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Guía de Trabajo Autónomo

N° 8: del 03 al 14 de agosto

Matemática 10°

Profesor: Arturo Hernández / Luis Jiménez

1. Me preparo para hacer la guía

Materiales: cuaderno, borrador, lápiz, calculadora.

Buscar un espacio cómodo, agradable, (donde pueda concentrarme)

Tiempo: 3 horas

2.a. ¿Qué voy a aprender?

Funciones

Definición Dados dos conjuntos de objetos, el conjunto X y el conjunto Y, una función es una ley que asocia a cada objeto de X uno y sólo un objeto en Y. Ejemplo

Conjunto 𝑋 = {2, 4, 6, 8} Conjunto de salida. Se llama dominio. Cada elemento del dominio se llama preimagen.

Conjunto 𝑌 = {1, 3, 5, 7, 9} Conjunto de llegada. Se llama codominio. Cada elemento del codominio se llama imagen.

La relación 𝑓: 𝑋𝑌 se llama f, la cual relaciona un elemento de X con un elemento de Y. “Simbólicamente se escribe 𝑓: 𝑋 → 𝑌 ” 𝑓 = {(2,3), (2,5), (4,9), (8,1), (8,7)} En este caso, la relación no es función porque el 2 de X se repite, también en 8. (2 con 3 y 2 con 9) (8 con 1 y 8 con 7) La preimagen (el 2) solo se puede relacionar con una imagen (el 3 o el 9). Además, el 6 de X no se relaciona (toda preimagen “el 6” debe relacionarse con alguna imagen “algún elemento de Y”). Ejemplo

Dominio 𝐷𝑓 = {−3, −2, −1} “Recuerde: el dominio es el conjunto de salida.”

Codominio 𝐶𝑜𝑑𝑓 = {1, −4, −9} “El codominio es el conjunto de llegada.”

𝑓 = {(−3,1), (−2, −9), (−1, −9)} En este caso, la relación 𝑓: 𝑋 → 𝑌 sí es una función, esto porque cada preimagen “los elementos de X” se relacionan una única vez con un elemento de Y llamado imagen. (En el caso de Y, sus elementos sí se pueden repetir, como el -9 que se relaciona con -2 y con -1. Pero

también puede sobrar, como el -4 que no se relaciona. En este caso, el -4 es elemento del codominio, de Y, pero no es una imagen por no tener

preimagen.) Al conjunto de imágenes, elementos de Y (el codominio) que se relacionan, se le llama ámbito de la función.

𝐴𝑓 = {1, −9}

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Ejemplo

Dominio 𝐷𝑓 = {3, 6, 9, 12, 15}

Codominio 𝐶𝑜𝑑𝑓 = {5, 11, 17, 23}

La relación es función. Note que, en este caso, cada elemento de X se relaciona una única vez con un elemento de Y.

Se puede decir que 3 es preimagen de 5. (3, 5)

También que 17 es imagen de 9. (9, 17)

O que la imagen de 15 es 5. (15, 5)

O que las preimágenes de 5 son 3 y 15. (3, 5) y (15, 5)

3.a. Práctica 1 En cada caso, determine si la relación dada corresponde a una función. Si es función escriba “Sí”, si no es función escribe “No”.

1. 2. 3. 4.

__________________ __________________ __________________ __________________

9. 10. 𝑓 = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3)} 𝑔 = {(4,2), (8,3), (16,4)} __________________

__________________

11. 12. 𝑓 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)} 𝑔 = {(−5, 4), (−2, 6), (−2, 8)} __________________

__________________

X 3 6 9 12 15

Y 5 11 17 23 5

5. 6. 7. 8.

X 1 2 1 2 X 9 8 7 6 X 5 5 5 5 X 1 3 5 7

Y 3 4 5 6 Y 1 2 3 4 Y 7 6 5 4 Y 2 2 2 2

__________________ __________________ __________________ __________________

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2.b. ¿Qué voy a aprender?

