função de transferência - exercícios
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3
3. FUNES DE TransfERNCIA
1)Considere o seguinte sistema de nvel.
Onde a vazo atravs da vlvula de descarga proporcional raiz quadrada do nvel.
sendo que Cv depende da abertura da vlvula.
O balano material para o processo dado para:
e
Considere que o estado estacionrio
. Utilize as variveis do tipo
e a linearizao do modelo da seguinte forma:
Onde:
- valor da varivel no estado estacionrio.
Encontre as funes de transferncia do sistema.
RESPOSTASBalano Material
Onde:
Substituindo V e q no balano material, temos:
Linearizando o modelo da seguinte forma temos:
sendo
portanto:
Substituindo na equao de balano temos:
No estado estacionrio
temos:
Fazendo a diferena entre as duas equaes temos:
Chamando
,
temos:
Substituindo na balano de massa temos:
Aplicando Laplace temos:
2) Dadas as seguintes equaes diferenciais dos modelos, encontre:
A funo de transferncia;
A ordem do modelo;
O ganho da funo de transferncia;
As constantes de tempo do processo;
A realizao fsica.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
RESPOSTASa)
modelo de 2a ordem Ganho do modelo
Constante de tempo
Fator de amortecimento
fisicamente realizvel
n > m ( 2 > 0
b)
modelo de 2a ordem Ganho do modelo
Constante de tempo
Fator de amortecimento
fisicamente realizvel
n > m ( 2 > 0
c)
modelo de 3a ordem Ganho do modelo
fisicamente realizvel
n > m ( 3 > 0
d)
Para a primeira equao:
Para a segunda equao:
Para as duas equaes:
Substituindo G21 e G22 na equao (II):
e)
f)
3)Dadas as funes de transferncia, determine os seus zeros e plos. Determine o comportamento dinmico do sistema.
a)
b)
c)
d)
e)
RESPOSTAS
LISTAGEM DO PROGRAMA% Determinacao dos Zeros, Polos e Ganho de uma funcao de Transferencia
% a)
% 30
% G(s) = ---------------------
% 3 2
% 24s + 20s + 10s + 2
clc;
num = 30;
den = [24 20 10 2];
[z,p,k] = tf2zp(num,den);
disp('CASO a) ');
disp(' ');
printsys(num,den)
disp(' ');
disp('Zeros');
disp(' ');
disp(z);
disp('Plos');
disp(' ');
disp(p);
disp('Ganho');
disp(' ');
disp(k);
disp('Qualquer tecla para continuar !!!');
pause
% b)
% 16
% G(s) = -------------
% 2
% s + 4s + 3
clc;
num = 16;
den = [1 4 3];
[z,p,k] = tf2zp(num,den);
disp('CASO b) ');
disp(' ');
printsys(num,den)
disp(' ');
disp('Zeros');
disp(' ');
disp(z);
disp('Plos');
disp(' ');
disp(p);
disp('Ganho');
disp(' ');
disp(k);
disp('Qualquer tecla para continuar !!!');
pause
% c)
% 1
% G(s) = ------------------
% 3 2
% s + 3s + 3s + 1
clc;
num = 1;
den = [1 3 3 1];
[z,p,k] = tf2zp(num,den);
disp('CASO c) ');
disp(' ');
printsys(num,den)
disp(' ');
disp('Zeros');
disp(' ');
disp(z);
disp('Plos');
disp(' ');
disp(p);
disp('Ganho');
disp(' ');
disp(k);
disp('Qualquer tecla para continuar !!!');
pause
% d)
% 10
% G(s) = ------------------------------
% (5s+1)(2s+1)(0.5s+1)(0.1s+1)
clc;
num = 10;
den = conv([5 1],conv([2 1],conv([0.5 1],[0.1 1])));
[z,p,k] = tf2zp(num,den);
disp('CASO d) ');
disp(' ');
printsys(num,den)
disp(' ');
disp('Zeros');
disp(' ');
disp(z);
disp('Plos');
disp(' ');
disp(p);
disp('Ganho');
disp(' ');
disp(k);
disp('Qualquer tecla para continuar !!!');
pause
% e)
% 1
% G(s) = -------
% s - 1
clc;
num = 1;
den = [1 -1];
[z,p,k] = tf2zp(num,den);
disp('CASO e) ');
disp(' ');
printsys(num,den)
disp(' ');
disp('Zeros');
disp(' ');
disp(z);
disp('Plos');
disp(' ');
disp(p);
disp('Ganho');
disp(' ');
disp(k);
RESULTADOSCASO a)
num/den =
30
--------------------------
24 s^3 + 20 s^2 + 10 s + 2
Zeros
Plos
-0.2500 + 0.4330i
-0.2500 - 0.4330i
-0.3333
Ganho
1.2500
CASO b)
num/den =
16
-------------
s^2 + 4 s + 3
Zeros
Plos
-3
-1
Ganho
16
CASO c)
num/den =
1
---------------------
s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1
Zeros
Plos
-1.0000
-1.0000 + 0.0000i
-1.0000 - 0.0000i
Ganho 1
CASO d)
num/den =
10
------------------------------------------
0.5 s^4 + 6.35 s^3 + 14.25 s^2 + 7.6 s + 1
Zeros
Plos
-10.0000
-2.0000
-0.5000
-0.2000
Ganho 20
CASO e)
num/den =
1
-----
s - 1
Zeros
Plos
1
Ganho 1
4)Dadas as funes de transferncia de 1a ordem, determinar as respostas ao degrau e impulso, o ganho do processo e a constante de tempo.
