コンポジット（合成図）解析

• 3.0 コンポジット解析とは？

Composite analysis?

• 3.1 母集団と標本

Population and sample

• 3.2 統計的検定

Statistical test– 3.2.1 母平均の検定

Test of the mean

• パラメトリック（Student’s t）検定• ノンパラメトリック検定• 母平均の区間推定

Confidence interval for means

– 3.2.2 母平均の差の検定 The difference of means test

• 3.3 コンポジット解析の実例

Applications

• 3.4 第一種の過誤と第二種の過誤

Type I / II error

コンポジット解析とは何か？

（その１）

海洋の立場か

らみると、雲で海面水温が正しく捉えられない。

＝欠測

3.0

穴埋め

人工衛星からもとめた雲量の分布

奇数年

偶数年

武田2005:雨の科学

コンポジット解析とは何か？

（その２）

年をもとに抽出→状態間で差がある

多雨

少雨

コンポジット解析とは何か？

（その３）

状態間で有意な差状態の区別→力学的な説明

ここの裏づけ

ENSO中は暖冬

3.0

インデックスをもとに抽出→状態間で差がある

(parent) population / sample

sampling

estimation統計的推定

samplepopulation

母集団と標本

3.1

無作為抽出

作為的抽出

標本平均から母平均を推定Estimation of the mean

一般的(例えば工業製品)には、母集団と標本に差が無いことがのぞましい。

大気・海洋データの場合は、母集団と標本に差があることを調べて、そのメカニズムを探る。

コンポジット解析

母集団と標本

どのような論理をもって有意に差があるとするか？

→

それが統計的検定

Random sampling

Nonrandom sampling

3.1

ある基準に基づいてとりだす

コンポジット

• あるインデックスzの集合Θをつくり、その 条件の下でのvの期待値VΘ

を求める。

• E[VΘ

]＝1/k・∑vi

• zとvの間には特定の関連を設けない。• この操作は「典型的な状態」を求めるもので

あるが、 vの変動が大きすぎると代表性が悪 くなる場合がある。

• 代表性を調べるために帰無仮説を用いる。

k

i=1

統計的検定の手順

test of hypothesis

(平均なら「標本平均は母平均と有意な差がない」)

3.2

統計的検定

(平均なら「t値」を求める)

(平均なら「t分布表」を参照)

(平均なら「t分布表」の値よりt値が大きければH0を棄却。つまり有意に差がある。)

母平均の検定

• パラメトリック– 母分散が既知

正規分布

– 母分散が未知

t分布

→

t-検定

• ノンパラメトリック– モンテカルロ法

1901-2000 ave. -2.25degCEl Nino years ave. -1.47degC

s 1.44degCn=18 ｔ= ？自由度17の上側5%点は

?

帰無仮説を

?

する。なので差は

? である。

例題

El NinoEl Ninoの冬、札幌は暖冬なのか？の冬、札幌は暖冬なのか？

http://www.cdc.noaa.gov/people/cathy.smith/best/table33.txt

El Nino年の定義は下記を参照した。

パラメトリック検定

t - test

札幌気温12月月平均

Degree of freedom

母分散が未知

1900 1920 1940 1960 1980 2000

-6

-4

-2

0

2

year

tem

pera

ture

monthly mean temperature in Sapporo (December)

1900 1920 1940 1960 1980 2000

-6

-4

-2

0

2

year

tem

pera

ture

monthly mean temperature in Sapporo (December)

ノンパラメトリック検定

nonparametric testENSO年の平均値

Monte-Carlo法CDFを横倒しにした図シミュレーション回数

n=100 n=200

n=500 n=1000

-1.4125degC

-1.47degC

母平均の区間推定

例題

ｐHの母平均値• ある溶液のpHを測定したところ、次の

値を得た。

• 母平均の99%信頼区間は？

7.86 7.89 7.84 7.90 7.82

Confidence interval

3.2

7.86+7.89+7.84+7.90+7.82=7.86X =

5

s2=(7.86-7.86)2+(7.89-7.86)2+･･･

+(7.82-7.86)2

5-1

=0.0011=0.032

自由度４でα=両側１%をとるｔは？

t分布表からt4 (0.005)=4.604

7.86-4.604･ < μ

< 7.86-4.604･

7.798 < μ < 7.922

0.03√5

0.03√5

1901-2000 ave. -2.25degCEl Nino years ave. -1.47degCLa Nina years ave. -2.08degCn=18+12-2 ｔ= 1.16自由度28の上側5%点は

?

帰無仮説H0は ？。なので差は

？

である。

例題

札幌の札幌のEl NinoEl Nino冬は冬は

La NinaLa Nina冬より暖かいのか？冬より暖かいのか？パラメトリック検定

t - test

差の検定The differenceOf the means test

3.2.2

母分散が未知

1900 1920 1940 1960 1980 2000

-6

-4

-2

0

2

year

tem

pera

ture

monthly mean temperature in Sapporo (December)

1900 1920 1940 1960 1980 2000

-6

-4

-2

0

2

year

tem

pera

ture

monthly mean temperature in Sapporo (December)

おまけ

用語の誤用

正確には同じような区間推定を100回やると95回は正しいという意味

ConfidenceLevel は区間推定に用い検定ではない

危険率有意水準

信頼区間

El Nino > high SST eastward > more heating (atm) > strong PNA pattern > northward westerly of Aleutian Low>weaker monsoon burst over Japan > warmer SST (less heat loss)

(Low monsoon)

3.3

コンポジット解析の実例

Yasuda and Hanawa (1999)

MOI=SLP(Nemuro)-SLP(Irkutsk)

Cold (warm) winter >Southward (northward) westerly >Monsoon strengthen (weaken) =H-MOI (L-MOI)

コンポジット解析の実例

差の検定を土台に

負正

Low SST～H-MOI

角格子点上の時系列に対してtテスト

本当は有意ではないのに帰無仮説を棄却してしまう－第一種の過誤本当は有意なのに帰無仮説を棄却しない－第二種の過誤

μ0 =μμ0 =μ

μ0 =μ μ0 =μ

第一種の過誤と第二種の過誤

3.4

第一種の過誤

第二種の過誤

差の違い具合に依存する

まとめ

• コンポジット解析とはデータをある基準にて らして平均する操作である。

• 抽出したデータの平均値が母集団の平均値と 有意に異なるかどうかを判断するには、統計 的検定を行う。検定にはパラメトリックな手 法とノンパラメトリックな手法がある。

• パラメトリックな手法では、母分散が未知の 場合、母平均値の検定にはt検定を用いる。

• 2つの異なる平均的状態の差の有意性を議論 したいときには母平均の差の検定を行う。こ こでも母分散が未知の場合、t検定を用いる。

コンポジット（合成図）解析スライド番号 2スライド番号 3スライド番号 4母集団と標本スライド番号 6コンポジット統計的検定母平均の検定スライド番号 10スライド番号 11スライド番号 12スライド番号 13母平均の区間推定スライド番号 15スライド番号 16スライド番号 17スライド番号 18スライド番号 19スライド番号 20コンポジット解析の実例スライド番号 22第一種の過誤と第二種の過誤スライド番号 24まとめ