Elementos de la función Ejemplo La siguiente relación corresponde a una función.

1 es preimagen de 4. Dominio. 𝐷𝑓 = {1, 2, 3} 7 es imagen de 2.

La preimagen de 10 es 3. Codominio. 𝐶𝑜𝑑𝑓 = {4, 5, 7, 9, 10} La imagen de 2 es 7.

Ámbito. 𝐴𝑓 = {4, 7, 10} En este caso, la función es inyectiva.

Función inyectiva. Es aquella que, a distintos elementos del dominio, les corresponden distintos elementos del codominio. Es decir; cada imagen (elemento de Y) solo se relaciona con una preimagen (elemento de X). No se repite ningún elemento de Y, sí pueden sobrar. Ejemplo La siguiente relación corresponde a una función.

-4 es preimagen de 2. Dominio. 𝐷𝑓 = {−4, −5, −6, −7} 1 es imagen de -5 y -7.

La preimagen de 3 es -6. Codominio. 𝐶𝑜𝑑𝑓 = {0, 1, 2, 3} La imagen de -7 es 1.

Ámbito. 𝐴𝑓 = {1, 2, 3} En este caso, la función no es inyectiva.

(Porque se repite el 1 en Y (−5,1) 𝑦 (−7,1) ) Ejemplo La siguiente relación corresponde a una función.

Dominio. 𝐷 = {−2, −1, 0, 1, 2, 3} Codominio 𝐶𝑜𝑑 = {0, 1, 4, 9} Ámbito 𝐴 = {0, 1, 4, 9}

-2 es preimagen de 4. Las preimágenes de 4 son 2 y -2. 9 es imagen de 3. La imagen de -1 es 1. La función no es inyectiva. (Porque en Y se repite el 1 (−1,1) 𝑦 (1,1) y también se repite el 4 (−2,4) 𝑦 (2,4)) Ejemplo La siguiente relación corresponde a una función. 𝑓 = {(0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 9), (4, 16)} Dominio. 𝐷 = {0, 1, 2, 3, 4} Codominio 𝐶𝑜𝑑 = {1, 2, 4, 9, 16} Ámbito 𝐴 = {1, 2, 4, 9, 16} 1 es preimagen de 2. La preimagen de 4 es 2. 1 es imagen de 0. La imagen de 4 es 16. La función es inyectiva. (Porque ningún elemento en Y se repite.)

X -2 -1 0 1 2 3

Y 4 1 0 1 4 9

Cuando el ámbito y el codominio son iguales,

se dice que la función es sobreyectiva.

Codominio y ámbito

iguales ⇒ sobreyectiva.

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3.b. Práctica 2

En cada caso se presenta una relación que corresponde a una función. Determine los elementos que se le indican según la función dada. 1.

2.

3.

“Autoevalúo mi nivel de desempeño” Al terminar por completo el trabajo, autoevalúo mi nivel de desempeño, Marco una equis (X) encima del nivel que mejor represente mi desempeño en cada indicador.

Indicadores del aprendizaje esperado

Proceso

Inicial Intermedio Avanzado Detallo las características o condiciones que debe tener una relación para considerarla función, expresada en forma tabular o simbólica.

Menciono aspectos generales que debe tener una relación para ser función, en cualquiera de sus representaciones.

Resalto aspectos específicos de las relaciones que las hacen funciones, en cualquiera de sus representaciones.

Puntualizo aspectos significativos que hacen que una relación sea función.

( ) ( ) ( )

Descubro relaciones de causalidad entre los elementos del dominio y del ámbito de una función, al determinar la imagen o la preimagen, según los datos que se proporcionen, de manera tabular o simbólica.

Indico las imágenes y las preimagens en una función, dada en forma tabular o simbólica.

Destaco aspectos importantes de la relación de causalidad entre la imagen y la preimagen de una función.

Indico nuevas imágenes y preimágenes de una función determinada, dada en forma tabular o simbólica, al establecer nuevas relaciones de causas y efectos entre ellas.

