エネルギー機能材料学特論 第4回目 担当：西野...
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授業の内容
• プラズマの運動方程式を考える前に，まず電磁場内での粒子の運動を調べる。
• これを、単粒子運動(single particle motion)という。
– 荷電粒子と電磁場との相互作用であるローレンツ力
– 特に,磁場内での運動
• 一様磁場
• 空間で一様でない磁場
• 時間的に変動する磁場
– クーロン衝突について
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電磁場中で荷電粒子にかかる力
• 電磁場中の荷電粒子の運動を説明する。
• 一様磁場中では荷電粒子はサイクロトロン運動（円運動）することはよく知られている。
• 第一回目の復習をすると，まず，電磁場中では荷電粒子はローレンツ力を受ける。
• ここに、Fは力、ｑは電荷、ｖは速度、Eは電場、Bは磁束密度である。
• もし、E=0なら、
• よって、
• 力は磁場と速度に垂直。すなわち，これは磁場に垂直方向には円運動の式である。
• 磁場と平行方向には磁場の力は働かない
q F E v B
m q F a v Bdm qdt
v v B
広い意味でのローレンツ力は、電場と磁場の力を意味する
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の意味するところは
• もし，プラズマ中の個々の粒子が互いに影響なく運動できるなら，
– 磁場に垂直方向には
• イオンと電子はそれぞれ反対方向に回る円運動
– 磁場に平行方向には
• イオンと電子は自由に動く
• すなわち,イオンと電子はらせん状に動いている
• どのように回転するのか試算してみよう
v B
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サイクロトロン運動とサイクロトロン周波数
• 前に運動方程式から回転運動の部分をとる
• から
• この回転運動をサイクロトロン(ラーマー，Larmor)運動と呼び,その回転周波数はプラズマの特性を表す基本的な量のひとつである。
• 例
• 電子サイクロトロン周波数
• 質量数A,Z価イオンのサイクロトロン周波数
• ちなみに, 2.45GHzは電子レンジの電磁波(マイクロ波）の周波数であるが，磁束密度が875gaussでの電子サイクロトロン周波数である
, vdm q rdt
v v B
2mr qr B qBm
102.80 102
e B
［例えば、B=１Tで28GHz］
71.52 102
i Z BA
すなわち,かなり高い周波数で回転する
[ ]Hz
[ ]Hz
毎秒の回転数は速度によらない各粒子(q、m) により、毎秒の回転数は磁束密度で決まる
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ラーマー半径
• では，サイクロトロン運動の半径はどうか?
• この半径の事をラーマー（Larmor）半径という
• 特徴は，粒子速度に比例し，磁場に反比例すること，また，ｍに比例することからいわゆる重い粒子はラーマー半径が大きい
• 電子とイオンが同じエネルギーの場合は,イオンのラーマー半径は電子のそれより 倍大きい 理由を考えよ
• 熱速度で表した電子のラーマー半径は
• イオンのそれは
2v vm q Br
2mr qr B v vmrqB
/i em m q
1/2 1/26 12.38 10e e e
e
m T TeB e B
1/2 1/24 1 11.02 10i i i
i
mT ATeB Z e B
[ ], [ ]eTm eVe
[ ], [ ]iTm eVe
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ドリフト運動について
• 以上のように,磁場中では荷電粒子はかなり高速で回転しながらその回転中心の部分が磁場に平行に動くと考えるのが基本である。
• この回転の中心を案内中心（guiding center）と呼ぶ。
• すなわち、電磁場中の荷電粒子は，高速回転しながらその案内中心がゆっくり動いていると考えられる。
• そこで、粒子の運動そのものを記述するより、この案内中心の運動で粒子の運動を代表させることが考えられた。
• 代表的な案内中心の運動にドリフト（drift）運動がある。
ドリフト近似
• 今，一様磁場の空間で，磁場に垂直方向に電場があるとき，この案内中心の動きを試算しよう。
• 速度をサイクロトロン運動の部分と案内中心の部分に分けて,
• 案内中心はゆっくり動くので,その時間微分を０とすると
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dm qdt
vF E v B
c d v v v
0d E v B 2d B
E Bv
( ) ( )c dc d
dm qdt
v v E v v B
cc
dm qdt
v v B
dd
dm qdt
v E v B
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EｘBドリフト
• 前項で求めたドリフトをExB(イークロスビー）ドリフトと呼び,ドリフトの中でも最も重要なものである。
• 特徴は,荷電粒子の電荷によらない 電子も正イオンも同じ方向
• すなわち，電流が流れない
• ドリフトには多くの種類があるが，これは，ExBドリフトのみの特徴である。
• また、通常実験室レベルでは，他のドリフトより大きい。
• 一様な静磁界に一般の外力Fがかかった時のドリフト
2d B
E Bv
2qBF B
