by Erik 2010.12.16.

- 1 / 30 -

Fizika I. tételek 2010 ősz Óbuda By Erik

1. Tétel: Írja fel és értelmezze a tömegpont mozgásának leírását kifejező fogalmakat és összefüggéseket! Hogyan definiáljuk a pillanatnyi sebességet és gyorsulást?

A pillanatnyi sebesség (röviden sebesség) v(t) az r(t) helyvektor idő szerinti első deriváltja. ( ) ( )r t v t=ɺ

A gyorsulás az r(t) helyvektor idő szerinti második deriváltja vagy a sebesség v(t) első deriváltja.

( ) ( )r t v t a= =ɺɺ ɺ

Értelmezze a pillanatnyi ω szögsebességet és ε szöggyorsulást! A pillanatnyi szögsebesség ω(t) a szögelfordulás φ(t) idő szerinti első deriváltja.

d

dt

ϕω ϕ= =ɺ

2 fω π= ⋅ ; 1fT

=

A szöggyorsulás (ε) a szögelfordulás (φ(t)) idő szerinti második deriváltja, a szögsebesség (ω(t)) idő szerinti első deriváltja

2d

dt

ϕε ω ϕ= = =ɺ ɺɺ

Milyen összefüggés van a körmozgás kerületi sebessége és szögsebessége között?

Ha a kerületi sebesség és a szögsebesség állandó, egyenletes körmozgásról beszélünk. Egyenlő idő alatt egyenlő íveket tesz meg az anyagi pont.

v R ω τ= ⋅ ⋅ Ahol v a kerületi szögsebesség, R a kör sugara, ω a kerületi szögsebesség és τ a tangenciális egységvektor. A tangenciális vektor a pálya iránya mentén mutat. Mivel itt nagysága 1, ezért csak az előjelét vesszük figyelembe, ami meghatározza a sebesség irányát.

v R ω= ⋅ A sebesség nagysága (skalármennyiség).

Milyen összefüggés van a körmozgásnál a tangenciális gyorsulás és szöggyorsulás között?

Egyenes arányosság van a kettő között.

a Rτ ε τ= ⋅ ⋅ d

dt

ωε =

by Erik 2010.12.16.

- 2 / 30 -

Hogyan számítja ki körmozgásnál a pálya egy adott pontjában a centripetális gyorsulást?

A centripetális gyorsulás radiális komponense negatív, azért mert ez az erő a kör közepe felé mutat. A centrifugális erő ellenereje. Ez tartja körpályán az adott anyagi pontot.

22

cp

va R v

rω ω= ⋅ = = ⋅

Írja fel a gyorsulás-vektor tangenciális és normális egységvektorral megadott

alakját!

2dv v

a ndt r

τ= +

Térgörbe kísérő triédere: a görbére illeszkedő lokális koordinátarendszer, amelynek egységvektorai az érintő, normális és binormális egységvektorok. A három vektor ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. Az érintő és a normális egységvektor kifeszíti a görbe adott pontbeli simulósíkját. A normálvektor a görbület („kanyar”) középpontja felé mutat. A binormális egységvektor a simulósík normálvektora. Ha nem függvénye az időnek (nem szerepel benne t), akkor a mozgás síkmozgás. Az egységvektorok kiszámítása: Érintő, vagy tangenciális egységvektor:

( ) ( )( )t

tt

τ =r

r

ɺ

ɺ

Binormális egységvektor:

( ) ( ) ( )( ) ( )tttt

trrrr

bɺɺɺ

ɺɺɺ

××=

Normális egységvektor: ( ) ( ) ( )ttt ebn ×= A gyorsulásvektor összetevői: Érintő, tangenciális, vagy pálya irányú, illetve pálya menti gyorsulás: ( ) ( ) ( )tttae ea ⋅= Normális irányú, vagy pályára merőleges gyorsulás: ( ) ( ) ( )tttan na ⋅=

τ

∆s (a megtett út)

n

r(t+∆t)

r(t) ∆r

na a aτ= +

by Erik 2010.12.16.

- 3 / 30 -

2. Tétel: Értelmezze a tömegpont dinamikájának alapvető törvényeit! Fogalmazza meg a Newton-axiómákat!

I. A tehetetlenség törvénye (Galilei és Kepler törvényei alapján)

Minden test megmarad a nyugalom (vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgás) állapotában, míg más testek hatása mozgásállapotának megváltoztatására nem készteti. Ez tehát a legegyszerűbb mozgás. A vonatkoztatási rendszert, amelyben létrejöhet, inercia rendszernek nevezzük. Inercia rendszer: Van olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a magára hagyott (minden kölcsönhatástól mentes) Anyagi pont egyenes vonalú egyenletes mozgást végez (vagy nyugalomban van). Ezt a vonatkoztatási rendszert inercia rendszernek nevezzük.

II. Er ő és tömeg

Egy pontszerű test (a) gyorsulása egyenesen arányosa testre ható (a gyorsulással azonos irányú) (F) erővel, és fordítva arányos a test (m) tömegével. Minél jobban szeretnénk gyorsítani egy pontszerű testet, annál nagyobb erőre van szükségünk kivéve, ha tömegét is csökkentjük.

F m a= ⋅

III. a kölcsönhatás törvénye (akció-reakció törvénye)

Ha egy testre egy másik F erővel hat, akkor a másik testre az első ugyanekkora erővel hat. Az erők hatásvonala természetesen egybeesik; azonos nagyságúak, de ellenkező irányúak.

12 21F F= −

IV. Az erőhatások függetlenségének elve

Ha egy anyagi pontra több erő hat, akkor hatásuk azonos az eredőjükkel jellemzett egy erő hatásával Ha az eredő értéke nulla, akkor a test egyensúlyban van. Ebben a törvényben fogalmazhatunk meg először erőket úgy, hogy irányuk egymáshoz képest a térben bármely tetszőleges irányt felvehet.

A dinamika alapegyenlete1

n

ii

F m a=

= ⋅∑

m1 m2

F12 F21

by Erik 2010.12.16.

- 4 / 30 -

Definiálja a tömegpont impulzusát! Impulzus: A mozgásmennyiség megváltozása arányos a ható mozgató erővel és annak az egyenes vonalnak irányában megy végbe, amelyben az erő hat. Ez a mozgásmennyiség impulzus vagy lendület vektoriális mennyiség. [kg*m/s]

I p m v= = ⋅ Ahol I vagy p a tömegpont impulzusa vagy más szóval a lendülete. Az impulzus (vagy néha lendület) általában véve a test azon törekvésének mértéke, hogy megtartsa mozgását annak irányával (azaz vektormennyiség) együtt. Megmaradó mennyiség, azaz zárt rendszer összes impulzusa állandó.

