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マルチスケール法解説（１）

慶應義塾大学 理工学部 機械工学科高 野 直 樹

naoki@mech.keio.ac.jp

2015年7月15日

JSCES 不確かさのモデリング・シミュレーション法に関する研究会（第1回会合） マルチスケールシミュレーションとは

高野ほか, 機論(1997)

応力など物理量が観察可能な顕微鏡つき万能バーチャル試験機

マルチスケールシミュレーションとは

ミクロマクロ

FRP

10

70(MPa)

35

均質化

局所化

240N

4.00×108

-4.00×108

(Pa)

-40

40(MPa)

多孔質セラミックス

均質化法によるシミュレーション手順

Unit cell modeling

Microscopic analysis

Macrostructure modeling

Macroscopic analysis

Localization

Homogenized

properties

Macroscopic

strain

Characteristic

displacements

Microscopic

stress

均質化

局所化

均質化法の理論への導入

Unit cell

Heterogeneous media

PeriodicScale ratio

Replacement of the heterogeneous material by an

“equivalent” homogeneous one. (I.Babuska, 1976)

The same “unit cell” exists everywhere in the equivalent

homogeneous model

Periodicity of unit cell

Equivalent homogeneous media

均質化法の理論への導入

Unit cell

Heterogeneous media

PeriodicScale ratio x1

x2

y1

y2

i

i

xy

ex. 1 mm = (0.001 mm) / (0.001)

is a very small positive number.

W

YMacroscale: x Microscale: y

iii yxx

1

2

均質化法の理論への導入

Two-scale asymptotic expansion yxuxuu ,10

＝

＋

均質化法の理論への導入

Homogenization with

periodicity condition

Scale-free problem

smaller

Unit cell

Averaging principle: WW WW

ddYfY

dfY

y

x 1lim

0

均質化法の理論への導入

Yj

iijkl

Yj

i

q

kl

p

ijpq dYy

uEdY

y

u

yE

Microscopic equation:

Macroscopic equation:

Homogenized elastic tensor:

WW dutd

x

u

x

uE ii

j

i

l

kH

ijkl

0

Yq

kl

p

ijpqijkl

H

ijkl dYy

EEY

E1

kl

p : characteristic displacement

W

W dutd

y

u

x

uE ii

j

i

l

kijkl

Microscopic stress:l

k

q

kl

p

ijpqijklijx

u

yEE

0

Macroscopic stress:l

kH

ijklY

l

k

q

kl

p

ijpqijklij

H

ijx

uEdY

x

u

yEE

Y

001

均質化法の理論への導入

ミクロスケール

マクロスケール

yu εσ D

ミクロ変位： ミクロひずみ：

ミクロ応力： ミクロ弾性係数：

マクロひずみ：

マクロ応力： マクロ弾性係数：

εE

σΣ HD

マクロ変位： xu

εDσH

Dεσ ミクロ構成方程式：

マクロ構成方程式：

321 ,, xxxx

321 ,, yyyy

マクロスケールとミクロスケールの関係： xy

均質化法に基づく数理モデルで定義される物理量

周期関数

＋特性変位： χ

マルチスケールシミュレーション法

Qmicro

Qmacro

Mmicro

DH

Mmacro

Qmacro

DH

Mmicro

均質化解析Mmicro DH

マクロ解析Mmacro

Qmacro

ミクロ解析

Qmicro

マクロ－ミクロ連成解析

均質化法 重合メッシュ法

Qmacro

DHMmicro

Mmacro

ミクロモデル

マクロモデル

物理量（ミクロ）

物理量（マクロ）

等価なマクロ特性

Qmicro

： 幾何情報： 素材の特性

0

F

u

u

KK

KK p

L

G

LTGL

GLG

LGuuu

x

yxuxuu ,10

DXDD ,HH XD

均質化法の事例：FRPのマルチスケール解析

After deep-drawing

N.Takano, et al., International Journal of Solids and Structures, 37 (2000).

N.Takano, et al., International Journal of Solids and Structures, 38 (2001).

