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2005年度 卒業研究レポート

ベルヌーイ数とその応用

明治大学理工学部数学科 皆川 幸弘

2005年 2月 28日

2

目次 0．イントロ..........................................................................................................................3 1．オイラー・マクローリンの公式の導き方 .......................................................................4 2．ベルヌーイ数と母関数 ....................................................................................................7 3． xtan のテイラー展開....................................................................................................12 4．ベルヌーイ数とゼータ関数 ...........................................................................................13 5．ベルヌーイ多項式とその評価 .......................................................................................15 6．オイラー・マクローリンの公式 ....................................................................................17 7．スターリングの公式......................................................................................................19 8．調和級数とオイラー定数...............................................................................................22 9．プログラム ....................................................................................................................24 10．参考文献......................................................................................................................28

3

0．イントロ

ベルヌーイ数とはkkkkk n+++++ 4321 （ kは自然数）の公式を書くためにヤコブ・

ベルヌーイが導入したものです．定義（７ページ）を見るとわかるように一般項を簡単に

書くことができず，少し複雑な感じもしますが，ベルヌーイ数は実に様々なところに現れ

るとても不思議な数です．ごく一部ではありますが，この卒業研究レポートではそれらを

紹介したいと思います． 主な内容としては，前半の最初にオイラー・マクローリンの公式を導き，その中に出て

くる数がベルヌーイ数であること．そして，ベルヌーイ数の母関数を定義すれば xtan のテ

イラー展開がベルヌーイ数を使って表せることや，ベルヌーイ数とゼータ関数の関係を紹

介します．後半はオイラー・マクローリンの公式の証明とその応用として， !n の近似公式であるスターリングの公式，オイラー・マクローリンの公式を使ったオイラー定数の計算，

となっています． 最後に，この卒業研究レポートで取り上げているオイラー・マクローリンの公式の応用，

ゼータ関数の話はほんの一部に過ぎず，まだまだ応用・発展した内容があるということを

付け加えておきたいと思います．

4

1．オイラー・マクローリンの公式の導き方 ＜問題＞ nは任意の自然数，関数 f が区間 ],0[ n で何回でも微分可能なとき，

(1.1) ∑=

=+++=n

iifnffffS

1)()()3()2()1(

に対する公式を求めよ． ＜公式のオイラーの導き方＞ 変数をずらした和 sを考える．

(1.2) ∑−

=

=−+++=1

0)()1()2()1()0(

n

iifnffffs

(1.1)と(1.2)の差 sS − をテイラー級数を使って計算すれば，

+′′′

−′′

+′

−=−−!3

)(!2

)(!1

)()()1( ififififif なので，

)∵ ( ) ( ) ( )+′′′−

+′′−+′−

+= )(!3

)(!2

)(!1

)()(3

02

000 xfxxxfxxxfxxxfxf

となるテイラー級数で， 1−= ix ， ix =0 とすれば，

+′′′

−′′

+′

−=−!3

)(!2

)(!1

)()()1( ififififif

∴ −′′′

+′′

−′

=−−!3

)(!2

)(!1

)()1()( ififififif □

( ) ( ))1()2()1()0()()3()2()1( −++++−++++=− nffffnffffsS ( ) ( ) ( ) ( ))1()()2()3()1()2()0()1( −−++−+−+−= nfnfffffff

