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代数学・幾何学序論
松本 圭司 (Keiji Matsumoto)
北海道大学 大学院理学研究院 数学部門
平成 25年度前期 月曜 IIコマ 理学部５号館 5-301ver. 2012.06.27
1 ベクトル
1.1 ベクトルの加法と定数倍
向きと大きさをもつ量をベクトルという. ベクトルは有向線分（矢印）
で表される. 有向線分の向きと長さでベクトルの向きと大きさを表す.
������
���*
A 始点
B 終点
−→AB
図 1: ベクトル
２つのベクトル−→AB,
−→CD の向きと大きさがともに等しいときに限り,
ベクトル−→AB と
−→CD とが等しいといい
−→AB =
−→CD と記す.
−→AB と
−→CD を
有向線分で表示した場合には, ２つの有向線分が同じ向きで平行であり,
長さが等しいときに限り−→AB =
−→CD である. ベクトル
−→AB の大きさを
|−→AB| で表す.
−→AB と
−→CD の和
−→AB +
−→CD を以下の図のように定める. ベクトル
−→AB
と大きさが同じで向きが正反対のベクトルを−−→AB で表す.
−→AB と
−→CD
1
����
����
�*
A
B
−→AB
�
C
D
−→CD
�
P
−→BP =
−→CD
�������������������
−→AB +
−→CD
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
図 2: ベクトルの和
の差−→AB −
−→CD を
−→AB + (−
−→CD) で定める. ベクトル
−→AB と −
−→AB との
和は, 大きさも向きもなくなる. このようなものを 0 ベクトルとよび 0⃗ で
表す. 正数 k とベクトル−→AB に対し, ベクトル
−→AB の k 倍 k ·
−→AB を向
きが−→AB と同じで大きさが
−→AB の k 倍となるベクトルで定める. k が負
の場合は, k−→AB = −(|k| ·
−→AB) で定める. また, 0 ·
−→AB = 0⃗ とする.
������
���*
A
B
−→AB
������
����
��*k ·−→AB����������
A
B
−−→AB
図 3: ベクトルのスカラー倍
０ベクトルでない２つのベクトル−→AB と
−→CD に対し, 0 でない実数 k
で k−→AB =
−→CD が存在するとき,
−→AB と
−→CD は 平行 であるという.
ベクトルの和と定数倍に対して, 交換法則, 結合法則, 分配法則が成立
2
する.
−→AB +
−→CD =
−→CD +
−→AB,
(−→AB +
−→CD) +
−→EF =
−→AB + (
−→CD +
−→EF ),
(kℓ) ·−→AB = k · (ℓ ·
−→AB) = ℓ · (k ·
−→AB),
(k + ℓ) ·−→AB = k ·
−→AB + ℓ ·
−→AB,
k · (−→AB +
−→CD) = k ·
−→AB + k ·
−→CD.
ここで k, ℓ は実数とする.
1.2 ベクトルの内積
２つのベクトル−→AB,
−→CD に対し, 内積
−→AB ·
−→CD を
−→AB ·
−→CD = |
−→AB||
−→CD| cos θ
で定める, ここで θ は−→AB と
−→CD のなす角とする.
����������
−→CD
p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p
����������
������
����
��*
−→AB
θ
図 4:−→AB と
−→CD のなす角 θ
ベクトルの内積はベクトルでなく 実数 である. ベクトルの内積は,
−→AB ·
−→CD =
−→CD ·
−→AB
(k−→AB + ℓ
−→CD) · (m
−→EF ) = (km)
−→AB ·
−→EF + (ℓm)
−→CD ·
−→EF
をみたす, ここで k, ℓ,m は実数とする.
3
０ベクトルでない ２つのベクトル−→AB と
−→CD が直交するための必要
十分条件は−→AB ·
−→CD = 0 である.
ここまでに紹介したベクトルの性質は, 考えているベクトルが平面内で
あろうが空間内であろうが違いは生じない. さらに高次元の空間内でも
同様に設定できる.
1.3 ベクトル成分表示
平面 R2 内の点 A = (a1, a2) を始点, 点 B = (b1, b2) を終点とする有向
線分で表示されるベクトル−→AB に対し, b1 − a1 をベクトル
−→AB の第一成
分 (x成分), b2 − a2 をベクトル−→AB の第二成分 (y成分)という. ベクト
ル−→AB を第一成分と第二成分を用いて
−→AB = (b1 − a1, b2 − a2)
で表す. この表し方をベクトルの成分表示という.
������
���*
A = (a1, a2)
B = (b1, b2)−→ABb2 − a2
b1 − a1
����
����
�*
(0, 0)
(b1 − a1, b2 − a2)
p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p
図 5: ベクトルの成分表示
ベクトル−→AB と等しいベクトルを原点 (0, 0) を始点とする有向線分で
表したときの終点の座標とベクトル−→AB の成分表示とが一致する. 成分
表示されたベクトル x⃗ = (x1, x2), y⃗ = (y1, y2) に対し, 以下が成立する.
x⃗ = y⃗ ⇔ x1 = y1, x2 = y2,
x⃗+ y⃗ = (x1 + y1, x2 + y2), kx⃗ = (kx1, kx2),
4
x⃗ · y⃗ = x1y1 + x2y2.
また, ベクトル x⃗ の大きさは
|x⃗| =√
x21 + x2
2
である.
1.4 空間ベクトル
空間内の点は, 空間座標を用いて表される.
�����
����
x軸
-y軸
6z軸
r A(a1, a2, a3)p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p pp p p
p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
pppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppp ppppppppp
ppppppppppppppppp
a1
a2
a3
JJJJJJJJJJ]
−→AB
r B(b1, b2, b3)ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppp
ppppppppppppp
ppppppppppppp p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p
b1
b2
b3
図 6: 空間座標
空間 R3 内の点 A = (a1, a2, a3) を始点, 点 B = (b1, b2, b3) を終点とする
有向線分で表示されるベクトル−→AB に対し, b1 − a1 をベクトル
−→AB の第
一成分 (x成分), b2 − a2 をベクトル−→AB の第二成分 (y成分), b3 − a3 を
ベクトル−→AB の第三成分 (z成分) という.
5
ベクトル−→AB を第一, 第二, 第三成分を用いて
−→AB = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
で表すことができる. 成分表示されたベクトル x⃗ = (x1, x2, x3), y⃗ =
(y1, y2, y3) に対し,
x⃗ = y⃗ ⇔ x1 = y1, x2 = y2, x3 = y3,
x⃗+ y⃗ = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3),
kx⃗ = (kx1, kx2, kx3) (k ∈ R),
x⃗ · y⃗ = x1y1 + x2y2 + x3y3,
|x⃗| =√x21 + x2
2 + x23
である.
1.5 外積と行列式
平行でない空間ベクトル x⃗, y⃗ に対して, 以下の性質をもつ空間ベクト
ル z⃗ が唯一存在する.
• z⃗ は x⃗ とも y⃗ とも直交 する.
• z⃗ の大きさは, x⃗ と y⃗ で生成される平行四辺形の面積 に等しい.
• x⃗, y⃗, z⃗ は右手系 をなす. つまり x⃗, y⃗, z⃗ の始点を共通にした場合,
それらを表す有向線分の向きを右手の親指, 人差指, 中指の指先の
向きで表現できる.
このベクトル z⃗ を x⃗ と y⃗ の外積 といい, x⃗× y⃗ で表す. x⃗, y⃗ が平行なと
きは, x⃗× y⃗ = 0⃗ とする. ベクトルの外積は
y⃗ × x⃗ = −x⃗× y⃗, c(x⃗× y⃗) = (cx⃗)× y⃗ = x⃗× (cy⃗),
をみたす, ここで c は任意の実数とする.
6
-x⃗
����y⃗
6
z⃗
���
図 7: 右手系
命題 1 x⃗ = (x1, x2, x3), y⃗ = (y1, y2, y3) に対し,
x⃗× y⃗ =
(det
(x2 x3
y2 y3
),− det
(x1 x3
y1 y3
), det
(x1 x2
y1 y2
))= (x2y3 − x3y2,−x1y3 + x3y1, x1y2 − x2y1).
行列 A =
(a b
c d
)に対して, det(A) = ad − bc は A の行列式 と呼ばれ
る. 混乱のおそれがない場合A の行列式を |A| で表すこともある.
公式の覚え方: x⃗ と y⃗ から 2× 3 行列(x1 x2 x3
y1 y2 y3
)
をつくり, 第１列を消して行列式をとったものを第１成分, 第２列を消し
て行列式をとったものの 符号を変えて 第２成分, 第３列を消して行列式
をとったものを第３成分とすると x⃗× y⃗ が得られる.
