目錄

單元一：整數的加減

課文Ａ：簡單加減........................................... 1

課文Ｂ：符號整併........................................... 6

課文Ｃ：符號整併........................................... 9

課文Ｄ：符號整併...........................................12

課文Ｅ：符號整併...........................................15

單元二：正負數的乘除法計算

課文Ａ：正負數的乘法.......................................18

課文Ｂ：正負數的除法.......................................23

單元三：整數的四則運算

課文Ａ：整數的四則運算.....................................28

單元四：絕對值

課文Ａ：絕對值的意義.......................................34

課文Ｂ：絕對值不能為負數的應用.............................38

單元五：指數律

課文Ａ：指數的意義.........................................44

課文Ｂ：底數為負...........................................47

課文Ｃ：指數為負...........................................51

課文Ｄ：指數律.............................................53

課文Ｅ：指數律.............................................56

單元六：科學記號法

課文Ａ：什麼叫做科學記號？.................................59

課文Ｂ：什麼叫做科學記號？.................................63

課文Ｃ：科學記號與莫耳.....................................66

課文Ｄ：科學記號的乘除法運算...............................68

課文Ｅ：科學記號的加減法運算【選修】.......................72

國中數學 300問（第一章相關內容）.............................77

1

單元一：整數的加減

（一）課文Ａ：簡單加減

上了國中以後，在數學科我們會學到的第一個新的觀念便是負數。

什麼是負數呢？

我們又如何去做含有負數的加減呢？

國小時我們可以輕而易舉地算出 5＋3＝8，那麼－5＋3 又會等於多少？

事實上，你可以簡單地將負數想成欠人家錢。

比方說，－5＋3 就是代表你欠人家 5 塊錢，而＋3 就代表你有 3 塊錢。

如果你欠人家 5 元，身上有 3 塊錢的話，你先拿 3 元還給他，那你還欠

他幾元呢？

讓我們來看看底下的圖示

－5 ＋3

－2

2

－5 就像是有 5 隻手伸出來跟你要錢，而＋3 則是你有 3 塊錢，還給其

中 3 個人後，結果是什麼呢？

沒錯！就是你還欠他 2 塊錢。

像這樣把負數想像成欠的，正數想像成你有的，就可以解決一大半正負

數加減的問題了。

下面我們再多舉幾個例子來練習看看。

Ex1：－2＋7＝？

就如同上面我們所用的方法一樣，我們可以將負的想像成欠的，而正的

想像成有的。

所以－2 就相當於欠人家 2 塊錢，而＋7 呢？

沒錯！就是你有 7 塊錢，那拿 2 塊錢還給人家後，你還剩下幾塊錢呢？

答案就是剩下 5 塊錢，所以我們就可以算出－2＋7＝5 的結果。

Ex2：3－7＝？

在這一題裏，前面的 3 是正的，所以你可以把它想像成你有 3 塊錢，而

－7 呢？

沒錯，就表示你欠人家 7 塊錢。你有 3 塊錢，卻欠人家 7 塊錢，先把 3

塊錢還人家，你還欠他多少元呢？

沒錯！還欠他 4 塊錢，所以我們就知道 3－7＝－4。

3

Ex3：－5－4＝？

這一題的－5 你一樣把它想成欠人家 5 塊錢，而後面的－4 就是欠人家 4

塊錢。

欠人家 5 塊，再欠 4 塊，所以越欠越多，就變成欠人家 9 塊錢了。所以

我們

就得到－5－4＝－9 了。

以上三個例子，就是單純的正負數加減的題目。

你有沒有發現。只要用一個小小的秘訣，把負的(－)或減的(－)想像成「欠

的」，把正的(＋)或加的(＋)想像成「有的」，就可以輕鬆完成正負數加減

的計算了。

是不是很簡單呢？

接下來，就要請你多做一些練習，讓自己熟悉這樣的算法。

記得喔！這是國中數學很基本的計算，一定要熟練到像直覺一樣，馬上

可以算出答案來才算過關哦！

4

重點提問

1. 請問在上面的課文中，關於正負數加減的運算的「秘訣」是什麼？

請同學以紅筆劃線並抄錄在下面。

2. 請你利用這個「秘訣」，解釋一下－5＋2 的意思。

3. 請你利用這個「秘訣」，解釋一下－3－4 的意思嗎？

4. 請你利用這個「秘訣」，解釋一下 2－6 的意思嗎？

5. 你覺得看完上面的說明，你可以掌握這個秘訣，並用在正負數

加減的運算上嗎？

請試做以下的「隨堂練習」。

5

Ａ.隨堂練習：

1. －8＋2＝ 3. 5－9＝

2. －4＋9＝ 4. －2－8＝

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/wat

ch?v=60wS3vkeois

6

（一）課文Ｂ：符號整併

在介紹完正負數加減的第一種類型簡單加減後，緊接著下來我們便要介

紹正負數加減的第二種類型－符號整併。

什麼叫做符號整併呢？

就是把兩個符號整併成一個，比方說 6＋（－3），唸作 6 加－3，在這個

算式裡同時有一個「＋」號和「－」號，前面的「＋」，唸作「加」是

運算符號，後面的「－」，唸作「負」，是性質符號，那麼究竟 6＋（－3）

該怎麼算呢？

其實你可以把（－3）想像成一筆「3 塊錢的負債」，因此 6＋（－3）就

相當於你原本有 6 塊錢，然後增加了一筆「3 塊錢的負債」。

因為「增加一筆 3 塊錢的負債」，相當於你欠人家 3 塊錢，所以我們就

可以

知道 6＋（－3）就相當於 6－3，所以得到底下的算式

6＋（－3）＝6－3＝3

從這個算式中，我們可以發現相鄰的兩個符號「＋－」，可以整併成「－」，

因為增加一筆負債等於少掉這筆錢。

為了簡單記住這個規則，我們便用一個口訣「正負得負」來幫助記憶。

7

重點提問

1. 請問在上面的課文中，怎麼解釋 6＋（－3）的意思？

2. 你覺得「增加一筆負債」錢會變多還是變少？

3. 課文中，用甚麼口訣幫助我們記憶相鄰的兩個符號「＋－」可以

整併成「－」這件事？

4. 請用課文中解釋 6＋（－3）的方式，解釋 7＋（－4）的意思，並把

結果計算出來。

5. 請用課文中解釋 6＋（－3）的方式，解釋 2＋（－5）的意思，並

把結果計算出來。

6. 你覺得看完上面的說明，你可以掌握這個秘訣，並用在正負數加減

的運算上嗎？請試做以下的「隨堂練習」。

8

Ｂ.隨堂練習：

1. 8＋（－2）＝ 3.－5＋（－4）＝

2. 4＋（－9）＝ 4. －2＋（－8）＝