a)
b)
RESPOSTAS
a)
Resposta ao Degrau
Resposta ao Impulso
b)
Resposta ao Degrau
Resposta ao Impulso
5)Dadas as funes de transferncia de 2a ordem, determinar:
A resposta ao degrau e impulso;
O ganho do processo (Kp);
Constante de tempo do processo (() ou freqncia natural de oscilao ((n);
Fator de amortecimento(();
Classificao do sistema em :- Superamortecido
- Criticamente amortecido
- sub-amortecido
No sistema Sub-amortecido, determinar:
- Tempo de subida (tr)
- Tempo de pico (tp)
- Tempo de estabilizao (ts)
- Sobre-sinal (Os)
- Razo de decaimento (Dr)
a)
b)
c)
d)
RESPOSTASa)
num/den =
0.9
----------------
16 s^2 + 2 s + 1
Numerador = [ 0.900000]
Denominador = [ 16.000000 2.000000 1.000000]
Ganho do processo (kp) = 0.900000
Constante de tempo do processo (tau) = 4.000000
Frequencia de Oscilacao (Wn) = 0.250000
Fator de Amortecimento (zeta) = 0.250000
Tempo de subida (Rise time-Tr) = 6.489246
Instante de pico (Time ot first peak-Tp) = 12.978492
Tempo de acomodacao (Settling time-Ts) = 64.000000
Sobre-sinal (Overshoot-Os) = 0.444344
Razao de decaimento (Decay-ratio-Dr) = 0.197442
Periodo de oscilacao Amortecida (P) = 25.956984
b)
num/den =
0.04167
-----------------------
s^2 + 0.2167 s + 0.2778
Numerador = [ 0.041670]
Denominador = [ 1.000000 0.216700 0.277800]
Ganho do processo (kp) = 0.150000
Constante de tempo do processo (tau) = 1.897291
Frequencia de Oscilacao (Wn) = 0.527067
Fator de Amortecimento (zeta) = 0.205571
Tempo de subida (Rise time-Tr) = 3.045298
Instante de pico (Time ot first peak-Tp) = 6.090597
Tempo de acomodacao (Settling time-Ts) = 36.917397
Sobre-sinal (Overshoot-Os) = 0.516895
Razao de decaimento (Decay-ratio-Dr) = 0.267180
Periodo de oscilacao Amortecida (P) = 12.181194
c) num/den =
0.3
------------------
100 s^2 + 20 s + 1
Numerador = [ 0.300000]
Denominador = [ 100.000000 20.000000 1.000000]
Ganho do processo (kp) = 0.300000
Constante de tempo do processo (tau) = 10.000000
Frequencia de Oscilacao (Wn) = 0.100000
Fator de Amortecimento (zeta) = 1.000000
d) num/den =
2
-------------------
49 s^2 + 16.8 s + 1
Numerador = [ 2.000000]
Denominador = [ 49.000000 16.800000 1.000000]
Ganho do processo (kp) = 2.000000
Constante de tempo do processo (tau) = 13.043275
Frequencia de Oscilacao (Wn) = 0.076668
Fator de Amortecimento (zeta) = 1.000000
LISTAGEM DO PROGRAMARESOLUO DO EXERCCIO 5.