命題の証明
z⃗ = (x2y3 − x3y2,−x1y3 + x3y1, x1y2 − x2y1) とおく.
• z⃗ が x⃗ と y⃗ と直交することを示す.
• z⃗ の大きさが x⃗ と y⃗ で生成される平行四辺形の面積と等しいこと
を示す.
7
それには以下の問題を解けばよい.
問題 1 (1) x⃗ · z⃗ = y⃗ · z⃗ = 0 を示せ.
(2) θ を x⃗ と y⃗ のなす角とすると |z⃗|2 = (|x⃗||y⃗| sin θ)2 を示せ.
• 最後に x⃗, y⃗, z⃗ が右手系となっていること示す.
z⃗ は x⃗ × y⃗ か −x⃗ × y⃗ のいずれかである. z⃗ の成分は x⃗ と y⃗ の変化に対
して, 連続的に変化 する. x⃗, y⃗ を同時に回転させた場合, x⃗× y⃗ も z⃗ も回
転する. x⃗ × y⃗ と −x⃗ × y⃗ は離れているので, 最初 z⃗ が x⃗ × y⃗ (あるいは
−x⃗× y⃗) と等しいならば, 回転後も等しく 他方に移ることはない. x⃗ が第
一座標の正の向きと同じ向きとなり, y⃗ の第三成分が 0 となるように x⃗, y⃗
を同時に回転させる. 回転後 x⃗′ = (a, 0, 0), y⃗′ = (c, d, 0) となったとする,
ここで a > 0 である.
x⃗′ と y⃗′ で生成される平行四辺形の面積は a|d| で, (0, 0,±1) は x⃗′ と
y⃗′ と直交するベクトルで, d > 0 ならば x⃗′, y⃗′, (0, 0, 1) が右手系をなし,
d < 0 ならば x⃗′, y⃗′, (0, 0,−1) が右手系をなす.
外積の定義より x⃗′ × y⃗′ = (0, 0, ad) であり, これは z⃗ を回転して得られ
る z⃗′ に等しい. したがって x⃗, y⃗, z⃗ も右手系をなしている. □
命題 2 ベクトル x⃗ = (a, b) と y⃗ = (c, d) で生成される平行四辺形の面積
は ∣∣∣∣∣det(a b
c d
)∣∣∣∣∣ = |ad− bc|
である.
証明 x⃗ と y⃗ のなす角を θ とすると x⃗ と y⃗ で生成される平行四辺形の面
積は, |x⃗||y⃗| sin θ である.
一方,
|ad− bc|2 = a2d2 + b2c2 − 2abcd
= a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 − a2c2 − b2d2 − 2(ac)(bd)
= (a2 + b2)(c2 + d2)− (ac+ bd)2 = |x⃗|2|y⃗|2 − (x⃗ · y⃗)2
= |x⃗|2|y⃗|2(1− (x⃗ · y⃗)2
(|x⃗||y⃗|)2
)= |x⃗|2|y⃗|2(1− cos2 θ)
= (|x⃗||y⃗| sin θ)2
8
である. □
定義より以下のことが容易に導ける.
命題 3 • det
(a b
a b
)= 0
• det
(c d
a b
)= − det
(a b
c d
)
• det
(a+ x b+ y
c d
)= det
(a b
c d
)+ det
(x y
c d
)
• det
(a b
c+ x d+ y
)= det
(a b
c d
)+ det
(a b
x y
)
• det
(a+ c b+ d
c d
)= det
(a b
a+ c b+ d
)=det
(a b
c d
)
• det
(xa xb
c d
)= det
(a b
xc xd
)= x det
(a b
c d
)
命題 4 ２次の正方行列 A,B に対して det(tA) = det(A), det(AB) =
det(BA) = det(A) det(B) が成立する.
命題 1, 3 より, 外積に関して分配法則
x⃗× (y⃗ + z⃗) = x⃗× y⃗ + x⃗× z⃗, (x⃗+ y⃗)× z⃗ = x⃗× z⃗ + y⃗ × z⃗
が成立する.
命題 5 ベクトル x⃗, y⃗, z⃗ で生成される平行六面体 V の体積は |(x⃗× y⃗) · z⃗|である.
証明平行六面体の体積 V は, 底面積 S と高さ h との積である. 底面積
S は x⃗× y⃗ の大きさ である. 一方, x⃗× y⃗ が底面と直交するベクトルなの
で高さ h は |z⃗|| cos θ| である, ここで θ は x⃗× y⃗ と z⃗ とのなす角とする.
したがって V = |x⃗× y⃗||z⃗|| cos θ| = |(x⃗× y⃗) · z⃗| である. □
9
-x⃗
��
��y⃗
6
x⃗× y⃗
���������z⃗
���
���
���
��������
��������
��������
θ
HHH
図 8: 平行六面体の体積
x⃗ = (a11, a12, a13), y⃗ = (a21, a22, a23), z⃗ = (a31, a32, a33) に対して,
A =
x⃗
y⃗
z⃗
=
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
とする. x⃗× y⃗ と z⃗ との内積 (x⃗× y⃗) · z⃗ を３次正方行列 A の行列式 とい
い, det(A), |A|,
det
x⃗
y⃗
z⃗
, det
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
,
∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣等で表す.
前命題より 行列式 det(A) は x⃗, y⃗, z⃗ で生成される 平行六面体 V の体
積に符号の情報を加えたもの である. x⃗, y⃗, z⃗ が右手系となるならば正で
あり, 左手系となるならば負となる.
z⃗ が x⃗ と y⃗ の線形結合 ax⃗+ by⃗ となる場合, x⃗, y⃗, z⃗ で生成される平行
六面体がつぶれてしまうので det
x⃗
y⃗
z⃗
= 0 となる.
det(A) の具体的な値を計算してみる.
10
x⃗× y⃗ =
(∣∣∣∣∣a12 a13a22 a23
∣∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣∣a11 a13a21 a23
∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣)
= (a12a23 − a13a22,−a11a23 + a13a21, a11a22 − a12a21),
z⃗ = ( a31 , a32 , a33 )
det(A) = (x⃗× y⃗) · z⃗
= (a12a23 − a13a22)a31 + (−a11a23 + a13a21)a32
+(a11a22 − a12a21)a33
= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)
−(a11a23a32 + a12a12a33 + a13a22a31)
３次正方行列 A の行列式 det(A) の覚えやすい計算法「たすきがけ規
則」図のように左上から右下へ向かう線上の成分をかけて符号 +をつけ,
右上から左下へ向かう線上の成分をかけて符合 − をつけて全部加える.
a11 a12 a13
a23a22a21
a31 a32 a33
+ + + − − −
11
問題 2 x⃗ = (2,−1, 0), y⃗ = (−1, 2,−1), z⃗ = (0,−1, 2) に対して, 下記の
値を求めよ.
(1) y⃗ × z⃗, z⃗ × x⃗, x⃗× y⃗.
(2) det
x⃗
y⃗
z⃗
問題 3 空間ベクトル x⃗, y⃗, z⃗ に対して, 以下の等式が成立することを示せ.
(1) (x⃗× y⃗)× z⃗ = −(y⃗ · z⃗)x⃗+ (x⃗ · z⃗)y⃗.
(2) (x⃗× y⃗)× z⃗ + (y⃗ × z⃗)× x⃗+ (z⃗ × x⃗)× y⃗ = 0.
2 空間図形の方程式
2.1 空間内の直線の方程式
空間内の異なる２点 A = (a1, a2, a3) と B = (b1, b2, b3) を与えると, そ
の２点を通る直線 L は一意的に定まる.
ベクトル−→AB = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3) を 直線 L の方向ベクトル
という. 直線 L の方向ベクトルは０ベクトルとならないことに注意する.
直線 L から 直線 L の方向ベクトルは一意的には定まらない. 直線 L 上
の２点 C,D をとると,−→CD も直線 L の方向ベクトルであり
−→AB と一致
しているとは限らない. しかし, 0 でない実数 t で
t−→AB =
−→CD
をみたすものが必ず存在する. つまり, 直線 L から 直線 L の方向ベクト
ルは ０でない定数倍を除き一意的 に定まる.
直線 L 上の点 X = (x1, x2, x3) がみたす方程式をみつける. ベクトル−→AX はベクトル
−→AB と平行である. つまり, 実数 t で
−→AX = t
−→AB
をみたすものが必ず存在する. X = A の場合は−→AX = 0⃗ であり, t = 0 と
なることに注意する.