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/w

atch?v=i3fMbU9q9t8

9

（一）課文Ｃ：符號整併

接下來，我們再來看看幾個例子

Ex1： 7－（＋5）＝？

7－（＋5）該怎麼算呢？

其實你可以把（＋5）想像成一筆「5 塊錢的收入」，因此 7－（＋5）就

相當於你原本有 7 塊錢，然後少了一筆「5 塊錢的收入」。

而「少了一筆 5 塊錢的收入」，其實就等於少了 5 塊錢，所以我們就可

以知道 7－（＋5）就相當於 7－5，所以得到底下的算式

7－（＋5）＝7－5＝2

從這個算式中，我們可以發現相鄰的兩個符號「－＋」，可以整併成

「－」，因為減少一筆收入等於少掉這筆錢。

為了簡單記住這個規則，我們便用一個口訣「負正得負」來幫助記憶。

10

重點提問

1. 請問在上面的課文中，怎麼解釋 7－（＋5）的意思？

2. 你覺得「少掉一筆收入」錢會變多還是變少？

3. 課文中，用甚麼口訣幫助我們記憶相鄰的兩個符號「－＋」可以整併

成「－」這件事？

4. 請用課文中解釋 7－（＋5）的方式，解釋 5－（＋2）的意思，並把

結果計算出來。

5. 請用課文中解釋 7－（＋5）的方式，解釋－3－（＋7）的意思，並

把結果計算出來。

6. 你覺得看完上面的說明，你可以掌握這個秘訣，並用在正負數加減的

運算上嗎？請試做以下的「隨堂練習」。

11

Ｃ.隨堂練習：

1. 8－（＋3）＝ 3. 4－（＋9）＝

2. 4－（＋2）＝ 4. －5－（＋4）＝

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/wat

ch?v=liBkkZGNqdQ

12

（一）課文Ｄ：符號整併

Ex2： 3－（－5）＝？

3－（－5）該怎麼算呢？

一樣的道理，你可以把（－5）想像成一筆「5 塊錢的負債」，因此 3－

（－5）就相當於你原本有 3 塊錢，然後可以少一筆「5 塊錢的負債」。

可是你並沒有負債啊！怎麼「少了一筆 5 塊錢的負債」呢？

其實就相當於有人告訴你，你可以欠錢不用還，額度是 5 元，這麼一來

就等於你賺到 5 塊錢，所以我們就可以知道 3－（－5）就相當於 3＋5，

並得到底下的算式

3－（－5）＝3＋5＝8

從這個算式中，我們可以發現相鄰的兩個符號「─ ─」，可以整併成「＋」，

因為減少一筆負債等於賺到這筆錢。

為了簡單記住這個規則，我們便用一個口訣「負負得正」來幫助記憶。

13

重點提問

1. 請問在上面的課文中，怎麼解釋 3－（－5）的意思？

2. 你覺得「少掉一筆負債」錢會變多還是變少？

3. 課文中，用甚麼口訣幫助我們記憶相鄰的兩個符號「─ ─」可以整

併成「＋」這件事？

4. 請用課文中解釋 3－（－5）的方式，解釋 5－（－2）的意思，並把

結果計算出來

5. 請用課文中解釋 3－（－5）的方式，解釋－3－（－7）的意思，並

把結果計算出來。

6. 你覺得看完上面的說明，你可以掌握這個秘訣，並用在正負數加減

的運算上嗎？請試做以下的「隨堂練習」。

14

Ｄ.隨堂練習：

1. 8－（－3）＝ 3. 4－（－9）＝

2. －4－（－2）＝ 4. －5－（－4）＝

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/wat

ch?v=vhaYAKxmheA

15

（一）課文Ｅ：符號整併

Ex3：－4＋（＋9）＝？

－4＋（＋9）該怎麼算呢？

一樣的道理，你可以把（＋9）想像成一筆「9 塊錢的收入」，因此－4

＋（＋9）就相當於你原本有 4 塊錢的負債，然後增加了一筆「9 塊錢的

收入」。

而「增加了一筆 9 塊錢的收入」，就等於多了 9 塊錢。

所以我們就可以知道－4＋（＋9）就相當於－4＋9，所以得到底下的算

式

－4＋（＋9）＝－4＋9＝5

從這個算式中，我們可以發現相鄰的兩個符號「＋＋」，可以整併成「＋」，

因為增加了一筆 9 塊錢的收入等於多了這筆錢。

為了簡單記住這個規則，我們便用一個口訣「正正得正」來幫助記憶。

16

重點提問

1. 請問在上面的課文中，怎麼解釋－4＋（＋9）的意思？

2. 你覺得「增加一筆收入」錢會變多還是變少？

3. 課文中，用甚麼口訣幫助我們記憶相鄰的兩個符號「＋＋」可以整

併成「＋」這件事？

4. 請用課文中解釋－4＋（＋9）的方式，解釋－5＋（＋2）的意思，

並把結果計算出來。

5. 請用課文中解釋－4＋（＋9）的方式，解釋－3＋（＋7）的意思，

並把結果計算出來。

6. 你覺得看完上面的說明，你可以掌握這個秘訣，並用在正負數加減

的運算上嗎？請試做以下的「隨堂練習」。

17

Ｅ.隨堂練習：

1. 8＋（＋3）＝ 3. －9＋（＋5）＝

2. －4＋（＋2）＝ 4. －4＋（＋7）＝

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/wa

tch?v=_Y1BRSlVeBY

18

單元二：正負數的乘除法計算

（二）課文Ａ：正負數的乘法

學完正負數的加減後，我們就要一起進入正負數的乘法了。

正負數的乘法怎麼算呢？

國小時我們學過 3×7＝21，那麼如果是（－3）×7 呢？

其實算法和國小時是一樣的，只是多了一個負號，那我們怎麼去算這個

負號呢？

讓我們來專心看一下底下的說明。

正負數的乘法可以分成兩個部分來算，就是「性質符號×性質符號」、

「數字×數字」。

以上面的例子來說，就會變成

（－3）×7

＝（－3）×（＋7）

＝（－×＋）和（3×7）

＝－21

從上面的例子我們可以發現，「數字×數字」的部分和國小學的是一模一

樣的，但是「性質符號×性質符號」就是我們國小沒學過的了。

究竟這個「性質符號×性質符號」怎麼算呢？

19

其實它就是我們從小就聽過的「負負得正」。

性質符號的運算就只有四種情形，分別是「正正得正」、「負負得正」、「正

負得負」和「負正得負」，只要能掌握這四種規則，正負數的乘法其實

和國小所學的沒有太大差別。

以下我們便舉幾個例子來說明。

Ex1：（－2）×（－7）＝？

就如同上面我們所用的方法一樣，我們將它分成兩個部分來計算「性質

符號×性質符號」、「數字×數字」。

所以就會變成（－×－）和（2×7），前面的「負乘以負會得正」，而後面

的 2×7 則會得到 14，所以答案就是＋14，也就是 14（一般而言正數我

們都會省略＋號不寫）。

完整的式子如下。

（－2）×（－7）＝（－×－）和（2×7）＝＋14 ＝ 14

20

Ex2：（－125）×3＝？

在這一題裡，我們將它分成兩個部分來計算「性質符號×性質符號」、「數

字×數字」。所以就會變成（－×＋）和（125×3），前面的「負乘以正會

得負」，而後面的 125×3 則會得到 375，所以答案就是－375。

完整的式子如下。

（－125）×3＝（－×＋）和（125×3）＝－375

Ex3：36×（－4）＝？

在這一題裡，我們將它分成兩個部分來計算「性質符號×性質符號」、「數

字×數字」。所以就會變成（＋×－）和（36×4），前面的「正乘以負會得

負」，而後面的 36×4 則會得到 144，所以答案就是－144。

完整的式子如下。

36×（－4）＝（＋×－）和（36×4）＝－144

21

Ex4：（＋18）×（＋15）＝？

在這一題裡，我們還是將它分成兩個部分來計算「性質符號×性質符號」、

「數字×數字」。

所以就會變成（＋×＋）和（18×15），前面的「正乘以正會得正」，而後

