1

1

מפענחים, בוררים, מסכמים:6פרק

דוגמת חיבור שני מספרים בינריים

140111

3+1100+

111101

(carry)נשא 11

2

נשא יציאה

סכום

FA oC

S

→

→

→

→→

CכניסהנשאB

Aמחוברים

Full-Adder (FA)מסכם בינרי מלא

:מבצע את החישוב עבור זוג סיביות

2

3

1

0

0

1

0

1

1

0

S

1

1

1

0

1

0

0

0

Cout

111

011

101

001

110

010

100

000

CinBA

1111

10

10110100C

AB

111

110

10110100C

AB

Cout

S

FAטבלת האמת של ] S,Cout [הוא מספר בן שתי סיביות המונה את מספר האחדים בכניסות

4

( )

in

ininin

inininout

in

inininin

CBAAB

CBACABCBAABAB

CBAABBCACABC

CBA

ABCCABBCACBAS

)(

)()1()(

''''''

⊕+=⊕++=⊕++=

++=++=⊕⊕=

+++=

FAשל ) אפשרי(מימוש

:הביטויים המתאימים

AB

A ⊕ B ⊕ C in

A ⊕ BAB + C in (A ⊕ B )

C out =

B A C in

S

F.A

3

5

FA FA FA FA

A0A1A2An-1 Bn-1 B2 B1 B0 C0=0

C1C2Cn-1

Sn-1Cn=Overflow S2 S1 S0

Ripple Carry Adder כל דרגה . סיביותnכדי לחבר שני מספרים בינריים בני FA דרגות nנשרשר

.תחבר זוג סיביות עם הנשא מהדרגה הקודמת

. כזמן התפשטות הנשא-זמן החישוב

. nτ זמן החישוב הכולל הינו, τ הוא FA -אם זמן חישוב נשא ב

TRCA=3n אזי ,τ=3 –אם זמן החישוב של כל שער הוא יחידת זמן אחת ו

והזמן , τ=2למעשה זמן החישוב של כל היחידות להוציא הראשונה הוא TRCA=2(n-1)+3=2n+1≈2nהכולל הוא

6

( ) iiiii1i CBABAC ⋅⊕+⋅=+

iiiiii BAgBAp ⋅=+=

iiii CpgC ⋅+=+1

iiiiiiiiii CppgpgCpgC 1111112 +++++++ ++=⋅+=

iii

iiiiiiiiiiiiiiii

CPG

CppppgpppgppgpgC

44

1231231232334

++

+++++++++++++

+=++++=

Carry Look-Ahead Adder

Carry Look-Ahead מיועד לקצר את זמן החשוב הכולל של חבור שני מספרים

. סיביות4בני :במחבר הסדרתי קיבלנו

נרשום את פונקציות יצירת הנשא )generate( והעברתו )propagate:(1=giאם במקום ה - i נוצר נשא Ci+1 ללא

Ciתלות בנשא הנכנס

pi=1 אם Ci+1=Ci

:נקבל

:עוד פעמיים

4

7

FA FA FA FA

Ai+3 Bi+3

Ci+3

Si+3 Si+2 Si+1 Si

Ci+2 Ci+1

Ai+2 Bi+2 Ai+1 Bi+1 Ai Bi

C i

GP

Ci+4

Carry Look-Ahead AdderCi+4 תלוי בפונקציות G ,Pוב - Ci ,ואיננו תלוי ב- Ci+1 ,Ci+2 ,Ci+3 .

