1

Folyadékok egyensúlyát leíró Folyadékok egyensúlyát leíró egyenletekegyenletek

2

Fizikai terek:

az áramló közegek (kontinuumok) fizikai jellemzői a térben folytonosan oszlanak meg. E térbeli megoszlásokat gyűjtőnévvel fizikai tereknek nevezzük.

3

Jellemzők lehetnek:Jellemzők lehetnek:

skalár mennyiségek (csak nagyságuk van) pl.: nyomás, hőmérséklet, térerősség

vektor mennyiségek (nagyság, irány, értelem)

pl.: sebesség, gyorsulás, erő

4

Skalár mennyiségek skalár térben, vektor mennyiségek vektor térben kezelhetők.

Speciális vektor tér az erőtér: erőtér az a térbeli tartomány, amelynek bármely pontjában meghatározott irányú, nagyságú és értelmű erő hat.

5

Áramlástanban:Áramlástanban:

Meghatározott irányú és nagyságú erő hat az erőtérben levő folyadékelemre.

folyadékok mozgása erőtérben.

Következménye:

6

gravitációs erőtér: föld tömeg vonzásából adódik (minden áramlástechnikai feladatnál fellép)

centrifugális erőtér mágneses erőtér, stb.

A térerők burkoló görbéi az erővonalak.

erővonalak

Az erőteret a létrehozó jelenségről nevezzük el.

7

Az erőtér irányában elmozduló tömeg munkát végez, a térerő ellenében csak munkabefektetéssel lehet elmozdulni.

Az erőtér valamely pontjában az egységnyi tömegre ható erőt térerősségnek nevezzük.

dV

dF

dm

dFE

tömegerő dVEdF

térerő

8

A teljes rendszerre ható tömegerők (térfogati erők) eredője:

mV

mEEdmdVEF

9

Az erőtérben nyugvó tömegegységnek munkavégző képessége van, melyet potenciálnak nevezünk.

A munka dW Fds mEds

2

1

2

1

2

1

EdsmFdsdW

általános egyenlete alapján:

10

az egységnyi tömeg munkavégző képessége (potenciál)

dU Eds

m

mEds

m

dW

A valóságban helyesen

dU Eds ill. EdU

ds

ahol a negatív előjel arra utal, hogy a térerő mindig a csökkenő potenciál irányába mutat.

11

Az egységtömeg munkája azaz a potenciál:

dU Eds egyenlet alapján

2

1

2

1

z

z

EdsdU E=const

][][][ 1221

2

1zzEsEU z

z

U U E z z2 1 2 1 ( )

12

Munkát kell befektetni, ha

1-ből 2-be kívánjuk

emelni a testet.z2

x

z

2

1z1

U U g z z g z z2 1 2 1 2 1 ( )( ) ( )

Ha nehézségi erőteret vizsgálunk a fenti koordináta-

rendszerben, tehát z g akkor E=-g

13

Bármely úton 1-ből a 2-be jutáshoz munka befektetés szükséges (egységnyi tömeg esetén a potenciál):

2

1

2

1

EdsdU

2-ből 1-be munkaszolgáltatás

2

1

1

2

1

2

EdsEdsdU

2

1

E

14

akkor az erőtér potenciálos vagy más néven konzervatív erőtér (Mi csak ilyennel foglalkozunk)

A munka csak a kezdő ill. véghelyzettől függ.

(A tömeg mechanikai energiatartalma nem változik.)

Ha azaz

Eds 0 igaz

01

2

2

1

EdsEds

15

Ilyen erőterek:

A föld gravitációs erőtere

az egyenes vonalú gyorsuló mozgás

tehetetlenségi erőtere

centrifugális erőtér

elektrosztatikus erőtér

16

2

1

equipotenciális felület

EA tér azonos potenciálú felületeit, amelyek munkavégzés képessége azonos equipotenciálos felületeknek nevezzük.

17

EdU

dsE g ;

a jelölt koordináta-rendszer esetén

dU Eds

U

U

z U

dsgEdsdU0 0 0

zUU sgU 0][][

0

gzUU 0 gzUU 0

Például egységtömeg esetén z magasságban a potenciál:

z

x

F Ö L D

g

s=z U=U

z=0 U=U0

z

18

potenciáldU Edspotenciális energia

FdsmEdsmdUdWdEP )(

2

1

2

1

2

1

FdsdEdW p

)( 12122/1 ssFEEW pp

E E F s sp p2 1 1 2 ( )

Általános megfogalmazás:

19

E E F s sp p1 2 2 1 ( )

A potenciális energiák különbsége egyenlő azzal a munkával, amelyet a konzervatív erőknek kell végeznie ahhoz, hogy a testek 1-ből a 2-be kerüljenek.

általános alak: EpF grad

FdE

dsp

20

Sebességtér:Sebességtér:

(a vektortér analógiája alapján dolgozzuk fel)

A teret, melyet áramlóáramló folyadék tölt ki sebességtérsebességtérnek nevezzük.