Írja fel és fogalmazza meg az impulzustételt és az impulzus-megmaradás tételét!

Impulzus tétel: Az impulzus idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható erővel. Vektoriális mennyiség.

( )dI d m vF m a

dt dt

⋅= = = ⋅

Az m*v szorzat deriváltja az a, hiszen a tömeg idő szerint állandó, csak a sebesség változik, ekkor viszont a gyorsulást kapjuk meg.

Impulzus-megmaradás tétele: Ha a testre ható erők eredője nulla, akkor a test impulzusa állandó, tehát a test nyugalomban van vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez.

( )0

d m vF

dt

⋅= =

Ha az m*v szorzat (azaz az impulzus) időben állandó, akkor ennek a deriváltja 0 lesz.

by Erik 2010.12.16.

- 5 / 30 -

Írja fel a forgatónyomatékot definiáló összefüggést és értelmezze a helyvektor, ill. az erőkar fogalmával!

„m” tömegű anyagi pontra ható F erőnek tetszőleges O pontra vonatkoztatott nyomatéka. (A forgatónyomaték az F erő és az O középponttól az erő támadáspontjába mutató r vektor, az erőkar vektoriális szorzata.) A forgatónyomaték (röviden: nyomaték) egy adott erőhatás, adott középpontra való forgatóképességét megadó fizikai mennyiség.

M r F= × Ahol r a helyvektor és F az „m” tömegű anyagi pontra ható erő, M pedig a forgatónyomaték. Egy másik megfogalmazásban, az erő és az erőkar skaláris szorzata.

| | | | | | sinM F k F r α= ⋅ = ⋅ ⋅ | | sink r α= ⋅

Ahol „k” az erőkar hossza.

Mi a perdület?

Más néven impulzus nyomaték. „m” tömegű anyagi pont impulzusának nyomatéka. A perdület időszerinti deriváltja a nyomaték. A perdület a jól ismert lendület (impulzus) nevű fizikai mennyiség forgómozgásbeli megfelelője.

( )L r m v r I= × ⋅ = × Mit mond ki a perdület-tétel, illetve a perdület megmaradásának tétele egy tömegpontra?

Perüdület-tétel: Egy test perdületét a ráható erők eredő forgatónyomatéka változtatja meg.

dLM

dt=

Perdület megmaradás tétele: Ha egy adott test forgatónyomatéka nulla, akkor a perdülete állandó.

0dL

M L állandódt

= = ⇒ =

Így L-nek a deriváltja is nulla lesz, tehát helyes az összefüggésünk.

α

α

k

F

90°

o

r

by Erik 2010.12.16.

- 6 / 30 -

3. Tétel: Írja fel és értelmezze a munka, mechanikai energia és a teljesítmény definícióját és az ezekhez kapcsolódó törvényeket! Definiálja a munkát! Írja fel az ezt kifejező összefüggést!

Az erő (F) és a helyvektor (r) skalár szorzata adja a munkát, ha az erő állandó.

cosW F dr α= ⋅ ⋅

W F r= ⋅∆

sW F s= ⋅ A munka az erő vonal menti integrálja.

B

A

W F dr= ⋅∫

[W]=Nm=J

Hogyan számítható a mozgási energia és a homogén gravitációs mezőben a helyzeti energia?

A mozgási energia számítása: 2 22 1

1 1

2 2W mv mv= −

Ahol W a munka, m a tömeg, v2 az anyagi pont sebessége a t2 időpillanatban, v1 az anyagi pont sebessége a t1 időpillanatban. Homogén gravitációs mezőben a helyzeti energia számítása:

[ ]2

2

1 211

( )y

y

yG y

W F dr m g dy m g y m g y y= ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ = ⋅ −∫ ∫

Ahol m a tömeg, g a gravitációs gyorsulás (Budapesten 2

9,81m

s), m a test tömege, 1y a

magasság, ahonnan a test elmozdul, 2y az a magasság, ahová a test elmozdul.

A nehézségi erő munkája független attól, hogy milyen úton (milyen görbe mentén) jutott az anyagi pont r1 –el jellemzett pontból az r2 helyre.

A

F=állandó

∆r B α

Fs

s

by Erik 2010.12.16.

- 7 / 30 -

Ha csak a nehézségi erő hatására mozog az anyagi pont, a munkatétel értelmében írhatjuk: 2 22 1 1 1

1 1

2 2m v m v m g y m g y⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Ezt átrendezve kapjuk: 2 22 1 1 1

1 1

2 2m v m g y m v m g y⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

Az anyagi pont mozgási és helyzeti energiájának összege a pálya minden pontjában ugyanaz, vagyis a mozgás folyamán állandó, amennyivel nő (fogy) a tömegpont mozgási energiája, ugyanannyival fogy (nő) a helyzeti energiája. Ez nem csak a nehézségi erőre érvényes, hanem fennáll minden olyan, időben változatlan F erő esetén is, amelynél a tér két tetszőleges (A, B) pontja között az erő munkája nem függ attól, hogy milyen görbék mentén jutott az anyagi pont a A-ból B-be. Az ilyen erőket konzervatív erőknek nevezzük.

Mi jellemzi a konzervatív erőteret? A mechanikai energiák összege állandó. A nehézségi erő, konzervatív erő, mert az jellemzi, hogy az erő munkája nem függ az úttól, csak kezdeti és végponti helyzetétől.

Fogalmazza meg a mechanikai energia megmaradásának tételét! A konzervatív erőtérben a mechanikai energiák összege állandó.

Wpot+Wkin=állandó 21

2kinW m v= ⋅ A nehézségi erő munkája

potW m g h= ⋅ ⋅ A helyzeti energia munkája

2

1

1 2 1 2

P

pot pot

P

W F dr m g h m g h W W= ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = −∫

Ahol h1 a t1 időpillanatban a test magassága, h2 a t2 időpillanatban a test magassága. 2 2 2

1 1 1

P P t

P P t

W F dr m a dr m a vdt= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

Az r helyvektor idő szerinti második deriváltja a gyorsulás vektor, az első a sebesség vektor. 22

11

2 2 2 22 1 2 1

1 1 1 1

2 2 2 2

tt

kin kintt

dW m r dt m v m v m v W W

dt = ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ∫

ɺ

Mivel mind a két levezetés ugyan abból a képletből indul, ezért ezek egyenlők egymással.

