fra venstre: philip trøst kristensen, peter lodahl og

fra venstre; Philip Trøst Kristensen, Peter Lodahl og Søren Stobbe

fra venstre: Philip Trøst Kristensen, Peter Lodahl og Søren Stobbe

COM•DTU Optiske horisonter

Kapitel 2

Anvendelser af nanoteknologi og nanofotonik

Kvanteoptik i et farvet vakuum

af Søren Stobbe, Philip Trøst Kristensen og Peter Lodahl

Højeffektive solceller, lynhurtige lasere og kvan-tekryptografikoder, der er umulige at bryde. Dette er nogle af de mange spændende perspektiver for anvendelser af halvleder kvanteoptik. Indenfor kvanteoptikken udnytter man de kvantemekaniske egenskaber ved stof og lys til at opnå effekter, der er helt forskellige fra hvad vi kender fra den klas-siske fysik. Ikke desto mindre er disse nye fæno-mener virkelige, da de er påvist i eksperimenter. De kvanteoptiske effekter udforskes og udnyttes i særlige materialer som kaldes fotoniske krystaller. Disse materialer har meget specielle optiske egen-

skaber, som kan designes efter behov. Fotoniske krystaller fremstilles med avancerede moderne me-toder indenfor nanoteknologien. Nanoteknologi er også forudsætningen for at fremstille kvantepunk-ter, som kan opfattes som ”kunstige atomer”, der er få nanometer store (1 nanometer = 10-9 meter). Kvantepunkter udgør en af grundbyggestenene i nanofotonik. I dette kapitel vil vi give en introduk-tion til fysikken bag disse begreber og se eksem-pler på nogle af de anvendelser fotoniske krystaller og kvantepunkter forventes at få i fremtiden.

Optiske horisonter COM•DTU30

3D fotonisk krystal set indefra. Lysudsendelsen fra atomer placeret indeni den fotoniske krystal kan kontrolleres.

COM•DTU Optiske horisonter31

Kvanteoptik i et farvet vakuumKapitel 2


Spontan emission af lys fra atomer og kvantepunkterKvantemekanikkens love spiller en afgørende rolle

i forståelsen af vekselvirkningen mellem lys og stof.

I dette afsnit vil vi beskrive den kvantemekaniske

teori for lys med udgangspunkt i vekselvirkningen

mellem lys og atomer.

I 1913 opstillede Niels Bohr sin atommodel i hvil-

ken elektronerne i et atom kan bevæge sig i baner

svarende til bestemte tilladte energier. Alle energi-

er, der ligger mellem de tilladte baners energier, er

derimod forbudte. Når en elektron henfalder fra en

anslået tilstand med høj energi (E2) til en tilstand

med lavere energi (E1) udsendes en lyspuls, en så-

kaldt foton, med en energi svarende til forskellen i

energien mellem de to elektrontilstande. Dette er

illustreret i Figur 2-1 og kaldes spontan emission af

lys. Det udsendte lys har bølgelængden

(1) λ = ch(E2-E

1),

hvor c = 3.00108 m/s er lysets hastighed og h =

6.6310-34 Js er Plancks konstant. Da bølgelæng-

den afhænger af de mulige energier i atomet vil

der fra en given type atom (f.eks. brintatomet) kun

kunne udsendes lys med visse bestemte bølgelæng-

der. Da farven af lyset bestemmes direkte af bøl-

gelængden betyder dette, at der til hver type atom

knytter sig en række bestemte farver.

Spontan emission udgør princippet bag både al-

mindelige glødepærer og lysdioder. I begge tilfælde

benytter man en elektrisk strøm til at anslå elek-

troner til tilstande med høj energi, og den energi

udstråles som lys når elektronerne henfalder til la-

vere energitilstande. I næste afsnit ser vi nærmere

på hvordan spontan emission foregår og kan be-

regnes, men først vil vi introducere kvantepunkter,

der benyttes i stedet for atomer i mange moderne

eksperimenter.

Enkelte atomer er små og bevægelige og derfor me-

get besværlige at håndtere. Dertil kommer, at der

fra naturens side kun er et begrænset antal forskel-

lige atomer og dermed energitilstande til rådighed.

I mange praktiske anvendelser er det derfor en stor

fordel at udnytte metoder fra halvlederteknologien,

hvor man beskæftiger sig med faste stoffer (f.eks.

silicium), der er bygget op af mange atomer.

En halvleder er et materiale, der ligesom atomer

har et energiområde med forbudte energier, et

energigab. Ligesom i atomer, kan en elektron med

energi over energigabet henfalde til en tilstand med

energi under gabet, hvorved der udsendes en foton.

I øvrigt er moderne nanoelektronik, som sidder i

f.eks. mobiltelefoner og computere, netop opbyg-

get af halvledere såsom silicium. Det forbudte

energiområde er forudsætningen for den vigtigste

komponent i digital elektronik: transistoren.

Hvis man indlejrer én type halvledermateriale i

et andet halvledermateriale kan man begrænse

Figur 2-1. Et atom består af en atomkerne og elektroner, der bevæger sig om kernen. Vakuumfluktuationer (illustreret med stiplede bølgepakker) vil kunne påvirke atomet. Starter man med en elektron i en anslået energitilstand (tegning til venstre) vil denne påvirkes af de tilstedeværende vakuumfluktuationer. Disse kan stimulere atomet til at henfalde til en lavere liggende energitilstand (tegning i midten). I denne proces dannes en foton (blå bølgepakke i tegningen til højre) med en energi svarende til forskellen i energi mellem de to elektrontilstande.