面的 18×15 則會得到 270，所以答案就是＋270，也就是 270（一般而言

正數我們都會省略＋號不寫）。

完整的式子如下。

（＋18）×（＋15）＝（＋×＋）和（18×15）＝＋270 ＝ 270

以上四個例子，就是正負數乘法的四種題目，你有沒有發現，只要我們

將它拆成兩個部分來處理，「性質符號×性質符號」、「數字×數字」，任何

的題目的計算其實都很簡單。

唯一需要我們多注意的，就只有「性質符號×性質符號」的四種情形。

分別是「正正得正」、「負負得正」、「正負得負」和「負正得正」。

只要能熟悉這四種情形，正負數的乘法就可以得心應手了，是不是很簡

單呢？

接下來，就要請你多做一些練習，讓自己熟悉這樣的算法。

記得喔！這是國中數學很基本的計算，一定要熟練到像直覺一樣，馬上

可以算出答案來才算過關哦！

22

重點提問

1. 請問在上面的課文中，關於正負數乘法的運算，告訴我們要分成哪

兩個部分來計算？

2. 「性質符號×性質符號」總共有哪四種情形？

3. 請用課文中的方式說明一下（－3）×（－4）嗎？

4. 你覺得看完上面的說明後，你覺得在正負數乘法的運算上，比較需

要注意的事項是什麼？

Ａ.隨堂練習：

1. （－13）×（－2）＝

2. 3×（－42）＝

3. （－45）×4＝

4. （＋27）×（＋5）＝

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/wa

tch?v=0pu9wBz12Fg

23

（二）課文 B：正負數的除法

學完正負數的乘法後，接下來我們就要談一談正負數的除法運算了。

事實上，正負數的除法運算和乘法運算是一樣的做法，都要分成兩個部

份來計算，也就是「性質符號÷性質符號」、「數字÷數字」。

以（－45）÷5 來說，就會變成

（－45）÷5

＝（－45）÷（＋5）

＝（－÷＋）和（45÷5）

＝－9

從上面的例子我們不難發現，整數的除法和乘法的作法上是類似的，以

下我們便多舉幾個例子來說明。

Ex1：（－42）÷（－7）＝？

就如同上面我們所用的方法一樣，我們將它分成兩個部分來計算「性質

符號÷性質符號」、「數字÷數字」。

所以就會變成（－÷－）和（42÷7），前面的「負負得正」，而後面的 42÷7

則會得到 6，所以答案就是＋6，也就是 6（一般而言正數我們都會省略

＋號不寫）。

24

完整的式子如下。

（－42）÷（－7）

＝（－÷－）和（42÷7）

＝＋6＝6

Ex2：（－126）÷3＝？

在這一題裏，我們也是將它分成兩個部分來計算「性質符號÷性質符號」、

「數字÷數字」。所以就會變成（－÷＋）和（126÷3），前面的「負正得

負」，而後面的 126÷3 則會得到 42，所以答案就是－42。

完整的式子如下。

（－126）÷3

＝（－÷＋）和（126÷3）

＝－42

Ex3：36÷（－4）＝？

在這一題裏，我們依然將它分成兩個部分來計算「性質符號÷性質符號」、

「數字÷數字」。所以就會變成（＋÷－）和（36÷4），前面的「正負得負」，

而後面的 36÷4 則會得到 9，所以答案就是－9。

完整的式子如下。

25

36÷（－4）

＝（＋÷－）和（36÷4）

＝－9

Ex4：（＋180）÷（＋15）＝？

在這一題裏，我們將它分成兩個部分來計算「性質符號÷性質符號」、「數

字÷數字」。所以就會變成（＋÷＋）和（18×15），前面的「正正得正」，

而後面的 180÷15 則會得到 12，所以答案就是＋12，也就是 12（一般而

言正數我們都會省略＋號不寫）。

完整的式子如下。

（＋180）÷（＋15）

＝（＋÷＋）和（180÷15）

＝＋12

＝12

以上四個例子，就是正負數除法的四種題目，你有沒有發現，只要我們

將它拆成兩個部分來處理，「性質符號÷性質符號」、「數字÷數字」，任何

的

題目的計算其實都很簡單。

唯一需要我們多注意的，就只有「性質符號÷性質符號」的四種情形。

26

分別是「正正得正」、「負負得正」、「正負得負」和「負正得負」。只要

能

熟悉這四種情形，正負數的除法就可以得心應手了，是不是很簡單呢？

接下來，就要請你多做一些練習，讓自己熟悉這樣的算法。

記得喔！這是國中數學很基本的計算，一定要熟練到像直覺一樣，馬上

可以算出答案來才算過關哦!

重點提問

1. 請問在上面的課文中，關於正負數除法的運算，告訴我們要分成哪

兩個部分來計算？

2. 「性質符號÷性質符號」總共有哪四種情形？

3. 請用課文中的方式說明一下（－32）÷（－4）

4. 你覺得看完上面的說明後，你覺得在正負數除法的運算上，比較需

要注意的事項是什麼？

27

Ｂ.隨堂練習：

1. （－130）÷（－2）＝

2. 36÷（－12）＝

3. （－45）÷5＝

4. （＋270）÷（＋9）＝

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/wa

tch?v=CfRRiXu9owQ

28

單元三：整數的四則運算

（三）課文Ａ：整數的四則運算

在了解完正負數的加減與乘除後，接下來我們要來看看整數的四則運

算。

四則運算不就是加減乘除嗎？

那我們都已經學會整數的加減乘除了，為什麼還要再學整數四則運算

呢？

原因就在於當加減乘除放在一起時，會有一些計算的規則要注意，例如

國小就學過的「先乘除後加減」，還有「括號要先算」等。

因此這一個單元的重點，就是要熟悉這些計算規則。

以下我們就透過一些例子，來熟悉這些計算規則。

Ex 1：5－(－9)×8＝？

解法：5－(－9)×8＝5－(－72) ＝5＋72＝77

說明：這一題因為先乘除後加減的緣故，所以要先算後面的(－9)×8，接

下來才從左邊算到右邊。

1

2

29

Ex 2：(－14)＋8×(－3)＝？

解法：(－14)＋8×(－3)＝(－14)＋(－24)＝(－14)－24＝－38

說明：

這一題也是因為先乘除後加減的緣故，所以要先算後面的 8×(－3)，接

下來才從左邊算到右邊。

Ex 3：15＋(－3)×(－4)＋(－5)＝？

解法：15＋(－3)×(－4)＋(－5)＝ 15＋12＋(－5)＝27－5＝22

說明：這一題也是因為先乘除後加減的緣故，所以要先算中間的

(－3)×(－4)，接下來再從左邊到右邊。

Ex 4：[(－8)＋(－4)]×[(－12)÷(－6)]＝？

解法：[(－8)＋(－4)]×[(－12)÷(－6)]＝(－12) ×(＋2)＝－24

說明：

這一題因為中括號要先算，所以先把前後兩個中括號[(－8)＋(－4)]、

[(－12) ÷(－6)]算出來，得到的結果再相乘就是答案。

1

2

1

2 3

1 1

2

30

Ex 5： {[2＋(－5)]×[3＋(－8)]×6}－7＝？

解法：{[2＋(－5)]×[3＋(－8)]×6}－7

＝[ (－3)×(－5)×6 ]－7

＝ 90－7

＝ 83

說明：這一題因為中括號要先算，所以把前後兩個中括號[2＋(－5)]、[3

＋(－8)]先算出來，得到的結果分別為(－3)和(－5)，然後再處理第 2 步

和第 3 步，大括號內的 (－3)×(－5)×6 相乘，而大括號本身也因為中括

號不見了，所以降為中括號，最後再將相乘之後的結果，和後面的－7

做運算，就得到答案了。

Ex 6：12－7×（－32）＋16÷（－4）＝？

解法：12－7×（－32）＋16÷（－4）

＝12－(－224)＋(－4)

