola célula.

• Pueden vivir solos o asociarse unos individuos con otros, formando colonias.

• Ocupan todos los ecosistemas de La Tierra, desde los hielos polares hasta el interior de los pulmones de un rinoceronte.

Imagen nº 7. Moneras. Autor: Desconocido. Licencia: CC

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Monera

BACTERIAS

Las bacterias son el grupo más abundante de organismos dentro del Reino Moneras.

Las bacterias presentan distintos tipos de formas:

• Cocos: bacterias esféricas

• Bacilos: bacterias alargadas

• Vibriones: bacterias con forma de coma ortográfica

• Espirilos: bacterias en forma de muelle, o helicoidales.


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Con relación a la nutrición que presentan, las bacterias pueden ser: • Autótrofas: crean la materia orgánica que necesitan para vivir, a partir de la materia

inorgánica. • Heterótrofas: crean la materia orgánica que necesitan a partir de materia orgánica

que captan del medio donde viven. Con relación al tipo de ambiente donde viven, las bacterias pueden ser:

• Aerobias: necesitan vivir en ambientes con oxígeno. • Anaerobias: necesitan vivir en ambientes con CO2.

Hay un grupo de bacterias que sólo pueden desarrollarse en ambientes sin nada de oxígeno. A este tipo de bacterias se las conoce como anaerobias estrictas.

IMPORTANCIA DE LAS MONERAS

Si preguntamos a un médico sobre la importancia de las bacterias, es muy posible que nos cuente durante horas las enfermedades que éstas producen, los medicamentos utilizados contra ellas y varias medidas de higiene para no contraer enfermedades.

Si preguntamos a un fabricante de quesos, nos hablaría de la importancia de las bacterias en la fabricación de este alimento, la forma en que actúan y el mejor método para cultivarlas, para que se reproduzcan bien y se "sientan cómodas".

Imagen nº 8.

Fuente: http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1ESO/clasica/contenidos.htm

Autor: Intef. Licencia: CC

Entonces, ¿son perjudiciales o beneficiosas?

Imagen nº 9. Autor: Intef. Licencia: CC



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Las bacterias perjudiciales producen enfermedades, ya que muchas de ellas son parásitas. Otras bacterias son beneficiosas. Las utilizamos para la producción de alimentos, tales como el yogur o el vino. Otro grupo, llamado descomponedoras, actúan sobre la materia orgánica, transformándola en materia inorgánica. Este tipo de bacterias son saprófitas.

También hay bacterias que viven en simbiosis con nosotros. Viven en nuestro intestino y forman la flora intestinal. Algunas se encargan de producir vitaminas para nosotros. Otras evitan que tengamos infecciones intestinales. Son indispensables para nuestra supervivencia.

Por último, hay que destacar que otro grupo del Reino Moneras, las Cianofíceas, cumplen una función de vital importancia para todos los ecosistemas de La Tierra. Producen grandes cantidades de oxígeno, más que todos los árboles de la Selva Amazónica. La cantidad de oxígeno en la atmósfera es regulada por este tipo de seres. Además, son fuente de alimento de gran cantidad de microorganismos que se alimentan de ellas.

Ejercicio 11

Los seres del Reino Moneras:

Ejercicio 12

El Reino Moneras incluye a seres:

Viven formando grandes colonias

Viven como parásitos en el interior de otros individuos

Todos tienen vida libre

Pueden vivir en cualquier ambiente de la Tierra

Procariotas, unicelulares

Procariotas, pluricelulares

Procariotas y macroscópicos

Procariotas con núcleo definido en el citoplasma


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3.2) REINO PROTOCTISTA

La característica común a todos los componentes de este Reino es que están formados por células con núcleo y éstas tienen compartimentos, formando orgánulos. Son, por tanto, seres formados por células eucariotas. Por lo demás, se agrupan aquí individuos muy heterogéneos, por lo que se les divide en:

• Protozoos: son seres unicelulares, generalmente móviles y heterótrofos.

• Algas: son seres unicelulares o pluricelulares, a veces móviles, y autótrofos.

Imagen nº 10. Reino de las Protoctistas

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Protista



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PROTOZOOS

Los protozoos son seres eucariotas (con núcleo celular definido), unicelulares y heterótrofos (se alimentan de materia orgánica). Suelen ser de vida libre, aunque existen grupos que son parásitos. Podemos distinguir distintos tipos de protozoos si observamos su estructura.

Estos grupos son:

Flagelados

Son protozoos que para moverse utilizan flagelos. Son los protozoos más primitivos. La mayoría de los flagelados tienen vida libre, pero hay algunos que son parásitos. Uno famoso es el Trypanosoma gambiense. Probablemente el nombre no te suena de nada, pero seguro que has oído hablar de la enfermedad del sueño. La transmite la mosca tse-tse, ya que el Trypanosoma vive en su boca.



Ciliados

Son protozoos que utilizan cilios para moverse. Los cilios son pequeñas estructuras que la célula mueve a modo de remos. Son seres que viven libres en el agua dulce.



Rizópodos

Son protozoos que se mueven emitiendo prolongaciones de su cuerpo y deslizándose sobre la superficie sobre la que viven. Estas prolongaciones se llaman pseudópodos, y funcionan como falsos pies. Pueden vivir en aguas dulces o ser parásitos.




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Esporozoos

Son protozoos inmóviles. Todos los individuos de este grupo son parásitos. Uno famoso es el Plasmodium falciparum. Produce la enfermedad llamada malaria, o paludismo. Esta enfermedad es la principal causa de muerte en algunos países africanos, del Sudeste asiático y Sudamérica.

Imagen nº 14

Imagen nº 15

Imágenes 14 y 15. Autor: Intef. Licencia: CC

http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1ESO/clasica/contenidos.htm

LAS ALGAS

Las algas son organismos pertenecientes al Reino Protoctistas. Están formadas por células eucariotas y podemos encontrar individuos unicelulares o pluricelulares. Todas son autótrofas, esto es, forman materia orgánica a partir de materia inorgánica, utilizando la luz como fuente de energía. Este proceso se llama fotosíntesis.

Las algas se utilizan en la industria alimentaria como espesantes de mermeladas y salsas. En medicina se utilizan para hacer los medios de cultivo de las bacterias. También se extraen de ellas sustancias para producir medicamentos.

El grupo de las algas lo vamos a dividir en subgrupos:

Algas unicelulares

Son seres formados por una sola célula. Son individuos que pueden vivir libres, como es el caso de la Euglena. También pueden asociarse y formar colonias, como es el caso de Volvox

Imagen nº 16. Algas Unicelulares. Autor: Intef. Licencia: CC



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Algas Pluricelulares

Son seres formados por muchas células, que no se agrupan formando tejidos, como en seres vivos más complejos., por lo que las células no se reparten el trabajo, sino que todas deben realizar todas las funciones. Si observamos su color, podemos clasificarlas en tres tipos:

• Algas verdes: su color es debido a que tienen clorofila, que es una molécula que sirve para realizar la fotosíntesis. La clorofila es de color verde. Viven en aguas dulces y saladas a poca profundidad.

• Algas pardas: el pigmento que utilizan para realizar la fotosíntesis es de color marrón amarillento. Esta molécula es más sensible a la luz que la clorofila. Por eso, las algas pardas pueden vivir a mayor profundidad.

• Algas rojas: El pigmento que utilizan para hacer la fotosíntesis es de color rojo. Es el pigmento más sensible a la luz, por lo que estas algas pueden vivir a profundidades donde la luz que llega es muy tenue.

Imagen nº 17. Alga parda. Autor: Intef. Licencia: CC


Ejercicio 13

La característica común a todos los protoctistas es:

Que son autótrofos

Que son microscópicos

Que tienen células eucariotas

Que son unicelulares


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Ejercicio 14

En el Reino Protoctistas se incluyen:

3.3) REINO HONGOS

En este Reino se incluyen individuos que seguramente conoces. Son las levaduras, los mohos y las setas. Todos los individuos de este grupo se caracterizan por estar formados por células eucariotas, que son aquellas que tienen el núcleo diferenciado. Todos estos seres tienen nutrición heterótrofa, es decir que forman materia orgánica a partir de otra materia orgánica. No pueden realizar la fotosíntesis. Dependiendo de dónde cojan la materia orgánica, se habla de hongos parásitos, si el alimento lo extraen de un ser vivo al que causan un perjuicio, o saprófitos, si es materia orgánica que no pertenece a un ser vivo.

Los individuos de este reino pueden ser:

- Unicelulares, como en el caso de las levaduras. Se utilizan en industria para producir bebidas alcohólicas, pan, bizcochos..

- Pluricelulares, formados por células asociadas que no organizan tejidos. Esta asociación celular se llama hifa. Las hifas se ramifican formando una red llamada micelio. El micelio se encuentra generalmente en el suelo y si no se arranca, se mantiene de una temporada a la siguiente.

Imagen nº 18. Hongos. Autor: Intef. Licencia: CC


Protozoos, bacterias y cianofíceas

Bacterias y protozoos

Protozoos y algas cianofíceas

Protozoos y algas


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TIPOS DE HONGOS

Los hongos se dividen en varios grupos. Los más importantes son:

• Zigomicetes: grupo de los mohos

• Ascomicetes: donde encontramos la colmenilla y las trufas

• Basidiomicetes: que son las típicas setas; son los hongos que más seguidores tienen debido, probablemente, a que se utilizan como alimento y algunas tienen un exquisito sabor.

Quizás has visto alguna roca con manchas en la superficie, de color negro, marrón, naranja o verde. A veces aparecen también estas manchas en troncos de árboles o tejados de casas viejas. Estas manchas son líquenes.

Los líquenes se forman por asociación de un alga y un hongo.

Imagen nº 19. Líquenes. Autor: Intef. Licencia: CC


Ejercicio 15

Los Hongos o Reino Fungi son individuos:

Que realizan la fotosíntesis

Microscópicos y heterótrofos

Heterótrofos y la mayoría pluricelulares

Macroscópicos y autótrofos


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3.4) REINO VEGETAL

El Reino vegetal agrupa a unas 260.000 especies que pueden encontrarse en el medio terrestre o en el medio acuático.

Lo forman todas las plantas que se alimentan de forma autótrofa, es decir, que generan materia orgánica a partir de materia inorgánica a través de la fotosíntesis.

Para clasificar el reino vegetal se pueden seguir diversos criterios.

a) Podemos mirar los vasos circulatorios, su presencia o ausencia y podremos observar plantas vasculares (con tejidos conductores) o plantas no vasculares (sin tejidos conductores).

Imagen nº 20. Planta Vascular Imagen nº 21. Planta no Vascular.

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Plantae


b) Podemos mirar la presencia/ausencia de raíces, tallos y hojas. Sin ellas están las briofitas y con ellas el resto del reino vegetal o cormofitas.

Imagen nº 22. Briofita.

Autor: Desconocido.

Licencia: Dominio público



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c) Podemos ver la presencia/ausencia de flores. Así sin flores son los musgos y los helechos (criptógamas) y con flores el resto de las cormofitas (fanerógamas).

Imagen nº 23. Diferencia de una Criptógama (sin semilla) a la izquierda y una

Fanerógama (con semilla) derecha

Fuente : https://es.wikipedia.org/wiki/Plantae


d) Podemos mirar la presencia/ausencia de frutos. Sin frutos están las gimnospermas que ni tan siquiera tienen ovario, por lo que los óvulos están desnudos en sus brácteas y con frutos las angiospermas, que sí poseen ovario y semillas encerradas en él.

Imagen nº 24. Gimnosperma ( izquierda) Angiosperma ( Derecha)




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e) Y por último nos podemos fijar en el número de cotiledones, unas hojas que salen de la semilla al germinar. Así en las angiospermas podremos ver germinar semillas de uno (monocotiledóneas) o de dos (dicotiledóneas) cotiledones.

Imagen nº 25. Monocotiledónea (izquierda) Dicotiledónea (derecha)



Ejercicio 16

Rellena el cuadro del reino vegetal utilizando la siguiente lista de palabras.

Angiospermas Briofitos Cormófitos

Dicotiledóneas Espermafitas Gimnospermas

Monocotiledóneas plantas no vasculares plantas vasculares

Pteridofitos

REINO VEGETAL

Sin vasos conductores

___________________________

Con vasos conductores

___________________________

Sin raíces, tallos y hojas, sin flores con esporas para reproducción

___________________________

Con raíces, tallos, hojas verdaderos

___________________________

Sin flores, con esporas

___________________________

Con flores y semillas

___________________________

Sin Frutos

___________________________

Con Frutos

___________________________

Semillas con 1 cotiledón

___________________________ Semillas con 2 cotiledones

___________________________


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3.5) REINO ANIMAL

Imagen nº 26. El Reino Animal

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Animalia


El reino animal está formado por seres vivos pluricelulares (presentan más de una célula) y eucariotas (con un núcleo verdadero en sus células), que necesitan alimentarse de otros seres vivos, nutrición heterótrofa, han desarrollado sistemas para relacionarse con el medio en el que viven (el acaso más evolucionado sería nuestro sistema nervioso) y que tienen capacidad de moverse, se desplazan, por ejemplo, para buscar alimento.

Los animales son uno de los grupos de seres vivos con mayor biodiversidad y han colonizado todos los ambientes existentes. Podemos encontrar animales viviendo en el aire, en el agua y en la tierra.

La ciencia que estudia los animales se denomina Zoología.

Simplificando y atendiendo a la presencia o ausencia de una columna vertebral que recorre internamente el animal, podemos clasificarlos en:

- Vertebrados: Animales con un esqueleto interno o endoesqueleto. Puede ser de tejido óseo o cartilaginoso.

- Invertebrados: Animales sin esqueleto interno, aunque pueden tener un esqueleto externo o exoesqueleto.

La clasificación completa puedes estudiarla en el siguiente enlace:

recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1ESO/animales/troncos.htm

Ejercicio

Realiza un esquema con los cinco reinos taxonómicos.


