fam lekcija 6

FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA

Amortizacija zajmova

Zimski semestar 2009/2010.

Predmetni nastavnik: Dr Milivoje Cvetinović

1

e-mail: [email protected]

Cilj predmetaC j p ed eta

Cilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima izCilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima izfinansijske i aktuarske matematike. Informacije koji bi studentitrebalo da usvoje iz finansijske matematike predstavljaju osnovu zarazumevanje niza problema, kao što su: izučavanje krajnje vrednostikapitala ako je data njena početna vrednost koja je uložena uzkapitala ako je data njena početna vrednost koja je uložena uzsložen interes i obrnuto, izračunavanje početne vrednosti kapitalauvećane za složeni interes, zatim amortizacija zajma, eskontovanjemenica, i dr.

Cilj modula aktuarske matematike je uvođenje, razvoj i primenatema iz aktuarske matematike fundamentalnih u oblasti osiguranjaimovine i lica. Predmet je povezan sa finansijskom matematikom,

b t i t ć i i č j i tposebno sa temama iz verovatnoće i izračunavanja interesa.

Nakon razumevanja i ovladavanja raznim obračunima budućidiplomirani studenti će moći da aktivno učestvuju u rešavanju sličnih

2

diplomirani studenti će moći da aktivno učestvuju u rešavanju sličnihproblema i zadataka u praksi: u bankama, preduzećima,osiguravajućim kompanijama i drugim institucijama.

Literaturate atu a

• Literatura:

– J. Rašeta, Finansijska i aktuarska matematika, Univerzitet Singidunum, 2008,

– J. Kočović, Finansijska matematika, Ekonomski fakultet u Beogradu, 2009,

– J. Kočović, Aktuarske osnove formiranja tarifa u osiguranju lica, Beograd 2006

– D.Vugdelija, O.Sedlak, Finansijska i akturska matematika, Subotica 20082008,

3

Raspored predavanja

DatumDatum LekcijeLekcije22.10.2009. Uvod u finansijsku matematiku;j

Prost interesni (kamatni) račun 29.10.2009. Primena prostog interesnog računa na finansijskom tržištu;

Tekući račun,Lombardni račun, Potrošački krediti05.11.2009. Eskont menica; Složen interesni (kamatni) račun12.11.2009. Složen interesni račun: Faktor dodajnih uloga, Faktor aktuelizacije19.11.2009. Efektivnost investicija26.11.2009. Amortizacija zajmova03.12.2009. Kolokvijum I

4

Raspored predavanja(nastavak)

DatumDatum LekcijeLekcije10.12.2009. Uvod u aktuarsku matematiku17.12.2009. Matematičke osnove osiguranja24.12.2009. Obračuna tarifa za osiguranja lica07.01.2010. Obračuna tarifa za osiguranja rente14.01.2010. Obračuna tarifa za osiguranja kapitala;

Osiguranje na dva života2101.2010 Kolokvijum II

Ispitni rok ISPIT

5

Formiranje konačne oceneo a je o ač e oce e

Broj bodova

PRISUSTVO NASTAVI 10

SEMINARSKI RAD 10

Bodovi OCENA

51 – 60 6SEMINARSKI RAD 10

KOLOKVIJUM I 25

KOLOKVIJUM II 25

61 – 70 7

71 – 80 8

ISPIT 30

UKUPNO 100 bodova81 – 90 9

91 – 100 10

Prisustvo nastavi i vežbama je obaveznoSeminarski rad nije obavezan

6

Seminarski rad nije obavezan

Sadržaj za danasSad aj a da as

1. Amortizacija zajmova– Faktor povraćaja– Plan otplate zajma– Konverzija dugova

(3 časa)

2. Vežbe (2 časa)

7

UvodU od

Pojam zajma

Pojam anuitetaPojam anuitetaAnuitet je periodični iznos koji plaća korisnik zajma, a sastoji se iz dva dela: otplate i kamata

Načini amortizacije (otplate zajma)Jednake otplatePromenljive otplatej pAnuiteti koji sadrže otplatu i interes

8

Model otplate zajmaj d ki it tijednakim anuitetima

Osnovne pretpostavke ovog modela su:Osnovne pretpostavke ovog modela su:

a) obračun kamata je složen i dekurzivanb) anuiteti su jednaki i dospevaju u jednakim vremenskim jedinicama krajem razdobljac) razdoblje kapitalizacije jednako je jedinici vremenskog

dospeća između anuitetad) kamatna stopa je konstantna u celom razdoblju

amortizacije zajma.

