2. A- El hombre primitivo Qu nocin tuvo de la correspondencia biunvoca?Hay una correspondencia biunvoca entre 2 conjuntos al asociar los elementos de 2 conjuntos, de modo que a cada elemento del primero le corresponda uno y solo uno de los del segundo. Dos conjuntos que se corresponden biunvocamente son equivalentes.Usaban trminos equivalentes a muchos y pocos, pero luego se hizo necesario cuantificar con exactitud. Empleaba nombres para designar animales y objetos, si tenia por ejemplo 3 ovejas, tena un nombre para cada una de ellas, o una idea de las ovejas que estaban presentes. Ms tarde descubri que poda comparar los objetos de un grupo con los de otro. Por ejemplo si un grupo tena que usar hachas, veran si tenan las suficientes para que cada hombre tuviera la suya. Esta correspondencia uno a uno le sirvi para elaborar el concepto de numero y los condujo a conceptos como mas, menos, tantos como. Comenzaron a comparar el grupo de objetos con un grupo modelo, como las alas de un pjaro, los dedos de la mano. Entonces por ejemplo al hablar de grupo dira que haba visto tantos individuos como dedos tena. Para grandes grupos, hacia una marca sobre un palo por cada animal, o agrupaba tantas piedritas como objetos o animales tenia. Cada oveja y cada piedra representa una unidad, por lo que existia una correspondencia biunvoca (uno a uno) entre ellas.

b- Primeras evidencias halladas que indican Cmo contaban?Las situaciones cotidianas impulsaron al hombre a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba, cuntascabezasde ganado u ovejas posea; el nmero dearmasque tena, o la extensin de los terrenos sembrados o conquistados. Debieron hacer ungranesfuerzo para alejarse de loconcretoy llegar a laconcepcinde la entidad numrica, al realizar esta abstraccin numrica elhombreparti de la consideracin de las entidades tangibles en su mundo. Utiliz lacorrespondenciabiunvoca.Algunas lenguas, hacan en su gramtica una distincin entre uno, dos y ms de dos, otras lenguas hacan slo la distincin entre singular y plural. Comenzaron contando slo hasta dos, y cualquier conjunto que sobrepasara este nivel, lo designaban muchos. Se dieron cuenta que los dedos de las manos se corresponden tambin con los dedos de los pies, reconociendo as que ciertos grupos, pueden tener la misma cantidad de elementos. Un primitivo dir que ha tomado tantos peces como dedos tiene la mano, y lo designa con una palabra que deriva de "mano", que no significa el nmero 5, sino que los objetos son tantos como los dedos de la mano. Utilizaban los dedos de la mano para representar un conjunto de 2, 3, 4, o 5 objetos, pero no de 1, ya que no era reconocido como un verdadero nmero. Con los dedos de manos y pies se poda contar hasta 20. Cuando los dedos resultaban inadecuados, utilizaban montones de piedras para representar una correspondencia biunvoca con los elementos de otro conjunto, o muescas en palos, las agrupaban por grupos de cinco, debido a que se haba familiarizado con los quntuplos de objetos por observacin de su propia mano o pie. En la isla Fidji, los nativos indican el nmero de vctimas en la caza mediante entalladuras en sus mazas, despus de nueve entalladuras iguales, la siguiente era ms larga, creando un sistema de numeracin con el que podan llegar a contar nmeros grandes, con 5 entalladuras largas y 4 ltimas cortas, el nativo tendr idea del nmero 54. Otro sistema utilizado fue rasgar rayas en las paredes o pintarlas en papiros. Pero no poda reflexionar sobre el nmero ni denominarlo. As el hombre primitivo obtuvo el primer concepto de la condicin de un nmero, pero no del nmero en abstracto. Luego dieron palabras para representar los grupos modelos y luego pasaron a los nmeros abstractos.

c- Cul era la base de la numeracin?El hombre comienza agrupando de 2 en 2 o de 3 en 3. Mas tarde algunos usaron el sistema de base 5, otros de base 10, y una minora de base 20. El quatre-vingt francs es un vestigio de un sistema antiguo de base 20. Para Aristteles, el uso del sistema decimal se debe a que el hombre nace con diez dedos en las manos y otros diez en los pies. En nuestro lenguaje quedaron evidencias de estas ideas numricas, por ejemplo, once y doce significaron uno ms y dos ms, indicando la primitiva dominancia del concepto decimal. Sin embargo, ocho deriva de una forma dual para cuatro. Nueve puede estar relacionado nuevo, en el sentido de que era el comienzo de una nueva secuencia.1, 2, 3 se designaban con vocablos diferentes segn se referan a personas, das u objetos, por ejemplo, decimos "un par" zapatos, mientras que para los bueyes, es una yunta".Docena es residuo de una base 12.

d- Cundo se estima que apareci la escritura de los nmeros?Al principio, los montones de piedras fueron un mecanismo precario para conservar la informacin, luego comenz a registrar un nmero, cortando muescas o realizando entalladuras en un palo o en un trozo de hueso. Despus de determinado nmero de entalladuras iguales, la siguiente es ms larga, de esta manera podan llegar a contar nmeros grandes. Otro sistema utilizado fue rasgar rayas en las paredes o pintarlas en papiros.El desarrollo del lenguaje articulado fue esencial para el nacimiento del pensamiento matemtico abstracto.Se estima que apareci a mediados del IV milenio A.C en la Baja Mesopotamia, en la cultura de los sumerios. Estos deban pagar tributos al templo, cuyos bienes eran administrados por los sacerdotes. A medida que esos bienes aumentaban, se tornaba ms difcil retener en la memoria la cantidad de bienes acumulados y la cantidad de semillas y ganado que se entregaba a los campesinos, de ah la necesidad de fijar signos que permitieran retener esos datos. Este es el origen de los primeros signos grabados, en tablillas pictogrficas, estas contenan signos que representan una cabeza de vaca, una espiga de trigo, un pez, y otros signos numricos.Las palabras para expresar ideas numricas aparecen lentamente.Cada pueblo comenz a disponer de palabras, gestos y signos para indicar nmeros y representar sus conteos. En los pueblos primitivos hay varios procedimientos de cmputos, que relaciona un signo con la cosa significada y una imagen concreta. Los antiguosmercaderes deban saber una gran variedad de sistemas de medidas y numeracin, para podercomerciar con los diferentes pueblos. Las expresiones verbales numricas primitivas se refieren a colecciones especficas concretas, tales como dos peces o dos mazas en vez de simplemente dos. El lenguaje se fue desarrollando de lo concreto a lo abstracto (unidades de medida) Sistemas numricos: los aditivos, donde se acumulan los smbolos de todas las cifras hasta completar el nmero deseado. Aqu los smbolos se pueden colocar en cualquier orden, un ejemplo; el sistema egipcio, el romano, el griego. los hbridos: combinan el sistema aditivo con el multiplicativo, pero es importante el orden en laescriturade las cifras, ejemplo el sistema chino. los posicionales: en ellos la posicin de las cifras indica lapotenciade la base que le corresponde. Ejemplo, en la cultura de babilonia, hind y maya.Los sistemas antiguos de escritura disponen de signos para representar los nmeros, excepto el griego, rabe, hebreo y otros que utilizan letras del alfabeto.

e- Cmo midi y dividi el tiempo?Las medidas de longitud que utilizaban eran pie, codo, pulgada, vara, partes del cuerpo humano fciles de utilizar como unidades de medida Con la agricultura, fue necesario idear un sistema para pesar los productos que comerciara y un sistema para medir el tiempo en las pocas de siembra y cosecha, para situar acontecimientos del pasado, programar actividades futuras y disponer de un sistema de referencia temporal que permita regular esas actividades.Observaron 3 fenmenos astronmicos peridicos que emplearon para medir el tiempo: alternancia del da y la noche, sucesin de las fases de la luna y el ciclo de las estaciones. Creando un calendario (libro de cuentas) con: El da, relacionado con la rotacin de la Tierra sobre su eje, El mes, relacionado con el movimiento de traslacin de la Luna alrededor de la Tierra, El ao, relacionado con el movimiento de traslacin de la Tierra alrededor del sol.El calendario tambin fue usado por los romanos para pagar los intereses de sus deudas, en las calendas o primeros das del mes.A su vez, creo los relojes, dividiendo el da en horas, minutos y segundos. La idea de fraccionar el da en 24 horas y cada hora en sesenta minutos fue tomada por los antiguos egipcios, que conocan el sistema sexagesimal de los babilonios. Estos dividan la circunferencia en 360 grados, por su semejanza con la trayectoria anual del Sol, y el 60 representaba la sexta parte del ciclo solar.La duracin del da y de su noche poda observarse por la posicin de las estrellas, al transcurrir un da volvern a estar en el mismo lugar, los sumerios para conocer la duracin del da, empleaban la sombra del gnomon, o barra clavada en el suelo.La semana: perodo de 7 das que representa el intervalo de tiempo en que se suceden las fases lunares. El 7 para los babilonios coincidia con los siete astros conocidos en la Antigedad y los nombres de los das derivan de estos:Luna: lunesMarte: martesMercurio: mircolesJpiter: juevesVenus: viernesSaturno: sbadoSol o dia dominico o da del Seor, domingo.