function [num,den,t] = Main1()%% Comportamento de funcoes de transferencia de segunda ordem% Executa o item (a) do exerccio.% Comportamento de funcoes de transferencia de segunda ordem
% Executa o item (a) do exerccio 5.t = 1:1:100;
num = [0.9];
den = [16 2 1];
seord(num,den,t);disp('Digite qualquer tecla para continuar')
pause
% Executa o item (b) do exerccio 5.t = 1:1:100;
num = [0.04167];
den = [1 0.2167 0.2778];
seord(num,den,t);disp('Digite qualquer tecla para continuar')
pause
% Executa o item (c) do exerccio 5.t = 1:1:100;
num = [0.3];
den = [100 20 1];
seord(num,den,t);disp('Digite qualquer tecla para continuar')
pause
% Executa o item (d) do exerccio 5.t = 1:1:100;
num = [2];
den = [49 16.8 1];
seord(num,den,t);returnPROGRAMA PRINCIPAL SEORD
function tranf1 = seord(num,den,t)% ****************************************************
% * Estudo do comportamento dinamico do sistema *
% * de 2a ordem atraves dos parametros dinamicos. *
% * *
% ****************************************************
% *************************
% **** Inicializacao ****
% *************************
figure(1)
set(1,'Position',[350 180 430 350]);
% *******************************************************
% **** Funcao de transferencia de segunda ordem ****
% *******************************************************
snum = sprintf(' %f',num);
sden = sprintf(' %f',den);
[WW,ZZ] = damp(den);
Wn = WW(1);
zeta = ZZ(1);
amort = sqrt(1 - zeta^2);
% **** Calculo do Ganho do Processo ****
kp = dcgain(num,den);
% **** Calculo da frequencia natural de oscilacao ****
% do fator de amortecimento do processo
swn = sprintf('%f',Wn);
szeta = sprintf('%f',zeta);
% **** Calculo da Constante de Tempo do Processo ****
tau = 1/Wn;
st = sprintf('%f',tau);
figure(1);
y =step(num,den,t);
y105 = 1.05*kp*ones(size(y));
y95 = 0.95*kp*ones(size(y));
plot([y y95 y105]);grid;
title('Resposta ao Degrau');
if ( zeta < 1 )
% **** Calculo da frequencia de Oscilacao amortecida ****
Wd = Wn*amort;
% **** Calculo de Rise Time (Tr) ****
Tr = pi/(2*Wd);
% **** Calculo de Time to first peak (Tp) ****
Tp = pi/Wd;
% **** Calculo de Settling Time (Ts) ****
Ts = 4/(zeta*Wn);
% **** Calculo de Overshoot (Os) ****
Os = exp(-pi*zeta/amort);
% **** Calculo de Decay Ratio (Dr) ***
Dr = Os^2;
% **** Calculo do Periodo de Oscilacao Amortecida ****
P = 2*pi*tau/amort;
sp = sprintf('%f',P);
end
% ***** Impressao dos resultados *****
sn = sprintf('Numerador = [%s]',snum);
sd = sprintf('Denominador = [%s]',sden);
sk = sprintf('Ganho do processo (kp) = %f',kp);
sw = sprintf('Frequencia de Oscilacao (Wn) = %s',swn);
stau = sprintf('Constante de tempo do processo (tau) = %s',st);
sz = sprintf('Fator de Amortecimento (zeta) = %s',szeta);
if ( zeta < 1 )
str = sprintf('Tempo de subida (Rise time-Tr) = %f',Tr);
stp = sprintf('Instante de pico (Time ot first peak-Tp) = %f',Tp);
sts = sprintf('Tempo de acomodacao (Settling time-Ts) = %f',Ts);
sos = sprintf('Sobre-sinal (Overshoot-Os) = %f',Os);
sdr = sprintf('Razao de decaimento (Decay-ratio-Dr) = %f',Dr);
sP = sprintf('Periodo de oscilacao Amortecida (P) = %s',sp);
end
clc
printsys(num,den);
disp(' ');
disp(sn);
disp(sd);
disp(' ');
disp(sk);
disp(stau);
disp(sw);
disp(sz);
if ( zeta < 1 )
disp(' ');
disp(str);
disp(stp);
disp(sts);
disp(sos);
disp(sdr);
disp(sP);
end
return
6)Dadas as funes de transferncia, determinar a resposta ao degrau e impulso. Defina o tipo de processo.
a)
b)
c)
RESPOSTAS
a)
Resposta ao Degrau
Resposta ao Impulso
b)
Resposta ao Degrau
Resposta ao Impulso
c)
Resposta ao Degrau
Resposta ao Impulso
PAGE 21
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