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3.5.1) CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE LOS INVERTEBRADOS Y LOS VERTEBRADOS

Como ya hemos visto, la diferenciación entre los dos grandes grupos de animales: vertebraos e invertebrados, se hace en función de la presencia o ausencia de una columna vertebral que hace de esqueleto interno, pero no es la única característica que los diferencia.

En la tabla siguiente se resumen las características de ambos grupos.

INVERTEBRADOS

• Animales sin esqueleto interno, aunque pueden tener un esqueleto externo o exoesqueleto.

• Algunos grupos con simetría radiada, no se puede trazar un único eje que divida el animal en dos partes simétricas, otros grupos con simetría bilateral.

• Características distintivas para cada subgrupo (filum).

VERTEBRADOS

• Animales con un esqueleto interno o endoesqueleto. Puede ser de tejido óseo o cartilaginoso.

• Animales con simetría bilateral, es decir, su cuerpo podría dividirse mediante un eje imaginario en dos partes simétricas

• División del cuerpo en tres regiones bien diferenciadas: cabeza, tronco y extremidades.

• Tetrápodos: dos pares de extremidades.

• Desarrollo de un sistema nervioso.

• Desarrollo de órganos de los sentidos.

a) INVERTEBRADOS

Los invertebrados constituyen un grupo muy diverso con características muy diferenciadas, existen cerca de un millón de especies de invertebrados. A continuación se resumen las características de los diferentes subgrupos, taxonómicamente denominados Filum.

INVERTEBRADOS: características generales

• Filum Poriferos (esponjas)

- Animales acuáticos sedentarios, viven fijos al suelo.

- Sin verdaderos tejidos y asimétricos.

- Cuerpo perforado por numerosos poros comunicados entre sí por canales.

- Exoesqueleto formado por una sustancia denominada espongina.

- Se alimentan por filtración.

- Reproducción alternante sexual y asexual


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• Filum Cnidarios (pólipos, medusas, hidras)

- Animales acuáticos que viven fijos al suelo, sedentarios (pólipos) o de vida libre (medusas).

- Con simetría radial.

- Carnívoros y llevan una sustancia urticante que es la que nos pica en las playas.

- Presencia de tentáculos con los que paralizan a sus presas.

- Los pólipos desarrollan exoesqueleto externo calcáreo.

- Reproducción alternante sexual y asexual.

- Los pólipos pueden forman colonias que pueden alcanzar grandes extensiones: Arrecifes de coral que constituyen ricos y variados ecosistemas.

• Filum Anélidos (lombrices, gusanos marinos, sanguijuelas)

- Animales que pueden ser acuáticos, terrestres e incluso parásitos.

- Con simetría bilateral.

- Cuerpo blando y segmentado en anillos.

- Aparece el tubo digestivo con boca y ano.

- Respiración cutánea o por branquias.

- Hermafroditas, reproducción sexual. Ovíparos.

Clase Oligoquetos

Sin quetas, terrestres.

Clase Poliquetos

Con quetas, marinos.

Clase Hirudíneos

Parásitos


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• Filum Moluscos (mejillones, caracoles, calamares, pulpos) - Animales que pueden ser terrestres y o acuáticos. - Cuerpo blando no segmentado formado por cabeza, masa visceral y un pie

musculoso. - Pliegue o manto que en algunos grupos genera una concha calcárea que actúa

como exoesqueleto. - Respiración cutánea o por branquias. - Reproducción sexual. Ovíparos.

Clase Gasterópodos

Concha de una sola pieza. Pie

muy desarrollado que aloja el

aparato digestivo y sirve para la

locomoción, terrestres y

acuáticos. Ej: Caracoles

Clase Bivalvo

Concha formada por dos

piezas, valvas, animales

filtradores, marinos. Ej:

mejillón, chirla, almeja.

Clase Cefalópodos

Concha reducida a a una

lámina llamada pluma,

presencia de tentáculos con

ventosas en la cabeza de ahí

el nombre (cefalo: cabeza,

podos: pie), carnívoros. Ej:

calamar, pulpo.

• Filum Artrópodos (arañas, gambas, ciempiés, saltamontes) - El grupo más numeroso de seres vivos, los hay terrestres, acuáticos y parásitos. - Cuerpo segmentado en cabeza, torax y abdomen. - Apéndices articulados: patas. el número de patas es el criterio que se utiliza para

clasificarlos. - Simetría bilateral. - Exoesqueleto que mudan periódicamente. - Reproducción sexual. Ovíparos.

Clase Arácnidos

Cuatro pares de patas y un par de palpos,

uña venenosa: quelíceros. Cabeza y tórax

unidos formando el cefalotórax. Carnívoros.

Ej: escorpiones y arañas.

Clase Crustáceos

Cinco pares de patas, el primero modificado

en pinzas, un par de antenas. Exoesqueleto

calcáreo. Cabeza y tórax unidos formando

el cefalotórax. Abdomen segmentado y con

apéndices. Ej: gambas, langostas, cangrejos.


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Clase Insectos

Tres pares de patas. Cabeza con un par de

antenas, tórax segmentado del que salen los

tres pares de apéndices, en algunos

órdenes: un par de alas, abdomen

segmentado y sin apéndices.

Presentan metamorfosis. Ej: saltamontes,

moscas, abejas.

Clase Miriápodos

Muchos pares de patas. Cabeza con un par de

antenas, el resto del cuerpo segmentado en

anillos con un par de patas cada uno

(ciempiés) o dos pares (milpiés), terrestres,

algunos venenosos.

Ej: ciempiés, milpiés, escolopendra.

• Filum Equinodermos (estrellas de mar, erizos de mar, holoturias.) - Marinos. Placas calcáreas, algunas especies con espinas, que actúan como

exoesqueleto. - Simetría radial. - Locomoción mediante un sistema hidrostático denominado sistema ambulacral. - Reproducción sexual. Ovíparos.

Clase Asteroideos

Esqueleto calcáreo sin

espinas. Ej.: estrellas de

mar.

Clase Equinoideos

Esqueleto calcáreo con

espinas. Ej.: erizos de mar.

Clase Crinoideos

Placas calcáreas de las que

salen cinco brazos,

asemejan a flores.

Ej.: lirios de mar.


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Clase Ofiuroideo Disco central del que salen cinco brazos finos

y delgados. Ej.: ofiura.

Clase Holoturoideos De forma cilíndrica pero mantienen la

simetría radial. Ej.: holoturia, pepino de mar.

Imágenes nº 27. Principales grupos de Invertebrados.

Fuente: http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1ESO/animales/caracter.htm

Autor: Intef. Licencia:CC

b) VERTEBRADOS

VERTEBRADOS: características generales

(taxonómicamente, los vertebrados constituyen uno de los grupos del Filum Cordados)

• Peces: (lo que comúnmente llamamos peces, son en realidad tres grandes grupos llamados Clases) - Animales acuáticos de cuerpo fusiforme recubierto por escamas. - Extremidades convertidas en aletas. - Animales poiquilotermos, es decir son animales de sangre fría. - Respiración por branquias. - Vejiga natatoria que les permite nadar entre diferentes aguas. - Corazón con dos cámaras. - Reproducción sexual, ovíparos con desarrollo externo.

Clase Ciclóstomos

Vertebrados primitivos, los

primeros en la escala

evolutiva, sin mandíbulas.

Ej.: lamprea.

Clase Condríctios Peces con esqueleto

cartilaginoso, sin vejiga

natatoria, fecundación

interna. Ej.: rayas,

tiburones.

Clase Osteíctios Peces con esqueleto óseo,

con vejiga natatoria,

fecundación externa. Ej.:

salmón, trucha, atunes.


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• Clase Anfibios (ranas, sapos, tritones, salamandras) - Animales de doble vida, de ahí el nombre, en la fase juvenil viven en el agua,

sufren metamorfosis y de adulto pasan a la tierra, en zonas húmedas cerca del agua.

- Cuerpo desnudo, o con piel muy fina. - Animales poiquilotermos, es decir son animales de sangre fría. - Respiración por branquias en la fase larvaria y por pulmones y por la piel en la

fase adulta. - Corazón con tres cámaras. - Reproducción sexual, fecundación interna, ovíparos con desarrollo externo. - Los primeros vertebrados que colonizan el medio terrestre, aunque sigan

dependiendo del agua.

Orden Urodelos Anfibios con cola. Ej.: salamandra, tritón.

Orden Anuros

Anfibios sin cola. Ej.: ranas, sapos.

• Clase Reptiles (serpientes, tortugas, lagartos, cocodrilos) - Vertebrados terrestres. - Cuerpo recubierto de escamas. - Animales poiquilotermos, es decir son animales de sangre fría. - Respiración por pulmones. - Corazón con cuatro cámaras. - Reproducción sexual, fecundación interna, ovíparos con desarrollo en huevos que

presentan envolturas que protegen y alimentan al embrión y con cáscara.

Orden Crocodylia

Desarrollan placas óseas.

Ej.: cocodrilos y caimanes.

Orden Squamata

Reptiles que mudan la piel

periódicamente. Cuerpo

cubierto de escamas córneas

Ej.: lagartos y serpientes.

Orden Quelónidos Cuerpo recubierto de un

caparazón de origen óseo. Ej.:

tortugas, galápagos..


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• Clase Aves (águilas, patos, gorriones)

- Animales voladores.

- Cuerpo cubierto de plumas.

- Extremidades anteriores modificadas para el vuelo: alas.

- Sin dientes pero con pico.

- Animales homeotermos, es decir son animales de sangre caliente.

- Respiración por pulmones.

- Corazón con cuatro cámaras.

- Reproducción sexual, fecundación interna, ovíparos con desarrollo en huevos que presentan envolturas que protegen y alimentan al embrión y con cáscara.

Superorden Paleognathae

Aves corredoras, casi no vuelan, las más

arcaicas.. Ej.: avestruces, kiwis, ñandués.

Superorden Neognathae

Aves voladoras. Formado por unos 25

órdenes diferentes. Ej.: águilas, aplomas,

gorriones, lechuzas, pelícanos, etc....

• Clase Mamíferos (delfín, caballo, murciélago, especie humana)

- Animales terrestres, acuáticos y voladores.

- Cuerpo cubierto de pelo

- Presencia de glándulas mamarias con las que se alimenta a las crías..

- Animales homeotermos, es decir son animales de sangre caliente.

- Respiración por pulmones.

- Corazón con cuatro cámaras.

- Carnívoros, herbívoros, omnívoros.

- Reproducción sexual, fecundación interna, casi todos vivíparos, el nuevo animal se desarrolla en el interior del cuerpo, y se alimenta gracias a un órgano denominado placenta, paren a sus crías ya desarrolladas.


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Subclase Prothoteria

Mamíferos ovíparos.

Ej.: ornitorrinco.

Subclase Methateria

Mamíferos sin placenta.

Ej.: canguros.

Subclase Eutheria

Mamíferos con placenta, 18 órdenes.

Ej.: Insectívoros: topos. Quirópteros:

murciélagos. Carnívoros: gatos,

perros. Primates: humanos.

Imágenes nº 28. Principales grupos de Vertebrados.

Fuente: http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1ESO/animales/caracter.htm


Para finalizar este apartado, podéis ver el siguiente vídeo, resumen de todos los reinos.

Vídeo nº 1. Los cinco reinos

Fuente: http://www.youtube.com/watch?v=EU-mRA6q8Hs


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Antes de pasar al siguiente apartado, repasemos todo lo anterior:

Ejercicio 17

Escribe el concepto atendiendo a su definición.

Ciencia que estudia la clasificación de los seres vivos

Ideó un sistema que en la actualidad se denomina nomenclatura binomial

Las Especies se agrupan en…

En este reino se incluyen organismos muy pequeños, que sólo pueden ser observados con microscopios muy potentes.

Las levaduras pertenecen a este reino

Las plantas con raíces, tallos y hojas

Plantas sin frutos

Han desarrollado sistemas para relacionarse con el medio en el que viven y que tienen capacidad de moverse.

Animales sin esqueleto interno.

5) LAS FUNCIONES VITALES DE LOS SERES VIVOS

Las funciones vitales de los seres vivos son:

- La función de nutrición.

- La función de relación.

- La función de reproducción.

5.1) FUNCIÓN DE RELACIÓN

Ningún ser vivo puede vivir ajeno a lo que ocurre en el medio en el que vive. Necesita capturar el alimento, fabricarlo, buscar pareja, defenderse de los depredadores, elegir las condiciones ambientales más favorables para su vida... en definitiva necesita relacionarse.

Así pues, la función de relación, permite al ser vivo conocer mejor el medio que le rodea para asegurar así su supervivencia, respondiendo lo mejor posible ante posibles cambios.

Comunicación dentro del animal: Una vez que el ser vivo ha recibido los estímulos, su sistema nervioso integra y analiza la información. Este sistema es diferente según el grupo animal que se analice. Así el sistema nervioso de invertebrados puede ser una red difusa: red de células nerviosas distribuidas por el organismo, donde los estímulos que llegan se transmiten por todo el cuerpo del animal (celentéreos) o un sistema ganglionar: donde las células nerviosas se acumulan en ganglios, tienen un cordón nervioso donde se comunican los ganglios a modo de escalera y una concentración de células nerviosas en la cabeza formando una masa cerebral. Este tipo de sistema nervioso es propio de animales de vida activa, donde las respuestas a los estímulos deben ser rápidas (anélidos y artrópodos).


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El sistema nervioso de vertebrados se caracteriza por tener un sistema nervioso central: con un cordón nervioso que recorre el cuerpo y se ensancha en la cabeza para formar un encéfalo; un sistema nervioso periférico: formado por prolongación de las células nerviosas y que unen el sistema central con las vísceras, músculos y superficie del cuerpo y un sistema nervioso autónomo: que regula las funciones involuntarias del cuerpo como el latido cardiaco, la digestión y la respiración.