CALENDARIOS:El Calendario Egipcio: fue el mas exacto. El ao constaba de 12 meses de 30 das y 5 das adicionales. El Calendario Griego: Era del tipo lunisolar(promedio de tiempo entre dos Lunas nuevas consecutivas), copiado de los babilonios, constaba de 12 meses de 29 y 30 das alternativamente y se le aada un nuevo mes en el 3ro, 6to, 8vo aos. El Calendario Romano: tena 10 meses con 304 das en un ao que comenzaba en Marzo. Este calendario tenia una duracin diferente de la del ao trpico, por eso las estaciones no se repetan en las mismas fechas de un ao para otro. Dos meses ms, Enero y Febrero, fueron aadidos posteriormente. Martius, dios de la guerra, Marte. Aprilis, de aperire ("abrir"), estacin en la que empiezan a abrirse las flores. Maius, de Maia, la diosa romana de la primavera y los cultivos Iunius, puede ser que deriva de la diosa romana Juno, la diosa del matrimonio, del nombre de un clan romano, Junius, o de iuniores (jvenes) en oposicin a maiores (mayores) para mayo, que son los dos meses dedicados a la juventud y a la vejez. Quintilis, Era el quinto mes del ao en el calendario. Fue el mes en el que naci Julio Csar, por eso recibi el nombre de julio en su honor luego de su asesinato. Sextilis, era el sexto mes del calendario. Se lo llamo Augusto en honor del primero de los emperadores romanos, por los acontecimientos ocurridos durante este mes. September, sptimo mes del calendario. October, era el octavo mes del calendario (en latn octo, ocho). November, noveno mes del ao (en latn, novem). December, dcimo mes (en latn, decem, 'diez'). lanuarius, de Jano, el dios romano de las puertas y los comienzos Februarius. se refera a los festivales de la purificacin celebrados durante este mesEl Calendario Juliano: sirvi para corregir los errores del calendario romano primitivo. Julio Csar estableci este nuevo calendario y en honor a l se dio el nombre de Julius al mes Quintilis. Estos aadan 1 da a febrero cada tres aos. Augusto, corrigi este error, iniciando en el ao 8 de nuestra Era, el sistema actual de aos bisiestos. El Senado romano cambi el nombre del mes Sextilis por el de Augustus y se estableci que el primer mes del ao sera Enero.

f- EL ORIGEN DE LA GEOMETRADel griego geo "tierra" metrein "medir", es una rama de las matemticas que se ocupa de las propiedades del espacio, y de problemas mtricos, rea, dimetros, y volmenes. Otros campos de la geometra son la geometra de espacio, fractal y no euclidiana.En dibujos y diseos del Neoltico se observa inters del hombre por las relaciones espaciales. La alfarera, la cestera y los tejidos son ejemplos de congruencias y simetras que son partes de la geometra elemental. Adems, las sucesiones de diseos sugieren una teora deGrupo aplicada, y proposiciones geomtricas y aritmticas. Tambin creo los diseos, formas y figuras con los que decor sus viviendas y objetos. La lnea, el circulo, los polgonos y poliedros regulares puede haber surgido de su sentido esttico, para disfrutar de la belleza de la forma, y no como una ayuda prctica para la medicin.Segn Herodoto la geometra se origino en Egipto, ante la necesidad de volver a trazar los limites despus de la inundacin del valle del Nilo. El rey de Egipto haba dividi el suelo en lotes cuadrados de igual extensin entre sus habitantes, para obtener las rentas que cada poseedor pagaba. Si el rio arrasaba una parte del lote, el rey enviaba personas para medir la extensin de la prdida y as la renta era proporcional al tamao reducido del lote. A los gemetras egipcios se los llamase a veces los tensadores de la cuerda (o agrimensores) se puede utilizar para apoyar cualquiera de las dos teoras, porque las cuerdas se usaron para bosquejar los planos de los templos, viviendas y tumbas, de graneros y canales, y reconstruir las fronteras borradas entre los terrenos.En la India constituyeron altares y templos utilizando reglas de la cuerda; relaciones sencillas. Ambas geometras, pudieron derivarse una especie de protogeometra relacionada con ritos primitivos. El desarrollo de la geometra puede haberse visto estimulado tanto por las necesidades prcticas de la construccin y de la agrimensura como por un sentimiento esttico de diseo y orden.Su nacimiento data de la Edad de Piedra y es anterior a todas las civilizaciones conocidas.Este tipo de geometra emprica que floreci en el antiguo Egipto, Sumeria, y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.c. Fu Pitgoras quien comenz con una geometra cientfica al demostrar que las leyes de la geometra emprica se pueden deducir como conclusiones lgicas de axiomas. PRIMEROS PROBLEMAS GEOMTRICOS: Los griegos introdujeron los problemas de construccin, en los que una lnea o figura debe ser construida utilizando slo una regla y un comps. Hay tres famosos problemas de construccin:* La duplicacin del cubo. * La cuadratura del crculo. * Triseccin del ngulo.GEOMETRA ANALTICA: Descartes, cre una conexin entre geometra y el lgebra al aplicar los mtodos de una disciplina en la otra, es decir las figuras se representan mediante expresiones algebraicas. Sin embargo, fueron los griegos quienes lograron combinar de manera lgica y racional, dando explicaciones deductivas a los efectos geomtricos. Este logro le atribuye la paternidad de la geometra tal como la conocemos hoy (Euclides de Alejandria, El Padre de la Geometra, Thales de Mileto, Pitgoras de Samos, Platn, Arqumedes de Siracusa, Apolonio de Perga y Heron de Alejandria).MODERNOS AVANCES: en el siglo XIX la geometra sufri un cambio radical, Gauss, Lobachevski y Bolyai, desarrollaron sistemas de geometra no euclidiana, que aparecieron a partir de "Postulados Paralelos" de Euclides. Se desarroll la geometra para espacios con ms de tres dimensiones.

2. El Papiro de Ahmes o Papiro Rhind, es un documento didctico que contiene 87 problemas matemticos con cuestiones aritmticas bsicas, fracciones, clculo de reas, volmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometra bsica.Adems contiene una tabla de conversin de partes de la unidad a fracciones. Es el equivalente a nuestras tablas de multiplicar, pero slo para trabajar con fracciones.Fue escrito por Ahmes a mediados del siglo XVI a. C., a partir de textos de 300 aos de antigedad. Fue encontrado en el siglo XIX, en Ramesseum, y adquirido por Henry Rhind.[]Esta compuesto de 14 lminas, y dividido en 3 partes, 2 se encuentran en un Museo Britnico y el otro Museo de Brooklyn.Declara que contiene las reglas para lograr un conocimiento de todo lo oscuro y de todos los misterios que residen en las cosas, es como un manual de aritmtica, destinado a la formacin de los escribas que tenan a su cargo el conocimiento y la prctica de los clculos

El Papiro de Mosc: fue escrito en 1890 a.C. por un escriba desconocido. Fue comprado por Golenishchev en 1883. Con 5 metros de longitud y 8 cm de anchura consta de 25 problemas, referidos a alturas de postes, rea de tringulos, rectngulos, de superficies curvas, volumen de una pirmide truncada, rea de una superficie parecida a un cesto, pesos de barras de pan, de cerveza, mediciones en palmos y codos, ecuaciones lineales, con 2 incgnitas, calculo de trabajo, fracciones.

3. Rasgos fundamentales de la matemtica egipcia: Comparada con la matemtica de los babilonio, la matemtica de los egipcios resultaba inferior, debido a su sistema de numeracin: aditivo decimal compuesto de ocho signos para indicar la unidad y las primeras siete potencias de 10 y que se escriban de derecha a izquierda. Realizaban las operaciones aritmticas elementales, con enteros y fraccionarios. Multiplicaban por duplicacin. En su aritmtica los egipcios, usaban fracciones. Si se excepta 2/3 y para las cuales exista un signo especial, adems, conocan la descomposicin en 1/2 + 1/6. Usaban fracciones unitarias (de numerador la unidad) y todo cociente o parte de un cociente menor que la unidad deba expresarse como suma de fracciones unitarias, que eran conocidas de memoria, pero para denominadores grandes la cuestin era ms difcil, por eso idearon una tabla que facilitaba esa descomposicin. Tambien conocan la raz cuadrada, resolvan problemas de reparticin proporcional, de medidas de capacidad, de superficie o de volumen, y problemas de primer grado con una o ms incgnitas. Los conocimientos geomtricos son extensos: disponen de reglas para el rea de tringulos, rectngulos y trapecios, volumen de prismas yPirmides y hasta la determinacin del volumen del tronco de pirmide de base cuadrada. Adems disponan de una excelente aproximacin para la cuadratura del crculo.