1 2 2 1pot pot kin kinW W W W− = −

1 1 2 2pot kin pot kinW W W W+ = +

P1 P2

h1 h2

by Erik 2010.12.16.

- 8 / 30 -

Fogalmazza meg és írja fel a munkatételt és mutassa meg, hogy hogyan adódik a gyorsítási munkából?

A munka tétel: 2 22 1

1 1

2 2W m v m v= ⋅ − ⋅

Ahol m a pontszerű test tömege, v2 a t2 időpillanatban a pontszerű test helyzete, v1 a t1 időpillanatban a pontszerű test helyzete. A munkatétel levezetése a gyorsítási munkából:

2 2 2

1 1 1

r r t

r r t

W F dr m a dr m a vdt= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

Az r helyvektor idő szerinti második deriváltja a gyorsulás vektor, az első a sebesség vektor. r2 a t2 időpillanatban a pontszerű test helyvektora, r1 a t1 időpillanatban a pontszerű test helyvektora.

22

11

2 2 2 22 1

1 1 1 1

2 2 2 2

tt

tt

dW m r dt m v m v m v

dt = ⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ ∫

ɺ

Definiálja a teljesítményt!

A teljesítmény egy időegység alatt végzett munka. Vagyis a munka idő szerinti deriváltja. dW

Pdt

=

F drP F v

dt

⋅= = ⋅

Az F erő idő szerinti deriváltja állandó. A helyvektor idő szerinti első deriváltja, pedig a v sebesség vektor.

by Erik 2010.12.16.

- 9 / 30 -

4. Tétel: Értelmezze a pontrendszerre ható erőkkel kapcsolatos törvényeket! Írja fel a pontrendszer tömegközéppontjának helyvektorát kifejező összefüggést!

10

1

n

i ii

s n

ii

m rr r

m

=

=

⋅= =

∑

∑

Ahol r0 a tömegközéppontja, ami tulajdonképpen a súlypontja is rs. mi az egyik adott anyagi pont a pontrendszerünkben, az ri pedig a hozzá tartozó helyvektor.

Mutassa meg, hogy kapjuk ezt a helyvektort!

0M =∑ 1 1 2 2 0r m g r m g′ ′× ⋅ + × ⋅ =

1 1 sr r r′= + 2 2 sr r r′= + A g –vel egyszerűsíthetünk, majd behelyettesítünk.

( ) ( )1 1 2 2 0s sr r m r r m− ⋅ + − ⋅ =1 1 1 2 2 2 0s sr m r m r m r m⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ =

1 1 2 2 1 2s sr m r m r m r m⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

( )1 1 2 2 1 2sr m r m r m m⋅ + ⋅ = ⋅ +

( )1 1 2 2

1 2s

r m r mr

m m

⋅ + ⋅=+

i iG m g= ⋅

Fogalmazza meg az impulzus-tétet és az impulzus-megmaradás tételét pontrendszerre!

Az impulzus-tétel pontrendszerre: A pontrendszer impulzusát csak a külső erők változtathatják meg. (Továbbra is igaz, hogy az impulzus idő szerint deriváltja egyenlő a testre ható erőkkel.)

1

1

n

ini

ii

d IF

dt=

==∑

∑

m1 m2

rs r1

r2

r'1

0

r'2

G2 G1

m1 m2 F12 F21

F1 F2 r1 r2

0

by Erik 2010.12.16.

- 10 / 30 -

Az impulzus-megmaradás tétele pontrendszerre: Impulzus-megmaradás tétele vagy súlypont-megmaradásának tétele: Zárt rendszer impulzusa állandó.

0F =∑ ; I állandó=∑ (Pontosabb magyarázat az anyagi pont résznél.) Ha a rendszerre külső erők nem hatnak (zárt rendszer), vagy a ható külső erők eredője nulla, akkor a rendszer foroghat, elcsavarodhat, mindenfajta mozgást végezhet, de a tömegközéppont (súlypont) egyenes vonalú egyenletes mozgást végez (ha kezdetben nyugalomban volt, végig nyugalomban marad), illetve ennek megfelelően a rendszer teljes impulzusa is állandó marad.

1

n

i ii

I m v állandó=

= ⋅ =∑

Írjon példát az utóbbira!

Mit mond ki a tömegközéppont tétele? A pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer egész tömege ebben a pontban lenne egyesítve, és a külső erők eredője erre a pontra hatna.

sF m a= ⋅ Ahol as a tömegközéppont gyorsulása, m a rendszer összes tömege, F pedig a rendszer eredő ereje.

Ismertesse a tömegpontrendszerre vonatkozó perdülettételt és a perdületmegmaradás feltételét!

A pontrendszer perdületét a külső erők eredő forgatónyomatéka változtatja meg. A perdület időszerinti deriváltja a nyomaték.

1

1

n

i ni

ii

d LM

dt=

==

∑∑

Ahol Li az összes perdület, Mi az összes nyomaték. Mi jellemzi a tökéletesen rugalmatlan ill. rugalmas ütközést?

Tökéletesen rugalmatlan ütközés: Az ütközés tökéletesen rugalmatlan, ha ütközés után a testek relatív sebessége nullává válik, azaz a testek összetapadva mozognak vagy állnak. Az impulzus-megmaradás miatt.

1 1 2 2

1 2

m v m vv

m m

⋅ + ⋅ ′=+

Ahol 1 1m v⋅ az egyik test impulzusa, az 2 2m v⋅ a másik test impulzusa, v’ a kettő test közös sebessége. A két test közös impulzusa ennek a sebességnek és a két test tömegének szorzatából áll.

by Erik 2010.12.16.

- 11 / 30 -

Tökéletesen rugalmas ütközés: Ha az ütközés során mechanikai energiaveszteség nem lép fel, az ütközést tökéletesen rugalmasnak nevezzük.

(U1=v’1; U1=v’1) 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2m v m v m v m v′ ′⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

( )1 2 1 2 21

1 2

2m m v m vv

m m

− ⋅ + ⋅ ⋅′ =

+

( )2 1 2 1 12

1 2

2m m v m vv

m m

− ⋅ + ⋅ ⋅′ =

+

1 2

1 1

1v v

v vε

′ ′−= =−

1v

vε

′∆= =∆

Az ütközésszám rugalmasnál 1, valóságos ütközésnél 0 1ε≤ ≤ .