＝ 12＋224－4

＝ 232

1

3

1

2 4

1 1

2 3

31

說明：這一題因為先乘除後加減，所以先算 7×（－32）和 16÷（－4），

最後再從左邊算到右邊，就可以得到答案。

Ex 7： 9＋（－2）×［18－（－3）×2］÷4＝？

解法：9＋（－2）×［18－（－3）×2］÷4

＝ 9＋(－2) ×［18－(－6)］÷4

＝ 9＋(－2) × 24÷4

＝ 9＋(－48) ÷4

＝9＋(－12)

＝ 9－12

＝－3

說明：這一題因為括號內要先算，而且要先乘除後加減，所以第 1 步先

算（－3）×2，然後第 2 步算［18－(－6)］，第 3 步算(－2) × 24÷4 中的

(－2) × 24，然後再÷4，最後自左邊算到右邊，就可以得到答案。

1

2 3 5 4

32

重點提問

1. 看完上面的課文，你覺得四則運算和單純的加減乘除間，有什麼不一

樣？

2. 上面的例題中，在解法部份有一些長短不同的箭頭，箭頭末端還寫有

1、2、3 等數字，你覺得這些箭頭的作用，是要告訴我們甚麼訊息？

3. 請你依據上面箭頭的畫法，畫出(－2)＋5×(－8)的計算順序，並算出

答案。

4. 看完上面例題的示範，你覺得在做四則運算時，有什麼值得你學習參

考的地方？

33

隨堂練習：

1. (－3)＋42÷(－7)＝

2. (－15)×5÷(－3)＋2＝

3. (－15)－(－3)×3－(－7)＝

4. [(－12)＋(－11)]×[(－4)÷(－2)]＝

5. {[(－63)÷3]÷(－7)}×[7＋(－9)]＝

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/w

atch?v=mgq-HZ4NK-8

34

單元四：絕對值

（四）課文Ａ：絕對值的意義

數線上一點到原點(0)的距離就叫絕對值，比方說：數線上一點 A(3)，距

離原點 3 個單位長，所以我們就說|3| = 3，唸作 3 的絕對值等於 3。

又數線上一點 B(－4)距離原點，4 個單位長，所以我們就說|−4| = 4，

唸作－4 的絕對值等於 4。

從上面的敘述中你應該可以知道絕對值是個很簡單的概念，某一個數的

絕對值，就只是代表這一個數，在數線上距離原點(0)有幾個單位長。

現在就利用這個觀念，多看幾個例子。

|8| = 8

|－8| = 8

|6| = 6

|－6| = 6

你有沒有發現，正數的絕對值都等於它自己，而負數的絕對值，都只要

把負號拿掉變正數就好。這是因為在數線上，不管是 8，還是－8，距離

原點(0)都是 8 個單位長。

0

8 －8

8單位長 8單位長

35

從上面的說明中，我們可以知道絕對值所代表的概念是「距離」，也就

是一個數在數線上離原點的距離。

那麼距離會不會有負數呢？

當然不會！就像生活中不會甲地距離乙地（－8）公里一樣。

那麼如果距離不可能是負的，那距離一定是正數嗎？

事實上，距離除了是正數外，還可能是 0。

兩地之間如果距離 0 公里，就代表根本就是同一個地方，就像設定導航，

抵達目的地時，電腦就會計算出距離目的地 0 公里一樣。

因此，在數線上，如果有一個數 a 的絕對值等於 0（|a| = 0），就代表 a

距離原點 0 個單位長，換句話說 a 就是原點，

36

重點提問

1. 絕對值的意義是什麼？

2. 數線上，距離原點 8 個單位長的點會有幾個？並把它寫出來。

3. 如果|a| = 6，是代表數線上有一點 a 距離原點 6 個單位長，那麼 a

可能是多少？

4. 絕對值所代表的意義是「距離」，那麼絕對值會不會有負數？為什

麼？

5. 承上，絕對值不可能為負數，那麼絕對值可不可以是 0？又數線上

哪一點的絕對值會等於 0 呢？

37

隨堂練習

1. 寫出下列各數的絕對值

○1 －3

○2 4

○3 1.7

○4 －5.6

○55

7

○6 −5

2

2. 若|b| = 5，則 b=？

3. 若|k| = 0，則 k=？

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/watc

h?v=iH1WnphntMc

38

（四）課文 B：絕對值不能為負數的應用

接著，讓我們來看一些絕對值觀念應用的題目。

Ex 1：回答下列各題，正確請打○，錯誤請打╳

1.( )一個數的絕對值為 0 時，就代表這個數落在原點上，也就是 0。

2.( )絕對值等於 3 的點，代表這個數距離原點 3 個單位長，所以

坐標一定是 3。

3.( )|a|=5，a=5 或－5，記作±5。

4.( )若|甲|= －3 ，則甲＝± 3。

5.( )若|甲|＋|乙|= 0 ，則甲和乙都等於 0。

提示

1. 絕對值代表的意義是數線上一點到原點的距離，因此一個數的絕對值

如果是 0，就代表他距離原點 0 個單位長。那麼哪一個點距離原點 0

個單位長呢？

當然就是原點本身，也就是 0。所以第一題答案是○。

2. 絕對值等於 3 的點，代表距離原點 3 個單位長，但是距離原點 3 個

單位長的點，除了 3 之外還有－3，所以距離原點 3 個單位長可能的

座標有兩個，3 和－3。所以第二題答案是╳。

3. |a|=5，代表 a 距離原點 5 個單位長，因此 a 的可能的座標有兩個，也

就是 5 和－5，我們記作±5，讀作「正負 5」。所以第三題答案是○。

4. 絕對值代表的意義是數線上一點到原點的距離，因此絕對值事實上代

表

距離，距離不會有負值，所以|甲|不可能等於－3。因此答案是╳。

39

5. 兩個數相加等於 0，可能的情形有兩種，一是一正一負，剛好抵銷，

第二種則是兩個都是 0，所以 0＋0＝0。

但是因為絕對值不可能是負數，所以|甲|＋|乙|= 0，不可能為一正一

負。

因此我們可以知道|甲|和|乙|都等於 0。所以答案是○。

Ex 2：若|甲－3|＋|乙＋2|= 0，則甲＝？乙＝？。

提示：

兩個數相加等於 0，可能的情形有兩種，一是一正一負，剛好抵銷，第

二種

則是兩個都是 0，所以 0＋0＝0。

但是因為絕對值不可能是負數，所以|甲－3|和|乙＋2|不可能為一正一

負。

因此我們可以知道|甲－3|和|乙＋2|都等於 0。

既然|甲－3|和|乙＋2|都等於 0，所以甲＝3，乙＝－2。

Ex 3：若|甲－8|= 2，則甲＝？

提示：

因為|甲－8|= 2，所以（甲－8）的值有兩種可能，2 和－2。

如果甲－8＝2，那麼甲等於 10。

又如果甲－8＝－2，那麼甲等於 6。

所以甲有可能等於 10 和 6。

40

Ex 4：數線上有三點 A(a)、B(b)、C(c)，其位置如下圖，試比較 |a|、|b|、

|c|

的大小關係。

提示：

|a|、|b|、|c|分別代表的意思是 A、B、C 三點距離原點的距離，雖然題目

並沒有告訴我們 a、b、c 的數值，但是我們依然可以從 A、B、C 三點在

數線上離原點 0 的距離長短，判斷出|a|、|b|、|c|的大小關係。

因為 B 點離原點最遠，其次是 A 點，最後是 C 點。

所以 |b| > | a| > |c|。

Ex 5：數線上有兩點 A(a)、B(b)，其位置如下圖，若|a|＝7、 |b|＝4，求

點 A 到點 B 之間的距離為何？

提示：

因為|a|＝7、 |b|＝4，所以 A 點距離原點 7 個單位長，且 B 點距離原點 4

個單位長，依據數線上 A、B 點位置的關係，我們可以知道 A 到 B 之間

的距離，可以用 7－4 求出來，所以答案是 3。

A(a) 0 B(b) C(c)