b. Escritura y sistema de numeracin: Jeroglfico es un tipo de escritura en el cual el significado de las palabras se expone con smbolos o figuras. Solan utilizarlos en sus monumentos, piedras, tallados en madera o escritos con tinta sobre papiros, para escribir textos religiosos, comunicados oficiales o frmulas para rituales. Comenz a utilizarse alrededor del ao 3.300 a.C. y estuvo vigente hasta el siglo III. Sus jeroglficos combinaron ideogramas, signos consonnticos y signos determinantes. Los smbolos representaban cosas, animales o partes del cuerpo. Influyeron en el alfabeto fenicio.Para algunos existe un parentesco entre la escritura cursiva y los jeroglficos.La escritura jeroglfica egipcia, se compone de 2 tipos de signos: los ortogrficos que se clasifican en cursivos y demticos conforman un alfabeto de 24 letras. En el Abecedario egipcio, no era tan sencillo utilizarlo, ya que por ejemplo, al escribir los nombres de las personas, para diferenciar el gnero masculino del femenino, haba que dibujar al final del nombre una mujer o un hombre sentado. los simblicos o ideogramas, conforman un alfabeto que sobrepasan las 700 letras. Son smbolos que representan ideas.Sistema de numeracin: Eran pocas las personas que podan realizar dichas operaciones. Los escribas egipcios eran algunas de estas personas. Los clculos, los realizaban con nmeros enteros y fracciones unitarias (fracciones cuyo numerador es el nmero uno) a veces, tambin usaban 2/3 y 3/4. Cualquier parte de la unidad la expresaban como suma de fracciones de este tipo. Usaban 7 smbolos para representar la unidad y las 6 primeras potencias de 10.El sistema de numeracin egipcio era de base 10, 10 unidades de un orden forman una unidad de orden superior ( 10 unidades forman 1 decena, 10 decenas forman un centena...). Pero el sistema egipcio era aditivo, el nmero se obtiene sumando los valores correspondientes a cada smbolo individual ( | | | | | | | | es nuestro nmero 38). Tambin tenan smbolos especiales para escribir fracciones.

c- Operaciones bsicasPara sumar deban juntar todos los smbolos teniendo presente que cada 10 de una unidad deben ser sustituidos por uno de la unidad superior (si salen 10 trazos verticales deberemos borrarlos y en su lugar pondremos una U invertida).

| | | | + | | | | | | = | | | | | | | | | | =

Pero solo multiplicaban y dividian por 2 y 10. Una multiplicacin la hacan por duplicaciones sucesivas, algunas veces tambin multiplicaban por 10 y dividan por 2. Multiplicacin 3427 = 918, escribe en una columna el factor mayor y sus dobles sucesivamente, mientras que en otra columna a la izquierda, escribe la unidad y debajo sus sucesivos dobles. La duplicacin se termina cuando en la columna de la izquierda se escribe un nmero que al hacer su doble sobrepase al otro factor (el 16 de la primera columna, ya que su doble (32) es mayor que el otro factor de la multiplicacin (27).

134

268

4136

8272

16544

Para obtener el resultado se busca en la columna de la izquierda los nmeros que sumen 27, los marcamos (*) y sumamos los correspondientes nmeros de la columna de la derecha (+) y as obtenemos el resultado. (1 + 2 + 8 + 16 = 27; por tanto 34 + 68 + 272 + 544 = 918) Divisin: 1476 : 12 = 123. En 2 columnas en la primera se pone la unidad y sus dobles sucesivos; y en la otra, el divisor y sus duplicaciones sucesivas. La duplicacin termina cuando al hacer el doble del nmero de la segunda columna, supere al dividendo.

*12+

*224+

448

*896+

*16192+

*32384+

*64768+

El doble de 768 supera al dividendo (1476). Marcamos (*) los nmeros de la segunda columna cuya suma nos da el dividendo (12 + 24 + 96 + 192 + 384 + 768 = 1476). Y se suma los nmeros de la columna de la izquierda correspondientes a los marcados (1 + 2 + 8 + 16 + 32 + 64 = 123).Si la divisin no tiene resto cero, se utilizan fracciones unitarias y tablas para buscar la descomposicin de fracciones cualesquiera en fracciones unitarias. Si ellos hiciesen la divisin 2 : 31, el cociente sera 1/20 + 1/124 + 1/155= 2/31.

d- Geometra egipcia La geometra egipcia junto a la babilnica fue la precursora de la geometra griega. La geometra naci en Egipto, con la que construyeron las pirmides o midieron tierras, etc... Mediante la geometra los "tensadores de cuerda", recalculaban los limites de los campos tras la inundacin del Nilo. Los clculos, no eran exactos pero si suficientes para cubrirlas necesidades dela poca. No haba demostraciones. Adems hasta la llegada de los griegos, no exista una divisin entre la geometra y la aritmtica, limitndose a aplicar la aritmtica al clculo de reas, volmenes y algn problema geomtrico. Calculaban el rea de figuras cuadrangulares, de campos de cultivo, en las que el mtodo empleado es errneo, nicamente aproximado en el caso de campos con formas rectangulares. Obtenan el rea de la figura multiplicando entre s las sumas de los lados opuestos. El rea de un campo rectangular de lados a, b, c y d siendo a, b y c,d los lados opuestos se segua la reglaA = (a+b)/2 * (c+d)/2Esta formula tambin se usaba para campos triangulares, en los que se tomaba al lado "d" como "nada".

Encontraron las reglas correctas para calcular el rea de tringulos, rectngulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y pirmides. Cuadratura del crculo: Para calcular el rea de un crculo multiplican el cuadrado del radio por 256/81= 31604.., (similar a ). Para obtener el rea del crculo, adoptaban como lado del cuadrado equivalente al circulo (el dimetro) menos 1/9 del mismo (pi 256/81= 3,1604 ) aproximado con un error por exceso de 0.6 % . Si hoy desearamos conocer que fraccin del dimetro de la forma 1-1/n debe tomarse para obtener el lado del cuadrado equivalente encontraramos para n el valor 8,7.. prximo a 9. De ah que se sospecha que los egipcios obtuvieran su regla operando por tanteos con fracciones unitarias. Aceptan que el rea de un crculo de dimetro 9 es la misma que la de un cuadrado de lado 8. Esto nos lleva a aceptar un valor parade 3.1605 (4(8/9)**2) Adems los egipciosno empleaban pi como una constante.Dominaban los tringulos gracias a los anudadores, hacan nudos igualmente espaciados que servan para medir; consiguiendo mediante estos nudos tringulos rectngulos. Extender la cuerda para realizar el cuadrado era el acto ms sagrado que exista. El tringulo rectngulo de proporciones 3, 4, 5 era smbolo de todo proceso dinmico, de la figura geomtrica ms perfecta y daba la posibilidad de crear las dems. Tenan frmulas para medir reas del cuadrado (a partir del tringulo), del rectngulo, del rombo y del trapecio. La geometra egipcia no fue terica sino emprica.

Papiro de Ahmes En el clculo de reas se tenda a la conversin de la figura en "una figura conocida" que permita llegar al rea buscada. Realizaban clculos parciales cuya suma permita obtener el rea de la figura inicial. Por este mtodo se justifica el clculo delrea de un tringuloissceles. Debe dividirse la mitad de la base y multiplicarlo por la altura, ya que puede considerarse el tringulo formado por 2 tringulos rectngulos, cuyo desplazamiento de uno forma un rectngulo con lados de la misma longitud que el tringulo de partida. Pero en el caso de tringulos con todos los lados diferentes qu haca el escriba?En otro problema calculaban elrea de un trapecio issceles . Para resolverlo toma la suma de las bases "de forma que se transforme en un rectngulo" y lo multiplica por la distancia.Otro problema se construye un octgono a partir del cuadrado de lado 9 unidades, dividiendo cada lado en 3 partes y uniendo las esquinas, es decir anulando los 4 tringulos formados en las esquinas. Entonces el rea del octgono es aproximada al rea del crculo de dimetro 9. Afirmaban que la relacin entre el rea de un crculo y su circunferencia es la misma que la razn entre el rea y el permetro del cuadrado circunscrito. El permetro de la base se plane de manera que coincidiese con la circunferencia cuyo radio es la altura de la pirmide. Esta relacin es efectivamente cierta.En las reglas empleadas para el clculo de volmenes del cubo, paraleppedo, cilindro y figuras sencillas, algunos casos dan aproximaciones y en otros son correctos. La frmula para calcular el volumen de un tronco de cono de altura h y circunferencias D y d:V = h/12 [ 3/2 (D+d)] ** 2Este mtodo supone emplear un valor dede 3, lo cual supone un error considerable que nos lleva a pensar en el empleo de mtodos empricos para llegar a tales conclusiones, y al no emplear pi como constante, no conocan su relacin con el permetro o el rea del crculo.Papiro de MoscCalculaban el volumen de un tronco de pirmide de base cuadrada, en forma exacta. h = altura y a, b= lados, entonces tenemos:V = h/3 ( a**2 + b**2 +ab)Segn el papiro de Mosc el volumen de un tronco de pirmide de bases 4 y 2 y altura 6 es 56. Resuelve el problema aplicando la frmula anterior. Si se considera b=0 se obtiene la frmula para calcular el volumen de una pirmide. Pudieron haber llegado a estos resultados por mtodos experimentales. Descompusieron, el tronco en figuras ms sencillas como paraleppedos, prismas o pirmides, que a su vez se descomponen en bloques rectangulares que podran llevar a la frmula.TRIGONOMETRA posean una trigonometra rudimentaria y una pequea teora de tringulos semejantes en el papiro Rhind.Por las grandes edificaciones de pirmides, era necesario disponer de un mecanismo trigonomtrico. Un problema en la construccin era mantener la pendiente uniforme en las 4 caras. Asi emplearon "seqt", pendiente de unasuperficie planainclinada.En mediciones verticales empleaban el "codo" y en horizontales lamano, que equivala a 1/7 del codo.calcularon el seqt de una pirmide de 250 cubits de altura y 360de ladosera 5 1/25 manos por codo.UNIDADES, PESOS Y MEDIDAS: las unidades variaron a lo largo del tiempo y su equivalencia no siempre fue la misma. En mediciones verticales empleaban el "codo" y en horizontales lamano, que equivala a 1/7 del codo.Medidas de superficie: -elsetat(sTAt) equivala a un cuadradode lado100 codos, es decir 10000 codos cuadrados. Para superficies menores -se empleaban elremen(rmn) (1/2 setat), -elhebes(Hbs) (1/4 de setat) -elsa(sA)(1/8 de setat), En grandes mediciones-jata(xA-tA) equivala a 100 setat.Medidas de volumen-elheqat(HqAt), se empleaba para medir el trigo y la cebada y equivala a unos4.8 litros. En mediciones ms grandes, (para almacenes), se empleaba el "100 heqat cudruples". Cada una de las partes del Ojo de Horus era una fraccin de heqat. La divisin era, considerando el ojo derecho:

Las cejas equivalan a 1/8, la pupila 1/4, la parte izquierda de la pupila 1/2, la parte derecha de la pupila 1/16, laparte inferiorvertical bajo el ojo 1/32 y la parte inferior diagonal del ojo representaba 1/64.El oipet (ipt) contena4 heqat, es decir 19.22 litros. 5 Oipes formaban unjar(XAr)( 96 litros) un jar eran 20 heqats y a 2/3 de codo cbico. Una medida de grano era 100 oipes (20 jar). El Henu(hnw) media 1/10 de heqat, 0.48 litros, empleada en la medicin de perfumes y de grano.Elro(r) equivala a 1/320 de heqat. Y se emple en medidas de grano. Cuando se meda el grano en heqats se usaban las fracciones ojo de Horus : 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 y para medidas inferiores a 1/64 de heqat se empleaban mtiplos de ro, un ro contena 5 medidas de 1/64 de heqat, nunca se utilizaba 1/128 de heqat sino 2 1/2 ro. Se empleaba el signo seguido del denominador de la fraccin, puesto que slo se utilizaban fracciones unitarias.NombreEquivalencia

Heqat4.8 l

Oipe o ipet19.22 l

Jar96 l

Henu0.48 l

Ro15 cc

Medidas de lquidosSe empleaba elDes(ds) o elSechapara la cerveza. Esta ltima era demuy poco contenido. Para el incienso usaban elMen(mn)y elHebenet(hbnt). Para elvino seempleaba e lHebenet.Medidas de longitudelcodo o cubit (mH).Primero meda unos 457 mm, luego tenan elcodo real, que es el codo mas un palmo y equivala a unos 523 mm. Posteriormente, emplearon el codo griego (~ 462,5 mm) y el codo romano (~ 443,5 mm). El codo se divida en 7palmosomanos(Ssp). eldedo(yeba) que representaba 1/28 de codo, un cuarto de mano.Elnebiuera un codo y medio lavara(jet) ocuerdarepresentaba 100 codos. Para medidas de longitud grandes se empleaba elrio(iteru) equivalente a 10.5 km (unos 20.000 codos). Eldemen, el doble demen equivala a la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 codo. Sera el equivalente a la raz cuadrada de 2 codos, es decir 0.739 metros.NombreNombre egipcioEquivalencia

CodoMeh0.523 m

PalmoShesep7.471 cm

DedoYeba1.87 cm

VaraJet52.3 m

RoIteru10.5 Km

Medidas de pesoelDeben,equivala a 91 gramos, de cobre, o de oro o plata. Elqedetyera una dcima parte de un deben. ElShat o anillo equivala a medio deben.Otras UnidadesPesu: expresa la calidad del pan o la cerveza; se refiere al nmero de panes fabricados por unidad de peso de grano. Cuanto mayor es el pesu peor calidad tiene el producto fabricado. Se media por el nmero de unidades que se fabricaban con un heqat. Shaty: asigna un valor de 1/12 de un deben de oro. Un deben de plata contiene 6 shaty y un deben de plomo equivale a 3 shaty.Seqt: Pendiente de una superficie plana inclinada. En mediciones verticales empleaban elcodo y en horizontales lamano, que equivala a 1/7 del codo. El seqt se daba en manos por codos.Setat: El setat era una medida de superficie y equivala a un jet cuadrado, es decir 10.000 codos cuadrados. Se emplean signos especiales para denotar 1/2, 1/4 y 1/8 de setat.

Medidas de longitudLas unidades de longitud empleadas por los antiguos egipcios son de naturaleza antropomrfica, es decir, tienen relacin con medidas corporales. De esta forma se pueden encontrar tanto una unidad fundamental (codo o cubito) como subunidades relacionadas del mismo tipo: La unidad principal es el 'codo', equivalente a 52,3 cm. La primera subunidad del codo es el 'palmo', de manera que 1 codo = 7 palmos. La siguiente subunidad es el 'dedo', resultando que 1 palmo = 4 dedos y, por tanto, 1 codo = 28 dedos. La unidad administrativa que supuso la organizacin centralizada de Egipto conllev la adopcin de unidades comunes para las distintas partes del pas. Sin embargo, recientemente se ha sostenido el hecho de que la unidad de longitud antes expuesta debe recibir el calificativo de 'codo real', siendo su uso el ms extendido en la administracin, en contraposicin a otra unidad denominada 'codo corto'. Este 'codo corto' sera un palmo ms reducido ( 1 codo corto = 6 palmos ) y su utilizacin estara presente en todas las formas artsticas (pintura y escultura). Ms cuestionable es el hecho de si existan subunidades de la misma naturaleza antropomrfica para el 'codo corto', entre las que habra que contar: El 'antebrazo', equivalente a los 4 palmos entre el codo y la mueca. El 'puo cerrado', correspondiente al resto del 'codo corto', o sea 2 palmos. El 'remen' ( 5 palmos ), distancia entre el hombro y el codo. En el comienzo del perodo Sata, en la dinasta XXVI (hacia el 600 a.C.) se registra una importante reforma y unificacin metrolgicas que supuso la desaparicin del 'codo corto' y la instauracin de un llamado 'codo reformado', equivalente por otra parte al antiguo 'codo real'.Cmo medan la superficie?El problema 50 del importante papiro Rhind muestra el clculo de un campo donde se multiplican los lados de un cuadrado de longitud 8 'khet' para obtener 64 'setat' de tierra. Dado que el 'khet' era un mltiplo del codo equivalente a 1 khet = 100 codos reales todo ello indica que El 'setat' es la unidad fundamental de superficie equivalente a un cuadrado de 1 'khet' de lado. Dada la equivalencia del 'khet' de longitud, resulta que 1 setat = 10.000 codos cuadrados. El 'setat' (que la influencia griega traducira tardamente como 'arura') equivala aproximadamente a un cuadrado de tierra de unos 52 metros de lado. Esta es una extensin considerable, particularmente en el Imperio Nuevo que conoci una importante fragmentacin del terreno. Es por ello que se utilizaban subunidades del 'setat' en forma de fracciones (1/2 , 1/4 , 1/8 como ms frecuentes) que respondan a nombres propios. Sin embargo, una alternativa a estas fracciones de 'setat' la constitua el 'codo de tierra', equivalente a una franja del 'setat' de 1 'khet' de largo (100 codos) por un codo de ancho, es decir, 100 codos cuadrados.Cmo medan la capacidad?Algunos problemas matemticos del papiro Rhind se refieren al clculo del volumen y la capacidad subsiguiente de un granero. Para ello se calcula dicho volumen multiplicando la superficie de la base por la altura de forma que, al darse estas medidas en codos, el resultado se expresa en codos cbicos. Pero al escriba egipcio no le importaba tanto el volumen como la capacidad expresable por la cantidad de grano que era posible almacenar. Esta capacidad se expresaba en 'khar', la unidad fundamental de mayor tamao. As pues, conviene precisar en primer lugar la relacin del 'khar' con los codos cbicos y la existencia y relaciones de subunidades del 'khar' dentro de las de menor tamao. Un 'khar' equivala a 2/3 de codo cbico, lo que se corresponde con el hecho de que un codo cbico fuera igual a un khar y medio, establecindose una de las correspondencias ms interesantes desde el punto de vista aritmtico entre dos fracciones recprocas: 1 1/2 y 2/3. Si el 'khar' se divida en veinte partes iguales se obtena otra de las unidades ms utilizadas, el 'heqat'. En ocasiones cuatro de estas ltimas se expresaban como 'heqat-cudruple' (tambin denominado 'oipe', preferentemente al tratar de lquidos). De forma resumida, las distintas relaciones existentes eran: 1 khar = 5 heqat-cudruple = 20 heqat = 200 hin 1 heqat-cudruple = 4 heqat = 40 hin 1 heqat = 10 hin A pesar de la introduccin de otra subunidad del heqat ( el hin, una dcima parte del heqat ), an se consideraban fracciones ms pequeas, necesarias para la determinacin de lo que corresponda a un trabajador por da por ejemplo. Estas fracciones no se escogan de manera aleatoria sino de forma que fueran fcilmente operables despus. As se constituyen las fracciones del tipo 1/2n (1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , 1/32 , 1/64) cuyas representaciones jeroglficas tienen la particularidad de reunirse de un modo determinado para formar en conjunto la representacin del llamado 'ojo de Horus'. Sin embargo, no se puede abandonar esta pregunta sin referirse brevemente a una fraccin an ms pequea del heqat, en concreto la correspondiente a 1/320 de heqat que, expresado como 'ro', equivale a la cantidad de grano que un hombre puede llevarse a la boca y cuyo smbolo ser el utilizado preferentemente al representar las distintas fracciones.4. Civilizacin Maya

