ホモロジー群によるアルファベットの分類

数学教育専修 2511018

佐々木 康英

序論

ホモロジー群とは，トポロジーの研究でしばしば用いられる不変量である．幾何的対象

の各次元に存在する「穴」を代数的に表現したものがホモロジー群である．近年，ホモロ

ジー群はトポロジーの研究分野の他に，工学分野のセンサーネットワークや生命科学の分

野などへの応用もされている．

本研究は，身近な図形である文字をホモロジー群で分類可能かに着目した．文字そのも

のの各次元の「穴」の数に着目すれば分類結果は明らかで，多くの文字を分類することは

できない．そこで，第 2章で紹介する方法でさらに詳細な文字の分類を試みる．

第 1章

§1 オイラー数

オイラー数はトポロジーの不変量として最初に発見され，かつ最も重要なものの 1つで

ある．点と直線からなる単純な図形である平面グラフを考察することで，オイラー数の概

念をまとめる．平面上，または球面上の連結平面グラフを𝐺，𝐺の頂点の数を𝑉(𝐺)，辺の

数を𝐸(𝐺)，面の数を𝐹(𝐺)とするとオイラーの公式

𝑉(𝐺) − 𝐸(𝐺) + 𝐹(𝐺) = 2

が成り立つ．オイラーの公式の応用として，格子点上に成り立つ格子多角形𝑃の面積を求

められるピックの公式に，証明を与えている．そして，種数𝑔の閉曲面上のオイラー数を

定義し，向き付け可能，または不可能閉曲面の性質について確認する.

§2 回転数

単位円周𝑆1からそれ自身への連続写像全体の集合をホモトピーという関係で類別した

集合は，回転数という数で分類できることを示す．その応用として，代数学の基本定理や

任意の連続写像𝑓: 𝐷2 → 𝐷2は不動点をもつというブラウアーの不動点定理，そして，連続

写像𝑓: 𝑆2 → 𝐑2に対し，𝑓(−𝑎) = 𝑓(𝑎)となる点𝑎 ∈ 𝑆2が存在するという，ボルスク・ウラム

の定理に証明を与える．

また，曲面上のベクトル場の考察から，向き付け可能閉曲面上のベクトル場の孤立特異

点の指数和は，向き付け可能閉曲面のオイラー数と一致するという，ポアンカレ・ホップ

の定理を導く．

§3 単体的ホモロジー群

ホモロジー理論において，中心的な役割を果たす加群の性質をまとめる．

次に，幾何の性質を代数的に扱うために𝑛単体を定義する．𝑛は単体の次元を表す．この

単体は，2 次元の 3 角形を一般の次元に拡張したものである．そして，有限個の単体から

なる集合𝐾が，１）𝑠を𝐾に属する単体とするとき，𝑠の面はまた𝐾に属する．２）𝑠，𝑠′を𝐾に属

する 2つの単体とし，𝑠 ∩ 𝑠′が空でないとき，𝑠 ∩ 𝑠′は𝑠の面であると同時に𝑠′の面でもある．

の１）２）を満たすとき，𝐾を単体複体という．

単体に向きをつけ，チェイン群𝐶𝑞(𝐾)を定義すると，向きの付いた単体の境界を代数的

に表現できる．たとえば，向きの付いた𝑞単体⟨𝑠⟩ = ⟨𝐴0𝐴1 … 𝐴𝑞⟩の境界𝜕(⟨𝑠⟩)を

𝜕(⟨𝑠⟩) ≔ ∑(−1)𝑞

𝑞

𝑖=1

⟨𝐴0𝐴1 … 𝐴𝑖−1𝐴�̂�𝐴𝑖 … 𝐴𝑞⟩

と定めると準同型写像

𝜕: 𝐶𝑞(𝐾) → 𝐶𝑞−1(𝐾)

を得る。この準同型写像𝜕をバウンダリー作用素という．バウンダリー作用素は 2 度続け

ると零写像になる．単体複体𝐾に対して

𝑍𝑞(𝐾) ≔ ker(𝜕: 𝐶𝑞(𝐾) → 𝐶𝑞−1(𝐾) )

𝐵𝑞(𝐾) ≔ im(𝜕: 𝐶𝑞+1(𝐾) → 𝐶𝑞(𝐾) )

と定める．𝑍𝑞(𝐾)は境界のない𝑞次元図形，𝐵𝑞(𝐾)は𝑞 + 1次元図形の境界となっている𝑞次

元図形と思える．そして，𝑍𝑞(𝐾)と𝐵𝑞(𝐾)の差を表す剰余群または商群

𝐻𝑞(𝐾) ≔ 𝑍𝑞(𝐾) 𝐵𝑞(𝐾)⁄

を単体複体𝐾の𝑞次ホモロジー群という．次の定理は，ホモロジー群はオイラー数より豊富

な情報をもっていることを示唆している．

定理 オイラー・ポアンカレの公式

χ(𝐾) = ∑(−1)𝑞rk (𝐻𝑞(𝐾))