0 A(a) B(b)

41

Ex 6：若 a 為整數，且 2＜|a|＜8，則 a 可能的值為何？

提示：

因為 a 為整數，所以|a|也會是整數，而介於 2 和 8 之間的整數有 3、4、

5、6、7 等五個。所以|a|可能等於 3、4、5、6、7。

若|a|＝3，那麼 a＝3 和－3。

若|a|＝4，那麼 a＝4 和－4。

若|a|＝5，那麼 a＝5 和－5。

若|a|＝6，那麼 a＝6 和－6。

若|a|＝7，那麼 a＝7 和－7。

所以，a 可能的值有±3、±4、±5、±6 和±7。

Ex 7：若 b 為整數，且－2＜|b|＜1，則 b 可能的值為何？

提示：

因為 b 為整數，所以 |b|也會是整數，而介於`－2 和 1 之間的整數有－1

和 0 兩個。所以 |b|有可能等於－1 或 0。

但絕對值不可能為負，所以－1 不可能。因此我們可以確定 |b|＝0。

又 |b|＝0，所以 b ＝0。

42

重點提問

1. 依據上面課文的說明，兩個數相加等於 0 的可能哪兩種？

2. 依據上面課文的說明，絕對值除了可能是正數外，也有可能是 0，請

問數線上哪一點的絕對值是 0 ？

3. 依據上面課文的說明，請問距離原點 4 個單位長的點會有幾個，並

寫出坐標。

43

B.隨堂練習

1. 若|甲＋2|＋|乙－5|= 0，則甲＝？乙＝？

2. 若|甲＋2|= 5，則甲＝？

3. 若 a 為整數，且 2＜|a|＜8，則 a 可能

的值為何？

4. 數線上有三點 A(a)、B(b)、C(c)，其位置

如下圖，試比較 |a|、|b|、|c|的大小關係。

5. 數線上有兩點 A(a)、B(b)，其位置如下圖，若|a|＝7、 |b|＝4，求點

A

到點 B 之間的距離為何？

A(a) 0 B(b) C(c)

