EULEROVA FORMULAI TOPOLOŠKA

KLASIFIKACIJA POVRŠI

1. OSNOVNO O GRAFOVIMA

G

G

G

VVE Definicija 1: Graf G je uređena trojka nepraznih skupova V, E, i pri čemu je

V skup vrhova grafa G, relacija skup grana grafa G i funkcija

koja svakoj grani iz G pridružuje neuređen par vrhova od G.

Pišrmo G = (V(G), E(G), ) , a često i kraće G = (V,E) .

Ako je (u,v) E, tj. ako su elementi u,v skupa V u relaciji E, kažemo da postoji

direktan put od čvora u do čvora v.

Primjeri grafova

Granu (ivicu) grafa koja spaja čvor sa samim sobom nazivamo petlja.

Grafovi se dijele na konačne i beskonačne, u ovosnosti o tome da li je skup čvorova

konačan ili beskonačan.

Na slici je prikazan graf G = (V,E) , gdje je

na tri ekvivalentna načina :

xxxx 4321 ,,,V

xxxxxxxxxxxxx,x 34231341312111 ,,,,,,,,,,,,E

Paru čvorova i odgovaraju dvije grane i pa se na crtežu mogu povući dvije linije između čvorova i ili jedinstvena linija koja se dvostruko orjentiše ili se uopšte ne orjentiše.

x1 x3 x,x 31 x,x 13

x3 x1

Definicija 2 : Graf je podgraf grafa G = (V,E) ako i samo ako je

i je restrikcija od E na podskupu .

Definicija 3 : Graf G = (V,E) je neorjentisan ili neusmjeren ako i samo ako je relacija E simetrična, tj. akko za svako

.

Definicija 4 : Graf G = (V,E) je orjentisan ili usmjeren ako i samo ako nije neorjentisan, tj. akko je relacija E antisimetrična.

)E,V(G VV E

Vvu,

Euv,Evu,

Primjer neorjentisanog i orjentisanog grafa

V

U prvom primjeru ivice su neusmjerene tako da se po svakoj ivici može “ići u oba smjera”.Na drugom primjeru vidimo da ivice grafa imaju svoj smjer. Na slikama se smjer označavastrelicama.

Pored orjentisanih i neorjentisanih grafova, postoje i grafovi koji nisu ni orjentisani nineorjentisani.Multigrafovi su grafovi kod kojih se između dva čvora nalazi više od jedne grane isteorjentacije (Slika a). Kod multigrafova su moguće i višestruke petlje.

Slika a

Definicija 5 : Stepen vrha je broj ivica sa kojima je vrh spojen. Kod usmjerenih grafova

izlazni stepen je broj ivica koje “izlaze “ iz vrha, a ulazni stepen je broj ivica koje “ulaze”

u vrh.

Na slici b vidimo da je stepen vrha b 3. Stepen vrha a na slici c je 3, ulazni stepen je 1 a

izlazni 2.

Vrlo često se javlja potreba da svakoj ivici e grafa G pridružimo realan broj w(e) koji

nazivamo težina ivice e. Takav graf zovemo težinski graf.

Slika bSlika c

Definicija 6 : Za čvorove u i v grafa G kažemo da su susjedni ako postoji grana u tom

grafu koja ih spaja.

Za dvije grane grafa G kažemo da su susjedne ako postoji čvor u tom grafu koji im je

zajednički.

Na slici su susjedni čvorovi u i v, v i x, x i y, yi z, v i y, z i u.

Susjedne grane su na primjer (u,v) i (v,x) jer im je čvor v zajednički.

Definicija 7 : Konačan niz čvorova čini put u grafu G = (V,E) akko za svako

važi . Broj n nazivamo dužina tog puta.

u v

z y

x

vvv n10 ,,, n,1,k E,vv k1k

Definicija 8 : Za dva čvora u i v kažemo da su povezani akko postoji put tako da je i .

Neorjentisani graf G je povezan ako i samo ako su svaka dva njegova čvora povezana, tj. akko postoji put između svaka dva čvora. U suprotnom, za graf G kažemo da je nepovezan.

Put kod koga je posljednji član ujedno i prvi nazivamo ciklus. Povezan neorjentisan graf je drvo akko ne sadrži ciklus.