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′′′+

′′−

′+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′′′+

′′−

′=

!3)2(

!2)2(

!1)2(

!3)1(

!2)1(

!1)1( ffffff

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′′′+

′′−

′++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′′′+

′′−

′+

!3)(

!2)(

!1)(

!3)3(

!2)3(

!1)3( nfnfnffff

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

++′′

+′′

+′′

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

++′

+′

+′

=!2

)(!2

)3(!2

)2(!2

)1(!1

)(!1

)3(!1

)2(!1

)1( nffffnffff

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′′

++′′′

+′′′

+′′′

+!3

)(!3

)3(!3

)2(!3

)1( nffff

∑∑ ∑== =

−′′′

+′′

−′

=n

i

n

i

n

i

ififif11 1 !3

)(!2

)(!1

)(

5

)0()( fnfsS −=− でもあるので，

∴ ∑ ∑ ∑= = =

−′′′+′′−′=−n

i

n

i

n

iifififfnf

1 1 1)(

!31)(

!21)(

!11)0()(

この式を f の原始関数 F (つまり， fF = )で書き換えると，

∑ ∑ ∑∫= = =

−′′+′−=n

i

n

i

n

i

nifififdxxf

1 1 10

)(!3

1)(!2

1)(!11)(

∴(1.3) ∑ ∑ ∑∫= = =

+′′−′+=n

i

n

i

n

i

nififdxxfif

1 1 10

)(!3

1)(!2

1)()(

(1.3)で，( f は一般なので) f を f ′で置き換えると，

(1.3.1) ∑ ∑ ∑= = =

+′′′−′′+−=′n

i

n

i

n

iififfnfif

1 1 1)(

!31)(

!21))0()(()(

(1.3.1)で， f ′を f ′′ で置き換えると，

(1.3.2) ∑ ∑ ∑= = =

+−′′′+′−′=′′n

i

n

i

n

iififfnfif

1 1 1

)4( )(!3

1)(!2

1))0()(()(

以下同様に置き換えた式を作る．

(1.3.1)，(1.3.2)，…を使って(1.3)の∑=

′n

iif

1)( ，∑

=

′′n

iif

1)( ，…を消去すれば，適当な定数 1a ，

2a ， 3a ，…を用いて，

(1.4) ( ) ( ) ( )+′′−′′−′−′+−−= ∫∑=

)0()()0()()0()()()( 32101

fnfafnfafnfadxxfifnn

i

と書けることがわかる．以下，この }{ ja )3,2,1( =j の求め方を考える。

そこで，(1.3)，(1.3.1) )!2

1(−× ，(1.3.2)!3

1× ，…，(1.3.n)

)!1()1( 1

+−

×+

n

n

，…

として辺々加えると，

−′′+′− ∑∑∑===

n

i

n

i

n

i

ififif111

)(!3

1)(!2

1)(

( ) ( ))0()(!3

1!2

)0()(!2

1)( 1210

fnfaafnfadxxfn

′−′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= ∫

( )+′′−′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++− )0()(

!41

!3!212

3 fnfaaa

( )+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+++++−+ −−−− )0()()!1(

1!!3!2

)1( )1()1(121 nnnnn

n fnfnn

aaaa

この式と(1.3)を変形した式

∫∑ ∑ ∑ =−′′+′−= = =

nn

i

n

i

n

idxxfififif

01 1 1

)()(!3

1)(!2

1)(

6

を比べれば，

( ) ( ))0()(!3

1!2

)0()(!2

1 121 fnfaafnfa ′−′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

( )+′′−′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++− )0()(

!41

!3!212

3 fnfaaa

( ) 0)0()()!1(

1!!3!2

)1( )1()1(121 =+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+++++−+ −−−− nnnnn

n fnfnn

aaaa

∴(1.5) 0!2

11 =+a ， 0

!31

!21

2 =++aa ， 0

!41

!3!212

3 =+++aaa ，…

0)!1(

1!!3!2121 =

++++++ −−

nnaaaa nn

n … ，…

これらを解くと，

21

1 −=a ，121

2 =a ， 03 =a ，7211

4 −=a ，…

となる．(1.4)に代入すれば， (1.6)

( ) ( ) ( )∑ ∫=

+′′−′′−′−′+−+=n

i

nfnffnffnfdxxfif

10

)0()(7201)0()(

121)0()(

21)()(

( ) ( )∑∫∞

=

−− −+−+=2

)1()1(

0)()()0()(

21)(

j

jjj

nnfnfafnfdxxf

これが求めたかった公式である。 (注意) 実は，(1.6)は常に成り立つわけではない．例えば， )2cos()( xxf π= として(1.6)に

代入すると，左辺は n=+++ 111 ，右辺は0となり，公式が間違っていることになる． しかしこのことは，(1.6)の右辺を有限個で打ち切り，剰余項を考えることによって解決される．(6．の定理で示される．)

7

2．ベルヌーイ数と母関数 ＜ベルヌーイ数＞

(1.5)を ii a

iB

=:!

),3,2,1( =i で置き換えると，

(1.5’) 0!2

11 =+a ⇔ 0

!2!101 =+

BB ⇔ 02

!21 1

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

ii

Bi

，

0!3

1!21

2 =++aa ⇔ 0

!3!2!2012 =++

BBB ⇔ 03

!31 2

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

ii

Bi

，

0!4

1!3!212

3 =+++aaa ⇔ 0

!4!1!31

!2!21

!30123 =+⋅+⋅+

BBBB⇔ 0

4!4

1 3

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

ii

Bi

，…

0)!1(

1!!3!2121 =

++++++ −−

nnaaaa nn

n

⇔ 0)!1(!1!

1)!2(!3

1)!1(!2

1!

0121 =+

+⋅++−

⋅+−

⋅+ −−

nBB

nnB

nB

nB nnn

⇔ 0!

1 1

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑−

=i

n

iB

in

n，…

となる．以上のことより iB ),3,2,1,0( =i は一般に，

(2.1) 10 =B ， 01

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑−

=

k

iiB

ik

),4,3,2( =k

を満たすが，逆にこの条件(2.1)だけで iB ),3,2,1,0( =i を決定することが出来る． この(2.1)で定義される iB ),3,2,1,0( =i をベルヌーイ数という．

10 =B ，21

1 −=B ，61

2 =B ，301

4 −=B ，421

6 =B ，…

012 =+kB ),3,2,1( =k である． (この証明は後に出てくる．) ベルヌーイ数を使えば(1.6)は，

(1.6’) ( ) ( )∑ ∑∫=

∞

=

−− −+−+=n

i k

kkknfnf

kBfnfdxxfif

1 1

)12()12(20

)0()()!2(

)0()(21)()(

と書くことができる．

＜例＞（kkkkk n+++++ 4321 の公式）

kを任意の自然数， kxxf =)( として(1.6’)を適用する．( jkj xjk

kxf −

−=

)!(!)()( )