COM•DTU

Kapitel 2

Optiske horisonter33

elektronens bevægelse i materialet til et meget

lille område, som illustreret i Figur 2-2. På denne

måde kan man begrænse antallet af mulige ener-

gitilstande, ligesom en elektron der er begrænset

i et atom har et begrænset antal mulige energitil-

stande. Kvantepunkter har typiske udstrækninger

på 5-20 nm, og et eksempel på kvantepunkter er

vist i Figur 2-3. Kvantepunkter er noget større end

atomer, der typisk har udstrækninger på omkring

0.1 nm, og dette er en fordel, da kvantepunkter

hermed lettere kan håndteres end atomer. Dertil

kommer at man kan designe kvantepunkter til at

have bestemte energitilstande. For ved at ændre

størrelsen ændrer man den plads, elektronen har

til at bevæge sig, og dermed energierne. Jo min-

dre kvantepunkterne er, jo større er energien af

det udsendte lys, som vist i Figur 2-4. Bølgelæng-

den af det udsendte lys er omvendt proportional

med energien, dvs. små kvantepunkter sender lys

ud med kort bølgelængde og vice versa.

Vakuumfluktuationer og den optiske tilstandstæthedVi har set at elektroner i både atomer og kvan-

tepunkter kan henfalde mellem energiniveauer

under udsendelse af lys, og at kvantepunkter kan

designes til at udsende lys med den bølgelængde,

man ønsker. Lad os nu se nærmere på hvordan

spontan emission foregår. Ganske overraskende

-+

++ +

-

-

-

-

- -

-

+

Figur 2-2 Sammenligning af et atom og et kvantepunkt og deres energiniveauer. Et atom (til venstre) består af en positiv ladet kerne og negativt ladede elektroner, der kan springe fra højere liggende energiniveauer til lavere energi-niveauer under udsendelsen af en lys bølgepakke (en foton) med en energi svarende til forskellen mellem de to ener-giniveauer. Et kvantepunkt (til højre) består af to forskel-lige halvledermaterialer, hvorved elektroner kan lokaliseres til et område af udstrækning nogle få nanometer. Herved opstår adskilte energiniveauer, og elektronen kan henfalde under udsendelsen af en foton. I halvleder materialer er der mange elektroner tilstede, og elektronen henfalder kun hvis der er en ledig plads i en energitilstand. En sådan ledig plads kaldes et hul og svarer til en positiv ladning, som il-lustreret i tegningen.

Figur 2-3. Kvantepunkter lavet af halvledermaterialet InAs, som fremstår som små øer på en halvlederoverflade af GaAs. Billedet er taget med et atommikroskop og kvantepunkterne er ca. 20nm i diameter.



afhænger spontan emission ikke alene af hvilken

lyskilde, vi betragter, men også af det omgivende

materiales nanostruktur. Dette er overraskende,

for hvordan kan atomer eller kvantepunkter vide

hvordan omgivelserne er? Svaret skal findes i den

kvantemekaniske teori for lys. Ifølge denne er der

selv i et fuldstændig tomt rum altid energi til-

stede, den såkaldte vakuumenergi. Den udgør en

allestedsnærværende fluktuerende baggrund, og

tilvejebringer et elektromagnetisk felt der varierer

i tid, men i gennemsnit er nul.

Uden disse såkaldte vakuumfluktuationer ville en

anslået elektron i et atom eller kvantepunkt al-

drig henfalde, og vakuumfluktuationer er derfor

drivkraften bag spontan emission. I Figur 2-1 er

illustreret hvordan vakuumfluktuationerne sti-

mulerer en anslået elektron til at henfalde under

udsendelse af en foton. Vakuumfluktuationer

forekommer nok som et noget abstrakt begreb,

men deres eksistens er dokumenteret i mange

eksperimenter. I et senere afsnit vil vi beskrive et

sådant eksperiment.

Spontan emission kan beskrives ved en kvanteme-

kanisk sandsynlighedsprocess. Det er derfor ikke

muligt at forudsige, på hvilket tidspunkt elektro-

nen vil henfalde, men kun sandsynligheden for at

den vil henfalde på et givet tidspunkt. Måles hen-

faldsøjeblikket mange gange, kan man fastlægge

den gennemsnitlige henfaldstid som også kaldes

levetiden, tL. Levetiden udtrykker hvor længe

elektronen i gennemsnit forbliver i den anslåede

tilstand, og kan udregnes ved hjælp af formlen:

(2) tL=1/[KO(λ)],

1 2 3

1 2 3

Position

Energi

Figur 2-4. Energiovergangene for atomer ligger fast, men for kvantepunkter kan energierne designes. For et stort kvan-tepunkt (1) vil energien være tæt på energien af halvlederens forbudte energigab. Gøres kvantepunkterne mindre og mindre, som i (2) og (3), bliver energiovergangene presset mod højere og højere energier. På den måde kan man altså justere kvantepunkternes energier og dermed også farven af det udsendte lys. Et stort kvantepunkt vil udsende lange bølgelængder (f.eks. rødt lys), mens mindre og mindre kvantepunkter kan udsende grønt elle blåt lys.


COM•DTU

Kapitel 2


hvor K er en konstant der afhænger af atomet el-

ler kvantepunktet, og O(λ) er den optiske tilstand-

stæthed ved bølgelængden λ.