電荷qがある
• 各自この表式を導いてみよう
• 今、Bはｚ方向に一様な磁場B0とする。静電場Eはx方向成分のみをもち、その大きさは以下の式のように周期λ（k=2π/λ）で正弦的に変化するとして，どのようにドリフトが変わるか調べる
• をx方向の単位ベクトルとして,
• これを
• に代入し、粒子の旋回運動１周期
• にわたる平均を取ると、
• x方向のドリフト速度＝０、
• y方向のドリフト速度ｖｙは、
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一様な静磁界に空間変動電場が重なった時のドリフト
x 0 ˆ( ) cosx kx xE E
dm qdt
v E v B
2 20 0( ) / 1 / 4d y cE x B k v v
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有限ラーマー効果
• 前頁の結果は、非一様電場のための修正因子として、
• をかけたものであり、一様電場よりはドリフト速度は低下する
• 一般的な考察によると、
• となり、電場Eの空間2次微分の項が影響する。
• このρcの部分を持つ項を有限ラーマー効果と呼ぶ。
• 注意：イオンのρcは、電子のそれに対してかなり大きいので、この値は同一のEの空間変動に対しては、イオンの方がはるかに大きい。従って、ドリフト速度の大きさはイオンと電子と異なり、一般に電流が生じる
2 21 / 4ck
2 2 21 / 4 /d y c B v v E B
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空間的に非一様な磁場
• 磁力線の性質
• 下図のように、真空の静磁場中で磁力線のある部分Pが曲率半径Rcで曲がっている時、Pでの磁界ベクトルBはその点における接線方向
にある。
• そして、磁場の大きさ|B|は湾曲の凹側(曲率中心)に向けて増大し、そ
の増大率はその点における曲率半径に逆比例する
Bの垂直方向の空間変化率⊥Bは、結局
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( / )( / )
( / )c c c
c c
B B R R
B R
R
R
曲率半径ベクトル
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非一様磁場中のドリフト
• 磁力線の曲がりによるドリフトが存在する。
• 一つは、Bの曲がりによる遠心力ドリフト、
• 他は磁場の大きさが変化することによって起こるドリフトである。
• 曲がった磁力線にからんだ粒子（質量m、電荷q）の運動を考える。
• 粒子は螺旋運動をしながら曲率半径Rcの点Pにくるとしよう。
• 磁力線に平行方向の速度V//、
• 磁力線に垂直方向の速度V⊥
• として粒子に働く遠心力Fcの大きさ
• は、曲率半径Rcを用いて
• となる。
• この式を前の一般の外力のドリフトの式に代入すると、
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遠心力ドリフト
2 2/ /(v / )c c cm RF R
2 2 2/ /( / )(v / )( )d c cm q R B v R B
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磁場の大きさが変化することによって起こるドリフト
• 磁場が下図のように、上にいくほど大きくなる時、サイクロトロン運動の半径は上に行くほど小さくなる。
• 従って、イオンの軌道は図のようにだんだん右の方向にドリフトする。
• このドリフト速度を計算すると、
わかりやすく書くと上は円の半径が小さく下は円の半径が大きい
B
⊥B＋
20
2 2 20
( / ) ( / )
( / ) ( ) / (v / 2)d
c c
W qB B B
m q B R
v B
R B磁場に垂直な速度の運動エネルギー
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非一様磁場中のドリフトの表式
• 最終的には，磁場の性質から二つのドリフトが同時に存在するため,その足し合わせとなるから
• 特徴
• 磁力線に平行な速度v//と垂直な速度v⊥が同程度の寄与をする
• 曲率半径Rcの小さなところで増大する
• 速度が同程度であれば，イオンのほうが電子より大きい
• 正イオンと電子は逆方向
2 2 2 20 / /( / ) ( ) / v / 2d c cm q B R v v R B
ドリフトの方向を決める
凡そ、粒子の運動エネルギー
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補足 磁気モーメントW⊥
• 磁場中で旋回運動を行っている荷電粒子の磁気モーメントなる量を考える。電磁気学ではひとつの閉じた電流ループの電流値Iとループの面積Sの積の大きさとし,電流の方向に右ねじを回したときにねじが進む方向の向きを持つベクトルを磁気モーメントと定義する。
• 磁場中で旋回運動を行う荷電粒子は，サイクロトロン周波数とラーマー半径を用いて,電流値が（qΩ/2π），面積が（πρ2）のひとつの電流ループを形成しているので,
• となる。
• 実は,周期系の力学においてｑとｐを共役な正準変数とするとき、1周期について取った作用積分
• が断熱不変量で、速度v⊥、半径ρの旋回運動において、これを求めると、上記の磁気モーメントになる
2 2( / 2 )( ) v / 2 /q m B
J pdq
「磁場Bをゆっくり増やすと、磁場に垂直方向の運動エネルギーが大きくなる」磁場に平行成分は?