12
�����
����
x1軸
-x2軸
6x3軸
r A(a1, a2, a3)p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p pp p p
p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
pppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppp ppppppppp
ppppppppppppppppp
a1
a2
a3
JJJJJJJJJJ]
−→AB
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
L
r B(b1, b2, b3)ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppp
ppppppppppppp
ppppppppppppp p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p
b1
b2
b3
図 9: 空間内の直線
上記の式を成分で表示すると
(x1 − a1, x2 − a2, x3 − a3) = t(b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
であり, x1, x2, x3 に関して解くと
(x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + t(b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
が得られる (t に実数を代入すると直線 L 上の点の座標が得られる). こ
れを直線 L の 媒介変数表示 あるいは パラメーター表示 といい, t を 媒
介変数 あるいは パラメーター という.
逆に,
(x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + t(b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
をみたす点 X = (x1, x2, x3) に対して,−→AX = t(b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3)
は−→AB と平行 であり,
−→AX と
−→AB は始点A を共有 していることから, X
は直線 L 上にある.
13
aj ̸= bj (j = 1, 2, 3) ならば直線 L の媒介変数表示から媒介変数 t につ
いて以下のように３通りに解くことができる.
t =xj − ajbj − aj
(j = 1, 2, 3).
これらの式から t を消去すると方程式
x1 − a1b1 − a1
=x2 − a2b2 − a2
=x3 − a3b3 − a3
が得られる.
aj ̸= bj (j = 1, 2) で a3 = b3 ならば x3 = a3 であり, 媒介変数 t につい
ては以下のように２通りに解くことができる.
t =x1 − a1b1 − a1
, t =x2 − a2b2 − a2
.
方程式x1 − a1b1 − a1
=x2 − a2b2 − a2
, x3 = a3
が得られる. aj ̸= bj (j = 1, 3) で a2 = b2 や aj ̸= bj (j = 2, 3) で a1 = b1
の場合も同様である.
a1 ̸= b1 で aj = bj (j = 2, 3) ならば x2 = a2 かつ x3 = a3 で t = x1−a1b1−a1
である. t は消去できないが方程式
x1 は任意, x2 = a2, x3 = a3
が得られる. a2 ̸= b2 で aj = bj (j = 1, 3) や a3 ̸= b3 で aj = bj (j = 2, 3)
の場合も同様である.
これらをまとめて 直線 L の標準型の方程式という. 直線 L の標準型
の方程式は 一意的ではない ことに注意する.
例 空間内の２点 A = (2, 3, 3) と B = (3, 0, 5) を通る直線 L の媒介変数
表示と標準型の方程式を求める.
−→AB = (3, 0, 5)− (2, 3, 3) = (1,−3, 2)
なので直線 L の媒介変数表示は
(x1, x2, x3) = (2, 3, 3) + t(1,−3, 2)
14
–2
0
2
4
x
–10
12
34
56
y
–2
–1
0
1
2
3
4
5
z
0
2
4
x
–10
12
34
56
y
–2
–1
0
1
2
3
4
5
z
図 10: 例で求めた直線の Stereographic Figures
である. 直線 L の標準型の方程式は,
x1 − 2 =x2 − 3
−3=
x3 − 3
2
である. 次の図内の赤の直線である.
方向ベクトルが ℓ⃗ = (ℓ1, ℓ2, ℓ3) で点 A = (a1, a2, a3) を通る直線 L が一
意的に定まる. この直線 L 上の点 X = (x1, x2, x3) がみたす方程式は全
く同様に考えて得られる. 媒介変数表示は
(x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + t(ℓ1, ℓ2, ℓ3)
である.
ℓj ̸= 0 (j = 1, 2, 3) の場合,
x1 − a1ℓ1
=x2 − a2
ℓ2=
x3 − a3ℓ3
となる.
15
ℓj ̸= 0 (j = 1, 2) で ℓ3 = 0 の場合,
x1 − a1ℓ1
=x2 − a2
ℓ2, x3 = a3
となる. ℓj ̸= 0 (j = 1, 3) で ℓ2 = 0 や ℓj ̸= 0 (j = 2, 3) で ℓ1 = 0 の場合
も同様である.
ℓ1 ̸= 0 で ℓj = 0 (j = 2, 3) の場合,
x1 は任意, x2 = a2, x3 = a3
となる. ℓ2 ̸= 0 で ℓj = 0 (j = 1, 3) や ℓ3 ̸= 0 で ℓj = 0 (j = 1, 2) の場合
も同様である.
例 空間の点 A = (1, 1, 1) を通り方向ベクトル ℓ⃗ が (4, 2, 3) の直線 L の
媒介変数表示と標準型の方程式を求める.
直線 L の媒介変数表示は
(x1, x2, x3) = (1, 1, 1) + t(4, 2, 3)
である. 直線 L の標準型の方程式は,
x1 − 1
4=
x2 − 1
2=
x3 − 1
3
である. 前図の青の直線である.
直線 L が媒介変数 t を用いて
(x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + t(ℓ1, ℓ2, ℓ3)
と表示されたとき, t が増加するときに直線上の点 (x1, x2, x3) の変化す
る量は, 直線の方向ベクトル ℓ⃗ = (ℓ1, ℓ2, ℓ3) の正数倍である. ベクトル ℓ⃗
の向きを媒介変数表示された 直線 L の向き という. 媒介変数表示され
た直線 L に対して, 方向ベクトル ℓ⃗ = (ℓ1, ℓ2, ℓ3) と同じ向きで大きさが 1
となるベクトル 1√ℓ21+ℓ22+ℓ23
(ℓ1, ℓ2, ℓ3) を媒介変数表示された直線の 単位方
向ベクトル という. 単位方向ベクトルは, 媒介変数表示された直線に対
して 一意的に定まる.
問題 4 以下の直線の媒介変数表示を与え, その単位方向ベクトルを求め
よ. また, 標準型の方程式も求めよ.
16
(1) ２点 (2, 3, 4) と (−1, 6, 1) を通る直線.
(2) ２点 (0,−6, 2) と (−3,−6, 6) を通る直線.
(3) ２点 (1, 2, 3) と (−1, 2, 3) を通る直線.
(4) 点 (−1, 5, 1) を通り, 方向ベクトルが (1, 2,−2) の直線.
(5) 点 (1, 1, 1) を通り, 方向ベクトルが (0, 1,−1) の直線.
2.2 空間内の平面の方程式
�����
����
x1軸
-x2軸
6x3軸
r A(a1, a2, a3)p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p pp p p
p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
pppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppp ppppppppp
ppppppppppppppppp
a1
a2
a3
JJJ]
JJJ
n⃗
H
��������������
��������������
CCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCC
p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p
p p p
pppppppppppppppppp
pppppppppppppppppp
ppppppppppppppp
図 11: 空間内の平面
空間内の平面 H に対して, H と直交する０ベクトルでないベクトル
n⃗ = (n1, n2, n3) を平面 H の 法線ベクトル という. 平面 H から 平面 H
の法線ベクトルは ０でない定数倍を除き一意的 に定まる.
17
空間内の点 A = (a1, a2, a3) を含み, ０ベクトルでない n⃗ = (n1, n2, n3)
と直交する平面 H が一意的に存在する. H 内の点 X = (x1, x2, x3) がみ
たす方程式を求める.
ベクトル−→AX は平面 H に含まれるので,
−→AX と法線ベクトル n⃗ とは
直交 する. ベクトルの内積を利用して, 数式で表示すると
0 = n⃗ ·−→AX = (n1, n2, n3) · (x1 − a1, x2 − a2, x3 − a3)
なので
n1(x1 − a1) + n2(x2 − a2) + n3(x3 − a3) = 0
が得られる. これを 平面 H の方程式 という.−→AX が０ベクトルの場合
も上記の式は成立しているし, 逆にこの式をみたす点 X = (x1, x2, x3) は
平面 H 上の点である.
平面 H の方程式
n1(x1 − a1) + n2(x2 − a2) + n3(x3 − a3) = 0
に対して, n4 = −(n1a1 + n2a2 + n3a3) とおいて
n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4 = 0
に変形できる. この形の方程式を平面 H の 標準形の方程式 という. 平
面 H に対して, 標準形の方程式は 定数倍を除いて一意的 に定まる.
逆に, ０ベクトルでない (n1, n2, n3) と実数 n4 で定まる方程式
n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4 = 0
をみたす (x1, x2, x3) の集合は 空間内のある平面 を定める.
４つの実数 m1, m2, m3, m4 に対して 0 でない定数 t で
tn1 = m1, tn2 = m2, tn3 = m3, tn4 = m4
をみたすものが 存在するときに限り, 方程式
m1x1 +m2x2 +m3x3 +m4 = 0
18
が定める平面と上の平面とが 一致 する.