Den optiske tilstandstæthed angiver hvor mange

vakuumfluktuationer, der er tilstede for en given

bølgelængde, se Faktaboks 1. Figur 2-6 viser et

plot af den optiske tilstandstæthed som funktion

af bølgelængde. Er materialet homogent aftager

den optiske tilstandstæthed monotont med bøl-

gelængden (blå kurve i Figur 2-6). Ved at ændre

på materialet kan man imidlertid drastisk ændre

på den optiske tilstandstæthed. I moderne ekspe-

rimenter benyttes ofte fotoniske krystaller, hvor

den optiske tilstandstæthed varierer kraftigt som

funktion af bølgelængde (rød kurve i Figur 2-6). I

næste afsnit beskriver vi fotoniske krystaller nær-

mere, men lad os først se nærmere på vakuum-

fluktuationerne og hvorfor det er vigtigt at kunne

kontrollere dem.

Der er mange ligheder mellem vakuumfluktua-

tioner og vibrationerne af en guitarstreng. Ved

at holde forskellige steder om grebet på guitaren

ændrer man bølgelængderne af de svingninger,

der kan forekomme på strengen. Det samme kan

man gøre med vakuumfluktuationer, og med lys

i det hele taget. Lys er imidlertid noget mere be-

sværligt at håndtere end en guitarstreng og skal

lokaliseres i tre dimensioner for at fastholdes

modsat guitarstrengen, som er en svingning i én

dimension. Derfor benyttes avancerede materia-

ler, som fotoniske krystaller, til at kontrollere lys.

Med fotoniske krystaller kan man radikalt ændre

den optiske tilstandstæthed og dermed vakuum-

fluktuationerne. Man kan endda opnå den spekta-

kulære situation at den optiske tilstandstæthed er

nul over et interval af bølgelængder. Dette kalder

man et fotonisk båndgab og det betyder at ingen

optiske svingningstilstande er tilladte i dette in-

terval, se Figur 2-6.

Lad os nu se på hvad der sker hvis vi anbringer

et kvantepunkt i en fotonisk krystal. Fra formel

(2) ses, at hvis den optiske tilstandstæthed ved

en given bølgelængde er meget lille, vil levetiden

være meget lang. Ligger bølgelængden i det fo-

toniske båndgab vil levetiden være uendelig, og

elektronen i kvantepunktet vil derfor aldrig hen-

falde! Omvendt gælder det også, at hvis lyset der

udsendes fra kvantepunktet har en bølgelængde

hvor den optiske tilstandstæthed er forhøjet, vil

elektronen henfalde hurtigere. På denne måde

kan man kontrollere den spontane emission. Vi

vil senere i dette kapitel beskrive et eksperiment,

hvor spontan emission fra kvantepunkter er kon-

trolleret ved hjælp af fotoniske krystaller.

Bragg spejle og fotoniske krystaller Når synligt lys rammer en halvgennemsigtig over-

flade (f.eks. glas), vil en vis procentdel af lyset

reflekteres og resten transmitteres gennem over-

fladen. Det er derfor man kan se både et spejlbil-

lede af sig selv og varerne i butikken, når man står

foran et butiksvindue. Effekten kan benyttes til at

lave utroligt gode spejle, for hvis man lægger flere

lag reflekterende materiale efter hinanden, kan

man øge refleksionen. Faktaboks 2 forklarer prin-

cippet bag disse såkaldte Bragg spejle, der beror

på interferens af lyset. I et Bragg spejl vil nogle

bølgelængder af lys interferere konstruktivt, hvor-

ved refleksionen øges. Herved opstår et interval af

bølgelængder, hvor refleksionen er høj.

Et Bragg spejl er en éndimensional struktur, der

kun reflekterer lys udsendt i én retning (nemlig

vinkelret på spejlet). Spontan emission af lys fore-

går i alle retninger, hvilket man kan overbevise sig

om, hvis man betragter lyset fra en glødepære. For

at kontrollere spontan emission effektivt, skal man

således fabrikere et materiale, der reflekterer lys

fra alle retninger. En fotonisk krystal er netop et

sådant tredimensionalt spejl, som reflekterer lys,

ligegyldigt hvilken retning det bevæger sig i. Som

det fremgår af Faktaboks 2, kan man med Bragg

spejle opnå en ekstremt høj refleksion for lys, men

altså kun i én retning. For at lave et tredimensio-

nelt spejl, skal man derfor lave en struktur som er

periodisk i alle retninger. En fotonisk krystal er en



Den optiske tilstandstæthed

Overalt omkring os findes elektromagnetiske feltfluktuationer, selv i et fuldstændigt tomt rum. Disse vakuumfluktuationer skyldes de fundamentale kvantemekaniske egenskaber ved lys, og fremstår som tidslige variationer i et elektromagnetiske felt, der i gennemsnit er nul.

Selvom vakuumfluktuationerne er et kvantemekanisk fænomen, kan deres egenskaber i vid ud-strækning forstås som bølger, der kendes fra den klassiske fysik. Lys kan beskrives som elektromag-netiske bølger, og det samme er tilfældet for vakuumfluktuationer. Således vil de svingningstilstande, som er mulige for lys, være præcist de samme svingningstilstande som vakuum kan fluktuere ved.

Antallet af vakuumfluktuationer bestemmes af den optiske tilstandstæthed. Den optiske tilstand-stæthed angiver hvor mange forskellige svingningstilstande der findes ved en given bølgelængde. I det følgende vil vi beskrive principperne bag udregningen af den optiske tilstandstæthed. Målet er at give en fornemmelse af hvordan man foretager den slags beregninger og forklare hvorfor der generelt er flere svingningstilstande, jo mindre bølgelængden af svingningerne er.

Svingningerne beskrives ved sinus-funktioner af typen f(x)=sin(2x/λ), hvor λ er bølgelængden. Be-tragt en kasse (se Figur 2-5), der afgrænser det område vi ønsker at beskrive. Man undersøger nu hvor mange bølger der kan passes ind i kassen under den betingelse af sinus-funktionen skal være nul på randen af kassen.