9


Zbir svih anuiteta = isplaćenom zajmu (K)

npn

n

IVaraK *)1(

1=

−=

K a a a

pn rr )1( −

0 1 2 n

10


Faktor povraćaja (anuitetni faktor)Faktor povraćaja (anuitetni faktor)

npn

n

VKrrKa *)1()1(=

−= pnr )1( −

)1(n rrgde je faktor povraćaja:)1(

)1(−−

nrrr

11


Model otplate (plan amortizacije):Model otplate (plan amortizacije):

God Dug Interes Otplata Anuitet1 K =K I R a1 K1=K I1 R1 a2 K2 I2 R2 a... ... ... ... ...n 0 In Rn a

I K n*a∑

Koraci:1. Ik=Kk*p

12

2. Rk=a-Ik3. Kk+1=Kk-Rk


Primer:

Napraviti plan amortizacije za zajam od 150.000 dinara uz p p j jdekurzivnu kapitalizaciju i jednake anuitete koji se plaćaju krajem sledećih pet godina uz godišnju kamatnu stopu od 10%.

Rešenje:

K = 150 000 dinK = 150.000 dinn = 5 godinap = 10% => r = 1,1

13


Rešenje:

K = 150.000 dinn = 5 godinap = 10% => r = 1,1

)111()11,1(1,1000.150

)1()1(

5

5 −=

−=

rrKa n

n

62,569.39)11,1()1( 5

=−−

arn

14

62,569.39a


Rešenje:

God Dug Interes Otplata AnuitetGod DugK

InteresI

OtplataR

Anuiteta

1 150.000,00 15.000,00 24.569,62 39.569,62

2 125.430,38 12.543,04 27.026,58 39 569 622 , , , 39.569,62

3 98.403,80 9.840,38 29.729,24 39.569,62

4 68.674,56 6.867,46 32.702,16 39.569,6235 972 40 3 597 24 35 972 385 35.972,40 3.597,24 35.972,38 39.569,62

47.848,12 149.999,98 197.848,10∑

15


Rešenje:Koraci:

1. Ik=Kk*p2. Rk=a-Ik3. Kk+1=Kk-Rk

1. I1=K1*p=150.000*0,1=15.000,001 1 p , ,2. R1=a-I1=39.569,62-15.000,00=24.569,623. K2=K1-R1=150.000-24.569,62=125.430,38

16

Veza medju otplatamae a edju otp ata a

Veza izmedju dve otplate zajma sa jednakim anuitetima

Rk+1=Rk(1+i)Svaka otplata je jednaka proizvodu prethodne otplate i

faktora akumulacije za jedan obračunski period.Otplate čine geometrijsku progresijuOtplate čine geometrijsku progresiju

Rk+1=R1(1+i)k

17

Rk+1 R1(1 i)

Prva otplataa otp ata

a=R1+K*iR1=a-K*iR1 a K i

Sada zamenom)1( −

=n rrKaSada, zamenom

)1( −= nr

Ka

dobija se1)1(

1−+

= niiKR

stopa amortizacije 18

1)1( + i

Veza otplate i anuitetae a otp ate a u teta

Veza otplate i anuiteta

Rk=a*(1+i)-n+k-1

Računanje interesaIk=a-Rk=a-a*(1+i)-n+k-1k k ( )

19

Ostatak dugaOstata duga

Ostatak duga sa m prvih plaćenih anuiteta:O =R +R + +ROm=R1+R2+…+Rm

Om=R1+R1(1+i)+…+R1(1+i)m-1m 1 1( ) 1( )

zamenom R1 i sabiranjem progresije:1 j p g j

=> 11)1( −

=−+

=mp

m IKiKO

2011)1( −−+ n

pnm I

Ki

KO


Ostatak duga posle m plaćenih anuiteta:Z =K-OZm=K-Om

− mn II=> 1−

= np

ppm I

IIKZ

ilimn

pm IVaZ −= *21

p


Primer:Zajam od 100.000 dinara se amortizuje 20 godina jednakim anuitetima uz 5% kamatu i godišnje kapitalisanje. Izračunati sledeće:a) Anuitetb) Prvu otplatu i desetu otplatu i interesc) Otplaćeni deo duga sa 10 prvih plaćenih anuitetad) Ostatak duga posle 10 plaćenih anuitetad) Ostatak duga posle 10 plaćenih anuiteta

22


Rešenje:a)

26024808024259,0*000.100* 20

5 ==a

VKa

b)

26,024.8=a

b)

00,000.526,024.8*1 −=−= iKaR

2326,024.31 =R


Rešenje:b)

62691455132822,1*26,024.3* 9

5110 ==R

IRR62,691.410 =R

64332362,691.426,024.8

10

1010

=−=−=

IRaI

24

64,332.310I


Rešenje:c)

