fundamentos matematicos para controle e servomecanismos
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Fundamentos Matematicos Para Controle e ServomecanismosTRANSCRIPT
Fundamentos Matemáticos para Controle e Servomecanismos.
Sistemas de Equações LinearesMatrizesTransformada de LaplaceTransformada Inversa de LaplaceEquações DiferenciaisTransformada ZTransformada Z Inversa )( 1Z
)( 1L
Sistemas de Equações Lineares.
1352214
5342312
433221
xxx
xxx
xxx
Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
Definindo a matriz de coeficientes A e a matriz vetor B, temos:
1
5
4
;
524
432
321
BA
Podemos escrever o sistema na forma matricial: AX = B.AX = B.
Sistemas de Equações Lineares.
4.1
524
432
321
521
435
324
)1( X 6.0
524
432
321
124
532
421
)3( X
O uso desta regra nos auxilia a obter as variáveis desejadas do sistema e seu emprego é recomendado quando este possuir um número equações superior à ordem 3 ou igual a esta, pois o processo de substituição sucessiva, de modo a eliminar as variáveis, torna-se bastante longo e enfadonho.Para o sistema exemplificado temos:
8.1
524
432
321
514
452
341
)2( X
Sistemas de Equações Lineares.Para empregar o Matlab como recurso computacional temos que definir os seguintes passos:- Declarar matriz de coeficientes;- Declarar matriz vetor de entradas.
No exemplo citado temos:A=[ 1 2 3;2 3 4;4 2 5] e B=[4;5;1]; - define que uma linha terminou e uma nova será iniciada.
Para aplicar a regra de Cramer e obter as demais matrizes devemos seguir a rotina abaixo:- Declarar nova matriz, onde esta receberá o conteúdo da matriz de coeficientes;- A nova matriz gerada terá suas respectivas colunas substituídas pela matriz de entradas, conforme a variável a ser calculada.
Sistemas de Equações Lineares.
Temos então que:X1=A;X1(:,1)=BX2=A;X2(:,2)=BX3=A;X3(:,3)=B 1
5
4
;
524
432
321
BA
4.1
524
432
321
521
435
324
)1( X 6.0
524
432
321
124
532
421
)3( X8.1
524
432
321
514
452
341
)2( X
Sistemas de Equações Lineares.
6.0
8.1
4.1
)det(
)3det();2det();1det(
XA
XXXX
A solução, usando a regra de Cramer pode, também, ser obtida por:
Para comprovar a solução podemos multiplicar AA por XX que obteremos a matriz vetor BB.
Matrizes.
Matrizes.
11
1001
3
10
2
13
3
1
)
ss
ss
ssa
40
43
010
03
100
22
)
b
1) Para as matrizes abaixo, determine o que se pede:
32
310
30
65)
c
Matrizes.
0322513
13231
1321
xxx
xxx
xxx
2) Para os sistemas descritos abaixo, determine as incógnitas:
02212
13231
1321
xx
xxx
xxx
Transformada de Laplace.
Transformada de Laplace.
1) Encontre a transformada de Laplace das funções abaixo:
t
tt
t
t
t
etgf
eetge
tttgd
ttetgc
tetgb
tetga
2
2
2
2
5
5)()
)()
2cos*2sin)()
2sin)()
2sin*2)()
5)()
Transformada de Laplace.
2) Encontre a transformada inversa de Laplace das funções abaixo:
552*5.1
122)()
22*
12)()
3*21
10)()
31
1)()
*3*42
2100)()
3*21
)()
ssss
sssGf
sss
ssGe
sssGd
ssGc
sesss
ssGb
ssssGa
Transformada de Laplace.3) Solucione as equações diferenciais das funções abaixo usando a técnica de transformadas de Laplace:
52 vdt
dvCom v=0 quando t=0
92 vdt
dvCom v=0 quando t=0
652 xdt
dxCom x=0 quando t=0
48 xdt
dxCom x=0 quando t=0
0642
2
xdt
xdCom dx/dt=0 e x=2 quando t=0
0642
2
xdt
xdCom dx/dt=2 e x=0 quando t=0
Aplicações:1) Para os sistemas físicos abaixo, encontre a resposta usando as
técnicas matemáticas apresentadas. Considere uma entrada degrau unitário aplicada aos sistemas, ou seja, R(t)=u(t).
a) i1(t) e i2(t).
Aplicações:
b) i1(t) e i2(t).
Aplicações:
c) Vc(t).
i1i2
i3
Aplicações:
d) i1(t), i2(t) e i3(t).
Aplicações:
e) Vo(t), i1(t), i2(t) e i3(t).
Aplicações:
f) x1(t) e x2(t).
Aplicações:
g) x1(t) e x2(t).
Aplicações:
h) x1(t), x2(t) e x3(t).
Sem atrito
Aplicações:
i) x1(t), x2(t) e x3(t).
Sem atrito