Lad os først betragte antallet af svingninger med bølgelængden λ1=2a og punktet A svarende til den

FAKTABOKS 1

LDOS Beregning

A

A

1

2

a

a

Figur 2-5. For at beregne den optiske tilstand-stæthed betragter man en kasse og udregner hvor mange forskellige bølger med en given bølgelængde der kan passe inde i kassen. Hvis bølgelængden er stor (1) kan man indpasse færre stående bølger i kassen end for mindre bølgelængder (2). Derfor aftager den optiske tilstandstæthed med bølgelængden.


COM•DTU

Kapitel 2


Figur 2-6. Den optiske tilstandstæthed i en kasse på 1cm3 som er lavet af et materiale med det optiske brydningsindex n=3.6. Den optiske tilstandstæthed angiver hvor mange mulige svingninger af lys, der findes ved en bestemt bølgelæng-de, og dermed også hvor mange vakuumfluktuationer der findes. For et homogent materiale aftager tilstandstætheden monotont med bølgelængden (den blå kurve). I nanostrukturerede materialer, som f.eks. fotoniske krystaller, kan man imidlertid drastisk ændre tilstandstætheden (den røde kurve). På denne måde kan man kontrollere vakuumfluktuatio-nerne.

øverste skitse i Figur 2-5. Der er kun tre måder at passe svingningen ind mellem punktet A og det øverste linjestykke i kassen. To af disse svarer til svingninger med en halv bølgelængde, og én svarer til en svingning med en hel bølgelængde. Tilsvarende kan man indpasse yderligere svingninger langs andre punkter på kassens vægge.

Lad os nu halvere bølgelængden så vi ser på svingninger med bølgelængden λ2=a, jvf. den nederste skitse i Figur 2-5. I dette tilfælde kan man indpasse flere svingninger mellem punktet A og det øverste linjestykke i kassen. Således er den optiske tilstandstæthed større, jo mindre bølgelængden er. Det-te er årsagen til, at den optiske tilstandstæthed i et homogent materiale aftager med bølgelængden, som angivet i Figur 2-6. Den optiske tilstandstæthed kan være helt anderledes i materialer der ikke er homogene, f.eks. i fotoniske krystaller, som er nanostrukturerede materialer. Figur 2-6 viser også hvordan den optiske tilstandstæthed kunne se ud i en fotonisk krystal. Den kraftige bølgelængde afhængighed af tilstandstætheden i en fotonisk krystal giver anledning til det farvede vakuum.



sådan tredimensionel periodisk struktur, se Figur

2-7. I praksis kan disse laves på mange forskellige

måder og vi vil diskutere to af dem i næste afsnit.

Vi kan se farver, fordi vores øjne kan skelne mel-

lem forskellige bølgelængder af lys i det bølge-

længdeinterval, der meget passende kaldes det

synlige spektrum. Det betyder også, at alle farver

svarer til en bestemt spektral profil. Dette er il-

lustreret i Figur 2-8. Fordi alle farver svarer til

en bestemt spektral profil vil en spektral profil af

vakuum give anledning til et farvet vakuum. Det

farvede vakuum er ”farvet” med hensyn til styr-

ken af vakuumfluktuationerne i det elektromag-

netiske felt. Fluktuationerne varierer i tid, men

er i gennemsnit nul, og det menneskelige øje kan

ikke registrere disse fluktuationer, men som be-

skrevet i det foregående afsnit er de af afgørende

betydning for spontan emission af lys.

Figur 2-12 viser et eksempel på en tredimen-

sionel fotonisk krystal. Bragg diffraktion mellem

krystalplanerne resulterer i at blåt lys reflekteres

fra krystallen. Samtidigt er den optiske tilstands-

tæthed undertrykt ved frekvenser der svarer til

blåt lys. Hvis man derfor designer et kvantepunkt,

så det udsender blåt lys, vil levetiden af anslåede

elektroner i kvantepunktet være længere hvis det

befinder sig inde i krystallen end hvis kvante-

punktet sad i et ustruktureret og dermed homo-

gent materiale.

Selvorganiserede fotoniske krystaller og nanoteknologiEt farvet vakuum lyder måske meget abstrakt og

kun af teoretisk interesse. Dette var også tilfæl-

det for bare få år siden, men i dag har avancerede

fremstillingsmetoder såsom selvorganisering og

nanoteknologi flyttet det farvede vakuum fra skri-

vebordet til laboratoriet.

Et eksempel på en fotonisk krystal fremstillet ved

selvorganisering er vist i Figur 2-11. Billedet er ta-

get med et elektronmikroskop, fordi strukturerne

er så små, at de ikke kan ses med lys. Hvis man

kigger på strukturen i et almindeligt mikroskop,

vil man derimod se effekten af den fotoniske kry-

stal som et smukt farvespil fordi krystallen reflek-

terer det synlige lys. Et billede taget med et almin-

deligt optisk mikroskop af den samme krystal er

vist i Figur 2-12, hvor vi kan se at det for denne

Figur 2-8. Illustration af en tredimensionel fotonisk krystal bestående af kugler, som f.eks. kan være lavet af silika. I en fotonisk krystal kan lys ikke udbrede sig, fordi krystal-len virker som et Bragg-spejl i alle retninger.

Bølgelængde400 500 600 700

Figur 2-7. Alle farver svarer til en bestemt spektral forde-ling af refleksion og absorption. Her er vist et absorptions-spektrum af klorofyl i området for synligt lys. Klorofyl er det stof, som gør at planter kan optage energi fra sollyset og det absorberer lys i de blå og røde områder af farve-skalaen. Til gengæld omsættes grønt lys ikke og vil derfor enten blive transmitteret eller reflekteret fra klorofyl. Det er denne effekt som gør planter grønne.


