formas cuadraticas

Miguel Ángel García Muñoz

TEMA IV: FORMAS CUADRÁTICAS.

OBJETIVOS:

Generales:

1. Captar el concepto de aplicación bilineal entre espacios vectoriales, así como el caso particular d e forma bilineal.

2. Captar el concepto de forma cuadrática asociada a u na forma bilineal.

Específicos:

•••• Conocerá el concepto de aplicación bilineal y sabrá determinar cuando una aplicación lo es.

•••• Sabrá calcular la expresión matricial de una forma bilineal.

•••• Sabrá determinar cuando una forma bilineal es simétrica o antisimétrica.

•••• Conocerá la relación entre las expresiones matricia les de una forma bilineal respecto de dos bases distint as.

•••• Conocerá el concepto de forma cuadrática asociada a una forma bilineal en un espacio vectorial.

•••• Conocerá el concepto de forma polar de una forma cuadrática y sabrá calcularla.

•••• Sabrá calcular la expresión matricial de una forma cuadrática.

•••• Sabrá clasificar las formas cuadráticas reales en c ada caso particular.

•••• Conocerá los invariantes lineales de una forma cuadrática.

BIBLIOGRAFÍA

• “Álgebra lineal con métodos elementales”, L. Merino , E. Santos, 1999.

• “Álgebra y Geometría Analítica”, F. Granero. McGraw -Hill, 1994.

• "Álgebra lineal y teoría de matrices", R. Barbolla y P. Sanz, 1998.

• “Álgebra lineal y geometría: curso teórico-práctico ”, J. García-García y M. López Pellicer. Marfil, 1992.

• “Álgebra lineal y geometría: ejercicios”, J. García -García y M. López Pellicer. Marfil, 1991.

• “Problemas de álgebra lineal: cuestiones, ejercicio s y tratamiento en Derive”, P. Sanz, 1998.

Álgebra II Dipl. Estadística + Ing. Inf. Gestión


I. APLICACIONES BILINEALES Y FORMAS BILINEALES. Sea � un cuerpo y sean U, V y W espacios vectoriales sobre �. Se dice que una aplicación f: U × V → W es una aplicación bilineal si verifica:

1. Para cada u ∈ U, la aplicación f u: V → W dada por f u(v) = f(u, v) es lineal.

2. Para cada v ∈ V, la aplicación f v: U → W dada por f v(u) = f(u, v) es lineal.

En particular, si consideramos W = �, las aplicaciones bilineales se denominan formas bilineales . Nos centraremos en el caso en que U = V:

Sea V un espacio vectorial sobre �, una forma bilineal en V es una aplicación:

f: V × V → � verificando:

1. f(u 1 + u 2, v) = f(u 1, v) + f(u 2, v), 2. f(u, v 1 + v 2) = f(u, v 1) + f(u, v 2), 3. f( αu, v) = αf(u, v), 4. f(u, αv) = αf(u, v),

para cualquiera α ∈ �, u, v, u 1, u 2, v 1, v 2 ∈ V.

Caracterización Una aplicación f: V × V → � es una forma bilineal si, y sólo si,

(i) f( αu1 + βu2, v) = αf(u 1, v) + βf(u 2, v), (ii) f(u, αv1 + βv2) = αf(u, v 1) + βf(u, v 2)

para cualesquiera α, β en � y u, v, u 1, u 2, v 1, v 2 en V.

Propiedades Sea f: V × V → � una forma bilineal, entonces se verifica:

1. f(u, 0) = f(0, v) = 0, ∀u, v ∈ V. 2. f(-u, v) = f(u, -v) = -f(u, v), ∀u, v ∈ V.

3. ( f( a b a b f u vi j i j i ji, jji

u vi j, ) ( , )= ∑∑∑ , ∀ai , b j ∈ �, u i ,

v j ∈ V.

Una forma bilineal f: V × V → � es simétrica si verifica f(y, x) = f(x, y), para cualesquiera x, y ∈ V. De forma análoga, se dice que f es antisimétrica (o alternada) si f(y, x) = -f(x, y), para cualesquiera x, y ∈ V.