Existen además actos reflejos: se producen de forma automática y siempre igual. Los estímulos no llegan al cerebro, solo llegan a la médula espinal (Ej.: cuando el médico nos toca la rodilla con el martillo de analizar reflejos).

Las funciones de relación en los vegetales: Los vegetales no se pueden desplazar, sin embargo son capaces de detectar los cambios en el ambiente en el que viven y reaccionar ante él de forma adecuada. Las respuestas que emiten ante los estímulos son: tropismos, que son movimientos por crecimiento desigual de los órganos del vegetal ; nastias que son movimientos sin dirección que se repiten cada cierto tiempo (apertura y cierre de las flores en 24 horas); movimientos de contacto: cuando los órganos de una planta rozan con un objeto y se mueven (movimiento de cierre de las hojas de las plantas carnívoras cuanto el insecto toca la hoja) y fotoperiodicidad: movimientos coincidentes con distintas épocas del año en función de la duración de las horas de luz (floración, caída de las hojas...).

5.2) FUNCIÓN DE REPRODUCCIÓN

La reproducción es la función que permite a los seres vivos dejar copias de sí mismos, tener descendientes que impidan que su especie se extinga y desaparezca.

Existen dos tipos de reproducción, tanto en seres unicelulares, como en seres pluricelulares, en animales o en plantas, que son:

� Reproducción asexual � Reproducción sexual

LA REPRODUCCIÓN EN ANIMALES: En los animales la reproducción varía según se van haciendo más complejos los seres vivos. Desde los seres unicelulares a los animales invertebrados y luego a los vertebrados va desapareciendo la reproducción asexual hasta quedar sólo la sexual.

• Reproducción asexual en animales: Es más importante en invertebrados, y se suele dar en animales primitivos, como celentéreos, gusanos, equinodermos, etc. Sólo se necesita la actuación de un único individuo y da lugar a animales que son iguales genéticamente al animal que les ha originado, por lo que su función no es la mejora genética, sino producir muchos descendientes lo antes posible.

• Reproducción sexual en animales: La reproducción sexual se da en todos los grupos animales, aunque en los invertebrados más primitivos puede tener menos importancia que la reproducción asexual

Los gametos masculinos se llaman ESPERMATOZOIDES y se producen en los TESTÍCULOS, y los gametos femeninos se llaman ÓVULOS y se producen en los OVARIOS.


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LA REPRODUCCIÓN EN VEGETALES. La reproducción en los vegetales es mucho más variada y compleja que en animales. Existen formas exclusivas de reproducción que sólo se dan en vegetales. Además, la reproducción asexual ocurre en todos los grupos de vegetales, ya sean primitivos o evolucionados.

Vamos a analizarlo en el siguiente apartado.

5.2.1) CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES DE MUSGOS, HELECHOS, GIMNOSPERMAS Y

ANGIOSPERMAS

Las plantas pueden clasificarse según su tipo de reproducción: Reproducción Sexual y Reproducción Asexual.

Dentro de la reproducción sexual podemos distinguir:

- Plantas sin flores: los musgos y los helechos.

- Plantas con flores: Están las gimnospermas y las angiospermas, y cada una tiene una forma distinta de reproducirse.

MUSGOS HELECHOS


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GIMNOSPERMAS ANGIOSPERMAS

Imágenes nº 29.

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Angiospermae


a) MUSGOS

Los musgos son los vegetales más representativos de las Briófitas. Son plantas muy simples, sin vasos conductores, ni flores, ni frutos que viven en medios muy húmedos y sombríos pero resistiendo bien los momentos de sequía. Forman almohadillas verdes mojadas sobre rocas o muros en los bordes de arroyos o fuentes. Necesitan para vivir y reproducirse un ambiente cargado de humedad. Son, junto a los líquenes, los primeros colonizadores del ambiente terrestre. Contribuyen a formar el suelo donde más tarde se instalaran otros vegetales por ello tienen gran importancia ecológica.

Imagen nº 30.

Fuente: http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/2ESO/Funcseres/contenido1.htm



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b) HELECHOS

Los helechos. Son plantas sin flores ni frutos que son abundantes en lugares sombríos y húmedos, en los bosques o márgenes de cursos de agua. Son los vegetales que una vez mineralizados y fosilizados formaron el carbón en la era primaria. Consta de grandes hojas (frondes), muy divididas. En el envés de las frondes aparecen los soros, conjuntos de bolsas (esporangios) cargadas de esporas (estructuras de reproducción asexual). El tallo es subterráneo y de él salen pequeños pelillos o raíces con tejidos conductores de savia. Para la reproducción, igual que los musgos, dependen del agua.


Fuente: http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1ESO/reino_vegetal/contenido5.htm

c) GIMNOSPERMAS

La flor de las gimnospermas o coníferas es muy sencilla. Es unisexual, no tiene ni pétalos ni sépalos. Las flores femeninas forman conos verdosos que luego se vuelven leñosos de color marrón llamadas piñas (falsos frutos) que al abrirse sueltan los piñones, las semillas de los pinos. Las flores masculinas tienen un tamaño menor y contienen sacos llenos de polen con flotadores que les ayudan a dispersarse por el viento.

Imagen nº 32. Gimnosperma

Autor: Intef. Licencia: CC



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d) ANGIOSPERMAS

Las partes de la flor de una angiosperma son: los estambres (parte masculina) formados por filamentos y anteras (bolsas cargadas de polen), los carpelos (parte femenina) formados por estigmas, estilos y ovario; cáliz (cubiertas verdes de protección, formada por sépalos), corola (hojas coloreadas atractivas a los insectos, formada por pétalos). Una flor puede ser masculina (si solo tiene estambres); femenina (si solo tiene carpelos) o hermafrodita (si tiene estambres y carpelos en la misma flor).

Imagen nº 33. Angiospermas




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5.3) FUNCIÓN DE NUTRICIÓN

Una de las funciones vitales de los seres vivos es la Nutrición, destacamos dos tipos de Nutrición:

- Nutrición autótrofa. Es la que realizan los vegetales. Vamos a analizar este tipo de nutrición, debido a su importancia para el conjunto de los seres vivos.

- Nutrición heterótrofa. Los animales para vivir necesitan energía, pero no pueden tomarla del sol directamente. Sólo pueden obtener la energía de la transformación de los alimentos y del oxígeno que toman del aire. Así se realiza la nutrición heterótrofa.

5.3.1) NUTRICIÓN AUTÓTROFA

Consiste en obtener materia y energía a partir de sustancias inorgánicas: agua y sales minerales. Para ello precisa de la presencia de luz solar y clorofila, sustancia que se encuentra en las partes verdes de la planta.

Con las raíces toman el agua y las sales del suelo y con las hojas el dióxido de carbono del aire. Por el tallo se distribuye hacia las hojas el agua y las sales y hacia todo el vegetal los productos sintetizados en la fotosíntesis. La raíz entonces además de fijar el vegetal al suelo absorbe el agua y las sales por unos pelillos que existen en la zona pilífera. Ese agua y sales forman la savia bruta que se transporta desde la raíz a la hoja por el xilema a través de todo el tallo. La fuerza para ascender no es otra que la evaporación del agua al evaporarse en las hojas por transpiración.

Una vez que han llegado las sustancias inorgánicas a la hoja, ésta absorbe por los estomas de las hojas el dióxido de carbono que con la energía del sol transforman la savia bruta en savia elaborada (en los cloroplastos). Esta savia elaborada rica en azúcares y materia orgánica ya es distribuida al resto del vegetal por el floema.

Una vez que el vegetal ha adquirido la materia orgánica realizando en los cloroplastos de las hojas la fotosíntesis, debe usar esa materia orgánica para vivir. Los vegetales también necesitan energía para crecer, dar flores, reponer las hojas marchitas... Esa energía la toman del uso que hacen de los azúcares y demás compuestos fabricados en la fotosíntesis. Esa materia orgánica entra en las mitocondrias de las células y en ellas con la presencia de oxígeno se realiza la respiración celular consistente en: tomar materia orgánica y transformarla en energía y dióxido de carbono.

RECUERDA: Es un proceso idéntico al que realizan los animales, salvo que ellos toman la materia orgánica de otros seres vivos: no la fabrican.

5.3.2) NUTRICIÓN HETERÓTROFA

Los animales para vivir necesitan energía, pero no pueden tomarla del sol directamente. Sólo pueden obtener la energía de la transformación de los alimentos y del oxígeno que toman del aire. Así se realiza la nutrición heterótrofa.

Los seres unicelulares lo tienen fácil. Toman del exterior, del medio, las sustancias que necesitan. En los seres pluricelulares la cosa se complica. No pueden tomar las sustancias del exterior directamente, muchas de ellas no tendrían acceso al medio externo. Por ello las células se especializan en tejidos, éstos se asocian en órganos y éstos a su vez en aparatos o sistemas que realizan funciones específicas dentro del organismo general.


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Los aparatos que intervienen en la función de nutrición de los animales son:

1. Aparato Digestivo: que prepara los alimentos y los transforma en nutrientes útiles para las células.

2. Aparato Respiratorio: toma el oxígeno necesario para la vida celular y expulsa el dióxido de carbono que lleva la sangre tras realizar la célula la respiración celular.

3. Aparato Excretor: elimina del organismo todas las sustancias tóxicas que produce la célula en su funcionamiento.

4. Aparato Circulatorio: Distribuye nutrientes y oxígeno por todas las células del cuerpo y recoge los residuos y el dióxido de carbono llevándolo a los órganos excretores.

Actividad

Realiza un esquema resumen que explique las diferencias entre la nutrición autótrofa y heterótrofa de los seres vivos.

6) AUTOEVALUACIÓN

Ejercicio 18

Define biodiversidad y los motivos para conservarla.


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Ejercicio 1

¿Dónde hay mayor diversidad?

Ejercicio 2

¿Qué es la biodiversidad?

Ejercicio 3

¿Dónde hay mayor diversidad de seres vivos?

Ejercicio 4

Un criterio de clasificación natural sería:

Ejercicio 5

Las clasificaciones actuales se basan

En el patio del instituto

En el salón de tu casa

X En los Pirineos

En un campo arado

Un tipo de clasificación de los seres vivos

X Los distintos seres vivos que hay en una zona

El nombre de un parque zoológico

Las diferencias que hay entre dos seres vivos de distinta especie

En una pescadería

En un terrario de cien mil hormigas

X En una tienda de animales

En tu clase

El lugar donde viven (hábitat)

X La existencia de una estructura corporal con la misma organización, como la mano y el ala de un ave

La capacidad de volar

La forma de buscar alimento

En criterios artificiales

En lo que dicen los investigadores

X En criterios naturales

En lo que dicen los libros


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Ejercicio 6

La taxonomía es la ciencia que

Ejercicio 7

Un criterio de clasificación artificial de los seres vivos sería:

Ejercicio 8

El mulo, ¿a qué especie pertenece?

Ejercicio 9

La yegua y el caballo

Ejercicio 10

Especie es:

Nombra a los seres vivos

Ordena los seres vivos

X Clasifica los seres vivos

Ordena los animales

El parentesco evolutivo

Una característica común, como la presencia de pelo

La existencia de una estructura corporal similar, como un brazo y una pata delantera de un caballo

X La forma de buscar comida

X A ninguna, es un híbrido entre dos especies

A la especie a la que pertenezca la madre

Al caballo, porque es más grande que el burro

A la especie a la que pertenecen todos los mulos, Mulus domesticus

Pertenecen a la misma especie porque su descendencia es el mulo

No pertenecen a la misma especie porque su descendencia, el mulo, no es fértil

X Pertenecen a la misma especie porque su descendencia es fértil

No pertenecen a la misma especie porque su descendencia no es fértil

El conjunto de seres vivos que se reproducen entre sí

El conjunto de seres vivos con características comunes

X El conjunto de seres vivos que se reproducen entre sí y cuya descendencia es fértil

El conjunto de animales que se reproducen entre sí


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Ejercicio 11

Los seres del Reino Moneras:

Ejercicio 12

El Reino Moneras incluye a seres:

Ejercicio 13

La característica común a todos los protoctistas es:

Ejercicio 14

En el Reino Protoctistas se incluyen:

Ejercicio 15

Los Hongos o Reino Fungi son individuos:

Viven formando grandes colonias

Viven como parásitos en el interior de otros individuos

Todos tienen vida libre

X Pueden vivir en cualquier ambiente de la Tierra

Procariotas, unicelulares

Procariotas, pluricelulares

X Procariotas y macroscópicos

Procariotas con núcleo definido en el citoplasma

Que son autótrofos

Que son microscópicos

X Que tienen células eucariotas

Que son unicelulares

Protozoos, bacterias y cianofíceas

Bacterias y protozoos

Protozoos y algas cianofíceas

X Protozoos y algas

Que realizan la fotosíntesis

Microscópicos y heterótrofos

X Heterótrofos y la mayoría pluricelulares

Macroscópicos y autótrofos


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Ejercicio 16

Rellena el cuadro del reino vegetal utilizando la siguiente lista de palabras.

Angiospermas Briofitos Cormófitos

Dicotiledóneas Espermafitas Gimnospermas

Monocotiledóneas plantas no vasculares plantas vasculares

Pteridofitos

REINO VEGETAL

Sin vasos conductores

Plantas no vasculares

Con vasos conductores

Plantas vasculares

Sin raíces, tallos y hojas, sin flores con esporas para reproducción

Briofitos

Con raíces, tallos, hojas verdaderos

Cormófitos

Sin flores, con esporas

Pteridofitos

Con flores y semillas

Espermafitas

Sin Frutos

Gimnospermas

Con Frutos

Angiospermas

Semillas con 1 cotiledón

Monocotiledóneas

Semillas con 2 cotiledones

Dicotiledóneas

Ejercicio 17

Escribe el concepto atendiendo a su definición.