. מגיעות כולן בתחילת החישובA ,Bנניח שהכניסות . כל אחתFAהמחבר יהיה מחולק ליחידות בנות ארבעה

. Ciונמתין להגעת ) A ,Bכפונקציה של (G ,Pבכל יחידה נחשב את ולקבל את הנשא היוצא ) AND ,OR(נותר רק לבצע שתי פעולות , כאשר הנשא יגיע

Ci+4 . הדרושים Ci+1 ,Ci+2 ,Ci+3ואת Si ,Si+1 ,Si+2 ,Si+3במקביל תחשב היחידה את

לחישוב הסכומים

8

זמן החישוב של המחבר

. CLA יחידות n/4 - סיביות nמחבר של : נניח

, τ1 הוא G ,Pזמן החישוב של , τ2 הוא FAי "ע S ,Cזמן החישוב של

. א" כ1 הוא AND ,ORזמן החישוב של שערי :שלבי החישוב

. G ,Pמחשבות כל היחידות את , τ1במשך , בתחילהעד , שבין היחידותCמחושבים כל ערכי , n/4=n/2·2במשך , כ"אח

. לנשא האחרון שלה S בכניסתה מחשבת את ערכי Ciכל יחידה שמקבלת את , במקביל. τ2·4במשך

2 לאחר Ciהיחידה האחרונה מקבלת את 2

14

2 11 −+=

−+

nn ττ

5

9

)המשך(זמן החישוב של המחבר

. יחידות τ2·4היחידה האחרונה משלימה את החישוב לאחר עוד זמן החישוב הכולל הוא

האיבר הדומיננטי בביטוי ) 16נניח מעל ( גדול מספיק nעבור n/2הוא n/2 מזמן החישוב של 4 קטן פי Ripple Carry Adder .. במחיר של סיבוך הלוגיקה הישגנו את האצת החישוב, כך

242 21 −++= ττn

TCLA

10

Selector / multiplexer / mux –בורר

.'0' אז E=0 אם:פלט

Diאחרת הסיבית

iהינו המספר שיצוגו הבינרי מופיע ב -m סיביות .הבקרה

כניסות בקרהM:קלט

mS

ED 0

ZS e le c to r...

D 1

D 2

D n -2D n -1

m2n כניסות נתונים=

1m1o SSS −,...,,

1n1o DDD −,...,,

E כניסת enable

6

11

:מימוש אפשרי

Z

S 1S 0

E

D

D

D

0

1

2

3

... .

...

.

.

.

.

.

D

14)עבור בורר(והביטוי הלוגי →

3121111 DSESDSESDSSEDSSEz ooooo +++=

בורר

12

. . . . . . .. . .. . . .. . . ..........

D D D D D D D D1 0234567 EnableS2

.....

S1 S0

Z Z'