Definicija 9 : Ivica (u,v) povezanog neorjentisanog grafa G = (V,E) je most ako i samo ako graf G = (V, E\{(u,v)}) nije povezan.

Definicija 10 : Graf je planaran akko se može nacrtati u ravni tako da se nikoje dvije ivice međusobno ne sijeku.

vvv n10 ,,, vu 0 vv n

Povezan i nepovezan graf

vvv n10 ,,,

Svaki graf se može postepeno “izgraditi” dodajući jednu ivicu za drugom. (*)

Postavlja se pitanje : da li u svakom povezanom grafu postoji takva numeracija ivica da se pri postupnom crtanju grafa uvijek dobiju povezani grafovi? Odgovor je potvrdan.

Dakle, svaki povezan graf može se dobiti na sljedeći način: izabere se jedna ivica, zatim joj se pripaja još jedna ivica, tako da se ponovo dobija povezan graf, zatim joj se pripaja još jedna ivica (tako da se ponovo dobija povezan graf) itd.

Kontura u grafu je naziv za zatvoren lanac ivica čija unija predstavlja liniju homeomorfnu kružnoj liniji.

2. EULEROVA KARAKTERISTIKA GRAFA

Kontura

Povezan graf koji ne sadrži ni jednu konturu naziva se drvo (stablo).

Teorem : Za proizvoljno drvo koje ima t tjemena i i ivica vrijedi:

(G) = t – i = 1 , (1)

(G) – Eulerova karakteristika grafa.

Dokaz : indukcijom po broju ivica i. Za i = 1 tvrdnja vrijedi jer drvo ima jednu ivicu i dva tjemena. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za drvo koje ima n ivica. Dokažimo da je tvrdnja tačna za drvo G koje ima n+1 ivica.

Drvo

Kako je graf G povezan, on se na osnovu (*) može dobiti iz nekog povezanog grafa

dodavanjem jedne ivice r. Graf sadrži n ivica i ne sadrži konturu, tj. on je drvo, pa po

pretpostavci, za vrijedi tvrdnja teorema.

Primjetimo da je samo jedan kraj dodane ivice r , tjeme grafa . U suprotnom slučaju,

uzimajući u G elemantaran lanac, spajajući tjemena a i b i dodajući ovom lancu ivicu r,

dobili bismo konturu u grafu G :

Dakle, dodavanjem ivice r grafu G, pojavljuje se jedna nova ivica i jedno novo tjeme :

G

GG

G

G

r

a

b

rb

a

Graf G ima n+2 tjemena i n+1 ivica pa vrijedi (G) = n+2 -n-1 = 1.

Dakle, Eulerova karakteristika proizvoljnog drveta jednaka je 1.

Neka je sada G povezan graf koji nije drvo. Tada u G postoji kontura. Neka je bilo koja

ivica koja ulazi u ovu konturu (slika 1).

Ako iz grafa G odstranimo ivicu , dobit ćemo povezan graf (jer su krajevi ostranjene

ivice spojeni u elementarnim lancem) čija su tjemena ista kao kod grafa G.

U slučaju da još nije drvo, tj. i u ima kontura, postupak se ponavlja – uzmemo

proizvoljnu ivicu ove konture i , odbacivši je, dobijemo povezani graf s istim tjemenima

kao i kod G itd. (slika 2)

r1

slika 1

r1

r1 Gr1 G

G G

G

slika 2

Dakle, nakon što odstranimo neku ivicu dobit ćemo graf G* koji sadrži sva tjemena

grafa G i nema konture, tj. koji je drvo. Ono se naziva maksimalno drvo grafa G, a ivice

se nazivaju spojnice.

Ako je t broj tjemena grafa G, onda maksimalno drvo G* sadrži ta ista tjemena. Prema

(1) G* ima t-1 ivica, pa je zbog toga broj ivica grafa G jednak t-1+k ( da bi se iz G* dobio graf G, treba “vratiti” k odstranjenih ivica – spojnica. Dakle,

(G) = t- (t-1+k) = 1-k

Kako je k0, za proizvoljni povezani graf G važi odnos : (G)≤1 .