0 A(a) B(b)

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com

/watch?v=G81iDSq5aTs

https://www.youtube.com

/watch?v=XvkEysTWXp8

44

單元五：指數律

（五）課文Ａ：指數的意義

如果我們將一個數自己乘自己數次，就叫做「乘方」，比方說 2×2×2×2×2。

在記錄乘方的時候，因為重複寫太麻煩，所以數學家就發明一個簡單的

方法來紀錄它。

比方說，2×2×2×2×2 是 2 自乘 5 次，所以我們就記作「25」，唸作「2 的

5 次方」。

一樣的道理，如果是 3×3×3×3×3×3×3，因為是 3 自乘 7 次，所以我們就

記作 37，其中底下的 3，就叫作「底數」，而右上角小小的 7 就叫作「指

數」。

那麼，34是什麼意思？又 3

4究竟是多少呢？

沒錯，34就是 3×3×3×3，真的把它算出來，就會等於 81，我們可以把它

寫成下面的算式

34＝3×3×3×3＝81

再舉個例子來說，28是什麼意思？又 2

8究竟是多少呢？我們一樣可以像

上面一般，寫出底下的算式，

28＝2×2×2×2×2×2×2×2＝256

看完了上面的解釋，你了解什麼叫乘方？什麼叫底數？什麼叫指數了

嗎？

45

重點提問

1. 除了課本所提的例子，請你另外舉出一個例子來說明什麼叫乘

方？

2. 除了課本所提的例子，請你另外舉一個例子來說明一下，什麼叫

指數？什麼叫底數？

3. 請你利用上面課文中所介紹的方法，簡單紀錄

5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5×5。

4. 74怎麼唸？代表什麼意義？又它算出來的值會等於多少？

46

Ａ.隨堂練習

1. 3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3＝？

2. 52的值＝_______。

3. 33的值＝_______。

4. 請你依序寫出 21、2

2、23、2

4、25、2

6的值

＝_______________________________。

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47

（五）課文Ｂ：底數為負

在了解完什麼叫底數、什麼叫指數後，接下來我們要來看看，當負數出

現在底數或指數時，乘方會有什麼變化？

首先我們要探討的是，底數是負數的情形，如（－2）3。

當底數是負數時，其實並沒有差別，一樣是代表自乘數次，只不過自乘

的數本身是負數而已，像（－2）3就代表（－2）自乘 3 次，即

（－2）3＝（－2）×（－2）×（－2）＝－8

我們來看一下（－2）自乘 1 次、2 次、3 次、4 次、5 次和 6 次的變化

（－2）1＝－2

（－2）2＝（－2）×（－2）＝4

（－2）3＝（－2）×（－2）×（－2）＝－8

（－2）4＝（－2）×（－2）×（－2）×（－2）＝16

（－2）5＝（－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2）＝－32

（－2）6＝（－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2）＝64

然後比對一下 2 自乘 1 次、2 次、3 次、4 次、5 次和 6 次的變化

21＝2

22＝ 2 × 2＝4

23＝ 2 × 2 × 2＝8

24＝ 2 × 2 × 2 × 2＝16

48

25＝ 2 × 2 × 2 × 2 × 2＝32

26＝ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2＝64

你有沒有發現大同小異，唯一有差別的是（－2）的乘方偶爾會出現負

數，分別出現在（－2）的 1 次方、（－2）的 3 次方、（－2）的 5 次方

時，而（－2）的 2 次方、（－2）的 4 次方、（－2）的 6 次方都還是正

數，為什麼會這樣呢？

其實原因很簡單，在作（－2）的乘方時，如果有偶數個（－2）自乘，

兩個兩個一組，剛好都會負負得正，所以我們可以這樣說，（－2）的偶

數次方都會是正數。

相反地，當有奇數個（－2）相乘時，兩個兩個一組後，總會餘下一個

（－2），其他都負負得正後，跟最後這一個（－2）相乘後，就正負得

負，變成負數了。所以我們可以這樣說，（－2）的奇數次方都會是負數。

其實不光只是（－2），只要是負數的乘方，都會有偶數次方為正數，奇

數次方為負數的情形。

49

重點提問

1. （－2）3會是正數還是負數？

2. 上面的課文告訴我們負數的乘方，在什麼情況下會是正數？

3. 上面的課文告訴我們負數的乘方，在什麼情況下會是負數？

4. （－2）33會是正數還是負數？為什麼？

50

Ｂ.隨堂練習

1. 判斷下列各數是正數還是負數。

（－3）48是________數。

（－1）25是________數。

（－2）357是________數。

（－5）522是________數。

2. 已知 210＝1024，那麼（－2）10＝___________。

3. 已知 29＝512，那麼（－2）9＝___________。

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51

（五）課文 C：指數為負

在探討完底數為負數的情形後，我們來繼續來研究一下，指數為負數的

情況，如 2－3。

2－3究竟是多少呢？

其實你不妨將指數－3 的負號，解釋為「在分母」。

什麼意思呢？

就是說指數的負號，單純只是告訴你，23在分母，也就是

2－3＝

1

23＝

1

8

一樣的道理，5－2裡指數的負號相當於告訴你「5

2在分母」，也就是

5－2 ＝

1

52＝

1

25

一樣的道理，3－2裡指數的負號相當於告訴你「3

2在分母」，也就是

3－2 ＝

1

32＝

1

9

這樣你了解指數為負數的作法了嗎？

重點提問

1. 上面的課文告訴我們，指數為負數時，可以將負號解釋為什麼意

思？

2. 請你模仿上面課文的作法，計算 2－5的值。

52

隨堂練習

1. 計算 3－3的值。

2. 計算 2－2的值。

3. 計算 5－3的值。

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https://www.youtube.com

/watch?v=Us-8Mik_ONY

53

（五）課文 D：指數律

緊接著下來我們就要介紹「指數律」了。

什麼叫做指數律呢？

顧名思義，應該是指和指數有關的規則吧！

一點也沒錯，指數律就是指乘方在運算過程中跟指數有關的規則。

那這樣的規則有幾條呢？答案是有四條，底下我們便一一來介紹。

第一條：相乘，指數相加

當兩個底數相同的乘方相乘時，指數會有什麼規律呢？讓我們用底下的

例子來看看

23×2

5

＝（2×2×2）×（2×2×2×2×2）

＝2×2×2×2×2×2×2×2

＝28

你有沒有發現 2 的 3 次方乘以 2 的 5 次方，其實就是連續 3 個 2 相乘再

乘上連續 5 個 2 相乘，因此就會變成有連續 8 個 2 相乘，也就是 2 的 8

次方（28）。

所以我們就可以知道，底數相同的乘方相乘時，其實只要將指數相加，

就是相乘後的結果。所以上面的例子，我們可以簡單地這樣算

54

23×2

5＝2(3+5)＝2

8

為了簡單記住這個規則，我們用一個口訣來加深印象，就是「相乘，指

數相加」

第二條：相除，指數相減

當兩個底數相同的乘方相除時，指數又會有什麼規律呢？讓我們用底下

的例子來看看

37÷3

3

＝（3×3×3×3×3×3×3）÷（3×3×3）

＝3×3×3×3×3×3×3

3×3×3

＝3×3×3×3

＝34

你有沒有發現 3 的 7 次方除以 3 的 3 次方，其實就是連續 7 個 3 相乘除

以連續 3 個 3 相乘，寫成分數的話就會變成3×3×3×3×3×3×3

3×3×3，上下約分後，

分子原本有 7 個 3 相乘，會被分母的 3 個 3 相乘約分掉，因此會少 3 個，

只剩連續 4 個 3 相乘，也就是 3 的 4 次方（34）。

所以我們就可以知道，底數相同的乘方相除時，其實只要將指數相減，

就是相除後的結果。所以上面的例子，我們可以簡單地這樣算

37÷3

3＝3(7-3)＝3

4

為了簡單記住這個規則，我們用一個口訣來加深印象，就是「相除，指

數相減」。

55

重點提問

1. 在上面的課文中，介紹了哪幾條指數律，請你把口訣記錄下來。

2. 除了課本上的例子，請依這些口訣，各另舉一個例子來說明。

D.隨堂練習

1. 94×9

2＝ 4. 7617

2＝

2. 172×17

4＝ 5. 14714

3＝

3. 35×3

2＝ 6. 12512

3

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56

（五）課文Ｅ：指數律

第三條：乘方的乘方，指數相乘

那如果是乘方的乘方呢？又有什麼規則？

首先我們來聊聊什麼是乘方的乘方，所謂乘方的乘方就像(23)

5，是連續

5 個 23相乘，也就是 2

3×2

3×2

3×2

3×2

3。

那麼，乘方的乘方究竟該怎麼算？指數部分又有什麼規律呢？讓我們來

看一看底下的算式。

(23)

5

＝23×2

3×2

3×2

3×2

3

＝(2×2×2)×(2×2×2)×(2×2×2)×(2×2×2)×(2×2×2)

＝215

從上面的例子中，我們可以發現，5 組的 2 的 3 次方相乘，每一組相當

於 3 個 2 相乘，換句話說，有 5 組的 3 個 2 相乘，所以就有 3×5=15 個 2

相乘了。

因此我們知道，乘方的乘方在計算時，其實只要將指數相乘就可以得到

答案，所以上面的算式簡單寫成

(23)5＝2

(3×5)＝215

為了簡單記住這個結果，我們們用一個口訣來加深印象，就是「乘方的

乘方指數相乘」

(共 5組，15個 2)

57

第四條：先相乘後乘方＝先乘方後相乘

接下來要介紹的第四項規則，就是兩數相乘的乘方了。

那麼什麼叫作兩數相乘的乘方呢？

舉個例子來說，就像是(2×5)3一樣，那麼兩數相乘的乘方，指數又會有

什麼變化呢？

我們來看看下面的算式，

(2×5)3

＝(2×5)×(2×5)×(2×5)

＝2×5×2×5×2×5

＝2×2×2×5×5×5

＝23×5

3

你有沒有發現，兩數先相乘再乘方會等於，兩數先各自乘方後，再相乘。

所以我們可以將上面的算式，簡單的寫成

(2×5)3＝2

3×5

3

為了記住這個規則，我們用一句口訣「先相乘後乘方＝先乘方後相乘」

來描述這個規則。

以上就是有關指數的四項運算規則，我們將它叫作「指數律」。接下來

就請你多多練習，熟悉這四項規則的運用了。

58

重點提問

1. 在上面的課文中，介紹了哪幾條指數律，請你把口訣記錄下來。

2. 除了課本上的例子，請依這些口訣，各另舉一個例子來說明。

Ｅ.隨堂練習

1. (23)

7＝2□，□＝？

2. (32)