: כניסות8בורר של

7

13

).מבחינה לוגית(כניסות הבקרה כוללות מהפכים מיותרים לכאורה

של" עומס"מיועדים להציג לכניסה , "חוצצים"המשמשים כ, מהפכים אלו

מחוברת לשמונה , למשל,Enableבלעדיהם היתה כניסת . שער יחיד

המהנדס המשתמש: החוצצים מקלים את מלאכת התכנון.שערים פנימיים

. בבורר יכול להניח שכל כניסה שלו מזינה שער פנימי אחד בלבד

14

הפונקציה הממומשת היא ,enableללא עבור בורר, לדוגמא

נקבלאם נציב

:XORקיבלנו ממוש

12 →

o1 DSSDz +=

AS,BD,BD o ===1

BABABAz ⊕=+=

A

B

Z

D0

S

ממוש פונקציות באמצעות בוררים

8

15

,0נראה שיחד עם הקבועים : נקבל מערכת שלמה1

AS0DBD o1 === ,, BA0AABz נקבלאם נציב ⋅=⋅+=

:ANDקיבלנו ממוש

A

BZ

D0

S

D1

0

:Aוכן

A

0Z

D0

S

D1

1

'?1' בורר עם '?0'בורר עם ? האם בורר בלבד מהווה מערכת פעולות שלמה: בדקו בבית

16

נממש לדוגמא את . משתנים באמצעות בורריםnנראה כיצד ניתן לממש פונקציה של הפונקציה

( ) ( )∑= 141312943ztxwf ,,,,,,,,

9

01111

10111

11011

10011

01101

00101

11001

00001

01110

… 00110

01010

10010

11100

00100

01000

00000

fzyxw

xS

ySwS

ר ר ו ב

=

==→

1

02

18

zSxS

ySwS

ר ר 116בו

o2

13

==

==→

0=oD

zD 1 =

zD2 =

03 =D

zD =4

05 =D

16 =D

zD =7

0=oD01 =D02 =D13 =D14 =D05 =D

18

S0

w

xy

f

0

00 zz z'z' 1

MUX 8→1

1234567

0

S1

S2

f

wxyz S0

MUX 16→ 1

0001100001001110

0123456789101112131415

S1

S2

S3

n-מימוש עם בורר בעל פחות מ:כניסות ועם משתני מפה

:מימוש ישיר ללא משתני מפה

ממוש פונקציות באמצעות בוררים

10

19

Decoder –מפענח

1m1o d,...,d,d −

m2n ≤1n1o f,...,f,f −

0=if1fi =

nm →

. יציאות :פלט

.i לכל Enable=0 אם · i כאשר ,Enable=1 אם ·

י כניסות "הוא המספר הבינרי המיוצג ע.0וכל שאר היציאות הן , הבקרה

זהו מפענח

כניסות בקרה m:קלט. Enableכניסת

).Dהוא בעצם כניסת המידע Eכאשר , Demultiplexerאפשר להתייחס למפענח כאל (

mD

E F 0

D e c o d e r

...

F 1

F 2

F n -2

F n -1

20SS

E

. ...

....

..f0

f1

f2

f3

Decoderמימוש

11

21

4 → 16decoder

Enable

ABCD

f

f

f

f

f

0

1

5

9

15

f(A,B,C,D)=Σ(1,5,9,15)

( ) ( )∑= 15951DCBAf ,,,,,,

מימוש פונקציה באמצעות מפענח

22

D e c o d e r

E

ss

s m -1

1

0

ff

f

01

n -1

D D D 01n -1 . . .

. . .

......

:Decoder -תוך שמוש ב Selectorניתן לממש : הדמיון בממוש

הקשר בין בורר למפענח

12

23

nterminals

z

En

D D Dn-1

1 0

fff n-1 1 0

s

s

s

s selector/multiplxer

Decoder/

demultiplexer

0

0

m-1

nComputers

m-1

communicationline

המידע מן המסוף שנבחר יגיע

, למחשב המתאים) כניסות הבקרה(אם הכתובות

המוזנות לבורר ולמפענח הן

.תואמות

העברת מידע באמצעות בורר למפענח

בורר ומפענח מבצעים פעולות הפוכות Enable -אנו נשתמשים בכניסת ה

:Data ככניסת Decoder -של ה

24

סיבוכיות הבורר

: כניסות נתונים מכיל K=2n - כניסות בקרה וn+1בורר בעל 2(n+1)מהפכים

2n שערי AND בעלי n+2השקולים ל(א " כניסות כ- n+1 שערי AND . שערים2n(n+1)א וביחד "בעלי שתי כניסות כ

שערים בעלי שתי כניסות2n-1– כניסות השקול ל 2n בעל ORשער מחירו של הבורר הוא, כ"סה

n+2)2n+2n+1=O(n2n)=O(K log2K) (שערים.

Z

S1S 0

E

D

D

D

0

1

2

3

... .

...

.

.

.

.

.

D

13

25

סיבוכיות המפענח

: יציאות מכילK=2n - כניסות וn+1מפענח בעל 2nמהפכים2n שערי AND בעלי n+1השקולים ל(א " כניסות כ- n שעריAND בעלי

. שעריםn2n וביחד )א"שתי כניסות כמחירו של הבורר הוא, כ"סה

n2n+2n=O(n2n)=O(K log2K)שערים .

SS

E

. ...

....

..f0

f1

f2

f3