COM•DTU

Kapitel 2


d

θ

d sin θ

Figur 2-10 Figuren illustrerer princippet bag Braggs diffraktionslov. Når en lysbølge reflekteres fra en periodisk struktur vil man opnå konstruktiv interferens hvis afstanden mellem overfladerne er valgt på passende vis. Således skal lys reflekteret fra lag N+1 i den periodiske struktur tilbagelægge en afstand som er netop en bølgelængde længere end lys reflekteret fra lag N. I Figuren er angivet med rødt denne ekstra afstand for en lysbølge, hvis bevægelsesretning har vinklen i forhold til over-fladen. Formel (3) kan udledes ved at beregne denne ekstra vejlængde ved hjælp af trigonometri.

Figur 2-9. Et Bragg spejl består af en periodisk struktur af to forskel-lige materialer. Overfladerne mellem de to materialer giver anledning til delvis refleksion. Er afstanden mellem overfladerne valgt i overensstem-melse med Braggs lov fås konstruktiv refleksion af lys fra Bragg spejlet. Således kan man få så stor en del intensiteten af lyset reflekteret, som man ønsker, ved at øge antallet af lag i strukturen.

Bragg spejle

Principperne bag en fotonisk krystal kan forstås ud fra Braggs diffraktionslov. Når lys rammer en overflade vil en del af det sendes direkte tilbage, mens resten transmitteres igennem. Den

reflekterede andel af lyset kaldes r, og den transmitterede del kal-des t. Hvis det elektrisk felt af den indkomne bølge har størrelsen E0, vil den direkte reflekterede bølge være ER=rE0. Hvis der ikke er nogen absorption i overfladen gælder at r2 + t2=1.

Hvis to delvist reflekterende over-flader placeres efter hinanden, vil en del af det lys der transmitteres

gennem første overflade efterføl-gende reflekteres fra den anden overflade og transmitteres tilbage gennem første overflade. Afhængig af afstanden mellem de to overfla-der, kan de to reflekterede bølger være i fase eller ude af fase med hinanden. En periodisk struktur af mange reflekterende overfla-der, valgt således at de reflekte-rede bølger fra hvert lag er i fase med hinanden, kaldes et Bragg spejl og er skitseret i Figur 2-9.

Når en lysstråle rammer et Bragg spejl opstår der konstruktiv in-terferens mellem de reflekterede bølger. Dette sker hvis pladerne er placeret i en afstand d, der er

et helt antal (m) gange lysets bøl-gelængde:

(3) 2dsin= m

hvor er den vinkel, som lysets

FAKTABOKS 2



udbredelsesretning danner med overfladen, og er bølgelængden af lyset, se Figur 2-10. Dette er Braggs diffraktionslov. Hvis lyset rammer vinkelret på Bragg spejlet (), reduceres udtrykket til

(4) 2d= m

I det følgende ser vi på tilfældet og i første omgang betragter vi kun to overflader, svarende til det første lag i Figur2-9. Vi ønsker at beregne hvor meget lys der reflekteres fra dette lag. Når en lys-bølge rammer den første overflade vil en del af lyset (rE0) blive reflekteret og resten transmitteret. Det transmitterede lys kan efterfølgende blive reflekteret tilbage fra den anden overflade og trans-mitteres igen gennem den første overflade. Dette giver også et bidrag til refleksionen og svarer altså til én transmission, én refleksion og endnu én transmission, dvs. et bidrag af størrelsen trtE0.

Der er imidlertid også muligt at lyset kan reflekteres flere gange i hver overflade. Dette svarer til lys der tager to, tre, fire eller endnu flere rundture mellem de to overflader inden det transmitteres ud igennem den første overflade og dermed bidrager til den samlede refleksion fra de to overflader. På grund af den præcise måde afstandene mellem overfladerne er valgt i et Bragg spejl skal man gange med (-1) for hver ekstra rundtur som lyset tager ud over den første. Adderes alle de bidrag får man en samlet refleksionen givet ved:

(5) ER = rE0 + trtE0 - trrrtE0 + ...

= rE0 + rt2 E0 ( 1 - r2 + r4 - ... )

Ved hjælp af teorien for uendelige rækker kan man vise at dette også kan skrives som:

(6) ER/E0 = r + rt2 /(1+r2).

På denne måde kan vi se, at bidragene svarende til at lys reflekteres flere gange frem og tilbage mel-lem de to overflader bevirker at den samlede refleksion bliver større end rE0, der er refleksionen fra en enkelt overflade.

På en tilsvarende måde kan man vise, at hvis man har flere overflader kan refleksionen øges yder-ligere. Således vil den samlede refleksion fra et Bragg spejl bestående af N perioder af skiftevis materiale 1 med optisk brydnings index n1 og materiale 2 med optisk brydnings index n2 give en samlet refleksion:

(7) ER/E0 = (1-(n1/n2)2N)/(1+(n1/n2)

2N) .

Ved at gøre N større kan få den effektive refleksion så tæt på 1 som det skal være. Dette er princip-pet i Bragg spejle og fotoniske krystaller.

FAKTABOKS 2fortsat


COM•DTU

Kapitel 2


fotoniske krystal specielt er det blå lys der reflek-

teres fra krystallen.

Princippet bag selv-organisering er egentlig gan-

ske simpelt. Hvis man hælder en masse kugler

ned i en kasse og ryster kassen, vil kuglerne forme

en tredimensionel heksagonal struktur, svarende

til den struktur grønthandleren bygger når han

stabler appelsiner. En sådan selv-organiseret

struktur af små kugler er en fotonisk krystal, men

kun hvis størrelsen af kuglerne er valgt på passen-

de vis. En fotonisk krystal reflekterer nemlig kun

lys effektivt ved visse bølgelængder (dvs. farver),

hvor også vakuumfluktuationerne er ændrede.