平面 H の方程式
n1(x1 − a1) + n2(x2 − a2) + n3(x3 − a3) = 0
に対して, n3 ̸= 0 の場合, 平面の方程式は
x3 = −n1
n3
(x1 − a1)−n2
n3
(x2 − a2) + a3
と同値である. この形の方程式を平面の 第三座標表示方程式, あるいは z
座標表示方程式 という. この式は第三座標の値 x3 を２変数 (x1, x2) の関
数 として表しているものとみなせる. n2 ̸= 0 や n1 ̸= 0 の場合には, それ
ぞれ平面の第二座標表示方程式や平面の第一座標表示方程式が得られる.
例 法線ベクトルが (2, 3,−4) で点 (3,−2, 1) を含む平面 は次図の赤の平
面である.
–2–1
01
2
x0
12
y
–2
0
2
4
z
01
2
x–1
01
2
y
–2
0
2
4
z
図 12: 例で求めた平面の Stereographic Figures
19
その方程式は
2(x1 − 3) + 3(x2 + 2)− 4(x3 − 1) = 0
である. 標準形の方程式は
2x1 + 3x2 − 4x3 + 4 = 0
であり, 第三座標表示方程式は
x3 =1
2(x1 − 3) +
3
4(x2 + 2) + 1 =
1
2x1 +
3
4x2 + 1
である.
空間内の３点 A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3) が 一直
線上にないとき, これらの ３点を含む平面は一意的に定まる. この平面
の方程式を求める.
この平面上の点を X = (x1, x2, x3) とする. 求める平面の方程式を
n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4 = 0
とおいて, X に A, B, C を代入すると n1, n2, n3, n4 を変数とする３つの
方程式が得られる. これは定数倍を除けば一意的に解が存在するので, そ
れを求めればよい. (私が高校生のころ教わった方法)
行列式を使うと簡単に求めることができる.−→AB,
−→AC,
−→AX は求める平
面内にあるので, これらの３つのベクトルで生成される平行六面体の 体
積は 0 である. この３つのベクトルを並べてできる 3 × 3 行列の行列式
は 0 となる. したがって
det
b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3x1 − a1 x2 − a2 x3 − a3
= 0
が求める平面の方程式である.
この行列式は−→AB と
−→AC との外積
−→AB ×
−→AC と
−→AX との内積である
ことから, この平面の法線ベクトルは外積−→AB ×
−→AC =(∣∣∣∣∣b2−a2 b3−a3
c2−a2 c3−a3
∣∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣∣b1−a1 b3−a3c1−a1 c3−a3
∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣b1−a1 b2−a2c1−a1 c2−a2
∣∣∣∣∣)
20
で与えられる. そしてこの平面の方程式は
det
(b2 − a2 b3 − a3c2 − a2 c3 − a3
)(x1 − a1)
− det
(b1 − a1 b3 − a3c1 − a1 c3 − a3
)(x2 − a2)
+ det
(b1 − a1 b2 − a2c1 − a1 c2 − a2
)(x3 − a3)
= 0
となる.
例 空間内の３点 (1, 1, 1), (−1, 1,−1), (−1,−1, 1) を含む平面（前図の青
の平面)の方程式を求める.
その方程式は
det
−2 0 −2
−2 −2 0
x1 − 1 x2 − 1 x3 − 1
= 0
なので
(x1 − 1)− (x2 − 1)− (x3 − 1) = 0
であり, 標準形の方程式および第三座標表示方程式は
x1 − x2 − x3 + 1 = 0, x3 = x1 − x2 + 1
である.
１直線上にない３点 A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3) で
定まる平面上の点 X = (x1, x2, x3) に対して, ベクトル−→AB,
−→AC,
−→AX が
同一平面上にあることから定数 s, t で
−→AX = s
−→AB + t
−→AC
をみたすものが存在する. この式より
(x1, x2, x3)− (a1, a2, a3)
= s(b1−a1, b2−a2, b3−a3) + t(c1−a1, c2−a2, c3−a3)
21
が得られる. この式を平面の 媒介変数表示 といい, s を第一媒介変数, t
を第二媒介変数という.
平面を媒介変数で表示したとき, 第一媒介変数が係数となっているベク
トルと第二媒介変数が係数となっているベクトルとの 外積で法線ベクト
ル が与えれる. その法線ベクトルの向きを 平面の表側 とよぶ. また, そ
の法線ベクトルと 同じ向きで長さが 1 のもの を 単位法線ベクトル と
いう.
問題 5 以下の平面の方程式と長さが１の法線ベクトルをすべて求めよ.
(1) (−1, 2, 1) を法線ベクトルとし, 点 (2, 3, 4) を含む平面.
(2) (3, 2, 1) を法線ベクトルとし, 点 (1, 0, 0) を含む平面.
(3) ３点 (2, 0, 0), (−1, 1, 0), (0,−1, 1) を含む平面.
(4) ３点 (1,−1,−1), (−1, 1,−1), (−1,−1, 1) を含む平面.
(5) ３点 (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) を含む平面, ただし abc ̸= 0 とする.
2.3 空間内の球面の方程式
中心 A = (a1, a2, a3) 半径 r の球面 S 上の点 X = (x1, x2, x3) がみたす
方程式を求める.
X と A との距離が r であることから√(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + (x3 − a3)2 = r
が得られる. 平方根があると取り扱いが面倒なので, 両辺を２乗して得ら
れる方程式
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)
2 + (x3 − a3)2 = r2
を 球面 S の方程式 をいう.
空間内の 同一平面上にない４点 Ai = (ai1, ai2, ai3) (i = 1, . . . , 4) を含
む球面が唯一存在 する. その球面の方程式の求め方を紹介する.
その球面の中心の座標を (z1, z2, z3), 半径を r とおくと, 方程式
(x1 − z1)2 + (x2 − z2)
2 + (x3 − z3)2 = r2
22
で表示される. この球面に４点 Ai があることから, 変数が z1, z2, z3, r の
連立方程式
(ai1 − z1)2 + (ai2 − z2)
2 + (ai3 − z3)2 = r2, i = 1, . . . , 4
が得られる. 1 番目の方程式と 2, 3, 4 番目の方程式との差を考えると, 変
数が z1, z2, z3 の連立１次方程式
2
a21 − a11 a22 − a12 a23 − a13a31 − a11 a32 − a12 a33 − a13a41 − a11 a42 − a12 a43 − a13
z1z2z3
=3∑
j=1
a22j − a21ja23j − a21ja24j − a21j
が得られる (左辺の３次正方行列の 行列式は 0 でない).
この 連立方程式を解けば中心の座標 がわかり, 上記の 1 番目の方程式
にその値を 代入すれば r2 の値 も求まる.
中心が原点で半径 r の球面 S に対して, N = (0, 0, r) を S の北極,
(0, 0,−r) を S の南極という. 北極と南極を結ぶ直線を地軸という. 原点
通り地軸と直交する平面 x3 = 0 を赤道面という. 赤道面と球面 S との交
わりを赤道という. (x1, x3)-平面 x2 = 0 で x1 ≥ 0 をみたす半平面を H
とする. 半平面 H と S の交わりは, 北極と南極を含む半円であり S の
本初子午線という. 球面 S 上の点 X に対して, ベクトル−→ON と
−→OX と
の角度 を X の緯度 という. 緯度は 0 から π で指定する. 例えば, 北極
の緯度は 0 で南極の緯度は π であり, 赤道上の点の緯度は π/2 である.
北極と南極以外の S の点 X = (x1, x2, x3) に対して, X を平面 x3 = 0
に射影した点 (x1, x2, 0) を X ′ とする. ベクトル (1, 0, 0) と−→OX ′ との角
度 を X の経度 という. 経度は 0 から 2π で指定し, 北極と南極に対して
は, 経度は定義しない.
緯度と経度を定めれば, 球面 S 上の点 X は一意に指定できる. 実
際, 緯度と経度が (θ, φ) の球面上の点 X の座標は以下のように与えられ
る. 緯度が θ であることから, 第三座標 x3 の値は r cos θ であり, 原点
と X ′ = (x1, x2, 0) と結ぶ線分 OX ′ の長さは r sin θ である. 経度 φ は
(x1, x2)-平面 x3 = 0 内での x1-軸の正の部分と線分 OX ′ との角度と一致
するので,
cosφ =x1
|OX ′|=
x1
r sin θ, sinφ =
x2
|OX ′|=
x2
r sin θ
23
である. したがって, 下記の関係式を得る.
x1 = r sin θ cosφ, x2 = r sin θ sinφ, x3 = r cos θ. (1)
O�
����
����
x1軸
-x2軸
6x3軸
r X(x1, x2, x3)
p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p pp p p
p p p p p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p p p p p
p p pp p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
pppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppp ppppppppp
ppppppppppppppppp
x1
x2
x3
r X ′(x1, x2, 0)
bbbbbbbb
bbbbbbbb
rθ
φ
r cos θ
r sin θ
|OX ′| cosφ
|OX ′| sinφ
図 13: 空間の極座標
空間内の点の位置を原点からの距離 r と原点中心半径 r の球面におけ
る緯度と経度 (θ, φ) で表す方法を極座標という. ただし, r = 0 の点とし
て一意に定まる原点に対しては緯度 θ と経度 φ を, θ = 0, π となる地軸
上の点対しては経度 φ を定義しない.