Jednakost vrijedi akko je G drvo.

r2r1

rk

r,,r,r k21

Radi se o formuli koja povezuje broj tjemena t, ivica i i broj strana s konveksnog poliedra,

odnosno vrijedi sljedeći teorem:

Teorem : U konveksnom poliedru za broj tjemena t, broj ivica i i broj strana s vrijedi formula: t – i + s = 2.

Primjer : n-strana prizma ima 2n tjemena, 3n ivica i n+2 strana :

2n-3n+n+2 = 2

6 – 9 +5 = 2

3. EULEROVA FORMULA ZA POLIEDRE

Trostrana prizma

5 – 8 + 5 = 2

Dokaza Eulerove formule ima mnogo (iako sam Euler nije dao precizan dokaz).

Prikazat ćemo jedan od elementarnijih: Nacrtajmo u ravni mrežu ivica poliedara. Ovakva mreža ima isti broj tjemena i ivica

kao i posmatrani poliedar, te onoliko strana na koliko je područja podijeljena ravan

(brojeći i vanjsko, neograničeno područje).

Primjer : n-strana piramida ima n+1 tjemena, 2n ivica i n+1 strana:

n+1-2n+n+1=2

Četverostrana piramida

tetraedar heksaedar oktaedar dodekaedar ikosaedar

graftetraedra

grafheksaedra

grafoktaedra

grafdodekaedra

grafikosaedra

Ako neko od ograničenih područja nije trougao, nacrtamo njegovu dijagonalu – time se broj ivica i strana povećava za 1, pa se vrijednost izraza t-i+s ne mijenja. Postupak se ponavlja dok sva unutarnja područja ne budu trouglovi (vršimo triangulaciju).

Pretpostavljamo da se svake dvije unutarnje tačke mogu povezati putem koji nema zajedničkih tačaka s rubom (slika 3) . (☺)

Uočimo jedan rubni trougao. On ima jednu (slika 4) ili dvije vanjske ivice (slika 5).

Uklanjanjem tog trougla, u prvom slučaju i i s se smanjuju za jedan, dok se t ne mijenja, a u drugom slučaju se t i s smanjuju za jedan a i za dva. U oba slučaja vrijednost izraza t-i+s ostaje nepromijenjena.

slika 3

U nekom trenutku ostat će samo jedan trougao, tj. tri tjemena, tri ivice i dva područja. Dakle, na kraju cijelog postupka je t-i+s = 2, a kako se postupkom nije mijenjala vrijednost tog izraza, isto je vrijedilo i za polaznu trianguliranu mrežu pa tako i za polazni poliedar.

Indukcijom po broju trouglova pokazuje se da uvijek postoje barem 2 rubna trougla koje možemo ukloniti a da se navedeno svojstvo (☺) ne naruši.

slika 4 slika 5

Poopćenje Eulerove formule :

gdje je : k – broj “ rupa “ kroz poliedar

m – broj njegovih prstenastih strana

Ovu je realciju prvi otkrio Jean L’Huilier 1812. g.

Primjer 1: t = 16, i = 24, s = 10

k = 1, m = 2

16 – 24 + 10 = 2

Primjer 2 : t = 16, i = 32, s = 16

k = 1, m = 0

16 – 32 +16 = 0

mk22sit

Primjer 3 : t = 16, i = 24, s = 11

k = 0, m = 1

16 – 24 + 11 = 3

Primjer 4 :

t = 16, i = 28, s = 14

k = 0, m = 0

16 – 28 +14 = 2

Pokažimo pomoću Eulerove formule da postoji samo 5 pravilnih ( Platonovih ) tijela.

Strane pravilnog poliedra su podudarni pravilni mnogouglovi, recimo n-touglovi.

U svakom tjemenu se sastaje isti broj ivica, recimo k. Naravno, tada se u svakom

tjemenu sastaje k strana.

Kako svaka strana ima n tjemena , a u svakom tjemenu se sastaje k strana, slijedi :

ns = kt, odnosno t = ns/k.

Slično zaključujemo da vrijedi : ns = 2i, odnosno i = ns/2, jer svaka ivica pripada

dvjema stranama.