Størrelsen af kuglerne bestemmer hvilken bøl-

gelængde, der reflekteres, og kan beregnes med

Braggs diffraktionslov, se Faktaboks 2. Afstand-

en d mellem de kraftigst reflekterende planer er

givet ved d=2r, hvor r er kuglernes radius; d

kaldes den fotoniske krystals gitterafstand. Hvis

kuglerne f.eks. har radius r=1cm får vi for en før-

steordens refleksion (m=1) for lys der rammer

vinkelret på overfladen (= 90), at =22d =

5,7cm. Det menneskelige øje kan ikke se lys med

så lang en bølgelængde, så derfor vil kuglerne ikke

give anledning til synlige optiske effekter. Hvis det

skal være synligt for os, skal bølgelængden ligge

i området fra 400 til 700 nanometer (nm). Hvis

vi f.eks. gerne vil modificere vakuumfluktuation-

erne omkring de gule farver, skal bølgelængden

i stedet være ca. 570 nm og det er altså 100.000

gange mindre end i eksemplet ovenfor. Derfor

skal kuglerne også være 100.000 gange mindre,

dvs 100nm radius. Fordi størrelserne er så små

er det ganske udfordrende at fremstille fotoniske

Figur 2-11. Elektronmikroskop-billede af en såkaldt ”in-vers opal” fotonisk krystal, der er en tredimensionel pe-riodisk struktur af lufthuller (grå områder) i en skal af tita-niumdioxid (hvide områder). Størrelsen af strukturen kan aflæses fra afstandsbjælken, som er en mikrometer lang (1 µm = 1/1000 mm). Den fotoniske krystal er fremstil-let baseret på selvorganisering af små kugler. Dernæst er hulrummene blevet fyldt ud med titaniumdioxid (de hvide områder) og endelig er de oprindelige kugler blevet ætset væk. Billedet er gengivet med tilladelse fra prof. Willem Vos, AMOLF, Amsterdam.

Figur 2-12. Fotonisk krystal afbilledet med et almindeligt optisk mikroskop. Bemærk de blå-grønne farver som skyl-des at lys svarende til disse bølgelængder ikke kan udbre-de sig i krystallen. Den fotoniske krystal er en ”invers opal” svarende til den der er vist i elektronmikroskop-billedet i Figur2-11. Billedet er gengivet med tilladelse fra prof. Wil-lem Vos, AMOLF, Amsterdam.



krystaller på denne måde.

Selvom det først er blevet muligt at fremstille fo-

toniske krystaller i løbet af de senere år, har na-

turen længe lavet sine egne fotoniske krystaller.

Faktisk har vi lige beskrevet årsagen til de smukke

farver i mineralet og smykkestenen opal, som net-

op består af små kugler af mineralet silika. Silika

bruges også i kvartsglas, og er i sig selv gennem-

sigtigt. Når silikakuglerne former en periodisk na-

nostruktur reflekteres det synlige lys fra opalen,

hvilket er årsagen til dens smukke farve. Også en

række fisk, fugle og insekter udnytter fotoniske

krystaller til at skabe fantastiske farver. Et eksem-

pel er sommerfugle, og et særligt smukt eksem-

plar kan ses i Figur 2-13. Denne sommerfugls far-

ver skyldes periodiske nanostrukturer i vingernes

overflade, og det er ganske fascinerende at tænke

på, at sommerfuglens smukke vinger skyldes at

vingerne ændrer på de fundamentale egenskaber

ved vakuum.

For at fotoniske krystaller kan have anvendelses-

mæssige perspektiver er det vigtig at de kan frem-

stilles med moderne nanoteknologi. Heldigvis har

de metoder der benyttes til industriel fremstil-

ling af mikro- og nanoelektroniske komponenter

vist sig også at være fremragende til fremstilling

af fotoniske krystaller. Hvor man med selvorga-

niserede fotoniske krystaller kun kan fremstille

relativt store områder med fotoniske krystaller,

er det med nanoteknologi nærmest kun fantasien,

der sætter grænser for hvad der kan fremstilles.

F.eks. kan man fremstille nanoskopiske optiske

kredsløb, der kan lede lys rundt på en chip eller

nanoresonatorer der kan fange lys i et meget lille

volumen. Det sidste er vigtigt for højeffektive na-

nolasere og et eksempel på sådan en laser er vist

i Figur 2-14. Nanoresonatorere kan også vise sig

at blive vigtige elementer i fremtidens kvantecom-

putere. For at fremstille sådanne nanostrukturer

kræves ekstremt støvfrie laboratorier fordi bare et

enkelt støvkorn kan ødelægge et helt optisk kreds-

løb. Fremstillingen foregår derfor i et såkaldt ren-

rum. I Figur 2-15 ses et billede fra renrummet på

Danchip på DTU, hvor vi blandt andet udvikler

fotoniske krystaller.

Kontrol af spontan emission af lys med fotoniske krystallerVi har nu gennemgået principperne bag både

kvantepunkter og fotoniske krystaller, og rustet

med den viden vil vi diskutere nogle af de nyeste

resultater indenfor forskningen i disse fascine-

rende emner. Som det fremgår af formel (2) er et

kvantepunkts levetid omvendt proportional med

den optiske tilstandstæthed. Som vi ved kan den

optiske tilstandstæthed ændres med en fotonisk

krystal, og således kan vi kontrollere levetiden af

kvantepunktet. Dette blev første gang bevist eks-

perimentelt i 2004 og i det følgende vil vi disku-

tere dette eksperiment.