8

ただし，一般に kj >−12 では 0)()12( =− xf jとなるので，右辺では kj ≤−12 を満たす jに

ついて和をとればよい． そこで， kが偶数・奇数の場合けをする． ① kが偶数のとき． jは自然数なので， kj =−12 は成り立たない．よって右辺では，

kj <−12 ⇔ 112 −≤− kj ⇔2kj ≤ を満たす jについて和をとればよい．そうすると，

( ) ( )∑∫∑=

−−

=

−+−+=2

1

)12()12(2

01

)0()()!2(

021

k

j

jjjkkn kn

i

k fnfj

Bndxxi

ただし，12)12(

)!12(!)( +−−

+−= jkj x

jkkxf より， 0)()12( =− xf j

となるので，

( ) ∑∫∑=

−

=

+−+=2

1

)12(2

01

)()!2(

021

k

j

jjkkn kn

i

k nfj

Bndxxi

② kが奇数のとき． jは自然数なので， kj =−12 は成り立たつ．よって右辺では，

kj ≤−12 ⇔2

1+≤

kj を満たす jについて和をとればよい．そうすると，

( ) ( )∑∫∑+

=

−−

=

−+−+=2

1

1

)12()12(2

01

)0()()!2(

021

k

j

jjjkkn kn

i

k fnfj

Bndxxi

ただし， kj =−12 ⇔2

1+=

kj のとき， )()( )()12( xfxf kj =−は定数となるので，

0)0()( )()( =− kk fxf ．また， 0)()12( =− xf jとなるので，

( ) ∑∫∑−

=

−

=

+−+=2

1

1

)12(2

01

)()!2(

021

k

j

jjkkn kn

i

k nfj

Bndxxi

①，②をまとめれば

( ) ∑∫∑⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−

=

+−+=2

1

)12(2

01

)()!2(

021

k

j

jjkkn kn

i

k nfj

Bndxxi ∑

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

−+

+++

=2

1

)12(21

)()!2(21

k

j

jjk

nfj

Bnkn

となる．(［］はガウス記号． [ ]x は xを超えない最小の整数を意味する．) ここで，

+−

⋅+−

⋅+−

⋅= −−−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=∑ 563412)12(

2

1

2

)!5(!

!6)!3(!

!4)!1(!

!2)(

)!2(kkkj

k

j

j nk

kBnk

kBnk

kBnfj

B

9

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+1

22

22

!12

2

!

!2

2

kkk

nkk

kk

B

+−

⋅−

+−

⋅−

+−

⋅−

= −−− 563412

5)6(!6!

3)!4(!4!

1)!2(!2! kkk n

kB

kkn

kB

kkn

kB

kk

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+1

22

22

12

2!112

2!2

2

!kk

k

nkk

B

kkkk

+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−

563412

5

6

3

4

1

2 knB

kknB

kknB

k kkk

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

12

222

12

2

22 kk

nBkk

kk

k

122

12

2

2

1 +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=∑ jk

nBj

k jk

j

k

j

∴12221

12

2

2

1

1

1 +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=

+−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

+

=∑∑ jk

nBj

knkni

jk

j

k

j

kkn

i

k

＜ベルヌーイ数の母関数＞ ベルヌーイ数の母関数をテイラー級数を使って，

(2.2) ∑∞

=

=+++++=1

4433221

!!4!3!2!11)(

i

ii xiBxBxBxBxBxV

と定義する。すると，(2.1)は，

1!4!3!2

1)(32

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++⋅

xxxxV

を意味する。

)∵ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++⋅

!4!3!21)(

32 xxxxV

10

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++=

!4!3!21

!3!2!1

3233221

0xxxxBxBxBB

+++++= 40302000 !4!3!2!1

xBxBxBxBB

+++++ 4131211

!4!3!2!1xBxBxBxB

+++++ 52423222

!24!3!2!2!2!2xBxBxBxB

+++++ 63534333

!4!3!3!3!2!3!3xBxBxBxB

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑∑∑

===

33

0

22

0

1

00

4!4

13!3

12!2

1 xBi

xBi

xBi

Bi

ii

ii

i

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ −

−

=∑ 1

1

0!1 n

n

ii xB

in

n

1!

1 1

2

1

10 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= −

∞

=

−

=∑ ∑ j

j

j

ii xB

ij

jB

⇔ 0!

12

1

1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ ∑∞

=

−

=j

j

iiB

ij

j

これは(1.5)を意味している。 □

また， ++++==∑∞

= !3!2!11

!