𝑛

𝑞=0

χ(𝐾)は単体複体𝐾のオイラー数，rk (𝐻𝑞(𝐾))は加群𝐻𝑞(𝐾)の階数で，𝐾の𝑞次ベッチ数とい

う．

第 2章

§1 概要

アルファベットの大文字をホモロジー群で分類可能かを調べることにする．分類する文

字のフォントはMicrosoft Wordの「Century」「MS明朝」「MSゴシック」「HGS創英角

ポップ体」「HGP教科書体」とする．しかし，単にホモロジー群を調べるだけでは，多く

の文字が分類できないのは明らかであるため，特別な分類方法を与える．そして，ホモロ

ジー群が変化する様子で文字を分類可能か調べる．このとき，次の命題がいえる．

命題

𝐾:平面図形を構成する単体複体

𝐻𝑞(𝐾) = 0(𝑞 ≥ 2)

§2 結果

Microsoft Wordの 5種類のフォント「Century」「MS 明朝」「MSゴシック」「HGS創

英角ポップ体」「HGP 教科書体」を分類した結果，すべて分類不可能であった．分類でき

なかった文字は次の表に示す通りである．

ホモロジー群が一致した文字を(A, B)，(A, b)のように示す．大文字同士の組は，1 種類

のフォント内で分類できなかった場合で，大文字と小文字の組は，2 種類のフォントでホ

モロジー群が一致したもの同士を表す．つまり，Century「A」とMS明朝「B」が分類で

きなかった場合，(A, b)と表す．また，両方のフォントでホモロジー群が一致した場合は，

括弧無しで示す．表より，ポップ体以外の「U」と「V」が分類できなかったことがわか

る．そして，MS ゴシック，HGS 創英角ポップ体，HGP 教科書体では分類できなかった

文字が増えたことから，フォント特有のとめやはねなどが，ホモロジー群の計算に影響を

与えていることがわかった．

次に，手書きの文字の分類を試みた．30人の手書きの文字の分類を行ったが，全て分類

できない結果となった．しかし，既存のフォントで分類できなかった「U」と「V」が，

30人中 22人で分類可能となっていた．一方，様々な文字のホモロジー群が一致する中で，

特に「S」と「X」とホモロジー群が一致する場合が多かった．

以上の結果によりホモロジー群は，既存のフォントと手書きの文字の分類には不適切で

小

大 Century 明朝 ゴシック ポップ体 教科書体

Century (J, Z)(U, V)

C, F, I, L, N, O,

P, T, U, V, Y, Z

(J, Z, z)

(U, V, u, v)

I, O

(J, Z, s)

(J, Z, c, g, s, x, z)

(O, d, o, p)

C, O

(J, Z, s, z)

明朝 (U, V)

I, O

(O, d, o, p)

(Z, s)

(Z, c, g, s, x, z)

C

(O, d, o, p)

(Z, s, z)

ゴシック

(D, O, P)

(U, V, Y)

(L, T)

D, O, P, Q

(S, c, g, s, x, z)

(F, i, l)

D, O, P, S

(S, s, z)

ポップ体

(C, G, S, X, Z)

(D, O, P)

(I, L)

(J, V)

D, J, O, P, S, Z

(I, L, f)

教科書体

(D, O, P)

(H, N)

(I, T, L)

(U, V, Y)

(S, Z)

あることがわかった．特に，手書きの文字の方が，ホモロジー群が一致する文字が増えて

しまい，分類困難であった．

今後の研究課題としては，既存のフォントを斜め方向からも計算することが考えられる

が，「U」と「V」の結果は一致してしまうことが予想される．そこで，計算方向を 360度

方向から行い，ホモロジー群が変化する瞬間の様子から分類が考えられる．また，文字の

出現率と合わせて分類できるかも考えられる．たとえば，「S」と「X」は本研究では同じ

ホモロジー群となったが，ホモロジー群が変化するタイミングは異なる．ホモロジー群が

一致した他の文字も，出現率によって差があることが考えられるため，出現率と合わせた

分類が考えられる．そして，本研究の方法でアルファベット小文字や平仮名等，他の文字

を分類できるかが課題として考えられる．

参考文献

枡田幹也，『代数的トポロジー』，朝倉書店，2002．

瀬山士郎，『トポロジー:柔らかい幾何学』，日本評論社，1988．

田村一郎，『トポロジー』，岩波全書，1972．

河原英介，『レタリング日本字・英字』，ビジネス社，1981．