Lema Sea V un espacio vectorial sobre � y f: V × V → �

una forma bilineal. Si � = � o � = � se verifica que f es antisimétrica ⇔ f(x, x) =0, para cada x ∈ V.

Curso 07-08 Tema 4: Formas cuadráticas


II. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UNA FORMA BILINEAL.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y s ea B = {e 1,...,e n} una base de V. Dada una forma bilineal f: V × V → �, consideremos la matriz

A =

a a a

a a a

a a a

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

L

L

M M O M

L

:

donde a ij = f(e i , e j ), ∀i,j = 1,...,n. Dados dos vectores cualesquiera de V, x = (x 1,...,x n) B e y = (y 1,...,y n) B, se tiene:

f(x, y) = ( x x x )

a a a

a a a

a a a

y

y

y

X AY1 2 n

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

1

2

n

tK

L

L

M M O M

L

M

=

Esta expresión recibe el nombre de ecuación matricial de la forma bilineal f y la matriz A el de matriz asociada a f respecto de la base B.

Toda matriz cuadrada es la matriz asociada a una f orma bilineal.

Proposición Las matrices asociadas a la misma forma bilineal e n distintas bases son matrices congruentes.

Como dos matrices congruentes son equivalentes, am bas tienen igual rango. Se define el rango de una forma bilineal f, rg(f), como el rango de su matriz asoci ada respecto de cualquier base.

A partir de la matriz asociada a una forma bilinea l podremos decir si esta es simétrica o antisimétrica .

Proposición Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, f una forma bilineal en V y A la matriz asociada a f resp ecto de alguna base de V. Entonces:

1.f es simétrica ⇔ A es una matriz simétrica. 2.f es antisimétrica ⇔ A es antisimétrica.

Proposición Toda forma bilineal puede descomponerse como suma de una forma bilineal simétrica y una antisimétrica.



III. FORMAS CUADRÁTICAS. MATRIZ ASOCIADA.

Sea V un espacio vectorial sobre � y f: V × V → � una forma bilineal en V. Se llama forma cuadrática asociada a f a la aplicación:

Q: V → � definida por Q(x) = f(x, x).

Propiedades Sea Q: V → � la forma cuadrática asociada a una forma bilineal f. Para cualesquiera λ ∈ �, x, y ∈ V se verifica:

1. Q(0) = 0. 2. Q( λv) = λ2Q(v). 3. Q(x + y) = Q(x) + Q(y) + f(x, y) + f(y, x).

Distintas formas bilineales pueden dar lugar a la misma forma cuadrática. De hecho, si f es una forma bilineal simétrica y Q es la forma cuadrática asoci ada a f, entonces para cada forma bilineal antisimétrica g s e tiene:

Q(x) = f(x, x) = f(x, x) + g(x, x) pues g(x, x)=0 al ser antisimétrica. Así Q también es la forma cuadrática de f + g. Esto es, la forma cuadrá tica asociada a una forma bilineal sólo depende de la pa rte simétrica de esta.

Proposición Dada una forma cuadrática Q en V, existe una única forma bilineal simétrica f p cuya forma cuadrática asociada es Q. Tal forma bilineal simétrica recibe el nombre de forma polar de la forma cuadrática Q. Corolario Sea Q una forma cuadrática en V asociada a la form a bilineal g. La forma polar f p de Q se puede obtener como:

1. f p(x, y) = ½[Q(x + y) - Q(x) - Q(y)] 2. f p(x, y) = ¼[Q(x + y) - Q(x - y)] 3. f p(x, y) = ½[g(x, y) + g(y, x)]

Dada una forma cuadrática Q en V y dada una base B de V, llamaremos matriz asociada a Q respecto de B a la matriz asociada respecto de B a la forma polar de Q. En pa rticular la matriz asociada a una forma cuadrática es siempr e una matriz simétrica. Llamaremos rango de Q al rango de su matriz asociada. De la expresión de Q tenemos