32

1

xxxnxe

n

nx

から

1!4!3!2

1)(32

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++⋅ …xxxxV ⇔ 11)( =

−⋅

xexV

x

(2.3) 1

)(−

= xexxV

2)(:)( xxVxf += とおけば，

(2.4) )1()1(

2)1(22

)1(2)1(2

212)()(

−+

⋅=−+−

=−−−

=+−

=+= x

x

x

x

x

x

x eex

exxex

eexxx

exxxVxf

11

)(11

2)1()1(

211

2)( xf

eex

eeeex

eexxf x

x

xx

xx

x

x

=−+

⋅=−+

⋅−

=−+

⋅−

=− −

−

−

−

から )(xf は偶関数とわかるの

で，

(2.5) 2

)()( xxVxf +=

2!3!2!11 33221 xxBxBxB

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++= …

2!3!223322

0xxBxBxB +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−= …

+++= 33220 !3!2

xBxBB

∑∞

=

+=2

0 !n

nn xnBB

f は偶関数なので，奇数次の項の係数は0である．

)∵ 一般に， )(xf が偶関数のとき，

)()( xf n：奇関数（ n：奇数）

)()( xf n：偶関数（ n：偶数）

0)0()( =nf （ n：奇数） が成り立つので，

∑∑∞

=

∞

=

==0

2)2(

0

)(

)!2()0(

!)0()(

k

kk

n

nn

xk

fxn

fxf

となる．べき級数展開の一意性より，奇数次の係数は0となる． □ よって， 012 =+kB ),3,2,1( …=k

また， ∑∑∞

=

∞

=

+=+==−+

⋅1

220

20 )!2(!

)(11

2 k

kk

n

nnx

x

xk

BBxnBBxf

eex )2( π<x

12

3． xtan のテイラー展開

11

sinhcoshcoth 2

2

−+

=−+

== −

−

x

x

xx

xx

ee

eeee

xxx なので，

(3.1) k

k

kx

x

xk

Beexxx 2

1

22

2

)2()!2(

111coth ∑

∞

=

+=−+

⋅=

とテイラー展開できる．

)∵ ∑∞

=

+=−+

⋅=1

22

)!2(1

11

2)(

k

kkx

x

xk

Beexxf とテイラー展開できたから． □

また， xixix

ieeiee

eeeeix ixix

ixix

ixix

ixix

cotsincos12

2)coth( −==⋅

−⋅

+=

−+

= −

−

−

−

なので，

xxxiixixix cot)cot()()coth()( =−⋅=

一方で，k

k

k ixk

Bixix 2

1

2 )2()!2(

1)coth()( ∑∞

=

+= でもあるので，

(3.2) k

k

k ixk

Bxx 2

1

2 )2()!2(

1cot ∑∞

=

+=

ここで， xxxx

xx

xxxx

xxx tancot

cossin

sincos

cossinsincos

)2sin()2cos(2)2cot(2

22

−=−=−

== より，

(3.3) ( ))2cot()2(cot1)2cot(2cottan xxxxx

xxx −=−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑∑

∞

=

∞

= 1

22

1

22 )4()2(

1)2()!2(

11k

kk

k

kk ixk

Bixk

Bx

kkk

k

k ixk

Bx

222

1

2 ))(42()!2(

1−= ∑

∞

=

∑∞

=

−−−=

1

122

22

)!2(42)1(

k

kk

kkk xB

k

! よって， xtan テイラー展開が求められた．

13

4．ベルヌーイ数とゼータ関数 ＜リーマンのゼータ関数＞

+++==∑∞

=sss

nsn

s31

21

111)(

1

ζ )1(Re >s

をリーマンのゼータ関数という． ＜オイラーの公式＞ 定理（ zcot の部分分数分解）

π<z のとき，

∑∑∞

=

∞

= −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−+=

1222

1

11111cotnn nzznznzz

zπππ

が成り立つ． （証明は参考文献[2]の 89，90ページを参照せよ．） この定理から、

(4.1) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

1

2

)2(21cotm

mzmzzπ

ζ

が成り立つ．

)∵ ∑∑∞

=

∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=− 1

2

21

)1(22

2

2

222

2 1

1 m

m

mm

m znn

znz

nz

nz

znz

ππππ

ππ

となるので，定理（ zcot の部分分数分解）から，

m

m nm

n

m

mm

n

zn

znnz

zzz2

1 12

1

2

12

1222

2 12112121cot ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

−+= ∑ ∑∑ ∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

= πππ

m

m

zm2

1

)2(21 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∑

∞

= πζ □

14

(4.1)と(3.1)の z係数を比べると，テイラー展開の一意性より，

m

m

mm mB

m

2

2

2 1)2()2()!2(

2)1( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−=−π

ζ ),3,2,1( =m

∴ m

mm

Bm

m 2

21

)!2(2)2()1()2(

⋅⋅−

=− πζ ),3,2,1( =m

この式をオイラーの公式という．

6)2(

2πζ = ，90

)4(4πζ = ，

945)6(

6πζ = ，9450

)8(8πζ = ，

93555)10(

10πζ = ，…

である．

15

5．ベルヌーイ多項式とその評価 ＜ベルヌーイ多項式＞ ベルヌーイ多項式を

(5.1) ikk

iik xB

ik

xB −

=∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0)( ),3,2,1( …=k

として定義する．

21)( 101 −=+= xBxBxB ，

612)( 2

212

02 +−=++= xxBxBxBxB ，

xxxBxBxBxBxB21

2333)( 23

422

13

03 +−=+++= ，…

である。また、(5.1)は次を満たす． (5.2) )()( 1 xkBxB kk −=′ )1( ≥k (5.3) kkk BBB == )1()0( )2( ≥k