Ciencia que estudia la clasificación de los seres vivos Taxonomía

Ideó un sistema que en la actualidad se denomina nomenclatura binomial Linneo

Las Especies se agrupan en… Géneros

En este reino se incluyen organismos muy pequeños, que sólo pueden ser observados con microscopios muy potentes. Moneras

Las levaduras pertenecen a este reino Hongos

Las plantas con raíces, tallos y hojas Cormofitas

Plantas sin frutos Gimnospermas

Han desarrollado sistemas para relacionarse con el medio en el que viven y que tienen capacidad de moverse. Animales

Animales sin esqueleto interno. Invertebrados


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Ejercicio 18

Define biodiversidad y los motivos para conservarla.

Biodiversidad se refiere a la gran variedad de seres vivos que habitan sobre la superficie terrestre. Debemos conservarla para evitar los desequilibrios ecológicos debidos a la perdida de especies y variedades de flora y fauna.

ACT 1. Bloque 02. Tema 5. El Universo y la Tierra.

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Bloque 02. Tema 5.

El Universo y la Tierra.

ÍNDICE

1) El Universo, estrellas y galaxias.

1.1. El Universo.

1.2. Las constelaciones.

1.3. Las estrellas.

1.4. Las galaxias. La Vía Láctea.

2) El Sistema Solar.

2.1. El Sol.

2.2. Los planetas.

2.3. Los asteroides.

3) La Luna.

3.1. Fases de la Luna.

3.2. Las mareas.

4) La Tierra.

4.1. Movimientos de rotación y traslación.

4.2. Las estaciones.

4.3. Los eclipses.

5) Estructura de la Tierra.

5.1. La atmósfera.

5.1.1. La contaminación de la atmósfera.

5.2. La hidrosfera.

5.3. La geosfera.


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1) EL UNIVERSO, ESTRELLAS Y GALAXIAS

Los antiguos griegos pensaban que el universo se componía de la Tierra, alrededor de la cual giraban el sol, la luna y las estrellas. Es lo que denominamos geocentrismo (de geo: tierra, y centro). La forma más acabada y compleja de geocentrismo fue formulada por Claudio Ptolomeo, en el siglo II.

Esta idea fue modificada en el siglo XV cuando Nicolás Copérnico propuso el modelo heliocéntrico (de helios: sol, y centro); según éste, el sol se ubica en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor al igual que los demás astros.

Copérnico hizo tres hipótesis: que el Universo es esférico, que la Tierra es esférica y que el movimiento de los cuerpos celestes es regular, circular y perpetuo. De esta manera los planetas tendrían dos movimientos, uno de rotación alrededor de un eje, que en el caso de la Tierra duraba 24 horas y marcaba la diferencia entre el día y la noche, y otro alrededor del Sol y que duraba un año.

El sistema heliocéntrico no se impuso de inmediato, debido a interpretaciones demasiado literales de la Biblia. Habría que esperar a otro gran científico para que la polémica se reavivase con toda su crudeza. Fue Galileo Galilei quien, tras inventar el telescopio, pudo observar, y demostrar sin género de dudas, la exactitud del sistema copernicano. Galileo tuvo problemas con la Iglesia, y se retractó, ya que de nada serviría negar lo que sería evidente para cualquier observador con un telescopio.

El sistema heliocéntrico no se cerró con Galileo. Giordano Bruno propuso un modelo de Universo infinitamente más grande que el supuesto por Copérnico, y además afirmó que ni el hombre ni la Tierra ocupan ningún puesto de privilegio en él. Existen innumerables sistemas solares como el nuestro, y nuestro Sol no es sino una estrella más en el cosmos infinito. Sería Képler quien entre 1609 y 1619 formulase un modelo de órbita no circular, sino elíptico, mucho más exacto.

En 1687, Isaac Newton formuló su ley de la gravitación universal, y explicó el porqué de la forma de las órbitas y la fuerza que las mantiene. En la actualidad la teoría de la Relatividad permite conocer la posición y el movimiento de cualquier astro del Universo tomando como centro cualquier punto de él. Sin embargo el heliocentrismo sigue siendo la base para el estudio del Universo cercano.

Ejercicio 1

Como sabes, la notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. Ahora lo podremos aplicar para darnos cuenta del tamaño del Universo, pues sus dimensiones son tan grandes que las unidades de medida que utilizamos habitualmente son poco prácticas. Por ejemplo, la galaxia Andrómeda se encuentra a una distancia de 21 trillones de kilómetros de nosotros, es decir, 21.000.000.000.000.000.000 kilómetros.

Ahora, utilizando tu calculadora y la notación científica expresa en Km. las siguientes distancias dadas en años luz:

a) Alfa-Centauri 4.3 años-luz =

b) Estrella Polar 300 años luz =


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Ejercicio 2

Define:

a) Geocentrismo:

b) Heliocentrismo:

1.1) EL UNIVERSO

Podemos decir que el universo es todo, sin excepciones.

Materia, energía, espacio y tiempo, todo lo que existe forma parte del Universo. Es muy grande, pero no infinito. Si lo fuera, habría infinita materia en infinitas estrellas, y no es así. En cuanto a la materia, el universo es, sobre todo, espacio vacío.

La materia no se distribuye de manera uniforme, sino que se concentra en lugares concretos: galaxias, cúmulos de galaxias, estrellas, planetas... Sin embargo, el 90% del Universo es una masa oscura, que no podemos observar. Todavía no sabemos con exactitud la magnitud del Universo, a pesar de la avanzada tecnología disponible en la actualidad.

Imagen 1: Constelación estelar Fuente: http://bancoimagenes.cnice.mec.es/

Nuestro mundo, la Tierra, es un lugar minúsculo comparado con el Universo. Formamos parte del Sistema Solar, perdido en un brazo de una galaxia (llamada Vía Láctea) que tiene 100.000 millones de estrellas, pero sólo es una entre los centenares de miles de millones de galaxias que forman el Universo.

La teoría del Big-Bang (Gran Explosión) es una teoría científica sobre el origen del Universo. Según esta teoría, el Universo sería una especie de globo que se está inflando permanentemente, de manera que los diferentes astros que lo forman se alejan continuamente del centro del mismo, donde se produjo esa explosión inicial. Toda la materia se habría creado en un lapso muy breve de tiempo y, por tanto, nunca se creará materia nueva.


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Imagen 2: Galaxia

Fuente: http://bancoimagenes.cnice.mec.es/

Ya hemos comentado que medir el Universo es muy complicado, debido a las grandes distancias que existen. Por ello, se utilizan algunas unidades especiales de medida, entre las que destacamos el año luz, que es la distancia que recorre la luz en un año. La velocidad de la luz es de 300.000 km/sg. Es decir, que en un segundo recorre 300.000 km. Como un día tiene 86.400 segundos, habría que multiplicar estas cantidades para saber la distancia que recorre la luz en un día. Para saber la distancia que recorre en un año, multiplicaríamos por 365 días y obtendríamos 9,461 billones de km; es decir 9,461.1012 kilómetros.

Son realmente muchos kilómetros, ¿no te parece? Sin embargo, la estrella más cercana a nosotros se llama alfa - Centauri y está a 4'3 años luz de distancia y una estrella de la que hablaremos más tarde, la estrella Polar, está a 300 años luz.

Si una estrella decimos que está a 10 años luz, la vemos tal y como era hace 10 años, pues su imagen nos llega después de haber pasado esos 10 años.

Imagen 3: Distancias en el Universo

Fuente: http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1ESO/Astro/contenido5.htm


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1.2) Las constelaciones

Las estrellas que se pueden observar por la noche forman determinadas figuras que llamamos "constelaciones", y que sirven para localizar más fácilmente la posición de los astros. En total, hay 88 agrupaciones de estrellas que aparecen en la esfera celeste y que toman su nombre de figuras religiosas o mitológicas, animales u objetos.

Las constelaciones ya se conocían desde el 4000 a.C. Entre las constelaciones más conocidas se hallan las que se encuentran en el plano de la órbita de la Tierra, sobre el fondo de las estrellas fijas. Son lo que conocemos como las constelaciones del Zodíaco. Además de estas, otra muy conocida es la Osa Mayor, visible desde el hemisferio Norte. Estas y otras constelaciones permiten ubicar la posición de importantes puntos de referencia como, por ejemplo, los polos celestes.

Imagen 4: Constelaciones del zodíaco

Fuente: Cenice La mayor constelación de la esfera celeste es la de Hydra, que contiene 68 estrellas visibles a simple vista. Algunos ejemplos de constelaciones:

Imagen 5: Osa Mayor Imagen 6: Géminis


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En el hemisferio norte existe una estrella que nos sirve para guiarnos por la noche, pues señala el polo norte; es la estrella polar. Vamos a localizarla: Podemos intentar localizar la Osa Mayor en nuestros cielos septentrionales. Luego mentalmente dibujamos una línea imaginaria que una las dos estrellas más brillantes de la osa que corresponden a las estrellas Dubhe y Merak; y alárgala cinco veces y ahí estará la estrella polar o Polaris de color amarillo claro en la constelación de la Osa Menor.

Imagen 7: Posición Constelaciones

Hay que tener en cuenta que la posición aquí representada varía según la estación del año en la que nos encontremos, pero la estrella polar siempre indicará el norte.

1.3) Las estrellas

Las estrellas son masas de gases, principalmente hidrógeno y helio, que emiten luz. Se encuentran a temperaturas muy elevadas. En su interior hay reacciones nucleares.

El Sol es una estrella. Vemos las estrellas, excepto el Sol, como puntos luminosos muy pequeños, y sólo de noche, porque están a enormes distancias de nosotros. Parecen estar fijas, manteniendo la misma posición relativa en los cielos año tras año. En realidad, las estrellas están en rápido movimiento, pero a distancias tan grandes que sus cambios de posición se perciben sólo a través de los siglos.

El número de estrellas observables a simple vista desde la Tierra se ha calculado en unas 8.000, la mitad en cada hemisferio. Durante la noche no se pueden ver más de 2.000 al mismo tiempo, el resto quedan ocultas por la neblina atmosférica, sobre todo cerca del horizonte, y la pálida luz del cielo.

Los astrónomos han calculado que el número de estrellas de la Vía Láctea, la galaxia a la que pertenece el Sol, asciende a cientos de miles de millones.

La estrella más cercana al Sistema Solar es Alfa Centauro, que está a unos 40 billones de kilómetros de la Tierra y sólo es visible desde el hemisferio sur

Imagen nº 8: Conjunto de estrellas

Fuente: Cnice.


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1.4) Las galaxias. La Vía Láctea

Las galaxias son conjuntos de infinidad de estrellas, astros sin luz propia y nebulosas (brillantes nubes de gas y polvo cósmico). Nuestro Sistema Solar forma parte de una galaxia, la única que hemos visto desde dentro: La Vía Láctea. Desde siempre hemos conocido su existencia aunque, naturalmente, en la antigüedad nadie sabía de qué se trataba. Aparece como una franja blanquecina que cruza el cielo. Los romanos la llamaron “Camino de Leche”, que es lo que significa vía láctea en latín. Durante la Edad Media se la conoció también como “Camino de Santiago” porque en verano, a la hora de empezar a caminar los peregrinos, se extiende en dirección este-oeste. La Via Láctea es una galaxia grande, espiral y puede tener unos 100.000 millones de estrellas, entre ellas, el Sol. En total mide unos 100.000 años luz de diámetro y tiene una masa de más de dos billones de veces la del Sol.

Imagen nº 9: La Vía Láctea. La flecha indica la ubicación de nuestro sistema solar Fuente: Cnice

Cada 225 millones de años el Sistema Solar completa un giro alrededor del centro de la galaxia. Se mueve a unos 19 km por segundo. El centro de nuestra galaxia es muy brillante porque existen muchas estrellas juntas, entre ellas se encuentra un agujero negro. Según vamos hacia los bordes hay cada vez menos estrellas.

El Sol y nuestro Sistema solar se encuentran en uno de los brazos espirales de la Vía Láctea

Imagen nº 10: Vía Láctea



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En el Universo hay centenares de miles de millones de galaxias. Cada galaxia puede estar formada por centenares de miles de millones de estrellas y otros astros.

Para saber más

Sobre el geocentrismo y el heliocentrismo:

http://www.astrocosmo.cl/b_p-tiempo/b_p-tiempo-04.04.htm

Astronomía. Portal web con numerosas secciones con información variada y sencilla sobre astronomía (astronomía educativa, Universo, Sistema solar, La Tierra y la Luna, historia, biografías de personajes, colecciones de fotos, artículos sobre astronomía, etc.). Tiene numerosos enlaces a otras páginas:

http://www.astromia.com/

Universo básico. Web relacionada con el portal "astromía.com". Presenta varias secciones con abundante material gráfico (tablas y fotos) sobre el universo, galaxias, estrellas, materiales, origen del universo, sus fuerzas, etc.:

http://www.xtec.cat/~rmolins1/

La Tierra en el universo. Recurso interactivo con información variada y sencilla sobre el Universo, Sistema solar, La Tierra y la Luna:

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1030

Sobre el Universo, la Vía Láctea y el Sistema Solar:

http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1ESO/Astro/contenidos.htm

Astronomía educativa. Las ciencias de la Tierra y del Espacio:

http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/gallery/Recursos%20Boecillo/universo/index.html

http://www.proyectosalonhogar.com/Enciclopedia/Universo_y_Sistema/indice.htm

http://www.astronavegador.com/Sistema_Solar.htm

http://radiouniverso.org/resources/gdss/

http://www.todoelsistemasolar.com.ar/

La NASA en español:

http://www.lanasa.net/

Vídeo sobre el Sistema Solar exterior:

http://www.tu.tv/videos/el-universo-sistema-solar-exterior-3-

Viaje por el Universo:

http://www.shatters.net/celestia/


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2) El Sistema Solar

Entre los miles de estrellas que forman nuestra galaxia hay una de tamaño mediano, situada en uno de los brazos de la espiral de la Vía Láctea, que es el Sol. Al conjunto formado por el Sol y el resto de cuerpos celestes (entre ellos los ocho planetas) que giran a su alrededor, lo conocemos como El Sistema Solar.