I eksperimentet anvendtes fotoniske krystaller

svarende til den, der var vist i Figur 2-11 og Figur

2-12. Kvantepunkter blev placeret inde i krystal-

len og ved hjælp af en kort lyspuls fra en laser blev

Figur 2-13. Mange af naturens smukkeste farvespil i mi-neraler og dyr skyldes nanostrukturering. Her ses en som-merfugl, hvis vinger består af nanostrukturer der former en fotonisk krystal. Sommerfuglens vinger har omtrent samme nanostruktur som den syntetiske fotoniske krystal i Figur 2-11, og derfor næsten den samme farve.Billedet er gengivet med tilladelse fra prof. Shuichi Kinoshi-ta, Osaka Universitet, Japan.


COM•DTU

Kapitel 2


elektroner i kvantepunkterne anslået til en højere

energitilstand. Efterfølgende henfaldt elektro-

nerne i kvantepunkterne, og man målte hvornår

dette skete ved at registrere de fotoner, der blev

udsendt.

Resultatet af eksperimentet er vist i Figur 2-16.

Den blå kurve viser en måling uden kvantepunk-

ter i den fotoniske krystal. Det viser sig nemlig at

ikke alene kvantepunkterne udsender lys, men

også selve materialet som den fotoniske krystal

er lavet af (titanium-dioxid). Heldigvis henfalder

dette bidrag meget hurtigt, og efter 5 ns ser man

kun lys fra kvantepunkterne. De tre øvrige kurver

i Figur 2-16 viser målinger på identiske kvante-

punkter placeret i tre forskellige fotoniske krystal-

ler. Krystallerne er lavet af kugler med forskellige

størrelser svarende til forskellige gitterafstande

fra 370nm til 500nm. Kurverne i Figuren er frem-

kommet ved at gentage måleproceduren mange

gange. Først anslå elektroner i kvantepunkterne

med laseren, derefter måle hvornår en foton bli-

ver udsendt, og derefter anslå elektronerne igen

osv.

Ved at sammenligne resultaterne fra de tre fo-

toniske krystaller med forskellige gitterafstande

ses at henfaldet enten forløber hurtigere (a = 420

nm) eller langsommere (a = 500 nm) relativt til

målingen på en fotonisk krystal med gitterafstand

a = 370 nm. Sidstnævnte er en referencemåling,

Figur 2-15. Fotoniske krystaller fremstilles ved brug af avancerede ætseprocesser i et renrum.

+ -

Figur 2-14. Illustration af en fotonisk krystal nanoresonator-laser. Ved at fjerne et hul i en todimensional fotonisk krystal, skabes en resonator med ”spejle” på alle sider. I denne resonator vil lyset for en bestemt frekvens blive lokaliseret og det giver en ultrakompakt og energibesparende laser.



for i dette tilfælde er gitterafstanden så lille sam-

menlignet med lysets bølgelængde, at lyset ikke

påvirkes af nanostrukturerne. Ud fra forløbet af

henfaldskurverne afledes den gennemsnitlige le-

vetid, hvilket giver 9,6 ns (a = 420 nm) og 19,3

ns (a = 500 nm) relativt til referenceværdien på

12,4 ns (a= 370 nm). Dette eksperiment påviste

for første gang, at fotoniske krystaller kan bruges

til at kontrollere spontan emission af lys.

Energibesparende lasere og effektive solcellerI de foregående afsnit har vi beskrevet nogle af

egenskaberne ved fotoniske krystaller og deres

relation til vakuumfluktuationer. Der er stadig en

lang række fundamentale videnskabelige spørgs-

mål, som endnu ikke er blevet besvaret indenfor

dette felt, og fotoniske krystaller er derfor gen-

stand for intensive videnskabelige undersøgel-

ser ved en lang række universiteter verden over.

Samtidigt giver det farvede vakuum en række

muligheder for helt nye teknologiske opfindelser,

og derfor er der også en stor forskningsindsats i

mange virksomheder og tekniske laboratorier. I

dette afsnit vil vi diskutere et par af de mest lo-

vende anvendelser.

Laseren er en af de vigtigste opfindelser fra det 20.

århundrede og bliver i dag brugt i en lang række

anvendelser, herunder CD/DVD-afspillere, medi-

cinske behandlinger, svejsning, datakommunika-

tion f.eks. på internettet, præcisionsmåleudstyr og

meget mere. Der kan derfor spares store mængder

energi ved at nedbringe energiforbruget i lasere,

og fotoniske krystaller er en mulig metode til at

gøre dette. I de foregående afsnit diskuterede vi

hvordan lys kan udsendes gennem spontan emis-

sion, der er stimuleret af vakuumfluktuationer.

I en laser bliver lysudsendelsen stimuleret af lys

og her virker spontan emission faktisk som en

uønsket støjkilde. Hvis laseren består af kvante-

punkter placeret i en fotonisk krystal nanoresona-

tor, vil det modificerede vakuum forbyde spontan

emission ved uønskede bølgelængder og energien

fra kvantepunkterne vil blive koblet hurtigere og

mere effektivt til den ønskede laser-bølgelængde.

Hermed er det muligt at få en ultrakompakt, ener-

gibesparende og hurtig laser, hvilket kan føre til

f.eks. hurtigere datatransmissioner. En illustra-

tion af en sådan laser er vist i Figur 2-14.