Q(x) = X t AX = a x xij i ji, j 1

n

=∑

Como a ij = a ji se obtiene:

Q(x 1,...,x n) = a xii i2

i 1

n

=∑ + 2 a x xij i j

i < j∑



Para n=2 y n=3, se obtiene respectivamente:

Q(x,y) = a 11x2 + a 22y2 + 2a 12xy

Q(x,y,z) = a 11x2 + a 22y2 + a 33z2 + 2a 12xy + 2a 13xz + 2a 23yz

La conjugación respecto de una forma cuadrática es un concepto análogo al de ortogonalidad para un produc to escalar. Sea Q: V → � una forma cuadrática y sea f p: V × V → � su forma polar. Dos vectores x, y ∈ V se dice que son conjugados respecto de Q si f p(x, y) = 0. Se dice que el vector x es autoconjugado si es conjugado consigo mismo, esto es: si Q(x) = 0.

Dado un conjunto S ⊂ V, consideremos el conjunto de los vectores de V conjugados con todos los vectores de S:

Sc ={x ∈ V/ f p(x, y)=0, ∀y ∈ S}

Proposición Para cada subconjunto no vacío S de V, el conjunto S c es un subespacio vectorial de V. Además, S c = (L(S)) c.

Se llama núcleo o radical de la forma cuadrática Q: V → � al subespacio de V:

N(Q) = V c = {x ∈ V/ f p(x, y)=0, ∀y ∈ V}

Se dice que la forma cuadrática Q es no degenerada si N(Q)={0}, es decir, el único vector que es conjugad o con todos los de V es el cero.

Se dice que Q es una forma cuadrática definida si Q(x) ≠ 0 para cada 0 ≠ x ∈ V, esto es, si no existe ningún vector autoconjugado no nulo. Evidentemente cada fo rma cuadrática definida es no degenerada.

IV. CLASIFICACIÓN DE FORMAS CUADRÁTICAS REALES.

Lema Sea Q: V → � una forma cuadrática real. Si Q es definida entonces: o bien Q(x) > 0; ∀ 0 ≠ x ∈ V, o bien Q(x) < 0; ∀ 0 ≠ x ∈ V.

Diremos que una forma cuadrática es definida positiva si Q(x) > 0; ∀ 0 ≠ x ∈ V y definida negativa si Q(x) < 0; ∀ 0 ≠ x ∈ V.



Una forma cuadrática Q que no es definida, se dice que es semidefinida positiva si Q(x) ≥ 0, ∀ x ∈ V y semidefinida negativa si Q(x) ≤ 0, ∀ x ∈ V.

Una forma cuadrática que no es definida ni semidefinida, se dice que es indefinida .

A veces no es tan fácil determinar si una forma cuadrática es definida o semidefinida. Sólo será fá cil clasificarla cuando por medio de un cambio de base podemos expresarla como suma de cuadrados multiplicados cad a uno por un coeficiente. El problema se reduce a obtener una base de V para la cual la matriz de Q sea diagonal ya que si la matriz respecto de B es:

d 0 0

0 d 0

0 0 d

1

2

n

L

L

M M O M

L

entonces, si x = (x 1,...,x n) B se tiene

Q(x) = d x d x . . . d x1 12

2 22

n n2+ + +

V. INVARIANTES LINEALES DE UNA FORMA CUADRÁTICA.

Como sabemos, las matrices asociadas a la misma fo rma cuadrática en distintas bases son congruentes, el p roblema consiste en dada una matriz simétrica A, determinar una matriz diagonal D congruente con A. Un primer métod o para obtenerla es la diagonalización por semejanza ortog onal, recordar que cada matriz simétrica es diagonalizabl e por semejanza ortogonal, es decir, existe una matriz or togonal P de forma que D = P t AP.

Teorema Sea V un espacio vectorial sobre � de dimensión finita y sea Q: V → � una forma cuadrática. Existe una base de V para la cual la matriz asociada a Q es di agonal.