Írja fel az ezekre vonatkozó megmaradási tételek összefüggéseit! Tökéletesen rugalmatlan ütközésre: Impulzus-megmaradás tétele pontrendszerre:

1

n

i ii

I m v állandó=

= ⋅ =∑

Ennek értelmében:

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v v m v m′ ′⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ Mivel rugalmas ütközés esetén az ε=0, ezért 1 2v v′ ′= -vel. Így felírható a következő alakban:

( )1 1 2 2 1 2m v m v v m m′⋅ + ⋅ = + Rendezve az egyenletet:

1 1 2 2

1 2

m v m vv

m m

⋅ + ⋅ ′=+

Tökéletesen rugalmas ütközésre: Impulzus-megmaradás tétele pontrendszerre:

1

n

i ii

I m v állandó=

= ⋅ =∑

Ennek értelmében:

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v v m v m′ ′⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ Mivel tökéletesen rugalmas ütközésről van szó, ezért a két test mozgási energiájának összege, megegyezik az ütközés utáni mozgási energiával.

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2m v m v m v m v′ ′⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Az egyenlet megoldásai: ( )1 2 1 2 2

11 2

2m m v m vv

m m

− ⋅ + ⋅ ⋅′ =

+

( )2 1 2 1 12

1 2

2m m v m vv

m m

− ⋅ + ⋅ ⋅′ =

+

by Erik 2010.12.16.

- 12 / 30 -

5. Tétel: Írja fel és értelmezze a merev test mozgásával kapcsolatos törvényeket! Írja fel a merev test gyorsulását kifejező összefüggést!

A merev test olyan anyagi pontok halmaza, amelyeknek kölcsönös helyzete a mozgás során nem változik meg. A merev test gyorsulása a transzlációs (atr), a forgó (rotációs) (arot) és a centripetális gyorsulásból adódik össze.

tr rot cpa a a a= + + A transzlációs mozgás, a haladó mozgás. Ilyenkor a merev testünk minden egyes pontjának sebessége, bármelyik időpillanatban azonos. A rotációs mozgás vagy forgó mozgás esetén a testben található egy nyugalomban lévő egyenes (tengely), és a merev test többi pontja azonos szögsebességgel a tengely körül köríveken mozdul el. A centripetális gyorsulás: Így nevezzük azt a gyorsulást, amivel egy testnek gyorsulnia kell ahhoz, hogy egy görbe mentén mozogjon. Iránya merőleges a haladás útjára, ezért negatív előjellel vesszük figyelembe.

trtrdv

adt

= rota rε ′= × 2

cpa ρ ω= − ⋅

2trdva rdt

ε ρ ω′= + × − ⋅

Ahol vtr a haladó mozgás sebesség vektora, ε a pillanatnyi szöggyorsulási vektor (d

dt

ωε = ), r’

a testen belüli O’ vonatkoztatási pontból egy tetszőleges P pontjába mutató helyvektor.

ρ a mozgó pont irányított távolsága a forgástengelytől,

ω a szögsebesség.

O

Y

X

z

Z’

X’

Y’

r r0

P r'

ω

r'ω

r'

ρ

by Erik 2010.12.16.

- 13 / 30 -

Írja fel a rögzített tengely körül forgó merev test dinamikai egyenletét! Hogy adódik ez a perdülettételből?

A merev test rögzített tengely körüli forgásában a tehetetlenségi nyomaték állandó.

( )yy

dL d d

dt dt dtM

ω ω εΘ⋅

= = Θ = Θ⋅=

(Pirossal a merev test dinamikai alapegyenlete, feketével a perdülettétel, illetve levezetése.) M: nyomaték, L: perdület, Θ: a tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték, ω: szögsebesség, ε: szöggyorsulás.

Írja fel a tehetetlenségi nyomatékot definiáló összefüggést! A merev test folytonos tömegeloszlásúnak tekinthető, adott pontbeli sűrűségét így adjuk meg:

dm

dVρ =

Ahol ρ a merev test sűrűsége egy adott pontban, m a merev test tömege, V a merev test egy véges térfogata.

dm dVρ= ⋅ ( ), ,

V

m x y z dVρ= ∫

2 2

V V

l dm l dVρΘ = ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫

Ahol dm a tömeg elem, dV a térfogatelem és l ezek távolsága a forgástengelytő.

1

n

i ii

m r=

Θ = ⋅∑

Hogyan fejezhető ki a merev test teljes kinematikai energiája?

Szerintem ez: Segítségül hívjuk a merev test gyorsulását kifejező összefüggést:

tr rot cpa a a a= + +

2trdva rdt

ε ρ ω′= + × − ⋅

Ahol vtr a haladó mozgás sebesség vektora, ε a pillanatnyi szöggyorsulási vektor (d

dt

ωε = ), r’

a testen belüli O’ vonatkoztatási pontból egy tetszőleges P pontjába mutató helyvektor.

Mivel a kinematika a testek mozgásával foglalkozik, feltételezem, hogy a rendszer teljes mozgási energiájára kíváncsi.

F m a= ⋅

Ez alapján: 2trdv

F r mdt

ε ρ ω ′= + × − ⋅ ⋅

by Erik 2010.12.16.

- 14 / 30 -

6. Tétel: Mi jellemzi az egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerekben lejátszódó jelenségeket? Mit nevezünk inerciarendszernek, mi jellemzi?

Inercia rendszer: Van olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a magára hagyott (minden kölcsönhatástól mentes) Anyagi pont egyenes vonalú egyenletes mozgást végez (vagy nyugalomban van). Ezt a vonatkoztatási rendszert inercia rendszernek nevezzük. Jellemzi, hogy érvényes rá a tehetetlenség törvénye.

Mit nevezünk tehetetlenségi erőnek, hol lép fel? Írjon példákat rá! A tehetetlenségi erő egy fiktív erő. Gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben (amely nem inerciarendszer) fellépő erő.

Egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló vonatkoztatási rendszerben:

0a a a′= +

0m a m a m a′⋅ = ⋅ + ⋅

0m a m a m a′⋅ = ⋅ − ⋅

tehF F F′ = +

0tehF m a= ⋅ Például autózás közben. Amikor az autó gyorsul a benne ülő utast a tehetetlenségi erő az ülésbe préseli. Mivel az autó gyorsul és nem egyenes vonalú egyenletes mozgást végez (vagy nyugalomban van), ezért nem inerciarendszer.

Mi a centrifugális erő, hogy számoljuk? A centrifugális erő a centripetális erővel ellentétes irányú. (Sugárirányból kifelé mutat.) Csak forgórendszerben érzékelhető.

