UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPECARRERA DE INGENIERIA MECATRONICACIRCUITOS ELECTRICOS II

TEMA: FASORES

OBJETIVOS

Familiarizar conceptos bsicos que engloben el tema fasores. Conocer la importancia y la aplicacin de fasores en circuitos elctricos de corriente alterna. Aplicar impedancia y admitancia en los ejercicios con fuentes de tensiones y corrientes senoidales que nos brinden una mejor resolucin de problemas. Comprobar que las leyes de Kirchhoff tanto de voltaje como corriente se realiza de la misma manera tanto en corriente continua, como en corriente alterna.

ALCANCE

En el presente trabajo nos proponemos alcanzar en nuestros compaeros el aprendizaje de un tema base y por ende muy importante como lo es fasores para el desarrollo de circuitos elctricos en corriente alterna. Dar a conocer de una manera fcil y comprensible con ejercicios resueltos bsicos pero a la vez muy interesantes y asi facilitar cada uno de los temas a exponer.

INTRODUCCION

En el presente informe vamos a poder conocer, entender y aprender el tema sobre fasores el cual es muy importante aplicarlos en circuitos de corriente alterna, en el que nuestras tensiones ya sea de voltaje o de corriente son senoides, es decir, se encuentran de la forma seno o coseno.Mediante la aplicacin de este tema vamos a poder ayudar a la realizacin de problemas en AC utilizando la ayuda de los nmeros complejos y sus propiedades que se encuentran ms adelante en el documento evitando analizar estos ejercicios en funcin de expresiones senoidales que lo hacen difcil de analizar.Vamos a poder observar que tanto las leyes de corriente como de tensin de Kirchhoff se cumplen tanto en circuitos DC como circuitos AC.

DESARROLLO DEL TEMAFASORESLa senoide se expresa fcilmente en trminos de fasores, con los que es ms cmodo trabajar que con las funciones seno y coseno. Los fasores brindan un medio sencillo para analizar circuitos lineales excitados por fuentes senoidales; las soluciones de tales circuitos serian impracticables de otra manera. (Sadiku, 3era Edicion, Pag 376)El concepto de fasor se puede emplear cuando el circuito es lineal, se busca la respuesta en estado estable y todas las fuentes independientes son senoidales y tienen la misma frecuencia. (Dorf, 6ta Edicion, Pag 411)Un fasor es un nmero complejo que representa la amplitud y la fase de una senoide, por ejemplo:

En fasor seria

Nmeros complejos: Forma rectangular : Forma polar: Forma exponencial:

Operaciones con nmeros complejos: Suma y Resta : Multiplicacin: Divisin: Inverso: Raz cuadrada: Conjuga complejo:

La idea de la representacin fasorial se basa en la identidad de Euler. En general,

Lo que indica que se puede considerar a cos y sen como las partes real e imaginaria de .Dada una senoide es expresada en fasores de la siguiente manera V = .V es entonces la representacin fasorial de la senoide v(t). Por tanto:

.

Diferencias entre v(t) y V.1. v(t) es la representacin instantnea o en el dominio temporal, mienras que V es la representacin de frecuencia o en el dominio fasorial.2. v(t) depende del tiempo, mientras que V no.3. v(t) siempre es real y no tiene ningn termino en complejo, mientras que V es generalmente compleja.

(figura 9.8, SADIKU, pgina 380)

(tabla9.1, SADIKU, pagina 380)

Para obtener el dominio fasorial de una senoide, el dominio temporal debe estar expresada en la forma de coseno y se toman la magnitud y la fase.La frecuencia no se muestra en el dominio fasorial ya que w es una constante, sin embargo la respuesta depende de w. Por esta razn, el dominio fasorial tambin se conoce como dominio frecuencial.

Derivando obtenemos:

Esto indica que la derivada de v(t) se transforma al dominio fasorial como jwV.

Dominio Temporal Dominio FasorialDe igual modo, la integral de v(t) se transforma al dominio fasorial como .

Dominio Temporal Dominio Fasorial

Ejemplos:1. Transforme estas senoides en fasores:

A VSolucion. tiene el fasorI = A Puesto que sen A = cos (A + 90) = 4 cos(30t + 50 + 90)= 4 cos(30t +140) VLa formula fasorial de v es: V = 4 140

2. Dadas A e A , halle su suma, multiplicacin y divisin.Solucion.Este es un uso importante de los fasores: recordemos que tanto para la suma como la resta es conveniente tener nmeros complejos en forma rectangular, mientras que para dividir o multiplicar es necesario transformar a forma polar.