Uvrštavanjem u Eulerovu formulu dobivamo:

ns/k – ns/2 + s = 2

s = 4k/(2n +2k -nk)

t = 4n/(2n+2k-nk)

i = 2nk/(2n+2k-nk)

Kako ovi brojevi moraju biti pozitivni, mora vrijediti 2(k+n) > nk. Također mora biti n3 i k3.

3.1. PRAVILNI POLIEDRI

Pretpostavimo da je k ≤ n .

Tada : iz 4n 2(k+n) > nk slijedi k < 4 , tj. k = 3

iz 2(3+n) > 3n slijedi n < 6 .

Obrnuto, iz k n slijedi n=3 i k<6.Stoga su za (n,k) jedine mogućnosti : (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)

Simbol (n,k) naziva se Schläflijev simbol.

Vidimo da za svaki pravilni poliedar važi jednakost : t – i + s = 2.

Naziv poliedra n k Broj tjemena Broj ivica Broj strana

TETRAEDAR 3 3 4 6 4

HEKSAEDAR 4 3 8 12 6

OKTAEDAR 3 4 6 12 8

DODEKAEDAR 5 3 20 30 12

IKOSAEDAR 3 5 12 30 20

3.2. POLUPRAVILNI POLIEDRI

Eulerovu formulu možemo koristiti pri proučavanju polupravilnih poliedara. Strane polupravilnih

poliedara su pravilni mnogouglovi, ali dvije različite vrste.

Npr. “nogometna lopta” se sastoji od pravilnih petouglova i šestouglova, pri čemu se u svakom

tjemenu sastaju jedan petougao i dva šestougla. Znajući samo to, odredit ćemo broj tjemena “lopte” :

Označimo ukupan broj petouglova sa m, a ukupan broj šestouglova na lopti sa n. Tada je s = m + n, i = (5m + 6n)/2, t = (5m + 6n)/3 . Iz Eulerove formule slijedi da je m = 12. Kako svako tjeme pripada tačno jednom petouglu, ukupan broj tjemena je 5m = 60.U svakom tjemenu se sastaju 2 šestougla, pa je broj tjemena jednak 6n/2 = 60 , tj. n = 20.Dakle, “nogometna lopta” se sastoji od 12 petouglova, 20 šestouglova, 60 tjemena i 90 ivica.

Eulerova formula za trodimenzionalne poliedre je poopćenje trivijalne formule za mnogouglove :

t – i = o. Postavlja se pitanje možemo li poopćiti Eulerovu formulu na četvero- i višedimenzionalne politope.

Odgovor je : možemo. Ako sa označimo broj tjemena, sa broj ivica, i općenito sa broj

k-dimenzionalnih strana n-dimenzinalnog politopa, onda vrijedi :

Dakle, u prostorima parne dimenzije suma je 0, a u prostorima neparne dimenzije suma je 2.

Formulu je lako provjeriri za simplekse i paralelotope:

Simpleks sa 5 tjemena A,B,C,D,E je četverodimenzionalno tijelo koje ima 10 ivica (AB,AC,...,DE), 10 dvodimenzionalnih

strana

(ABC,...) i 5 trodimenzionalnih strana (ABCD,ABCE,ABDE,

ACDE i BCDE).

Navedena suma iznosi : 5 – 10 +10 – 5 = 0.

3.3. VIŠEDIMENZIONALNI PROSTORI

N 0 N 1 N k

1111

0

nn

kk

k

N

Paralelotop je analogon paralelograma. Četverodimenzionalna kocka predočena u dvije

dimenzije izgleda ovako :

Ona ima 16 tjemena, 32 ivice, 24 dvodimenzinalne strane i 8

trodimenzionalnih strana.

16 – 32 + 24 – 8 = 0

Primjetimo da je bilo koja strana, svakog od posmatranih poliedara homeomorfna

krugu. Površ svakog od tih poliedara (ili uopšte bilo kog konveksnog poliedra)

homeomorfna je sferi. Ako je O proizvoljna unutrašnja tačka poliedra, a S je sfera s

centrom O, koja u sebi sadrži ovaj poliedar, onda projekcija površi poliedra na sferu S iz

centra O predstavlja traženi homeomorfizam.

