FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA MATEMATIKAZimski semestar 2009/2010.Predmetni nastavnik: Dr Milivoje Cvetinovie-mail: mcvetinovic@singidunum.ac.rs e mail: mcvetinovic@singidunum.ac.rs1Cilj predmeta C j p ed etaCilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima iz Cilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima izfinansijske i aktuarske matematike. Informacije koji bi studentitrebalo da usvoje iz finansijske matematike predstavljaju osnovu zarazumevanje niza problema, kao to su: izuavanje krajnje vrednostikapitala ako je data njena poetna vrednost koja je uloena uz kapitala ako je data njena poetna vrednost koja je uloena uzsloen interes i obrnuto, izraunavanje poetne vrednosti kapitalauveane za sloeni interes, zatim amortizacija zajma, eskontovanjemenica, i dr.Cilj modula aktuarske matematike je uvoenje, razvoj i primenatema iz aktuarske matematike fundamentalnih u oblasti osiguranjaimovine i lica. Predmet je povezan sa finansijskom matematikom,b t i t i i j i t posebno sa temama iz verovatnoe i izraunavanja interesa.Nakon razumevanja i ovladavanja raznim obraunima buduidiplomirani studenti e moi da aktivno uestvuju u reavanju slinih2diplomirani studenti e moi da aktivno uestvuju u reavanju slinihproblema i zadataka u praksi: u bankama, preduzeima,osiguravajuim kompanijama i drugim institucijama.Literatura te atu a Literatura: J. Raeta, Finansijska i aktuarska matematika, Univerzitet Singidunum, 2008, J. Koovi, Finansijska matematika, Ekonomski fakultet u Beogradu, 2009, J. Koovi, Aktuarske osnove formiranja tarifa u osiguranju lica, Beograd 2006 D.Vugdelija, O.Sedlak, Finansijska i akturska matematika, Subotica 2008 2008,3Raspored predavanjaDatum Datum Lekcije Lekcije22.10.2009. Uvod u finansijsku matematiku; jProst interesni (kamatni) raun 29.10.2009. Primena prostog interesnog rauna na finansijskom tritu;Lombardni raun05.11.2009. Sloen interesni (kamatni) raun12.11.2009. Eskont menica; Obraun potroackih kredita19.11.2009. Efektivnost investicija; Utvrdjivanje cena finansijkih instrumenata na tritu26.11.2009. Amortizacija zajmova403.12.2009. Kolokvijum IRaspored predavanja(nastavak)Datum Datum Lekcije Lekcije10.12.2009. Uvod u aktuarsku matematiku17.12.2009. Matematike osnove osiguranja24.12.2009. Obrauna tarifa za osiguranja lica03.01.2010. Obrauna tarifa za osiguranja rente10.01.2010. Obrauna tarifa za osiguranja kapitala; Osiguranje na dva ivota17.01.2010 Kolokvijum IIIspitni rok ISPIT5Formiranje konane ocene o a je o a e oce eBroj bodovaPRISUSTVO NASTAVI 10SEMINARSKI RAD 10Bodovi OCENA51 60 6SEMINARSKI RAD 10KOLOKVIJUM I 25KOLOKVIJUM II 2561 70 771 80 8ISPIT 30UKUPNO 100 bodova81 90 991 100 10Prisustvo nastavi i vebama je obaveznoSeminarski rad nije obavezan6Seminarski rad nije obavezanSadraj za danas Sad aj a da as1. Uvod u finansijsku matematiku (1 as)2. Prost interesni (kamatni) raun(2 asa)3. Vebe(2 asa)7Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uPROCENTNI I PROMILNI RAUNSrazmerni raun pomou koga direktan odnos dve veliine (tekue i bazne, dela i celine) izraavamo tako to jednu od veliina (baznu, odnosno celinu) uzimamo kao 100 odnosno 1 000 j di i i 1.000 jedinica nazivamo procentni odnosno promilni raun8Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uPoimo od sledeeg:1% = 1/100 = 0,01;6% = 6 1/100 = 6/100 = 0,06; 6% 61/100 6/100 0,06;1= 1/1 000 = 0 001; 1 1/1.000 0,001;6 = 6 1/1.000 = 6/1.000 = 0,006.9Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uPrema ovim dogovorima odnos broja 180 i 9.000 moemo prikazati ovako:180 : 9.000 = 2:100 = 0,02:1 = 2%:100%ili180 : 9.000 = 20:1.000 = 0,002:1 = 20:1.00010180 : 9.00020:1.0000,002:1 