Como podemos observar debemos transformar a la forma coseno. La regla para convertir el seno en coseno es restar 90. Asi:e y su fasor es:

SUMA: (transformamos a la forma rectangular).

= + = 3.464 +j2 -1.71 j4.698 = 1.754 j2.698 = A MULTIPLICACION:

= * = 4*5 = 20 DIVISION: = / = = RELACIONES FASORIALES DE ELEMENTOS DE CIRCUITOS

Ahora que ya se sabe como representar una tensin o una corriente en el dominio fasorial o frecuencial, ahora lo vamos a aplicar eso a circuitos que implican a los elementos pasivos R, L y C.Lo que se debe hacer es transformar la relacin de tensin-corriente del dominio temporal al dominio fasorial en cada elemento. RESISTOR: La forma fasorial de esta tensin es:

Pero la representacin fasorial de de la corriente es I =V = R I Lo que indica que la relacin tensin-corriente del resistor en el dominio fasorial sigue siendo la Ley de Ohm.

INDUCTOR: La forma fasorial de esta tensin es:

Expresando en la forma coseno obtenemos: Por lo tanto V = jw L I

CAPACITOR: la forma fasorial de esta tensin es:

Al seguir los mismos pasos en el caso del inductor se obtiene:

(table 9.2, SADIKU, pagina 386)

Ejemplo:1. La tension v = 12cos(60t + 45) se aplica a un inductor de 0.1 H. Halle la corriente en estado estable que circula por el inductor.

Solucion.En el caso del inductor, V = jw LI, donde w= 60 rad/s y V = 12 V, asi:

A

IMPEDANCIA Y ADMITANCIA

En la seccin anterior se obtuvieron las relaciones de tensin corriente de los tres elementos pasivos como:

Estas ecuaciones pueden escribirse en trminos de la razn entre la tensin fasorial y la corriente fasorial como:

De estas tres expresiones de obtiene la ley de Ohm en forma fasorial para cualquier tipo de elemento como:

Donde Z es una cantidad dependiente de la frecuencia conocida como IMPEDANCIA, medida en Ohms.

Nota: La impedancia Z de un circuito es la razn entre la tensin fasorial V y la corriente fasorial I, medida en ohms.

La admitancia Y de un elemento (o circuito) es la razn entre la corriente fasorial y la tensin fasorial a travs de el, es decir, es el inverso de la IMPEDANCIA, medido en Siemens.

(tabla 9.3, SADIKU, pagina 387)

Ejemplo:1. Halle v(t) e i(t) en el circuito que aparece en la figura.(ejemplo 9.9, SADIKU, pagina 389)

Solucin.A partir de la fuente de tensin 10 cos 4t, w=4, VLa impedancia es:

Asi la corriente, ALa tensin a travs del capacitor es:

Ahora convertimos I y V al dominio temporal:

LAS LEYES DE KIRCHHOFF EN EL DOMINIO FASORIAL

No se puede hacer un anlisis de circuitos en el dominio fasorial sin las leyes de la corriente y de la tension de kirchhhoff. Por lo tanto, se deben expresar en ese dominio.Las tensiones a lo largo de un circuito cerrado :

En estado senoida;, cada tension puede escribirse de la forma coseno:

Lo que indica que la ley de la tension de Kirchhoff es valida en el caso de los fasores.Siguiendo un procedimiento igual, se puede demostrar que la ley de la corriente de Kirchhoff se cumple en el caso de los fasores, entonces tenemos que:

COMBINACIONES DE IMPEDANCIASConsideramos n impedancias conectadas en serie que aparecen en la figura 9.18. A traves de ellas fluye la misma corriente I.

(figura 9.18, SADIKU, pagina 390)

La impedancia equivalente en las terminales de entrada es:

De la misma manera, se puede obtener la impedancia equivalente de n impedancias conectadas en paralelo que se representan en la figura.

(figura 9.20, SADIKU, pagina 391)

La impedancia equivalente es:

Y la admitancia equivalente es

Ejemplo:1. Determine en el circuito de la figura:

(ejemplo 9.11, SADIKU, pgina 390)

Lo primero que hacemos es transformar el circuito en el dominio temporal, a un circuito en el dominio fasorial para esto hacemos lo siguiente:

Por lo que a continuacin obtenemos un circuito en dominio fasorial.

Sean: impedancia del resistor de 60 Impedancia de la combinacin en paralelo del capacitor de 10mF y el inductor de 5H.