La civilizacin maya se extendi por el sur de Yucatn, parte de Guatemala y Honduras, entre los siglos III y XV.Los mayas se organizaban en varias ciudades-estado independientes entre si y no hablaban una nica lengua.Exista la esclavitud, ellos seran la mano de obra para la construccin de las pirmides. En los centros ceremoniales (ciudad), las unidades de habitacin se encontraban dispuestas en crculos concntricos. Las ms cercanas a los templos eran ocupadas por la elit (sacerdotes y nobles), mientras que en las ms alejadas viva el pueblo.El maya cre una matemtica con un sistema de numeracin vigesimal, con valor posicional de los signos y utiliz el cero. Gracias a esta matemtica y a una paciente labor de observacin, logr registrar con gran exactitud los ciclos de sol, la Luna, Venus y otros astros.Los mayas no recibieron ninguna influencia de otras culturas por lo que su sistema numrico fue completamente constituido por ellos, lo que los convierte en un pueblo inteligente y creativo.

Matemticas mayas

La civilizacin maya del periodo Clsico (250-900 d. C.) desarroll conocimientos avanzados para su poca, en matemticas y en astronoma.Utilizaron el cero en el ao 36 a.C., y nmeros fraccionarios mediante valores promedio (por ejemplo alternando 30 y 29 para promediar 29.5 das en el mes sindico lunar. Sistema de numeracin: Su sistema de numeracin era superior al que se usaba entonces en Europa hacia el siglo XIII d. C. Los orgenes de este sistema estn en el interior de una zona comprendida entre Tres Zapotes, Monte Albn, y Chalchuapa (El Salvador). En algunos monumentos olmecas aparecen cifras y esbozos de glifos, pero entre 300 a. C. y 150 d. C. se inscriben ya fechas con un sistema de cuenta larga.El sistema matemtico maya era posicional y de base 20. Desarrollaron unamatemtica que combinando tres signos, podan escribir cualquiercifra y efectuar clculos complejos: el punto (1 unidad), la barra (5 unidades) y el cero: fue la primera cultura en el mundo en conocer la abstraccin del cero, alrededor de 400 aos antes de nuestra era. Lo representaban con dibujos diversos, aunque lo ms frecuente, era usar una concha de caracol.Se escriban hasta 4 rayas lo que nos da un mximo de 20, despus de esa cantidad, se utilizaba un sistema complejo de multiplicacin. Escriban los nmeros de abajo hacia arriba. Para indicar nmeros mayores a 20 tenan que colocar esos signos en determinadas posiciones.Al ser un sistema vigesimal, cada espacio o posicin que se corran los nmeros, aumenta su valor 20 veces ms que el espacio anterior.

As para escribir 25 un maya hara una raya en primera posicin, que son 5 unidades y un punto en segunda posicin que significa 20 veces ms que la unidad, (dos puntos valdran 40).Para los nmeros mayores hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 segn el lugar que ocupe, y sumar el resultado.La utilizacin del tablero es indispensable; sobre esta cuadrcula se realizaban las operaciones y los clculos con los que se contabilizaron pertenencias, impuestos, la reparticin de las cosechas, eventos astronmicos y los ciclos del tiempo. El tablero, es una cuadrcula semejante a la del ajedrez. Los niveles del tablero incrementan su valor de abajo hacia arriba, de acuerdo a la posicin que tiene el numeral dentro de dicho tablero, ordenando los numerales por unidades, veintenas, veintenas de veintenas, veintenas de veintenas de veintenas, etctera, por lo que un punto (o unidad) en cada nivel, tendra la siguiente equivalencia:Un punto en la 6 posicin 3,200,000Un punto en la 5 posicin 160,000Un punto en la 4 posicin 8,000Un punto en la 3 posicin 400Un punto en la 2 posicin 20Un punto en la 1 posicin 1Este mecanismo permiti a los mayas hacer clculos con nmeros estratosfricos; por ejemplo, el nmero 26 673 295, se representa en maya de la siguiente manera, utilizando seis niveles o posiciones del tablero:

El cero: puede observrsele como un puo cerrado: los dedos (que son los numerales con que empez a contar el hombre) retenidos dentro de un espacio cerrado, el puo. Por otra parte, se le ve como un caracol concha, imagen vinculada al concepto de muerte.Al unir ambas acepciones, se deduce la terminacin de la vida, el cierre de un ciclo, que nada sobra, que el conjunto est completo; la concha anuncia que un ciclo de vida ha terminado y que slo queda ah la huella geolgica que nos informa que existi y se complet.

Operaciones aritmticasEn el tablero, puede haber 19 unidades, y al completarse una veintena sta se convierte en una unidad del siguiente nivel y deja un cero en el nivel inferior. Lo que resta es manipular los signos, colocando objetos sobre el tablero para realizar los clculos.Se acomodan los nmeros dentro de las casillas del tablero, de izquierda a derecha, sabiendo que el primer nivel (de abajo hacia arriba) representa las unidades; el que sigue, las veintenas; el siguiente, las veintenas de veintenas; y as sucesivamente.SumaPara sumar hay que reunir, en una sola casilla, las barras y los puntos de un mismo nivel del tablero y convertir los grupos de cinco puntos en barras y las veintenas completas (conjuntos de cuatro barras) en unidades del nivel superior inmediato.

Lo ms sencillo es agrupar en cada nivel los puntos y las barras, esto con el fin de convertir cinco puntos en una barra y cuatro barras en un punto del siguiente nivel.

Ejemplo utilizando el sistema numrico maya, solo que para una mejor comprensin, se usar un sistema decimal.Una vez ordenados los signos en cada nivel, es necesario convertir el resultado en nmeros arbigos multiplicando cada uno de los nmeros en los distintos niveles por su valor posicional.

RestaAcomodar en el tablero el minuendo en la primera columna y el sustraendo en la segunda. Si parece que no se puede restar porque los puntos y barras no suficientes, recordar que los puntos de los niveles superiores equivalen a veintenas de cada nivel anterior; as, de ser necesario, bajar las veintenas a las casillas inferiores, convertidas en conjuntos de cuatro barras o en grupos de veinte unidades.Al restar, quitar los puntos y barras que equivalen al sustraendo y, con esto, se obtiene la diferencia.

Ejemplo utilizando el sistema numrico maya, solo que para una mejor comprensin, se usar un sistema decimal.

En la columna de la izquierda est el resultado: 201. Otro ejemplo

El resultado es : 219.

Multiplicacin

Ejemplo utilizando el sistema numrico maya, solo que para una mejor comprensin, se usar un sistema decimal. Multiplicacin 215X121. Ponemos los factores por fuera del tablero; uno, verticalmente y el otro horizontalmente. Reproducir en cada casilla la figura que tenemos a la izquierda por fuera del tablero, tantas veces como lo indique el nmero de la parte superior, o lo recproco, lo que resulte ms prctico. La multiplicacin ha concluido, solo queda realizar las sumas parciales para leer el resultado de la siguiente manera. La casilla de la esquina inferior derecha corresponde a las unidades; Agrupamos diagonalmente, como se indica a continuacin. Cada diagonal corresponde a una potencia de 10. Posteriormente, usaremos las reglas de que cada cinco puntos se transforman en una raya y que cada dos rayas se convierten en un punto en el nivel inmediato superior, dejando un cero (caracol) en su lugar. Luego, leer el resultado.

Sustituimos 5 puntos por una raya. Cada par de rayas se convierten en un punto en el nivel inmediato superio. Aplicamos nuevamente estas reglas a cada casilla que lo requiera:

Divisin

Ejemplo utilizando el sistema numrico maya, solo que para una mejor comprensin, se usar un sistema decimal.Esta es la operacin inversa de la multiplicacin. El dividendo se concibe como el producto de dos nmeros, donde uno de ellos es el divisor y el otro, desconocido es el cociente. El divisor se coloca en la diagonal del tablero. Colocar el divisor en forma vertical y por afuera del tablero. El cociente quedar horizontal y por afuera del tablero. Estas posiciones pueden invertirse.Deducir qu nmero deber ponerse en la parte externa, por arriba de la casilla de la esquina izquierda, para que reproduciendo la primera figura externa de la izquierda (un punto) tantas veces como el nmero que estamos buscando, el punto de la casilla de la esquina izquierda del tablero. De este modo estamos procediendo a la inversa con respecto de la multiplicacin. Tenemos que poner un punto.Con esto completamos la primera casilla de la primera columna. Para completar la casilla inmediata inferior de la misma columna necesitamos dos puntos. As que tomamos esos dos puntos del nmero que est en la diagonal.