Et andet eksempel på mulige fremtidige anven-

delser af fotoniske krystaller er til at udvikle høj-

effektive solceller. I selv de bedste solceller i dag

bliver kun 40% af lysets energi omsat til elektri-

citet. En solcelle virker grundlæggende ved, at en

foton fra solen anslår en elektron i det aktive lag

i solcellen, hvorved fotonen absorberes. Denne

elektron kan nu trækkes ud af det aktive lag som

en elektronisk strøm og jo flere elektroner jo stør-

re strømstyrke og dermed større elektrisk energi.

Imidlertid mistes en del af den elektriske energi

ved at elektronen henfalder via spontan emission.

Hermed udsendes og forsvinder en foton med

samme energi som den oprindelige absorberede

foton. Som vi har beskrevet ovenfor kan fotoniske

krystaller også bruges til at undertrykke spontan

emission. Hvis det aktive lag i solcellen således

placeres i en fotonisk krystal vil solcellens effek-

tivitet dermed kunne øges. Solceller baseret på

fotoniske krystaller er endnu ikke demonstreret,

men er et aktivt internationalt forskningsområde.

Enkeltfoton-lyskilder baseret på foto-niske krystallerModerne kryptering i f.eks. dankort transaktioner

foregår ved hjælp af sindrige matematiske meto-

der, men er ikke fuldstændigt sikre. Heldigvis ta-

ger det selv de største computere i verden meget

lang tid at bryde koderne. Man kan dog ikke være

sikker på at dette vil forblive sådan i fremtiden,

hvor mere effektive computere eller smartere

kodebrydningsalgoritmer kan blive udviklet. I

1980’erne blev der foreslået en elegant metode til

at kryptere meddelelser med en kode der er fuld-

stændigt ubrydelig. Metoden er baseret på funda-


COM•DTU

Kapitel 2


mentale kvantemekaniske egenskaber ved lys, og

kræver bl.a. at man har en metode til at udsende

én og kun én foton.

Ved hjælp af kvantepunkter i fotoniske krystaller

kan man lave en effektiv enkeltfoton-lyskilde. Idé-

en er, at man anslår netop én elektron i et kvante-

punkt med en kort laserpuls. Når én elektron hen-

falder, bliver der nemlig skabt præcist én foton.

Da henfaldet sker ved spontan emission, og derfor

kan forstærkes gennem vakuumfluktuationerne

med en fotonisk krystal, kan fotonen udsendes

hurtigere. Herved øges overførselshastigheden af

det krypterede signal. Dertil kommer, at hvis man

bruger et kvantepunkt uden en fotonisk krystal, så

vil lyset blive udsendt i alle retninger og en stor del

af lyset gå tabt. Indlejres kvantepunktet derimod i

en fotonisk krystal, kan lyset aldrig blive udsendt i

de retninger man har blokeret med den fotoniske

krystal, men udelukkende i den ønskede retning.

KonklusionVi har præsenteret fysikken bag kvantepunkter,

fotoniske krystaller og det farvede vakuum. Ud-

sendelsen af lys sker ved spontan emission. Vi

har vist hvordan spontan emission er relateret til

kvantemekaniske vakuumfluktuationer, der får en

anslået elektron i et kvantepunkt til at henfalde.

Vakuumfluktuationerne kan ændres i fotoniske

krystaller, og kan enten øges eller undertrykkes.

På denne måde kan spontan emission kontrol-

leres. Vi har desuden beskrevet et nyligt ekspe-

riment hvor spontan emission fra kvantepunkter

blev kontrolleret med en fotonisk krystal. Endelig

har vi givet en række bud på hvilke fremtidige an-

vendelser denne nye teknologi kan føre til.

a = 370 nma = 420 nma = 500 nmTitanium-dioxid

KvantepunkterTitanium

dioxid

1,000

100

Tid [ns]

0 5 10 15 20

Figur 2-16. Antal fotoner udsendt per sekund ved spontan emission fra kvantepunkter i fotoniske krystaller, svarende til dem, som var vist i Figur 2-10 og Figur 2-11. Materialet som den fotoniske krystal er lavet af (titanium-dioxid) udsender også lys (den blå kurve), men efter ca. 5 nanosekunder er de tilstande fuldstændigt henfaldet, og man ser alene lys fra kvantepunkterne. Den sorte, den røde og den grønne kurve svarer til kvantepunkter placeret i fotoniske krystaller, der er bygget op af kugler med forskellige gitterafstande a. Der ses en tydelig forskel i levetiden for de tre tilfælde, dvs. elektronerne i kvantepunkterne henfalder langsommere hhv. hurtigere i fotonisk krystaller med a=500 nm og a=420 nm relativt til en fotonisk krystal med a=370 nm. Dette skyldes at den optiske tilstandstæthed er forskellig for de tre gitterafstande.



I vores beskrivelse af kontrol af spontan emission

har vi emnemæssigt bevæget os vidt fra forskning

i fundamental kvantemekanik over nanoteknologi

til anvendelser indenfor solceller og kommunika-

tionsteknologi. Disse emner er i disse år genstand

for intensiv forskning i nogle af verdens bedste la-

boratorier, og det eneste der er sikkert er, at frem-

tiden vil byde på mange spændende opdagelser og

anvendelser. Måske vil anvendelser af fotoniske

krystaller en dag blive udbredte i mange forskel-

lige teknologier. Indtil da vil de være forbeholdt

de videnskabskvinder og –mænd der forsker i

dem, mens alle andre må nøjes med at nyde synet

af naturens egne fotoniske krystaller i fugle, fisk,

smykkesten og sommerfugle.

Søren Stobbe, Ph.d. studerende

Peter Lodahl, Lektor

Philip Trøst Kristensen, Ph.d. studerende

fra venstre: philip trøst kristensen, peter lodahl og

Documents