Ejercicio 3

Nombra todos los componentes del Sistema Solar:

2.1) El Sol

El Sol es la única estrella del Sistema Solar. Es una gigantesca bola de gas, de la que proviene la luz y el calor necesarios para la vida. Cuando lo vemos en el cielo, su luz nos impide ver el resto de los astros.

Es la estrella más cercana a la Tierra y el mayor cuerpo celeste del Sistema Solar. Las estrellas son los únicos cuerpos del Universo que emiten luz y además es nuestra principal fuente de energía, que se manifiesta, sobre todo, en forma de luz y calor.

El Sol contiene más del 99% de toda la materia del Sistema Solar y debido a ello, ejerce una fuerte atracción gravitatoria sobre los planetas y los hace girar a su alrededor.

El Sol se formó hace 4.650 millones de años y tiene combustible para 5.000 millones más.

Desde la Tierra sólo vemos la capa exterior. Se llama fotosfera y tiene una temperatura de unos 6.000 ºC, con zonas más frías (4.000 ºC) que llamamos manchas solares.

La energía solar se crea en el interior del Sol. Es aquí donde la temperatura (15.000.000° C) y la presión (340 mil veces la presión del aire en la Tierra al nivel del mar) son tan intensas que se llevan a cabo reacciones nucleares. La energía producida de esta forma es transportada a la mayor parte de la superficie solar por radiación.

Millones de astros giran en torno al Sol, son los cuerpos planetarios. Los cuerpos planetarios mayores son los planetas y hay ocho. Dentro de los cuerpos planetarios menores encontramos los planetas enanos, los satélites, los asteroides, los cometas, etc.


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2.2) Los planetas

Alrededor del Sol giran ocho planetas: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.

Imagen nº 11: Planetas del Sistema Solar Fuente: Cnice

Recientemente la Unión Astronómica Internacional ha determinado un grupo nuevo, los planetas enanos, entre los que se encuentra Plutón.

Según la distancia a la que se encuentran del Sol los clasificamos en planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra y Marte) y planetas exteriores (Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno).

Los planetas también se clasifican en rocosos y gaseosos.

• Los planetas rocosos son los cuatro más interiores en el Sistema Solar: Mercurio, Venus, la Tierra y Marte. Se les llama rocosos o terrestres porque tienen una superficie rocosa compacta, como la de la Tierra. Venus, Tierra, y Marte tienen atmósferas más o menos significativas, mientras que Mercurio casi no tiene.

• Los planetas gaseosos se localizan en la parte externa del Sistema Solar y son planetas constituidos básicamente por hidrógeno y helio.

Los planetas giran alrededor del Sol y no tienen luz propia, sino que reflejan la luz solar.

Los planetas tienen diversos movimientos. Los más importantes son dos: el de rotación y el de traslación.

Por el movimiento de rotación, giran sobre sí mismos alrededor de su eje y esto determina la duración del día del planeta.

Por el movimiento de traslación, los planetas describen órbitas alrededor del Sol. Cada órbita es el año del planeta. Cada planeta tarda un tiempo diferente para completarla. y cuanto más lejos se encuentra el planeta del sol, más tiempo.

En el siguiente cuadro figuran los datos más importantes de los planetas, donde se ha incluido Plutón.


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Planetas Radio ecuatorial

Distancia al Sol (km.) Lunas Rotación Traslación

Mercurio 2.440 km. 57.910.000 0 58,6 dias 87,97 dias

Venus 6.052 km. 108.200.000 0 -243 dias 224,7 dias

La Tierra 6.378 km. 149.600.000 1 23,93 horas 365,256 dias

Marte 3.397 km. 227.940.000 2 24,62 horas 686,98 dias

Júpiter 71.492 km. 778.330.000 63 9,84 horas 11,86 años

Saturno 60.268 km. 1.429.400.000 33 10,23 horas 29,46 años

Urano 25.559 km. 2.870.990.000 27 17,9 horas 84,01 años

Neptuno 24.746 km. 4.504.300.000 13 16,11 horas 164,8 años

Plutón 1.160 km. 5.913.520.000 1 -6,39 días 248,54 años

Imagen nº 12: Tamaño relativo de los planetas del Sistema Solar Fuente: http://www.astronavegador.com/Sistema%20Solar.htm

Imagen nº 13: Tamaño relativo del Sol con respecto a los planetas

Fuente: http://astronavegador.com/Sistema%20Solar.htm


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• Mercurio. Es el planeta más cercano al Sol y el segundo más pequeño del Sistema Solar.

Si nos situásemos sobre Mercurio, el Sol nos parecería dos veces y media más grande. El cielo, sin embargo, lo veríamos siempre negro, porque no tiene atmósfera que pueda dispersar la luz.

Los romanos le pusieron el nombre del mensajero de los dioses porque se movía más rápido que los demás planetas. Da la vuelta al Sol en menos de tres meses. En cambio, Mercurio gira lentamente sobre su eje, una vez cada 58 días y medio.

Cuando un lado de Mercurio está de cara al Sol, llega a temperaturas superiores a los 425 ºC. Las zonas en sombra bajan hasta los 170 bajo cero.

• Venus. Es el segundo planeta del Sistema Solar y el más semejante a La Tierra por su tamaño, masa, densidad y volumen. Sin embargo, no tiene océanos y su densa atmósfera provoca un efecto invernadero que eleva la temperatura hasta los 480 ºC.

Venus gira sobre su eje muy lentamente y en sentido contrario al de los otros planetas. El Sol sale por el oeste y se pone por el este, al revés de lo que ocurre en La Tierra. Además, el día en Venus dura más que el año.

La superficie de Venus tiene amplísimas llanuras, atravesadas por enormes ríos de lava, y algunas montañas. Tiene muchos volcanes. El 85% del planeta está cubierto por roca volcánica. También hay cráteres de los impactos de los meteoritos. Sólo de los grandes, porque los pequeños se deshacen en la espesa atmósfera.

Venus siempre se puede encontrar, aproximadamente, en la misma dirección del Sol por lo que desde la Tierra se puede ver sólo unas cuantas horas antes del amanecer o después del atardecer. Venus es normalmente conocido como la estrella de la mañana (Lucero del Alba) o la estrella de la tarde (Lucero Vespertino) y, cuando es visible en el cielo nocturno, es el objeto más brillante del firmamento, aparte de la Luna y por supuesto el Sol.

• Marte. Es el cuarto planeta del Sistema Solar. Conocido como el planeta rojo por sus tonos rosados, los romanos lo identificaban con la sangre y le pusieron el nombre de su dios de la guerra.

Marte tiene una atmósfera muy fina, formada principalmente por dióxido de carbono, que se congela alternativamente en cada uno de los polos. Contiene sólo un 0,03% de agua, mil veces menos que la Tierra.

Los estudios demuestran que Marte tuvo una atmósfera más compacta, con nubes y precipitaciones que formaban ríos. Sobre la superficie se adivinan surcos, islas y costas. Las grandes diferencias de temperatura provocan vientos fuertes.

• Júpiter. Es el planeta más grande del Sistema Solar, tiene más materia que todos los otros planetas juntos y su volumen es mil veces el de la Tierra. Júpiter tiene un tenue sistema de anillos, invisible desde la Tierra. También tiene 16 satélites.

Júpiter tiene una composición semejante a la del Sol, formada por hidrógeno, helio y pequeñas cantidades de amoníaco, metano, vapor de agua y otros compuestos. La rotación de Júpiter es la más rápida entre todos los planetas y tiene una atmósfera compleja, con nubes y tempestades.

La Gran Mancha Roja de Júpiter es una tormenta mayor que el diámetro de la Tierra. Dura desde hace 300 años y provoca vientos de 400 Km/h.


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Júpiter tiene 16 satélites conocidos.

Imagen nº 14: Júpiter y dos de sus lunas

Fuente: Cnice

• Saturno. Saturno es el segundo planeta más grande del Sistema Solar y el único con anillos visibles desde la Tierra. Se ve claramente achatado por los polos a causa de la rápida rotación.

La atmósfera es de hidrógeno, con un poco de helio y metano. Es el único planeta que tiene una densidad menor que el agua. Si encontrásemos un océano suficientemente grande, Saturno flotaría.

Cerca del ecuador de Saturno el viento sopla a 500 Km/h.

El origen de los anillos de Saturno no se conoce con exactitud. Su composición es dudosa, pero sabemos que contienen agua. La elaborada estructura de los anillos se debe a la fuerza de gravedad de los satélites cercanos, en combinación con la fuerza centrífuga que genera la propia rotación de Saturno.

Saturno tiene, oficialmente, 33 satélites.

Imagen nº 15: Anillos de Saturno

Fuente: Cnice

• Urano. Es el séptimo planeta desde el Sol y el tercero más grande del Sistema Solar.

Urano es también el primero que se descubrió gracias al telescopio.

La atmósfera de Urano está formada por hidrógeno, metano y otros hidrocarburos. El metano absorbe la luz roja, por eso refleja los tonos azules y verdes.

Urano está inclinado de manera que el ecuador hace casi ángulo recto, 98 º, con la trayectoria de la órbita. Esto hace que en algunos momentos la parte más caliente, encarada al Sol, sea uno de los polos.


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Su distancia al Sol es el doble que la de Saturno. Está tan lejos que, desde Urano, el Sol parece una estrella más. Aunque, mucho más brillante que las otras.

• Neptuno. Es el planeta más exterior de los gigantes gaseosos y el primero que fue descubierto gracias a predicciones matemáticas.

El interior de Neptuno es roca fundida con agua, metano y amoníaco líquidos. El exterior es hidrógeno, helio, vapor de agua y metano, que le da el color azul.

En Neptuno es donde se producen los vientos más fuertes de cualquiera de los planetas del Sistema Solar. Muchos de esos vientos soplan en sentido contrario al de rotación. Se han medido vientos de 2000 km/h

Nos separa una enorme distancia con Neptuno. La podemos entender mejor con dos datos: una nave ha de hacer un viaje de doce años para llegar y, desde allí, sus mensajes tardan más de cuatro horas para volver a la Tierra.

Ejercicio 4

El mayor planeta del Sistema solar es:

Ejercicio 5

¿Cuál de los siguientes planetas es gaseoso?

a) Marte

b) Júpiter

c) Saturno

a) Venus

b) Tierra

c) Urano


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2.3) Los asteroides

Los asteroides son una serie de objetos rocosos o metálicos que orbitan alrededor del Sol, la mayoría en el cinturón principal, entre Marte y Júpiter.

Algunos asteroides, sin embargo, tienen órbitas que van más allá de Saturno, otros se acercan más al Sol que la Tierra. Algunos han chocado contra nuestro planeta. Cuando entran en la atmosfera, se encienden y se transforman en meteoritos.

A los asteroides también se les llama planetas menores.

La masa total de todos los asteroides del Sistema Solar es mucho menor que la de la Luna. Los cuerpos más grandes son más o menos esféricos, pero los que tienen diámetros menores de 160 km tienen formas alargadas e irregulares. La mayoría, independientemente de su tamaño, tardan de 5 a 20 horas en completar un giro sobre su eje.

Imagen nº 16: Asteroide

Fuente: Cnice

Entre las órbitas de Marte y Júpiter hay una región de 550 millones de kilómetros en la que orbitan más de 18.000 asteroides.


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3) La Luna

La Luna es el satélite de la Tierra. Su diámetro es de unos 3.476 km, aproximadamente una cuarta parte del de la Tierra. La masa de la Tierra es 81 veces mayor que la de la Luna. La densidad media de la Luna es de sólo las tres quintas partes de la densidad de la Tierra, y la gravedad en la superficie es un sexto de la de la Tierra.

La Luna orbita la Tierra a una distancia media de 384.403 km y a una velocidad media de 3.700 km/h. Completa su vuelta alrededor de la Tierra, siguiendo una órbita elíptica, en 27 días, 7 horas, 43 minutos y 11,5 segundos. Para cambiar de una fase a otra similar, o mes lunar, la Luna necesita 29 días, 12 horas, 44 minutos y 2,8 segundos.

Como tarda en dar una vuelta sobre su eje el mismo tiempo que en dar una vuelta alrededor de la Tierra, siempre nos muestra la misma cara mientras que nunca vemos la cara opuesta (es a la que llamamos la "cara oculta de la Luna").

Aunque parece brillante, sólo refleja en el espacio el 7% de la luz que recibe del Sol.

Imagen nº 17: La Luna

Fuente: Cnice

La Luna no posee atmósfera por lo que todos los meteoritos que le llegan chocan contra su superficie formando cráteres. Vista desde la Tierra se distinguen unas zonas brillantes y unas zonas oscuras que llamamos "mares".

3.1) Fases de la Luna

Según la disposición de la Luna con respecto a la Tierra y el Sol, esta se ve iluminada en una mayor o menor porción en lo que conocemos como la cara visible de la luna.

Imagen nº 18: Fases de la Luna

Fuente: http://museovirtual.csic.es/salas/universo/astro12.htm


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La Luna Nueva o novilunio es cuando la Luna está entre la Tierra y el Sol y por lo tanto no la vemos.

En el Cuarto Creciente, la Luna, la Tierra y el Sol forman un ángulo recto, por lo que se puede observar en el cielo la mitad de la Luna, en su período de crecimiento. La Luna Llena o plenilunio ocurre cuando La Tierra se ubica entre el Sol y la Luna; ésta recibe los rayos del sol en su cara visible, por lo tanto, se ve completa. Finalmente, en el Cuarto Menguante los tres cuerpos vuelven a formar ángulo recto, por lo que se puede observar en el cielo la otra mitad de la cara lunar.

¿Sabías que la Luna es una mentirosa? Cuando tiene forma de "D", nos dice: ¡Estoy Decreciendo (menguando)!, pero sin embargo está Creciendo, y cuando tiene forma de "C", nos dice: ¡Estoy Creciendo!, pero en realidad está menguando (decreciendo).