2cfF m r ω= ⋅ ⋅

Ahol r a tömegközéppont forgástengelytől számított helyvektora.

Mi a Coriolis-erő? A Coriolis-erő az inerciarendszerhez képest forgó (tehát egyben gyorsuló), vonatkoztatási rendszerben mozgó testre ható egyik tehetetlenségi erő. Mivel a Föld forog, ezért nagy méretek esetén ez sem minősül inerciarendszernek, ezért például ha valami mozgás közben közeledik vagy távolodik a forgástengelytől, akkor, mivel kerületi sebességét megtartja, a földről nézve elkanyarodik. Ez a Coriolis-erő. Ez okozza a ciklonok, tornádók kialakulását, illetve például a mesterlövészeknek is figyelembe kell venniük, nagy távolságon a golyó röppályája elkanyarodik.

Írja fel a Coriolis-erőt definiáló összefüggést!

( )2corF m vω= − ⋅ × Ahol v a gyorsuló vonatkoztatási rendszerünkhöz képest nézett tetszőleges sebesség, m az ehhez a testhez tartozó tömeg, és ω a vonatkoztatási rendszerünk szögsebessége.

by Erik 2010.12.16.

- 15 / 30 -

7. Tétel: Milyen fogalmak és összefüggések jellemzik a rezgőmozgást? Írja fel a harmonikus rezgőmozgás mozgásegyenletét!

20 0x x ω+ ⋅ =ɺɺ

Ahol az x a rendszer kitérése.

( )0sinx A tω ϕ= + Ahol A az amplitúdó, ω a körfrekvencia 2 fω = Π ahol f a rezgésszám. φ0 a kezdő rezgésszám.

2202

0d x

xdt

ω+ ⋅ =

Ahol 0D

mω ω= = ami a rezgőrendszer saját körfrekvenciája.

Írja fel a sebességgel arányos csillapítású rezgőmozgás mozgásegyenletét! 2

202

2 0d x dx

xdt dt

ω β+ ⋅ + =

Ahol β a csillapítási tényező ω0 a saját, csillapítatlan körfrekvencia, x a rendszer kitérése Írja fel a kényszerrezgést végző test mozgásegyenletét!

( )2

2 002

2 sin kFd x dx

x tdt dt m

ω β ω+ ⋅ + =

Ahol F0 a maximális erő, ωk a kényszer körfrekvencia, ω0 a saját körfrekvencia, β a csillapítási tényező.

Ha 0kω ω= akkor rezonancia van.

by Erik 2010.12.16.

- 16 / 30 -

8. Tétel: Írja fel és értelmezze a hullámmozgás jellemzőit! Mit nevezünk hullámmozgásnak?

A rezgési energia térbeli továbbterjedését hullámmozgásnak nevezzük. Hullámmozgáskor a közeg, vagy mező fizikai állapota megváltozik.

Mi a hullámhossz? Az azonos rezgési állapotú helyek legkisebb távolságát nevezzük hullámhossznak.

Mi jellemzi a transzverzális hullámokat, ill. a longitudinális hullámokat?

Transzverzális hullámok A transzverzális hullám olyan hullám, ami a haladási irányára merőlegesen kelt rezgéseket a közegben, amiben terjed. Csak ezek polarizálhatóak. Ilyenek például a pohárban lévő víz tetején jelentkező hullámok. Longitudinális hullámok A longitudinális hullám olyan hullám, ami a haladási irányában kelt rezgéseket. Ilyenek például a hanghullámok.

Mi jellemzi a koherens hullámokat? Azonos a frekvenciájuk, azonos a rezgési síkjuk, állandó a fáziskülönbségük.

Milyen feltétel mellett gyengíti, ill. erősíti egymást két hullám?

Hullámerősítés Ha az útkülönbség a fél hullámhossz páros számú többszöröse.

2 1 2 2x x k

λ− =

Ahol 1x az egyik hullám úthossza, 2x pedig a másiké. 2 1x x− az útkülönbség nagysága. λ a hullámhossz. k ∈ Ν tetszőleges szám, a képletben párosságának kifejezésében segít. Hullámgyengítés Az útkülönbség a fél hullámhossz páratlan számú többszöröse.

2 1 (2 1) 2x x k

λ− = +

Ahol 1x az egyik hullám úthossza, 2x pedig a másiké. 2 1x x− az útkülönbség nagysága. λ a hullámhossz. k ∈ Ν tetszőleges szám, a képletben páratlanság kifejezésében segít.

by Erik 2010.12.16.

- 17 / 30 -

Írja fel a hullámegyenletet! Olyan függvény, amellyel a hullámtér bármely pontjában, bármely időpontjában meg tudjuk adni a hullámra jellemző ψ mennyiséget. A sík hullámegyenlete:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

x y z c t

∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ+ + = ⋅∂ ∂ ∂ ∂

22

2 2

1

c t

∂ Ψ∇ Ψ = ⋅∂

Ahol c a hullám terjedési sebessége (fénysebesség), ∇ nabla operátor.

Írja fel a hullámfüggvényt, mint a hely és idő függvényt! Fontos, hogy a zavar az időnek szinuszos függvénye legyen.

( ) ( )0 0; sin sinr

r t t t k rc

ω α ω α Ψ = Ψ − + = Ψ − ⋅ +

ψ a hullámtér valamely pontjában egy adott időpillanatban megzavart állapotra jellemző fizikai mennyiség, amely lehet vektor- vagy skalármennyiség. Ahol ψ0 hullám amplitúdó, k a hullámszám, c a hullám terjedési sebessége (fény sebesség) α a kezdőfázis.

Fogalmazza meg a Huygens-Fresnel-elvet! A hullámfelületek minden kis pontját elemi kis hullámkeltő centrumnak tekintjük, amelyből kiinduló hullámok azonos idő alatt, azonos távolságra jutnak el. Ezen elemi kis gömbhullámok burkoló felülete adja az újabb hullámfelületet.

by Erik 2010.12.16.

- 18 / 30 -

9. Tétel: Melyek a geometriai és a hullámoptika legfontosabb törvényei? Fogalmazza meg a Fermat-elvet és írja fel annak matematikai alakját!

Eltekintünk a fény részecske és hullám tulajdonságától. A fény egyenes úton halad. A fény a lehetséges közel egyidejű utak közül azt választja, amelyik a legrövidebb ideig tart. A fény útja megfordítható. Matematikailag megfogalmazva: A fény azon az úton halad, amelyre az optikai úthossz extrémális (minimális). Az optikai úthossz variációja 0.

