ニュートン力学と回転運動 - kem3.com · 2016. 1. 7. ·...

ニュートン力学と回転運動

首都大学東京・理工学研究科・物理学専攻

溝口憲治

１）ニュートンの力学3つの法則

２）回転運動転がり落ちる速さを決めるもの

３）自転車安定性と手放し運転

˚2008/3/19　科学技術高校出張講義

˚

運動：ニュートンの三法則

第一法則：慣性の法則第二法則： F = ma

第三法則：作用・反作用

2008/3/19　科学技術高校出張講義

ベクトルとしての力のつり合い˚


ベクトル方向と大きさを持つ量

ベクトルとしての力のつり合い˚


ベクトル方向と大きさを持つ量

v = (vx, vy, vz)

vx

vy

vz

x

y

z


ベクトルのかけ算内積と外積


ベクトルのかけ算内積

A・B = AB cosθ内積の定義



vAxx

y

B

A

vBx

vBy

vAy

θ




vAxx

y

B

A

vBx

vBy

vAy

θ


i

j単位ベクトル



vAxx

y

B

A

vBx

vBy

vAy

θ


B cosθ

i

j単位ベクトル



vAxx

y

B

A

vBx

vBy

vAy

θ


平行 //

θ=0º：cosθ=1

A・B = AB

i

j単位ベクトル



vAxx

y

B

A

vBx

vBy

vAy

θ


平行 //

θ=0º：cosθ=1

A・B = AB

垂直 !

θ=90º：cosθ=0

A・B = 0i

j単位ベクトル


ベクトルのかけ算内積（数値）


A = (Ax, Ay, Az)

B = (Bx, By, Bz)




A = (Ax, Ay, Az)

B = (Bx, By, Bz)

= (Ax i+Ay j+Az k)

= (Bx i+By j+Bz k)

x, y, z-方向の

単位ベクトル

長さが１




A = (Ax, Ay, Az)

B = (Bx, By, Bz)

A•B = (Ax i+Ay j+Az k)•(Bx i+By j+Bz k)

= (Ax i+Ay j+Az k)

= (Bx i+By j+Bz k)




A = (Ax, Ay, Az)

B = (Bx, By, Bz)


= (Ax i+Ay j+Az k)

= (Bx i+By j+Bz k)

= (AxBx i•i+AyBy j•j+AzBz k•k)+

+(AxBy i•j+AxBz i•k+AyBx j•i+AyBz j•k+AzBx k•i+AzBy k•j)




A = (Ax, Ay, Az)

B = (Bx, By, Bz)


= (Ax i+Ay j+Az k)

= (Bx i+By j+Bz k)

" i•i=1, j•j=1, k•k=1, i•j=0 etc.

= (AxBx i•i+AyBy j•j+AzBz k•k)+

+(AxBy i•j+AxBz i•k+AyBx j•i+AyBz j•k+AzBx k•i+AzBy k•j)

= AxBx +AyBy +AzBz


ベクトルのかけ算外積（ベクトル）

|A!B| = AB sinθ外積の定義




vAxx

y

B

A

vBx

vBy

vAy

θ




vAxx

y

B

A

vBx

vBy

vAy

θ

B sinθ高さ




vAxx

y

B

A

vBx

vBy

vAy

θ

=底辺×高さ=面積




vAxx

y

B

A

vBx

vBy

vAy

θ

=底辺×高さ=面積

ベクトルの方向はA!B ! A, ! B

例：i!j = k

ニュートンの運動法則のまとめ˚


１）慣性

２）F = ma

３）作用・反作用



１）慣性

２）F = ma


1 kg



１）慣性

２）F = ma


F

1 kgどっちが切れる？



１）慣性

２）F = ma




１）慣性

２）F = ma

３）作用・反作用加速度 a は、外力 F に比例する。



１）慣性

２）F = ma


重力の場合

F = mg

⇒

a = g加速度 a は、外力 F に比例する。



１）慣性

２）F = ma


重力の場合

F = mg

⇒

a = g

地表の重力による加速度は質量にはよらない！！

⇩回転運動でも同じ！加速度 a は、外力 F に比例する。



１）慣性

２）F = ma

３）作用・反作用加速度 a は、外力 F に比例する。



１）慣性

２）F = ma


もし、作用・反作用の法則が成り立っていなかったら...

↓地球はどこかに飛んでいく...加速度 a は、外力 F に比例する。

˚

運動の独立性（ベクトル加算性）




x-方向、y-方向、z-方向の運動の独立性（ベクトル加算性）



x-方向、y-方向、z-方向の運動の独立性（ベクトル加算性）

⇩並進運動と回転運動の独立性（加算性）

斜面を転がる運動˚2008/3/19　科学技術高校出張講義

F = mg


床からの抗力

床からのまさつ力


a 床からのまさつ力

まさつが無い

と

滑って行

く



回転を生み出す２つの力トルク、力のモーメント



回転を生み出す２つの力トルク、力のモーメント

力の支点が

ずれた


a


＝並進運動＋回転運動

a


＝並進運動＋回転運動

a

重心の重心の周りの

ニュートン力学と保存則˚


運動量 P (= mv) 保存則



運動量 P (= mv) 保存則

「運動の激し

さ」



運動量 P (= mv) 保存則F = ma = m(dv/dt) （ニュートンの第二法則）



運動量 P (= mv) 保存則F = ma = m(dv/dt)

= d(mv)/dt = dP/dt

（ニュートンの第二法則）



運動量 P (= mv) 保存則F = ma = m(dv/dt)