ANALISIS DE CIRCUITOS EN AC NODOS Y MALLAS

ANALISIS NODALLa base del anlisis nodal es la ley de la corriente de Kirchhoff, dado que es valido en el caso de los fasores analizar circuitos de CA por medio del anlisis nodal.Ejemplo:1. Halle en el circuito de la figura aplicando el anlisis nodal.

(ejemplo 10.1, SADIKU, pagina 414)

De la misma manera convertimos el circuito en dominio fasorial.

As, el circuito equivalente en dominio fasorial es como se muestra en la figura.

Aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff. NODO 1.

NODO 2.

Como podemos ver hemos obtenido dos ecuaciones con dos incognitas por l oq podemos calcular tranquilamente sus voltajes.

La corriente Ix est dada por:

ANALISIS MALLASLa ley de la tensin de Kirchhoff, constituye la base del anlisis de mallas. La validez para circuitos de CA ya se demostr y se ilustrara en el siguiente ejemplo Ejemplo:1. Determine la corriente Io en el circuito de la figura aplicando el anlisis de mallas.

(ejemplo 10.3, SADIKU, pagina 418)

Al aplicar malla 1 obtenemos.(8+j10-j2) I1 - (-j2) I2 - j10 I3 = 0Al aplicar malla 2 obtenemos.(4-j2-j2)I2 -(-j2) I1 - (j2) I3 + 20 = 0Al aplicar malla 3 obtenemos.I3 = 5Al sustituir I3 en las ecuaciones obtenemos :(8+j8) I 1 + j2 I2 = j50J2 I1 + (4-j4) I2 = -j20 j10Entonces tenemos las siguiente ecuaciones:

Por lo que obtenemos las corriente I2 que pasa por la malla 2.

TEOREMA DE SUPERPOSICION

Dado que los circuitos de CA son lineales, el teorema de superposicin se aplica a ellos del mismo modo que a los circuitos de CD.Este teorema cobra importancia si el circuito tiene fuentes que operan en diferencias frecuencias.La respuesta total debe obtenerse sumando las respuestas individuales en el dominio de tiempo. Es incorrecto tratar de sumar las respuestas en el dominio fasorial o frecuencial.Ejemplos:1. Aplique el teorema de superposicin para hallar Io en el circuito de la figura.

(ejemplo 10.5, SADIKU, pagina 421)

Solucion:

Donde e se deben a las fuentes de tensin y de corriente, respectivamente. Para hallar considerese el circuito de la figura literal a.

Si tomamos que Z es la combinacion en paralelo de j2 y 8 + j10, entonces:

Para obtener se considera el circuito de la figura literal b. LAZO 1.(8+j8) I1 -j10 I3 + j2 I2 = 0 LAZO 2.(4-j4) I2 +j2 I1 +j2 I3 = 0 LAZO 3I3 = 5

EJERCICIO DE DEBER

Realizar el mismo ejercicio anterior por teorema de superposicion pero con valores cambiados, como se muestran en la figura.

PARTE 1

Como vamos a trabajar con el teorema de superposicin vamos primeramente a trabajar con nuestra fuente de tensin, por tanto eliminamos nuestra fuente de corriente con un circuito abierto:

Como podemos observar en la grfica calculamos z que es igual a la combinacin en paralelo de j8 con la serie de 8 +j10, entonces:

Ahora calculamos la corriente solicitada en el grafico que es

PARTE 2Ahora vamos a trabajar con nuestra fuente de corriente por tanto anularemos nuestra fuente de voltaje mediante un corto circuito como se muestra en la figura.

En esta parte vamos a trabajar con el anlisis de mallas.Mediante Malla 1 del grafico podemos decir que: Malla 2:

Reemplazando en la ecuacin obtenemos:

Malla 3:

Reemplazando en la ecuacin obtenemos:

Como tenemos dos ecuaciones y dos incgnitas podemos desarrollarla por cualquier mtodo entonces tenemos:

Como tiene direccin contraria a entonces cambiamos de signo y obtenemos:

Ahora para obtener la corriente original del ejercicio sumamos las corrientes obtenidas en cada parte es decir,

Transformando a forma fasorial obtenemos:

CONCLUSIONES

Hemos podido mejor nuestra visin o conocimiento acerca del tema fasores. Se pudo reforzar lo expuesto en clase mediante ejercicios bsicos resueltos y de esta manera poder despejar cualquier duda generada en nuestros compaeros. Hemos observado que se trabaja de la misma manera con las leyes de Kirchhoff tanto en DC, como en AC.

BIBLIOGRAFIA

SADIKU, Matthew. Fundamentos de Circuitos Electricos. Tercera Edicion . DORF. Circuitos Electricos. 6ta Edicion.