3.2) Las mareas

¿Te has preguntado alguna vez por qué una playa cambia tanto de aspecto según tenga marea alta o baja? Pues la causante es la Luna, que ejerce una atracción gravitatoria sobre nuestro planeta y determina que el caudal de las aguas ascienda o descienda en ciclos periódicos. Si no hubiera ningún astro alrededor de la Tierra, el nivel de agua no se alteraría. Pero la Luna influye hasta el punto de que su efecto es mayor o menor dependiendo de la posición en la que se encuentre. Una marea es el ascenso y descenso periódico de las aguas del mar. Se trata de un efecto producido por la atracción gravitatoria de la Luna y del Sol sobre el agua y la Tierra. Este ciclo se repite en periodos de 12 horas (mareas semidiurnas) y de 24 horas (diurnas). Lo normal es que sean mixtas; es decir, que en la misma costa se den los dos tipos de mareas. Las mareas que vemos en los Océanos son debidas a la atracción de la Luna y del Sol. La explicación más simple es que el agua en el lado de la Tierra más cercano a la Luna es atraída por la fuerza gravitatoria de la Luna más intensamente que el cuerpo de la Tierra, mientras que el agua del lado de la Tierra más alejado de la Luna es atraída menos intensamente que la Tierra. El efecto es hacer salientes en el agua en lados opuestos de la Tierra. El efecto de la atracción del Sol es similar, y las mareas que observamos son el efecto resultante de las dos atracciones. Cuando la atracción del Sol se suma a la de la Luna las mareas son grandes y las llamamos Mareas Vivas, mientras que cuando las atracciones están a 90 grados las mareas son pequeñas y las llamamos Mareas Muertas.

Imagen nº 19: Mareas. Autor: Desconocido

Fuente: http://museovirtual.csic.es/salas/universo/astro12.htm


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Como la atracción del Sol está alineada con la de la Luna en Luna Nueva y Luna Llena, ésos son los días en que hay Mareas Vivas. La atracción del Sol es menos que la mitad de la de la Luna, así que la frecuencia de las mareas está determinada por el paso aparente de la Luna alrededor de la Tierra, es decir, un poco más de un día. Entonces, en la mayoría de los lugares de la Tierra tenemos dos mareas por día, con la hora de cada una retrasándose de un día al siguiente en poco menos que una hora. (El período verdadero, por supuesto, está determinado por la rotación de la Tierra y la órbita de la Luna). Si no hubiera ningún astro alrededor de la Tierra, el nivel de agua no se alteraría.

La influencia de la Luna es tan grande que, según la posición en que se encuentre, la atracción será mayor o menor. Cuando la marea está alta, se llama pleamar. Y si está baja, bajamar.

Para poder desarrollarse, las mareas necesitan grandes extensiones marinas. En los mares cerrados o pequeños, los desplazamientos son pequeños y las mareas alcanzan poca altura. En cambio, hay puertos en los que las mareas son tan fuertes que la navegación está condicionada a su ritmo. Hasta tal punto que los barcos sólo pueden entrar cuando sube la marea y salir cuando baja.

Por eso, existen unas tablas que explican cómo serán las mareas a lo largo de todo un año y los pescadores las tienen muy en cuenta. Fíjate: para algunos tipos de pesca, como la pesca variada, es muy importante ir en horario de pleamar. Para otros tipos, como la pesca del lenguado, hay que aprovechar la bajamar.

Ejercicio 6

a) ¿Qué son las mareas?

b) ¿Cómo se producen las fases de la Luna?


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4) La Tierra

La Tierra es el mayor de los planetas rocosos del Sistema Solar. Esto hace que pueda retener una capa de gases, la atmósfera, que dispersa la luz y absorbe calor, impidiendo que se caliente demasiado por el día y que se enfríe por la noche.

Casi tres cuartas partes de la superficie terrestre están cubiertas de agua (los mares y océanos), que también ayudan a regular la temperatura del planeta. El agua que se evapora forma nubes y cae en forma de lluvia o nieve, formando ríos y lagos. En los polos, que reciben poca energía solar y el agua, en forma de hielo, se acumula en los casquetes polares. El del sur es más grande y concentra la mayor reserva de agua dulce de la Tierra.

La Tierra es el tercer planeta desde el Sol y quinto en cuanto a tamaño. Gira describiendo una órbita elíptica alrededor del Sol, a unos 150 millones de km, en, aproximadamente, un año. Al mismo tiempo gira sobre su propio eje cada día.

La Tierra no es una esfera perfecta, ya que el ecuador se engrosa 21 km, el polo norte está dilatado 10 m y el polo sur está hundido unos 31 metros.

La Tierra posee una atmósfera rica en oxígeno, temperaturas moderadas, agua abundante y una composición química variada. El planeta se compone de rocas y metales, sólidos en el exterior, pero fundidos en el interior.

Imagen nº 20: Foto de la Tierra tomada por los tripulantes del Apolo 17 en Diciembre de 1972, mientras viajaban hacia la Luna.

La masa rojiza es África y la Península Arábica. Lo blanco son nubes y parte de la cubierta de hielo que recubre la Antártida. (NASA/JPL)

Fuente: Cnice


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La tierra que hoy conocemos tiene un aspecto muy distinto del que tenía poco después de su nacimiento, hace unos 4.500 millones de años. Entonces era un amasijo de rocas conglomeradas cuyo interior se calentó y fundió todo el planeta. Con el tiempo la corteza se secó y se volvió sólida. En las partes más bajas se acumuló el agua mientras que, por encima de la corteza terrestre, se formaba una capa de gases, la atmósfera.

Ejercicio 7

¿Cómo se llaman los movimientos de la Tierra?

4.1) Movimientos de rotación y traslación

La Tierra está en continuo movimiento. Se desplaza, con el resto de planetas y cuerpos del Sistema Solar, girando alrededor del centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea. Sin embargo, este movimiento afecta poco nuestra vida cotidiana.

Más importante, para nosotros, es el movimiento que efectúa describiendo su órbita alrededor del Sol, ya que determina el año y el cambio de estaciones. Y, aún más, la rotación de la Tierra alrededor de su propio eje, que provoca el día y la noche

El movimiento de traslación: el año. Por el movimiento de traslación la Tierra se mueve alrededor del Sol, impulsada por la gravitación, en 365 días, 5 horas y 57 minutos, equivalente a 365,2422 días, que es la duración del año. Por ello, debido a que nuestro año oficial es de sólo 365 días completos, cada 4 años se incluye un día más (29 de febrero) en los llamados años bisiestos, para cubrir las casi 24 horas que se han acumulado en ese período de tiempo. No son bisiestos los años múltiplos de 100 (como 1800 y 1900) con la salvedad de los que son múltiplos de 400 (2000 si lo fue y volverá a ser 2400)

Nuestro planeta describe una trayectoria elíptica de 930 millones de kilómetros, a una distancia media del Sol de 150 millones de kilómetros. La Tierra viaja a una velocidad de 29,5 kilómetros por segundo, recorriendo en una hora 106.000 kilómetros, o 2.544.000 kilómetros al día.

La excentricidad de la órbita terrestre hace variar la distancia entre la Tierra y el Sol en el transcurso de un año. A primeros de enero la Tierra alcanza su máxima proximidad al Sol y se dice que pasa por el perihelio. A principios de julio llega a su máxima lejanía y está en afelio. La distancia Tierra-Sol en el perihelio es de 142.700.000 kilómetros y la distancia Tierra-Sol en el afelio es de 151.800.000 kilómetros.

El movimiento de rotación: el día. Cada 24 horas (cada 23 h 56 minutos), la Tierra da una vuelta completa alrededor de un eje ideal que pasa por los polos. Gira en dirección Oeste-Este, en sentido directo (contrario al de las agujas del reloj), produciendo la impresión de que es el cielo el que gira alrededor de nuestro planeta. A este movimiento, denominado rotación, se debe la sucesión de días y noches.


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4.2) Las estaciones

Las estaciones se producen debido a la inclinación del eje terrestre. Así, mientras un hemisferio está en verano, el otro está en invierno. Si el eje de la Tierra no estuviera inclinado, no habría estaciones y el día y la noche durarían lo mismo, 12 horas cada uno.

El movimiento de la Tierra alrededor del Sol y la inclinación del eje terrestre originan las estaciones del año: primavera, verano, otoño e invierno.

El eje de la Tierra está inclinado un pequeño ángulo (23.5º). Esto hace que a veces el Sol caliente el hemisferio norte, como en el verano y otras el hemisferio sur, como en el invierno. En primavera y otoño el Sol ilumina por igual ambos hemisferios.

El ángulo de inclinación del eje terrestre es el responsable de los cambios en la cantidad de calor que recibe cada hemisferio y por tanto de las estaciones. Mientras la Tierra se mueve con el eje del Polo Norte inclinado hacia el Sol, el del Polo Sur lo está en sentido contrario y las regiones del primero reciben más radiación solar que las del segundo. Posteriormente se invierte este proceso y son las zonas del hemisferio norte las que reciben menos calor.

Solsticios y equinoccios.

Las cuatro estaciones están determinadas por cuatro posiciones principales en la órbita terrestre, opuestas dos a dos, que reciben el nombre de solsticios y equinoccios. Solsticio de invierno, equinoccio de primavera, solsticio de verano y equinoccio de otoño.

En los equinoccios, el eje de rotación de la Tierra es perpendicular a los rayos del Sol, que caen verticalmente sobre el ecuador. En los solsticios, el eje se encuentra inclinado 23,5º, por lo que los rayos solares caen verticalmente sobre el trópico de Cáncer (verano en el hemisferio norte) o de Capricornio (verano en el hemisferio sur).

A causa de la excentricidad de la órbita terrestre, las estaciones no tienen la misma duración, ya que la Tierra recorre su trayectoria con velocidad variable. Va más deprisa cuanto más cerca está del Sol y más despacio cuanto más alejada.

Por esto, el rigor de cada estación no es el mismo para ambos hemisferios. Nuestro planeta está más cerca del Sol a principios de enero (perihelio) que a principios de julio (afelio), lo que hace que reciba un 7% más de calor en el primer mes del año que no a la mitad de él. Por este motivo, en conjunto, además de otros factores, el invierno boreal es menos frío que el austral, y el verano austral es más caluroso que el boreal.

Imagen nº 21: Solsticio y Equinocio



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Inicio H. norte H. sur Días duración Inclinación

20-21 Marzo Primavera Otoño 92,9 0º

21-22 Junio Verano Invierno 93,7 23,5º Norte

23-24 Septiembre Otoño Primavera 89,6 0º

21-22 Diciembre Invierno Verano 89,0 23,5º Sur

El hecho de la inclinación de los 23,5º famosos del eje de rotación es la causa de las estaciones, como se ha dicho. Si estamos en el hemisferio norte y en la época del verano, el Sol incide más perpendicularmente, pero, a medida que se va desplazando la Tierra en su órbita hacia el invierno pasando por el otoño, la luz va incidiendo más oblicuamente.

Si se mira la imagen de más arriba se observará también que la inclinación del eje de rotación es la causa de que en verano veamos el Sol más alto que en invierno. ¿Por qué? Porque lo vemos más próximo a nuestra vertical en verano, que coincide, prácticamente, con la dirección radial.

En el solsticio de verano el Sol incide perpendicularmente sobre el paralelo que está situado 23,5º sobre el Ecuador, que se denomina Trópico de Cáncer. Si desde el Polo Norte nos movemos hacia el sur esos 23,5º llegaremos a lo que se denomina Círculo Polar Ártico (por eso se dice que su latitud es de 66,5º norte, que es la diferencia entre 90º y 23,5º). Entre este paralelo y el Polo Norte no se pondrá el Sol durante todo el tiempo que tarde la Tierra en una rotación completa el día del solsticio de verano. Es el famoso sol de medianoche.

Imagen nº 22: Inclinación de la Tierra

Fuente: http://blogs.20minutos.es/ciencia/post/2008/08/13/aapor-quao-se-producen-estaciones-del-aaao_


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Lo mismo puede razonarse en el hemisferio sur y llegaremos al Trópico de Capricornio y Círculo Polar Antártico. Y entre éste y el Polo Sur disfrutarán de oscuridad completa mientras la Tierra da una vuelta completa ese día.

Imagen nº 23: Inclinación de la Tierra Fuente: http://blogs.20minutos.es/ciencia/post/2008/08/13/aapor-quao-se-producen-

estaciones-del-aaao-

Pero seis meses más tarde los papeles de los hemisferios se invertirán y el Sol se situará perpendicularmente sobre el Trópico de Capricornio.

Para saber más:

en la siguiente página puedes ver más información sobre las estaciones:

http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/1ESO/Astro/contenido12.htm


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4.3) Los eclipses

Un eclipse es el oscurecimiento de un cuerpo celeste por otro. Como los cuerpos celestes no están quietos en el firmamento, a veces la sombra que uno proyecta tapa al otro, por lo que éste último se ve oscuro.

En el caso de la Tierra, la Luna y el Sol tenemos dos modalidades:

• Eclipses de Sol, que consisten en el oscurecimiento del Sol visto desde la Tierra, debido a la sombra que la Luna proyecta. Cuando la luna se interpone entre la tierra y el sol, el cono de su sombra se proyecta sobre una zona de la Tierra, y las personas que habitan en esa zona quedan en la oscuridad, como si fuese de noche, porque la luna eclipsa, tapa al sol. Este astro se ve como cubierto, que no es otra cosa sino la luna. Esto es un eclipse de sol.

Imagen nº 24: Eclipse de Sol. Fuente:

http://www.espacioprofundo.com.ar/verarticulo/%BFComo_se_produce_un_eclipse_de_Sol%

3F.html

• Eclipses de Luna, que son el oscurecimiento de la Luna vista desde la Tierra, debido que ésta se sitúa en la zona de sombra que proyecta la Tierra. Cuando la luna cruza el cono de sombra de la Tierra, desaparece a la vista de los habitantes del hemisferio no iluminado (noche) los cuales pueden presenciar, en su totalidad, el eclipse de luna.