= d(mv)/dt = dP/dt

（ニュートンの第二法則）

（ F = 0 なら P = 一定）

慣性の法則

転がり落ちる時に大事なのは・・・



力学的エネルギー E 保存則

転がり落ちる時に大事なのは・・・



力学的エネルギー E 保存則

E = 位置エネルギー（mgh）＋運動エネルギー（mv2/2) = 一定


ニュートン力学とエネルギー保存則E = 位置エネルギー（mgh）＋運動エネルギー（mv2/2) = 一定


ニュートン力学とエネルギー保存則位置エネルギー（mgh）

高さ x

0

mg

高さ x

0



高さ x

0

mg h

仕事 W

W =力・距離= F・x = Fx cosθ

高さ x

0



高さ x

0

mg h

仕事 W


= mg・h

= mgh (θ=0º, cosθ=1)

高さ x

0



高さ x

0

仕事 W


高さ x

0

mg



高さ x

0

仕事 W


高さ x

0

mg

L

何故ならば、g ! L (θ=90º, cosθ=0)



高さ x

0

仕事 W


高さ x

0

mg

L

= mg・L = 0 !!


ニュートン力学とエネルギー保存則E = 位置エネルギー（mgh）＋運動エネルギー（mv2/2) = 一定


ニュートン力学とエネルギー保存則運動エネルギー（mv2/2）

高さ x

0

g

v



高さ x

0

g

h

v



速度 v

v = 加速度・時間= gt

高さ x

0

h

g

v



速度 v


高さ x

0

h

g

v

重力場がした仕事 W

W = " F・v dt



速度 v


高さ x

0

h

g

v


W = " F・v dt

W = " F・(dx/dt) dt = " F・dx



速度 v


高さ x

0

h

g

v


W = " F・v dt

= mg・g " t dt

= mg2t2/2 = mv2/2



速度 v


高さ x

0

h

g

v


W = " F・v dt

= mg・g " t dt

= mg2t2/2 = mv2/2

= 運動エネルギー



速度 v

v = 加速度・時間= gt重力場（位置エネルギー）がなした仕事 W は、

物質が得た運動エネルギーに等しい！重力場がした仕事 W

W = " F・v dt

= mg・g " t dt

= mg2t2/2 = mv2/2




速度 v

v = 加速度・時間= gt重力場（位置エネルギー）がなした仕事 W は、

物質が得た運動エネルギーに等しい！重力場がした仕事 W

W = " F・v dt

= mg・g " t dt

= mg2t2/2 = mv2/2


力学的エネルギー保存則


斜面を転がる運動


＝並進運動＋回転運動斜面を転がる運動

2つの錘が円周に付いている時




支点




vG重心の速度

vR錘の重心周りの速度


回転運動と回転エネルギー

R



2つの錘が何処に付いているか？に依存した速度 => エネルギーを持つ

R




ER = mvG2/2

EG = mvG2/2 vG

R




ER = mvG2/2

EG = mvG2/2

ER = mvG2/8

vG

R




ER = mvG2/2

EG = mvG2/2

ER = mvG2/8

vG

ER/EG = 1　R

ER/EG = 1/4　R/2

EG + ER = mgh

R



ER/EG = 1　R

ER/EG = 1/4　R/2

EG + ER = mgh



EG = mgh – ER = mgh – EG EG = mgh – ER = mgh – EG/4

ER/EG = 1　R

ER/EG = 1/4　R/2

EG + ER = mgh




ER/EG = 1　R

ER/EG = 1/4　R/2

EG + ER = mgh

" EG = mgh/2 = mvG2/2

vG = (gh)1/2, R に錘 m




ER/EG = 1　R

ER/EG = 1/4　R/2

EG + ER = mgh

" EG = mgh/2 = mvG2/2 " EG = 4mgh/5 = mvG

2/2

vG = (8gh/5)1/2, R/2 に錘 mvG = (gh)1/2, R に錘 m


転がし競争の予想！！

氷

氷の詰まった缶

空の缶

液体の入った缶



氷


空の缶


円周の長さ分外側の氷の量が多い



氷


空の缶


水は摩擦なし

回転なし重心の並進運動のみ




氷


空の缶


水は摩擦なし



vG



氷


空の缶


水は摩擦なし



1vG



氷


空の缶


水は摩擦なし



2 1vG



氷


空の缶


水は摩擦なし



2 3 1vG



円柱鋼鉄

円柱大鋼鉄

プラスチック球

これらの回転体の転がり速度の順番は？

プラスチック球殻

円柱プラスチック



円柱鋼鉄

円柱大鋼鉄





vG



円柱鋼鉄

円柱大鋼鉄





1

vG



円柱鋼鉄

円柱大鋼鉄





2 1

vG

2 2



円柱鋼鉄

円柱大鋼鉄





2 31

vG

2 2

回転運動の運動方程式˚


並進運動の運動方程式

回転運動の運動方程式

F = dP/dt

N = dL/dt剛体の運動を与える基本方程式

L = mr!v　角運動量N = r!F　力のモーメント

回転運動の方程式と自転車の車輪˚


N = dL/dtL = mr!v　角運動量N = r!F　力のモーメント




r

r




r

r

v

v

L




F

F

r

r

NL




!"

#$%

回転運動のまとめ˚


N = dL/dt




N = dL/dt


１）転がり落ちる速さは、「回転運動をし難い」ほど遅くなる。



N = dL/dt



２）回転半径 r が大きい部分は速度が速くなるため「回転し難い」



N = dL/dt




３）水は、缶との間に摩擦が無いため、「回転せず、並進運動のみ」な

ので速い。



N = dL/dt




３）水は、缶との間に摩擦が無いため、「回転せず、並進運動のみ」な

ので速い。４）回転軸の向きを変えようとすると、回転軸が直角方向に変わる。

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