5＝3□，□＝？

3. 524＝(5

3)□，□＝？

4. 718＝(7

2)□，□＝？

5. (2×5)3＝2

□×5

□，□＝？

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ch?v=CrcH0A8WexU

59

單元六：科學記號法

（六）課文Ａ：什麼叫做科學記號？

在科學研究的過程中，我們常常會用到一些很大或很小的數字，比方說

用來計算星球間距離的單位「光年」和最近很紅的「奈米」。

1 光年大約等於 9500000000000 公里，而 1 奈米則是 0.000000001 公尺。

因為在書寫和計算這些很大或很小的數字時，相當的不方便。

所以科學家就發明了一種比較簡單的方法去記錄和書寫這些很大或很

小的數字，就是我們要介紹的科學記號法了。

首先我們來看一看「光年」和「奈米」用科學記號法來書寫後，會變成

什麼樣子，

1光年＝9500000000000公里＝9.5×1012公里

1奈米＝0.000000001公尺＝1×10-9公尺

是不是變得簡潔很多呢？

當你需要計算這些很大或很小的數字時，因為可以利用指數律，你會更

能感受到它的便利。

那麼我們要怎麼將很大或很小的數字，用科學記號法來表示呢？

首先要來看看科學記號法的要求，科學記號一定要寫成底下的樣子

a×10m

其中有兩個關鍵的數字，分別是 a 和 m，對這兩個數字，科學記號法的

60

規定如下

a：必須是個小於 10 的數，且必須大於等於 1，即 1≦a<10

m：必須要是整數

接下來我們便舉一些例子來說明如何將很大或很小的數，如何用科學記

號法寫出來。

首先我們來看兩個例子，探討一下，如何將很大的數，用科學記號法來

表示。

Ex 1：光速大約是 300000000 公尺/秒，請用科學記號法來表示。

解法：

300000000 公尺/秒

＝3×100000000 公尺/秒

＝3×108公尺/秒

Ex 2：地球離太陽的距離約是 150000000 公里，請用科學記號法來表示。

解法：

150000000 公里

＝15×10000000 公里

＝1.5×100000000 公里

＝1.5×108公里

61

重點提問

1. 科學記號法要寫成 a×10m的樣子，請問其中 a 有什麼樣的規定？

2. 科學記號法要寫成 a×10m的樣子，請問其中 m 有什麼樣的規定？

3. 課文中將光速 300000000 公尺/秒，化成科學記號的過程如下

300000000 公尺/秒＝3×100000000 公尺/秒＝3×108公尺/秒

你認為 100000000 公尺/秒是如何變成 108公尺/秒的？

4. 課文中將地球到太陽的距離 150000000 公里，化成科學記號的

過程如下

150000000 公里

＝15×10000000 公里

＝1.5×100000000 公里

＝1.5×108公里

你認為為什麼要把 15×10000000 公里再化成 1.5×100000000 公里？

62

Ａ.隨堂練習

1. 以科學記號法表示下列各數

○1 900000

○2 31000

○3 4900

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/w

atch?v=RJuha3i1PEs

63

（六）課文 B：什麼叫做科學記號？

接著我們再來看看兩個例子，討論一下很小的數如何用科學記號法表示。

Ex 3：微血管的直徑大約在 0.000008 公尺左右，請用科學記號法來表示。

解法：

0.000008 公尺

＝8×0.000001 公尺

＝8×10-6公尺

Ex 4：腸病毒的大小大約是 0.000000025 公尺，請用科學記號法來表示。

解法：

0.000000025 公尺

＝ 25×0.000000001 公尺

＝2.5×0.00000001 公尺

＝2.5×10-8公尺

64

重點提問

1. 課文中將微血管的直徑 0.000008 公尺，化成科學記號的過程如下

0.000008 公尺＝8×0.000001 公尺＝8×10-6公尺

你認為 0.000001 公尺是怎麼化成 10-6公尺的？

2. 承上題，依你的看法，0.01 公尺，可以化成 10□公尺？

3. 課文中將腸病毒的大小 0.000000025 公尺，化成科學記號的過程如

下

0.000000025 公尺＝ 25×0.000000001 公尺＝ 2.5×0.00000001 公尺

＝2.5×10-8公尺

你認為為什麼要將 25×0.000000001 公尺再化成 2.5×0.00000001 公

尺？

4. 承上題，依你的看法，25×0.01 公尺，可以再化成 2.5×______公尺？

65

B.隨堂練習

1. 以科學記號法表示下列各數

○1 0.0002

○2 0.0051

○3 0.13

https://www.youtube.com/w

atch?v=hlXZ_ea-7UA

66

（六）課文 C：科學記號與莫耳

接下來，我們再來看看一個科學記號法實際應用的例子。

生活中有一些計量單位所包含的內容不只一個，如「雙」、「打」、「刀」

和「令」等。

一雙通常指的是 2 個，一打指的是 12 個，而「刀」和「令」都是計算

紙張的單位。

一刀代表 100 張，一令則是代表 500 張。

這些計量單位，讓我們在計算某些物品時，比較方便。比方說 30 雙筷

子(60 支)、7 打蛋(84 個)、5 令紙(2500 張)等。

而在自然科學裡也有這樣的例子，其中最重要的便是「莫耳」了。

什麼是「莫耳」？

以碳來說，碳是由許許多多的碳原子所構成，那麼究竟有多少個呢？

如果以 12 公克的碳來測量，大約含有 6000 億兆個的碳原子。

讓我們來寫一寫這個數字。

6000 億兆個＝600000000000 兆個＝600000000000000000000000 個

你應該會發現，這個數字不太好紀錄，更不要說計算了。於是科學家便

利用科學記號法來記錄它，於是我們就會得到底下的式子

1 莫耳＝600000000000000000000000 個＝6 × 1023個

是不是簡潔許多呢？這就是科學記號法好用的地方。

67

重點提問

1. 依據上面的課文，刀和令是計算什麼的單位，又分別代表多少的

數量。

2. 如果有一家造紙廠接到一筆訂單，要訂購 400令的手工宣紙，請

問這家紙廠總共要製造多少張手工宣紙。

3. 承上題，如果訂購人要求這張廠商，每刀裝成一綑，請問總共會

有幾綑？

4. 依據上面的課文，科學家用莫耳來計算原子個數的單位，那麼究

竟 1 莫耳是代表幾個原子呢？請分別用原來的方式和科學記號法

寫出來。

68

（六）課文 D：科學記號的乘除法運算

接著，我們要來談一談科學記號的乘除計算。

科學記號的乘除運算，讓我們來看看底下的例子。

Ex１：計算(4×106) × (3.2×105)

我們在作科學記號乘法時，因為科學記號本身就是相乘，所以兩個

科學記號相乘時，會變成連乘的結構，也因此可以直接計算。在計算時，

只要注意兩件事，

第一：10的乘方和 10的乘方相乘，另外數字和數字部分相乘。

第二：數字和數字乘出來的結果，也必須符合科學記號法的規範，也就

是大於等於 1，並且小於 10。底下就是完整的計算過程

(4×106) × (3.2×105)

＝(4 × 3.2) × (106×105)

＝12.8 × 1011

＝1.28 × 1012

在上面的計算過程中，10的 6次方和 10的 5次方相乘，數字 4和數字

3.2相乘後，得到的結果是 12.8×1011，但是因為 12.8比 10大，不符合

科學記號法的規範，所以必須縮小 10倍，變成 1.28，才符合科學記號

法的規範，而為了保持相等，後面的 1011必須跟著放大 10倍，變成 1012。

詳細的情形可以參考底下的算式

69

12.8 × 1011＝ 1.28 × 1012

接下來，讓我們再看一個除法的例子

Ex２：計算（3 ×10－5）÷（4×106）

我們在作科學記號除法時，和乘法類似，也是分別把 10的乘方和

10的乘方相除，數字和數字部分相除，所得到的就是答案，只不過當得

到的答案不符合科學記號法的規範時，也必須調整成符合科學記號法規

範。底下就是完整的計算過程

(3 × 10－5) ÷ (4 × 106)

＝(3 ÷ 4) × (10－5÷106)