Eulerov teorem : Za svaki poliedar čija je površ homeomorfna sferi a svaka strana

homeomorfna krugu, važi jednakost:

t –i + s = 2 (*)

Ovom teoremu može se dati čisto topološka formulacija.

U tom cilju primjetimo da sva tjemena i ivice poliedra obrazuju povezan graf koji dijeli

površ poliedra na posebne strane (tj. djelove homeomorfne krugu).

Dobivamo sljedeću tvrdnju :

Neka je na sferi (ili njoj homeomorfnoj površi) nactan povezan graf G koji ima t tjemena i i ivica koji dijeli sferu na s oblasti (strana). Tada važi jednakost (*).

4. POVRŠI

Slika 1 prikazuje “knjigu sa tri lista”.

U blizini tačaka x,y,z ova figura izleda različito. Okolina tačke y ima oblik polukruga, pri

čemu tačka y leži na njegovoj granici. U ovom slučaju se kaže da tačka y leži na kraju

figure.

Okolina tačke z se sastoji od tri polukruga koji su spojeni po zajedničkom dijametru – kaže

se da se na ovom mjestu figura grana (tj. nekoj njenoj liniji primiću se tri ili više “listova”

posmatrane figure).

Tačka x ima okolinu u obliku kruga, pri čemu tačka x leži unutar kruga – ovdje figura

nema kraja niti grananja.

Slika 1

Figura kod koje svaka tačka x ima okolinu homeomorfnu krugu (unutar kojeg leži tačka x) naziva

se površ.

Površ nema krajeva ni grananja (npr. sfera i torus su površi).

Posmatraju se i površi s krajem – one imaju kraj ali nemaju grananja (npr. krug je površ sa krajem;

sfera u kojoj je izrezano nekoliko kružnih otvora (Slika 2) također je površ sa krajem.

Ako se na torusu izreže kružni otvor, dobija se površ sa krajem koja se naziva ručka (Slika 3).

Slika 2

Slika 3

Intaresantan primjer površi sa krajem opisan je u radovima njemačkih matematičara

Möbiusa i Listinga. Ona se dobije na sljedeći način (Slika 4):

Slika 4

Traka pravougaonog oblika (a) jedanput se uvrne (b) i zatim se krajevi zalijepe. Dobijena površ sa krajem (d) naziva se Möbiusova traka.Ova površ ima samo jednu stranu. Na primjer, pomičući četkicu po Möbiusovoj traci, doći ćemo do istog mjesta sa kojed smo počeli bojanje, ali sa suprotne strane.Pomjerajući četkicu dalje, obojit ćemo cijelu traku i uvidjet ćemo da kod nje ne postoji “druga strana” (Slika 5).

Slika 5

U svakoj tački Möbiusove trake mogu se povući dva suprotna vektora, normalna na nju u

toj tački, koji se nazivaju se normale na Möbiusovu traku (Slika 6).

Izaberimo jednu od tih normala, recimo normalu u nekoj tački a i počnimo pomjerati tačku

a zajedno s normalom po traci. Kada tačka a obiđe cijelu traku, normala koja se pokreće

preći će, ne u početni položaj, nego u suprotni. Dakle, na Möbiusovoj traci postoji takav

zatvoreni put (obilazak) da pri prolasku ovim putem, normala na površ dolazi u položaj

koji je suprotan početnom. Površi koje imaju ovakve obilaske nazivaju se jednostrane.

Slika 6

Ako na površi nema obilazaka koji mijenjaju orijentaciju, ona se naziva orijentabilna ili

dvostrana, ako ima, naziva se neorijentabilna ili jednostrana. Orijentabilnost znači da se

cijela površ može pokriti malim kružnim linijama i na njima izabrati takvi smjerovi da

bliske kružne linije budu jednako orijentisane.

4.1. EULEROVA KARAKTERISTIKA POVRŠI

Neka je Q površ (s krajem ili bez kraja, dvostrana ili jednostrana), koja dopušta podjelu na

mnogouglove – to znači da se na površi može “nacrtati” graf koji ju dijeli na konačan

broj djelova, homeomorfnih krugu. Označimo broj tjemena sa t, broj ivica grafa sa i a broj

mnogouglova na koje je Q podijeljen ovim grafom sa s .