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補足の補足
• 断熱不変量とは？
– 系に含まれるパラメータが時間的にゆっくり変化する時は保存される量
• では，時間的にゆっくりとは？
– この場合は、系の運動が周期的であるから、その周期に比べてゆっくり起こると考えればよい。
– すなわち、一周する程度ではほとんど変わらない変化のしかたである。
– 当たり前のことになるが、系により上記の時間は変わる。また、人間の感覚での評価ではないことに注意しよう。
断熱という意味 不変量
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磁気モーメントの断熱不変性の応用例
• 下図のようなコイルが平行に置かれた磁場配位をミラー磁場という。
• この磁場配位内の荷電粒子の運動を考える。磁気モーメントμmは一定であるから、Bの増大と共にW⊥（磁場の垂直方向の運動エネルギー）は増大し、W//は減少する。
• 従って、粒子によっては、コイルの近傍でW//が0になり、その結果、
粒子が反射されて戻ってくる（磁気ミラーの由来）。
よって、適当な条件を持つ粒子は磁気ミラーの間を往復し、外に抜け出せない
プラズマの閉じ込めに利用できる（筑波大学，GAMMA 10)
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反射の条件
• 磁気ミラーで反射される粒子の条件を調べる。
• 反射されるには、磁場の強い位置で磁場に平行な速度を失う必要があ
る。すなわち、磁場の強い位置で、W//=0となることが必要である。
• 今、中央面（磁場最小）での粒子の速度ｖ0とし、それが磁力線に対
する角度をθmとする。この粒子が磁場最大のコイル部に来た時、
• v//＝0であるから、v⊥=v0となるから
• μmの保存より
• よって
2 20 maxv / 2) ( v / 2 mm m B
2 20 max min minv / 2) / ( v / 2 /m B m B
2max 0
2 2min
v 1v sin m
BRB
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反射の条件 つづき
• すなわち、中央面（最小磁場位置）での初期粒子速度の磁場に対する角度θがこのθmより大きい粒子はトラップされ、小さい粒子は逃げ出す。
• 最大磁場と最小磁場の比であるこのRをミラー比と呼んでいる。
• また、速度空間上でこの角度で作られる円錐をロスコーン（損失円錐）という。下図参照
• 簡単のために、旋回中心が磁場の中心軸の粒子を考えていたが、非中心軸の粒子でも本質は変わらない。但し、磁束密度Bの半径方向の勾配のために、磁界の勾配に基づく方位角方向のドリフトが加わる。
θm
v//
v⊥
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静磁場に垂直なプラズマの実効誘電率
• 一様な電場によるEｘBでは，電流は生じないが，電場が時間的に変動した場合はどうであろうか?