Imagen nº 25: Eclipse de Luna

Fuente: http://www.astrogea.org/foed/efemerides/2003/eclipses%20de%20luna.htm


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El eclipse de sol se produce solamente sobre una pequeña faja de la Tierra, porque la luna, por su menor tamaño, no oculta completamente al sol para la totalidad de la Tierra.

Los eclipses de luna pueden ser de dos tipos: Totales: cuando están en el cono de sombra de la Tierra, y parciales: cuando sólo se introduce parcialmente en la sombra.

Ejercicio 8

Define brevemente los siguientes conceptos:

a) Movimiento de traslación:

b) Movimiento de rotación:

c) Solsticio:

d) Equinoccio:

e) Eclipse:


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5) Estructura de la Tierra

Imagen nº 26: Partes de la Tierra Autor: Desconocido. Licencia: Desconocida

Fuente: http://es.calameo.com/books/00051352432d6776ca3a9

5.1) La atmósfera

La atmósfera es la capa de gases que se encuentran alrededor de la Tierra, protegiéndonos de las radiaciones cósmicas nocivas y permitiendo el desarrollo de la vida. Los gases más abundantes son el nitrógeno (78%), el oxígeno (21%) y dióxido de carbono (0,033%) y en menor medida contiene vapor de agua, gases nobles, hidrógeno y ozono.

Curiosidad

La densidad de la atmósfera disminuye a medida que vamos ascendiendo en altura. Esto es debido a la acción de la gravedad, que atrae la mayor parte de la masa del aire por su propio peso y por tanto, cuanto más ascendemos más ligero es el aire.

Como consecuencia, también es menor la presión del aire conforme ascendemos, ya que la masa de aire que queda por encima de nosotros es menor.


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La atmósfera puede llegar a tener en algunas zonas hasta un espesor de 1000 Km y está dividida en cuatro capas principales:

• Troposfera: la más cercana a la tierra (10 Km), es donde se desarrollan los fenómenos atmosféricos conocidos y la temperatura disminuye al ir ascendiendo dentro de ella. Contiene el 75% de la masa de la atmósfera.

• Estratosfera: llega hasta los 50 Km y es en ella donde existe una mayor concentración de ozono, de gran importancia para la vida en la tierra. Se queda con las radiaciones nocivas emitidas por el sol de alta intensidad, actuando como un filtro y por ello la temperatura aumenta a medida que vamos ascendiendo.

• Mesosfera: Capa comprendida desde los 50 hasta los 80 Km; esta capa recibe todas las radiaciones de alta intensidad.

• Ionosfera (o termosfera) y la exosfera: son las capas externas de la atmósfera, abarcando desde los 80 km hasta el espacio exterior y en ella se alcanzan entre 100º y 300º C de temperatura.

Imagen nº 27: Capas de la Atmósfera

Autor: Desconocido Licencia: Desconocida


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Ejercicio 9

¿Cuál es la composición de la atmósfera terrestre?

Ejercicio 10

¿Dónde será menor la densidad del aire, en la orilla del mar o en la cima de una montaña? ¿Y la presión?

La atmósfera es fuente de vida, pues sin ella la vida en la Tierra no sería posible.

Como hemos visto, el oxígeno forma parte del 21% de la atmósfera y sin el oxígeno presente en el aire, los seres vivos se morirían. Gracias a la respiración celular, los seres vivos obtienen la energía que necesitan para mantenerse vivos, utilizando para ello el oxígeno y expulsando en el proceso dióxido de carbono (CO2).

Por su parte, las plantas se fabrican el alimento mediante la fotosíntesis, usando la energía del sol, el dióxido de carbono del aire y agua y sales del suelo y desprenden oxígeno en el proceso, cerrando un ciclo de renovación y permitiendo el mantenimiento de la vida en la Tierra.

El nitrógeno sin embargo aunque está presente en la atmósfera y entra en nuestros pulmones no sirve para nada, pues el nitrógeno necesario para la vida se obtiene del suelo a través de los alimentos.

La cantidad de vapor de agua de la atmósfera es imprescindible para el desarrollo de los seres vivos. Así las zonas más ricas en biodiversidad del planeta son aquellas que tienen mayores niveles de vapor de agua o humedad.

No hay dudas de que la atmósfera constituye un recurso natural indispensable para la vida, y se clasifica como un recurso renovable. Sin embargo, su capacidad de renovación es limitada, ya que depende de la actividad fotosintética de las plantas.

Ejercicio 11

¿Cuál es la función de cada uno de los gases de la atmósfera?


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5.1.1) La contaminación de la atmósfera

El aire limpio es transparente. Si a la atmósfera le añadimos el humo de los coches, de las fábricas, de las calefacciones, etc. lo oscurecemos, el aire se vuelve opaco y decimos que es aire contaminado. Los gases que contaminan la atmósfera son: dióxido de azufre, dióxido de carbono, óxido de nitrógeno, metano y ozono. Los efectos que estos gases contaminantes provocan en la atmósfera son: el efecto invernadero y el agujero de la capa de ozono.

Imagen nº 28: Contaminación atmosférica; Autor: Desconocido

Fuente: Elaboración propia usando Materiales Virtuales de ESPA-LOE

• El efecto invernadero: El dióxido de carbono, agua, ozono y nitrógeno forman una

capa que permite el paso de los rayos del sol a la corteza terrestre, pero impiden su salida cuando rebotan en la superficie de la tierra, produciendo un calentamiento de la atmósfera más cercana a la tierra. Este efecto puede verse multiplicado por los gases contaminantes que pueden elevar de forma alarmante la temperatura media ambiental de determinados puntos de la corteza. Esto conllevaría a la desaparición de determinadas especies y a la destrucción de los polos. El hielo se fundiría y aumentaría la cantidad de agua, inundando las costas, los valles... Estos son los efectos del llamado EFECTO INVERNADERO.

Imagen nº 29: Efecto Invernadero Autor: Desconocido



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A. Absorción de la radiación emitida por el Sol en las capas atmosféricas. B. Reflexión de la radiación solar absorbida (aproximadamente un 30%). C. Captación de la radiación solar reflejada por los gases invernaderos. D. Expulsión de la radiación solar al espacio.

El ciclo formado por los puntos B y C, es el responsable del aumento en la temperatura de las capas más cercanas a la superficie terrestre.

• El Agujero de la capa de ozono: El ozono es un gas presente en la atmósfera que

nos protege de las radiaciones ultravioletas emitidas por el sol, absorbiendo estas radiaciones y evitando que lleguen hasta la superficie terrestre. El uso incontrolado de productos derivados del cloro (CFCs) utilizados en la industria, fertilizantes, sprays ha provocado la aparición en esta capa de un agujero por la que se filtran las radiaciones ultravioletas, llegando hasta la superficie terrestre.

Imagen nº 30; Agujero capa ozono Autor: Desconocido. Fuente:

http://localhost:51235/ACT_1_B2_T5_Contenidos_Rev_Consej/maiccv2.wikispaces.com

Licencia: Desconocida

Ejercicio 12

¿Cuál es el gas responsable del efecto invernadero y cómo actúa?


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5.2) La hidrosfera

La hidrosfera es la capa de la Tierra formada por agua, ya sea en estado sólido, líquido o gaseoso y que se sitúa sobre la corteza terrestre ocupando tres cuartas partes de la superficie terrestre. La mayor parte de este agua se encuentra en estado líquido, formando los océanos y los mares y en las zonas continentales, formando ríos, lagos y corrientes de aguas subterráneas. En estado sólido lo podemos encontrar en los casquetes polares y en las cumbres de las montañas. En estado gaseoso (vapor de agua) lo encontraríamos en la atmósfera formando las nubes. Aproximadamente el 95% del agua terrestre se encuentra en los mares y océanos y el 5% restante en las zonas continentales. La hidrosfera terrestre es, también, el sustento de la vida. La vida apareció en los océanos, en el agua, y un porcentaje muy alto de todos los seres vivos es agua (entre el 60% y el 75% del peso de los seres vivos es agua). El ciclo del agua o ciclo hidrológico, consiste en un intercambio de agua entre las diferentes partes de la Tierra (Atmósfera-Hidrósfera-Geosfera). Durante el ciclo, el agua pasa por sus distintos estados; sólido (hielo), líquido (agua) y gaseoso (vapor) tal y como vemos a continuación:

• El sol, que dirige el ciclo del agua, calienta el agua de los océanos, la cual se evapora hacia el aire en forma de vapor de agua.

Imagen nº 31: Evaporación

Autor: Desconocido


• Corrientes ascendentes de aire llevan el vapor a las capas superiores de la

atmósfera, donde la menor temperatura provoca que el vapor de agua se condense y forme las nubes.

Imagen nº 32: Condensación

Autor: Desconocido



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• Las corrientes de aire mueven las nubes sobre el globo, las partículas de nube colisionan, crecen y caen en forma de precipitación. Parte de esta precipitación cae en forma de nieve, y se acumula en capas de hielo y en los glaciares, los cuales pueden almacenar agua congelada por millones de años. En los climas más cálidos, la nieve acumulada se funde y derrite cuando llega la primavera.

Imagen nº 33: Precipitación Autor: Desconocido


• La nieve derretida corre sobre la superficie del terreno como agua de deshielo. La

mayor parte de la precipitación cae en los océanos o sobre la tierra, donde, debido a la gravedad, corre sobre la superficie como escorrentía superficial. Una parte de esta escorrentía alcanza los ríos en las depresiones del terreno; en la corriente de los ríos el agua se transporta de vuelta a los océanos. El agua de escorrentía y el agua subterránea que brota hacia la superficie, se acumula y almacena en los lagos de agua dulce.

Imagen nº 34: Escorrentía Autor: Desconocido



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• No toda el agua de lluvia fluye hacia los ríos, una gran parte es absorbida por el suelo como infiltración. Parte de esta agua permanece en las capas superiores del suelo, y vuelve a los cuerpos de agua y a los océanos como descarga de agua subterránea. Otra parte del agua subterránea encuentra aperturas en la superficie terrestre y emerge como manantiales de agua dulce.

Imagen nº 35: Infiltración Autor: Desconocido


• El agua subterránea que se encuentra a poca profundidad, es tomada por las raíces de las plantas y transpirada a través de la superficie de las hojas, regresando a la atmósfera. Otra parte del agua infiltrada alcanza las capas más profundas de suelo y recarga los acuíferos, los cuales almacenan grandes cantidades de agua dulce por largos períodos de tiempo. A lo largo del tiempo, esta agua continua moviéndose, parte de ella retornará a los océanos, donde el ciclo del agua comienza nuevamente.

Imagen nº 36: Ciclo Hidrológico Autor: Desconocido



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Las aguas procedentes de las precipitaciones y que circulan por la superficie terrestre son un agente geológico de primer orden. Estas aguas, en su movimiento, arrastran parte de la roca superficial, provocando su desgaste en un fenómeno conocido como erosión. La erosión provoca la formación de mesetas, valles, llanuras y deltas, en un proceso lento de millones de años, pero que la mano del hombre se puede acelerar mediante su acción en la naturaleza como por ejemplo a través de la deforestación.

La erosión se divide en varias etapas y es generada por la energía que posee el agua en su movimiento:

• Hay una primera etapa en que la erosión mecánica provocada por el agua y los materiales que arrastra es muy intensa, debida a la alta velocidad a la que circulan las aguas.

• En la segunda etapa, denominada de transporte, la erosión mecánica sigue activa pero empieza a actuar la conocida erosión química.

• Finalmente aparece la sedimentación de los materiales transportados, generando nuevos suelos y modificando el paisaje.

Ejercicio 13

¿Cómo se encuentra distribuida el agua en la Tierra?

El agua es imprescindible para el desarrollo de la vida en la Tierra, ya que forma parte de todos los seres vivos que habitan en el planeta. Por lo tanto, se hace imprescindible un buen uso del agua y una gestión sostenible de los recursos hídricos disponibles. Los seres humanos utilizamos el agua para diversos usos:

• Consumo doméstico: El agua que utilizamos para nuestra alimentación, aseo personal, higiene, limpieza, etc.

• Consumo público: La utilizada para interés general como en fuentes, riegos de parques, limpieza de calles, etc.

• Agricultura y ganadería: Para el riego de los campos y la alimentación y crecimiento de animales.

• Industrial: El agua utilizada en los procesos industriales para fabricación y elaboración de productos.

• Fuente de energía: El agua utilizada para la producción de energía eléctrica o para mover máquinas.

Después de estos usos los recursos quedan "contaminados", lo que requiere que estas aguas sean tratadas y gestionadas para poder ser utilizadas de nuevo. He aquí la razón principal para realizar una gestión sostenible de los recursos disponibles, que permitan a todas las personas y a las generaciones futuras disponer del agua necesaria sin que se vean afectadas las reservas existentes ni el medio ambiente. Para ello se pueden tomar medidas tanto individuales como globales que nos permitan alcanzar esos objetivos:


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INDIVIDALES GLOBALES

DUCHARNOS EN VEZ DE BAÑARNOS EVITAR PÉRDIDAS Y FILTRACIONES EN TUBERÍAS

UTILIZAR CISTERNAS DE MEDIA CARGA DEPURACIÓN DE AGUAS RESIDUALES

EVITAR EL GOTEO DE GRIFOS EVITAR SOBREEXPLOTACIÓN ACUÍFEROS EN AGRICULTURA

USAR LAVADORAS Y LAVAVAJILLAS CON CARGA COMPLETA

CONSTRUCCIÓN DE PLANTAS DESALINIZADORAS

Curiosidad

Se calcula que en el planeta hay disponibles 1400 millones de km cúbicos de agua, de los cuales sólo el 3% (sobre 42 millones de km cúbicos) es agua dulce y el resto agua salada.

Además tan sólo el 0,3% de ese agua dulce está disponible para su uso en ríos y lagos, de ahí la importancia de conservarla e impedir su contaminación.