A tér minden egyes pontjához (tömegpontjához) tartozik egy sebességvektor (nagyság, irány és helyzet)

21

Azokat a görbéket, melyeknek érintői az adott pillanatban a sebességvektorok, áramvonalnakáramvonalnak nevezzük.

equipotenciális felület

1

2

22

Formai analógia:Formai analógia:

erőtérerőtér SebességtérSebességtér

- erővonalak - áramvonalak

- térerő - sebesség

E vs

- potenciál - sebesség potenciál

EdU

ds v

d

dss

EdsdU dsvd s

23

A sebességtér potenciálja:A sebességtér potenciálja:

d v dss A vektortér analógiájára, ha a sebességtér 1-es

pontjából a 2-esbe.

d v dss 1

2

1

2

2 1 1

2 v dss

24

Majd 2-esből az 1-esbe mozgatjuk a tömegpontot

d v dss 2

1

2

1 1 2 2

1 v dss

és 2 1 1 2 1

2

2

1 ( ) v ds v dss s

v ds v dss s1

2

1

20

potenciális áramlásról beszélünk.

25

Egyszerűbben: ha egy zárt görbe mentén vett potenciál értéke 0 (zérus) potenciálos az áramlás, jelölése:

d 0(Áramlásban a v·ds szorzatot cirkulációcirkulációnak nevezzük)

Potenciálos az áramlás, ha a sebesség zárt görbe mentén vett cirkulációja zérus vds

s

0Bővebb magyarázat nélkül:

a potenciális áramlások egyben örvénymentes (rotációmentes, forgásmentes) áramlások is.

26

Fizikai szemléltetése:Fizikai szemléltetése: Potenciálos örvénymentesPotenciálos örvénymentes

27

Nem potenciálosNem potenciálosörvényesörvényes

28

potenciálos

áramlás

rotációs

áramlás

vt

vt

vt

r

vt

r

29

potenciálos

áramlás

rotációs

áramlás

perdületállandóság

vc

rt

hiperbola

v r ct

v b rt

vt

r

vt

regyenes

30

Egy sebességtér stacionáriusstacionárius, ha a sebesség a tér minden pontjában időben állandó; azaz

v f ss ( )

és instacionáriusinstacionárius az áramlás, ha a sebesség a tér azonos pontjában időfüggő:

v f ts ( )

Más néven: stacionárius = időállóstacionárius = időálló

instacionárius = nem időállóinstacionárius = nem időálló

31

Példa: időálló:időálló: szivattyúból kilépő víz v=áll. sebessége

nem időálló:nem időálló: szabad kifolyású tartály kilépési

sebessége

32

Áramlás folytonosságának Áramlás folytonosságának törvénye:törvénye:

KONTINUITÁS TÉTELEKONTINUITÁS TÉTELE

Anyagmegmaradás elve mozgó Anyagmegmaradás elve mozgó kontinuumokra:kontinuumokra:

Tetszőlegesen zárt rendszer m tömege az áramlás folyamán nem szaporodhat sem, nem csökkenhet.

33

dm

dt0 ha dm d V ( )

dm

dt

d V

dt

( )0

dm

dt tV

V

t

0

34

Összenyomhatatlan (inkompresszibilis) közegek esetén

t0 azaz a sűrűség nem

függvénye az időnek.

Folyadékoknál 100 bar alatt mindig igaz. Gázok összenyomhatatlanoknak tekinthetünk ha sebességük lényegesen kisebb, mint a hang terjedési sebessége.

v a m

s

35

(Mack számmal lehet jellemezni)

Mv

aa

Ma < 1 hangsebesség alatti (szubszonikus)

Ma > 1 hangsebesség feletti (szuperszonikus)

Ma > 5 (hiperszonikus)

36

Vizsgáljuk meg a differenciálegyenlet második tagját:

V

t0

Tekintsük az elemi áramcsövet

Áramcső egy K zárt görbére illeszkedő áramvonalakból álló áramfelület, melynek dA keresztmetszete olyan kicsi, hogy a sebességeloszlást egyenletesnek vehetjük.

V

t0 zárt rendszerben

37

vs

K

dA dq v dAv s

V

tdq v dAv s m

s

3

Adott felületen átáramló tömegáram:

dqV

tdq v dAm v s

kg

s

v dAsA

0

Összegezve az összes áramlási keresztmetszetet

38

A1

dA

A2

dA

vs1

vs2

Egy kijelölt áramcső bármely két keresztmetszetére igaz, hogy

1 1 2 2

21

0 v dA v dAs sAA

1 1 1 2 2 2 0 v A v As s

1 1 1 2 2 2 v A v As s

azaz általánosságban

v A állandókg

s

39

Stacionárius áramlás esetén az áramcső bármely keresztmetszetén időegységében ugyanannyi tömeg halad át.

INKOMPRESSZIBILIS közeg esetén

állandó

v A állandó m

s

3

Összenyomhatatlan közegÖsszenyomhatatlan közeg áramlása esetén az áramcső bármely keresztmetszetén időegység alatt ugyanakkora térfogatú közeg halad át.