Deep-drawing

Process simulation

3

均質化法の事例：FRPのマルチスケール解析

N.Takano, et al., International Journal of Solids and Structures, 38 (2001).

均質化法の事例：多孔質アルミナ

Porosity: 11.2% Porosity: 28.9%

Ex Ey Ez

Compression 268

Resonance -

303 304 267

Experimental

Homogenization

Young's Modulus

301

302

unit:GPa unit:GPa

Ex Ey Ez

Compression 136

Resonance -

163 174 138

Experimental

Homogenization

Young's Modulus

169

171

y

z x

針状気孔を有する多孔質アルミナのイメージベースモデリング

木村・高野ほか, 日セラ協 (2002)

均質化法の事例：多孔質アルミナ

針状気孔を有する多孔質アルミナのイメージベースモデリング

4-point bending test

240N

4.00×108

-4.00×108

(Pa)

Macroscopic analysis

1 . 0 0 × 1 0 8

7 . 0 0 × 1 0 8

( P a )

3 . 5 0 × 1 0 8

Microscopic analysis Pore High stress region

x≧0.60GPa x≧0.45GPa

IJSS (2003)

均質化法＋重合メッシュ法の事例：多孔質チタン

多孔質チタンの均質化解析と重合メッシュ法による初期破壊予測

RVE size 1512μm

Voxel element size 7.2μm

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0.5 1 1.5 2 2.5

変位(mm)

荷重

(N)

Pore diameter 180μm

Porosity ratio 70%

Pore diameter 90μm

Porosity ratio63%

IJMS (2010)

均質化法＋重合メッシュ法の事例：多孔質チタン

多孔質チタンの均質化解析と重合メッシュ法による初期破壊予測

気孔径180μ m荷重-変位曲線

0

10

20

30

40

50

60

0 0.5 1 1.5 2 2.5

変位 (mm)

荷重

(N

)

実験データマクロ物性値を用いたFEAデータ予想非線形挙動開始点

気孔径180μ mミクロ応力ヒストグラム

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 200 400 600 800

ミクロ相当応力 (MPa)

体積

頻度

0MPa

24.7MPa200MPa

0MPa

200

micro micro

MPa cV V

c=0.375

IJMS (2010)

MSMSE(2006)

不均質体のマルチスケールモデリング

porous

polycrystalliteparticles

fibers

geometrical information

volume fraction of phase k

morphology of phase k

constitutive model of

phase k

kkk

HH AVX DDD ,,

X

kA

kV

kD

4

モルフォロジーのモデリングと均質化＝平均化

1nm 1mm 1mm

mCTTEMT FIB-SEM

均質化モデルによるアップスケーリング

多孔質チタンｼﾞﾙｺﾆｱ溶射被膜ﾅﾉ粒子分散ｺﾞﾑ

US National Congress on Computational Mechanics(USNCCM2011), Minneapolis, MN, July 2011

Plenary Talk by Prof. J. T. Oden (The Univ. of Texas at Austin)

“Foundational Issues in Computational Mechanics:

Occam’s Razor, Predictive Modeling, Uncertainty

Quantification, and the Legacy of Thomas Bayes”

Figure by Prof.J.T.Oden

THE UNIVERSEof

PHYSICALREALITIES

OBSERVATIONSTHEORY /

MATHEMATICALMODELS

DECISION

KNOWLEDGE

COMPUTATIONALMODELS

ObservationalErrors

VALIDATION VERIFICATION

DiscretizationErrors

Data Errors

ModelingErrors

Verification -> Validation ?

ASME V&V

・まずVerificationを行う。その後にValidationを行う。・数理モデルの妥当性確認を行うには、シミュレーション

結果と実験結果を比較するのだから、Verificaitonを先に行うのは当然？

J.T.Oden先生・数理モデルが中心に位置する。・Verificationは数理モデルとシミュレーション結果の比較。・Validationは数理モデルと実験結果の比較。・数理モデルが直接計測で確かめられるなら、Verification