Ejercicio 14

Explica qué es la erosión provocada por el agua y sus etapas.


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5.2) La hidrosfera

Imagen nº 37 capas de la Tierra Autor: Desconocido. Licencia: Desconocida

Fuente: https://pllanos-geografia.blogspot.com.es/

El planeta se compone de distintas capas con distintas características cada una. Si partimos desde la superficie hacia el interior nos encontramos con las siguientes capas:

- CORTEZA o litosfera: Es la capa más externa, la que está en contacto con la atmósfera; donde y está formada por silicatos ligeros, carbonatos y óxidos. Es más gruesa en la zona de los continentes y más delgada en los océanos. Es una zona geológicamente muy activa ya que aquí se manifiestan los procesos internos debidos al calor terrestre, pero también se dan los procesos externos (erosión, transporte y sedimentación) debidos a la energía solar y la fuerza de gravedad. Se diferencia una corteza continental y una corteza oceánica. Tiene un grosor medio de 30 km, aunque varía entre un mínimo de 5 km y un máximo de 70 km.

- MANTO o mesosfera: Llega desde la corteza hasta una profundidad de 2.900 km. Es una capa sólida, aunque entre los 200 km y los 800 km presenta cierta plasticidad. Esta zona más plástica se conoce como astenosfera y se la considera como el motor interno de la Tierra. Está formado por silicatos, más densos en el interior (manto inferior) y menos hacia el exterior (manto superior). Es una capa muy activa ya que se producen fenómenos de convección de materiales, es decir, los materiales calientes tienden a ascender desde el núcleo, pudiendo alcanzar la superficie y cuando los materiales se enfrían tienden a hundirse de nuevo hacia el interior, como un ciclo de materia llamado Ciclo de Convección. Al moverse estos materiales producen el desplazamiento de los continentes y todo lo que esto lleva asociado: terremotos, vulcanismo, creación de islas y cordilleras, etc.

- NÚCLEO: También llamado endosfera, es la capa más interna de la Tierra. Está formada por metales como el hierro y el níquel y es bastante peculiar por el hecho de que se encuentra fundida, al menos parcialmente (el núcleo externo), debido a las altas temperaturas que existen en esa zona. Este calor interno es el responsable


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de los procesos internos que se dan en la Tierra, alguno de los cuáles tiene manifestaciones en la superficie, como son los terremotos, el vulcanismo o el desplazamiento de los continentes. Se divide en:

• Núcleo Externo: desde el límite con el Manto hasta los 5.100 km de profundidad. Es de carácter metálico y muy denso. Formado por hierro, níquel y azufre. Debido a las condiciones de presión y temperatura en esta zona, el Núcleo Externo se encuentra en estado líquido.

• Núcleo Interno: ocupa la esfera central de la Tierra. Como el Externo, es también metálico, formado por hierro y níquel. La presión que soporta es tan grande que, aunque la temperatura puede superar los 6.000º C, se encuentra en estado sólido. Es la capa más densa de la Tierra.

Imagen nº 38: Capas de la Tierra Autor: Desconocido. Licencia: Desconocida

Fuente: http://geologia-up.blogspot.com.es/2011/03/estructura-interna-de-la-

tierra.html

Llamamos agentes o procesos geológicos a todos aquellos que modifican, alteran o transforman la superficie del Planeta. Existen dos tipos de procesos geológicos, internos y externos:

Procesos geológicos externos: Son los procesos que actúan sobre las rocas de la superficie, modelando el terreno y modificando la superficie. Se produce de cuatro etapas:

- Meteorización: Se producen los cambios por el efecto de los gases de la atmósfera sobre la roca junto a los cambios de temperatura.


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- Erosión: Es el desgaste de las rocas superficiales producido por el efecto del agua y el aire sobre ellas.

- Transporte: Proceso por el cual los fragmentos erosionados son llevados a zonas más bajas por diversos medios (agua, aire, etc)

- Sedimentación: Deposito de los fragmentos transportados en las zonas bajas y en los océanos, que forman nuevas capas.

Imagen nº 39: Erosión Autor: Desconocido

Fuente: Modelados Terrestres Licencia: Desconocido

Procesos geológicos internos: Provocan la aparición de las montañas, los valles, las islas, etc.

La corteza terrestre está fracturada en diferentes bloques, denominados placas tectónicas, que se encuentran situadas sobre el manto. Los movimientos del material fluido que forman el manto provoca el movimiento de estas placas, en un movimiento de millones de años, que ha ido dando la forma que hoy conocemos a la superficie de nuestro planeta y ha originado los continentes y los relieves en un proceso que está en continuo cambio.

En el interior de la Tierra se producen fuerzas internas que presionan la corteza terrestre en sentido horizontal y vertical. Estas presiones son tan intensas que son capaces de fragmentar la corteza y sacar a la superficie materiales que están en el interior y que son la causa de los plegamientos y las fallas, creando desigualdades en la superficie terrestre. También provocan los terremotos y las erupciones volcánicas.

• Terremotos: El lento movimiento de las placas tectónicas transmite a las rocas gran cantidad de energía que estas acumulan hasta que no resisten más y se rompen. Con la ruptura de las rocas se libera toda esa energía acumulada, en forma de ondas sísmicas, y se producen los terremotos. Si el origen está bajo el mar se denominan maremoto o tsunami, provocando olas gigantescas.


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• Volcanes: Son puntos calientes a través de los cuales el magma situado bajo la litosfera y sometido a enorme presión sale a la superficie a través de grietas provocadas por las tensiones entre las placas. La forma de un volcán está determinada por el tipo de magma que lo alimenta. La mayoría de la actividad volcánica se concentra alrededor de los límites de contacto entre placas tectónicas.

Imagen nº 40: Partes del Volcán Autor: Desconocido. Licencia: Desconocida

Fuente: https://www.thinglink.com/scene/733356599518691329

Para saber más

¿Cómo se miden los Terremotos?

De los terremotos se puede medir su magnitud y su intensidad. Son conceptos distintos y conviene no confundirlos.

La intensidad valora los efectos sobre las personas, los objetos, el terreno, etc y se basa en la observación.

La magnitud se relaciona con la causa del terremoto y mide la cantidad de energía liberada. Se expresa mediante la escala de Richter y sus valores, que no tienen límites ni superior ni inferior, se obtienen de datos recogidos sobre el terreno. Es una escala exponencial, con lo cual un terremoto de magnitud 4 es 100 veces superior a uno de magnitud 2.

MAGNITUD ESCALA RICHTER EFECTOS DEL TERREMOTO

MENOS DE 3,5 GENERALMENTE NO SE SIENTE, PERO ES REGISTRADO

DE 3,5 A 5,5 SE SIENTE, PERO CAUSA DAÑOS MENORES

DE 5,4 A 6,0 OCASIONA DAÑOS LIGEROS A EDIFICIOS

DE 6,1 A 6,9 PUEDE OCASIONAR DAÑOS SEVEROS EN ZONAS MUY POBLADAS

DE 7,0 A 7,9 TERREMOTO MAYOR. CAUSA GRAVES DAÑOS

8 O MAYOR GRAN TERREMOTO. DESTRUCCIÓN TOTAL A ZONAS CERCANAS


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Los seres vivos y en especial los hombres se pueden considerar como un agente geológico externo más. A lo largo de la historia, han modificado la superficie del planeta al interactuar con el medio; sin embargo, el hombre en su desarrollo tecnológico, ha modificado el aspecto del planeta y continúa haciéndolo en la actualidad a través de distintas actividades:

• Agricultura y ganadería: En su necesidad de obtener alimentos para una población cada vez mayor, el hombre transforma grandes cantidades de terreno, deforestando grandes superficies de bosques, para satisfacer estas necesidades. Los terrenos sin vegetación quedan desprotegidos y expuestos a los efectos de la erosión.

• Explotación recursos: La necesidad de más recursos naturales, sobre todo minerales, rocas y combustibles fósiles implica la transformación de grandes masas de terreno en minas, escombreras, etc.

• Construcción de infraestructuras: La construcción de todo tipo de infraestructuras desde la antigüedad (acueductos, pirámides, catedrales, etc) hasta hoy (autopistas, aeropuertos, ferrocarril, etc) ha cambiado la fisionomía del planeta.

Ejercicio 15

Repasa las capas de la Tierra:


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Ejercicio 1

Como sabes, la notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños. Ahora lo podremos aplicar para darnos cuenta del tamaño del Universo, pues sus dimensiones son tan grandes que las unidades de medida que utilizamos habitualmente son poco prácticas. Por ejemplo, la galaxia Andrómeda se encuentra a una distancia de 21 trillones de kilómetros de nosotros, es decir, 21.000.000.000.000.000.000 kilómetros.

5.1. Ahora, utilizando tu calculadora y la notación científica expresa en Km. las siguientes distancias dadas en años luz:

a) Alfa-Centauri 4.3 años-luz = 9,461.1012 x 4.3= 4.06823. 1013 Km

b) Estrella Polar 300 años luz = 9,461.1012 x 300= 2.8383. 1015 Km

Ejercicio 2

Define:

a) Geocentrismo.

b) Heliocentrismo.

a) Geocentrismo: Teoría por la que el universo se componía de la Tierra, alrededor de la cual giraban todos los astros ubicados en esferas cristalinas. que giraban en torno a la Tierra. Su máximo exponente fue Claudio Ptolomeo, en el siglo II.

b) Heliocentrismo: Nicolás Copérnico en el siglo XV propuso el modelo según el cual, el sol se ubica en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor al igual que los demás astros.

Ejercicio 3

Nombra todos los componentes del Sistema Solar:

El Sol, ocho planetas, cuatro rocosos (Mercurio, Venus Tierra y Marte) y cuatro gaseosos (Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno), los satélites de estos (como la Luna), planetas enanos (como Plutón), asteroides y cometas.

Ejercicio 4

El mayor planeta del Sistema solar es:

a) Marte

X b) Júpiter

c) Saturno


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Ejercicio 5

¿Cuál de los siguientes planetas es gaseoso?

Ejercicio 6

a) ¿Qué son las mareas? La marea es el ascenso y descenso periódico de las aguas del mar. Se trata de un efecto producido por la atracción gravitatoria de la Luna y del Sol sobre el agua y la Tierra.

b) ¿Cómo se producen las fases de la Luna? Como el periodo de rotación y traslación de la Luna es de 28 días siempre muestra la misma cara a la Tierra. Dependiendo de que parte de su superficie esté iluminada por el Sol tendremos Luna llena (100%) Cuarto menguante y Cuarto creciente (50%) o Luna Nueva (0%)

Ejercicio 7

¿Cómo se llaman los movimientos de la Tierra?

Rotación: Movimiento de la Tierra sobre si misma alrededor de un eje.

Traslación: Movimiento de la Tierra alrededor del Sol.

Ejercicio 8

Define brevemente los siguientes conceptos:

a) Movimiento de traslación:

b) Movimiento de rotación:

c) Solsticio:

d) Equinoccio:

e) Eclipse:

a) Movimiento de traslación: La Tierra se mueve alrededor del Sol, impulsada por la gravitación, en 365 días aproximadamente.

b) Movimiento de rotación: Cada 24 horas la Tierra da una vuelta completa alrededor de su eje.

c) Solsticio: El eje se encuentra inclinado 23,5º, por lo que los rayos solares caen verticalmente sobre el trópico de Cáncer (verano en el hemisferio norte) o de Capricornio (verano en el hemisferio sur).

d) Equinoccio: El eje de rotación de la Tierra es perpendicular a los rayos del Sol, que caen verticalmente sobre el ecuador.

e) Eclipse: Un eclipse es el oscurecimiento de un cuerpo celeste por otro.

a) Venus

b) Tierra

X c) Urano


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Ejercicio 9

¿Cuál es la composición de la atmósfera terrestre?

Nitrógeno en un 78%, oxígeno en un 21% y en menores cantidades CO2, vapor de agua, gases nobles hidrógeno y ozono.

Ejercicio 10

¿Dónde será menor la densidad del aire, en la orilla del mar o en la cima de una montaña? ¿Y la presión?

Tanto la densidad como la presión disminuyen con la altura, con lo cual serán menores en la cima de una montaña.

Ejercicio 11

¿Cuál es la función de cada uno de los gases de la atmósfera?

El nitrógeno es inerte y no se puede usar. El oxígeno sirve para la respiración de animales y plantas y el dióxido de carbono sirve a las plantas parar la fotosíntesis.

Ejercicio 12

¿Cuál es el gas responsable del efecto invernadero y cómo actúa?

Es el dióxido de carbono (CO2). Permite que los rayos de sol penetren en la atmósfera pero impide que vuelvan a escapar `produciendo un calentamiento de la atmósfera y un aumento de la temperatura media del planeta.

Ejercicio 13

¿Cómo se encuentra distribuida el agua en la Tierra?

La mayor parte en los océanos (un 95%), el otro 5% aproximadamente en zonas continentales formando los Polos glaciares y nieves perpetuas, ríos, lagos y aguas subterráneas. Hay también una pequeña parte en forma de vapor de agua formando las nubes.

Ejercicio 14

Explica qué es la erosión provocada por el agua y sus etapas.

- Sólido: En los polos, glaciares y nieves perpetuas.

- Líquido en ríos, lagos mares y océanos.

- Gaseoso en nubes y géiseres.


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Ejercicio 15

Repasa las capas de la Tierra:

Corteza o litosfera: Es la capa más externa, la que está en contacto con la atmósfera; y está formada por silicatos ligeros, carbonatos y óxidos.

• Manto o mesosfera: Llega desde la corteza hasta una profundidad de 2.900 km. Es una capa sólida, aunque entre los 200 km y los 800 km presenta cierta plasticidad (astenosfera) y está formado por silicatos.

• Núcleo: También llamado endosfera, es la capa más interna de la Tierra. Está formada por metales como el hierro y el níquel. Se divide en:

o Núcleo Externo.

o Núcleo Interno.

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