( )2 2 2

1 1 1

0

P P P

P P P

cnds ds c dt c t t

v= = ⋅ = −∫ ∫ ∫

Ahol n a törésmutató, c a vákuumban mért fény sebessége, 0t t− a P1 és P2 pontok között mért optikai úthossz.

2

1

0P

P

ndsδ ⋅ =∫

A valóságos úttól igen kicsiny mértékben eltérő út és a valódi út megtételéhez szükséges idő közötti differenciális különbség nulla.

Hogy szól a fényvisszaverődés törvénye? A beesési szög megegyezik a visszaverődési szöggel.

Mit tartalmaz a Snellius-Descartes-féle törési törvény?

Optikailag ritkább közegből optikailag sűrűbb közegbe haladva a fény iránya megváltozik.

by Erik 2010.12.16.

- 19 / 30 -

Mutassa meg, hogy hogyan adódik a törés törvénye a Fermat-elvből!

A feladat, hogy kiszámoljuk a fény legrövidebb ideig tartó útját A és B pont között. Mivel időt szeretnénk kapni, ezért a hossz mértékegységet sebességgel osztva időt kapunk.

( )222 21 2

b d xa xt

c c

+ −+= +

Ennek vesszük a x szerinti deriváltját.

( )222 21 2

b d xdt a xdx

dx c c

+ −+ = +

( )( )

2 2 22

1 1 1 1 1 10 2 2

2 2x d x

c ca x b d x

= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − + + −

( )( )2 2 22

1 10

d xx

c ca x b d x

−= − − ⋅

+ + −

( )( )2 2 22

1 1 d xx

c ca x b d x

−− = ⋅

+ + −

Behelyettesítve a szögfüggvényeket, mivel itt alapvetően derékszögű háromszögekkel

számolunk. _ _

sinszöggel szemközti befogó

átfogóα =

:

1

sin sin

2c c

α β=

11.2

2

sin

sin

cn

c

αβ

= =

Mi az interferencia-maximum ill. interferencia-minimum feltétele, résen történő fényhajlás esetén?

A fénymaximumok irányában a ∆ útkülönbség a félhullámhossznak páratlan számú többszöröse. (Jó közelítéssel.)

( )sin 2 12

d kλα⋅ = + ⋅

Az interferencia-minimum feltétele, hogy a félhullámhossznak páratlan számú többszöröse legyen a ∆ útkülönbség.

sin 22

d kλα⋅ = ⋅

Ahol d a rész szélessége, k ∈ Ν tetszőleges szám, a képletben páratlanság majd a párosság kifejezésében segít, λ a hullámhossz, α pedig a rés és a fény által közrezárt szög.

by Erik 2010.12.16.

- 20 / 30 -

Értelmezze a polarizáció jelenségét!) Ha keskeny egyszínű fénysugarat ejtünk, hátsó felületén feketére festett üvegre 57°-os beesési szöggel és a visszavert fénysugár útjába hasonló síktükröt állítunk úgy, hogy az érkező fény beesési szöge itt is 57°-os legyen, megvizsgálhatjuk a polarizáció jelenségét. A legnagyobb visszaverődést akkor kapjuk, ha a tükrök párhuzamosak. A második tükör 90°-os vagy 270°-os elfordítása olyan helyzetet eredményez, amelynél erről a tükörről nem verődik vissza fény. Ennek magyarázat, hogy az első tükörről olyan fényhullám indul, amelynek a fényvektora csak egyetlen, kitűntetett síkban rezeg. Az ilyen fényhullámot síkban polarizált fénynek nevezzük. A polarizált fényt keltő eszköz a polarizátor. A kísérletben használt másik tükör az úgynevezett analizátor.

Brewster-törvény:

( )sin sin

sin sin 90p p

p

p

n tgα α

αβ α

= = =° −

Ahol n a törésmutató, αp a teljes polarizáció szöge.

by Erik 2010.12.16.

- 21 / 30 -

10. Tétel: Értelmezze a termodinamika alapvető fogalmát és az ezeket összekapcsoló összefüggéseket! Mit nevezünk ideális gáznak?

Elhanyagoljuk a gázrészecskék térfogatát, a molekulák közti kölcsönhatásokat, kivéve a rugalmas ütközést.

Írja fel és nevezze meg az ideális gázokra vonatkozó gáztörvényeket állandó nyomás, állandó térfogat, ill. állandó hőmérséklet esetén!

- Boyle-Mariotte T = állandó 0 0p V p V⋅ = ⋅

- Gay-Lussac I. p = állandó 0 1

0 1

V V

T T=

- Gay-Lussac II. V = állandó 0

0

p P

T T=

- Általános 0 0

0

p V p V

T T

⋅ ⋅=

Írja fel az ideális gáz állapotegyenletét!

mV p R T

M⋅ = ⋅

Ahol V a térfogat, p a nyomás, m a tömeg, M a moláris tömeg, R az egyetemes gázállandó, T a hőmérséklet.

Hogyan adódik ez a normál állapotú, egy mól gázra felírt általános gáztörvényből?

Az Avogadro törvény értelmében, bármely gáz 1 mólnyi mennyisége normál állapotban: ( 50 1,01325 10p Pa= ⋅ ; 0 273,15T K= ° ;

3 30 22,41 10V m

−= ⋅ )

5 3 32

0 0

0

1,01325 10 22,41 108,31

273,15

N mp V m J RkmolKT K

−⋅ ⋅ ⋅⋅ = = =

Ahol 0 273,15 0T K C⇒ ° = °

p V

n RT

⋅ = ⋅ mnM

=

mp V R T

M⋅ = ⋅ ⋅

by Erik 2010.12.16.

- 22 / 30 -

Hogyan számítjuk a rendszerrel hőmennyiséget? Q c m T= ⋅ ⋅ ∆

Ahol c a fajhő, m a tömeg, ∆T a hőmérséklet változás.

Definiálja a fajhőt! Egységnyi tömegű test hőmérsékletét 1°C-kal növelő hőmennyiség nagysága. Egységnyi tömegű anyag 1°C-kal való megváltozásához szükséges hőmennyiség.

Qc

m T=

⋅∆

Milyen kapcsolat van a gázok fajhői között?

p v

Rc c

M− =

Milyen kapcsolat van a gázok mólhői között?

p pC c M= ⋅ v vC c M= ⋅ p vC C R− = p v ic c R− =

i

RR

M=

C: moláris hőkapacitás, mólhő.

by Erik 2010.12.16.