Broj (Q) = t – i + s , naziva se Eulerova karakteristika površi Q.

Strogo govoreći, ovaj broj je određen izborom podjele površi Q na mnogouglove, ali ipak

Eulerov teorem pokazuje da za površ Q, homeomorfnu sferi, Eulerova karakteristika ne

zavisi od izbora podjele na mnogouglove : (Q) = 2 .

Dokažimo da za bilo koju površ Q, njena Eulerova karakteristika ne zavisi od izbora

podjele na mnogouglove, nego je određena samom površi:

Neka su na površi Q “nacrtana” dva grafa i , od kojih svaki dijeli površ na mnogouglove. Broj tjemena, ivica i strana podjele, određene grafom označimo sa

, a odgovarajuće brojeve podjele, određene grafom sa . Grafovi i mogu se presijecati u beskonačno mnogo tačaka. Ipak,

pomičući graf , možemo postići da se i presjecaju samo u konačno mnogo tačaka.

Ako je graf nepovezan, onda “pomičući” grafove i može se postići da oni imaju zajedničke tačke i , prema tome, da njihova unija bude povezana. Dakle, možemo pretpostaviti da se grafovi sijeku u konačnom broju tačaka i da imaju povezanu uniju.

Neka su nova tjemena sve tačke presjeka grafova i i sva tjemena ovih grafova. Zaključujemo da je konačan povezan graf.

Označimo sa t i i broj tjemena i ivica grafa , a sa s broj strana na koje on dijeli površ Q. Ideja se sastoji u tome da se dokažu jednakosti :

(1)

G1 G2

G1

sit 111 ,, G2 sit 222 ,,G1 G2

G1 G1 G2

GG 21 G1 G2

GG 21 GG 21

sit

sit

sit

sit

222

111

G1 G2

Iz tih jednakosti će slijediti da je . Obje strane se dokazuju na isti

način. Dokažimo prvu :

Neka je M mnogougao (“strana”) određen grafom .

Označimo broj tjemena i ivica grafa smještenih unutar M sa i , a broj

tjemena i ivica ovog grafa smještenih na konturi mnogougla M, sa q. Broja strana

određenih grafom i sadržanih u M, sa .

Izrežimo sada mnogougao M (zajedno sa dijelom grafa na njemu) iz površi Q.

Kako je M homeomorfan krugu, znači i polusferi, to se on može drugom polusferom

dopuniti do površi, homeomorfne sfere. Na ovoj sferi smješten je povezan graf koji ima

tjemena, ivica i koji određuje strana ( pripada M i donja polusfera je

još jedna strana ).

Na osnovu (*) zaključujemo da je: , tj.

(2)

Ako sada, vračajući se površi Q, uklonimo iz grafa dio koji je smješten unutar M,

dobit ćemo novi graf za koji će broj t – i + s ostati onakav kakav je bio i kod grafa

sitsit 222111

G1

GG 21 t i

GG 21 sGG 21

qt qi 1s s

21 sqiqt1 sit

GG 21

GG 21

Umjesto tjemena, ivica i strana, koji se nalaze unutar M, sada ćemo imati 0

tjemena , 0 ivica i 1 stranu (sam mnogougao M), tj. broj zamijenit će se sa

0 – 0 + 1 , a ovim se, prema (2), ništa ne mijenja.

Sada je jasno da ako iz grafa uklonimo njegove dijelove smještene unutar svih

mnogouglova određenih grafom , onda ćemo dobiti novi graf kod koga će broj

t – i + s biti isti kao i kod grafa . Dakle,

(3)

Gdje su i brojevi tjemena i ivica grafa , a je broj strana koje on određuje.

Dakle, graf dobija se iz dodavanjem nekoliko novih tjemena na ivicama.

Dodavanjem svakog novog tjemena povećava se broj ivica za 1 (jer dodatno tjeme dijeli

ivicu na dvije).

Ako se prijelaz od grafa ka ostvaruje dodavanjem k novih tjemena, onda je :

Osim toga, jer graf određuje iste strane kao i graf .

t i ssit

GG 21

G1 G*

GG 21

sitsit ***

t*

i*

G* s

*

G*

G1

G1 G*

kii

ktt

1

*

1

*

ss 1

* G* G1

Na taj način

a ovo prema (3) daje početnu jednakost (1).