( ) ( ) ( )

Examino detalles de las funciones a partir de sus representaciones, para describirla en términos de su dominio, imágenes, preimágenes, ámbito, inyectividad.

Relato generalidades de una función, como es lo que se entiende por: dominio, imágenes, preimágenes, ámbito, inyectividad; a partir de cualquiera de sus representaciones.

Emito criterios específicos de una función, como indicar cuál es el dominio, las imágenes, las preimágenes, el ámbito, la inyectividad; a partir de cualquiera de sus representaciones.

Detallo aspectos relevantes de una función, como es justificar el dominio, las imágenes, las preimágenes, el ámbito, la inyectividad; a partir de cualquiera de sus representaciones.

( ) ( ) ( )

Dominio. La imagen de 1 es

Codominio. La preimagen de 3 es

Ámbito. 1 es imagen de

¿Es inyectiva? 3 es preimagen de

Dominio. La imagen de 4 es

Codominio. La preimagen de 1 es

Ámbito. 4 es imagen de

¿Es inyectiva? 1 es preimagen de

X -4 -1 0 1 4

Y 7 4 1 4 7

Dominio. La imagen de 6 es

Codominio. La preimagen de 4 es

Ámbito. 2 es imagen de

¿Es inyectiva? 6 es preimagen de

𝑓 = {(2, 6), (3, 4), (4, 2), (6, 8)}

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Guía de Trabajo Autónomo

N° 9: del 17 al 28 de agosto

Matemática 10°

Profesor: Luis Jiménez

1. Me preparo para hacer la guía

Materiales: cuaderno, borrador, lápiz, calculadora.

Buscar un espacio cómodo, agradable, (donde pueda concentrarme)

Tiempo: 3 Horas

2. ¿Qué voy a aprender?

Gráfica de la función

Prueba de la recta vertical Si cualquier recta vertical pasa a través del gráfico más de una vez, la relación no es una función. Ejemplo

Sí es función No es función Sí es función No es función

La recta vertical solo corta la gráfica en un solo punto (𝑎, 𝑚)

La recta vertical corta la gráfica en dos puntos (𝑎, 𝑝) y (𝑎, 𝑛)

La recta vertical solo corta la gráfica en un solo punto (𝑏, 𝑗).

El punto (𝑏, 𝑘) no cuenta porque está abierto (bolita sin relleno)

La recta vertical corta la gráfica en dos puntos (𝑏, 𝑗) y (𝑏, 𝑘)

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Elementos de la función expresada como gráfica Ejemplo La siguiente figura representa la gráfica de una función.

Dominio Se lee en 𝑥 de izquierda (-3 abierto) a derecha (4 cerrado). Se escribe 𝐷 = ]−3, 4] Ámbito Se lee e 𝑦 desde el punto más bajo de la gráfica (1 cerrado) hasta el más alto (5 cerrado). Se escribe 𝐴 = [1, 5]

En el eje X se localizan las preimágenes, en el eje Y las imágenes.

Así, 4 es preimagen de 2. (4,2) También, 1 es preimagen de 2. (1,2) Es decir, 2 es imagen de 1 y 4.

También se puede decir que la imagen de 2 es 5. (2,5)

Además, la preimagen de 1 es 0. (0,1)

El punto (−3,2) no se utiliza porque está abierto.

Máximo y mínimo de la función Se llama máximo de la función al extremo más grande, el punto más alto de la gráfica. En este caso, el máximo es el punto (2,5). Se llama mínimo de la función al extremo más pequeño, el punto más bajo de la gráfica. En este caso, el mínimo es el punto (0,1).

Ejemplo La siguiente figura representa la gráfica de una función.