)∵′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′ ∑

=

−k

i

ikik xB

ik

xB0

)(

( ) ( ) ( ) ( )′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

− 011

110 110

xBkk

xBk

kxB

kxB

kkk

kk

01

21

10 11

)1(0

xBk

kxB

kkxB

kk k

kk−

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

01

21

10 1

11

10

1xB

kk

kxBk

kxBk

k kkk

−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

iki

k

ixB

ik

k −−−

=∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= )1(

1

0

1

)(1 xkBk−=

kkkk

k

k

i

ikk

k

ik BBB

kk

Bik

Bik

B =+=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−

=

−

=∑∑ 0000)0( 01

1

00

kkkk

k

i

ikk

k

ik BBB

kk

Bik

Bik

B =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

−

=

−

=

01)1(1

00 □

16

＜ベルヌーイ多項式の評価＞ 定理（ベルヌーイ多項式 )(xBk のフーリエ展開）

10 ≤≤ x において，ベルヌーイ多項式 )(xBk は次のようにフーリエ展開される．

∑∞

=

− ⋅⋅−=1

21

2 )2()2cos()!2(2)1()(

nk

kk n

nxkxBππ ),3,2,1( =k

∑∞

=+

−+ +⋅⋅−=

112

112 )2(

)2sin()!12(2)1()(n

kk

k nnxkxB

ππ ),3,2,1( =k

このフーリエ展開は一様収束する． （証明は参考文献[2]の 99，100ページを参照せよ．） この定理から，

(5.4) kkkxB)2(!4)(

π⋅

≤ ),3,2,1( =k

が成り立つ．

)∵ ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

− ⋅≤⋅≤⋅⋅−=

122

12

12

12

1)2(

)!2(2)2(

1)!2(2)2(

)2cos()!2(2)1()(n

kkn

kn

kk

k nk

nk

nnxkxB

ππππ

kkkn

k

kkdxx

kn

k2212

122 )2(

)!2(42)2(

)!2(211)2(

)!2(21)2(

)!2(2ππππ⋅

=⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅≤

⋅≤ ∫∑

∞∞

=

∑∑∑∞

=++

∞

=+

∞

=

−+

⋅≤+⋅≤+⋅⋅−=

11212

112

12

112

1)2(

)!2(2)2(

1)!12(2)2(

)2sin()!12(2)1()(n

kkn

kn

kk

k nk

nk

nnxkxB

ππππ

12121121

212 )2()!12(42

)2()!12(211

)2()!12(21

)2()!12(2

++

∞

+

∞

=+

+⋅=⋅

+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⋅≤

+⋅< ∫∑ kkk

nk

kkdxx

kn

kππππ

∴ kkkxB)2(!4)(

π⋅

≤ ),3,2,1( =k □

17

6．オイラー・マクローリンの公式 1．の最後で，オイラーが導いた公式(1.6)が常に成り立つわけではないことを注意した．しかし，その問題は，次の定理のように(1.6)の右辺を有限個で打ち切り，剰余項を考えることによって解決される。 定理(オイラー・マクローリンの公式) nと kは任意の自然数、 f は ],0[ n で k回微分可能な関数とすれば，