＝0.75 × 10－11

＝7.5 × 10－12

在上面的計算過程中，10的－5次方和 10的 6次方相除，數字 3和數

字 4相除後，得到的結果是 0.75 × 10－11，但是因為 0.75比 1小，不符

合科學記號法的規範，所以必須放大 10倍，變成 7.5，才符合科學記號

法的規範，而為了保持相等，後面的 10－11必須跟著縮小 10倍，變成

10－12。詳細的情形可以參考底下的算式。

縮小 10 倍

放大 10 倍

70

0.75×10－11＝ 7.5 ×10－12

重點提問

1. 上面的這段課文在介紹什麼主題？

2. 在科學記號的乘除計算過程中，需要注意的重點是什麼？

3. 在計算科學記號乘除時，有時計算出來的結果並不符合科學記號

法的規範，必須調整一下，以符合科學記號法的規範，請問在上

面課文的示範中，你有沒有發現什麼訣竅？請你說明一下。

放大 10 倍

縮小 10 倍

71

D.隨堂練習

1. 計算下列各題，並以科學記號法表示

○1 (3×105) × (2.6×10

6)

○2 (3.6×10－5) × (2 ×10

9)

○3 (5.2×10－5)÷(4×10

－6)

○4 (6 ×1012)÷(8×10

－4)

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/watc

h?v=dXhzZrLmjRA

72

（六）課文 E：科學記號的加減法運算【選修】

接下來，我們要來談一談科學記號的加減計算。

Ex１：計算 1.23×106＋3.15×105

我們可以把這道題目想像成1.23個106加上3.15個105，由於一個是106，

另一個是 105所以無法相加，因此第一步就是要把兩個變一樣，那麼是

要通通變成 105好呢？還是要通通變成 106？

其實都可以，只不過變成 105到最後又要多做一步變回 106，為了省麻煩

我們還是通通變成 106好了，以下就是計算的過程

1.23×106＋3.15×105

＝1.23×106＋0.315×106

＝1.545×106

在這個計算過程中 3.15×105是怎麼變成 0.315×106是唯一值得我們注意

的地方。

我們可以這樣想；要把 3.15×105變成□×106，後面的 105要變成 106，代

表多了 10倍，因為 105（連續 5個 10自乘）變成 106（連續 6個 10自

乘），因此要把前面的 3.15縮小 10倍，才會保持相等，也就是除以 10，

73

變成 0.315。所以我們就可以得到底下的關係式

3.15×105 ＝ 0.315×106

這樣你會了嗎？讓我們再看一個減法的例子

Ex２：計算 3.24×10－5－1.06×10－6

我們可以把這道題目想像成 3.24個 10-5減掉 1.06個 10-6，由於一

個是 10-5，另一個是 10-6所以無法相減，因此第一步就是要把兩個變一

樣，那麼是要通通變成 10-6好呢？還是要通通變成 10-5？

其實都可以，只不過變成 10-6到最後又要多做一步變回 10-5，為了省麻

煩我們還是通通變成 10-5好了，以下就是計算的過程

3.24×10－5－1.06×10－6

＝3.24×10－5－0.106×10－5

＝3.24×10－5－0.106×10－5

＝3.134×10－5

縮小 10 倍

放大 10 倍

74

計算過程中的 1.06×10－6變成 0.106×10－5也是需要我們特別注意的。

我們可以這樣想；要把 1.06×10－6變成□×10－5，後面的 10－6要變成 10－5，

必須放大 10倍，因為 10－6代表1

106，要變成 10－5，也就是

1

105，要乘以 10，

所以為了要保持相等，必須把前面的 1.06縮小 10倍才行，也就是除以

10，變成 0.106。

所以我們就可以得到底下的關係式

1.06×10－6 ＝ 0.106×10－5

接下來便可以進行加減運算了。

重點提問

1. 上面的這段課文在介紹什麼主題？

2. 在科學記號的加減計算過程中，唯一需要注意的重點是什麼？

縮小 10 倍

放大 10 倍

75

3. 在計算科學記號加減的過程中，經常需要把兩個數的指數部分調

成一樣，像課文中的例題一樣，都調成 106和 10－5，請問在將指數

調成一樣的過程中，你有沒有發現什麼訣竅？請你說明一下。

4. 上面課文在計算 1.23×106＋3.15×105時，將指數部分都調成 106，

因為課文說如果都變成 105的話，作到最後又要再多一步變回 106，

請你嘗試著不用課本的方法，都把它調成 105作看看，算出來的結

果是什麼？並解釋一下為什麼課文說，會多一個步驟？

5. 上面課文在計算 3.24×10－5－1.06×10－6時，將指數部分都調成

10－5，因為課文說如果都變成 10－6的話，作到最後又要再多一步變

回 10－5，請你嘗試著不用課本的方法，都把它調成 10－6作看看，

算出來的結果是什麼？並解釋一下為什麼課文說，會多一個步

驟？

76

E.隨堂練習

1. 計算下列各題，並以科學記號法表示

○1 4×105＋3.6×10

6

○2 9.6×1010－3.2×10

9

○3 5.28×10－5

＋1.23×10－6

○4 37×10－3

－2.33×10－4

還是不太懂，請看下面影片

https://www.youtube.com/wa

tch?v=2seoLYyg-qU

77

國中數學 300 問（第一章相關內容）

編號 主題/網址 QRcode

1 什麼是負數？

https://www.youtube.com/watch?v=qEdGuyf8fPo

2 性質符號和運算符號是什麼？

https://www.youtube.com/watch?v=-b7DbDh7zBc

3 0 是正數還是負數？

https://www.youtube.com/watch?v=x158osdRmZA

4 同號數與異號數是什麼?

https://www.youtube.com/watch?v=EUFVnDXg7LM

5 自然數是什麼？

https://www.youtube.com/watch?v=rFa-RQHyfIE

6 整數是什麼？

https://www.youtube.com/watch?v=VpY9B96AJ90

7 什麼是數線？

https://www.youtube.com/watch?v=UuZ-Epm7cKQ

8 如何在數線上標出整數、小數和分數 ？

https://www.youtube.com/watch?v=VLX_eD_56Y8

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編號 主題/網址 QRcode

9 如何在數線上比大小？

https://www.youtube.com/watch?v=PWpj972XYgs

10 什麼是三一律？

https://www.youtube.com/watch?v=cJwxN8UHyzU

11 什麼是遞移律？

https://www.youtube.com/watch?v=SP1Rtzyik1Q

12 什麼是相反數？

https://www.youtube.com/watch?v=Iy2Dcn01qfs

13 如果|a| + |b|=0，那麼 a、b 都等於 0，為什麼？

https://www.youtube.com/watch?v=MPedIxDggEA

14 如何利用絕對值計算數線上兩點的距離？

https://www.youtube.com/watch?v=ihTJZX5CmLc

15 什麼是加法交換律？

https://www.youtube.com/watch?v=ydQL7goW0yA

16 什麼是加法結合律？

https://www.youtube.com/watch?v=FlhHQWKgxZo

17 什麼是分配律？

https://www.youtube.com/watch?v=hb0BgHU94iQ

79

編號 主題/網址 QRcode

18 什麼是乘法交換律？

https://www.youtube.com/watch?v=umba0mQqFTQ

19 什麼是乘法結合律？

https://www.youtube.com/watch?v=KMl0ytNL4Sk

20 為什麼任何數的 0 次方都等於 1？ (不包含 0 的 0 次方)

https://www.youtube.com/watch?v=wUK2_TgwqTY

21 3 的－2 次方是多少？(指數為負的做法)

https://www.youtube.com/watch?v=FXBpQxqqnII

22 －3

2 和(－3)2 一不一樣？為什麼？(指數與括號)

https://www.youtube.com/watch?v=JRRNrRsiq7c