• 下図のような簡単な場合で考えてみる
• この場合では,通常のExBに対応する ドリフト以外に
• という振動するドリフト運動が加わる。
• Vpは電荷によって方向が逆（qがある），電場の時間変化に比例する
• 電磁気学で言う分極（現象）である
平行平板の間にあるプラズマをコンデンサーに例える一様磁場が電極面に平行で，
電極面に垂直に時間変動する電場が加わる。
E B
20/ /p m qB d dtv E
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分極電流と誘電率
• 新しいドリフトによる電流（分極電流）ｊｐを求めよう
• より，振動成分は，質量に比例するためイオンによるものが主である
• イオンの密度ni，質量mi,電荷Ziとして
• より,プラズマを誘電体としてみた時の実効誘電率が直ちに求まる
• 電磁気の復習
• 分極ベクトルPと分極電流ｊｐは
• 電束密度Dと誘電率εは• すると,実効比誘電率εSは
20/ /p m qB d dtv E
20/ /p i i pi i ieZ n n m B d dtj v E
/ pd dt P j0 D E E P
2 2 20 0 0 0 0
16 20
/ 1 ( / ) 1 /
1 1.9 10 ( / )s i i i i
i i
n m B c n m B
An B
最も軽い水素イオンでもB0=１Tの時， ni= 1017m-3（蛍光灯程度）で，εs～20， ni= 1020m-3でεs～ 104という大きな値である
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クーロン衝突について
• クーロン散乱の断面積を調べる
• 上図は，2体衝突を重心Oから見た図で，χは衝突前後の偏角，ｂは衝突係数（impact parameter）と呼ばれる。
• 衝突の前後で相対速度の大きさｕは変わらない（弾性衝突）
• 今,χ方向の微小立体角dΩへ散乱される断面積をσ(χ)dΩとすると
dbdb )(2
最重要
プラズマの世界で最も頻度が大きい衝突過程である。
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続き（少し式が続きます）
• また， だから
• よって，
• 質量m,電荷qの粒子と質量m*,電荷q*の粒子がクーロン衝突するとbとχの間には
• の関係が成り立つ。mrは換算質量で
• 従って,クーロン散乱（ラザフォード散乱）の断面積は,以下のようになる
dd sin2
ddbb
sin)(
*4)2/cot(
20
qqbumr
**
mmmmmr
2220
2
)2/(sin8*)()(
umqq
r
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弾性衝突による運動量の変化
• 二つの粒子の衝突前の速度をv,v*とし，衝突後のそれをv+δv，v*+δv*とする。
• 運動量保存より，
• 相対速度ｕ（=ｖ-ｖ*）をつかい
• 運動量ｐで書くと、
• エネルギーの変化δεは
0** vv mm
uuv mm
mmm r
*
*
uuv **
*mm
mmm r
* r ep p m m u u
2 2 2
2 2 2rm m mm m v v v V v u v v
但し、 は重心の速度で、* **
m mm m
v vV 0 V
衝突の前後で、エネルギー保存から
2 2
22* *2 2r rm m m m m m
V Vu u u
よって、 22( ) 2 u u u u
前頁のδv等の式を使って、 rm m V v V u * * * rm m V v V u
u
uu uχ
u
u
衝突による偏角χを用いると
2
sin (1 cos )
sin 2sin2
u
u
u n u
n u
n
2* sin 2 sin2r rm u m p p n uよって
2* sin 2 sin2r rm u m n V u V
次に、q*、m*の場の粒子が密度n*で分布しており、v*で走っているとする。そこへ、 q、mのテスト粒子がvで走ると、1回の衝突で前ページの運動量、エネルギーの変化を受けるが、dtの時間内に受ける運動量、エネルギーの平均的変化は、それぞれ
* ( , )n udt u d p
* ( , )n udt u d である。
運動量もエネルギーも表式が似ているので、以下、エネルギーで説明すると
* ( , )d n u u ddt
sinrm u n Vの式の第一項の積分 は、0であるから(対称性)
24 * sin ( , )sin2r
d m n u u ddt u V
衝突断面積σにクーロン散乱を用いると 積分がχ=0で発散0
cot( / 2)d
そこで、プラズマ中のデバイ遮蔽を考慮して、デバイ半径λD以上では電場が0と考える。したがって、積分の下限が0ではなく、ある値χminとして計算することにより、積分ができる。
この積分値を、 と書き、クーロン対数と呼ぶ。
min min
1ln cot ln2 sin 2
d
ln
クーロン対数を用いると
2
2 30
* * ln4 r
n qqddt m u
u V
22 30
* * ln4 r
n qqddt m u
p u同様に となる。
電荷の積の二乗に比例速度差の二乗に反比例
式が長いが、主張していることは、デバイの長さ程度でクーロン力が遮蔽されるため、積分が有限の値で求まることになる
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レポート
• 一様にコイルを巻いたドーナッツ殻状の真空容器（単純トーラスと呼ぶ）内にプラズマを生成してもそのプラズマは磁場を横切って流出してしまう。その理由を考えよ。