20:1.000Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uOvaj primer moemo uoptiti. Teorema 1 Ako su date G (glavnica) p (procentna stopa) i P (procentni Teorema 1. Ako su date G (glavnica), p (procentna stopa) i P (procentni prinos) tada je:P G 1 G P 1 P G (*) P : G = p : 1 G : P = 1 : pP = pG(*)11Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uUpoznajmo se sa veliinama: G je oznaka za baznu veliinu celinu ili tzv istu glavnicu; G je oznaka za baznu veliinu, celinu ili tzv. istu glavnicu; P je oznaka za tekuu veliinu, deo ili tzv. procentni (promilni) prinos; p je oznaka za tzv. procentnu (promilnu) stopu, i predstavlja tekuu velicinu na 1 jedinicu bazne velicine (glavnice) velicinu na 1 jedinicu bazne velicine (glavnice)[p se po elji i potrebi moe prikazati u obliku s/100 ili s/1.000, pa tada s predstavlja prinos (tekuu veliinu) na 100 odnosno 1.000 jedinica glavnice (bazne veliine)] jedinica glavnice (bazne veliine)].Iz ove injenice i dolazi naziv "procentni" odnosno "promilni" raun12Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uPrimer 1.1Ako je neka veliina porasla sa 22 000 na 24 000 dinara odrediti: Ako je neka veliina porasla sa 22.000 na 24.000 dinara, odrediti:a) Koliki je procentni prinos i glavnicab) Koliki je procenat poveanja (odnosno, za koju procentnu stopu je izvreno poveanje)13Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uReenje primera 1.1a) a)Prinos za koji se veliina poveala je P = 24.000 22.000 = 2.000,a glavnica je poetna vrednost veliine, tj. G = 20.000b)Po Teoremi 1. je P=p*G, pa zakljuujemo da je:pa je poveanje izvreno za1 , 0000 20000 . 2= = =GPp14pa je poveanje izvreno za 0,1*100=10%,000 . 20 GpUvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uPrimer 1.2Koliko je Koliko je39,2%od564Reenje:2 39G=564P=p*G=0 392*564=221 088392 , 01002 , 39= = p15P p G 0,392 564 221,088Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uPrimer 1.3Cena kompjutera iznosi 500 evra Kupac e za gotovinsko plaanje Cena kompjutera iznosi 500 evra. Kupac e za gotovinsko plaanje imati popust od 12,5 evra. Koliko procenata iznosi popust.Reenje:G=500P=12,5% 5 , 2 100 *5005 , 12100 * = = =GPp16Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uTeorema 2. Veza izmedju poetne vrednosti neke veliine, nove (poveane ili smanjene) vrednosti te veliine i procentne stope za koju je izvreno poveanje ili smanjenje poetne veliineAko se poetna vrednost neke veliine (glavnica G) povea za procenat p, onda procentni prinos usled ovog poveanja iznosip p, p p g p jP=p*Ga nova, (poveana) vrednost te veliine (obeleimo je sa Gpov) iznosi:G =G+P=G+p*G = G*(1+p) Gpov=G+P=G+p G = G (1+p)Slino, Gsma=G-P=G-p*G = G*(1-p)17Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uPrimer 1.4Kolika je nova cena od automobila od 11 000 evra ako je: Kolika je nova cena od automobila od 11.000 evra ako je: a) ona poveana za 26 %b) ona smanjena za 26%Reenjea) p=26/100=0,26Na osnovu T.2. je: Gpov=G*(1+p)=11.000*(1+0,26)=11.000*1,26=13.860b) Slino G =G*(1-p)=11 000*(1-0 26)=11 000*0 74=8 14018b) Slino, GsmaG (1 p) 11.000 (1 0,26) 11.000 0,74 8.140Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uTeorema T.2 se moe proiriti i na vieetapna poveanja i umanjenja, i to:Gpov=G*(1+p1)*(1+p2)*. *(1+pn)pov( p1) ( p2) ( pn)Gsma=G*(1-p1)*(1-p2)*. *(1-pn)Primer 1.5Cena automobila od 11.000 evra je u toku odredjenog perioda 3 t i t 5% 12% i 10% poveana 3 puta, i to: 5%, 12% i 10%.a) Kolika je nova cena automobilab) Za koliko je ukupno procenata izvreno poveanje osnovne cene 19Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uReenjea) Na osnovu proirene T.2 nova cena automobila je:Gpov=11.000*1,05*1,12*1,10 = 14.229,60 evrab) Kako je 1,05*1,12*1,10 = 1,2936 zakljuujemo da je u toku perioda poetna cena ukupno poveana za 29,36%.Vano: Obratiti panju da ukupno poveanje procenata nije ukupni zbir procenata!20procenata!Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at u Proporcija (*) iz Teoreme 1. slui za tzv. procentni (promilni), raun od sto (hiljadu) jer pretpostavlja rad sa tzv. istom glavnicom.( j ) j p p j g Medutim, u praksi se javljaju i sluajevi kada je data ili se pretpostavlja glavnica zajedno sa prinosom ili glavnica po odbitku pretpostavlja glavnica zajedno sa prinosom ili glavnica po odbitku prinosa. Za takve sluajeve jednostavno formiramo izvedene proporcije, polazei od (*) poznate pod nazivom proporcije za procentni (promilni) raun vie i nie sto (hiljadu).21Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uProporcije za procentni (promilni) raun vie i nie sto (hiljadu):Iz G : P = 1 : p sledi:(G P) : (1 p) = P : p (G P) : (1 p) = G:1P G ) ( P G ) (pP G pP++=1) (pP GG++=1) (pP G pP=1) (pP GG=1) (22pUvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uPrimer 1.6Cena stana posle poskupljenja od 10% je 50 000 evra Koliko je Cena stana posle poskupljenja od10% je 50.000 evra. Koliko je iznosila cena pre poskupljenja? Reenje000 50 ) ( P GReenjeG+P=50.000p=0,1454 . 451 , 0 1 000 . 501) (=+=++=pP GGG=?23Uvod u finansijsku matematiku U od u a s js u ate at uPrimer 1.7Plan proizvodnje voa je prebaen za 25% i nakon poveanja iznosi Plan proizvodnje voa je prebaen za 25% i nakon poveanja iznosi 30.000 kg. Za koliko kilograma je prebaen plan proizvodnjeReenje2 0 * 000 30 * ) ( P GReenjep=0,2G+P=30.000000 . 52 , 0 12 , 0 * 000 . 301* ) (=+=++=pp P GPP=?24Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auPojam interesa i kapitalisanja Koja je razlika izmedju procentnog i interesnog rauna? Koja je razlika izmedju procentnog i interesnog rauna?Interesni raun ukljuuje jo jednu veliinu - VREMEI t i k i ti l i li j k dit ih d Interesni raun se koristi u poslovima regulisanja kreditnih odnosa koji nastaju izmedu dunika i poverioca Interes ili kamata je naknada koju dunik placa poveriocu za koricenje pozajmljenog novca na odredeno vreme. Interes se moe obracunavati dekurzivno i anticipativno.25Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auPojam interesa i kapitalisanja Dekurzivno obraunavanje interesa se obavlja krajem perioda za Dekurzivno obraunavanje interesa se obavlja krajem perioda, za protekli period (unazad), na raniju (diskontovanu) vrednost, kao istu glavnicu, pa je stoga kasnija (ukamaena) vrednost uveana glavnica. g Odnos ranije i kasnije vrednosti pri dekurzivnom obracunavanju interesa moemo u svrhu boljeg razumevanja ematski prikazati interesa moemo, u svrhu boljeg razumevanja, ematski prikazati na tzv. vremenskoj liniji kojom predstavljamo samo jedan obraunski period (Slika 1.1).26Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auPojam interesa i kapitalisanjagde su:G glavnicaI - Interes ili kamataG+ I glavnica uveana za kamatu27Slika 1.1Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auPojam interesa i kapitalisanja Anticipativno obraunavanje interesa se obavlja poetkom Anticipativno obraunavanje interesa se obavlja poetkom perioda, za period unapred, na kasniju vrednost kao istu glavnicu, pa je stoga ranija vrednost umanjena glavnica (Slika 1.2).28Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auPojam interesa i kapitalisanjagde su:G glavnicaI - Interes ili kamataG- I glavnica umanjena za kamatu29Slika 1.2Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auPojam interesa i kapitalisanja Kada je re o dunickopoverilakim odnosima izmedu privrednih ij p pdrugih subjekata treba rei da se kamata obraunava u odredenim vremenskim intervalima (npr. godinje) ili po isteku perioda kamaenja koji je ugovoren. Kamata se, zavisno od propisa ili dogovora, po obraunu ili isplauje posebno u dogovorenom roku ili se pripisuje glavnici radi daljeg kamaenja. Postupak obrauna kamate i njenog pripisivanja glavnici naziva se30Postupak obrauna kamate i njenog pripisivanja glavnici naziva se kapitalisanje.Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auPojam interesa i kapitalisanja Oblast matematike koja za predmet izuavanja ima interesni raun ij p jmodalitete njegove primene nazivamo finansijska matematika. Zadatak finansijske matematike nije odredivanje uslova Zadatak finansijske matematike nije odredivanje uslova uspostavljanja dunickopoverilakih odnosa, ve korektno matematiko reavanje problema nastalih u ugovorenim ili zakonski uspostavljenim dunickopoverilackim odnosima.31Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auProst interes Interes koji se svakog perioda rauna na istu glavnicu je konstantnaj g p g jveliina i naziva se prost interes. Kod procentnog rauna imamo proporciju Kod procentnog rauna imamo proporcijuG : P = 1 : p iliG:P=100:p Kod prostog interesnog rauna ako je vreme (t) dato u godinama, ta proporcija e biti proporcija e bitiK : I = 1 : pg gde je: K kapital ili glavnica I interes ili kamata32p- interesna (kamatna stopa)g- vreme dato u godinamaProst interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auIzraunavanje interesaNajprostiji sluajKoliki e interes doneti kapital od K dinara za 1 godinu iz interesnup gstopu p% K: I = 1:pg K: I 1:pgimaemo da jeI = Kpg I = KpgAko je g=133I = KpProst interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auIzraunavanje interesa Kako dobijamo interes za 1 mesecI = Kp:12 p Kako dobijamo interes za m meseciI = Kpm:12 I = Kpm:12 Kako dobijamo interes za 1 danI = Kp:360 ili I = Kp:365 Kako dobijamo interes za d dana34I = Kpd:360 ili I = Kpd:365 Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auIzraunavanje interesaDani se raunaju na 3 naina: j (30,360) (k 360) (k,360) (k,365)Prilikom raunanja broja dana po kalendaru, prvi dan se ne uzima u obzir a zadnji se rauna35Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auIzraunavanje interesaKada je vreme dato u danima (dakle vreme raunanja interesa krae odj ( j1 godine) interes se rauna pomou kamatnog broja i divizora.Ako u formuliKpdI =Ako u formuli i brojilac i imenilac podelimo sa p, dobijamo360I =odnosno pp KpdI/ 360/=DKdI =36gde je Kd kamatni broj, a 360/p kamatni klju ili divizor (D)Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auIzraunavanje interesaPrimer 2.1Koliko godina mora biti uloen iznos od K dinara uz 8% kamatnu stopu pa da interes poraste na dvostruki iznos uloga?Reenje2K = I2K K*0 08*g 2K = K*0,08*gg = 2537Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auIzraunavanje interesaPrimer 2.2Poetna vrednost kapitala je 5.000 evra i on je uloen 120 dana uz prost interes od 7,2%. Izraunati uveani kapital.Reenjet = 120/360 = 1/3K 5 000 (1+0 072/3) 5 000 (1+0 024) 5 120 K1= 5.000 (1+0,072/3)=5.000 (1+0,024)=5.12038Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auInteresni raun od 100, u 100 i na 100 Od 100U zavisnosti da li je vreme dato u god, mes. ili danima:K:I=1:pg; K:I=12:pm K:I=360:pd U 100Koristi se osobina proporcijeAko je vreme dato u godinama(K-I):(1-pg)=K:1(K-I):(1-pg)=I:pg39Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auInteresni raun od 100, u 100 i na 100 U 100Slino, ako je vreme dato u mesecima(K-I):(12-pm)=K:12(K-I):(12-pm)=I:pm (K-I):(12-pm)=I:pmi ako je vreme dato u danima(K-I):(360-pd)=K:360(K-I):(360-pd)=I:pd40Iz ovih proporcija se mogu odrediti nepoznati lanoviProst interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auInteresni raun od 100, u 100 i na 100 Na 100(K+I):(1+pg)=K:1(K+I):(1+pg)=I:pg(K+I):(12+pm)=K:12(K+I):(12+pm)=I:pm(K+I):(360+pd)=K:360(K+I):(360+pd)=I:pd41Iz ovih proporcija se mogu odrediti nepoznati lanoviProst interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auInteresni raun od 100, u 100 i na 100Primer 2.3Koliki je interes na pozajmljeni iznos od 75.000 dinara za 9 meseci uz kamatnu stopu od 6%?ReenjeI=K*p*m/12I 75 000*9*0 06/12 I=75.000*9*0,06/12I=3.37542Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auInteresni raun od 100, u 100 i na 100Primer 2.4Izraunati kapital na koji je izraunat interes od 580 evra po stopi od 5% za vreme od 25 danaReenjeAko koristimo (k,360):040 . 16725 * 05 , 0580 * 360= = K43Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auInteresni raun od 100, u 100 i na 100Primer 2.5Po odbitku interesa za 4 meseca dunik je primio 152.500 dinara. Izraunati koliki su dug i interes, ako je interesna stopa 5%.Reenje(K-I):(12-pm)=I:pm4 * 05 0 * 500 152 ) ( I K75 . 584 . 24 * 05 , 0 124 * 05 , 0 * 500 . 15212) (===pmpm I KI44K-I=152.500=>K-2.584,75=152.500 => K=155.084,75Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auInteresni raun od 100, u 100 i na 100Primer 2.6Banka je 15.05.2009. odobrila zajam, a 26.06.2009. dunik je vratio dug uvean za interes i ukupno platio 75.200 evra. Odrediti visinu zajma, ako je interesna stopa 4%. Pretpostaviti (k,360).j j ( )ReenjeK+I=75.200p=4%* 360360 * ) (++=d pI KKp=4%d=16+26=42K=?70 850 7442 * 04 , 0 360360 * 200 . 75+=KKp4570 , 850 . 74 = KProst interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auSrednji rok plaanjaDefinicija jK1, K2.., Kn(obaveze dunika)d1, d2.., dn (dani posle kojih dospevaju obaveze)p p p (interesne stope) p1, p2.., pn (interesne stope)Zbir interesa je jednak jednom interesu raunatom na zbiru obaveza uz srednju stopu p i srednje vreme d srednju stopu ps i srednje vreme ds .360(360....360 360) ... 2 1 2 2 2 1 1 1 s s n n n d p K K K dn p K d p K d p K + + += + + +46360 360 360 360Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auSrednji rok plaanjaDefinicija jK1, K2.., Kn(obaveze dunika)d1, d2.., dn (dani posle kojih dospevaju obaveze)p p p (interesne stope) p1, p2.., pn (interesne stope)Zbir interesa je jednak jednom interesu raunatom na zbiru obaveza uz srednju stopu p i srednje vreme d srednju stopu ps i srednje vreme ds .360(360....360 360) ... 2 1 2 2 2 1 1 1 s s n n n d p K K K dn p K d p K d p K + + += + + +47360 360 360 360Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auSrednji rok plaanja3 sluaja j1. Obaveze dunika su jednake, interesne stope su jednake a dani dospea su razliiti2. Obaveze su razliite, stope jednake i dani razliiti3 Obaveze su razliite stope razliite i dani razliiti 3. Obaveze su razliite, stope razliite i dani razliiti48Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auSrednji rok plaanja1. sluajj2. sluajnd d ddns) ... 2 1 ( + + +=nn nsK K Kd K d K d Kd+ + ++ + +=... 2 1... 2 2 1 13. sluajn n nsp K K Kd p K d p K d p Kd) 2 1... 2 2 2 1 1 1(+ + +=49s np K K K ) ... 2 1 ( + + +Prost interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auSrednji rok plaanjaPrimer 3.1Preduzee treba da plati sledee iznose:3 000 evra 12 05 3.000 evra 12.05.3.000 evra 31.05.3.000 evra 16.05.uz interesnu stopu od 12%.Kada se moe ceo dug platiti odjednom a da se pritom ne oteti ni 50dunik a ni poverilacProst interesni (kamatni) raunost te es ( a at ) auSrednji rok plaanjaReenje jK1= K2= K3= 3.000p = p = p = 0 12 p1= p2= p3= 0,12d1=0, d2=19 , d3= 6565 19 0 ( ( ) ) 3 2 1 + + + + d d d283 65 19 0 (3( ) ) 3 2 1=+= =+ + + d d dds51PITANJA J??52