Dakle, dokazali smo da Eulerova karakteristika površi ne zavisi od njene podjele na

mnogouglove, nego je određena samom površi. Osim toga, Eulerova karakteristika je

topološka invarijanta : ako su površi i homeomorfne, onda je :

Zaista, pri homeomorfizmu , graf , nacrtan na površi , prelazi u graf

, nacrtan na , pri čemu će tjemena, ivica i strana na površi biti isto

koliko i na površi .

sitskiktsit 111111

***

Q1

Q2

QQ21

QQf21

: G1 Q1

GfG 12 Q2

Q2

Q1

Zamislimo u ravni ili na sferi zemljopisnu kartu na kojoj su ucrtane države tako da se svaka

država sastoji samo od jedne regije na karti, a ne od više nepovezanih područja. Da bismo

razlikovali države, želimo ih obojati tako da države sa zajedničkim granicama budu obojane

različitim bojama (Slika 1).

Problem se sastoji u tome da se nađe najmanji broj boja koji će jamčiti da se svaka takva

zemljopisna karta može obojati na tako zadan način. Problem se može jednostavno formulisati

i zvuči jednostavno tako da je godinama predstavljao izazov, kako matematičarima, tako i

amaterima.

5. PROBLEM 4 BOJE I 5 BOJA

Slika 1

1852. g. matematičar Francis Guthrie bojao je na karti engleske grofovije i zaključio da

mu nije potrebno više od 4 boje. Zapitao se jesu li 4 boje dovoljne za svaku kartu i ako jesu,

što je uzrok tome, ali nije mogao doći do rješenja.

Istaknuti britanski matematičar Arthur Cayley predložio je 1878. isti problem Londonskom

matematičkom društvu. Godinu dana kasnije, Bray Kempe objavljuje članak u kojem tvrdi

da je dokazao problem. Ovaj dokaz je bio prihvaćen sve do 1890. godine kada je P. J.

Heawood našao grešku. On je tada dokazao da se svaka karta može obojati sa pet boja. Taj

dokaz je relativno jednostavan, no dokaz da je za to potrebno samo četiri boje je bio nešto

sasvim drugo.

Mnogi matematičari i amateri su na njemu radili godinama, neki čak i cijeli svoj životni

vijek, ali do rješenja nisu mogli doći.

1976. napokon dolazi do preokreta : Kenneth Appel i Wolfgang Haken, sa Univerziteta Illinois

pomoću računala su uspjeli dokazati pretpostavku (koristeći Kempeove tvrdnje o reducibilnosti

i algoritam Heesha). Beskonačan broj mogućih karti reduciran je na 1936, koje je računalo

moralo provjeriti jednu po jednu (1200 sati rada računala).

Tada je problem četiri boje dobio status teorema.

Ovaj dokaz je izazvao brojne rasprave među matematičarima, i bio je to prvi veći teorem

koji je dokazan računalno. Čovjek ga ne može provjeriti i ne nudi nikakav novi uvid u

problem.

Godine 1997. Robertson, Sanders, Seymour i Thomas, objavili su jednostavniji dokaz na

40 stranica tako što su reducirali broj mogućih karti na 633, ali također koristeći računalo.

Posmatrajmo graf G =(V,E) , gdje je V skup vrhova grafa, a E skup ivica.

Vrhove prikazujemo kao kružiće, a ivice kao linije koje povezuju vrhove. Planarni graf je

graf koji se može prikazati u ravni tako da se ivice sijeku samo u vrhovima. Očito je da se

od svake karte može konstruisati planarni graf. Regije tada zamjenjuju vrhovi i dva vrha

spajamo ivicom ako su regije koje odgovaraju vrhovima, susjedne. Dakle, regije su susjedne

ako se dodiruju nekom dužinom, a ne samo u jednoj tački.

Na slici vidimo kako je svaka regija karte zamijenjena vrhom grafa, a dva vrha su povezana ako i samo ako imaju zajedničku granicu (a ne samo jednu tačku).