極座標 (r, θ, φ) と直交座標 (x1, x2, x3) との関係式 (1) を空間の極座標
変換 ともいう. 極座標変換の式で r が一定で θ, φ が動くとすると, 原点
中心の半径 r の球面を埋め尽くす. 極座標変換の式で r を固定すると原
点中心の半径 r の球面を描くことを意味するので, この球面の媒介変数
表示が得られたことになる.
一般に A = (a1, a2, a3) を中心とし, 半径 r の 球面の媒介変数表示は,
(x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + (r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ),
24
–1
00.2
0.61
x 0
1
y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
–1
00.2
0.61
x 0
1
y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
図 14: z =√
1− x2 − y2 のグラフと極座標による媒介変数表示
0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π である.
次図は原点中心半径 1 の球面の北半球をコンピューターに描かせたも
のである. 左図では方程式 z =√
1− x2 − y2 を用いており右図では極座
標による媒介変数表示を用いている. 図を作成する際に計算する点の個
数は左図は右図の４倍に設定してあるにもかかわらず, 右図の方がきれい
に描かれている.
問題 6 中心が (1, 2, 3) で半径 5 の球面の方程式を求めよ.
問題 7 ４点 (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) を含む球面の方程式を求
めよ.
問題 8 (x1, x2, x3) = (−1, 1,−√6) の (0, 0, 0) からの距離 r, 緯度 θ, 経
度 φ を求めよ.
25
2.4 空間図形の方程式の応用
2.5 点 P と直線 L との位置関係
点 P が L 上の点かどうかの判定は, 直線 L を標準型の方程式で表示
し, 点 P の座標 (p1, p2, p3) がその方程式をみたすかどうかを判定すれば
よい. 直線 L の媒介変数表示
(x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + t(ℓ1, ℓ2, ℓ3)
を与え, P の座標 (p1, p2, p3) を与える媒介変数 t が存在するかを判定し
てもよい.
直線 L 内で点 P に一番近い点 X と P との距離
minX∈L
|PX|
を 点 P と直線 L との距離 という. 直線 L の媒介変数表示を利用する
と, 点 P と直線 L との距離を求めることができる.
点 P = (p1, p2, p3) と直線上の点 X = (x1, x2, x3) との距離 d は,√(x1 − p1)2 + (x2 − p2)2 + (x2 − p2)2
であり, この式の (x1, x2, x3) に L の媒介変数表示の式を代入すると
d =√
(tℓ1 + a1 − p1)2 + (tℓ2 + a2 − p2)2 + (tℓ3 + a3 − p2)2
が得られる. 距離の２乗 d2 は tの二次式でしかも t2 の係数は ℓ21+ ℓ22+ ℓ23
であり正である. この二次式を平方完成すれば d の最小値が求まる. 最小
値を与える t に対応する直線上の点が, 直線 L 内で P に一番近い点 で
ある.
実は, 幾何学的に考察すると X の座標も P と L との距離ももっと容
易に求めることができる. 直線 L 内で点 P に一番近い点 X は, ベクト
ル−→PX と直線の方向ベクトル ℓ⃗ とが直交する点 として特徴づけられる.
直線 L の点 X で P との距離が最小となる点 X の座標のみが必要な場
合は, ベクトル−→PX を直線の媒介変数表示を用いて与え, 直線の方向ベク
トル ℓ⃗ との 内積 ℓ⃗ ·−→PX を計算し 0 となるような t の値 を求めればよい.
26
距離のみ必要な場合は t = 0 に対応する L 上の点 A = (a1, a2, a3) と
t = 1 に対応する L 上の点 B = (a1, a2, a3) + (ℓ1, ℓ2, ℓ3) と P でできる三
角形の面積 S を考える. ２つの空間ベクトル x⃗ と y⃗ との外積 x⃗ × y⃗ の
大きさは x⃗, y⃗ で生成される平行四辺形の面積であったことを利用して S
の２通りの表示を与える.
rA
rB
rP
���
����
����
���
L
|ℓ⃗|
rX@@
@@@̀``````̀
������������
S
図 15: 点と直線との距離
S =1
2|−→AB||
−→PX| = 1
2|−→AP ×
−→AB|
を得る.−→AB = ℓ⃗ より, 直線 L と点 P の距離 |
−→PX| は
|−→PX| = |
−→AP × ℓ⃗|
|ℓ⃗|
である.
問題 9 以下の点 P と直線 L との距離を求めよ.
(1) 点 P = (1, 2, 3), 方向ベクトル ℓ⃗ = (1,−1, 1) で点 A = (0, 1,−2) を
通る直線 L.
(2) 点 P = (1, 0, 2), ２点 (3, 4,−2), (−2, 1, 2) を結ぶ直線 L.
27
2.6 点 P と平面 H との位置関係
点 P が H 上の点かどうかの判定は, 平面 H を方程式で表示し, 点 P
の座標 (p1, p2, p3) がその方程式をみたすかどうかを判定すればよい.
平面 H 内で点 P に一番近い点 X と P との距離
minX∈H
|PX|
を 点 P と平面 H との距離 という. 点 P と標準形の方程式が
n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4 = 0 ((n1, n2, n3) ̸= (0, 0, 0))
となる平面 H との距離の公式を以下で与える.
平面 H 内で点 P に一番近い点 X は, ベクトル−→PX が H の法線ベク
トルとなる点 として特徴づけられる. この性質を利用すると
(x1 − p1, x2 − p2, x3 − p3) =−→PX =
t√n21 + n2
2 + n23
(n1, n2, n3)
をみたす実数 t が存在する.1√
n21 + n2
2 + n23
(n1, n2, n3) はH の単位法線
ベクトルなので, この未知数 t の絶対値が P と H との距離 である.
前記の方程式を
(x1, x2, x3) = (p1, p2, p3) +t√
n21 + n2
2 + n23
(n1, n2, n3)
に変形する. 点 X が平面 H 上の点であることから平面の方程式 n1x1 +
n2x2 + n3x3 + n4 = 0 をみたしているので, t に関する方程式
t(n21 + n2
2 + n23)√
n21 + n2
2 + n23
+ n1p1 + n2p2 + n3p3 + n4 = 0
が得られる. したがって点 P と平面 H との距離は
|n1p1 + n2p2 + n3p3 + n4|√n21 + n2
2 + n23
である.
問題 10 以下の点 P と平面 H との距離および P に一番近い H の点 X
の座標を求めよ.
28
(1) 点 P = (1, 1, 1), 法線ベクトル n⃗ = (2, 3,−1) で点 (−1, 0, 1) を含む
平面 H.
(2) 点 P = (2,−1, 1), ３点 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 3,−1) を含む平面H.
2.7 点 P と球面 S との位置関係
点 P が球面 S 上の点かどうかの判定は, 球面 S を方程式で表示し, 点
P の座標 (p1, p2, p3) がその方程式をみたすかどうかを判定すればよい.
球面 S 内で点 P に一番近い点 X と P との距離
minX∈S
|PX|
を 点 P と球面 S との距離 という. 点 P と中心 A 半径 r の球面 S と
の距離は, 点 P と A を結ぶ直線を考えることにより
||AP | − r|
であることがわかる.
問題 11 以下の点 P と球面 S との距離を求めよ.
(1) 点 P = (−1, 1, 0), 中心 (2, 3,−1) で半径 2 の球面 S.
(2) 点 P = (2, 0, 1), 中心 (0, 0, 1) で半径 3 の球面 S.
2.8 ２直線 L1 と L2 との位置関係
２直線 L1 と L2 の方向ベクトル ℓ⃗, m⃗ に対し, ℓ⃗ = tm⃗ をみたす実数 t
が存在するとき, L1 と L2 は 平行 であるという.
２直線 L1 と L2 が平行のとき, L1 と L2 に 共通点が１点でもある と
２直線 L1 と L2 は 一致 する. L1 からどんな点でもいいから１点 P を
とり, P が L2 の点かを判定すれば L1 と L2 が一致するかが判定できる.
２直線 L1 と L2 が平行でないとき, L1 と L2 の共通点はあったとして
も１点である.
L1 と L2 の共通点が１点のとき, L1 と L2 は 交叉するという.