- 23 / 30 -

11. Tétel: Értelmezze a termodinamika I. főtételét általánosan és a speciális folyamatokra! Írja fel és fogalmazza meg az I. főtételt!

Egy rendszerrel közölt hőmennyiség a rendszer belső energiáját növeli és a térfogati munkavégzésre teszi képessé vagy a rendszer entalpiáját növeli és a technikai munkavégzésre teszi képessé.

Kvantitatív alak: U Q W∆ = + Differenciális alak: dU Q Wδ δ= +

H U pV= + pV A térfogati munka.

Két különböző nyomás között a vizsgált anyag összes munkája a technikai munka: 2

1

p

tech

p

W Vdp= ∫

techdH Q Wδ δ= +

techH Q W∆ = + Entalpia: Más néven hőtartalom, felmelegedés. Jele: H mértékegysége: J Értéke a rendszer mennyiségétől (ami az alkotó részecskék számával arányos) függ. A d azt jelenti, hogy állapot függvényről beszélünk, míg a δ azt, hogy egy útfüggvényről beszélünk, U jelentése belső energia, Q a rendszerrel közölt hőmennyiség, W a térfogati munka.

Definiálja és írja fel az ideális gáz belső energiáját! Egy rendszer belső energiáját a rendszerrel közölt hő, és a rendszeren végzett munka változtatja meg.

Kvantitatív alak: U Q W∆ = + Differenciális alak: dU Q Wδ δ= +

Egy rendszer belső energiáját a részecskék együttes mozgási és egymáshoz viszonyított helyzeti energiája adja. (Állapot függvény.)

Írja fel a gázon végzett térfogati munka definícióját! 2

1

p

p

W pdV= − ∫

A negatív előjelet az indokolja, hogy a termodinamikai rendszer összenyomásakor végzett munka valóban pozitív.

by Erik 2010.12.16.

- 24 / 30 -

Írja fel az első főtételben szereplő mennyiségeket izochor, izotermikus, izobár és adiabatikus állapotváltozásokra!

Q ∆U W

Izochor vm

C TM

∆ vm

C TM

∆ 0

.V áll=

.p

állT

=

1 2

1 2

p p

T T=

Izobár vm

C TM

∆ vm

C TM

∆ p V− ∆

.p áll=

.V

állT

=

1 2

1 2

V V

T T=

Izoterm 2

1

lnVm

R TM V

⋅ ⋅ 0 21

lnVm

R TM V

− ⋅ ⋅ .T áll= .pV áll=

1 1 2 2pV p V=

Adiabata 0 vm

C TM

∆ vm

C TM

∆

pV állκ = 1 .T V állκ −⋅ =

1.

Táll

p

κ

κ − =

p

v

c

cκ =

Vezesse le az izotermikus változás esetén a gázon végzett munkát a differenciális alakból kiindulva!

T= állandó esetén dU=0, tehát az első főtétel így alakul:

Q W pdVδ δ= − = 2

1

V

V

Q W pdV= − = ∫

A folyamat során a gázon végzett munka: 2 2

1 1

2

1

lnV V

V V

Vm R T mW pdV dV R T

M V M V

⋅= − = − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

Milyen összefüggéseket ismer az állapotjelzők között adiabatikus állapotváltozás esetén?

1 1 2 2pV p Vκ κ=

1 1 2 2T V T Vκ κ⋅ = ⋅

1 21 1

1 2

T T

p p

κ κ

κ κ− −=

Mi a κ?) A kompresszió modulus.

p

v

c

cκ =

by Erik 2010.12.16.

- 25 / 30 -

12. Tétel: Jellemezze a körfolyamatokat! Hogyan számítjuk ki egy körfolyamat termikus hatásfokát?

Re _ _ _

Re _ _ _fel le

fel fel fel

Q Q QW ndszer által felvett munka

Q Q ndszer által betáplált hőmennyiség Qη

−′= = = = ∑

Rajzolja fel a Carnot-körfolyamatot!

1 2T T≻

Nevezze meg az egyes állapotváltozásokat!

1-2 Izoterm 2-3 Adiabata 3-4 Izoterm 4-1 Adiabata

Írja fel az egyes folyamatokban a gáz munkáját!

1 1 1 lnB

A

VmW Q R T

M V′= = ⋅ ⋅

( ) ( )2 2 1 2 1v vm

W C T T c m T TM

′ = − ⋅ − = − ⋅ −

3 2 2 lnD

C

VmW Q R T

M V′ = = ⋅ ⋅

( ) ( )4 1 2 1 2v vm

W C T T c m T TM

′ = − ⋅ − = − ⋅ −

Hogyan számítjuk ezekből a Carnot-körfolyama hatásfokát?

1 2

1

ln ln

ln

B D

A C

B

A

V Vm R T m R T

V VV

m R TV

η

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅

Használva ezt az összefüggést (bár nem tudom, hogy hogyan):

CB

A D

VV

V V=

Ezt kapjuk:

1 2

1

T T

Tη −= 1 2T T≻

T1

T2

1

2

3

4

by Erik 2010.12.16.

- 26 / 30 -

13. Tétel: Értelmezze a termodinamika II. főtételét és az entrópia fogalmát! Fogalmazza meg a termodinamika második főtételét!

A termodinamika második főtétele arról szól, hogy megszabja a folyamatok irányát. (Például egy pattogó labda felmelegszi, de ha a labdát melegítem, nem kezd el pattogni. Ennek a példának nem mond ellent az első főtételnek (energia megmaradás elve).) Hőenergia nem megy át önként alacsonyabb hőmérsékletű testről magasabb hőmérsékletű testre. Lényege, hogy nem készíthető örökmozgó.

Írja fel az entrópiaváltozást definiáló összefüggést!

Matematikai alak: revQ

dST

δ =

Ahol S az entrópia Tehát az entrópia két pont között az entrópia:

Brev

A

QS

T

δ = ∆∫

Minek a mértéke az entrópia?

Az entrópia az átalakíthatóság mértéke. Megadja, hogy milyen mértékben alakítható vagy nem alakítható át energia hasznosítható munkává.

Fogalmazza meg a második főtételt hőszigetelt, zárt rendszerre az entrópia segítségével!

Hőszigetelt zárt rendszerben, irreverzíbilis folyamatok során a rendszer entrópiája nő. Mivel reverzíbilis folyamatoknál dS = 0, vagyis állandó, így az entrópia változás az irreverzíbilis folyamatok mértéke. (Reverzíbilis = megfordítható, irreverzíbilis = nem megfordítható folyamat.)

Írja fel a szabad energiát definiáló összefüggést!