( ) ( ) ∫∑∫∑−

=

−−

=

−+−+−+=

n kk

kk

j

jjjnn

idxxfxB

kfnf

jB

fnfdxxfif0

)(1

2

)1()1(

01

)()(~!)1()0()(

!)0()(

21)()(

ここで， )(~ xBk は 10 ≤≤ x では )(xBk ．それ以外は周期 1で拡張したものである．

(証明) 1=n のとき

( ) ( ) ∫∑∫−

=

−− −+−+=+

1

0

)(1

2

)1()1(

0)()(

!)1()0()1(

!)()0()1(

21 dxxfxB

kff

jB

dxxfff kk

kk

j

jjjn

を示す．ここで，21)1(1 =B ，

21)0(1 −=B ， 1)(1 =′ xB を用いる．

左辺 ( ) [ ]101111 )0()0()1()1()0()0()1()1()0()1(21 fBfBfBfBff −=−=+=

( ) ∫∫∫ ′+′=′=1

0 1

1

0 1

1

0 1 )()()()()()( dxxfxBdxxfxBdxxfxB

∫∫ ′+=1

0 1

1

0)()()( dxxfxBdxxf

これで 1=k のときが示された。最後の項を部分積分すれば，

∫∫ ′′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

1

021

0)(

2)()( dxxfxBdxxf

∫∫ ′′−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′+=

1

02

1

0

21

0)(

2)()(

2)()( dxxfxBxfxBdxxf

( ) ∫∫ ′′−′−′+=1

0 222

1

0)()(

!21)0()0()1()1(

!21)( dxxfxBfBfBdxxf

( ) ∫∫ ′′−′−′+=1

0 221

0)()(

!21)0()1(

!2)( dxxfxBffBdxxf

18

これで 2=k のときも示された． 同様に最後の項を部分積分していけば一般の kでも成り立つことが示される． よって， 1=n のとき定理は成り立つ．

2=n のとき )1(:)(1 += xfxF とおけば， 1=n のときより

( ) ( ) ∫∑∫ +−

+−+−++=−

=

−− 1

0

)(1

1

2

)1(1

)1(111

1

0 11 )1()(!)1()0()1(

!)0()1(

21)1()1( dxxFxB

kFF

jB

FFdxxFF kk

kk

j

jjj

が成り立つ． ここで 1: += xX として変数変換すれば， 積分区間は xの0から1 から X の1から2 へと変わり、 dXdx = より、

∫∫∫ ==+2

1

2

1

1

0 1 )()()1( dxxfdXXfdxxF

∫∫∫ =−=+2

1

)(2

1

)(1

0

)(1 )()(~)()1()1()( dxxfxBdXXfXBdxxFxB kk

kk

k

となるので，

( ) ( ) ∫∑∫−

=

−− −+−+−+=

2

1

)(1

2

)1()1(2

1)()(~

!)1()1()2(

!)1()2(

21)()2( dxxfxB

kff

jB

ffdxxff kk

kk

j

jjj

が成り立つ．

( ) ( ) ∫∑∫−

=

−− −+−+−+=

1

0

)(1

2

)1()1(1

0)()(~

!)1()0()1(

!)0()1(

21)()1( dxxfxB

kff

jB

ffdxxff kk

kk

j

jjj

と辺々足せば，

( ) ( )∑∫=

−− −+−+=+k

j

jjj ffj

Bffdxxfff

2

)1()1(2

0)0()2(

!)0()2(

21)()2()1(

∫−−

+2

0

)(1

)()(~!)1( dxxfxB

kk

k

k

これで 2=n のときも示された． 同様に )(:)( lxfxFl += ),4,3,2( =l とおいて次々と足していけば一般の nでも成り立つことが示される． (証明終)