Llenar las casillas de la segunda columna. Encontrar el siguiente nmero del cociente que va en la parte externa del tablero por arriba de la segunda columna. Resolver con solamente una raya.En la primera casilla de la segunda columna nos sobra un punto que bajamos a la casilla inmediata inferior como dos rayas.Estas dos rayas son las que necesitamos en la ltima casilla. 18012=15.

Raz cuadrada

Ejemplo utilizando el sistema numrico maya, solo que para una mejor comprensin, se usar un sistema decimal.Entenderla como una divisin, donde el divisor y el cociente son desconocidos pero iguales. Colocamos el radicando en la diagonal de nuestro tablero.Procedemos como en la divisin, pero sabiendo que lo que pongamos en el cociente debe aparecer, tambin, en el divisor. Para tener un punto en la casilla de la esquina izquierda del tablero, deberemos tener un punto como primer nmero del divisor y del cociente.Despus de llenar la casilla seguimos la regla de distribuir, simtricamente, el siguiente nivel inferior en las casillas correspondientes.Ahora podemos poner un par de puntos en la parte superior externa de la segunda columna y en la parte externa del segundo rengln del tablero.Con esto todas las casillas quedan satisfechas y el resultado de la raz cuadrada de 144 es 12.

Geometra: La geometra se encuentra presente entre los mayas en el diseo de sus ciudades, las formas de sus edificios, cermica y tejidos. Todas las ciudades se encuentran distribuidas de forma geometra, basndose en la posicin de las estrellas y el sol. Las plazas se encontraban en el centro y alrededor las casas.Estos podan calcular eclipses.

CalendarioInventaron calendarios perfectos basados en laastronoma. Los mayas tenan y usaban tres calendarios: un calendario ritual de 260 das, llamado tzolkn ("la cuenta de los das"); comprenda 13 meses de 20 das, designado cada uno de ellos por un nombre particular precedido de un nmero del 1 al 13. En cada periodo, el da precedido por el nmero 1 tena un nombre diferente. Se usaba para celebrar ceremonias religiosas, pronosticar la llegada y duracin del perodo de lluvias, adems de perodos de cacera y pesca, y tambin para pronosticar el destino de las personas.

un calendario solar, llamado haab, de 365 dias. inclua 18 meses de 20 das y un mes de cinco das, el "Uayeb", que se consideraban nefastos, vacacionales y excluidos de los registros cronolgicos, aunque eran fechados. El primer da de cada mes se representaba con el signo cero, debido a que era el momento inicial en que comenzaba a regir ese mes. Pop era el primer mes del ao y el primer da del mes llevaba la cifra NmeroDas solares (tzolkin)Meses (haab)

1ImixPop

2IkUo

3Ak'balZip

4K'anZotz

5ChikchanTzec

6KimiXul

7ManikYaxkin

8LamatMol

9MulukChen

10OkYax

11ChuenZac

12EbCeh

13BenMac

14IxKankin

15MenMuwan

16KibPax

17KabanKayab

18Etz'nabCumk

19KawakUayeb

20Ajau

cero: as el primer da del ao se escriba 0 Pop. Este calendario era la base del calendario religioso, marcaba los ritmos comunitarios y sealaba las ceremonias en las que participaban los diferentes especialistas.

El tzolkn se combinaba con el calendario haab, para formar un ciclo sincronizado que dura 52tunes o haabs o 18.980kines (das).

Unidades de cmputo de la cuenta larga

Nombre mayaDasEquivalencia3

kin1

uinal2020kin

tun36018uinal

katn7.20020tuno 360uinales

baktn144.0007.200uinales, 400tuneso 20katunes

El sistema de Cuenta Larga, es un sistema para contabilizar el nmero de das transcurridos a partir de una Fecha-Era (la fecha de Creacin del Cosmos) como punto de partida para sus clculos cronolgicos, que corresponde al 13 de agosto de 3113 a. C.. El calendario maya se resuma en una sucesin indefinida de das, ordenados, independiente de los fenmenos astronmicos. Lacuenta largaera utilizada para distinguir cundo ocurri un evento con respecto a otro evento del tzolkn y haab. El sistema es vigesimal, y cada unidad representa un mltiplo de 20, dependiendo de su posicin de derecha a izquierda en el nmero, con excepcin de la segunda posicin, que representa 18 20, o 360das. Existen nombres para designar los perodos de tiempo. La unidad bsica de medicin del pueblo maya era elkino da solar. Los mltiplos de esta unidad servan para designar diferentes lapsos. La representacin de la notacin de los aos mayas en Cuenta Larga se hace con nmeros separados por puntos. La notacin6.19.19.0.0es igual a 6 baktunes, 19 katunes, 19 tunes, 0 uinales y 0 kines. El total de das se calcula multiplicando cada uno de estos nmeros por su equivalente en das solares de acuerdo a la tabla y sumando los productos obtenidos. En este caso particular:

Los trminos de mayor duracin siguientes que muy raras veces eran utilizados por los mayas eranpiktn,kalabtn,kinchinltn, yalautn. veintebaktunesformaran unpiktnde aproximadamente 7.890 aos y veintepiktunesgeneran unkalabtunde 57.600.000kines, aproximadamente 157.810 aos.

Civilizacin Inca

Los incas se establecieron en el Cuzco alrededor del ao 1200 d. C.. Hacia 1463, conquistaron la costa peruana, el resto de las tierras altas de Per, Ecuador, Bolivia, parte del norte de la actual Argentina hasta el sur de Mendoza y dominaron Chile hasta el ro Maipo. El imperio incsico tenia cerca de 12 millones de habitantes. Los Incas formaron un imperio unificado, en cuya cabeza se encontraba el Inca, autoridad mxima, absoluta, hereditaria y de carcter divino, quien era considerado hijo del Sol. Gobernaba ayudado de numerosos funcionarios. La base econmica del imperio la constitua la agricultura. La tierra perteneca al estado y eran repartidas a cada comunidad, de acuerdo con sus necesidades. El cultivo ms importante del Per era la patata, el maz, la oca, la quinoa, el cacao, la papaya, el tomate, las alubias, la col, la calabaza, el chile, etc. Tambin cultivaban el algodn. En la ganadera Incaica, predominaba la llama, las vicuas y alpacas.Entre sus obras, se encuentran puentes colgantes, y fortificaciones construida con piedras irregulares que hacan encajar, sin cemento.Tuvieron un excelente desarrollo en el trabajo de la cermica, de los metales y sus tejidos de hermosas lanas coloridas.

Matemtica incaica

En el campo de la matemtica, los incaicos se destacaron por su capacidad de clculo en el mbito econmico. Los quipus y yupanas son los principales instrumentos que usaron y seal de la importancia que tuvo la matemtica en la administracin incaica. Esto dot a los incas de una aritmtica sencilla pero efectiva, para fines contables, basada en el sistema decimal; desconocieron el cero, pero dominaron la suma, la resta, la multiplicacin y la divisin.Por otra parte, la construccin de caminos, canales y monumentos, as como el trazado de ciudades y fortalezas, exigi el desarrollo de una geometra prctica, indispensable para la medicin de longitudes y superficies, adems del diseo arquitectnico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medicin de longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia para establecer sus unidades de medida.Sistema de numeracin: era el decimal.Una de las principales referencias que confirman esto es la jerarqua de autoridades organizadas decimalmente. Tambin, en la denominacin de los nmeros enquechua, los nmeros van desarrollndose de manera decimal:

NmerosQuechuaNmerosQuechuaNmerosQuechua

1Huk11Chunka hukniyuq30Kimsa chunka

2Iskay12Chunka iskayniyuq40Tawa chunka

3Kimsa13Chunka kimsayuq50Pisqa chunka

4Tawa14Chunka tawayuq60Suqta chunka

5Pisqa15Chunka pisqayuq70Qanchis chunka

6Suqta16Chunka suqtayuq80Pusaq chunka

7Qanchis17Chunka qanchisniyuq90Isqun chunka

8Pusaq18Chunka pusaqniyuq100Pachak

9Isqun19Chunka isqunniyuq1.000Waranqa

10Chunka20Iskay chunka1.000.000Hunu

Sistemas de contabilidad: Cuidaban de dejarconstancia de sus hechos, y para eso, Los incasdesarrollaron un ingenioso sistema de contabilidad.Losquipuseran elementos fundamentales en la administracin y contabilidad delImperio inca. Constituyeron un sistema nemotcnico basado en cuerdas de distintos colores, anudadas organizados de modo que los nudos, de acuerdo a su ubicacin pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc. mediante las cuales se registraban todo tipo de informacin cuantitativa o cualitativa. El Tahuantinsuyo, era el personal especializado en manejar las cuerdas, se le conoca comoquipucamayocy poda llegar a tener a su cargo las cuerdas de toda una regin o suyu. Los Yupanas o baco inca se utiliza para guardar informacin numrica y la realizacin de operaciones matemticas. Estos podan ser de piedra tallada o de barro, tenan casilleros o compartimentos que correspondan a las unidades decimales y se contaba o sealaba con piedritas o granos. Se podan indicar unidades, decenas, centenas, etc. Con losyupanasse podan calcular cifras considerables basndose en un sistema no decimal, sino en relacin al nmero 40. Resulta contradictorio el hecho de basar su sistema de contabilidad en el nmero 40, y el uso del sistema decimal.En octubre de 2010, revisando dibujos y descripciones antiguas del cronista indgena Guaman Poma de Ayala, De Pasquale descifr finalmente el acertijo de la Yupana que bsicamente es una tabla con once agujeros, denominado "calculadora prehispnica" y es capaz de sumar, restar, multiplicar y dividir y tambin registrar textos. Es una reproduccin de la que se basan los procesadores de las computadoras.Contaban de derecha a izquierda y partiendo desde la ltima casilla contando las unidades, la segunda vala 40 y la tercera 80. Para los incas no exista el 0 y un mismo nmero se poda representar de distintas maneras.