とValidationの順序は主たる問題ではない？

均質化法に基づく数理モデルの妥当性確認

ミクロスケール

マクロスケール

yu εσ D

ミクロ変位： ミクロひずみ：

ミクロ応力： ミクロ弾性係数：

マクロひずみ：

マクロ応力： マクロ弾性係数：

εE

σΣ HD

マクロ変位： xu

εDσH

Dεσ ミクロ構成方程式：

マクロ構成方程式：

321 ,, xxxx

321 ,, yyyy

マクロスケールとミクロスケールの関係： xy

均質化法に基づく数理モデルで定義される物理量

周期関数

多孔平板の引張問題のValidation事例

理論/数学モデル

計算モデル実験・計測

物理現象

モデル化誤差 離散化誤差

計測誤差

validation verification

①

②

① ミクロひずみ、マクロひずみの周期性の仮定の妥当性確認

② 上記の数理モデルに基づくシミュレーション結果の検証

Figure by Prof. J.T.Oden

5

多孔平板の引張問題のValidation事例ガスタービン発電システムに用いられる伝熱コア部

積層方向に均一なずれを持つ構造⇒半周期構造を定義する

完全な周期構造→ 均質化法によるマルチスケール解析

多孔平板の引張問題のValidation事例

unit：mm

45

24

45

38.4

7.68

4.81.0

材料:TSR-821

EPOXY

厚み：1mm

加工：光造形

CCDカメラコンピュータ

引張試験機

試験片

ライト カメラ

三次元非接触変形計測システムARAMIS (GOM社)

引張試験機LITTLE SENSTER

(東京試験機)

理論の妥当性を実験的に検証する。この際、ミクロな物理量とその平均として定義されるマクロな物理量の両者とも検証する。

多孔平板の引張問題のValidation事例

ミクロひずみの周期性の仮定（数理モデル）の妥当性確認

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 1.536 3.072 4.608 6.144 7.68ミーゼス相当ひずみ

(％)

局所座標系における位置(mm)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 1.536 3.072 4.608 6.144 7.68ミーゼス相当ひずみ

(％)

局所座標系における位置(mm)

多孔平板の引張問題のValidation事例

ミクロひずみのシミュレーション結果の妥当性確認

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 1.536 3.072 4.608 6.144 7.68

ミーゼス相当ひずみ

(％)

位置(mm)

多孔平板の引張問題のValidation事例

%122.0

)4,1(

　　

%114.0

)3,1(

　　

%117.0

)2,1(

　　

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.031 0.062 0.093 0.124

マクロミーゼスひずみ

(%)

ストローク(mm)

(1,4)(1,3)(1,2)解析

マクロひずみのシミュレーション結果の妥当性確認

マクロひずみの周期性の仮定（数理モデル）の妥当性確認

数理モデルの意識づけの重要性

THE UNIVERSEof

PHYSICALREALITIES

OBSERVATIONSTHEORY /

MATHEMATICALMODELS

DECISION

KNOWLEDGE

COMPUTATIONALMODELS

ObservationalErrors

VALIDATION VERIFICATION

DiscretizationErrors

Data Errors

ModelingErrors

物理現象

概念的モデル数理モデル

離散化パラメータ

解析アルゴリズム

解析コード・プリポストプロセッサ

物理パラメータ

解析結果

不確かさの検討

解析モデル

物理モデル

実験計画

実験結果

不確かさの検討

実験

現象の確認

解析種類形状モデル境界条件材料モデル

形状、荷重条件、物理パラメータ、…

モデル化の仮定

モデル化の仮定

Validation

キャリブレーション

数理モデルを直接計測で確かめるValidationはもっとも理にかなっている。

ASME V&V10

Prof.J.T.Oden

6

数理モデルの意識づけの重要性

「何（数理モデル）をどうやって（離散化等）解くか」の中で数理モデルに対する意識づけが重要で、問題の本質の把握に直結する。

◆ JSCES S-HQC（右図）では数理モデルという言葉が表れていないが、不確かさは数理モデルにおいて定義すれば漏れがない。

◆ 形状・寸法： PDEを解くべき領域初期・境界条件（拘束、荷重）材料モデルと物性値

uiitijji

klijklij

i

j

ij

uutn

D

bx

W

on ,on

in 0

W

Won it uiu on

ijklD