29
２直線 L1 と L2 が平行でなく, 共通点がないときに L1 と L2 は ねじ
れの位置 にあるという.
２直線 L1 と L2 が平行でないときに, 交叉するかねじれの位置にある
かの判定手段を紹介する.
まず L1 と L2 の媒介変数表示
L1 : (x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + t(ℓ1, ℓ2, ℓ3) = a⃗+ tℓ⃗ (2)
L2 : (x1, x2, x3) = (b1, b2, b3) + u(m1,m2,m3) = b⃗+ um⃗ (3)
を与える. これらの方程式から x1, x2, x3 を消去して
(a1, a2, a3) + t(ℓ1, ℓ2, ℓ3) = (b1, b2, b3) + u(m1,m2,m3)
が得られる. この式は各成分が一致することを意味するので変数が t, uの
方程式が３つ得られることになる.
そこから ２つ方程式を選び連立方程式を解く. その解 (t, u) = (t0, u0)
を残りの方程式に代入して, 等式が成立しなければ L1 と L2 は ねじれの
位置にある.
(t0, u0) が残りの方程式をみたしている ならば
(a1, a2, a3) + t0(ℓ1, ℓ2, ℓ3) = (b1, b2, b3) + u0(m1,m2,m3)
で L1 と L2 は 交叉 する.
直線 L1 内の点 X と直線 L2 内の点 Y との距離 |XY | のとり得る最小値
minX∈L1,Y ∈L2
|XY |
を 直線 L1 と直線 L2 との距離 という.
２直線 L1 と L2 が 平行である とき, 直線 L1 上の任意の点 P と直線
L2 との距離が２直線 L1 と L2 との距離となる. したがって, この場合の
２直線の距離を求めることは点と直線の距離を求める ことに帰着できる.
２直線 L1 と L2 が 平行でない ときに, L1 と L2 の距離の求め方を紹
介する. ２直線 L1 と L2 の媒介変数表示 (2),(3) よりL1 上の点 X と L2
上の点 Y との距離はベクトル
(a1, a2, a3)− (b1, b2, b3) + t(ℓ1, ℓ2, ℓ3)− u(m1,m2,m3)
30
の大きさ一致するので
f(t, u) =
√√√√ 3∑k=1
(tℓk−umk+ak−bk)2
である. この t, u に関する２変数関数 f(t, u) の最小値を求めればよい が
計算がかなり面倒である.
距離 |XY | の最小値を与える L1 上の点を X, L2 上の点を Y とする.
Y と L1 との距離が直線 L1 と L2 との距離であり, 点 X が L1 内では Y
に一番近い点である. 従って L1 の方向ベクトル ℓ⃗ = (ℓ1, ℓ2, ℓ3) と−→Y X は
直交 する. 同様に L2 の方向ベクトル m⃗ = (m1,m2,m3) と−→Y X は直交
する.
点 X の座標を媒介変数表示 (2) で, 点 Y の座標を媒介変数表示 (3)
で表し, 上記の条件を内積を用いて記述すると, t, u に関する連立１次方
程式−→Y X · ℓ⃗ = (⃗a− b⃗+ tℓ⃗− um⃗) · ℓ⃗ = 0−→Y X · m⃗ = (⃗a− b⃗+ tℓ⃗− um⃗) · m⃗ = 0
が得られる. この方程式を解けば X, Y の座標が得られる. X, Y の座標
が得られたので, 大きさ |−→Y X| を計算すれば２直線 L1, L2 の距離が得ら
れる.
実は２直線 L1, L2 の距離は, X, Y の座標がわからなくても求まる. 求
めたいものは |−→Y X| であり,
−→Y X は ℓ⃗ と m⃗ と直交しているので, それは
外積 ℓ⃗× m⃗ のある定数倍 c(ℓ⃗× m⃗) に等しい. また,−→Y X と L2 上の点 B
と L1 上の点 A とを結ぶベクトル−→BA との内積を考える.
−→BA =
−→BY +
−→Y X +
−→XA であり,
−→BY ,
−→XA はともに
−→Y X と直交する
ので−→Y X ·
−→BA =
−→Y X · (
−→BY +
−→Y X +
−→XA) =
−→Y X ·
−→Y X
である. 外積との内積は３つのベクトルでできる行列の行列式になるこ
とから以下の公式を得る.
|−→Y X| =
−→Y X ·
−→Y X
|−→Y X|
=
−→Y X ·
−→BA
|c(ℓ⃗×m⃗)|=
c(ℓ⃗×m⃗) · (⃗a−b⃗)
|c||ℓ⃗×m⃗|=
∣∣∣∣∣∣∣det ℓ⃗
m⃗
a⃗−b⃗
∣∣∣∣∣∣∣
|ℓ⃗× m⃗|.
31
この式から ℓ⃗, m⃗,−→BA で生成される平行六面体の体積 V を ℓ⃗, m⃗ で生成
される平行四辺形の面積で割ったもの, つまりこの平行六面体の高さと等
しいことがわかる.
問題 12 以下の２直線 L1, L2 の距離を求めよ. また, その最短距離を与
える L1 の点 X1 と L2 の点 X2 の座標を求めよ.
(1) 方向ベクトル ℓ⃗ = (1, 1, 1) で 点 (3, 1, 0) を通る直線 L1, 方向ベク
トル ℓ⃗ = (1,−1, 1) で点 (0, 0, 2) を通る直線 L2.
(2) 方向ベクトル ℓ⃗ = (3, 2, 1) で 点 (−1, 1, 2) を通る直線 L1, ２点
(3, 4,−2), (−3, 0,−4) を結ぶ直線 L2.
(3) ２点 (1, 0, 0), (0, 0, 1) を結ぶ直線 L1 と２点 (0, 1, 0), (0, 0,−1) を
結ぶ直線 L2.
2.9 直線 L と平面 H との位置関係
直線 L の方向ベクトル ℓ⃗ と平面 H の法線ベクトル n⃗ が直交するとき,
直線 L と平面 H は 平行 であるという. 直線 L と平面 H が 平行 のと
き, L と H に共通点が１点でもあると直線 L は平面 H に含まれる.
直線 L と平面 H が 平行でない とき, 直線 L と平面 H は 必ず１点で
交わる. その交点の求め方を紹介する.
直線 L の媒介変数表示
(x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + t(ℓ1, ℓ2, ℓ3) ((ℓ1, ℓ2, ℓ3) ̸= (0, 0, 0))
によって x1, x2, x3 が媒介変数 t を用いて表示される. その値を平面 H
の方程式
n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4 = 0 ((n1, n2, n3) ̸= (0, 0, 0))
へ代入すると t に関する１次方程式 が得られる. その解を直線 L の媒介
変数表示へ代入すれば交点の座標が得られる.
直線 L内の点 X と平面 H 内の点 Y との距離 |XY |のとり得る最小値
minX∈L,Y ∈H
|XY |
32
を 直線 L と平面 H との距離 という.
直線 L と平面 H が平行でないとき, 直線 L と平面 H は交わるので,
直線 L と平面 H との距離は 0 である.
直線 L と平面 H が平行のとき, L 内の任意の点 P と平面 H との距
離を直線 L と平面 H との距離となる. 直線 L と平面 H との距離の計
算は点と平面の距離の計算に帰着される.
問題 13 以下の直線 L と平面 H とが交わる場合は交点を求め, 交わら
ない場合は距離を求めよ.
(1) 方向ベクトル ℓ⃗ = (1, 1, 1) で 点 (−1, 1, 2) を通る直線 L, 法線ベク
トル n⃗ = (3, 2, 5) で点 (−1,−2,−3) を含む平面 H.
(2) ２点 (0, 0, 0), (1, 1, 1) を結ぶ直線 L, ３点 (1,−1,−1), (−1, 1,−1),
(−1,−1, 1) を含む平面 H.
(3) 方向ベクトル ℓ⃗ = (4, 12,−9) で点 (1, 1, 2) を通る直線 L, 法線ベク
トル n⃗ = (3, 2, 4) で点 (7, 5, 3) を含む平面 H.
2.10 直線 L と球面 S との位置関係
直線 L と球面 S の交点の個数は, 0 か 1 か 2 である. 交点の個数 1 の
とき, 直線 L は球面 S に接するという.
直線 L と球面 S の交点の求め方を紹介する. 直線 L の媒介変数表示
(x1, x2, x3) = (a1, a2, a3) + t(ℓ1, ℓ2, ℓ3)
によって x1, x2, x3 が媒介変数 t を用いて表示される. その値を球面 S の
方程式
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)
2 + (x3 − a3)2 = r2
へ代入すると t に関する ２次方程式 f(t) = 0 が得られる.