Ambos instrumentos, eran capaces de contabilizar, y utilizados para guardar informacin de noticias censales, montos de productos, tributos y subsistencias conservadas en los depsitos estatales, tambin para registrar los productos de las cosechas y losanimales de las comunidades, incluso los incas guardaban (de un modo diferente al escrito) sus tradiciones e historia.

Unidades de medida: Existieron diferentes unidades de medida para magnitudes como la longitud y el volumen, y tomaron el cuerpo humano como referencia para establecer sus unidades de medida No existi un sistema de unidades estndar en todo el mundo andino; hubo diferentes sistemas de origen local que siguieron en uso hasta el siglo XVI, aunque algunas medidas s debieron ser estandarizadas por los incas, al organizar el Tahuantinsuyo.

Longitud: Entre las unidades de medida de longitud, existi: larikra(braza), que es la distancia medida entre los dedos pulgares del hombre teniendo los brazos extendidos horizontalmente. Elcuchuch tupuequivala al "codo castellano" y era la distancia medida desde el codo hasta el extremo de los dedos de la mano. Estaba tambin lacapa(palmo), Y la ms pequea fue elyuku(jeme), que era la longitud entre el ndice y el dedo pulgar, separando uno del otro lo mximo posible.

Superficie: Eltupuera la unidad de medida de la superficie. Se defina como el lote de tierra requerido para el mantenimiento de unmatrimoniosin hijos. Todohombre reciba una parcela al casarse, debiendo satisfacer su produccin, las necesidades bsicas de alimentacin. No era una medida exacta, sus dimensiones variaban segn las condiciones de cada terreno y de una etnia a otra.

Capacidad: Entre las unidades de medida de capacidad est: lapokcha, que equivala a media fanega o 27,7 litros. Algunos cultivos, como elmaz, eran medidos en recipientes; los lquidos se medan en variedad de cntaros y tinajas. Haba cajas de paja o junco, donde se guardaban objetos y productos delicados o exquisitos, como las frutas secas. Las hojas de coca eran medidas enruncuso grandes cestas. Otros cestos eran conocidos comoysangas. Entre estas medidas de capacidad se encuentra elpoctoy(almozada), que equivale a la porcin de granos oharinaque entra en la concavidad formada con las manos juntas. balanzas de platillos y redes as como alhuipe, instrumento parecido a las romanas.Su presencia se asocia con los trabajos de orfebrera y metalurgia, donde es necesario conocer los pesos exactos para utilizar las proporciones adecuadas en las aleaciones.