80,038.3816553,2162889,1000.100

11000.100 20

5

105

10 =−−

=−−

=IIO

d)

20,961.6180,038.38000.10010 =−=Z

25

Amortizacija zajmaj d ki t l tjednakim otplatama

Otplate (R) su jednake, a anuiteti (ak) nisu jednaki.R=K/n

Anuiteti će biti:

ak=Zk*i+R

Anuiteti ak čine aritmetičku sredinu, d=-R*i

Sledi:ak=ak-1-R*i

26


Primer:Zajam od 40.000 se amortizuje jednakim godišnjim otplatama u

toku 5 godina. Interesna stopa je 6% i kapitalisanje je godišnje. Napraviti plan amortizacije.

27


Rešenje:R=K/n=40.000/5=8.000

a1=R+Ki=8.000+40.000*0,06=10.400

a2=a1-Ri=10.400-8.000*0,06=9.920

a3=

a4=

28


Rešenje:

G OGod DugK

InteresI

OtplataR

Anuiteta

1 40.000 2.400 8.000 10.40032 000 1 920 8 0002 32.000 1.920 8.000 9.920

3 24.000 1.440 8.000 9.440

4 16.000 960 8.000 8.960

5 8.000 480 8.000 8.4807.200 40.000 47.200

29

Amortizacija zajmalji i t l tpromenljivim otplatama

Otplate (R) nisu jednake, mogu rasti po aritmetičkoj progresiji (d) ili geometrijskoj progresiji (q).Posmatraćemo aritmetičku progresiju.Rk=R1+(n-1)dR =K/n+(n 1)d/2R1=K/n+(n-1)d/2

Primer:

Zajam od 200.000 dinara amortizuje se 5 godina, godišnjim dekurzivnim otplatama koje rastu konstantno za 5.000 dinara. Interesna stopa je 6%. Izraditi amortizacioni plan.

30

Amortizacija zajmalji i t l tpromenljivim otplatama

Rešenje:

G OGod DugK

InteresI

OtplataR

Anuiteta

0 200.000

170 000 12 000 30 0001 170.000 12.000 30.000 42.000

2 135.000 10.200 35.000 45.200

3 95.000 8.100 40.000 48.100

4 50.000 5.700 45.000 50.700

5 0 3.000 50.000 53.00039 000 200 000 239 200

31

39.000 200.000 239.200

Konverzija dugovao e ja dugo a

Konverzija duga označava da se menjaju uslovi otplaćivanja duga/zajmap j g j

Najčešće se menja kamatna stopa, produžuje se period otplate, i dr.

Koraci:1 Utvrditi anuitet prema početnim uslovima1.Utvrditi anuitet prema početnim uslovima2.Odrediti ostatak duga na dan promene uslova3.Utvrditi novi anuitet na ostatak duga3.Utvrditi novi anuitet na ostatak duga

32


Koraci:1.Utvrditi anuitet prema početnim uslovima

2 Odrediti ostatak duga na dan promene uslova

npVKa *=

2.Odrediti ostatak duga na dan promene uslova

mnpm IVaZ −= *

3.Utvrditi novi anuitet na ostatak dugan1: produženo vreme otplatep1: kam stopa posle konverzije

p

1* nmnVZa +−= p1: kam.stopa posle konverzijea1: anuitet posle konverzije

3311 pm VZa =


Primer:1.Zajam od 100.000 din. se otplaćuje 15 godina j d ki š t č i it ti 10% k tjednakim šestomesečnim anuitetima uz 10% kamate. Korisnik želi posle 10-te godine smanjenje kamatne stope na 8%, anuitet je smanjen za 505,14 din. Za p j jkoliko vremena će ostatak duga biti isplaćen sa novim anuitetom.

34


Rešenje:K=100.000; p=5%; n=2*15=30; p1=4%

14,505.6*000.100 305 == Va2030

97,230.5072173493,7*14,505.6*

20

2030520

=== −

ZIVaZ

a1=6.505,14-505,14=6.000

,20

35


Rešenje:Broj anuiteta za isplatu ostatka duga odredićemo iz f lformule:

* 1= +− nmnVZa

*97,230.50000.6 1

1

10304

1

=

=+− n

pm

V

VZa

119448,0

,110

4

4

=+nV

36


Rešenje:iz IV tablica => 10<n<11

Zaključak: Deset puta treba otplaćivati po 6.000 dinara i na kraju 11 og polugodišta platiti ostatakdinara i na kraju 11-og polugodišta platiti ostatak.

37

PITANJAJ

??

38

fam lekcija 6

Documents