２次方程式 f(t) = 0 が 異なる２つの実根をもつ とき, 直線 L と球面
S は ２点で交わる. その交点の座標は f(t) = 0 の２つの実根を直線 L の
媒介変数表示へ代入すれば得られる.
33
２次方程式 f(t) = 0 が 重根をもつ とき, 直線 L は球面 S に 接する.
その接点の座標は直線 L の媒介変数表示へ f(t) = 0 の重根を代入すれ
ば得られる.
２次方程式 f(t) = 0 が 実数解をもたない とき, 直線 L と球面 S は 交
わらない.
直線 L 内の点 X と球面 S 内の点 Y との距離 |XY | のとり得る最小値
minX∈L,Y ∈S
|XY |
を 直線 L と球面 S との距離 という.
球面 S の半径を r とし, 球面 S の中心 A と直線 L との距離を d とす
ると, 直線 L と球面 S との距離は, max{d− r, 0} である. また, 直線 L
が球面 S に接するための必要十分条件は, 直線 L と球面 S の中心との
距離が球面の半径に一致することである.
問題 14 以下の直線 L と球面 S とが交わる場合は交点を求め, 交わらな
い場合は距離を求めよ.
(1) 方向ベクトル ℓ⃗ = (−3, 2, 2) で点 (−1, 5, 4) を通る直線 L, 中心
(0, 1, 1) 半径 3 の球面 S.
(2) ２点 (1,−1,−1), (−1, 1, 1) を結ぶ直線 L, 中心 (4,−4,−2) 半径 6
の球面 S.
(3) ２点 (−3, 4,−4), (−4, 6,−2) を結ぶ直線 L, 中心 (3, 0, 4) 半径 5 の
球面 S.
2.11 平面 H1 と平面 H2 との位置関係
２平面 H1 と H2 の法線ベクトル n⃗, m⃗ に対し, n⃗ = tm⃗ をみたす実数
t が存在するとき, H1 と H2 は 平行 であるという.
２平面 H1 と H2 が 平行でない とき, H1 と H2 の交わりは直線 と
なる.
平面 H1 と H2 の位置関係は, それらの方程式を
n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4 = 0, m1x1 +m2x2 +m3x3 +m4 = 0
34
としたとき, この連立方程式が解をもつかで判定される. それは線形代数
学 I で習ったように, 行列
M =
(n1 n2 n3
m1 m2 m3
), M̃ =
(n1 n2 n3 n4
m1 m2 m3 m4
)
の階数を調べればわかる.
命題 6 (２平面の位置関係)
• 平面 H1 と H2 が直線で交わる ⇔ rank(M) = rank(M̃) = 2.
• 平面 H1 と H2 が一致せず平行 ⇔ rank(M) = 1, rank(M̃) = 2.
• 平面 H1 と H2 が一致 ⇔ rank(M) = rank(M̃) = 1.
平面 H1 内の点 X と平面 H2 内の点 Y との距離 |XY | のとり得る最小値
minX∈H1,Y ∈H2
|XY |
を 平面 H1 と平面 H2 との距離 という.
２平面 H1 と H2 が 平行でない とき, 必ず交わるので平面 H1 と平面
H2 との 距離は 0 である.
２平面 H1 と H2 が 平行 なとき, 平面 H1 の 任意の点 P と H2 との距
離が２平面 H1 と H2 の距離 となる. ２平面 H1 と H2 の距離の計算は,
点と平面の距離の計算に帰着 できる.
平行でない２平面 H1 と H2 の交線の方程式の求め方を紹介する. 求め
る直線はどちらの平面にも入っているので, この直線の方向ベクトルは２
平面の法線ベクトルと直交する.
従ってこの直線の方向ベクトル ℓ⃗ = (ℓ1, ℓ2, ℓ3) は２平面の法線ベクト
ルの外積(det
(n2 n3
m2 m3
),− det
(n1 n3
m1 m3
), det
(n1 n2
m1 m2
))
であり, ２平面が平行でないので ℓ⃗ は 0 ベクトルとはならない.
35
あとはこの直線上の１点をみつければ, 媒介変数表示が得られる. ℓ⃗
には 0 でない成分があるので, それが ℓ3 であるとする. つまり ℓ3 =
det
(n1 n2
m1 m2
)̸= 0 とする. ２平面の方程式は
(n1 n2
m1 m2
)(x1
x2
)= −
(n3x3 + n4
m3x3 +m4
)と表示することができる.
det
(n1 n2
m1 m2
)̸= 0 の仮定より
(n1 n2
m1 m2
)は逆行列をもつ. それを上
記の両辺に左からかけると(x1
x2
)= −
(n1 n2
m1 m2
)−1(n3x3 + n4
m3x3 +m4
)(4)
が得られる.
この式の x3 に 0 を代入して得られる x1, x2 の値を c1, c2 とすると
(c1, c2, 0) は求める直線上の点であり, この直線の媒介変数表示
(x1, x2, x3) = (c1, c2, 0) + t(ℓ1, ℓ2, ℓ3)
が得られる.
ℓ3 ̸= 0 を仮定したが ℓ1, ℓ2 が 0 でない場合も同様に直線の方程式が得
られる.
注意 1 実は式 (4) はこの直線の x3 自身を媒介変数とする媒介変数表示
とみなすことができる.
２平面 H1 と H2 が平行でないとき, その 交わりの直線 L と２平面上
にない点 A を含む平面の方程式 の求め方を紹介する.
実数 k に対して, 方程式
fk(x1, x2, x3) = (n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4)
+k(m1x1 +m2x2 +m3x3 +m4) = 0
はある平面を定める. 直線 L の任意の点 P = (p1, p2, p3) は
n1p1 + n2p2 + n3p3 + n4 = 0, m1p1 +m2p2 +m3p3 +m4 = 0
36
をみたすので, k がどんな値でも fk(p1, p2, p3) = 0 をみたす. したがって
k がどんな値でも平面 fk(x1, x2, x3) = 0 は直線 L を含む. 求める平面
fk(x1, x2, x3) = 0 は点 A = (a1, a2, a3) を含むことから
(n1a1 + n2a2 + n3a3 + n4) + k(m1a1 +m2a2 +m3a3 +m4) = 0
をみたし, 点 A が２平面上にないことから
m1a1 +m2a2 +m3a3 +m4 ̸= 0
である. ゆえに k の値が
k = −(n1a1 + n2a2 + n3a3 + n4)/(m1a1 +m2a2 +m3a3 +m4)
となるので, 求める方程式は
(m1a1 +m2a2 +m3a3 +m4)(n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4)
− (n1a1 + n2a2 + n3a3 + n4)(m1x1 +m2x2 +m3x3 +m4) = 0
である.
問題 15 以下の２平面 H1, H2 が直線で交わる場合はその方程式を求め,
交わらない場合は距離を求めよ.
(1) 法線ベクトル n⃗ = (4, 5, 6) で点 (1, 2, 3) を含む平面 H1, 法線ベク
トル n⃗ = (3, 4, 5) で点 (0, 1, 2) を含む平面 H2.
(2) ３点 (−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0,−1) を含む平面 H1, ３点 (1, 0, 0),
(0,−1, 0), (0, 0, 1) を含む平面 H2.
問題 16 ２平面H1 : x1 + x2 + x3 = 3, H2 : x1 − x2 +2x3 = 0 の交わり
と点 A = (2, 2, 2) を含む平面の方程式を求めよ.
2.12 ３平面 H1, H2, H3 の交わり
３平面 H1, H2, H3 の交わりは, ３つの平面の方程式の連立方程式を解
くことで求めることができる. ３つの平面の方程式を
ni1x1 + ni2x2 + ni3x3 + ni4 = 0 (i = 1, 2, 3)
37
とする. 線形代数学 I で習ったようにその解の様子は
M =
n11 n12 n13
n21 n22 n23
n31 n32 n33
, M̃ =
n11 n12 n13 n14
n21 n22 n23 n24
n31 n32 n33 n34
の階数を調べればわかる. ３平面の位置関係をより正確に記載するため
に, M と M̃ の第 i 行を取り除いた小行列をM(i∨) と M̃(i∨) とする.
命題 7 (３平面の位置関係)
• ３平面が１点で交わる ⇔ rank(M) = rank(M̃) = 3.
• どの２平面も重ならず３平面が直線で交わる⇔ rank(M) = rank(M̃) = 2, M̃(i∨) = 2 (i = 1, 2, 3).
• 重なる２平面があり, それらと他の１面が直線で交わる
⇔ rank(M) = rank(M̃) = 2, M̃(i∨) = 1 となる i が存在.
• ３平面が一致する ⇔ rank(M) = rank(M̃) = 1.