19

7．スターリングの公式 定理(スターリングの公式) 任意の自然数 nに対して，

(7.1) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅

⋅= 53

~360

1121exp2! R

nnennn n

nπ， 455 )2(

!4~n

R⋅

<π

が成り立つので， ∞→n とすれば，

(7.2) n

n

ennn ⋅π2~! （～は両辺の比が１に近づくことを表す）

が得られる。 (証明) m，nは任意の自然数で 1>> nm ． xxf log)( = として，オイラー・マクローリン

の公式を適用すると，

（ xxxxdx −=∫ loglog ， ( ) jj

j

j

xjx

dxd )!1()1(log 1 −

−= −，

61

2 =B ，301

4 −=B ）

(7.3) )!log()!log()log()log()log(221

nmiiin

i

m

i

m

ni

−=−= ∑∑∑==+=

( ) ( ) ∫∑∫−

+−+−+==

−− m

nj

jjjm

ndxxxBnfmf

jB

nmxdx )5(5

45

2

)1()1( ))(log(~!5)1()()(

!loglog

21log

( ) ( ) ( ) 53342 ~!2!2!4

11!2

loglog21loglog R

nmB

nmBnmnnnmmm +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+−−−=

( ) ( ) ( ) 533~11

360111

121loglog

21loglog R

nmnmnmnnnmmm +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+−−−=

（ここで， ∫−

=m

ndxxxBR )5(

5

4

5 ))(log(~!5)1(~

とおいた．）

また， 55 )2(54)(~

π⋅

≤xB より

∫∫∫ −⋅

⋅≤≤−

=m

n

m

n

m

ndx

xdxxxBdxxxBR 5

45

)5(5

)5(5

4

5!4)1(

)2(!54

!51)(log)(~

!51))(log(~

!5)1(~

π

454454555 )2(!411

)2(!4!4

41

)2(4!4

)2(4

nnmxdx

x

m

n

m

n ⋅<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅−

== ∫ ππππ

(7.3)の )!log(m ， mm log ，m， mlog21

などの項は ∞→m のときにそれぞれ∞に発散し

20

てしまうので，

(7.4) mmmmm log21)!log( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=γ

としてまとめて扱えば(10.19)は，

(7.5) 533~11

360111

121 R

nmnmnm +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= γγ

となる． ここで， nとmが十分大きくなれば， mγ と nγ の差はどれほどでも小さくなるので，

mγ は ∞→m のとき，ある値γ に収束する．

)∵ 0>∀ε ， 03>=∃

εN ， )3;(

ε=≥ Nnnは任意の自然数 );( nmm >は任意の自然数

とすれば，

533533~11

360111

121~11

360111

121 R

nnnnR

nmnmnm ++++<+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−γγ

45353 )2(!4

1801

61~2

36012

121

nnnR

nn ⋅++≤+⋅+⋅=

π

ε≤≤=++≤Nnnnn33111

∴コーシーの定理より， mγ は ∞→m のとき，ある値γ に収束する． □

(7.5)で ∞→m とすれば，

53ˆ

3601

121log

21)!log( R

nnnnnn ++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=γ

∴(7.6) 53ˆ

3601

121log

21)!log( R

nnnnnn −−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+ γ

ここで， 55~limˆ RR

m ∞→= ， 455 )2(

!4ˆn

R⋅

≤π

である．

(7.6)の両辺に指数関数をとれば，

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+ 53

ˆ360

1121explog

21)!log(exp R

nnnnnn γ

左辺⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅⋅=⋅⋅= 21log

21

)!log( !n

nnn

nn neneee

右辺 nD= とおけば，

n

nn Dnen =⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

21

!

21

∴(7.7) n

n

n ennDn ⋅

=!

ここで， π2→nD )( ∞→n が言えれば定理が証明されたことになる．

(7.7)からn

n

n nnenD⋅⋅

=!

となり，

nnnn

ennn

nnen

nnen

DDD n

n

n

n

n

n

n

n

nn 2)!2(2!!

)!2()2(2!! 2

2

2

2

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅

nnnnnnnn n 2

123456)42)(32)(22)(12(22!! 2

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅=

nnnnnnnnnnnn n 2

1)12(3)22(5)32()2(2)32()1(2)12(22123)2)(1(123)2)(1( 2

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅

⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−=

nnnnnnn 2)12)(32)(52(531

2)1(2)2(2642⋅

−−−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅

=

DDn → )( ∞→n であれば DD n →2 )( ∞→n でもあるので，

DD

DDD

DD

n

nn =⋅

→⋅

2

)( ∞→n

が成り立つ．ウォリスの積1191010

9788

7566

5344

3122

2 ⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=π

より

(ウォリスの積について詳しくは参考文献[1]の 90ページを参照せよ)

nn

nnnn

DDD

n

nn )12(2)12)(12(11997755331

)2)(2(1010886644222

2

+⋅

+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅

ππ 242

=⋅→ )( ∞→n

π22 =D となるので π2=D ∴ π2=→ DDn )( ∞→n (証明終)

22

8．調和級数とオイラー定数 ＜調和級数＞

(8.1) +++=∑∞

= 31

21

111

1n n

を調和級数という． 調和級数は発散する．

)∵n

an1

= ， ∑=

=m

iim aS

1

とする．

mmmmaaaSS mmmmmmm +

+++

++

=+++=− ++++1

21

11

21

21

221

21

21

==+++>mm

mmm

コーシーの定理が成り立たないので調和級数は発散する. □ ＜オイラー定数＞

(8.2) mm

m

im log1:

1−=∑

=

γ ， γγ =∞→ mm

lim

で定まるγ をオイラー定数という．

(8.2)は後に出てくる(8.6)を用いればコーシー列になることがわかるので，収束する． ＜オイラー・マクローリンの公式を使ったオイラー定数の計算＞

m， nは任意の自然数で 1>> nm ，x

xf 1)( = として，オイラー・マクローリンの公式を

適用すると，

（ 1!)1(1+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

jj

j

j

xj

xdxd

，21

2 −=B ，301

4 −=B ，421

6 =B ，301

8 −=B ）

(8.3) ∑∑∑==+=

−=n

i

m

i

m

ni iii 111

111

( ) ∫∑∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

=

−− m

nj

jjjm

ndx

xxBnfmf

jB

nmdx

x

)9(

9

89

2

)1()1( 1)(~!9)1()()(

!11

211

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−= 44

422

2 !3!3!4

11!2

1121loglog

nmB

nmB

nmnm

9888

666 ~!7!7

!8!5!5

!6R

nmB

nmB

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−= 4422

11120111

12111

21loglog

nmnmnmnm

98866~11

120111

2521 R

nmnm+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

（ここで、 ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=m

ndx

xxBR

)9(

9

9

91)(~

!9)1(~

とおいた。）

また、 99 )2(!94)(~

π⋅

≤xB より

∫∫∫ −⋅

⋅≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=m

n

m

n

m

ndx

xdx

xxBdx

xxBR 10

99

)9(

9

)9(

9

8

9!9)1(

)2(!94

!911)(~

!911)(~

!9)1(~

π

9999999109 )2(!8!411

)2(!8!4!9

91

)2(4!9

)2(4

nnmxdx

x

m

n

m

n ⋅⋅

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅−

== ∫ ππππ

(8.4)の∑=

m

i i1

1， mlog は ∞→m のときに∞に発散してしまうので、

(8.5) mi

m

im log1

1∑=

−=γ

とおけば、(8.3)は、

(8.6) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= 4422

11120111

12111

21

nmnmnmnm γγ

98866~11

120111

2521 R

nmnm+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

(8.6)で ∞→m とすれば、

(8.7) 986421

ˆ120

1252

1120

112

121log1 R

nnnnnn

i

n

i

+−+−+−−=∑=

γ

ここで、 99~limˆ RR

m ∞→= ， 999 )2(

!8!4ˆn

R⋅

⋅≤

πである。

(8.7)を使いγ 定数を求めると，(8.2)の定義式で計算するよりも速く収束する．

24

9．プログラム (仮称)十進 BASICを使ったプログラムをいくつか紹介します． (仮称)十進 BASICについて詳しくは，(仮称)十進 BASICのホームページ http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/ を参照してください． ＜ベルヌーイ数を求めるプログラム＞ プログラム(9.1)

REM ベルヌーイ数を n個求める OPTION ARITHMETIC RATIONAL INPUT n OPTION BASE 0 DIM B(n) LET B(0)=1 PRINT "B( 0 )=";B(0) FOR k=2 TO n+1 LET B(k－1)=0 FOR i=0 TO k－2 LET B(k－1)=B(k－1)－(1/comb(k,k－1))*comb(k,i)*B(i) NEXT i PRINT "B(";k－1;")=";B(k－1) NEXT k END

プログラム(9.1)はベルヌーイ数の定義

(2.1) 10 =B ， 01

0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑−

=

k

iiB

ik

),4,3,2( =k

から，

10 =B ， ∑−

=− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=2

01

1

1 k

iik B

ik

kk

B ),4,3,2( =k として，任意の 1: −= kn までのベルヌー

イ数を求めるプログラムである． 実際に 5=n として実行すると，次のような結果が得られる．

25

B( 0 )= 1 B( 1 )=－1/2 B( 2 )= 1/6 B( 3 )= 0 B( 4 )=－1/30 B( 5 )= 0

＜オイラー定数を求めるプログラム＞ プログラム(9.2)

REM オイラー定数を定義式で求める INPUT m LET s=0 LET g=0 FOR i=1 TO m LET s=s+(1/i) LETγ=s－LOG(i) PRINT "γ(";i;")=";γ NEXT i END

プログラム(9.2)は

(8.2) mm

m

im log1:

1−=∑

=

γ

で，mに任意の数を入れて計算するプログラムである．

26

プログラム(9.3)

REM オイラー定数を(8.7)を使って求める INPUT n LET s=0 LET g=0 FOR i=1 TO n LET s=s+(1/i) LETγ=s－LOG(i)－1/(2*i)+1/(12*i^2)－1/(120*i^4)+1/(252*i^6)－1/(240*i^8) PRINT "γ(";i;")=";γ NEXT i END

プログラム(9.3)は

(8.7) 986421

ˆ120

1252

1120

112

121log1 R

nnnnnn

i

n

i

+−+−+−−=∑=

γ

で， nに任意の数を入れて計算するプログラムである．

(ただし，剰余項 9R̂ は計算に入れない．)

プログラム(9.2)，プログラム(9.3)で 10=n として実行させると，オイラー定数を 1=n から

10=n まで求めることができ，結果は次のようになる． プログラム(9.2)の実行結果 プログラム(9.3)の実行結果 γ( 1 )= 1 γ( 2 )= .806852819440055 γ( 3 )= .73472104466522 γ( 4 )= .697038972213439 γ( 5 )= .67389542089923 γ( 6 )= .658240530771945 γ( 7 )= .646946993801827 γ( 8 )= .638415601177304 γ( 9 )= .631743676632031 γ( 10 )= .626383160974204

γ( 1 )= .574801587301587 γ( 2 )= .577211047366642 γ( 3 )= .577215564954665 γ(4 )= .577215658697156 γ( 5 )= .577215664200817 γ( 6 )= .577215664785003 γ( 7 )= .577215664876123 γ( 8 )= .577215664894764 γ( 9 )= .577215664899427 γ( 10 )= .577215664900792

表の見方として，γ( 10 )は 10=n として計算して求めたオイラー定数の値である．

また，プログラム(9.3)の計算結果の誤差は剰余項の評価 999 )2(!8!4ˆn

R⋅

⋅≤

πからわかる．

27

例えば， 10=n のとき， 11-512476E6.3403458710)2(!8!4ˆ

999 =⋅⋅

≤π

R となる．

(参考) γ=0.57721566490153286… であることが知られている．(参考文献[1]の 238 ページの(10.24)から)

28

10．参考文献 [1] E.ハイラー，G.ワナー，蟹江幸博 訳：解析教程(上)，シュプリンガー・フェアラーク東京（1997年） [3] 森本光生：UBASICによる解析入門，日本評論社（1992年） [3] 荒川恒男，息吹山知義，金子昌信：ベルヌーイ数とゼータ関数，牧野書店（2001年） [4] 宮岡悦良，永倉安次郎：解析学Ⅰ，共立出版（1996年）