0

0

F U T S

dF

F

= − ⋅≤

∆ ≤

Ahol F a szabad energia, S az entrópia, U a gáz belső energiája és T a hőmérséklet.

Fogalmazza meg a második főtételt a szabad energiával! Állandó hőmérsékleten és állandó térfogat mellett csak olyan irreverzíbilis folyamatok játszódhatnak le, melynek során a rendszer szabad energia csökkenésének irányába mennek végbe.

0F∆ ≤ Energiaminimumra törekvés elve.

by Erik 2010.12.16.

- 27 / 30 -

Mi a szabad entalpia? Állandó hőmérsékleten és nyomáson lejátszódó reverzibilis folyamatok maximális hasznos munkája.

0

0

H T S G

dG

G

− ⋅ =≤

∆ ≤

Ahol G a szabad entalpia, H az entalpia, T a hőmérséklet és S az entrópia

Fogalmazza meg a második főtételt a szabad entalpiával! Állandó hőmérsékleten és állandó térfogat mellett csak olyan irreverzíbilis folyamatok játszódhatnak le, melynek során a rendszer szabad entalpiája csökken.

by Erik 2010.12.16.

- 28 / 30 -

14. Tétel: Értelmezze a termodinamika fogalmait és törvényeit a molekulák mozgásával! Írja fel az ideális gáz állapotegyenletét a kinetikus elmélet alapján!

pV N k T= ⋅ ⋅ Ahol p a nyomás, V a térfogat, N a molekulák száma, k a Boltzmann-állandó.

A

Rk

N=

Ahol R az univerzális gázállandó, NA pedig az Avogadró-állandó.

Mit nevezünk termodinamikai valószínűségnek? Az egy makro állapotokhoz tartozó mikro állapotok számát. Jele: w

Írja fel az entrópiát definiáló Boltzmann-egyenletet! lnS k w= ⋅

2

1

lnw

S kw

∆ = ⋅

Ahol S az entrópia, k a Boltzmann-állandó, w a termodinamikai valószínűség.

Fogalmazza meg a második főtételt a termodinamikai valószínűség segítségével!

A magára hagyott rendszer úgy változik, hogy a változás során növekedjen a termodinamikai valószínűsége.

Írja fel és fogalmazza meg a Boltzmann-eloszlást kifejező összefüggést! Klasszikus mikroobjektumok rendszerének legvalószínűbb eloszlásakor (a legtöbb

mikroállapottal megvalósítható makroállapotnál) az i-edik cellában iW

k Te−

⋅ -vel arányos

részecske található. (A cellák a fáziscellák, és a iW

k Te−

⋅ -vel arányos elhelyezkedés azt jelenti, hogy kvantált.)

0

iW

k TiN N e

−⋅=

Ahol Ni az egy térfogat egységre (fáziscellára) jutó részecskék száma, N0 az összes vizsgált részecske a fázistérben, wi a termodinamikai valószínűség, k a Boltzamann-állandó és T a hőmérséklet.

Írja fel és fogalmazza meg az ekvipartíció tételét!

A molekulák minden szabadsági fokára azonos 2

fk T⋅ energia jut.

21

2 2

fv k Tµ ⋅ = ⋅

Ahol µ a molekulák tömege, v a molekulák sebessége f a szabadsági fokok száma, , k a Boltzamann-állandó és T a hőmérséklet.

by Erik 2010.12.16.

- 29 / 30 -

Hogyan számítjuk az ideális gáz belső energiáját a kinetikus elmélet alapján? 21

2 2

fU N v N k Tµ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Ahol N a molekulák száma, µ a molekulák tömege, v a molekulák sebessége f a szabadsági fokok száma, , k a Boltzamann-állandó és T a hőmérséklet.

Milyen összefüggés van a gázok fajhői és a szabadsági fokok között?

2vf R

cM

= ⋅

2

2pf R

cM

+= ⋅

Ahol f a szabadsági fokok száma, R az egyetemes gázállandó, M a moláris tömeg.

Milyen összefüggés van a gázok fajhői és a szabadsági fokok között?

2vf

C R= ⋅

2

2pf

C R+= ⋅

Ahol f a szabadsági fokok száma, R az egyetemes gázállandó, M a moláris tömeg.

Ábrázolja a Maxwell-féle energiaeloszlási sűrűségfüggvényt!

by Erik 2010.12.16.

- 30 / 30 -

15. Tétel: Értelmezze a speciális relativitáselmélet alapvető megállapításait és következményeit! Mi az alapvető megállapítása a speciális relativitáselméletnek?

A fény minden egyenletesen mozgó rendszerből (inerciarendszer) azonos sebességűnek adódik, ugyan azaz állandó. Nincs a világűrt kitöltő éter. (Éter: az elektromágneses hullámok hordozója.)

Írja fel a speciális relativitáselméletben használt Lorentz-transzformáció összefüggéseit!

2

21

x vtx

v

c

−′ =−

y y′ = z z′ = 2

2

21

xvt

ctv

c

−′ =

−

Mit tartalmaz az idődilatáció (időtartam meghosszabbodás)? Van egy K és egy K’ rendszerünk. A K’ rendszerből nagyobbnak látszik az időtartam, azaz lassabbnak tűnnek a folyamatok.

2 1t t t∆ = − 2 1t t t′ ′ ′∆ = − 2 1221

t tt t

v

c

−′∆ = ∆−

≻

Mit fejez ki a hosszúságkontrakció?

Mozgó rendszerből vizsgálva, a mozgás irányába rövidülést észlelünk.

2 1x x x∆ = − 2

21

vx x x

c′∆ = ∆ − ∆≺

Írja fel a nagy sebességű testek esetében érzékelt tömegnövekedést leíró összefüggést!

Ahol m a relativisztikus tömeg, m0 a nyugvó tömeg (az eredeti tömeg), v mozgó tömeg sebessége, c a fénysebessége.

Ezt a számítást akkor használjuk, ha 6

cv ≥

83 10 mc s= ⋅

0

2

21

mm

v

c

=−

Írja fel a tömeg-energia ekvivalenciát kifejező Einstein-féle összefüggést!

2 20kinW m c m c= ⋅ − ⋅

2W m c= ⋅ 2

0 0W m c= ⋅ Ahol W a relativisztikus tömegű test összenergiája, W0 a test nyugalmi energiája, m a relativisztikus tömeg és m0 a nyugalmi tömeg. Mi ennek a fizikai tartalma?

A tömeg és energia az anyagnak egymástól elválaszthatatlan megnyilvánulásai.