• ３平面が三角柱の側面となる⇔ rank(M) = 2, rank(M(i∨)) = 2 (i = 1, 2, 3), rank(M̃) = 3.
• ２平面が平行でそれらが残りと１面と直線で交わる⇔ rank(M) = 2, rank(M(i∨)) = 1 となる i が存在, rank(M̃) = 3.
• 重なる２平面がなく３平面が平行⇔ rank(M) = 1, rank(M̃) = 2, rank(M̃(i∨)) = 2 (i = 1, 2, 3).
• ２平面が重なり残りの１面がそれと平行⇔ rank(M) = 1, rank(M̃) = 2, rank(M̃(i∨)) = 1 となる i が存在.
問題 17 以下の３平面 H1, H2, H3 の交わりを調べよ.
(1) H1 : x1+x2+x3 = 1, H2 : x1+2x2+3x3 = 4, H3 : 2x1+3x2+
5x3 = 0.
(2) H1 : x1 + x3 = 1, H2 : x2 − 2x3 = −1, H3 : x1 + x2 − x3 = 0.
(3) H1 : x1−x2−x3 = 2, H2 : 3x1−x2+2x3 = 1, H3 : 4x1− 2x2+
x3 = 0.
38
2.13 平面 H と球面 S との位置関係
平面 H と球面 S は交わる場合と交わらない場合がある. 平面 H と球
面 S とが交わるとき, その 交わりは円となるか１点 である.
平面 H と球面 S とが１点で交わる とき, 平面 H は球面 S に接する
という. そのとき平面 H は球面 S の接平面であるといい, 交点を 接点
という.
平面 H と球面 S とが円で交わるとき, その 円の中心 C の座標と半
径の求め方 を紹介する. まず球の中心 A = (a1, a2, a3) と平面 H との距
離 d を求める. 平面と球面が交わっているので d ≤ r である. d は球の
中心と求める円の中心 C との距離と一致しているので, 三平方の定理よ
り, 求める円の半径は√r2 − d2 である. また, ベクトル
−→AC は平面 H の
法線ベクトルとなっている. したがって, 平面 H の 単位法線ベクトルを
(n1, n2, n3) とすると, C の座標は
(a1, a2, a3) + d(n1, n2, n3), (a1, a2, a3)− d(n1, n2, n3)
のいずれかである. C は平面 H に含まれるので, H の方程式をみたす方
が C の座標となる.
球面 S : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)
2 + (x3 − a3)2 = r2 と平面
H : n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4 = 0が円で交わるとき,その円を含み点 B =
(b1, b2, b3) を通る球面の方程式 の求め方を紹介する.
実数 k に対して
fk(x1, x2, x3) = k(n1x1 + n2x2 + n3x3 + n4)
+(x1 − a1)2 + (x2 − a2)
2 + (x3 − a3)2 − r2 = 0
は ある球面の方程式 である. 球面 S と平面 H の交わりの円内の任意
の点 P = (p1, p2, p3) は
n1p1 + n2p2 + n3p3 + n4 = 0, (p1 − a1)2 + (p2 − a2)
2 + (p3 − a3)2 = r2
をみたすので fk(p1, p2, p3) = 0 をみたす. つまり 任意の k に対し
て fk(x1, x2, x3) = 0 は球面 S と平面 H の交わりの円を含む. 球面
fk(x1, x2, x3) = 0が点Bを通ることからkに関する１次方程式 fk(b1, b2, b3) =
39
0 が得られる. この方程式を解き, その 解を fk(x1, x2, x3) = 0 に代入す
ればよい.
球面 S の点 P = (p1, p2, p3) における 接平面 H の方程式 を求める. 接
点 P と球面 S の中心 A = (a1, a2, a3) とを結ぶ直線は, 接平面H と直交
する. 従って−→PA が接平面 H の法線ベクトルである. 接平面 H は接点
P を含むので
(a1 − p1)(x1 − p1) + (a2 − p2)(x2 − p2) + (a3 − p3)(x3 − p3) = 0
が H の方程式である. また, この方程式は
(p1 − a1)(x1 − a1) + (p2 − a2)(x2 − a2) + (p3 − a3)(x3 − a3) = r2
に変形できる.
平面 H 内の点 X と球面 S 内の点 Y との距離 |XY |のとり得る最小値
minX∈H,Y ∈S
|XY |
を 平面 H と球面 S との距離 という. 球面 S の半径を r とし, 球面 S の
中心 A と平面 H との距離を d とすると, 平面 H と球面 S との距離は,
minX∈H,Y ∈S
|XY | = max{d− r, 0}
である. また, 平面 H が球面 S に接する ための必要十分条件は, 平面 H
と球面 S の中心との距離が球面の半径に一致 することである.
問題 18 以下の平面 H と球面 S が交わる場合は交わる円の中心の座標
と半径を求め, 交わらない場合は距離を求めよ.
(1) 法線ベクトル n⃗ = (−3,−2,−1) で点 (1, 1, 1) を含む平面 H, 中心
(0, 1, 2) 半径 2 の球面 S.
(2) ３点 (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) を含む平面 H, 中心 (−1,−1,−1) 半
径 1 の球面 S.
問題 19 以下の球面 S と球面上の点 P での接平面の方程式を求めよ.
(1) 中心 (0, 0, 0) 半径 5√2 の球面 S, P = (3, 4, 5).
(2) 中心 (7, 5, 3) 半径 3 の球面 S, P = (5, 3, 2).
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2.14 球面 S1 と球面 S2 との位置関係
球面 S1 と球面 S2 は交わる場合と交わらない場合がある. 球面 S1 と
球面 S2 とが交わるとき, その交わりは 球面となるか円となるか１点 で
ある.
球面 S1 と球面 S2 と一致する場合のみ, それらの交わりは球面となる.
球面 S1 と球面 S2 とが １点で交わる とき, 球面 S1 は球面 S2 に接する
といい, その交点を 接点 という.
相異なる球面 S1 と球面 S2 の半径を r1, r2 とし, 中心 A1 と A2 との
距離を d とすると
d < |r1 − r2|, r1 + r2 < d ならば S1 と S2 は 交わらない,
d = |r1 − r2|, r1 + r2 = d ならば S1 と S2 は 接する,
|r1 − r2| < d < r1 + r2 ならば S1 と S2 は 円で交わる.
|r1 − r2| = d のとき S1 と S2 は 内接 するといい, r1 + r2 = d のとき
S1 と S2 は 外接 するという.
球面 S1 と S2 が 内 (外)接 する場合, 接点の座標はS1 の中心 A1 と S2
の中心 A2 からできる 線分の r1 : r2 の外 (内)分点 である.
球面 S1 と S2 の距離は
minX∈S1,Y ∈S2
|XY | =
d− (r1 + r2) if r1 + r2 < d
0 if |r1 − r2| ≤ d ≤ r1 + r2|r1 − r2| − d if d < |r1 − r2|
である.
球面 S1 と球面 S2 とが円で交わる場合, その 円の中心 C の座標と半
径 およびその円を含む 平面 H の方程式 の求め方を紹介する.
球面 S1 と球面 S2 の方程式を
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)
2 + (x3 − a3)2 = r21,
(x1 − b1)2 + (x2 − b2)
2 + (x3 − b3)2 = r22
とする. 実数 k に対して, 方程式
fk(x1, x2, x3) = {(x1 − a1)2 + (x2 − a2)
2 + (x3 − a3)2 − r21}
+k{(x1 − b1)2 + (x2 − b2)
2 + (x3 − b3)2 − r22} = 0
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が定める集合 Vk を考える. 以前と同様に考えて, 任意の k に対して Vk
は球面 S1 と S2 の交わりを含む. k = −1 に対しては Vk は x21, x
22, x
23 の
項がなくなり, 平面に退化してしまう がやはり球面 S1 と S2 の交わりを
含む. 従って
{(x1 − a1)2 + (x2 − a2)
2 + (x3 − a3)2 − r21}
− {(x1 − b1)2 + (x2 − b2)
2 + (x3 − b3)2 − r22} = 0
が求める平面 H の方程式である. 交わりの円の中心の座標と半径 はこ
の円が この平面 H と球面 S1 の交わり であると考えて求めることがで
きる.
問題 20 以下の球面 S1, S2 が交わる場合は交わる円の中心の座標と半径
を求め, 交わらない場合は距離を求めよ.
(1) 中心 (0, 0, 0) 半径 2 の球面 S1, 中心 (3,−3, 3) 半径 3√3 の球面 S2.
(2) 中心 (5, 4, 3) 半径 3 の球面 S1, 中心 (−1,−2, 0) 半径 6 の球面 S2.
(3) 中心 (0, 0, 0) 半径 5 の球面 S1, 中心 (1,−1, 0) 半径 2 の球面 S2.
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