Veamos como para una forma cuadrática real Q, el número de elementos positivos y de elementos negati vos en la forma diagonal es un invariante de Q, esto es: e n el proceso de diagonalización por congruencia el resul tado es esencialmente independiente del camino seguido.

Teorema (Ley de inercia de Silvester) Sea V un espacio vectorial sobre � de dimensión finita y sea Q: V → � una forma cuadrática. Si D 1 y D 2 son matrices diagonales asociadas a Q respecto de d istintas bases, entonces el número de elementos positivos y elementos negativos en D 1 y D 2 es el mismo.



Llamaremos signatura de la forma cuadrática real Q al par sg(Q) = (p, q) donde p es el número de elemento s positivos (valores propios positivos de la matriz d e Q) y q el de negativos (valores propios negativos) en una forma diagonal de Q. Por otra parte, el rango de Q es igu al al número de filas no nulas de su forma diagonal y por tanto, rg(Q) = p + q.

La signatura de una forma cuadrática permite clasificarla de forma fácil:

Teorema Sea Q: V → � una forma cuadrática real y siendo n = dim(V), entonces:

1. Q es definida positiva ⇔ sg(Q) = (n, 0). 2. Q es definida negativa ⇔ sg(Q) = (0, n). 3. Q es semidefinida positiva ⇔ sg(Q) = (r, 0),

con r < n. 4. Q es semidefinida negativa ⇔ sg(Q) = (0, s),

con s < n. 5. Q es indefinida ⇔ sg(Q) = (r, s) con r, s no

nulos.

A veces el calculo de los valores propios no es fá cil, por ejemplo si la matriz es de orden mayor o igual a 3 y con valores propios no enteros es imposible aplicar Ruffini para su calculo. Veamos ahora un nuevo método basad o en transformaciones elementales que resuelven este pro blema.

Proposición Dos matrices cuadradas de igual orden A y B son congruentes si, y sólo si, una puede obtenerse a pa rtir de la otra haciendo transformaciones elementales, las mismas por filas que por columnas.

Por tanto, debemos de desarrollar un algoritmo par a obtener a partir de A una matriz diagonal por medio de transformaciones elementales de este tipo. Puesto q ue toda matriz congruente con una matriz simétrica es simét rica y las matrices diagonales son simétricas, nuestra mat riz de partida A a de ser simétrica.

Proposición Toda matriz simétrica real es congruente a una mat riz diagonal en cuya diagonal sólo aparecen los valores 0, 1 y -1.

Corolario Sea Q una forma cuadrática real con matriz asociad a A, entonces:

1.Q es definida positiva ⇔ A es congruente a la matriz identidad I.



2.Q es definida negativa ⇔ A es congruente a la matriz identidad -I.

Dada la matriz simétrica A, las submatrices principales de A son aquellas situadas en su esquin a superior izquierda. Para cada k = 1,...,n, denotare mos por Ak a la submatriz de A de orden k:

A a

a a

a ak ij i,j=1,...,k

11 1k

1k kk

= =

( )

L

M O M

L

Teorema (Criterio de Silvester o de los menores principales) Sea Q: V → � una forma cuadrática real y sea A la matriz asociada a Q respecto de alguna base de V. E ntonces:

1. Q es definida positiva ⇔ det(A k) > 0, para cada k = 1,...,n.

2. Q es definida negativa ⇔ (-1) k det(A k) > 0, para cada k = 1,...,n.

3. Si det(A k) ≠ 0 y no se cumple 1 y 2 entonces Q es indefinida.

4. Q es semidefinida positiva si se cumple det(A k) > 0, para cada k = 1,...,n-1 y det(A) = 0.

5. Q es semidefinida negativa si se cumple (-1) k det(A k) > 0, para cada k = 1,...,n-1 y det(A) = 0.

6. Si det(A k) ≠ 0, para cada k = 1,...,n-1 y det(A) = 0 y no se cumple 3 y 4 entonces Q es indefinida.

formas cuadraticas

Documents