Calendario: El calendario inca eralunisolar, tenan un ao de365 das de doce meses,consumiendo los once das que sobran de luna, en losmismos meses. El incaViracocha decret un aode 12 meses quecomenzaba con la luna nueva de enero. Cada mes tena su nombre yel ao empezaba endiciembre. La organizacin de trabajos se haca en semanas. 5- rasgos fundamentalesUn largo milenio transcurre entre la poca pe las tablillas cuneiformes y de los papiros egipcios que hemos reseado, y la poca de larevolucin intelectual que tendr por teatro el mundo griego delMediterrneo oriental; revolucin que signific el advenimientodel sabio y de un saber cada vez ms consciente de su propiamisin y de la responsabilidad que le impone la exigencia d~ Wcomprobacin o de su verif'iC'dCin.Al hacerse referencia al nacimiento de este nuevo tipo de saber: la ciencia, suele an hablarse de "milagro griego", expresinque encierra la idea de un surgimiento de la ciencia, del arte yde lafilosoffa como de la nada, por generacin espontnea.Mas hoy, al respecto, y en especial para la matemMica, cabeser cauteloso. Por lo pronto, la ciencia prehistrica ha puesto derelieve el largo camino recorrido por el hombre en la senda delsaber hasta llegar a los umbrales de la ciencia. Por su parte, ya noes posible dejar de considerar que el "milagro griego" tuvo comoantecedente el saber que desarrollaron los pases orientales, enespecial Egipto y la Mesopotamia" La misma tradicin griega atestigua la importancia que los primeros griegos atribuan a ese saber Iy es significativo que, segn tal tradicin, grandes sabios y filsofosdel perodo helnico haban estado en Oriente, en especial enEgipto, frecuentando los sacerdotes de esa regin"Otro factor Que ha contribuido a mantener la creencia en el"milagro griego" proviene de las caractersticas del perodo inmediato anterior al advenimiento de la ciencia griega, all hacia el siglo VI a. C. En efecto. el medio milenio anterior a este si~lo esuna de las pocas m,is oscuras e inciertas de la historia del Mediterrneo, aunque tal oscuridad no proviene de causas intrnsecas.sino del hecho de tratarse de una poca de movimientos de pueblos y de la aparicin de las armas de hierro que aportaron unpoder destructor desconocido hasta entonces; movimiento y del!!.truccin que han contribuido a silenciar ecos y documentos quepodran informarnos acerca de los orgenes de la ciencia en Grecia.Por lo dems. en este perodo, Crecia mantuvo relacionescomerciales y blicas con los pueblos del Cercano y MediO-Oriente, y si bien es cierto que los griegos no supieron leer lasjero~l.ncos egipcios ni los signos cuneiformes, el hecho de desconocer elidioma no significa ignorar totalmente sus bienes culturales V lasconexiones que actualmente se advierten entre la matel~iticagriega y la antigua matemtica de los babilonios. como consecuencia de las tablillas descifradas en este siglo, comprobarran tal afirmacin.Una ltima observacin, de carcter ms bien paradjico.reafirma la cautela con la cual deben tomarse las informacionesrelativas a la antigua matemtica griega. En efecto. mientras hoya 30 40 siglos de distancia. COnservamos en las tablillas cuneiformes y en los papiros egipcios documentos originales o copii.ls fielesde las contribuciones matemticas de los antib'\los pueblos orientales, nada de eso ocurre con los griegos; a pesar de ser mucho mirecientes, pues de las no muy numerosas producciones matem.Uicas que han sobrevivido hasta hoy, slo disponemos de 2, tales quex" +y" =z". La celebridad de e la proposicin reside en el hecho de que an hoy, a tres siglos largos de Fermal, no se halogrado dar una demostracin general de esa proposicin, nigen del libro: "Por otro lado, es imposible descomponer un cuboen suma de dos cubos o un bicuaclrudo en slIma de dos bicuadrados, O en general cualquier potencia en suma de dos potenciasde igual exponente, con excepcin del cuadrado. He encontrado una demostracin de esa proposicin, realmente maravillosa, pero el margen del libro es demasiado estrecho paracontenerla",Como la demostracin general a que alude Fermat no apareci ni en la correspondencia ni en los papeles que dej, es depresumir que efectivamente no dispuso de tal "demostracinde nmeros, pero an no se ha encontrado una demostracingeneral. Tampoco se encontr ningn ejemplo que comprobarala falsedad de la proposicin, no obstante las posibilidades quepor haber sido objeto de ""ncursos con valiosos premios, eseproblema, que a veces suele llamarse no muy propiamente "elgran teorema de Fermat", adquiri gran popularidad, aunque eldescubrimiento ms notable de Fermat en el campo de la teorade nmeros, aparecido en una carta de 1640, es el de la periodicidad de los restos de las potencias de a al dividirlas por unnmero primo p no divisor de a, de manera que al llegar a lapotencia de exponente p-l se reproduce el resto 1 (este teorema suele llamarse "el pequeo teorema de Ferma!'1- ElLa segunda rama matemtica que tiene a Fermat de fundador, O cofundador con Pascal, es el clculo de probabilidades,cuyos primeros problemas resueltos en el sigloXVU nacieron enlas mesas de juego y fueron propuestos por el caballero De Mr pagina (61)a Pascal, quien a su vez los propuso a Fennat; sin olvidar que elprimer libro sobre juegos de azar, como ya recordamos, se debea Cardano.Los problemas propuestos, hoy clsicos, sao el "problemade Jos dados" y el "problema de las partidas". El primer pronombre de Fennat se vincula, como veremos, con el nacimiento del clculo infinitesimal y con la ptica, pucs en 1661 demuestra la ley de la refraccin utilizando el principio de tiempomnimo.Como el de Fermat, el nombre de Blaise Pascal est vinc:ul.Jdo con la hisloria de \-arias ramas de la matemtica, ademsde figurar en la historia de la fsica, de la mosofa, de las letras yde la religin.Con su contribucin al clculo de probabilidades se vinculaun folleto de J()S..I sobre el TridlJgulo aritmtico (a veces napropiadamente llamado "tringulo de Pascal"), donde aparecen losnmeros combinatorios con su expresin general y algunas desus propiedades.Tambin fue Pascal iniciador del clculo mecnico, pues alos 18 aos construy una mquina de calcular que ms tardePascal fue un cientfico precoz, que an nio redescubre,sin libros ni ayuda alguna, los primeros teoremas de geometray que a los 16 aos cont.ribuye al resurgimiento de la geometramediante un teorema que hoy lleva su nombre y que entoncesfue llamado "exagrama mstico", Pero, segn propia confesin,ese teorema y otras propiedades de las cnicas que componansu Essay pour les cOl1illues escrito en 1640, le haban sido inspi.rados por Cirard Desargues, gemetra a quien conoci en lasreuniones cientficas que se celebraban en la celda del padreDesargues fue un ingeniero militar y arquitecto a quien. Noo en sus aplicaciones en la prctica de algllll arte", se le puedeconsiderar como el primer cultor de una de las ramas de la matemtica ms al"jada de la realidad, la geometrfa proyectiva.Preocuoado por los problemas prcticos de la construccinJ, relojes Ce sol y del corte de' piedras, se ocup de pcrspectiva-snhre la cual public dos breves trabajos (1636, 1640}- Ydepropiedades geomtricas en un curso de lecciones que, a pedido de sus discpulos, se public en 1639 con el ttulo Brouillonatiee lHl plan, que constituye un tratado sobre las cnicas, conconceptos e ideas originales que hoy forman parte de la geometra proyectiva.En su escrito Desargues observa que las tres cnicas -elipse, parbola e hiprbol:r- que se obtienen por proyeccin deuna circunferencia desde un punto sobre un plano, deben tenerlas mismas propiedades que la circunferencia e inversamente,Eso lo lleva a distinguir las propiedades que se mantienen en laproyeccin y las que no se mantienen. Entre las primeras consu nombre. Extiende algunas de sus observaciones al espacio yse le debe la importante observacin que un haz de rayos paralelos debe considerarse como de iguales propiedades que unhaz de ravos concurrentes. Ms tarde, en 1643, enunci, entreotros mu~hos y variados, el teorema hoy llamado de los tringulos homolgicos.(3) Los problemas rkl caballero De Mtrt. En el problema de losdados Fermat, partiendo de la definicin de la probabilidad como raznde los casos favorables a los casos posibles, demuestra que en el tiro conun solo dado, los casos posibles son 6'~ ~Ylos no &vorables 5'=625,de manera que Jos casos favorables 671> 625. comprueban el ,aserto.En el caso del tiro con dos dados, los casos posibles son 36" y los nofavorables 35'" de manera que la probabilidad buscada es 1 -(35/36)"que. por ser menor que 1/2, vuelve a confinnar la afirmacin del caballero De Mr, cuya pericia como notable jugador se revela al advertirseque en anl00s casos la diferencia en un solo tiro invierte la probabilidad.En el problema de las partidas Fermat utiliza la 'teorla combinatoria. Considera el ejemplo concreto en el que dos jugadores A y Bsuspenden el juego cuando al jugador Ale faltan 2 puntos para ganar yal jugador Ble faltan 3. Como a lo ,umo la partida se habrla te1lllinado alas 4 jugadas, Fennat hace las 16 posibles combinaciones con repeticinde dos letras a y b tomadas de 4 en 4. cuenta las combinaciones en lasque aaparece dos o ms veces y las restantes en las que b aparece tres oms veces. Como las primeras son ) 1 Y las segundas son 5, Fennatdeduce que las probabilidades de ganar estn entre sr como 11 es a 5,proporcin en la que debe entonces dividirse la bolsa. Pascal llega l' Ia a misma so ucin, aunque razona algo diferentemenlte. He aquf sw palabras: "El siguiente es mi mtodo para c1e'"nnlnar a parte d cada' d ~ -. e Juga or, cuando por ejemplo dos jugadores jueganun partido a tres puntos y cada jugador ha apostado 32 pistolas S~os que el primer jugador ha ganado dos puntos y el segu~do~::or ~o; ahora deben jugar por..u" punto en estas condiciones' siel pnm.er jugado.r se Ueva todo el monto de la apuesta, es deci~ 64~tolas, SI en cambio es el segundo jugador quien gana _~_. gad .Pd ~Ju orDeneo~ puntos y estarn as en equilibrio, y si dejaran de jugar cada unoretir:ma sus 32 pistolas. De modo que si el primer jugador gana las64 plstol~ le pertenecen, mientras que si pierde le pertenecen coitos,.ces.32 P1St~~. Luego, si los jugadores desean no jugar ese juego ysepararse 510 Ju~lo, el primer jugador podria decir al segundo: 'Ten oaseguradas 32 pistolas aun en el caso de perder el punto en camb~respecto de las otras 32 pistolas puedo ganarlas o puedo ~rderlas 110~hanccs son Iguales. Divi~os entonceS esas 32 pistolas en ~t:Iguales ydadme adems las 32 pistolas que tengo aseguradas'. De ah!que el pnmer Jugador lendr.l48 pistoias y el segundo 16 pistolas" S'aplicara el procedimiento de Fennat a este caso se II-,.{ 'gua]' I sesultado. ....&""'.a a 1 re-

3. El clculo inflllitesimal: los precursoresLas consideraciones de ndole infinitesimal son tan antiguas romo l~ ma.temtica misma, pues residen en la esencia misma deesa CienCia. En la mera sucesin indefinida de los nmeros estenlarvado el concepto de infinito, en la ilimitada divisibilidad delos segmentos lo est el infinitsimo. y no deja de ser significativo que en el lxico matemtico de hoy las expresiones infinitoO inflnitsimo actual o potencial conserven el sello que les impnml Anstteles, precisamente en los siglos en que nace lamatemtica como ciencia.De ah que se encuentren rastros de los mtodos infinitesimales en todas las etapas de la evolucin de la matemtica. Asl)-man en las criticas de los eleatas y en algunas argumentacionesde los sofistas y adquieren categora y rigor cientficos en la teora de las proporciones y en el mtodo de exhaucin de Eudoxo'mtodo que en manos de Arqumedes y vinculado con el postu:lado de la continuidad le permite obtener rigurosamente resul.tados que hoy se logran con el algoritmo infinitesimalmal en los tiempos medievales, con la introduccin del ceracomo s(mbolo operatorio. con la "regla de Merton" y con lasprimeras series convergentes de Oresme y Calculatora las quedentes (1). Ya vimos tambin cmo en el siglo XVI aparecenotros algoritmos infinitos: las fracciones continuas de Cataldi. elproducto infinito de Vilote para 1r.. . /A este proceso interno se agregar en el siglo XVll la pre"sin externa que ejercern la mecnica y la astronomia, en cuyodesarrollo los mtodos infinitesimales desempearn papeldecisivo.As[ Stevin, en 1586. para detenninar el centro de gravedadde un paraboloide de revolucin, circunscribe a.ese slido unnmero de cilindros de igual altura que va duplicando y comprueba que el centro de gravedad de esos cilindros. frtante, aJ abord.;.r d anlisis 16g:ico delconjunto de axiomas y exigir, por una parte, su compatibilidad, es decir .que no exista en ellos contrJdiccin interna y, por otra. que sean independientes, o, 10 qll~ f' S lo mismo, que un grupo de axiomas no suconsecuencia de los b'TUpos anteriores.Para ello, Hilberl construy gcollletrias artificiales, cuyos ciernentos son nmeros o funciones, de tal modo que a las relaciones geom~tri.cas definidas por los axiomas corresponden relaciones homlogas enlu'esos nmeros o funciones. Para demostrar que los axiomas de un gruposon compatibles, basta demostrar que en la geometra artificial correspondiente no hay contradiccin, lo que se comprueba por CUUltO, dhubiera contradiccin, ella al)a(t:eera en la aritmtica del sistema denmeros o funciones as construida. Para demostrar la independcn, aJ demo)lr.1r 1.1 illdc(>cndcllcia del niOlna deparalelbmo, ) de las gcometri~ no arquimedianas, de 1.l,S cuales Veronese haba dado un ejemplo en 189l, al comprobar la indepcnd nciadel ;,L'l:ioma de Arqumedes.Claro es que las consideraciones de Hilbert desplazaron la cuestin de la compatibilidad e independencia de los axil)mas de la geometra 'aJ problema semejante, aunque de rafz ms profunda, de la complltibilidad de los axiomas de la aritmtica que. como vimos, rue precisamente uno (el segundo) de los 23 plIJblemas sei\alados por Hilbert en elCongreso de 1000.los Gnmdlogen tenninan con un interesante "EpOogo" en el