Dominio. 𝐷 = [−4, 7] (en el eje X, de izquierda a derecha) Ámbito. 𝐴 = [−3, 3] (en el eje Y, de abajo hacia arriba)

Máximo: (1, 3) (el punto más alto de la gráfica) Mínimo: (7, −3) (el punto más bajo)

Algunas imágenes y preimágenes (7, −3) 7 es preimagen de -3 o -3 es imagen de 7 (−4, −2) -4 es preimagen de -2 o -2 es imagen de -4 (1, 3) 1 es preimagen de 3 o 3 es imagen de 1 (6, −2) 6 es preimagen de -2 o -2 es imagen de 6. Hay más…

Ceros de la función En este caso, la gráfica interseca el eje X; es decir, choca con el eje X en dos puntos, en -2 y en 4. Entonces, los ceros de la función son (−2, 0) y (4, 0).

Los ceros de una función son los puntos en los que la gráfica corta al eje x.

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3. Práctica 1

En cada caso, determine si la gráfica dada corresponde a una función. Si es función escribe “ sí es función ”, sino escribe “ no es función ”.

1. 2. 3. 4.

____________________ ____________________ ____________________ ____________________ 5. Analice la siguiente gráfica que corresponde a una función. Con base en los datos de la gráfica, responda:

Dominio. _______________________

Ámbito. _______________________

La imagen de 5 es _______________________

La imagen de -2 es _______________________

La preimagen de 3 es _______________________

La preimagen de 5 es _______________________

El máximo es _______________________

El mínimo es _______________________

El cero es _______________________

5. Analice la siguiente gráfica que corresponde a una función. Con base en los datos de la gráfica, responda:

Dominio. _______________________

Ámbito. _______________________

La preimagen de 4 es _______________________

La preimagen de 2 es _______________________

La imagen de 5 es _______________________

La imagen de 2 es _______________________

El máximo es _______________________

El mínimo es _______________________

El cero es _______________________

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Con el trabajo autónomo voy a aprender a aprender

Durante el trabajo:

Leí atentamente las indicaciones

Apunté conceptos nuevos o importantes

Consulté lo que no entendía

¿Qué fue lo mejor del trabajo?

Después del trabajo:

Mi trabajo está ordenado

Revisé mi trabajo

Estoy satisfecho con mi trabajo

¿En qué puedo mejorar?

“Autoevalúo mi nivel de desempeño” Al terminar por completo el trabajo, autoevalúo mi nivel de desempeño, Marco una equis (X) encima del nivel que mejor represente mi desempeño en cada indicador.

Indicadores del aprendizaje esperado Proceso

Inicial Intermedio Avanzado

Detallo las características o condiciones que debe tener una relación para considerarla función, expresada en forma gráfica.

Menciono aspectos generales que debe tener una relación para ser función, en forma gráfica.

Resalto aspectos específicos de las relaciones que las hacen funciones, en forma gráfica.

Puntualizo aspectos significativos que hacen que una relación sea función.

( ) ( ) ( )

Descubro relaciones de causalidad entre los elementos del dominio y del ámbito de una función, al determinar la imagen o la preimagen, según los datos que se proporcionen, de manera gráfica.

Indico las imágenes y las preimagens en una función, dada en forma gráfica.

Destaco aspectos importantes de la relación de causalidad entre la imagen y la preimagen de una función.

Indico nuevas imágenes y preimágenes de una función determinada, dada en forma gráfica, al establecer nuevas relaciones de causas y efectos entre ellas.

( ) ( ) ( )

Examino detalles de las funciones a partir de sus representaciones, para describirla en términos de su dominio, imágenes, preimágenes, ámbito, ceros, máximo y mínimo.

Relato generalidades de una función, como es lo que se entiende por: dominio, imágenes, preimágenes, ámbito, ceros, máximo y mínimo; a partir de su representación gráfica.

Emito criterios específicos de una función, como indicar cuál es el dominio, las imágenes, las preimágenes, el ámbito, los ceros, máximos y mínimos; a partir de su representación gráfica.

Detallo aspectos relevantes de una función, como es justificar el dominio, las imágenes, las preimágenes, el ámbito, los ceros, máximos y mínimos; a partir de su representación gráfica.

( ) ( ) ( )