Slika 2

Dokažimo da je svaki planarni graf 5 – obojiv :

Teorem 1 : U planarnom grafu postoji barem jedan vrh stepena manjeg od 6 (tj. susjedan je sa najviše 5 drugih vrhova).

Teorem 2 : Graf je planaran ako i samo ako u sebi ne sadrži potpuni pentagraf (graf of 5 vrhova koji su svaki sa svakim susjedni) ili (graf od 6 vrhova koji su grupirani u dvije grupe od po 3, tako da u istoj grupi nikoja dva nisu susjedna, a susjedni su sa svakim iz druge grupe).

Teorem 3 : Svaki planarni graf je 5 – obojiv.

Dokaz (matematičkom indukcijom) :

Tvrdnja se neposredno provjerava za grafove sa malim brojem vrhova. Pretpostavimo da

tvrdnja vrijedi za grafove sa manje od n vrhova i posmatrajmo planarni graf G sa n vrhova.

Na osnovu Teorema 1, graf sadrži najmanje jedan vrh stepena ne većeg od 5. Neka je to vrh v.

Ako je vrh v stepena manjeg od 5, postupa se na sljedeći način :

Vrh se udalji iz grafa G sa svojim ivicama. Dobiveni graf je na osnovu induktivne pretpostavke, 5 – obojiv.

Vratimo sad vrh v nazad u graf. Za bojanje vrhova susjednih vrhu v treba najviše 4 boje, te v možemo obojati jednom od preostalih boja.

K 5

K 3,3

Posmatrajmo sada slučaj kad je vrh v stepena 5.

Neka su a,b,c,d,e vrhovi susjedni vrhu v. Na osnovu Teorema 2, vrhovi a,b,c,d,e

ne tvore potpuni pentagraf u G. Stoga bar jedan par vrhova nije povezan ivicom.

Posmatrajmo na primjer nepovezane vrhove a i c (Slika 3).

Slika 3

Slika 4

Uklonimo iz grafa ivice (v,b), (v,d), (v,e) (slika4)

Sada uklonimo i ivice (v,a) i (v,c) , a sve ostale ivice koje dolaze do vrhova a i c produžimo do vrha v kojeg ćemo označiti sa t (Slika 5).

Time smo iz grafa izbacili vrhove a i c . Tako dobiveni graf se može, po induktivnoj pretpostavci, obojati sa 5 boja.

Slika 5

Bojanje novonastalog grafa određuje i bojanje grafa G. Budući da vrhovi a i c nisu

susjedni, dobijaju boju vrha t. Za bojanje vrhova b,d,e potrebne su najviše tri boje

( koje su određene bojama grafa kojeg smo dobili izbacivanjem vrhova a i c).

Za bojanje vrha v treba još jedna boja (slika 6).

Time je teorem dokazan.

Slika 6

Kao što je već navedeno, 1976. dokazan je sljedeći teorem:

Teorem 4 : Svaki planarni graf je 4 – obojiv.Tokom vremena pojavio se velik broj pogrešnih dokaza i opovrgavanja Teorema 4 .Najjednostavniji

kontraprimjeri sastoje se u tome da se pokuša nactati regija koja dodiruje sve ostale regije. Tako

bismo ostale regije morali obojati sa samo tri boje. Budući da je teorem o četiri boje tačan, to je

uvijek moguće. No, kako je osoba koncentrisana na jednu veliku regiju, promakne joj da je preostale

regije stvarno moguće obojati sa samo tri boje.

Na Slici 6 je prikazan slučaj za koji na prvi pogled treba najmanje 5 boja da bi se obojao, no zapravo su potrebne samo 4 boje.

Slika 6

Na kraju, možemo zaključiti da je važnost teorema o 4 boje u matematici vrlo velika.

Jednostavnost i elegancija tvrdnje izazvala je opći interes kako među matematičarima,

tako i među amaterima.

Teorem o četiri boje posebno je zaslužan za razvoj kombinatorike, preciznije teorije grafova.

Primjer:

Zadatak 1: Pokušajte obojati ovu kartu sa samo 4 boje :

Zadatak 2 : Obojite vrhove grafa tako da susjedni vrhovi budu različite boje.

Možete li obojiti graf sa samo tri boje?

Rješenja :